Hőtan Termodinamika és Hőközlés

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Energetikai Gépek és Rendszerek Tanszék Hőtan Termodinamika és Hőközlés Feladatgyűjtemény és Segédlet

HŐTAN TERMODINAMIKA ÉS HŐKÖZLÉS FELADATGYŰJTEMÉNY ÉS SEGÉDLET 3

Hőtan Feladatgyűjtemény és Segédlet Első kiadás Összeállította: DR. BIHARI PÉTER TÖRÖKNÉ KOVÁCS VIKTÓRIA BARBARA Bihari Péter, Törökné Kovács Viktória Barbara Verzió:. 4

TARTALOMJEGYZÉK. Előszó... 7. Fontosabb jelölések és összefüggések... 9 3. Alapfogalmak,. főtétel... 3 3.. Ellenőrző kérdések... 3 3.. Bevezető feladatok, alapfogalmak... 4 3.3. Összetett feladatok, az egyensúly... 4 4. Munka, hőmennyiség és energia... 5 4.. Ellenőrző kérdések... 5 4.. Bevezető feladatok... 5 4.3. Összetett feladatok... 6 5. Az I. főtétel alkalmazása... 7 5.. Ellenőrző kérdések... 7 5.. Bevezető feladatok... 7 5.3. Összetett feladatok... 8 7. Gázkörfolyamatok és a Carnot-körfolyamat... 9 7.. Ellenőrző kérdések... 9 7.. Bevezető feladatok... 9 7.3. Összetett feladatok... 8. A II. főtétel és az entrópia... 8.. Ellenőrző kérdések... 8.. Bevezető feladat... 8.3. Összetett feladatok... 9. Többfázisú rendszerek... 3 9.. Ellenőrző kérdések... 3 9.. Bevezető feladatok... 3 9.3. Összetett feladatok... 3. Időben állandósult hővezetés... 5.. Alapvető kérdések... 5.. Bevezető feladatok... 5.3. Összetett feladatok... 5. Bordák hővezetése... 7.. Alapvető kérdések... 7.. Bevezető feladatok... 7.3. Összetett feladatok... 7. Időben változó (tranziens) hővezetés... 9.. Alapvető kérdések... 9.. Bevezető feladatok... 9.3. Összetett feladatok... 9 3. Mellékletek... 3 4. Időben állandósult hővezetés... 37 4.. Összetett szerkezetek hőellenállása... 37 4.. Kontakt (érintkezési) hőellenállások tájékoztató értékei... 4 5. Bordák hővezetése... 43 5.. Állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák... 43 5

5.. Változó keresztmetszetű bordák... 44 5... Tüskebordák... 44 5... Lemezbordák... 45 5..3. Tárcsabordák... 49 6. Időben változó hővezetés... 5 6.. Alapvető összefüggések... 5 6... Fontosabb mennyiségek és jelölésük... 5 6... Hővezetés általános differenciálegyenlete... 5 6..3. Hasonlósági kritériumok... 5 6.. Számítást segítő nomogramok... 5 6... Dimenziótlan hőmérsékletek elsőfajú peremfeltétel esetén... 5 6... Dimenziótlan hőmérsékletek harmadfajú peremfeltétel esetén... 54 6..3. Hőleadási (Gröber-féle) diagramok... 6 6..4. Végtelen vastag sík fal dimenziótlan hőmérséklete... 6 6.3. Közelítő összefüggések... 65 6.4. Többdimenziós testek dimenziótlan hőmérséklete... 66 6

. ELŐSZÓ Az első lépés minden tudomány elsajátítása felé az, hogy megértjük az alapjait, és megbízható tudást szerzünk belőle. A következő az, hogy a megszerzett tudást elmélyítjük. Ezt azzal érjük el, hogy folyamatosan próbára tesszük ismereteinket, valós problémákkal. Ezek megoldása - különösen az öszszetettebb problémáké - logikus megközelítést követel. Ha tehát követni tudunk egy lépésről lépésre történő megoldási menetet, akkor a bonyolultnak látszó problémát le tudjuk rövidíteni, több kisebb és egyszerűbb problémára. Egy ilyen logikusan felépített módszert lentebb ismertetek. Ennek használata lehetővé teszi, hogy elkerüljük a gyakori hibákat, és buktatókat.. Első lépésként mindig gondoljuk át, hogy mit kérdez tőlünk a feladat. Ez azért fontos, mert csak akkor értünk egy kérdést, ha meg tudjuk fogalmazni a saját szavainkkal.. Rajzoljunk egy ábrát. Az ábra nem kell, hogy gondosan kidolgozott legyen (bár az sosem hiba), viszont fontos, hogy a rendszerünk lényeges elemeit pontosan ábrázolja. Tüntessük fel rajta a rendszer és a környezet között lezajló tömegáramlást, illetve energiatranszportot. A meglévő adatok feltüntetése az ábrán segít a könnyebb eligazodásban, és segíti a gyorsabb feladatmegoldást. Keressünk állandó mennyiségeket és ezeket is tüntessük fel az ábránkon. 3. Gondoljuk át a feladatot és anélkül, hogy bármilyen számítást végeznénk, próbáljuk megtippelni a feladat végeredményét. Ez nem totózást jelent! Ez arra szolgál, hogy végiggondoljuk, hogy az adott körülmények között milyen adat lehet reális. Ez a megközelítés nagyon hasznos abban, hogy valós világszemléletünk és mérnöki látásmódunk alakuljon ki. Ha ezt rendszeresen elvégezzük, akkor nem esünk bele abba a hibába, hogy lehetetlen eredményt elfogadunk azért, mert ez jött ki. Ha vízbe jeget rakunk, akkor a közös hőmérséklet nem lehet 6 C Ennyi a Nap felszínén van, nem a Földön. Ugyanilyen módon kell felvenni a szükséges, ám ismeretlen konstansokat. A légnyomás például többnyire vehető barnak, de ez nem mindig megfelelő, hiszen Kékestetőn ez az érték kevesebb, és ez akár %-os hibát is eredményezhet. 4. Használjunk fel alapvető fizikai törvényszerűségeket (tömegmegmaradás, Termodinamika. törvénye stb.), méghozzá a legegyszerűbb alakjukban. Amikor ezeket a törvényeket használjuk, akkor figyelni kell arra, hogy melyik az a rendszer, amelyikre alkalmazzuk, és hogy lehete arra használni. 5. Határozzuk meg azokat az állapothatározókat, amelyeket tudunk a meglévő egyenletek alapján. Mindig csak olyan állapothatározót számoljunk ki, amire feltétlenül szükségünk van a feladat megoldásához, vagy amelyet kérdeznek. Ha az egyenletet paraméteres alakban hagyjuk lehet, hogy találunk olyan rendezési módot a kérdezett mennyiségre, melyből kiesik egy olyan állapothatározó, melynek az értékét korábban ki szerettük volna számolni feleslegesen. Az is előfordulhat, hogy megfelelő rendezéssel esetleg kevesebb ismeretlen lesz az egyenletben, és így már megoldhatóvá válik egy-egy feladat. 6. Sose írjuk ki szolgai módon az összes jegyet amit a számológép kijelzőjéről leolvasunk. Ez hamis pontosságérzetet kelt abban, aki az eredményeket megnézi. Mindig csak annyi értékes jegyig írjuk ki az eredményt, amennyit a legkisebb pontosságú érték megenged. 7. Józan ésszel gondoljuk át, hogy a kapott eredmények reálisak, hihetőek-e. Hasonlítsuk össze a feladat elején feltételezett végeredménnyel. Ha egy benzinmotor hatásfokára 95%-ot kaptunk, akkor valószínű, hogy valahol számítási hibát vétettünk. Végezzük el újra a számításokat, hiszen ott a legkönnyebb tévedni. Jó módszer, ha a számológépbe a képleteket beírjuk egyszer, leírjuk a számolt eredményt, majd a számológép memóriáját törölve az egész képletet újra számoljuk. Ez lényegében két független számítást eredményez. Ha a két érték nem egyezik meg, akkor valamelyik rossz. Mivel nem tudjuk, hogy melyik, ezért a számítási procedúrát újra el kell végezni. Ismételegessük ezt addig, míg kétszer egymás után nem kapjuk ugyanazt az eredményt. Ezzel kiszűrhető az, hogy ne számoljunk el egy feladatot csupan azért, mert vala- 7

hol egy 8-as helyett 9-est ütünk. Ez a módszer kiváló olyan számológépekkel, amelyekbe be lehet vinni hosszabb képleteket is. 8. Az eredményekből igyekezzünk következtetéseket levonni. Mit jelent az, amit kiszámoltunk? Mire jó? Fontos azt is átgondolni, hogy milyen körülmények között jó, amit számoltunk. Ha egy berendezés működése megtakarítást eredményez, és ezt kiszámoljuk, akkor nem szabad elfelejteni, hogy azt a berendezést meg is kell venni, és üzembe is kell helyezni. Ez megnöveli azt az időt, ami alatt a készülék beszerelése megtérül. Egy feladatban ez nem biztos, hogy kérdés lesz, de hosszú távon mindenképpen tisztában kell lenni vele. 9. A számításokat mindig igyekezzünk tisztán és érthetően levezetni. Ez egyrészt egyfajta tisztelet azokfelé, akik megnézik, másrészt nagyon nagy segítség abban, hogy az esetleges hibákat megtalálhassuk benne mi magunk, vagy valaki más. Természetesen feltételezzük, hogy sosem hibázunk - ez lenne az ideális viszont tudjuk, hogy csak az nem hibázik, aki nem dolgozik, így sose féljünk attól, hogy valaki hibákat fedez fel munkánkban. Az itt ismertetett módszer nagyon hasznos, ha feladatokat kell megoldani, de nem szükséges minden alkalommal leírni külön-külön az egyes lépéseket. A lényeg azon van, hogy mindig kellően rendszerezve legyen, amit csinálunk. Sok esetben a megoldáshoz vezető legnagyobb akadály nem a tudás hiánya, hanem a kellő összeszedettség hiánya. Amíg nem fejlődik ki a saját módszerünk arra, hogy miként oldjunk meg feladatokat, addig próbáljunk meg ragaszkodni a fent említett lépésekhez. Ez a feladatgyűjtemény és segédlet minden írásbeli számonkérés alkalmával használható. 8

