KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 17
XVII A HATÁROZATLAN INTEGRÁL 1 PRImITÍV FÜGGVÉNY, ALApINTEGRÁLOk A (nagy) F függvényt a (kis) f függvény primitív függvényének nevezzük valamely nyílt intervallumon, ha itt Egy függvénynek végtelen sok primitív függvénye van, és ezek összességét f határozatlan integráljának nevezzük Jelölése: (olv "integrál ef iksz dé iksz"), ahol C tetszőleges állandó (integrációs állandó) Alapintegrálok,,,
2 INTEGRÁLÁSI SZAbÁLYOk, k állandó (1) (2) (3), állandó Parciális integrálás Parciális integrálás: Gyakoriak az alakú integrálok, ahol P(x) polinom Ha Q(x) exponenciális, trigonometrikus vagy hiperbolikus függvény, akkor P(x) -et célszerű u-nak választani Ha viszont Q(x) logaritmus, arkusz vagy area függvény, akkor Q(x)-et célszerű u-nak választani Integrálás helyettesítéssel Integrálás helyettesítéssel: Ha jól választjuk meg a j függvényt, akkor a jobb oldali új integrál egyszerűbb lesz, mint az eredeti 3 MINTApÉLDÁk Megoldások: láthatók nem láthatók 1 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c),
d) e) f) g) h) i) j) k) l) Megoldások A fenti integrálok mindegyike visszavezethető alapintegrálokra a) b) c) d)
e) C f) g), vagy h) i) j) k) l) 2 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások Mindegyik integrál kiszámításánál felhasználjuk a (3) szabályt a)
b) c) d) e) f) 3 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások A fenti integrálok kiszámításánál felhasználjuk a (2) szabályt a) A számláló a nevező deriváltja, ezért A b) f) integrálok kiszámításánál szükséges egy kis átalakítás ahhoz, hogy a számláló a nevező deriváltja legyen b) c) d)
e) f) 4 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) Megoldások Alkalmazzuk az (1) szabályt a) b) c) d) e) f)
5 Számítsuk ki az alábbi integrálokat, majd deriválással győződjünk meg az integrálás helyességéről: a) b) c) d) e) f) Megoldások Alkalmazzuk a parciális integrálás módszerét a) Ellenőrzés: Megkaptuk az integranduszt -et), tehát az integrálás eredménye helyes b) Ellenőrzés: c) Ellenőrzés:
d) Ellenőrzés: e) Ellenőrzés: f) Ellenőrzés: 6 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e)
f) g) h) Megoldások Alkalmazzuk a helyettesítéssel való integrálás módszerét a) b) c) d) e) a ch t dt = f)
g) h) Egy lehetséges másik helyettesítés:, dt 7 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) Megoldások a) b) c)
d) (l a 6/f példát) 8 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) e) f) g) h) Megoldások Valamennyi integrandusz racionális tört Résztörtekre bontjuk őket, majd utána integrálunk Felhasználjuk a 7 példa eredményeit a) Ha x = 2, akkor 9 = 7A Þ A =, ha, akkor Tehát b), tehát
c) d) Itt kihasználtuk azt, hogy a azonosságból A = 1, B = 3, következik e) f) g) h), 9 Számítsuk ki az alábbi integrálokat:
a) b) c) Megoldások Mindegyik integrandusz sin x-nek és cos x-nek racionális függvénye Ekkor egy lehetséges megoldási mód a helyettesítéssel való integrálás Itt felhasználjuk azt, hogy,, a) b) Itt eljárhatunk a következőképpen is: c) 10 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b)
c) Megoldások Mindegyik integrandusz -nek racionális függvénye Ekkor egy lehetséges megoldási mód az helyettesítéssel való integrálás:,, azaz a) b) Megjegyezzük, hogy a tört számlálója a nevező deriváltja c) 11 Számítsuk ki az alábbi integrálokat: a) b) c) d) Megoldások a)
b) c) d) 4 FELADATOk Számítsa ki a következő integrálokat, alapintegrálokra visszavezetve azokat: 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Számítsa ki a következő integrálokat, a parciális integrálás módszerét alkalmazva: 11 12 13 14 15 16 17 18 Számítsa ki a következő integrálokat, a helyettesítés módszerét alkalmazva: 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 Számítsa ki a következő integrálokat, az (1), (2) és (3) integrálási szabályokat alkalmazva: 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Számítsa ki a következő integrálokat az integrandusz résztörtekre bontásával: 41
42 43 44 45 46 47 48 A helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat: 49 50 Az helyettesítéssel számítsa ki a következő integrálokat: 51 52 Számítsa ki a következő integrálokat: 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 Megoldások 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 17 18, Adjuk össze a két egyenlőséget, majd az összeget osszuk el 2 -vel Ekkor a kívánt integrált kapjuk:
Ha a két egyenlőséget kivonjuk egymásból, majd ismét osztunk 2 -vel, akkor egy újabb integrált kapunk 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 Itt észrevehető, hogy a számláló a nevező deriváltja, és így 42
43 44 45 46 47 48 49 A helyettesítés elvégzése után 50 51 Az helyettesítés elvégzése után 52 53
54 55 56 57 58 59 60 61 A 18 feladat megoldásához hasonló módon eljárva, 62 Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011