matematikai statisztika 2006. október 24.

Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24.

ii

Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező.............................. 3 1.2. Nevezetes véletlen kísérletek......................... 7 1.3. Feladatok................................... 12 2. Feltételes valószínűség, függetlenség 13 2.1. A függetlenség tulajdonságai......................... 14 2.2. A feltételes valószínűség tulajdonságai................... 17 2.3. Bayes döntés................................. 18 2.4. Feladatok................................... 19 3. Valószínűségi változók 21 3.1. Valószínűségi változóval kapcsolatos események.............. 21 3.2. Valószínűségi változók struktúrája...................... 23 3.3. Valószínűségi változók eloszlása....................... 24 3.4. Nevezetes eloszlású valószínűségi változók................. 30 3.5. Feladatok................................... 35 4. Várható érték, szórás 37 4.1. Várható érték................................. 37 4.2. Szórás..................................... 42 4.3. Nevezetes eloszlások várható értéke, szórása................ 43 4.4. Momentumok, kovariancia.......................... 45 4.5. Feladatok................................... 47 5. Nagy számok törvénye 51 5.1. Nevezetes egyenlőtlenségek.......................... 51 5.2. Nagy számok törvényei............................ 53 5.3. Feladatok................................... 54 6. Karakterisztikus függvény 57 6.1. Határeloszlások................................ 61 6.2. Véletlen tagszámú összeg........................... 66 6.3. Feladatok................................... 67 iii

iv TARTALOMJEGYZÉK 7. Vektor valószínűségi változók jellemzői 69 7.1. Jelölések, elnevezések............................. 69 7.1.1. Várható érték, kovariancia mátrix.................. 70 7.1.2. Karakterisztikus függvény...................... 71 7.2. Vektor valószínűségi változó főkomponensei................. 72 7.3. Normális eloszlású vektor valószínűségi változó............... 75 7.4. Feladatok................................... 78 8. Nevezetes eloszlások 81 8.1. χ 2 eloszlás................................... 81 8.2. T és F-eloszlás................................ 86 8.3. Feladatok................................... 88 9. Regresszió analízis 89 9.1. Többváltozós lineáris regresszió....................... 89 9.2. Elméleti regresszió, feltételes várható érték................. 93 9.3. Bayes döntés................................. 103 9.4. Feladatok................................... 105 10.Sztochasztikus folyamatok 107 10.1. Véletlen eseményfolyamat, Poisson folyamat................ 109 10.2. Brown-mozgás, Wiener folyamat....................... 114 10.3. Független és stacionárius növekményű folyamatok............. 118 10.4. Stacionárius folyamatok........................... 122 10.5. Feladatok................................... 130 II. Matematikai statisztika 133 11.A matematikai statisztika alapfogalmai 135 11.1. Statisztikai mező............................... 135 11.2. Statisztikák.................................. 138 11.3. Paraméterek.................................. 140 11.4. Likelihood függvény.............................. 141 11.5. Feladatok................................... 145 12.Paraméterbecslés 147 12.1. Pontbecslés.................................. 147 12.2. Becslések hatékonysága............................ 153 12.2.1. Maximum likelihood becslés..................... 153 12.2.2. Hatékonyabb becslés mint az elégséges statisztika függvénye............................... 154 12.2.3. A hatékonyság információs határa.................. 154 12.3. Intervallum becslések............................. 158 12.4. Feladatok................................... 162

TARTALOMJEGYZÉK v 13.Hipotézis vizsgálat 165 13.1. Alapfogalmak................................. 165 13.2. Valószínűséghányados próba......................... 167 13.2.1. Bartlett próba............................. 168 13.2.2. Valószínűség próbája, (n;c) terv................... 170 13.3. Normális eloszlás paramétereinek próbái.................. 172 13.4. Feladatok................................... 176 14.Lineáris függőségi kapcsolat 177 14.1. Egyenlő mértékű, független megfigyelési hiba................ 177 14.2. Korrelált megfigyelési hibák......................... 184 14.3. Ridge becslés................................. 186 14.4. Nemlineáris regressziós függvények..................... 187 14.5. Feladatok................................... 189 15.Szórásanalízis 191 15.1. Rögzített hatások modellje.......................... 192 15.2. Véletlen hatások modellje.......................... 196 15.3. Feladatok:................................... 197 16.Nem paraméteres próbák 199 16.1. Illeszkedés vizsgálat.............................. 199 16.2. Függetlenség vizsgálat............................ 202 16.3. Homogenitás vizsgálat............................ 204 16.4. Feladatok................................... 207 A. Mérték és integrál 209 A.1. Mérték..................................... 209 A.2. Mérhető függvény............................... 214 A.3. Integrál.................................... 215 B. Táblázatok 219 C. Képletek 229 Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

vi TARTALOMJEGYZÉK

I. rész Valószínűségszámítás 1

1. fejezet Véletlen jelenségek matematikai modellje 1.1. Valószínűségi mező Véletlen jelenségek körének meghatározása hasonló nehézségekkel jár, mint más természettudományok esetén a vizsgálatok tárgyának megadása. Azt azonban elfogadhatjuk, és mindennapi szóhasználatunk is ezt jelzi, hogy vannak olyan jelenségek, történések, melyek lejátszódásával kapcsolatos bizonytalanságunkat úgy fejezzük ki, hogy a véletlenül, találomra, stb. kifejezéseket használjuk. Ilyen jelenségek például egy kocka dobása, vagy egy adott helyen és időpontban mérhető időjárási elem (pl. hőmérséklet). Ezen jelenségekről bőséges tapasztalat szerezhető ismételt megfigyelésükkel. Ilyen tapasztalat, hogy szabályos kockát dobva minden eredmény hasonló gyakorisággal következik be, vagy másképp fogalmazva, egyforma esélyű, illetve januárban kevésbé valószínű a 20C feletti hőmérséklet, mint a fagypont alatti, vagy általában a gyakrabban bekövetkező dolgokat, éppen gyakoriságuknak megfelelően, valószínűbbnek mondjuk. Foglaljuk most össze az ilyen, un. véletlen kísérletek közös vonásait: a véletlen kísérletnek jól meghatározható kimenetelei vannak; bizonyos kimenetelek bekövetkezésének eseményéről beszélhetünk; az ilyen események bekövetkezési esélye mennyiségi formában megadható; Célunk olyan modell megfogalmazása, ahol mindezeknek matematikai fogalmakat feleltetünk meg, és matematikai módszerekkel olyan eredményeket nyerhetünk, amelyek segítenek ezen jelenségek megértésében, illetve a tapasztalat által is megerősíthető törvényszerűségeket tudunk bizonyítani. Egy ilyen modell segítségével olyan következtetések is levezethetővé válnak, melyek tapasztalatinkből közvetlenül nem következtethetők ki, lehetővé téve ezzel ilyen eredmények széleskörű alkalmazását. 3

4 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE 1.1. Definíció. Valószínűségi mezőnek nevezzük az (Ω, A, P ) hármast, ahol Ω az elemi események halmaza, eseménytér; A 2 Ω az eseménytér részeinek egy σ-algebrája, az eseményalgebra, azaz teljesülnek: A1 Ω A ; A2 ha A A akkor A = Ω \ A A ; A3 ha A n A n = 1, 2,... akkor n=1 A n A ; P : A R függvény, a valószínűségi mérték, azaz teljesülnek: P1 P (Ω) = 1 ; P2 ha A A akkor P (A) 0 ; P3 ha A n A n = 1, 2,... és A k A l = k l = 1, 2,... akkor ( ) P A n = P (A n ) ; n=1 Tehát a valószínűségi mező egy mértéktér véges mértékkel (lásd A. Függelék). A továbbiakban minden esetben egy ilyen modellt tételezünk fel, és ha külön nem is említjük, fogalmaink egy (Ω, A, P ) valószínűségi mezővel lesznek kapcsolatosak. Az alábbiakban felsorolunk néhány egyszerűen következő tulajdonságot, és itt használatos elnevezést, kifejezést. 1. Az A eseményalgebra elemei az események, Ω A a biztos esemény. 2. Mivel = Ω A, az üres halmazt lehetetlen eseménynek nevezzük. 3. Az eseményalgebra zárt a szokásos müveletekre: ha A, B A akkor A B = A B... A A B = A B A A \ B = A B A 4. A lehetetlen esemény valószínűsége 0, mivel n=1 P ( ) = P (...) = P ( ) + P ( ) + P ( ) +... ami csak úgy teljesülhet, ha P ( ) = 0.