. FONTOSABB JELÖLÉSEK ÉS ÖSSZEFÜGGÉSEK Jelölések, fogalmak, definíciók p, nyomás V, térfogat T, absz. hőmérséklet m, tömeg R = RU M = cp cv, specifikus gázállandó; N, mólszám (anyagmennyiség) M, moláris tömeg, kg/kmol RU vagy R, univerzális gázállandó, 834,37 J/(kmol K) Q, hőmennyiség, J x = X m, tömegre fajlagosított extenzív PE = mgz, potenciális energia (z, magasság) κ = c p c V, adiabatikus kitevő; n, politrop kitevő κr cp =, izobár, κ R cv =, izochor κ fajhő U, belső energia, J H = U + pv, entalpia, J W munka, J E = U + PE + KE, teljes energia (zárt rendszer) dqrev ds = T, entrópia KE = mω, kinetikus energia ( ω sebesség) E = H + PE + KE, teljes n κ energia (nyitott r.) cn = cv, pol. fajhő n Ideális gáz pv állapotegyenlet: pv = mrt, pv = RT, = állandó (állandó tömegű rendszer) T fajlagos belső energia: du = c dt ; fajlagos entalpia: dh = c dt V T v fajlagos entrópia-változás: s = s s = cv ln R ln + T v, T p s = s s = cp ln R ln T p általános állapotváltozás: n pv n = állandó, pv = állandó, p n n T p V = T p = V speciális állapotváltozások: n =, izotermikus; n = κ, adiabatikus; n =, izobár; n =, izochor. I. főtétel zárt rendszer nyitott rendszer U U = Q + Wf, nyugvó H H = Q + Wt, E E = Q + Wf, mozgó E E = Q + Wt, V fizikai munka: W p( V ) dv f = technikai munka: t = ( ) V hőmennyiség: dq = cmdt (ha az adott fajhő értelmezve van) n p W V p dp Körfolyamatra: d U = d W + d Q = Q = W Q bevezetett Q elvont = W W termikus hatásfok (erőgép): η = ; hatásosság (hűtőgép/hőszivattyú): ε = Q W bevezetett p Q hasznos 9

II. főtétel d d diss ds = Q + ds Q dw prod = +, ahol W diss : disszipációs munka (belső irreverzibilitások) T T T transzportált entrópia produkált entrópia expanziós gép (pl. turbina): v izobár hőtágulási együttható: β = ( ) izoterm kompresszibilitási tényező: w Belső hatásfok valós η exp = w kompressziós gép: izentrop v χ T T p Termikus együtthatók η = comp w w izentrop valós p izochor nyomás együttható: σ = p ( T ) v v p ( ), izoterm rugalmassági modulus: p εt = v v = v Általános összefüggések HELMHOLTZ-féle szabad energia: F = U TS ; GIBBS-féle szabad entalpia: G = H TS T p T v s p s v MAXWELL-egyenletek: ( v ) = ( ), = s s ( ) v p, s s p ( v ) = ( ), T T ( ) v p = T T p p v Tds egyenletek: Tds = cvdt + T ( ) dv, Tds = cpdt T T ( ) dp. v T p u p u fajlagos belső energia: du = ( ) dt + T ( ) p dv T v T és cv = ( ) v T v h v fajlagos entalpia: dh h = dt + v T ( ) dp és c p = T T T p p T p. T. Többfázisú rendszerek (gőz-folyadék egyensúlyi rendszerek) az egyik fázis tömege Fajlagos gőztartalom: x =. ( ): folyadék fázis, ( ) gőz fázis a két fázis együttes tömege vegyes fázis esetén: v = xv + ( x ) v, h = xh + ( x ) h, s = xs + ( x ) s. CLAPEYRON-egyenlet: dp r =. CLAPEYRON CLAUSIUS-egyenlet: dt T ( v v ) ln p r p R T T. kompresszibilitási (reál) faktor: Z Valós közegek (van der Waals modell) pv RT v v mért = =. vdw áll. egyenlet: ( ) ( ) ideális a p + v b = RT v RTC vdw együtthatók: b = 8 p és 7 a = RT 8 C b, ahol T C : kritikus hőmérséklet, p C : kritikus nyomás. C

tömegarány: n U = U, H i= i g i = Gázelegyek és nedves levegő mi mi Ni Mi ; mólarány: yi = = ; parciális nyomás: p n n mi mi Ni M n i= n n = Hi, cx,e gicx, i i= i= =, S i= i= i n = Si. Keveredési entrópia: e i= mvíz pgőz abszolút nedvességtartalom: x = =,6 m p p ϕ = p p gőz gőz, telítési fajlagos entalpia: h x cp,levegő t x ( r cp,gőz t ) levegő, száraz össz gőz + = + + (telítetlen állapotban) n i= i NiRT = = yip. V mi S = yi ln y M R i, relatív páratartalom: i

3. ALAPFOGALMAK,. FŐTÉTEL 3.. Ellenőrző kérdések. Mi a termodinamikai rendszer? Miben különbözik egymástól a nyitott és a zárt termodinamikai rendszer?. Osztályozza a termodinamikai rendszert határoló falakat a tulajdonságai alapján! 3. Miben különbözik egymástól az adiatermikus és az adiabatikus fal? 4. Miből állapítható meg, hogy egy magára hagyott termodinamikai rendszer egyensúlyban vane? 5. A termodinamikai rendszer milyen tulajdonságait nevezzük állapotjelzőknek? 6. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek az extenzív állapotjelzők? Soroljon fel néhány extenzív állapotjelzőt! 7. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek az intenzív állapotjelzők? Soroljon fel néhány intenzív állapotjelzőt! 8. Milyen tulajdonságokkal rendelkeznek a tömegre fajlagosított extenzív állapotjelzők? Soroljon fel néhány ilyen állapotjelzőt! 9. Hogyan nevezzük az állapotjelzők közötti függvénykapcsolatot?. Írja fel az ideális gáz termikus állapotegyenletét!. Milyen mennyiségeket nevezünk termodinamikai anyagjellemzőknek?. Mit értünk a komponens fogalmán? 3. Mit értünk a fázis fogalmán? 4. Mikor tekinthető egy állapotváltozás kvázistatikusnak? 5. Mikor tekinthető egy állapotváltozás reverzibilisnek? 6. Mit nevezünk izobár, izochor, izoterm, adiabatikus, ill. politropikus állapot-változásnak? 7. Mi a munka, és mi a hő? 8. Definiálja az entrópiát! 9. Definiálja az áttolási (eltolási) munkát!. Szemléltesse p v diagramon egy egyensúlyi állapotváltozás fizikai (térfogat-változási) munkáját! Hogyan számítható ez a nyomás és a térfogat közötti összefüggés ismeretében?. Mit nevezünk hőkapacitásnak, ill. fajlagos hőkapacitásnak (fajhőnek)?. Milyen összefüggés van a valódi és az átlagos fajhő között? 3. Mit mond ki a termodinamika nulladik főtétele? 4. Mit jelent az egyensúly szimmetriája? 5. Mit jelent az egyensúly tranzitivitása? 6. Mi a hőmérséklet? 7. Mérhető-e közvetlenül a hőmérséklet? 3

