Petz Dénes Lineáris analízis
Petz Dénes Lineáris analízis
Megjelent a Felsőoktatási Pályázatok Irodájának támogatásával ISBN 963 05 7822 0 Kiadja az Akadémiai Kiadó 1117 Budapest, Prielle Kornélia u. 4. Első magyar nyelvű kiadás: 2002 c Petz Dénes, 2002 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a nyilvános előadás, a rádió- és televızióadás, valamint a fordítás jogát, az egyes fejezeteket illetően is PrintedinHungary
Tartalomjegyzék Előszó 9 1. Lineáris terek és lineáris leképezések 11 1.1. Lineáris terek.............................. 11 1.2. Tenzorszorzatok............................. 15 1.3. Mátrixok és sajátértékeik....................... 20 1.4. Euklideszi terek transzformációi.................... 25 1.5. Blokkmátrixok............................. 27 1.6. Gyakorlófeladatok........................... 29 2. Normált terek 32 2.1. Nevezetes normáltterek........................ 32 2.2. Banach-terek.............................. 41 2.3. A duális tér............................... 48 2.4. Multinormált terek........................... 52 2.5. Gyakorlófeladatok........................... 55 3. Hilbert-terek és korlátos operátoraik 61 3.1. Nevezetes Hilbert-terek és nevezetes bázisok... 61 3.2. Bázis szerinti kifejtés.......................... 71 3.3. A Hilbert-tér geometriája....................... 73 3.4. Operátorok, funkcionálok és formák................. 75 3.5. Kompakt tartójú simafüggvények.................. 77 5
6 TARTALOMJEGYZÉK 3.6. Az adjungált operátor......................... 79 3.7. Tenzorszorzat.............................. 82 3.8. Unitér operátorok........................... 85 3.9. A Fourier-transzformáció........................ 90 3.10. Nevezetes topológiák.......................... 92 3.11. Pozitív operátorok........................... 93 3.12. Rezolvens és spektrum......................... 96 3.13. Önadjungált operátorok függvényei.................. 104 3.14. A spektráltétel............................. 109 3.15. Kompakt operátorok.......................... 115 3.16. Gyakorlófeladatok........................... 120 4. Nemkorlátos operátorok 130 4.1. Zárt operátorok............................. 130 4.2. Az adjungált.............................. 132 4.3. Önadjungált operátorok........................ 136 4.4. Önadjungált kiterjesztések....................... 138 4.5. Lényegében önadjungált operátorok................. 142 4.6. Sturm Liouville-féle operátorok.................... 146 4.7. A Laplace-operátor........................... 150 4.8. Egyparaméteres unitércsoportok................... 156 4.9. Gyakorlófeladatok........................... 161 5. A kvantummechanika axiómái 165 5.1. Állapotok és dinamikai változók.................... 165 5.2. Összetett rendszerek.......................... 170 5.3. A mérés................................. 175 5.4. Szuperszelekció............................. 182 5.5. A projekciók alkotta logika...................... 182 5.6. Időfejlődés................................ 185 5.7. Gyakorlófeladatok........................... 187
TARTALOMJEGYZÉK 7 6. A feladatok megoldása 189 Függelék 209 A. Metrikus éstopologikusterek..................... 209 B. Mérték és integrál........................... 220 B.1. A Riemann-integrál...................... 220 B.2. Az absztrakt Lebesgue-integrál................ 223 B.3. A szorzatmérték........................ 229 B.4. Mértékek metrikus téren.................... 232 C. Csoportok................................ 240 Jegyzetek 251 Ajánlott irodalom 255 Tárgymutató 257
Előszó Ez a könyv a lineáris analízisbe ad bevezetést, és alkalmazásként bemutatja a kvantumelmélet matematikai megalapozását. Bár feltételezzük, hogy az olvasó már elsajátította a lineáris algebrai alapokat, az első fejezet végigfut néhány, mátrixokkal kapcsolatos témakörön, részben ismétlésként, részben pedig azért, hogy a lineáris analízisnek a lineáris algebrától némileg különbőző szemlélete érvényre jusson. Amásodik fejezetben viszonylag kisebb hangsúlyt kapnak a normált és multinormált (más néven lokálisan konvex) terek, inkább a Hilbert-terek elméletének szentelünk nagyobb teret a harmadik fejezettől kezdve. A Hilbert-tér nagyon jó példa végtelen dimenziós topologikus vektortérreés a lineáris analízis módszereinek megmutatására. Az absztrakt Lebesgue-integrál fogalmát a lehetőségekhez képest elkerüljük, de az IR n -en négyzetesen integrálható függvények terét természetesen használjuk. Ezt a nehézséget igyekszik áthidalni a függelék, amely a topologikus terekre vonatkozó alapvető ismereteket összegyűjti, és egy tömörített, ugyanakkor elég teljes integrálelméletet is tartalmaz. Az ortogonális polinomokat és más speciális függvényeket, továbbá bizonyos konkrét csoportok ábrázolásait fizikában való fontosságuk miatt részletesen tárgyaljuk. A negyedik fejezet a Hilbert-terek nemkorlátos operátoraiba ad bepillantást. A témák választása a kvantummechanika matematikai igényeihez igazodik. A könyv utolsó fejezete éppen a kvantummechanika megalapozását mutatja be, és a korábbi tisztán matematikai tételek és fogalmak itt fizikai interpretációt is kapnak. Atárgyalásmód a bizonyítások helyett inkább a példákra teszi a fő hangsúlyt. A tipikus bizonyítási módszerek megjelennek, de számos tétel szerepel bizonyítás nélkül vagy egy egyszerűsített eset, illetve a bizonyítás gondolatmenetének tárgyalásával. A fejezetek végén gyakorlófeladatok bőséges mennyiségben találhatók. Változó nehézségűek, a legnehezebbekhez útmutatás is van. A szerző véleménye szerint a példák alapos áttanulmányozása és a hozzájuk hasonló gyakorlófeladatok egyéni megoldása nagyon fontos része a fogalmak és módszerek megértésének éppen úgy, mint az anyag peremértékfeladatokban, disztribúcióelméletben és az alkalmazások más területein való hasznosításának. A feladatok jelentős részének részletes megoldását a 6. fejezet tartalmazza. Azokat a gyakorlófeladatokat, amelyek megoldása meg van adva, M jelöli, a nehezebbeket pedig. A XX. század magyar matematikájában a lineáris (vagy funkcionál-) analízis kiemelkedő szerepet játszott, hiszen például a magyar Riesz Frigyes a diszciplína
10 Előszó egyik atyja volt, számos alapvetőeredmény tőle származik. Neumann János nagyon sokirányú matematikai munkásságából a nemkorlátos operátorok elméletének megalapozása kapcsolódik a könyv anyagához. Ezekből az okokból kifolyólag, és csak úgy érdekességképpenis, néhány tudománytörténeti illusztrációés megjegyzés igyekszik az anyagot színesebbé tenni. A könyv anyaga fokozatosan bővült, és évek munkájával állt össze. Sok segítséget kaptam a BME mérnök-fizikus és alkalmazott matematikus hallgatóitól ahibák és pontatlanságok kiszűrésében. Doktorandusz hallgatóim, Andai Attila, Mosonyi Milán, Pitrik József és Réffy Júlia közreműködtek a gyakorlófeladatok megoldásainak leírásában. Köszönet illeti meg Géczy Flórát is az ábrák és illusztrációk elkészítésében nyújtott segítségéért. Budapest, 2001. december A szerző