1.1. VALÓSZÍNŰSÉGI MEZŐ 5 5. A valószínűségi mérték végesen additív: ha A, B A és A B = vagyis A és B kizárják egymást, akkor kizáró események egyesítése, és így A B = A B... P (A B) = P (A) + P (B) + 0 + 0 +... = P (A) + P (B). 6. Néhány további számolási szabály : ha A, B A akkor mivel Ω = A A kizáró események úniója, így 1 = P (A) + P (A), tehát P (A) 1 és P (A) = 1 P (A) ; mivel A = (A B) (A \ B) kizáró események úniója, így P (A \ B) = P (A) P (A B) ; ha teljesül még A B, vagyis B bekövetkezése maga után vonja A bekövetkezését, akkor P (A) P (B) és P (A \ B) = P (A) P (B) ; mivel A B = A (B \ A) kizáró események úniója, használva az előző eredményt, kapjuk P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) ; az előző eredményből kapjuk a valószínűség un. szubadditív tulajdonságát: P (A B) P (A) + P (B) ami véges vagy megszámlálható únióra is következik. 7. A valószínűségi mérték folytonossága: ha A 1 A 2... A, akkor B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B 3 = A 3 \ A 2,... páronként kizáró események, és egyesítésük B n = A n, n=1 amiből kapjuk ( ) P A n = P (A 1 ) + (P (A 2 ) P (A 1 )) + (P (A 3 ) P (A 2 )) +... = lim P (A n ). n n=1 n=1 Hasonlóan teljesül A 1 A 2... A esetén ( ) P A n = lim P (A n ). n n=1 Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

6 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE A továbbiakban néhány tipikus, véletlen jelenségek modellezésére jól használható példát adunk valószínűségi mezők megadására. 1. Kombinatórikus valószínűségszámítási problémák Véges sok, egyformán valószínű kimenetellel rendelkező véletlen kísérlet modellje. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } A = 2 Ω P (A) = < A elemeinek száma > < Ω elemeinek száma > A Ω ahol 2 Ω jelölöli Ω összes részeinek halmazát (hatványhalmazát). 2. Diszkrét valószínűségi mező Véges vagy megszámlálhatóan végtelen sok kimenetelű véletlen kísérlet modellje, ahol a kimenetelek valószínűségei egy (p n ) n=1,2,... diszkrét valószínűségeloszlással adottak. Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n,...} A = 2 Ω P (A) = ω n A ahol (p n ) n=1,2,... egy diszkrét valószínűségeloszlás, azaz p n p n 0 n = 1, 2,... és 3. Geometriai valószínűségszámítási problémák p n = 1. R n valamely véges, pozitív mértékű részhalmazát kitöltő kimenetelekkel rendelkező véletlen kísérlet modellje, ahol egy résztartomány bekövetkezési valószínűsége arányos annak mértékével. Ω R n A = {Ω B B B n } P (A) = < A mértéke > < Ω mértéke > A A ahol B n jelöli az R n intervallumait tartalmazó legszűkebb σ-algebrát. 4. Folytonos valószínűségi mező A véletlen kísérlet kimenetelei R n (vagy valamely mérhető részének) pontjaival azonosíthatók, és egy x R n pont kis környezetébe esés valószínűsége arányos n

1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 7 egy valószínűségi sűrűségfüggvény f(x) értékével. Ω = R n A = B n P (A) = f A A ahol az f : R n R egy valószínűségi sűrűségfüggvény, azaz f(x) 0 x R n és f = 1. R n A fenti példákban a 1.1 definíciónak megfelelő hármast adtunk meg, ami a 2. példa kapcsán egyszerűen ellenőrízhető, az 1. példa pedig ennek speciális esete a A p k = 1 n k = 1, 2,... n valószínűségeloszlással. A 4. példa az A. függelék egyik példája mérték megadására, és a 3. példa lényegében az előbbi speciális esete az { 1 ha x Ω f(x) = <Ω mértéke> 0 egyébként valószínűségi sűrűségfüggvény választásával. 1.2. Nevezetes véletlen kísérletek Az alábbiakban felsorolunk néhány nevezetes véletlen jelenséget, megfogalmazzuk a velük kapcsolatos valószínűségi modellt, és megadjuk események valószínűségeit. Ezek a valószínűségi mezők a fenti példák konkrét esetei lesznek, ezért mindíg csak az Ω eseményteret és a megfelelő diszkrét valószínűségeloszlást, illetve valószínűségi sűrűségfüggvényt adjuk meg. (1) Visszatevés nélküli mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között M N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút, mennyi annak valószínűsége, hogy k számú megjelölt van a kiválasztottak között, azaz a mintában? Legyen Ω az N elem n-ed osztályú ismétlés nélküli kombinációinak C n N = ( N n) elemszámú halmaza, minden kombináció egyformán valószínű, A k esemény (azon kombinációk halmaza). amikor a kiválasztottak között k-számú megjelölt van, k = 0, 1, 2,... n. Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

8 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE Használjuk a továbbiakban az ( ) a = 0 b ha a < b N értelmezést, amivel A k elemszáma ( ) M k tehát ( ) N M, n k ( M ) ( k N M ) n k P (A k ) = ( N k = 0, 1, 2,... n. (1.1) n) Mivel az A k k = 0, 1, 2,... n események páronként kizáróak, és Ω = n k=0 A k, teljesül n P (A k ) = 1 k=0 vagyis (1.1) egy diszkrét valószínűségeloszlás, amit hipergeometriai eloszlásnak nevezünk. (2) Visszatevéses mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között M N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút egymás után a kiválasztottak visszatevésével, mennyi annak valószínűsége, hogy k számú megjelölt van a mintában? Legyen Ω az N elem n-ed osztályú ismétléses variációinak V n,i N = N n elemszámú halmaza, minden variáció egyformán valószínű, A k esemény (azon variációk halmaza), amikor a választottak között k-számú megjelölt van, k = 0, 1, 2,... n. Mivel A k elemszáma a p = M N ( ) n M k (N M) n k, k jelölést bevezetve kapjuk: ( ) n P (A k ) = p k (1 p) n k k k = 0, 1, 2,... n. (1.2) Az A k k = 0, 1, 2,... n események most is páronként kizáróak, és Ω = n k=0 A k, tehát n P (A k ) = 1 k=0 vagyis (1.2) egy diszkrét valószínűségeloszlás, amit binomiális eloszlásnak nevezünk.