3.. Bevezető feladatok, alapfogalmak., Adjuk meg jellegre helyesen, hogy miként változik egy gázzal töltött, dugattyúval lezárt hengerben a nyomás, ha: a) a dugattyút rögzítjük, és a hőmérsékletet növeljük, b) a hőmérsékletet állandó értéken tartjuk, a térfogatot pedig a dugattyú elmozdításával megnöveljük, c) rögzített dugattyúállásnál a hőmérsékletet állandó értéken tartjuk, és a hengerben lévő gáz mennyiségét megnöveljük.., Egy gázzal töltött, dugattyúval lezárt hengerben a gázt a dugattyú elmozdításával komprimáljuk (sűrítjük). a) Hogyan változik eközben a hőmérséklet, ha a henger hőszigetelt? b) Hogyan érhető el az, hogy a kompresszió során a hőmérséklet változatlan maradjon? c) Hogyan kell megváltoztatni a hőmérsékletet, ha a térfogatot a felére csökkentjük, de a nyomást változatlannak kívánjuk tartani? Milyen formában közlünk, illetve vonunk el energiát az egyes esetekben? A gázt tekintsük ideális gáznak, vagyis a termikus állapotegyenlete legyen pv=mrt. 3.3. Összetett feladatok, az egyensúly 3., Egy edényben kg tömegű és 5 C hőmérsékletű jeget és kg tömegű és C hőmérsékletű vizet összekeverünk. A jég fajhője, kj/(kg K), olvadáshője 335 kj/kg, a víz fajhője 4,87 kj/(kg K). Egyensúlyban van-e ez a rendszer? (Nem) Mik lesznek a rendszer jellemzői az egyensúlyi állapotban? (Az egyensúlyi hőmérséklet C, az egyensúly beállta után a víz mennyisége,47 kg, a jég mennyisége,53 kg.) 4

4. MUNKA, HŐMENNYISÉG ÉS ENERGIA 4.. Ellenőrző kérdések. Definiálja a belső energia fogalmát! Milyen tulajdonságai vannak a belső energiának?. Mi a munka, és mi a hő? 3. Definiálja a fizikai (térfogatváltozási) munkát! Milyen rendszerhez rendelhető ez a munka? Szemléltesse p v diagramban egy egyensúlyi állapotváltozás fizikai munkáját! 4. Definiálja a technikai munkát! Milyen rendszerhez rendelhető ez a munka? Szemléltesse p v diagramban egy egyensúlyi állapotváltozás technikai munkáját! 5. Mi a kapcsolat a fizikai, a technikai, a belépési és a kilépési munka között? Szemléltesse p v diagramban az összefüggést! 6. Mit nevezünk hőkapacitásnak, ill. fajlagos hőkapacitásnak (fajhőnek)? 7. Milyen összefüggés van a valódi és az átlagos fajhő között? 8. Milyen részekből tevődik össze a valamely keresztmetszeten átáramló közeg energiája? 9. Mit nevezünk körfolyamatnak?. Mit mond ki a termodinamika I. főtétele nyugvó zárt rendszerre?. Mit mond ki a termodinamika I. főtétele mozgó zárt rendszerre?. Írja fel az I. főtételt körfolyamatra! 3. Definiálja az entalpiát! Adja meg tulajdonságait! 4. Definiálja a torlóponti fajlagos entalpiát! 5. Írja fel a termodinamika I. főtételét stacionárius, nyitott rendszerre! 6. Írja fel a termodinamika I. főtételét instacionárius, nyitott rendszerre! 4.. Bevezető feladatok., Egy föld-munkagép markoló kanalát hidraulika működteti. A munkahengerbe másodpercenként liter térfogatáramú, bar nyomású hidraulika olaj áramlik. Mekkora teljesítményt fejt ki az olaj?., Mennyi mechanikai munkát kell végezni, ha egy,5 kg tömegű,,76 kj/(kg K) fajhőjű fadarabot C-ról a 4 C-os gyulladási hőmérsékletére kívánunk melegíteni dörzsöléssel? A dörzsölés következtében felszabaduló hőmennyiség fel a fadarabot, fele a környezetet melegíti. 3., Egy elektromos ellenálláson I = A erősségű áram folyik keresztül. Az ellenállás két kapcsa között a feszültség különbség U e = V. Mekkora teljesítményt fejt ki az áram? Mennyi hőt ad le az ellenállás másodpercenként, ha a folyamat időben állandósult? 4., Egy állandó fajhőjű ideális gáz adiabatikus és reverzibilis expanziója közben a gáz nyomása bar-ról 7 bar-ra, a hőmérséklete pedig 3 C-ról + C-ra csökken. Mekkora a gáz κ adiabatikus kitevője? 5

4.3. Összetett feladatok 5., Egy az, ábra szerinti kialakítású hengerben kezdetben kpa nyomású 5 dm 3 térfogatú és 5 C hőmérsékletű ideális gáz van, melyre κ =,4. A súrlódásmentesen mozgó dugattyú szabad úthosszát a rögzítőgyűrű határolja. Mennyi hőt kell közölni a gázzal, ha annak nyomását a kezdeti nyomásérték kétszeresére kívánjuk növelni! Ábrázolja a folyamatot az arányokat is megmutatva ideális gáz p v és T s diagramjában! Számítsa ki a közeg belső energiájának, entalpiájának és entrópiájának a megváltozását és a végzett munkát! rögzítőgyűrű L L 6. A kezdetben bar nyomású és C hőmérsékletű ideális gáznak tekinthető nitrogén gázt M =8 kg/kmol; κ =,4) először adiabatikusan és reverzibilisen kezdeti térfogatának hatodrészére ( N komprimálunk, majd állandó nyomáson expandáltatjuk, míg térfogata megnégyszereződik. A kezdeti és a végállapot közötti teljes folyamatra határozza meg az alábbi fajlagos értékeket: fizikai munka, technikai munka, közölt/elvont hő, valamint a belső energia, az entalpia és az entrópia megváltozása! Ábrázolja a folyamatokat ideális gáz p v és T s diagramjában! 6

5. AZ I. FŐTÉTEL ALKALMAZÁSA 5.. Ellenőrző kérdések. Definiálja a belső energia fogalmát! Milyen tulajdonságai vannak a belső energiának?. Mi a munka, és mi a hő? 3. Definiálja a fizikai (térfogatváltozási) munkát! Milyen rendszerhez rendelhető ez a munka? Szemléltesse p v diagramban egy egyensúlyi állapotváltozás fizikai munkáját! 4. Definiálja a technikai munkát! Milyen rendszerhez rendelhető ez a munka? Szemléltesse p v diagramban egy egyensúlyi állapotváltozás technikai munkáját! 5. Mi a kapcsolat a fizikai, a technikai, a belépési és a kilépési munka között? Szemléltesse p v diagramban az összefüggést! 6. Mit nevezünk hőkapacitásnak, ill. fajlagos hőkapacitásnak (fajhőnek)? 7. Mit nevezünk körfolyamatnak? 8. Mit mond ki a termodinamika I. főtétele nyugvó zárt rendszerre? 9. Mit mond ki a termodinamika I. főtétele mozgó zárt rendszerre?. Írja fel az I. főtételt körfolyamatra!. Definiálja az entalpiát! Adja meg tulajdonságait!. Definiálja a torlóponti fajlagos entalpiát! 3. Írja fel a termodinamika I. főtételét stacionárius, nyitott rendszerre! 5.. Bevezető feladatok., Az 5 kg tömegű állandó fajhőjű ideális gáz {adiabatikus kitevő,4, specifikus gázállandó 87 J/(kg K)} a T = K hőmérsékletű állapotból a T = 75 K hőmérsékletű állapotba került, miközben a nyomása a ¾-re csökkent. Mennyi volt az állapotváltozás belépési és kilépési munkája, valamint mennyivel változott a közeg belső energiája, entalpiája és entrópiája? Megállapítható-e a rendelkezésre álló adatokból a technikai és a fizikai munka?., Egy légkompresszorba kpa nyomású, 8 K hőmérsékletű és, kg/s tömegáramú levegő érkezik és azt 6 kpa nyomáson és 4 K hőmérsékleten hagyja el. A kompresszor a környezetének fajlagosan 6 kj/kg hőt ad le. A levegőt tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak, melyre: adiabatikus kitevő,4, specifikus gázállandó 87 J/(kg K). Mekkora a kompresszor teljesítmény igénye? 3., Az állandó fajhőjű ideális gázként kezelhető közeg egy nyitott rendszerben bekövetkező állapotváltozása során az entalpia 4 kj-lal növekedett, miközben a közeg kj munkát végzett. A gáz adiabatikus kitevője,4. Mennyi volt az állapotváltozás fizikai munkája? 4., A, m 3 térfogatú merev falú tartályban található, kezdetben 5 bar nyomású és C hőmérsékletű állandó fajhőjű ideális gáz { κ =,4, R = 87 J/(kg K)} a napsütés hatására 55 C-ra melegedett. Mekkora a gáz nyomása ebben az állapotban? Mennyivel változott meg a belső energiája, entalpiája és entrópiája? 7

