MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze.

I. Számok, műveletek számokkal. Töltsük ki a táblázat hiányzó részeit! a - 5 0 - - - b - - 6 - -8 - - c -5 9-7 5-5 a+b-c -+- (-5)= a-(b+c) a-(b+c) (a+b)-c b-a+c a +b -ab. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) + { [ (5 + ) ] + 96} + = b) 9 { + [8 ( + ( )) + 5] 0} =. Gergő nyírja a füvet a kertben. A kert 7 m. Amikor lenyírta a terület részét, Domi 7 átvette tőle a fűnyírót. Hány m -t nyírt le Gergő? Mekkora rész maradt Dominak?. Anyu behozott a gyerekének egy tálca süteményt. A gyerekek megettek szelet süteményt. Ez az összesnek a 6 e volt. Hány szelet sütemény volt a tálcán? Egy gyerek az 7 összes süteménynek hányad részét ette meg, ha mindenki egyformán evett? 5. a) [ ] : [ ]= e) [ 7 8 ] [+ ] 0 = 9 b) : = f) 0 [+ ] : [+ 5 ] = c) [ ] 0 = g) [ 5 5 6 ] : 7 [+ ] = d) 0 = h) 7: ( 9) =

6. Töltsük ki a táblázat hiányzó részeit! a b c ab + b: c 5 5 6 5 9 6 5 5 6 0, 0, 0, 0,75 0,5 0,5 (a + c): ( c) (ac bc): (b a): ( a) 7. Írd le növekvő sorrendben a következő számokat! a) - ; -; -,5; -0,0; - ; -5 b) -, ; ; -; 0; ; 0,5; -0; 5, 8 8. Töltsük ki a táblázat hiányzó részeit! a - 0 b - 5 8 a b a b a b (a b)(a + b) (a b) (a + b)

9. 5 csapból 5 óra alatt 0 m víz folyik ki. II. Egyenes arányosság, fordított arányosság a) Mennyi idő alatt folyik ki 0 csapból 0 m víz? b) Mennyi víz folyik ki a 0 csapból,5 óra alatt? c) Hány csapból folyik ki 5 m víz óra és 5 perc alatt? 0. 0 szüretelő 8 óra alatt 0 hordót töltött meg. a) Mennyi idő alatt tölt meg 60 szüretelő 0 hordót? b) Hány szüretelő tölt meg óra alatt 0 hordót? c) Hány hordót tölt meg 6 óra alatt 5 szüretelő?. Tavasszal, a Föld napja alkalmából az iskola tanulói az iskolához közeli erdőben egy közeli erdőben egy korábban megtisztított irtásterületen facsemetétek ültetnek. 0 gyerek 00 facsemetetét ültetett el egy nap. Ha mindenki ilyen munkatempóban dolgozik, akkor a) hány csemetét ültetnének el 5-en egy nap alatt? b) hány nap alatt ültettek volna el 0-en 50 csemetét? c) 00 facsemetét gyerek hány nap alatt ültetett volna el? d) 50 gyerek hány nap alatt ültetett volna el 50 csemetét?. Hány százaléka a) az 5-nek? d) a 8-nak? g) a 0-nak? j) 5 a -nek? b) a 0-nak? e) a 0-nek? h) az 50-nek? k) 5 a 0nek? c) a -nek? f) a 5-nek? i) a 5-nek? l) 5 a 0-nak?. Számítsd ki, hogy mennyi a) 5-nek a 80%-a, e) 60-nak az 50%-a, i) 680-nak a 0%-a b) 75-nek a 0/-a, f) 90-nek a 0%-a, j) 8-nak a 5%-a c) 0-nek a 60%-a, g) -nek az 5%-a, k) 0-nek a 5%-a d) -nak a 00%-a, h) 80-nek a 60%-a, l) 0-nak a 0%-a. A matematikatanár a dolgozatokat úgy osztályozza, hogy az eltérő maximális pontszám 85%-áért már jelest ad. Hány ponttól jeles a dolgozat, ha a maximális pontszám 0? 5. Egy vasúttársaságnál felmérést végeztek. Megnézték, hogy a Zamárdiba menő 8 órás vonaton hányan utaztak. 56 utast számoltak. Ez hány %-os kihasználtságot jelent, ha a vonaton 80 ülőhely volt? 6. Ágoston nagyon ügyesen pingpongozik. Az iskolai bajnokságon az eddig játszott mérkőzéseinek a 90%-át megnyerte. Hány mérkőzést játszott, ha most 6 pontja van? (A bajnokságban a nyert mérkőzésért pont, a vesztettért 0 pont jár, döntetlen nincs.) 7. A tej tömegének 7,%-a a tejszín, a tejszín 6%-a vaj. 500 kg tejből mennyi vaj lesz?