1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 9 (3) Bernoulli kísérlet Egy p [0; 1] valószínűségű esemény n-ismételt megfigyelése esetén mennyi annak valószínűsége, hogy a figyelt esemény k-szor következik be? Vegyük észre, hogy a visszatevéses mintavételtben egy p = M valószínűségű eseményt figyelünk meg n-szer, és A k éppen azt jelenti, hogy k-szor következik be a N figyelt esemény, azaz a megjelölt választása. Tehát választhatjuk Ω = {0, 1, 2,..., n} p k = ( n k) pk (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. Ezek a példák a véletlen jelenségekről szerezhető tapasztalatok leggyakoribb forrásait modellezik. Az ismételt megfigyelésből szerezhető tapasztalataink szerint egy esemény bekövetkezéseinek relatív gyakorisága a vélelmezett valószínűség egyfajta közelítése. Ezt igazolni látszik az a könnyen ellenőrízhető körülmény is, hogy a hipergeometriai és binomiális eloszlások legnagyobb valószínűségei az np értékhez legközelebbi egészek egyike lesz. Tehát az np érték mint átlagos illetve legvalószínűbb gyakoriság értelmezhető. Ezzel a fogalommal lehetővé válik olyan jelenségek modellezése, ahol a megfigyelések n száma igen nagy, és a p bekövetkezési valószínűség nagyon kicsi, de az átlagos gyakoriság megadható mint egy 0 < λ mennyiség. Létezik ugyanis a következő határérték és lim n np=λ ( ) n p k (1 p) n k = λk k k! e λ k = 0, 1, 2,... (1.3) k=0 λ k k! e λ = 1, tehát (1.3) egy diszkrét valószínűségeloszlást, az un. Poisson eloszlást határoz meg, amivel megfogalmazhatjuk a következő véletlen kísérletet. (4) Véletlen eseményszám Egy átlagosan λ-szor bekövetkező esemény véletlen számú bekövetkezésének megfigyelése. Legyenek Ω = N p k = λk k! e λ k N. Ha ez utóbbi kísérletet olyan esetben fogalmazzuk meg, amikor egy esemény bekövetkezése egy berendezés meghibásodását jelenti, és λ az időegységre jutó meghibásodások átlagos száma, akkor t-időtartamú meghibásodás mentes működés valószínűsége: p 0 = e λt = t λ e λt dt, Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

10 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE ahol f(t) = { λ e λt ha 0 t 0 egyébként egy un. exponenciális valószínűségi sűrűségfüggvény. Megfogalmazhatjuk tehát a következő véletlen kísérletet, melynek modellje egy folytonos valószínűségi mező. (5) Véletlen időtartam Egy átlagosan T = 1 idejű véletlen időtartam megfigyelése esetén, adjuk meg egy λ t-nél hosszabb időtartam bekövetkezésének valószínűségét! Legyenek Ω = R + f(t) = λ e λt t R + A t = [t; + [ a 0 < t-nél hosszabb időtartam megfigyelésének eseménye, akkor P (A t ) = e λt = t λ e λt dt t > 0. (1.4) Vizsgáljuk a következő kísérletet: egy lejtőn az alábbi módon helyezünk el ékeket 2n számú sorban, és egy golyót legurítunk úgy, hogy az minden soron áthaladva, és egy éknél véletlenszerűen irányt változtatva érkezik le a k = n, (n 1),..., 1, 0, 1,..., (n 1), n helyek valamelyikére. 1. sor 2. sor 3. sor..... 2n. sor n 0 n érkezési helyek A k helyre érkezés pontosan akkor következik be, ha a golyó 2n számú ütközésből n k számúszor fog jobbra gurulni, és feltehetjük a jobbra és balra haladás egyforma valószínűségét. Tehát a Bernoulli késérlet szerint a k helyre érkezés valószínűsége: p k = ( ) 2n n k 1 2 2n k = 0, ±1, ±2,..., ±n. Ha a sorok számát növeljük, de egyben a méretek csökkentésével elérjük, hogy a leérkezési helyek egymás közti távolsága csökkenjen, és éppen 1 n legyen, az x = k n rögzített helyre érkezés valószínűségére nyerjük a következő határértéket: lim n pk = 1 e x2 x R. (1.5) π n n x= k

1.2. NEVEZETES VÉLETLEN KÍSÉRLETEK 11 Ezt felhasználva, elég nagy tábla esetén, két x 1 = l 1 n < x 2 = l 2 n hely közé érkezés A [x1 ;x 2 ] eseményének valószínűségére kapjuk: P ( ) l 2 A [x1 ;x 2 ] = p k k=l 1 l 2 k=l 1 1 π e x2 k 1 x2 1 π e x2 dx n x 1 ahol x k = k n k = l 1,, l 2. Tehát egy folytonos valószínűségi modellt kapunk az f(x) = 1 π e x2 x R sűrűségfüggvénnyel. Ennek egyszerű transzformáltjaként kapható f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2 x R (1.6) az un. Gauss, vagy normális valószínűségi sűrűségfüggvény általános alakja, ahol m R és σ > 0. Mindezek alapján megfogalmazhatjuk sok véletlen eltérés összegének, mint pl. egy mérés véletlen eredményének modelljét. (6) Mérési eredmény Sok kicsiny eltérés összegeként nyerhető véletlen érték megfigyelése. Legyenek Ω = R f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2 x R ahol az f normális sűrűségfüggvény alakja miatt, m a hiba mentes, igazi érték, σ > 0 pedig a pontosság egyfajta mértékeként értelmezhető. Egy [x 1 ; x 2 ] intervallumba eső érték megfigyelésének valószínűsége P ([x 1 ; x 2 ]) = (7) Véletlen pont választása x2 e (x m)2 2σ 2 dx. (1.7) 2π σ x 1 1 Egy [a; b] R intervallumban válasszunk találomra egy számot, adjuk meg annak valószínűségét, hogy a pont egy [x; y] [a; b] részintervallumba esik! Legyenek Ω = [a; b] f(x) = 1 b a x [a; b], akkor egy [x 1 ; x 2 ] [a; b] intervallumba eső érték választásának valószínűsége P ([x 1 ; x 2 ]) = x 2 x 1 b a = x2 1 dx. (1.8) x 1 b a Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

12 1. FEJEZET. VÉLETLEN JELENSÉGEK MATEMATIKAI MODELLJE 1.3. Feladatok 1. Legyenek A 1, A 2,..., A n páronként diszjukt halmazok, és Ω = n k=1 A k. Adjuk meg az ezeket tartalmazó legszűkebb eseményalgebrát, és az ezen értelmezhető valósznínűségi mértékeket mi határozza meg? 2. Legyenk A 1, A 2,..., A n halmazok, és Ω = n k=1 A k, továbbá teljesüljön A 1 A 2... A n ahol A k vagy az A k halmaz, vagy Āk = Ω \ A k k = 1, 2,... n. Adjuk meg az ezeket tartalmazó legszűkebb eseményalgebrát, és mutassuk meg, hogy pontosan egy olyan valószínűségi mérték adható meg ezen, hogy teljesüljenek P (A k ) = p k [0; 1] k = 1, 2,... n P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 )... P (A n ). 3. Adjuk meg a hipergeometriai, binomiális és Poisson eloszlás legnagyobb valószínűségét! 4. Igazoljuk az (1.5) határértéket az n! = α n 2πn n n e n ahol lim α n = 1 n Stirling formula segítségével! 5. Vizsgáljuk az (1.6) függvény menetét, és mutassuk meg, hogy valószínűségi sűrűségfüggvény! 6. Számítsuk ki a LOTTO jéték kapcsán a különböző nyerő osztályok valószínűségeit! 7. Egy jegypénztárban 500Ft-ért lehet egy jegyet vásárolni. Ha 100 sorbanálló mindegyike egy jegyet vásárol, és negyvenen ezressel, hatvanan pedig ötszázassal akarnak fizetni, mennyi annak valószínűsége, hogy a nyitáskor üres pénztár ellenére nem lesz fennakadás? 8. Mi valószínűbb: (a) egy kockával 4 dobásból legalább egyszer hatost dobni? (b) két kockával 24 dobásból legalább egyszer dupla hatost dobni? 9. n 1 számú 1-est és n 2 számú 0-át véletlenszerűen elrendezve, adjunk rekurzív formulát annak valószínűségére, hogy a véletlen sorrendben az egyeseket összesen k = 0, 1,..., n 1 n 2 számú nulla előzi meg! 10. Egy síklapon egymástól d távolságra párhuzamos vonalak vannak, és egy l < d hosszúságú tűt ejtünk találomra a síkra. Mennyi annak valószínűsége, hogy valamelyik vonalat metszi a tű? 11. Egy r sugarú körben találomra választott húr milyen valószínűséggel lesz r-nél rövidebb?