5.3. Összetett feladatok 5., Egy merev falú hengerben, melyet egy súrlódásmentesen mozgó dugattyú határol, kezdetben 5 dm 3 térfogatú, C hőmérsékletű és,3 MPa nyomású szén-dioxid gáz van. A dugattyú olyan gyors elmozdításával, hogy a gáz ne tudjon a környezetével termikus kölcsönhatásba lépni, annak térfogatát az eredeti érték ötödrészére csökkentjük. Ezután a dugattyút ebben az állapotban rögzítjük, majd a gáz nyomását annak melegítésével másfélszeresére növeljük. A szén-dioxid gáz moláris tömege 44 kg/kmol, adiabatikus kitevője,3, az univerzális gázállandó 834,7 J/(kmol K). A széndioxid gáz tökéletes gáznak tekintendő! Határozza meg a teljes folyamatra a belső energia, az entalpia és az entrópia megváltozását, valamint a rendszer és környezete közötti munka és hőforgalmat! Ábrázolja a folyamatokat az ideális gáz p v és T s diagramjában! 6., Egy szikragyújtású belsőégésű motor expanziója a következőképpen modellezhető: izentropikus expanzió a felső holtponti térfogatról az alsó holtponti térfogat 8%-ig, majd ebből az állapotból politropikus expanzió az alsó holtpontig. A motor munkafolyamatának és munkaközegének egyes 4 jellemzői: A munkaközeg térfogata a felső holtpontban: VFH = 3 m 3, a kompresszióviszony: r V = 9,5, a munkaközeg hőmérséklete a munkaütem kezdetén: T = K, a munkaközeg nyomása a munkaütem kezdetén: p = 9395 kpa, a munkaközeg adiabatikus kitevője,4, specifikus gázállandója 87 J/(kg K), a politropikus kitevő,. A munkaközeget tekintse állandó fajhőjű ideális gáznak. Határozza a munkaközeg nyomását és hőmérsékletét az expanzió végén, valamint az expanzió során végzett munkát és a munkaközeg entrópiájának megváltozását! 7., Egy merev falú hengerben, melyet egy súrlódásmentesen mozgó dugattyú határol, kezdetben () 5 dm 3 térfogatú, 5 C hőmérsékletű és,5 MPa nyomású szén-dioxid gáz van. A gázzal a mellékelt T V diagramban ábrázolt állapotváltozás-sorozat történik (sorrend: 3). A szén-dioxid gáz moláris tömege 44 kg/kmol, adiabatikus kitevője,3, az univerzális gázállandó 834,37 J/(kmol K). A szén-dioxid gáz tökéletes gáznak tekintendő! Az állapotváltozások jellemzői: = = 4 V T V T Számítsa ki közeg nyomását a közbenső () és a végállapotban (3)! T V V Határozza meg a teljes folyamatra a belső energia, az entalpia és az entrópia megváltozását, valamint a rendszer és környezete közötti munka és hőforgalmat előjelhelyesen! Ábrázolja a folyamatokat az ideális gáz p v és T s diagramjában! T T 3 V 8

7. GÁZKÖRFOLYAMATOK ÉS A CARNOT-KÖRFOLYAMAT 7.. Ellenőrző kérdések. Az ideális gáz p v és T s diagramjában készített vázlatok segítségével ismertesse a CARNOT körfolyamatot! Mi a jelentősége a termodinamikában a CARNOT körfolyamatnak?. Definiálja a munkaszolgáltató körfolyamatok termikus hatásfokát! 3. Definiálja: a. a hűtőgép teljesítmény tényezőjét, b. a hőszivattyú teljesítmény tényezőjét! 4. Ábrázoljon egy fordított CARNOT körfolyamatot T s diagramban! Írja fel a teljesítmény tényező számítási egyenletét, ha a. hűtőgépről van szó, b. hőszivattyúról van szó! 5. Ismertesse a gázturbinában lejátszódó munkafolyamatot helyettesítő JOLUE BRAYTON-féle körfolyamatot! Válaszához készítsen kapcsolási vázlatot, valamint mutassa meg az állapotváltozásokat ideális gáz p v és T s diagramjában! Számozza össze a három rajzon az állapotváltozások kezdő, ill. végpontját! 6. Ismertesse a szikragyújtású belsőégésű motor (OTTO-motor) helyettesítő körfolyamatát! Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz p v és T s diagramjában! 7. Ismertesse a kompressziós gyújtású belsőégésű motor (DIESEL-motor) helyettesítő körfolyamatát! Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz p v és T s diagramjában! 7.. Bevezető feladatok., Egy munkaszolgáltató körfolyamatban az elvezetett hőáram 4 MW, a hasznos teljesítmény MW. A hőelvonás során a munkaközeg entrópiaárama 5 kw/k értékkel csökkent. Határozza meg az e körfolyamattal egyenértékű CARNOT-körfolyamat paramétereit és hatásfokát!., Egy körfolyamatban a hőközlés 45 K állandó hőmérsékleten történik, miközben a munkaközeg entrópiaárama MW/K értékkel növekszik. A hőelvonás szintén állandó hőmérsékleten történik, miközben a munkaközeg entrópiaárama,5 MW/K értékkel csökken. Az elvont hőáram 675 MW. Mennyi a körfolyamat termikus hatásfoka és hasznos teljesítménye? Mekkora a hőelvonás hőmérséklete? 3., Egy reverzibilis körfolyamat fenntartásához T be = 48 K átlag-hőmérsékleten 6 MW hőteljesítményt kell közölni. Az elvonandó hőteljesítmény 4 MW. A hőelvonás átlaghőmérsékletének 5 C-kal való emelkedése milyen és mekkora változást eredményez a körfolyamat termikus hatásfokában? 4., Egy körfolyamatban az izotermikus hőelvonás során a munkaközeg entrópiaárama MW/K értékkel csökkent. A hőbevezetés termodinamikai átlaghőmérséklete 45 K, a körfolyamat termikus hatásfoka /3. Mekkora a körfolyamat hasznos teljesítménye, valamint a bevezetett, ill. az elvont hőteljesítmény? 5., Egy T be = 46 K hőbevezetési átlaghőmérséklettel rendelkező 35% termikus hatásfokú körfolyamatból 6 MW hőteljesítményt kell elvonni. Mennyi lesz a körfolyamat teljesítménye, ha abban irreverzibilitás következtében 4 K hőmérsékleten Sɺ = kw/k entrópiaáram-növekedés lép fel? 9

6., Egy hűtőkörfolyamat, melynek hatásossága (hűtési tényezője) 4, a hűtött térből kw hőáramot von el. Mekkora hőáram kerül a környezetbe? 7., Egy fordított CARNOT-körfolyamat szerint működő hűtőgép a hűtött térből 4 kw hőáramot von el, miközben a környezetnek 45 C hőmérsékleten 5 kw hőteljesítményt ad le. Mekkora a hőelvonás hőmérséklete? 7.3. Összetett feladatok állapot 3 4 8., Egy állandó fajhőjű ideális gázzal { κ =,65, R=78,7 J/(kg K)}, zárt rendszerben lejátszódó körfolyamat egyes pontjaiban a közeg állapotjelzői, illetve az állapotváltozások az alábbi táblázat szerintiek: állapothatározók p = bar T = 8 K v = v p = 5,5 p 3 folyamat -> ->3 3->4 4-> munka/hő entrópia q w, = w, fizikai = kj/kg s 3,4 = J/(kg K) w technikai = kj/kg Milyen értékűek a táblázatban nem közölt állapothatározók (p, v, T) és folyamatjellemzők (munka, hő), valamint mekkora a körfolyamat termikus hatásfoka? Ábrázolja a körfolyamatot p v és T s diagramban!., A módosított DIESEL-körfolyamat szerint működő belsőégésű motor (SABATHÉ-körfolyamat) kompresszióviszonya (a térfogatok hányadosa) 3,6. Az égés állandó térfogaton kezdődik, majd állandó nyomáson fejeződik be. Az izochor égés során a nyomás 5 bar-ra növekszik, az izobár égés során a közeg a kétszeresére tágul. A kompresszió és az expanzió adiabatikus, a hőelvonás állandó térfogaton történik. Munkaközeg levegő, ill. füstgáz, melyekre: κ =,4 és R = 87 J/(kg K). Az óránként beszívott levegő mennyisége 8 kg, hőmérséklete 5 C, nyomása bar. - Ábrázolja a körfolyamatot p-v és T-s diagramban! Határozza meg a motor teljesítményét és hatásfokát!., Egy üresjárási (nincs hasznos teljesítmény) állapotban üzemelő gázturbinás egység 85% belső hatásfokú kompresszora C hőmérsékletű és bar nyomású kiinduló állapotból 6 bar nyomásra komprimálja a beszívott 3 kg/s tömegáramú levegőt. A 9% belső hatásfokú turbinában a munkaközeg bar nyomásra expandál. A kompresszió és az expanzió adiabatikus, a hőközlés és a hőelvonás izobár. A munkaközeg állandó fajhőjű ideális gáz, melynek specifikus gázállandója 87 J/(kg K), adiabatikus kitevője,4. Ábrázolja a körfolyamatot ideális gáz T s diagramjában! Határozza meg a turbinába belépő és onnan távozó munkaközeg hőmérsékletét! Számítsa ki az üresjárási állapot fenntartásához szükséges bevezetendő hőteljesítményt és a turbina, ill. a kompresszor teljesítményét!