8. Ábrázold a következő függvényeket! III. Függvények a) f (x) = x + b) g(x) x c) h (x) = x + 9. Ábrázold az f (x) = x és a g (x) = x 9 függvényeket! a) Hol metszi a grafikon az az x tengelyt? b) Hol metszi a két grafikon egymást? c) Hol van az f függvény grafikonja a g függvény grafikonja fölött? 0. Néhány, a valós számokon értelmezett függvény grafikonját látod az ábrát: a) Melyik grafikon egyenes arányosság képe? b) Készítsd el a grafikon alapján az egyenes függvények értéktáblázatát 5 adatpárra! c) Melyik grafikon nem elsőfokú függvény képe? d) Állapítsd meg a hozzárendelési szabályokat! e) Melyik függvény növekvő, melyik csökkenő? f) Melyik függvény fejez ki egyenes arányosságot?. Ábrázold a valós számokon értelmezett f (x) = x függvényt! a) Milyen kapcsolatot látsz a x és a x függvény grafikonjai között? b) Hol növekvő, hol csökkenő a függvény? c) Van-e a függvénynek maximuma? Ha igen, hol? d) Van-e a függvénynek minimuma? Ha igen, hol? 5

e) Hol van a függvénynek zérushelye? Algebrai úton hogyan tudnád meghatározni? f) Határozd meg a függvény értékkészletét!. Ábrázold az f(x) = (x ) függvényt a [ ; ] intervallumon! Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Hol növekvő a függvény? b) Hol csökkenő a függvény? c) Van-e a függvénynek maximuma? Ha igen, hol? d) Van-e a függvénynek minimuma? Ha igen, hol? e) Hol van a függvénynek zérushelye? Algebrai úton hogyan tudnád meghatározni? f) Határozd meg a függvény értékkészletét!. Az ábrán néhány másodfokú függvény képletét láthatod. Olvass le néhány összetartozó értékpárt, s állapítsd meg a hozzárendelési szabályt!. Ábrázold a következő valós számokon értelmezett függvényeket a kifejezés melletti intervallumon! a(x) = (x ) [ ; ] d(x) = (x + ) + [ ; ] b(x) = x [ ; ] e(x) = (x + ) [ ; ] c(x) = (x ) + [ ; ] 6

5. Ábrázold az f(x) = x + függvényt a [ 5; ] intervallumon! Válaszolj az alábbi kérdésekre! a) Milyen kapcsolatot látsz a x + és x + függvény grafikonjai között? b) Hol növekvő, hol csökkenő a függvény? c) Van-e a függvénynek maximuma? Ha igen, hol? d) Van-e a függvénynek minimuma? Ha igen, hol? e) Hol van a függvénynek zérushelye? Algebrai úton hogyan tudnád meghatározni? f) Határozd meg a függvény értékkészletét! 6. Ábrázold a valós számokon értelmezett következő függvényeket a kifejezés melletti intervallumon! Majd válaszolj az előző feladatban föltett kérésekre! a(x) = x [ ; ] b(x) = x [ ; ] c(x) = x + [ ; ] d(x) = x + + [ ; ] e(x) = x + [ ; ] 7. Az ábrán néhány abszolútérték-függvény képét látod. Olvass le néhány összetartozó értékpárt, s állapítsd meg a hozzárendelési szabályt! 7