2. fejezet Feltételes valószínűség, függetlenség Véletlen jelenségek kapcsán megfogalmazott valamely esemény bekövetkezése esetén, más események bekövetkezésének esélyét sok esetben újra értékeljük, és kevésbé vagy még inkább valószínűnek véljük mint korábban. Mindezt annak megfelelően tesszük, hogy a vizsgált eseményt alkotó kimenetelek milyen mértékben töltik ki a bekövetkezett eseményt. 2.1. Definíció. Legyenek A, B A események, és P (B) > 0. Az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségének nevezzük: P (A B) = P (A B) P (B) Az így definiált feltételes valószínűséget az A esemény (feltétel nélküli, abszulut, teljes) valószínűségével összehasonlítva, mondhatjuk: P (A B) > P (A) B bekövetkezése esetén az A esemény bekövetkezése valószínűbb. P (A B) < P (A) B bekövetkezése esetén az A esemény bekövetkezése kevésbé valószínű. P (A B) = P (A) B bekövetkezése nem befolyásolja az A esemény bekövetkezési esélyét, és ilyenkor ha még P (A) > 0 is teljesül, kapjuk P (B A) = P (B) és P (A B) = P (A) P (B). Tehát ez utóbbi esetben A bekövetkezése sem befolyásolja a B esemény bekövetkezési esélyét, ami a következő fogalom definíciójához vezet. 2.2. Definíció. i) Az A, B A eseményeket függetleneknek nevezzük, ha teljesül P (A B) = P (A) P (B). 13

14 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG ii) Az A 1, A 2,... A eseményhalmazokat, vagy másképpen eseményrendszereket páronként függetleneknek nevezzük, ha A A k és B A l függetlenek k l = 1, 2,.... iii) Az A 1, A 2,... A eseményrendszereket teljesen függetleneknek nevezzük, ha A ki A ki {k 1, k 2,..., k n } N + n N + esetén teljesül P (A k1 A k2... A kn ) = P (A k1 ) P (A k2 )... P (A kn ). A függetlenség fogalma tehát a feltételes valószínűség értelmezésének egyszerű következménye. Ha az eseményrendszerek egyetlen eseményből állnak, az eseményeket mondjuk páronként illetve teljesen függetleneknek. 2.1. A függetlenség tulajdonságai A 2.2 definícióból következik néhány egyszerű állítás, megjegyzés: 1. Ha eseményrendszerek teljesen függetlenek, akkor páronként is függetlenek, és az A k1 A k2... A kn A l1 A l2... A lm események függetlenek, ahol A ki A ki {k 1, k 2,..., k n } N + n N + A li A li {l 1, l 2,..., l m } N + m N + = {k 1, k 2,..., k n } {l 1, l 2,..., l m }. A teljes függetlenség tehát azt jelenti, hogy az egyes eseményrendszerek eseményeinek együttes bekövetkezése független más, ugyancsak véges sok eseményrendszer eseményeinek együttes bekövetkezésétől. Ez nem következik a páronkénti függetlenségből (lásd 1. feladat). A továbbiakban, több esemény, eseményrendszer esetén, a függetlenség mindíg a teljes függetlenséget fogja jelenteni. 2. A lehetetlen illetve biztos esemény minden eseménytől független, mivel A A esetén P (A ) = 0 = P (A) 0, P (A Ω) = P (A) = P (A) 1.

2.1. A FÜGGETLENSÉG TULAJDONSÁGAI 15 3. Ha A és B független események, akkor függetlenek, mert pl. Ā és B, A és B, Ā és B P (Ā B) = P (B \ A) = P (B) P (A) P (B) = P (Ā) P (B). Következmény: Független eseményrendszerek bővíthetők az események komplementereivel, a páronkénti illetve teljes függetlenség megtartásával. 4. Véletlen kísérletek függetlenségét modellezhetjük valószínűségi mezők szorzat mértékterével. Legyen (Ω 1, A 1, P 1 ) és (Ω 2, A 2, P 2 ) két valószínűségi mező, akkor az (Ω, A, P ) szorzat mértéktér (lásd A. Függelék) egy valószínűségi mező, ahol és ebben az Ω = Ω 1 Ω 2 A = σ {A B A A 1, B A 2 } P (A B) = P 1 (A) P 2 (B) A A 1, B A 2, Ã 1 = {A Ω 2 A A 1 } A Ã 2 = {Ω 1 B B A 2 } A eseményrendszerek függetlenek. Hasonlóan kapjuk több véletlen kísérlet teljesen független beágyazását a szorzat modellbe. A függetlenség fogalmával a korábban már említett Bernoulli kísérlet újra megfogalmazható, és újabb nevezetes véletlen kísérleteket vizsgálhatunk. (3) Bernoulli kísérlet Egy p [0; 1] valószínűségű eseményt n-szer megfigyelve, mennyi annak valószínűsége, hogy k-szor következik be? Legyenek a B 1, B 2,..., B n események függetlenek, és P (B i ) = p i = 1, 2,..., n. Jelölje továbbá A k esemény k-számú bekövetkezését a B 1, B 2,..., B n események közül. Akkor A k = ( B 1 B 2... B k B k+1... B n )... olyan ( n k) -tagú diszjunkt únió, melynek minden tagja k-számú B és (n k)-számú B esemény közös része, ezért ( ) n P (A k ) = p k (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. k Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

16 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG (8) Több kimenetelű kísérlet ismételt megfigyelése Egy r kimenetelű kísérletet n-szer megismételve, adjuk meg annak valószínűségét, hogy az egyes kimenetelek k 1, k 2,... k r -szer következnek be, ha az egyes kimenetelek valószínűségei a p 1, p 2,..., p r diszkrét valószínűségeloszlással adottak! Legyenek a teljes eseményrendszerek függetlenek, és Ekkor a vizsgált {B i1, B i2,..., B ir } A i = 1, 2,..., n P (B ij ) = p i i = 1, 2,..., n, j = 1, 2,..., r. A k1,k 2,...,k r = j 1,j 2,...,j n ( n ) B iji esemény egy pontosan n! k 1! k 2!... k r! tagú diszjunkt únió, ahol j 1, j 2,..., j n egy ismétléses permutáció k 1 számú 1-essel, k 2 számú 2-essel,... és k r számú r-essel, így a függetlenséget is használva, kapjuk P (A k1,k 2,...,k r ) = n! k 1! k 2!... k r! pk 1 1 pk 2 2... pkr r (2.1) r ha k j N j = 1, 2,..., n és k j = n. Mivel (2.1) valószínűségeinek összege (a polinomiális tétel szerint is) 1, ezt a valószínűségeloszlást polinomiális eloszlásnak nevezzük. (9) Esemény megfigyelése az első bekövetkezésig Egy p ]0; 1[ valószínűségű eseményt figyelünk meg az első bekövetkezésig, adjuk meg annak valószínűségét, hogy ez a k-adik kisérletben történik meg! Legyenek a B 1, B 2,... események függetlenek, és P (B i ) = p továbbá a vizsgálandó eseményt akkor a függetlenségből kapjuk: i=1 A k = B 1 B 2... B k 1 B k k = 1, 2,... j= i = 1, 2,.... Jelölje P (A k ) = p (1 p) k 1 k = 1, 2,... (2.2) ami az un. diszkrét geometriai eloszlás, ugyanis konvergens geometriai sor összegeként kapjuk p (1 p) k 1 = 1. k=1 Ez egyben azt is jelenti, hogy az A = B 1 B 2... = A 1 A 2... esemény valószínűsége P (A ) = 0.