8. A II. FŐTÉTEL ÉS AZ ENTRÓPIA 8.. Ellenőrző kérdések. Mit nevezünk nem megfordítható (irreverzibilis) folyamatnak?. Mit mond ki a termodinamika II. főtétele? 3. Definiálja az entrópiát! Adja meg az entrópia tulajdonságait! 4. Hogyan befolyásolja az entrópiát a folyamat irreverzibilitása? 5. Mit jelent a T S, illetve a p V diagramban az állapotváltozás görbéje alatti terület, ha az állapotváltozás reverzibilis? 6. Milyen állapotváltozás esetén növekszik, nem változik, ill. csökken a termodinamikai rendszer és környezet együttes entrópiája? 7. Milyen állapotváltozás esetén növekszik, nem változik, ill. csökken a termodinamikai rendszer entrópiája? 8. Ha egy munkát szolgáltató (erőgép) körfolyamatban irreverzibilitás következtében T hőmérsékleten S entrópia növekedés jön létre, és a hőelvonás hő-mérséklete T, akkor ez mekkora munka-veszteséget okoz? 9. Definiálja az egy fokozatú adiabatikus kompresszor belső hatásfokát! Válaszához készítsen vázlatot az ideális gáz T s diagramjában! Számozza össze a rajzokon az állapotváltozások kezdő, ill. végpontját!. Definiálja az egy fokozatú adiabatikus turbina belső hatásfokát! Válaszához készítsen vázlatot az ideális gáz T s diagramjában! Számozza össze a rajzokon az állapotváltozások kezdő, ill. végpontját! 8.. Bevezető feladat., Egy 5 MW teljesítményű és 9% belső hatásfokú gázturbinába 5 C hőmérsékletű füstgáz lép be, majd abból az adiabatikus expanzió után 65 C hőmérsékleten távozik. Mennyivel csökken turbinában az entrópiaprodukció, ha annak belső hatásfoka,5%-kal emelkedik? A füstgáz tökéletes gázként kezelendő, a turbina teljesítménye mindkét esetben ugyanaz. 8.3. Összetett feladatok., Egy merev falú, adiabatikusan szigetelt tartályt egy súrlódásmentesen mozgó dugattyú két részre oszt (lásd az ábrát). Kezdetben (amikor a dugattyú rögzített) az egyik (A) oldalon,5 kg tömegű, 5 C hőmérsékletű és 5 kpa nyomású, míg a másik (B) oldalon,5 kg tömegű, 7 C hőmérsékletű és 5 kpa nyomású gáz van. A dugattyú rögzítését megszüntetve azonos nyomás jön létre mindkét oldalon, majd a hőmérsékletek is kiegyenlítődnek, mivel a dugattyú diatermikus. A gáz izobár fajhője 9 J/(kg K), specifikus gázállandója 86 J/(kg K). Határozza meg a folyamat végén beálló egyensúlyi állapothoz tartozó nyomást és hőmérsékletet! Számítsa ki a folyamathoz tartozó entrópia változást! A B

3., Vizsgálja meg a termodinamika I. és II. főtételében foglaltak alapján, hogy alább leírt folyamat megvalósítható-e! Egy fekete doboz -ba (lásd az ábrát),3 kg/s levegő áramlik folyamatosan 5 C hőmérsékleten és kpa nyomáson. A dobozban valami történik a levegővel, majd azt két nyíláson elhagyja. Az első nyíláson kilépő levegő állapota 9 C, kpa és tömegárama, kg/s. A másik nyíláson kilépő levegő nyomása kpa. A doboz és környezete között kölcsönhatás nincs. A levegő izobár fajhője 4 J/(kg K), állandó érték. Határozza meg a második (3-as jelű) nyíláson kilépő levegő tömegáramát és hőmérsékletét! Számítsa ki a dobozban bekövetkező entrópiaáram-változást!,3 kg/s 5 C kpa Fekete doboz, kg/s 9 C kpa 3 kpa 4., Állandósult állapotban egy áthajtómű behajtó tengelyén keresztül 6 kw teljesítményt vesz fel. Súrlódás következtében a kihajtó tengelyen 588 kw teljesítményt ad le. Az áthajtóművet a környezeti levegő hűti, az elvont hőteljesítményt a Qɺ = αa( Tw T ), W egyenlet írja le, ahol α a hőátadási tényező, mértékegysége W/(m K), A az áthajtómű külső felületének nagysága, m, T w a berendezés külső felszínének hőmérséklete, K és T a külső levegő hőmérséklete, K. Határozza meg. az áthajtóműben, mint zárt rendszerben és. egy olyan rendszerben, mely az áthajtóművet és környezetének azon, elegendően nagy részét tartalmazza, ahol a hőátadás végbemegy bekövetkező entrópiaáram-növekedést az alábbi adatok mellett: α =,7 kw/(m K), A=,8 m és T = 93 K.

9. TÖBBFÁZISÚ RENDSZEREK 9.. Ellenőrző kérdések. Rajzolja fel egy tetszőleges egykomponensű közeg p T fázisegyensúlyi diagram-ját! Jellemezze a diagram vonalait és tartományait! Mutassa meg a hármaspontot és a kritikus pontot!. Milyen összefüggés van egy tetszőleges termodinamikai rendszer komponenseinek, fázisainak és szabadsági fokainak száma között? 3. Mechanikai analógia segítségével magyarázza meg a stabil, a metastabil és az instabil termodinamikai egyensúlyt! 4. Ismertesse az egykomponensű többfázisú közeg p v vagy T v diagramjának felépítését! Mutassa meg a hármas- és a kritikus pontot! 5. Értelmezze a következő fogalmakat: telítési nyomás, telítési hőmérséklet, telített folyadék, telített gőz, fajlagos gőztartalom és párolgáshő! 6. Milyen összefüggés van a fajlagos gőztartalom, a telített fázisok és a kétfázisú keverék közeg extenzív, ill. fajlagos extenzív állapothatározói között? 9.. Bevezető feladatok., Jól hőszigetelt merev falú tartályban lévő, ismeretlen fázisarányú, bar nyomású, dm 3 térfogatú,, kg tömegű kétfázisú közeggel 5 kj hőt közlünk. A hőközlés után a keverék közeg nyomása 3 bar, az entalpiája pedig 4 kj. A kezdeti állapotban a telített folyadék fajlagos entalpiája 89 kj/kg, míg a telített gőzé 3 kj/kg. Mekkora az egyes fázisok tömege a kezdeti állapotban?., Egy közeg száraz, telített gőzének entalpiája 555 kj/kg, telített folyadékáé pedig 666 kj/kg 3 C hőmérsékleten. A folyadékot tekintse összenyomhatatlannak, a fajhőjét pedig vegye 4 kj/(kg K)-nek. Mekkora entrópiaváltozást szenved el a közeg kilogrammonként, ha azt a 3 C hőmérsékletű száraz, telített gőz állapotból elindulva 3 C hőmérsékletű folyadékká alakítjuk? Ábrázolja a folyamatot T s diagramban! 9.3. Összetett feladatok 3., Egy dm 3 térfogatú, merev falú acéltartályban, fajlagos gőztartalmú, bar nyomású gőz-víz keverék található. Mennyi hőt kell a rendszerrel közölni, hogy a tartályban éppen száraz telített állapotú gőz legyen? Ábrázolja a folyamatot vízgőz T s diagramban! Mennyivel változik meg a közeg entrópiája? 6., Túlhevített vízgőzt ( MPa és 3 C) állapotból 5 C-ra hűtünk le állandó térfogaton. Határozza meg a hűtés befejeztével a közeg nyomását, fajlagos gőztartalmát és fajlagos entalpiáját! Fajlagosan mennyi hőt kell elvonni a kívánt hőmérséklet eléréséhez? Ábrázolja a folyamatot T v és T s diagramokban 3

. IDŐBEN ÁLLANDÓSULT HŐVEZETÉS.. Alapvető kérdések. Milyen hőterjedési módot nevezünk hővezetésnek?. Írja fel és értelmezze a hővezetés FOURIER-féle alapegyenletét! 3. Értelmezze a hőellenállás fogalmát! 4. Értelmezze és magyarázza a kontakt hőellenállás fogalmát! 5. Milyen szabályok érvényesek a hőellenállásokkal való műveletekre?.. Bevezető feladatok., Számítsa ki a m felületű 3 mm vastag betonfal hőellenállását! A beton hővezetési tényezője,8 W/(m K).., Egy kétrétegű síkfal egyes rétegeinek vastagsági és hővezetési adatai a következők: 5 cm,, W/(m K), 3 cm, W/(m K). A vékonyabb réteg felszínének hőmérséklete C, a vastagabb rétegé pedig 5 C. Határozza meg az érintkezési sík hőmérsékletét és a fal m -es felületén átjutó hőáramot!.3. Összetett feladatok 3., Egy m átmérőjű félgömb alakú kemence térben 5 C-os közeg van. A kemencefal cm vastag és anyagának hővezetési tényezője,55 W/(m K). A félgömb külső felszíne és a külső C-os levegő közötti hőátadási tényező 5 W/(m K), a kemence belsejében pedig 65 W/(m K). Határozza meg a kemencetérből a félgömb alakú részen keresztül távozó hőáramot és a külső felszín hőmérsékletét! 4., Egy hőszigetelés kritikus méretének azt a méretet nevezzük, melynél a fellépő hőveszteség (változatlan külső körülmények mellett) a legnagyobb. Legyen a cm külső átmérőjű vékonyfalú alumínium gömbtartályban C hőmérsékletű közeg. A közeg és a tartály belső fala közötti hőátadási tényező 5 W/(m K). A tartály hőellenállása elhanyagolható. A külső levegő hőmérséklete C, hőátadási tényező a szigetelés és a levegő között 3 W/(m K). A szigetelőanyag hővezetési tényezője,5 W/(m K). Mekkora a szigetelés kritikus mérete és mekkora az ekkor fellépő hőveszteség? 5., A mellékelt ábra egy faház falának szerkezetét mutatja. Az egyes anyagok hővezetési tényezői a következők: keményfa borítás:,94 W/(m K), fa tartóoszlop:,6 W/(m K), gipszkarton:,7 W/(m K), üveggyapot:,38 W/(m K). A vizsgált fal magassága,5 m és olyan egység szélességű, melyet az ábrán a szaggatott vonal határol. Mennyi a teljes falszerkezet ( egység) hőellenállása? mm 8 mm impregnált keményfa külső borítás 57 mm tartóoszlopok 4 mm üveggyapot szigetelés gipszkarton 3 mm 5