IV. Műveletek algebrai kifejezések 8. Az áruházban egy kazetta ára m Ft. Egy másik típusú kazetta 70 Ft-tal kerül többe. Egy video ára 70-szerese az olcsón kazettának. Menyibe kerül a drágább kazetta, és mennyibe kerül a video? 9. Mennyi az 5 a-szorosánál -vel több? Mennyi ez a szám, ha a=,,,, 5, 6, 7, 8, 0,? 0. Írd fel az a, b, c betűk segítségével az alábbi műveleteket! a) Két szám (a és b) összegének a -szerese! b) Két szám (a és b) különbségének a háromszorosa! c) Két szám (a és b) különbségének az egyharmada! d) Az (a és b) szorzatának és a (b és c) szorzatának az összege! e) Két szám (a és b) összegének és ugyanennek a két számnak a különbségének a szorzata! f) Két szám (a és b) különbségének és ugyanennek a két szám különbségének a szorzata! g) A táblázat adatainak alapján számítsd ki a feladat kifejezéseinek a helyettesítési értékét!. Válaszd ki az egynemű kifejezéseket, és add össze azokat! a) a b d) 5xy z g) x y j) xzy b) x y e) x y h) a b k) b a c) ab f) 5a b i) 5ab l) zyx. Vond össze az egynemű tagokat! a) 5a b + a b 9a b c) x + x + x 8x b) p q + q p d) 5ab a b 7a b a b + 5ab 8a b. Vond össze az egynemű tagokat! a) k - m - 5 k + m b) 5 x y + 5 6 xy - 5 x y+ 5 x y c) a b + ab a b + ab d) 5 (x + y) + 5 6 (x + y) 5 (x + y) e) (x y ) + 5(x y ) (x y ) + 7(x y ) 8

. Végezd el a kijelölt műveleteket! a) (6a + ) (a 5) b) 6a + a 5 c) (6a + ) a 5 d) 6a + (a 5) 5. Végezd el a kivonásokat, ahol lehet, vonj össze! a) x (x + y) b) x (x y) c) 5a (b + a) d) (u + 5v) (5u + v) e) (5b + 6b) (5b + 6b ) f) (0x + y) (0y + x) g) (00x + 0y + z) (00z + 0y + x) h) (7a ab b) (a ab + b ) i) (uvz vzw + zwx) ( uvz + zxw) 9

V. Egyenletek, egyenlőtlenségek 6. Oldd meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a) x 7 + 8x = 9x x b) x + x = 00 9x c) x 0 + 6x = 8x 0 + x d) 0x + 7 + x = x + 5 + x e) x x = x x + 5 5 f) x + x + 9 = x + + 5 6 x 7 5 x + 5 g) +,5x +,6 = x + 5 + 0,x h) 0,75x x = 9 + 0,6x 0,5x 7. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) x 8(x ) = 7x 5( x) b) 7(x ) 6( x) = (x + ) c) (x + ) = 8( x) 5(x ) d) 7( x) 5(x + ) = 8( 7x) 8. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) b) c) x + x x = 7 x 5 + x 7 x 5 = x + x 6 x 9 = d) x + x x = 9. Oldd meg az alábbi egyenleteket a racionális számok halmazán! a) b) y+ x+7 5 = 5y 7 x 7 c) x + = x+ d) x + x 7 = x+ 5 x 8 = 5 x+6 0. Egy alkalommal Zsolti és Dóri összesen 600 Ft-ot kapott. Zsolti pénzének 5%-a annyi, mint Dóri pénzének a 5%-a. Mennyi pénzt kapott Zsolti, mennyit Dóri?. István édesapja éves volt, amikor István született. Most négyszer annyi idős, mint István. Hány éves István, hány éves az édesapja? 0