2.2. A FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG TULAJDONSÁGAI 17 2.2. A feltételes valószínűség tulajdonságai Az alábiakban felsoroljuk a feltételes valószínűség néhány egyszerűen ellenőrízhető fontos tulajdonságát, melyek indokolják a fogalom értelmezését, és módszereket adnak bizonyos típusú problémák megoldásához. 1. Ha B, A A függetlenek, és P (B) > 0, akkor P (A B) = P (A), tehát a feltételtől független esemény feltételes valószínűsége változatlan. 2. Legyen P (B) > 0, ha B A A akkor P (A B) = 1, tehát ha B maga után vonja az A eseményt, annak erre vonatkozó valószínűsége 1. Ha pedig A, B A kizáróak, akkor P (A B) = 0. 3. Ha B A egy rögzített esemény, és P (B) > 0, akkor valószínűségi mérték A-n. P ( B) : A R A P (A B) Következmény: A valószínűségggel kapcsolatos számolási szabályokat a feltételes valószínűségre is alkalmazhatjuk, mint pl. P (Ā B) = 1 P (A B) P (A 1 \ A 2 B) = P (A 1 B) P (A 1 A 2 B) P (A 1 A 2 B) = P (A 1 B) + P (A 2 B) P (A 1 A 2 B). 4. Szorzási szabály Legyenek A 1, A 2,..., A n A események olyanok, hogy P (A 1 A 2... A n ) > 0, akkor P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 ) P (A 2 A 1 ) P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1 A 2... A n 1 ). 5. Teljes valószínűség tétel Legyenek B 1, B 2,..., B n A, B k B l = ha k l = 1, 2,..., n és n k=1 B k = Ω, vagyis egy un. teljes esményrendszer, továbbá A A, akkor n P (A) = P (A B k ) P (B k ). k=1 Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

18 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 6. Bayes tétel Legyen B 1, B 2,..., B n A egy teljes eseményrendszer, A A és P (A) > 0, akkor P (B l A) = P (A B l ) P (B l ) n k=1 P (A B k) P (B k ) l = 1, 2,..., n. 2.3. Bayes döntés A feltételes valószínűség segítségével megadhatjuk a következő, un. döntési feladat megoldását. Feladat: Legyenek (A i ) n i=1 és (B j) m j=1 teljes eseményrendszerek, és P (B j) > 0 j = 1, 2,... m. Keressük azt a un. döntés függvényt, mellyel a d : {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} H d = m ) (Ād(j) B j j=1 döntési hiba valószínűsége a legkisebb. A döntési hiba valószínűségét átalakítva kapjuk: P (H d ) = 1 m P ( ) m A d(j) B j = 1 P ( ) A d(j) B j P (Bj ). j=1 Ez pedig akkor maximális, ha azt a d döntésfüggvényt választjuk, melyre teljesül P (A d (j) B j ) P (A i B j ) i = 1, 2,..., n j = 1, 2,..., m, amit Bayes döntésnek nevezünk. Természetesen d nem egyértelműen adott, de minden Bayes döntés hibavalószínűsége ugyanaz. Egy másik lehetséges döntésfüggvény az a konstans d max, melyre teljesül amivel a döntés hibája j=1 P (A dmax ) = max {P (A 1 ), P (A 2 ),..., P (A n )} P (H dmax ) = 1 P (A dmax ) P (H d ). Könnyen belátható, hogy a két teljes eseményrendszer függetlensége esetén d = d max. Egy másik szélsőséges eset, amikor minden B j -hez van olyan A i esemény, hogy B j A i, vagyis az Ω eseménytér (B j ) m j=1 feloszása finomabb, mint az (A i ) n i=1 felosztás, másképpen fogalmazva minden B j esemény maga után vonja egy A i esemény bekövetkezését. Ekkor d (j) = i ha B j A i amiből következik, hogy ilyenkorp (H d ) = 0.

2.4. FELADATOK 19 2.4. Feladatok 1. Válasszunk egy origó középpontú r sugarú körben találomra egy pontot, és jelölje A a pont az x tengely fölötti félkörbe esik; B a pont az y tengelytől jobbra eső félkörbe esik; C a pont az első, vagy a harmadik síknegyedbe esik; Mutassuk meg, hogy az A, B és C események páronként függetlenek, de nem teljesen! 2. Mutassuk meg, hogy ha Ω = I 0 J 0 R 2 intervallum, és a geometriai valószínűségszámítás modelljét használjuk, akkor az és eseményrendszerek függetlenek. I x = {I J 0 I I 0 intervallum} J y = {I 0 J J J 0 intervallum} 3. Bizonyítsuk a feltételes valószínűség tulajdonságait! 4. Két céllövő felváltva lő, és az nyer, aki először eltalálja a célt. Ha feltesszük, hogy a cél eltalálásának eseményei az egymást követő lövések során teljesen függetlenek, és az elsőnek lövő esetén 0.6, illetve a másodiknál 0.8 a találati valószínűség, adjuk meg annak valószínűségét, hogy az első, illetve a második lövő nyer! 5. Egy kosárlabda játékos egymás után végez büntető dobásokat. Az elsőt bedobja, a másodikat nem, és minden további dobása akkora valószínűséggel lesz sikeres, mint amennyi a megelőző dobásokban a kosarak relatív gyakorisága. Mennyi annak valószínűsége, hogy 100 dobásból pontosan 50 kosarat fog dobni? 6. Szinbád, a szultánnak tett szolgálataiért, választhat egyet az N számú háremhölgy közül úgy, hogy az egyenként előtte elvonuló hölgyek valamelyikére rámutat. Tegyük fel, hogy a háremhölgyek szépségük szerint egyértelműen sorrendbe állíthatóak, és Szinbád stratégiája a következő: az első n számú hölgy szemrevétele után azt választja, aki szebb minden korábban látottnál. Mennyi annak valószínűsége, hogy Szinbád a legszebb háremhölgyet választja? Hogyan kell az N értékét megválasztani n elég nagy N esetén, hogy ez a valószínűség a legnagyobb legyen? 7. Két város közötti távíró összeköttetés olyan, hogy a leadott távíró jelek közül a pontok 2-e vonallá torzul, a vonalak 1 -a pedig ponttá. A leadott jelek közül a 5 3 pontok és vonalak aránya 5 : 3. Adjunk döntési szabályt a vevő számára, mennyi a hibás dekódolás valószínűsége? Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

20 2. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG

3. fejezet Valószínűségi változók Egy véletlen kísérlet eredményéhez sok esetben természetes módon tartozik egy vagy több (véletlen) mennyiség. A matematikai modellben ennek megfelelő fogalom a következő. 3.1. Definíció. i) Skalár valószínűségi változónak (röviden v.v.) nevezzük a függvényt, ha x R esetén ξ : Ω R {ξ < x} = {ω Ω ξ(ω) < x} = ξ 1 (], x[) A ; ii) Vektor valószínűségi változónak (röviden v.v.v.) nevezzük a ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n függvényt, ha a ξ i : Ω R i = 1, 2,..., n komponensek skalár valószínűségi változók. A továbbiakban a skalár ill. vektor jelzőket csak akkor használjuk, ha azt hangsúlyozni kívánjuk, egyébként egyszerűen valószínűségi változóról, röviden (v.)v.v.-ról beszélünk. 3.1. Valószínűségi változóval kapcsolatos események Jelöljön a továbbiakban ξ egy skalár v.v.-t, ekkor a vele kapcsolatos események az alábbiak: 1. A definíció szerint x R esetén {ξ < x} = {ω Ω ξ(ω) < x} = ξ 1 (], x[) A ; 21