6., Egy háromrétegű sík fal sorrendben 3 mm vastag acél (λa= 45,4 W/(m K)), ismeretlen vastagságú salakgyapot (λs=,98 W/(m K)) és 4 mm vastag polipropilén (λp=,w/(m K)) alapanyagú rétegből áll. Határozza meg a salakgyapot réteg vastagságát és felületi hőmérsékleteit, ha a fal külső felületeinek hőmérséklete 3 C illetve 4 C és a falon átjutó hőáramsűrűség 35 W/m. Számítsa ki a fal egyenértékű hővezetési tényezőjét! 6

. BORDÁK HŐVEZETÉSE.. Alapvető kérdések. Írja fel a borda hőmérsékleteloszlásának meghatározására szolgáló differenciálegyenletet állandó keresztmetszetű rúd esetére! Adja meg a peremfeltételeket különböző esetekre!. Értelmezze a bordaparaméter fogalmát! 3. Definiálja a bordahatásfok fogalmát! 4. Definiálja a borda hőellenállását! 5. Milyen célokat szolgálhat a bordázat alkalmazása?.. Bevezető feladatok., A 8% bordahatásfokú, egyik végén izotermikusan tartott rúdborda 8 W hőáramot ad le a környezetének. Mennyi lenne a leadott hőáram, ha a borda végtelen nagy hővezetési tényezőjű anyagból készülne?., A H = 5 mm hosszúságú és m = 6 /m bordaparaméterű egyik végén izotermikusan tartott kör keresztmetszetű rúdborda W hőáramot ad le a környezetének. Hogyan változik a hőáram, ha a borda átmérőjét a kétharmadára csökkentjük és minden egyéb paraméter változatlan? 3., A H = 5 mm hosszúságú és m = 5 /m bordaparaméterű egyik végén izotermikusan tartott rúdborda 8 W hőáramot ad le a környezetének. Hányszorosára változik a hőáram, ha a borda hosszát a /3-ával növeljük és minden egyéb paraméter változatlan?.3. Összetett feladatok a b d c c 4., Egy elektronikai alkatrész az ábra szerinti hűtőbordával van felszerelve. Geometriai méretek: a=5 mm; b=5 mm; c=5 mm; d=5 mm. A borda hővezetési tényezője: λ=4 W/(m K); hőátadási tényező a borda és a levegő között: α=5 W/(m K). A borda által elvezetendő hőteljesítmény: 5 W. Határozza meg a fenti geometriai és egyéb adatok mellett mekkora lehet az üzemeltetés maximális környezeti hőmérséklete, ha az alkatrész maximális hőmérséklete C lehet, és a hőfejlődés az a d keresztmetszetű hátlapon (csíkozott) történik! cm 4 cm,5 cm cm 5., Egy alkatrészt a mellékelt ábra szerinti kialakítású duralumínium bordázattal látnak el. Az alkatrész felszínének hőmérséklete C. Az alapfelületet és a bordákat 3 C hőmérsékletű áramló levegővel hűtik, melyet 35 W/(m K) hőátadási tényező jellemez. Határozza meg az alkatrész m m-es része által leadott összes hőteljesítményt (bordák+alapfelület), ha a bordák véglapjának hőleadása nem elhanyagolható; a borda véglapjának hőmérsékletét,; a borda hatásfokát! A bordázatlan esethez képest hányszoros hőteljesítmény leadására képes a bordázott felület? 7

. IDŐBEN VÁLTOZÓ (TRANZIENS) HŐVEZETÉS.. Alapvető kérdések. Írja fel a hővezetés általános differenciálegyenletét szilárd testre!. Mikor nevezünk két fizikai (hőtani) jelenséget hasonlónak? 3. Vázlattal és egyenlettel ismertesse a hővezetés általános differenciálegyenletének megoldása során alkalmazott elsőfajú peremfeltételt! 4. Vázlattal és egyenlettel ismertesse a hővezetés általános differenciálegyenletének megoldása során alkalmazott másodfajú peremfeltételt! 5. Vázlattal és egyenlettel ismertesse a hővezetés általános differenciálegyenletének megoldása során alkalmazott harmadfajú peremfeltételt! 6. Definiálja a FOURIER-számot! Milyen fizikai értelmezése van ennek a hasonlósági számnak? 7. Definiálja a BIOT-számot! Milyen fizikai értelmezése van ennek a hasonlósági számnak?.. Bevezető feladatok., Modellkísérletünk során egy cm vastag,,6 W/(m K) hővezetési tényezőjű falat alkalmaztunk modellként és a lehűlési folyamat során a hőátadási tényező értéke 54 W/(m K) volt. Mekkora a hőátadási tényező a modellezett esetben, ha a falvastagság,6 m és a hővezetési tényezője pedig W/(m K)?., Egy lehűlő fal hőmérsékleteloszlásának vizsgálatára modellt építenek. Az eredeti fal jellemzői: méret 56 mm, hővezetési tényező W/(m K), sűrűség kg/m 3, fajhő 4 J/(kg K); a fal és a hűtőközeg közötti hőátadási tényező 3 W/(m K); a vizsgálati időköz 3 s. A modell anyaga PVC. A modell és a hűtőközeg közötti hőátadási tényező 5 W/(m K) Milyen időközönként kell a méréseket a modellben elvégezni és milyen vastag legyen a modell fal?.3. Összetett feladatok 3., Egy 5 mm átmérőjű, 8 kg/m 3 sűrűségű, 45 W/(m K) hővezetési tényezőjű, 7 J/(kg K) fajhőjű hosszú henger hőmérséklete C. A hengert 6 C hőmérsékletű folyadékba dobják. A hőátadási tényező a henger és a folyadék között W/(m K). Mennyi idő múlva lesz a henger középvonalában a hőmérséklet 3 C, és mekkora lesz ekkor a felszínén a hőmérséklet? 4., Egy hűtőházban frissen szedett almát kell lehűteni a kezdeti egyenletes 3 C hőmérsékletről C-ra. Az almákat közelítőleg tekintsük cm átmérőjű gömböknek, anyagjellemzőit pedig az bar nyomású, C hőmérsékletű vízével azonosnak. A hűtőtérben lassan áramló levegő hőmérséklete 5 C, a levegő és az almák közötti hőátadási tényező 6 W/(m K) Mennyi ideig tart a lehűtés? Mennyi hőt kell elvonnia a hűtőgépnek, ha db almát kell lehűteni? Ez mekkora átlagos hűtőteljesítményt jelent? 5., Egy 5 cm vastag beton burkolat a nyári napsütésben 4 C hőmérsékletre melegedett fel. Egy hirtelen zápor kezdi el hűteni. A felszín alatt,5 cm mélyen beépített hőmérő perc múlva 5 C-ot mutat. Mekkora a hőátadási tényező a beton és a záporcseppek között? Az esővíz hőmérséklete 5 C, a beton hővezetési tényezője W/(m K), sűrűsége kg/m 3, fajhője 88 J/(kg K). 9

3. MELLÉKLETEK Állapotdiagramok R79: Levegő; R78: Víz-vízgőz (H O); R77: Ammónia (NH 3 ); R6a: Izobután (-metil propán, CH(CH 3 ) ); R34a:,,,-tetrafluoretán (CH FCF 3 ). Nedves levegő MOLLIER-féle entalpia-koncentráció diagramja Nedves levegő pszichrometrikus diagramja 3

3, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, -, -, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -, -, -, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -, R79 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic Properties in SI h = 48 h = 5 h = 5 h = 56 h = 54 h = 6 h = 6 h = 58 h = 44 h = 4 h = 46 h = 4 h = 38 h = 36 5 h = 34 7,5 5, h = 3,5-4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 3 34 36 38 4 4 44 46 48 5 Fajlagos entrópia, J/(kg K),,75,5 5 5 7,5 5,,5,,75,5 h = 68 h = 66 h = 64 h = 78 h = 76 h = 74 h = 7 h = 7 h = 8,5,5,,5 5,,,5,5,,5 DTU, Departm ent of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m ^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen. 4--9 Levegő v=, v=,5 v=,5 v=,5 v=, v=,5 x =,,,3,4,5,6,7,8,9 h = 4 6 8 4 6 8 3 Hőmérséklet, C 3

h = 6 78 76 74 7 7 68 66 64 6 6 58 56 54 5 5 48 46 44 4 4 38 36 34 3 3 8 6 4 8 6 4 8 6 4 R78 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic properties in SI 5 5 5 5 5,,5,,5,5,,5,5, h = 4,,5 5, 5 5 5 5,5,5,,5,5,,5 DTU, Department of Energy Engineering h in [kj/kg]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen. 5-9-6 h = 4 h = 39 h = 38 h = 37 h = 36 h = 35 h = 34 h = 33 h = 3 h = 3 5 h = 3 5 5,,5 h = 9 h = 8, h = 7,5,5,,5,5, v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, v=,5 v=,5 v=, v=,5 v= 5, v= v= 5 v= 5 x =,5,,5,,5,3,35,4,45,5,55,6,65,7,75,8,85,9,95 h = 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 5 5 5 3 35 4 45 5 55 6 65 7 75 8 85 9 95 5 5 Fajlagos entrópia, J/(kg K) Hőmérséklet, C 33

75 7 65 6 55 5 45 4 35 3 5 5 5 8 p =, p =,5 p =,5 p =, p =,5 p =,5 p =, p =,5 p = 5, p = p = 5 p = 5 p = p = 5 p = 5 p = 4 4 38 36 34 3 3 8 6 4 8 6 4 8 6 4 R78 Ref :W.C.Reynolds: Thermodynamic properties in SI,5, 5, 5,,5 DTU, Department of Energy Engineering T in [ C]. v in [m^3/kg]. p in [Bar] M.J. Skovrup & H.J.H Knudsen. 5-9-6,,9,8,7,6,5,4,3,,,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,, Fajlagos entrópia, kj/(kg K) Fajlagos entalpia, kj/kg 34

8 6 5 7 7 5 4 5 6 4 35,5,,5, 5, 45 395 R78, Víz-vízgőz t, C; v, m 3/kg, p, bar 5 375 55 355 5 335 35 3 95 75 p =, p =,5 p =, p =,4 p =,3 p =, 6 p =,8 p =, p =,5 p =, p =,3 p =,4 p =,6 p =,8 p =,5 p =, p = 3, p = 4, p = 6, p = 8, p = p = 5 p = p = 3 p = 4 p = 6 p = 8 p = p =, p = 5 p = p = 3 p = 4 p = 6 p = 8 55 35 5 5 5,9 5,9,8 5 5, 8,75,6,55,5,45 95 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,7,65 Fajlagos entrópia, kj/( kg K) Fajlagos entalpia, kj/kg 35

36

4. IDŐBEN ÁLLANDÓSULT HŐVEZETÉS 4.. Összetett szerkezetek hőellenállása., A felületű fal hőátadása α T T w R = / ( α A)., A felületű sík fal hővezetése T R = δ / ( λ A) δ T 3., L hosszúságú, n oldalú szabályos sokszög alapú hasáb, furattal T r r T ha r r R ln( r / r ) K r, ha L π λ r = > n K n K 3,5696 8,57 4,78 9,44 5,67,354 6,67, 7,76 T T 4., gömbhéj ( / r ) ( / r ) R = 4 π λ r 5., L hosszúságú cső ln( r / r ) R = L π λ r 6., L hosszúságú henger excentrikus furattal r T e T r arch( x / y) R =, L π λ x = r + r e, y = r r 37

7., L hosszúságú elliptikus cső T T b B ln(( A + B) / ( a + b)) R =, L π λ ha A B = a b a A 8., L hosszúságú négyzet kereszt-metszetű hasáb négyzetes furattal T ha a / b >,4,93 ln( a / b),5 R = L π λ T b a ha a / b <,4,785 ln( a / b) R = L π λ 9., L hosszúságú téglalap keresztmetszetű furatos hasáb [ π ] ln ( a) / ( r ) K R =, L π λ T T r a ha a / r > b/a K b/a K,,658,5,34,5,793,5,6,5,356 3,,3,75,63.,,75 b ha b/a= és a>r ln a,54 r R = π L λ 38

., szilárd felszínen lévő izotermikus körlap (vékony lemez) T r R T = 4 r λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője., szilárd felszínen lévő izotermikus téglalap (vékony lemez) L T b ha L b 4 L ln R = b L π λ T λ a szilárd közeg hővezetési tényezője., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott L hosszúságú henger T h arch r R = π λ L T r h ha h>3r h ln r R = π λ L λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 3., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott gömb T r T h ha h / r > r R = h, 4 π λ r λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 39

4., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott hosszú hasáb ha L>(a, b, h) T b T h R = h h,756 L λ ln + a b,59,78 a L λ a szilárd közeg hővezetési tényezője 5., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott vékony körlap T h D 5,67 h R = 4,45 D λ T λ a szilárd közeg hővezetési tényezője D 6., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott függőleges henger T T h 4 h ln D R = π h λ λ a szilárd közeg hővezetési tényezője D 7., tetszőleges közegben lévő L hosszúságú hengerek (csövek) közötti hővezetés D D T T x ha L ( D, D ) 4x D D arch D D R = π λ L λ a közeg hővezetési tényezője 4

8., szilárd közegbe (pl. földbe) ágyazott vízszintes helyzetű, azonos átmérőjű, azonos osztású csövekből álló csősor T ha L D, z és w >,5D R egy henger ln w πz sh Dπ w = πλl z L w w w D, T 9., az A felületű, T és T hőmérsékletű (tetszőleges helyzetű) testek közötti sugárzásos hőtranszporthoz rendelhető hőellenállás ha T T << T + T R = sug. 3 T T 4σAε εφ +, 4

4.. Kontakt (érintkezési) hőellenállások tájékoztató értékei anyagpáros, közrezárt közeg és egyéb jellemzők szilícium (pl. microchip) és alumínium közrezárt levegővel és 7..5 kpa szorítónyomás mellett alumínium/alumínium, indium fóliával kpa szorítónyomás mellett hőellenállás, m ( 3,..6, ) 3,7 3 alumínium/alumínium, ólombevonat mellett (,.., ) 3 szilícium (pl. microchip) és alumínium, mm vastagságú epoxy ragasztóréteggel (,..9, ) 3 kerámia/kerámia és levegő (,5..3, ) 3 kerámia/fém és levegő (,5..8,5) 3 grafit/fém és levegő ( 3,..6, ) 3 rozsdamentes acél/rozsdamentes acél és levegő (,7..3,7 ) 3 3 alumínium/alumínium és levegő 7,5 3 alumínium/alumínium és szilikonolaj 5,5 rozsdamentes acél/alumínium és levegő ( 3,..4,5 ) 3 réz/réz és levegő (,..5, ) 3 vas/alumínium és levegő ( 4,..4,) 3 K W 4

5. BORDÁK HŐVEZETÉSE 5.. Állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák Eset Peremfeltétel a borda véglapjánál t, α t ( ) = t H x U = w+ t A = wt A w t A Végtelen hosszúság B Q x Adiabatikus véglap. x t(h). Q x = x =H d t λa dx = x = H t = t t. Q b közeg, t. Q konv. t(h) = t H t t, α C Előírt véglap hőmérséklet x = H (x) = t (x) t t t.. Q b = dq konv. H x A D D. Q x t (H). Q conv.. Q x = Q konv. t λa d = αa t (H) dx x = H x x U= π D A = π D /4 Harmadfajú peremfeltétel x = H 5-. ábra. Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák jellemzői és véglap peremfeltételei eset A B C D 5. táblázat. Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák hőfokeloszlását és leadott hőáramát megadó egyenletek a 5-. ábra jelöléseinek felhasználásával, ahol véglap peremfeltétel végtelen hoszszú rúd, H, t H = ( ) adiabatikus véglap, d t = x d x = H előírt hőmérséklet, t H = t ( ) H harmadfajú, hőfokeloszlás, ( ) ( ) t x t m = αu λa = leadott hőáram, Q ɺ b = M = αu λa t mx e ( x) ( ) ch m H ch mh ( ) ( ) sh( mh ) th t sh mx + sh m H x ( ) α ( λ ) ch( ) α ( λ ) ( ) sh ( ) ( ) sh( ) ch m H x + m m H x mh + m mh sh M ch M th( mh) ch( mh) th t M sh ( mh ) α λm α λm ( mh ) + ch( mh ) ( mh ) + sh( mh ) 43