. Feles Elek és Stüszi Vadász szomszédok. Kertjeik összterülete 759 m. A területek aránya pedig 5:6. Mekkora kertje van Feles Eleknek és Stüszi Vadásznak külön-külön, ha tudjuk, hogy Stüszi Vadász kertje a kisebb?. Kétféle cukorkából 8 kg keveréket készített Mariska néni. Az egyik cukorka ára kg-onként 0 Ft, a másiké 00 Ft. A keveréket 50 Ft-ért árulta Mariska néni. Mennyi cukorkát használt Mariska néni az egyes fajtákból?. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a pozitív egész számok halmazán! Szemléltesd a megoldást számegyenesen! a) 8(x + ) > 8 c) (y 5) + 8 7 b) (x + ) < 60 d) 5(x ) (x ) 5. Oldd meg az egyenlőtlenségeket a negatív számok halmazán! Szemléltesd a megoldást számegyenesen! a) 7(x ) 6( x) > (x + ) b) (x + ) 8( x) 5(x ) c) y ( 0 y) 6y 7( y) d) 7( x) 5(x + ) 8( 7x)

VI. Geometria 7. Határozd meg az a alapú egyenlőszárú háromszög keresett adatait, számítsd ki a háromszög kerületét és területet! a) a = cm b = 0 cm m a =? b) a = 0 cm b =? m a = 8 cm c) a =? b =,5 cm m a = 0,8 cm 7. Egy egyenlőszárú háromszög átfogója 5cm. Mekkora a befogója? 8. Milyen távol van a cm sugarú kör középpontjától egy 5cm hosszú húr? 9. Egy szabályos háromszög kerülete 9, cm. Mekkora a területe? 50. Egy téglalap aránya :, az átlója,0 dm. Mekkora a kerülete? 5. Egy négyzet átlója cm. Mekkora az oldala? 5. Egy szabályos háromszög 7 cm. Mekkora az oldala? 5. Egy egyenlő szárú trapéz alapjai 0 cm és 7 cm. A szárai 5 cm hosszúak. Mekkora a trapéz területe? 5. Egy rombusz átlói 8 cm és 6 cm hosszúak. Mekkora a rombusz kerülete és területe? 55. Egy háromszög két belső szögének nagysága a) 0 és 60 b) 5 és 75 Határozzuk meg a háromszög harmadik belső szögét és külső szögeit. 56. Jelölje α, β, γ egy háromszögbelső szögeit, és legyenek α, β, γ a megfelelő külső szögek. A következő adatok alapján határozzuk meg a háromszög hiányzó és külső szögeit. a) α= 5, β = 80 b) α=56 β = 57. Egy háromszög belső szögeinek aránya a) :: b) :5:6 Határozzuk meg a háromszög belső és külső szögeit. 58. Egy háromszög belső szöge 8. A másik két belső szög közül az egyik -kal nagyobb a másiknál. Mekkorák a háromszög belső és külső szögei? 59. Egy konvex négyszög belső szögei α, β, γ, δ, a megfelelő külső szögek rendre α,β,γ,δ. Számítsuk ki a megfelelő belső és külső szögeket, ha a) α = 00, β = 7, γ = 8. b) α = 70, β = 5, γ = 08. 60. Mekkorák a trapéz belső és külső szögei, ha két szemközti belső szöge? a) 60 és 0 b) 5 és 00

6. Számítsuk ki a paralelogramma belső és külső szögeit, ha egyik belső szöge a) 0. b) 5. 6. Számítsuk ki a deltoid belső szögeit, ha két szomszédos belső szöge a) és 8. c) 0 és 8.