22 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 2. Az eseményalgebra tulajdonságaiból következnek x y R esetén {ξ x} = {ω Ω ξ(ω) x} = ξ 1 ([x, + [) = {ξ < x} A ; {x ξ < y} = {ω Ω x ξ(ω) < y} = ξ 1 ([x, y[) = {ξ < y} \ {ξ < x} A ; { {ξ = x} = {ω Ω ξ(ω) = x} = ξ 1 ({x}) = x ξ < x + 1 } A ; n n=1 {x ξ y} = {ω Ω x ξ(ω) y} = ξ 1 ([x, y]) = = {x ξ < y} {ξ = y} A ;. tehát általában I R intervallum esetén {ξ I} = {ω Ω ξ(ω) I} = ξ 1 (I) A. Hasonlóan ellenőrízhető, hogy egy ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n v.v.v. esetén például {x 1 ξ 1 < y 1, x 2 ξ 2 < y 2,..., x n ξ n < y n } = vagy általában n {x i ξ i < y i } A i=1 x i y i R i = 1, 2,..., n, {ξ I} = {ω Ω ξ(ω) I} = ξ 1 (I) A I R n intervallum. Mindezekből (lásd : A. függelék) következnek az alábbiak: 3.2. Következmény. i) Egy ξ : Ω R n függvény pontosan akkor (v.)v.v., ha mérhető az intervallumokat tartalmazó legszűkebb B n σ-algebrára, azaz {ξ B} = {ω Ω ξ(ω) B} = ξ 1 (B) A B B n. ii) A ξ = ξ 1 (B n ) = { ξ 1 (B) B B n } A egy eseményalgebra, amit a ξ (v.)v.v.-val kapcsolatos események rendszerének nevezünk. iii) A ξ (v.)v.v. egy P ξ : B n [0; 1] B P (ξ B) valószínűségi mértéket generál, amit ξ eloszlásának nevezünk. Ennek megfelelően, valószínűségi változókat akkor fogunk (páronként, teljesen) függetleneknek nevezni, ha a velük kapcsolatos eseményrendszerek (eseményalgebrák) függetlenek. Ezzel kapcsolatos a következő tétel.

3.2. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK STRUKTÚRÁJA 23 3.3. Tétel. A ξ : Ω R p és η : Ω R q (v.)v.v.-k pontosan akkor függetlenek, ha P ({ξ I} {η J}) = P (ξ I) P (η J) I R p, J R q intervallumok. (3.1) Bizonyítás. Az egyik irány nyilvánvaló, tehát tegyük fel, hogy (3.1) teljesül. Ekkor a B p+q -n (ξ, η)-által generált P (ξ,η) mértékre P (ξ,η) (I J) = P ξ (I) P η (J) I I p, J I q, tehát megegyezik a szorzatmértékkel az I p+q félgyűrűn, de akkor az egyértelmű kiterjesztés miatt P (ξ,η) a szorzatmérték (lásd: A. függelék, A.3. tétel), vagyis P (ξ,η) (A B) = P ({ξ A} {η B}) = P (ξ A) P (η B) A B p, B B q, amit bizonyítani kellett. 3.2. Valószínűségi változók struktúrája Az alábbiakban összefoglaljuk a skalár v.v.-k (mérhető függvények, lásd: A függelék), könnyen ellenőrízhető tulajdonságait. 1. Egy A A esemény indikátora 1 A (ω) = { 1 ha ω A 0 ha ω Ā valószínűségi változó. Speciálisan az 1 Ω 1 iletve 1 0 konstans függvények v.v.-k. 2. A skalár v.v.-k L halmaza vektorháló, azaz ξ L, c R c ξ L ξ, η L ξ + η L max{ξ, η} min{ξ, η} L, amiből következik, hogy egy ξ v.v. pozitív és negatív része, és abszolút értéke is valószínűségi változó. ξ + = max{0, ξ} ξ = min{0, ξ} ξ = ξ + ξ 3. Egy véges értékkészletű ξ : Ω R függvény pontosan akkor v.v., ha és ekkor a {ξ = x} A x im(ξ), ξ = x im(ξ) valószínűségi változót egyszerűnek nevezzük. x 1 {ξ=x} Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

24 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 4. A skalár v.v.-k L halmaza zárt a pontonkénti limeszre, azaz ha ξ n L n = 1, 2,... és lim n ξ n = ξ : Ω R, akkor ξ valószínűségi változó. 5. Ha 0 ξ v.v., akkor megadható egyszerű v.v.-k (ξ n ) n=1 sorozata, hogy A ξn A ξ n = 1, 2,... és monoton nem csökkenő lim ξ n = ξ. (3.2) n 6. Valószínűségi változó mérhető függvénye is valószínűségi változó, tehát ha ξ : Ω R n (v.)v.v. és h : R n R mérhető, akkor h ξ : Ω R valószínűségi változó. Speciálisan, ha h folytonos függvény, akkor h ξ valószínűségi változó. 3.3. Valószínűségi változók eloszlása Egy ξ : Ω R n (v.)v.v. mindíg generál egy (R n, B n, P ξ ) valószínűségi mezőt, ahol a P ξ (B) = P ( ξ 1 (B) ) B B n valószínűségi mértéket (vagy a generált valószínűségi mezőt), amely az egységnyi valószínűséget szétosztja R n mérhető halmazain, a ξ v.v. eloszlásának nevezzük. A ξ-t diszkrét eloszlásúnak nevezzük, ha ez a mérték egy diszkrét valószínűségeloszlással adott, vagyis P ξ (B) = x B P (ξ = x) B B n, ahol a P (ξ = x) x R n valószínűségek közül csak véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok különbözik nullától, és azok összege x R n P (ξ = x) = 1. A ξ-t folytonos eloszlásúnak nevezzük, ha ez a mérték egy valószínűségi sűrűségfüggvénnyel adott, vagyis P ξ (B) = f B B n, ahol f : R n R + 0 valószínűségi sűrűségfüggvény, azaz R n f = 1. B

3.3. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSA 25 Ilyenkor f nulla mértékű halmazon történő megváltoztatása azonos eloszlást eredményez, tehát f megadása nulla mértékű halmaztól eltekintve egyértelmű. Eloszlások e két típusa azonban közel sem meríti ki az összes lehetőséget (lásd pl. a 3. feladatban (ξ 1, η) eloszlása), csupán ezek a legegyszerűbben kezelhetők, és az alkalmazásokban is ilyenek fordulnak elő leggyakrabban. Mint később látni fogjuk, a P ξ mértéket, vagyis ξ eloszlását egyértelműen meghatározza a következő fogalom. 3.4. Definíció. A ξ = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) : Ω R n (v.)v.v. eloszlásfüggvényének nevezzük az F (x 1, x 2,..., x n ) = P (ξ 1 < x 1, ξ 2 < x 2,..., ξ n < x n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n függvényt. A definícióból és a valószínűségi mérték tulajdonságaiból egyszerűen következnek az alábbiak. Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: 1. A ξ (v.)v.v. F eloszlásfüggvénye korlátos, im (F ) [0; 1]. 2. Legyen a ξ v.v.v. eloszlásfüggvénye F, akkor rögzített (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ) R n 1 esetén az F (k) = F (x 1,..., x k 1,, x k+1,..., x n ) : R [0; 1] parciális függvény (a) monoton nem csökkenő, balról mindenütt folytonos; (b) határértéke a végtelenben: és F (k) ( ) = x F (x 1,..., x k 1, x, x k+1,..., x n ) lim F (k)(x) = 0 x F (k) (+ ) = lim F (k)(x) = x + = P ( ) ξ 1 < x 1, ξ 2 < x 2,..., ξ k 1 < x k 1, ξ k+1 < x k+1,... ξ n < x n vagyis F (k) (+ ) a ( ξ 1, ξ 2,..., ξ k 1, ξ k+1,... ξ n ) n 1 dimenziós un. perem eloszlásfüggvénye az (x 1,..., x k 1, x k+1,..., x n ) R n 1 helyen. Speciálisan, ha ξ skalár v.v., F monoton nem csökkenő, balról folytonos, és lim F (x) = 0 x lim F (x) = 1. x + Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

26 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 3. Legyen ξ skalár v.v., akkor a ξ-vel kapcsolatos események valószínűségei x y R esetén: P (ξ < x) = F (x) P (ξ x) = 1 F (x) P (x ξ < y) = F (y) F (x) P (ξ = x) = F (x + 0) F (x) P (x ξ y) = F (y + 0) F (x) P (x < ξ y) = F (y + 0) F (x + 0) P (x < ξ < y) = F (y) F (x + 0) ahol F (x + 0) = lim t x+ F (t), vagy általában jelöljük mindezt az alábbi módon: P (ξ I) = [F ] I I R intervallum. Ha ξ vektor valószínűségi változó, hasonlóan kaphatjuk P (ξ I) = [F ] I I R n intervallum. Megjegyzés: Tehát P ξ értéke az intervallumokon kifejezhető az eloszlásfüggvénnyel, azaz ξ eloszlását meghatározza eloszlásfüggvénye (lásd: A. függelék, A.3. tétel). Ennek következménye az, hogy egy v.v. értékét 0 valószínűségű eseményen tetszőlegesen módosítva (vagy akár meg sem adva), az eloszlásfüggvény változatlan marad. A továbbiakban felsorolunk néhány egyszerűen ellenőrízhető, (feladatokban, alkalmazásokban) gyakran használt következményt. Következmények: 1. Legyen a ξ : Ω R skalár v.v. (a) diszkrét eloszlású, akkor a diszkrét eloszlás valószínűségei és az eloszlásfüggvény P (ξ = x) = F (x + 0) F (x) x R, F (x) = t<x P (ξ = t) x R. Egy I R intervallum esetén P (ξ I) = x I P (ξ = x).