d t λa = x d x = H ( ) = αa t H 5.. Változó keresztmetszetű bordák Bordaparaméter ezekben az esetekben: m = α λ d 5... TÜSKEBORDÁK α, T α, T T λ d T λ d H H a) kúp alakú tüskeborda b) konkáv parabolikus tüskeborda α, T T λ d H c) konvex parabolikus tüskeborda 5-. ábra. Változó keresztmetszetű tüskebordák geometriai jellemzői típus a) b) hőmérsékleteloszlás, t( x) = t 5. táblázat. A 5-. ábrán szereplő bordatípusok számítási összefüggései ( ) ( ) H I M x x I M H x H,5+,5 9+ 4M leadott hőáram, Q ɺ b = bordahatásfok, η b = πλd ( ) M t I M H I ( M H ) 4 H I ( M H ) M H I ( M H ) ( ) πλd t 3 + 9 + 4M 8 H 8 m H 9 segédparaméter, M = 4αH λd + + λd 4αH 44

c) 4 I Mx 3 4 I MH 3,75,75 πλ 4 I Mx,75 d M t 3,5 H 4,75 I MH 3 4 I mh 3 3 4 mh I 3 mh 4α H λd 5... LEMEZBORDÁK α, T T L T L α, T λ d d λ H H x e a) háromszög oldalprofil b) trapéz oldalprofil T L α, T T L α, T λ d d λ H H c) konkáv parabola oldalprofil d) konvex parabola oldalprofil 5-3. ábra. Változó keresztmetszetű lemezbordák geometriai jellemzői típus hőmérsékleteloszlás, I ( m Hx ) a) I 5 3. táblázat. A 5-3. ábrán szereplő bordatípusok számítási összefüggései ( mh ) ( ) t x t = leadott hőáram, Q ɺ b = λ I mdl t I ( mh ) ( mh ) b) lásd a táblázat alatt külön sorban c),5+,5 + 4m H x λdl t ( 4m H ) H H,5,75 ( 4 3 ),5 x I 3 mh x d) H I 3 ( 4 3 mh ) Trapéz oldalprofilú borda hőfokeloszlása: λ 3 mdl t I 3 bordahatásfok, η b = I mh I ( mh ) ( mh ) + + + + 4m H I ( 4 3 mh ) ( 4 3 mh ) 3 ( 4 3 mh ) ( 4 3 ) I 3 mh I mh 45

leadott hőárama: hatásfoka: ( ) t x ɺ t = ( ) ( e ) + ( ) ( e ) I ( mh ) K ( m Hxe ) + K ( mh ) I ( m Hxe ) I ( mh ) K ( m Hxe ) K ( mh ) I ( m Hxe ) ( ) ( e ) ( ) ( e ) I ( mh ) K ( m Hxe ) K ( mh ) I ( m Hxe ) ( ) ( e ) ( ) ( e ) I m Hx K m Hx K m Hx I m Hx Qb = λmd L t I mh K m Hx K mh I m Hx η b λ md I mh K m Hx K mh I m Hx =. Hα,, 8 n = 3 In (x ) 6 4,5,5,5 3 3,5 4 x 46

,5,5,75,5 n = 3 In (x ),5,75,5,5,5,5 5-4. ábra. A módosított elsőfajú n-ed rendű BESSEL-függvény ( I n ) helyettesítési értékei x 5 4 3 n = 3 Kn (x ),5,5,5 3 3,5 4 x 47

5 4 3 n = 3 Kn (x ),5,5 5-5. ábra. A módosított másodfajú n-ed rendű BESSEL-függvény ( K n ) helyettesítési értékei x 48

5..3. TÁRCSABORDÁK 5..3.. Állandó vastagságú tárcsaborda 8 6 η b (%) = r c /r 4 3 r r L t r c = r + t/ L c = L + t/ A p = L c t,5,,5,,5 L,5 C α λa 5-6. ábra. Állandó vastagságú tárcsaborda hatásfoka a borda jellemzőinek függvényében p 5 Bordaparaméter: Hőfokeloszlás: Leadott hőáram: Hatásfok: α m = λ t ( ) K ( mr ) I ( mr ) + I ( mr ) K ( mr ) = t I ( mr ) K ( mr ) + I ( mr ) K ( mr ) t x ɺ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) I mr K mr K mr I mr Qb = r λmt t I mr K mr I mr K mr η b ( r ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) r I mr K mr K mr I mr = m r I mr K mr I mr K mr 49

5..3.. Változó vastagságú tárcsabordák Hőáram az alábbi két esetben: ɺ = ( ) Q π r r α t η b a b 5-7. ábra. Háromszög profilú tárcsaborda hatásfoka a bordára jellemző paraméter függvényében 5-8. ábra. Hiperbolikus profilú tárcsaborda hatásfoka a bordára jellemző paraméter függvényében 5

6. IDŐBEN VÁLTOZÓ HŐVEZETÉS 6.. Alapvető összefüggések 6... FONTOSABB MENNYISÉGEK ÉS JELÖLÉSÜK hőfokvezetési (termikus diffúziós) tényező: térfogati hőforrássűrűség: jellemző méret (általában): a megállapodás szerinti jellemző méret ettől eltérhet dimenziótlan hőmérséklet: 6... HŐVEZETÉS ÁLTALÁNOS DIFFERENCIÁLEGYENLETE 6... Derékszögű (DESCARTES) koordinátarendszerben FOURIER-BIOT-féle egyenlet: t qɺ V t t t qɺ V = a t + = a + + + τ ρ cp x y z ρ c t Állandósult állapotra = τ, POISSON-egyenlet: ɺ qv t t t qv = a t + = a + + + ρ cp x y z ρ cp Hőforrásmentes állapot ( q = ) V ɺ p.. λ a =, m /s, ρ c p Q qɺ V = ɺ, W/m 3, V térfogat X =, m, felület Ttényleges ϑ =. T ɺ (diffúzióegyenlet, FICK-törvény): t t t t = a t = a + +. τ x y z Állandósult állapot, hőforrásmentes eset, LAPLACE-egyenlet: t t t = a t = a + +. x y z 6... Henger koordinátarendszerben Koordináták közötti összefüggések: FOURIER-BIOT-féle egyenlet: kezdeti x = r cosφ, y = r sin φ, z = z. t t t t qɺ V = a r + r + + τ r r r r φ φ z ρ c 6...3. Gömbi koordinátarendszerben Koordináták közötti összefüggések: x = r cosφsinθ, y = r sin φsinθ, z = cosθ. FOURIER-BIOT-féle egyenlet: p.

t t t t qɺ V = a r + + + τ r r r r sin θ φ φ r sinθ θ θ ρ c p. 6..3. HASONLÓSÁGI KRITÉRIUMOK a τ α X FOURIER-szám: Fo =, BIOT-szám: Bi =. X λ A koncentrált paraméterű problémaként való kezelhetőség feltétele: Bi,. 6.. Számítást segítő nomogramok A következő ábrák (HEISLER-féle diagramok) végtelen nagy, véges vastagságú sík falra (jellemző méret: X, a vastagság fele), végtelen hosszú hengerre (jellemző méret: X=R, a sugár) és gömbre (jellemző méret: T T X=R, a sugár) vonatkoznak. A dimenziótlan hőmérséklet: ϑ =, ahol T a kérdéses hely hőmérséklete. Harmadfajú peremfeltétel esetén a helytől függő dimenziótlan hőmérsékletet korrekciós tényezőjét a T T ϑx T T θ = = egyenlet szerint kell értelmezni. A hőleadási (GRÖBER-féle) diagramokon a τ időtartam ϑ T T C C alatt leadott Q hőmennyiség aránya szerepel a kezdeti (tárolt) ( ) 6... DIMENZIÓTLAN HŐMÉRSÉKLETEK ELSŐFAJÚ PEREMFELTÉTEL ESETÉN = hőmennyiséghez képest. Q cm T T 6-. ábra. Sík fal dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 5

6-. ábra. Henger dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 6-3. ábra. Gömb dimenziótlan hőmérséklete elsőfajú peremfeltétel esetén 53

6... DIMENZIÓTLAN HŐMÉRSÉKLETEK HARMADFAJÚ PEREMFELTÉTEL ESETÉN Fo 6-4. ábra. Sík fal középsíkjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén T T C ϑc = T T 54

Fo 6-5. ábra. Henger középvonalának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén T T C ϑc = T T 55

Fo 6-6. ábra. Gömb középpontjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén T T C ϑc = T T 56

C ϑ C = T T T T,,7,5,4,3,,,,5,4,8,, 5 3 4 3,5,,8,6,4 3 9 7 6 6-7. ábra. Sík fal középsíkjának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén a 6-4. ábra nagyított részlete Fo 4 esetére Fo,,,9,8,4,7,6 x X =,6 ϑ x T T = = ϑ T T θ C C,5,4,3,,,8,9,,,,5,,,5,, 5, 5 /Bi 6-8. ábra.sík fal dimenziótlan hőmérsékletének helyfüggő korrekciós tényezője (használható ha Fo>,) x 57

6-9. ábra. Henger középvonalának dimenziótlan hőmérséklete harmadfajú peremfeltétel esetén a 6-5. ábra nagyított részlete Fo 4 esetére Fo,,,9,8,4,7,6 r R =,6 ϑ r T T = = ϑ T T θ T T C C C ϑ C = T T,5,4,3,8 R,,,9, r,,,5,,,5,, 5, 5 /Bi 6-. ábra.henger dimenziótlan hőmérsékletének helyfüggő korrekciós tényezője 58