Megoldások I. Számok, műveletek számokkal:. a - 5 0 - - - b - - 6 - -8 - - c -5 9-7 5-5 a+b-c -+- (-5)= -5 0-6 - -7 - - - a-(b+c) 5-8 -8-9 0-7 -5 a-(b+c) - -5 - -5 - (a+b)-c 8 0 5 7 - -6-7 6-8 b-a+c 8-7 -9 7 6-9 7-8 a +b -ab 5 9 96 6 5. a) 0; b) 0.. m ; 5 7 rész.. szelet; 7 rész. 5. a) 7 6 b) c) 7 d) 97 e) 0 f) 8 9 g) 6 h) 6. a b c 5 5 6 5 9 6 5 5 6 0, 0, 0, 0,75 0,5 0,5 ab + b: c 9 50 5 5 8 0,9,8 (a + c): ( c) 5 5 9 5 0 5,6,8 (ac bc): (b a): ( a)

7. a) 5; ;,5; ; ; 0,0 b) 0;,; ; 0; 0,5; ;, 5, 8 8. a - 0 b - 5 8 a 6 9 6 0 b 9 9 6 5 6 a - 6 7 6 8 0 b 8 7-8 8 7 6 5 5 a b - -8 7 9 00 6 (a b)(a + b) - -8 7 9 00 6 (a b) 6 6 69 00 6 (a + b) 9 89 9 00 6 II. Egyenes arányosság, fordított arányosság 9. a) 5 óra; b) 0 m ; c) 5 csapból. 0. a) 8 óra; b) 0 szüretelő;c) 0 hordó.. a) 50 csemete; b),5 nap; c) 5 nap; d) fél nap.. a) 80%; b) 5%; c) 50%; d) 7,5%; e) 0%; f) 6%; h) 6%; i) %; j) 50%; k) 50%; l) 50%. a) ; b) 5; c) ; d) 9; e) 80; f)78; g),; h) 50; i) 7; j) 5; k),5; ) 0. 5,5 ponttól. 5. 95% 6. 0 mérkőzés. 7.,6 kg. 5

III. Függvények 8. 9. 6

0. a) h, g; b) pl. j(x) x - - 0,5 j(x) 0,5,5,75 c) k; d) f (x) = -x; h (x) = x; j(x) = 0,5x+; k(x) = 6,5; e) f és g csökkenő, h és j növekvő, k állandó f) g és h egyenes arányosság. f) Melyik függvény fejez ki egyenes arányosságot?. a) b) A két függvény grafikonja egymás tükörképei az x tengelyre vonatkozóan. c) csökkenő:x > 0, növekvő: x < 0 d) maximum: x = 0-nál az y = 0 e) minimum nincs f) zérushely: x = 0; algebrai úton a x = 0 egyenlet megoldásával g) értékkészlet: y 0 7

. a) növekvő: [; ] b) csökkenő: [ ; ], c) maximum: x = nél y = 9 d) minimum: x = nél y = 0 e) zérushely: x = 0; algebrai úton a (x + ) = 0 egyenlet megoldásával f) értékkészlet: [0; 9]. f (x) = (x 5) ; g (x ) = x + 9; h (x) = (x + ) 9 8

. 5. a) A két függvény grafikonja egymás tükörképei az x tengelyre vonatkozóan. b) csökkenő: x >, növekvő: x < c) maximum: x = -nál az y = 0 d) minimum: x = -nél az y = 9

e) zérushely: x = ; algebrai úton a x + = 0 egyenlet megoldásával f) értékkészlet: y 0 6. a(x): ha x, csökkenő, ha x, növekvő nincs maximum; x = -nél minimum, zérushely: x = ; értékkészlet: a(x) 0; b (x): ha x 0; csökkenő; ha x 0; növekvő; nincs maximum; x = 0-nál minimum; zérushely: x = és x = ; értékkészlet: b (x) ; c (x) : ha x, csökkenő, ha x, növekvő nincs maximum; x = -nél minimum; zérushely: nincs; értékkészlet : c (x) ; d (x): ha x, növekvő ha x, csökkenő; maximum x = -nél; nincs minimum zérushely: x = és ; értékkészlet d (x) ; e(x:) ha x, növekvő ha x, csökkenő; nincs minimum; x = -nél maximum; zérushely: nincs; értékkészlet: e (x). 7. f(x) = x + 9 g(x) = x 5 h(x) = x + 9 0