3.3. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSA 27 (b) folytonos eloszlású, akkor valószínűségi sűrűségfüggvénye f(x) = F (x) x R ahol f folytonos, és az eloszlásfüggvény F (x) = x f(t)dt x R. Egy I R intervallum esetén, ha belseje ]a; b[ P (ξ I) = I f(t)dt = [F ] I = F (b) F (a). Mindez ξ : Ω R n v.v.v. esetén az alábbi összefüggéseket jelenti: illetve f(x 1, x 2,..., x n ) = n x1 x2... xn F (x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) R n ahol f folytonos, F (x 1, x 2,..., x n ) = x 1 x2... x n f(t 1, t 2,..., t n )dt 1 dt 2... dt n (x 1, x 2,..., x n ) R n, és egy I R n intervallum esetén, P (ξ I) = I f = [F ] I. Megjegyzés. Egy ξ skalár v.v. eloszlásának folytonosága egyszerűen következik, ha teljesül az alábbi két feltétel: F folytonos függvény; F folytonosan differenciálható az ]a n ; b n [ n = 1, 2,..., N nyílt intervallumokon, ahol a 1 =, a 2 = b 1, a 3 = b 2,, a N = b N 1, b N = +. 2. Legyen a (ξ, η) : Ω R p+q v.v.v. (a) diszkrét eloszlású, akkor ξ illetve η diszkrét eloszlásúak, és P (ξ = x) = y P (η = y) = x P (ξ = x, η = y) x R p ; P (ξ = x, η = y) y R q ; Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

28 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (b) folytonos eloszlású f : R p+q R + 0 sűrűségfüggvénnyel, akkor ξ illetve η folytonos eloszlásúak, és sűrűségfüggvényeik f ξ (x) = f(x, y)dy x R p ; R q f η (y) = f(x, y)dx y R q ; R p Megjegyzés: Kaptuk tehát, hogy diszkrét illetve folytonos eloszlású v.v.v. peremeinek eloszlása ugyancsak diszkrét illetve folytonos. A megfordítás az első esetben igaz, hiszen a peremek diszkrét eloszlása miatt az együttes eloszlás már legfeljebb megszámlálhatóan végtelen sok érték-pár felvételéhez összesen 1 valószínűséget rendel. A peremek folytonos eloszlásából azonban nem következik az együttes eloszlás folytonossága (lásd 3. feladat). 3. A (ξ, η) : Ω R p+q v.v.v. ξ : Ω R p és η : Ω R q peremei pontosan akkor függetlenek, ha a megfelelő eloszlásfüggvényekre teljesül F (ξ,η) (x, y) = F ξ (x) F η (y) x R p y R q. Ha (ξ, η) diszkrét eloszlású, ez a feltétel ekvivalens a P (ξ = x, η = y) = P (ξ = x) P (η = y) x R p y R q teljesülésével, és ha (ξ, η) folytonos eloszlású, a feltétel f(x, y) = f ξ (x) f η (y) x R p y R q alakban írható a megfelelő sűrűségfüggvények alkalmas választásával. 4. Valószínűségi változó konstruálása adott eloszlással: (a) Legyen (p n ) n=1,2,... egy diszkrét valószínűségeloszlás, és {x 1, x 2,...} R p, akkor az Ω = R p A = B p P (B) = x n B p n B A valószínűségi mezőn értelmezett ξ = id R p v.v. diszkrét eloszlású, és eloszlása: P (ξ = x) = { pn ha x = x n n = 1, 2,... 0 egyébként.

3.3. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK ELOSZLÁSA 29 (b) Legyen f : R p R egy valószínűségi sűrűségfüggvény, akkor az Ω = R p A = B p P (B) = f B B A valószínűségi mezőn értelmezett ξ = id R p v.v. folytonos eloszlású, és sűrűségfüggvénye: f : R p R. (c) Legyen a ξ : Ω R v.v. F eloszlásfüggvénye folytonos, akkor az η = F (ξ) v.v. eloszlásfüggvénye 0 ha x 0 F η (x) = x ha 0 < x 1. (3.3) 1 ha 1 < x Megjegyzés: Az ilyen eloszlású η v.v.-t (pontosabban megfigyelt értékét) véletlen számnak nevezzük, a megfigyelt értéket szolgáltató kísérlet illetve eljárás pedig az un.véletlen szám generátor. A véletlen szám generátorok nélkülözhetetlenek véletlen jelenségek szimulációjához, segítségükkel kaphatunk kívánt eloszlású véletlen mennyiségeket: i. Ha F folytonos és invertálható eloszlásfüggvény, akkor az η véletlen szám segítségével kaphatunk F eloszlásfüggvényű ξ = F 1 (η) valószínűségi változót. Ez a módszer esetenként időigényes lehet az inverz függvény megadása miatt, ezért ilyenkor hatékonyabb (gyorsabb) eljárásokat használnak (lásd: 10. feladat). ii. Ha p 1, p 2, p 3, egy diszkrét valószínűségeloszlás és {x 1, x 2, x 3, } R, akkor a ξ = x 1 1 {η p1 } + x 2 1 {p1 <η p 1 +p 2 } + x 3 1 {p1 +p 2 <η p 1 +p 2 +p 3 } + v.v. eloszlása P (ξ = x k ) = p k k = 1, 2,. 5. Valószínűségi változó függvényének eloszlása: Legyen ξ : Ω R p v.v.v. (a) diszkrét eloszlású, és h : R p R q, akkor η = h ξ : Ω R q diszkrét eloszlású v.v., és P (η = y) = P (ξ = x) y R q. (3.4) {x R p h(x)=y} Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

30 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (b) folytonos eloszlású f : R p R sűrűségfüggvénnyel, h : R p R p invertálható, és h 1 folytonosan differenciálható függvény, akkor η = h ξ : Ω R p v.v.v. eloszlása folytonos, és sűrűségfüggvénye ( ) f η (y) = det y h 1 (y) f ( h 1 (y) ) y R p. (3.5) Következmény: Ha a (ξ, η) : Ω R valószínűségi változó (a) diszkrét eloszlású, akkor ξ + η eloszlása is diszkrét, és P (ξ + η = x) = z P (ξ = x z, η = z) = z és ha még függetlenek is, akkor P (ξ + η = x) = z P (ξ = x z) P (η = z) = z P (ξ = z, η = x z) x R, P (ξ = z) P (η = x z) x R. (b) folytonos eloszlású f : R 2 R sűrűségfüggvénnyel, akkor ξ + η eloszlása is folytonos, és sűrűségfüggvénye f ξ+η (x) = + és ha még függetlenek is, akkor f ξ+η (x) = + f(x z, z)dz = f ξ (x z) f η (z)dz = + + ahol f ξ és f η a megfelelő peremek sűrűségfüggvényei. f(z, x z)dz x R, f ξ (z) f η (x z)dz x R, 3.4. Nevezetes eloszlású valószínűségi változók A továbbiakban röviden összefoglaljuk a már korábban (azonos sorszámmal) felsorolt, nevezetes véletlen kísérletek kapcsán megfogalmazható valószínűségi változó jellemzőit, és néhány könnyen ellenőrízhető tulajdonságát. Az egyszerűbb jelölés érdekében, diszkrét eloszlások esetén csak a pozitív valószínűségeket soroljuk fel a megfelelő értékekkel, és folytonos eloszlás sűrűségfüggvényét csak ott adjuk meg, ahol pozitív értéket vesz fel. Tehetjük mindezt azért is, mert 0 vallószínűségű eseményen egy v.v. tetszőlegesen megváltoztatható az eloszlás változatlansága mellett. (1) Visszatevés nélküli mintavétel Egy N N + elemszámú halmaz elemei között 0 < M < N számú megjelölt van. Véletlenszerűen kiválasztva n N számút, jelölje ξ a megjelöltek számát a mintában.