IV. Műveletek algebrai kifejezésekkel 8. kazetta m + 70 Ft, videó 70m Ft 9. 5a + ; 7; ; 7; ; 7; ; 5; 6, 0. a) ( a + b); b) ( a b); c) (b a); d) ab + bc; e) (a + b) ( a b) f) (a b) (a b). a), h), összeg 0; b), e), összeg x y; c), i) összeg 8a b ; d) j összeg 7xy z; f), k), összeg 8 a b ; g), l, összeg x yz. a) 0 5 b) 6 6 c) d) - 0 e) 0 5 6 f) 6 7 8 7 6 6,8-0, 0 0,5-0,09 0,0. a) 9a b 9a b; b) b q ; c) 7x + 5x; d) 0ab a b a b. a) 7 0 k 7 m ; b) 5 x y + 5 6 xy ; c) a b + ab ; d) 0 (x + y) ; e) (x y ).. a) x y b) y c) -b; d) v u ; e) b b f) 9x 9y; g) 99x 99z; h) 5a ab b i i) uvz uvw + zwx. 5. a) a a 5; b) a 5; c) a + 6a 5; d) a 5. V. Egyenletek, egyenlőtlenségek 6. a) ; b) ; c) -; d) ; e)5; f) -; g) ; h) nem egész: 6 7. a) ; b) 5; c) d) nincs megoldása. 7 8. a) ; b) 5; c) 9 d) 8 9. a) 6 ; b) ; c) 6 ; d). 9 0. Zsolti 50-Ft-ot, Dóri 50 Ft-ot.. István éves., édesapja 56.. Stüszi Vadásznak 5 m, Feles Eleknek m.. 5 kg a 0 Ft-osból és kg a 00 Ft-osból.

. a) x = ;; b) x = ;; c) y = ;; 8 d) x -9 nem lehet pozitív. 5. a) x >5, nincs ilyen negatív szám; b) x minden negatív x megoldás. 7, tehát x < 0; c) 7 6 y < 0; d) 6 8, VI. Geometria 6. a) m a = 6 cm, K = cm, T = 6 cm b) b = 9, cm K = 8,86 cm, T = 0 cm c) a = 6, cm K =, cm, T = 87,8 cm 7.,5 cm. 8., cm. 9. T = 7,7 cm 50. K= 6,8 dm 5. a = 8,5 cm 5. a = 8, cm 5. T= 0,8 cm 5. K = 0 cm, T= cm 55. a) γ = 90, α = 50, β = 0, γ = 90 b) γ = 60, α = 5, β = 05, γ = 0 56. a) γ = 65, α = 5, β = 00, γ = 5 b) )β = 67, γ = 57, α =, γ = 57. a) α = 0, β = 60, γ = 90, α = 50, β = 0, γ = 90 b) α = 8, β = 60, γ = 7, α =, β = 0, γ = 08 58. α = 8, β = 60, γ = 8, α = 7, β = 0, γ = 98 59. a) α = 96, ρ = 9, α = 80, β = 08, ρ = 88 b) α = 7, ρ = 8, α = 0, β = 5, ρ = 97 60. a) α = 60, β = 60, γ = 00, ρ = 0 α = 0, β = 0, γ = 60, ρ = 60 b) α = 5, β = 80, γ = 00, ρ = 5 α = 5, β = 00, γ = 80, ρ = 5 6. a) α = 0, β = 50, γ = 0, ρ = 50 α = 50, β = 0, γ = 50, ρ = 0 b) α = 5, β = 7, γ = 5, ρ = 7

α = 7, β = 5, γ = 7, ρ = 5 6. a) α = 78, β =, γ = 8, ρ = vagy α =, β = 8, γ = 6, ρ = 8 c) α = 0, β = 8, γ = 0, ρ = 8