3.4. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 31 Ekkor ξ diszkrét eloszlású, és (1.1) szerint eloszlása hipergeometrikus : ( M ) ( k N M ) n k P (ξ = k) = ( N k = 0, 1, 2,... n, n) jelölése ξ Hyp(N, M, n). Vezessük be továbbá a következő eseményeket A k a k-adik kiválasztott a megjelöltek közül való k = 1, 2,..., n; akkor ahol P (A k ) = M N = p P (A k A l ) = ξ = 1 A1 + 1 A2 +... + 1 An (3.6) M(M 1) N(N 1) k l = 1, 2,..., n. Tulajdonságok: (a) A legvalószínűbb érték, un. módusz, az a legnagyobb k egész, melyre teljesül (n + 1) M + 1 N + 2 k, és ha itt egyenlőség teljesül, akkor P (ξ = k) = P (ξ = k 1). (b) Ha ξ N Hyp(N, M, n) és p = M állandó, akkor N ( ) n lim P (ξ N N = k) = p k (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n. k p= M N (2,3) Visszatevéses mintavétel, Bernoulli kísérlet Egy 0 < p < 1 valószínűségű esemény n-ismételt megfigyelése esetén jelölje a ξ v.v. a bekövetkezések számát. Ekkor ξ diszkrét eloszlású, és (1.2) szerint eloszlása n-edrendű p-paraméterű binomiális eloszlás : ( ) n P (ξ = k) = p k (1 p) n k k = 0, 1, 2,... n, k jelölése ξ Bin(n; p). Vezessük be továbbá a következő (teljesen) független eseményeket A k a k-adik megfigyelésben bekövetkezik a figyelt esemény k = 1, 2,..., n; akkor ahol Tulajdonságok: ξ = 1 A1 + 1 A2 +... + 1 An (3.7) P (A k ) = p k = 1, 2,..., n. Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

32 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (a) Az eloszlás módusza az a legnagyobb k egész, melyre teljesül (n + 1) p k, és ha itt egyenlőség teljesül, akkor P (ξ = k) = P (ξ = k 1). (b) Ha ξ 1 Bin(n 1 ; p) és ξ 2 Bin(n 2 ; p) függetlenek, akkor ξ 1 + ξ 2 Bin(n 1 + n 2 ; p). (c) Ha ξ n Bin(n; p) és np = λ állandó, akkor (4) Véletlen eseményszám lim P (ξ n n = k) = λk k! e λ k = 0, 1, 2,.... np=λ Egy átlagosan 0 < λ-szor bekövetkező esemény bekövetkezéseinek számát jelölje a ξ v.v. Ekkor ξ diszkrét eloszlású, és (1.3) szerint eloszlása λ-paraméterű Poisson eloszlás: jelölése ξ Po(λ). Tulajdonságok: P (ξ = k) = λk k! e λ k N, (a) Az eloszlás módusza az a legnagyobb k egész, melyre λ k, és ha itt egyenlőség teljesül, akkor P (ξ = k) = P (ξ = k 1). (b) Ha ξ 1 Po(λ) és ξ 2 Po(µ) függetlenek, akkor (5) Véletlen időtartam Egy átlagosan T = 1 λ változó. ξ 1 + ξ 2 Po(λ + µ) idejű véletlen időtartam értéke legyen a ξ valószínűségi Ekkor ξ folytonos eloszlású, és (1.4) szerint eloszlása λ-paraméterű exponenciális eloszlás, sűrűségfüggvénye f(t) = λ e λt t > 0, eloszlásfüggvénye jelölése ξ Exp(λ). Tulajdonságok: { F (t) = 0 ha t 0 1 e λt ha 0 < t,

3.4. NEVEZETES ELOSZLÁSÚ VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK 33 (a) Az eloszlás un. mediánja, az F (t) = 1 2 egyenlet megoldása T 1 2 = ln(2) λ ami olyan időtartamként értelmezhető, mely alatt, sok ilyen véletlen időtartamnak átlagosan a fele ér véget (felezési idő). (b) Egy folytonos eloszlásfüggvényű ξ : Ω R + 0 v.v. akkor és csak akkor exponenciális eloszlású, ha minden x, y > 0 esetén teljesül: P (ξ > x + y ξ > y) = P (ξ > x). (c) Ha ξ Exp(λ), és c R +, akkor c ξ Exp( λ c ). (6) Mérési eredmény Sok (kis) eltérés összegeként nyerhető véletlen értéket jelölje a ξ valószínűségi változó. Ekkor ξ folytonos eloszlású, és (1.7) szerint eloszlása m R és σ > 0 paraméterű normális (vagy Gauss) eloszlás, sűrűségfüggvénye f(x) = 1 2π σ e (x m)2 2σ 2 x R,, eloszlásfüggvénye jelölése ξ N (m; σ). Tulajdonságok: F (x) = x f(t)dt x R, (a) Ha m = 0 és σ = 1, standard normális eloszlásról beszélünk, aminek sűrűségfüggvénye ϕ(x) = 1 e x2 2 x R, 2π eloszlásfüggvénye pedig Φ(x) = x ϕ(t)dt x R, amit táblázat segítségével használhatunk (lásd: B. függelék). Mivel ϕ páros függvény, teljesül Φ( x) = x ϕ(t)dt = x ϕ(t)dt = 1 Φ(x) x R, ezért a táblázatok általában csak 0 x helyen adják meg a Φ(x) függvényértéket. Ebből következik, hogy a N (0; 1) eloszlás mediánja 0. Kézirat, módosítva: 2006. október 24.

34 3. FEJEZET. VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓK (b) Ha ξ N (m; σ), és a 0, b R, akkor a ξ + b N (a m + b; a σ), tehát a lineáris transzformáció nem változtat az eloszlás normális voltán. Speciálisan a ξ u.n. standardizáltja ξ m σ N (0; 1). (c) Ha ξ N (m; σ), akkor sürűségfüggvénye f(x) = 1 σ ϕ ( x m σ ) x R, eloszlásfüggvénye mediánja m. ( ) x m F (x) = Φ σ x R, (d) Ha ξ 1 N (m 1 ; σ 1 ) és ξ 2 N (m 2 ; σ 2 ) függetlenek, akkor ( ) ξ 1 + ξ 2 N m 1 + m 2 ; σ 2 1 + σ 2 2 (7) Véletlen pont választása Egy [a; b] R intervallumban válasszunk találomra egy számot, jelölje ezt a ξ valószínűségi változó. Ekkor ξ folytonos eloszlású, és (1.8) szerint az eloszálsú v.v., sűrűségfüggvénye eloszlásfüggvénye jelölése ξ U(a; b). Tulajdonságok: f(x) = 1 b a F (x) = a < x < b, 0 ha x a ha a < x b 1 ha b < x x a b a (a) Az eloszlás mediánja a+b. 2 (b) Ha ξ U(a; b) és 0 α, β R akkor [a; b] intervallumon egyenletes, α ξ + β { U (αa + β; αb + β) ha α > 0 U (αb + β; αa + β) ha α < 0.