Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24

3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel Jelölje by N 0 a nemnegatív egészek halmazát, azaz N 0 = N {0}. Legyen f : N 0 R R adott függvény, akkor az y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N 0 ) egyenletet elsőrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(0) adott akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az y(n) (n N 0 ) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N 0 R R és a(0) R esetén egyetlen olyan y(n) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 1) = f (n, y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2 / 24

3.2 Egy egyszerű elsőrendű egyenlet Tekintsük az y(n + 1) + py(n) = f (n) (n N 0 ) differenciaegyenletet, ahol p 0 adott konstans f : N 0 R adott sorozat. Felírva az egyenletet n = 0, 1, 2... -re kapjuk, hogy y(1) = py(0) + f (0) y(2) = py(1) + f (1) = p( py(0) + f (0)) + f (1) = ( p) 2 y(0) pf (0) + f (1) y(3) = py(2) + f (2) = p(( p) 2 y(0) pf (0) + f (1)) + f (2) = ( p) 3 y(0) + ( p) 2 f (0) pf (1) + f (2) Indukcióval igazolhatjuk, hogy n 1 y(n) = ( p) n y(0) + ( p) n 1 k f (k) (n N 0 ) k=0 egyenletünk általános megoldása ahol y(0) tetszőleges. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 3 / 24

3.3 Egy növekedési modell Legyen Y (n) a nemzeti jövedelem, I(n) a teljes beruházás és S(n) a teljes megtakarítás az n-edik évben. Tegyük fel, hogy a megtakarítás arányos a nemzeti jövedelemmel, a beruházás arányos a nemzeti jövedelem növekményével az n-edik évtől az n + 1-edik évre és a beruházást a megtakarítás fedezi (ez egy egyensúlyi feltétel ami szerint a teljes megtakarítást beruházásra fordítjuk). Ekkor teljesül a következő egyenletrendszer. S(n) I(n + 1) S(n) = αy (n) = β (Y (n + 1) Y (n)) = I(n). Itt α, β pozitív konstansok, melyekre β > α > 0. Keressük meg Y (n)-et, ha Y (0) adott! Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 4 / 24

3.4 Egy növekedési modell: a megoldás A harmadik majd az első egyenletet a másodikba helyettesítve kapjuk, hogy I(n + 1) = S(n + 1) = αy (n + 1) = β (Y (n + 1) Y (n)) vagy Y (n + 1) β ( ) α Y (n) = Y (n + 1) 1 + Y (n) = 0 β α β α Felhasználva az előzőkben kapott megoldást p = 1 + α β α adatokkal kapjuk, hogy, f (n) = 0 Y (n) = ( ) α n 1 + Y (0) (n N 0 ). β α % konstans növekedési rátát ad minden évben, vagy Ez 100α β α α Y (n+1) Y (n) β α = Y (n) konstans relatív növekedést. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 5 / 24

3.5 Pókháló modell Ha elsőrendű differenciaegyenletünkben az f függvény csak a második változótól függ azaz egyenletünk y(n + 1) = f (y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0) alakú, akkor a megoldást egy un. pókháló modellel szemléltethetjük: megrajzoljuk a f függvény gráfját, és az y = x egyenest, az (y(0), y(0)) = (a(0), a(0)) pontot egy egyenes szakasszal összekötjük az (y(0), f (y(0))) = (y(0), y(1)) ponttal, majd ezt a pontot egy egyenes szakasszal összekötjük az (y(1), y(1)) ponttal, ismételjük az eljárást az (y(1), y(1)) pontból indulva, és így tovább. A fenti algoritmusban az y tengellyel párhuzamos összekötő szakaszokat az x tengelyig meghosszabbítva kapjuk e tengelyen a sorozat y(0), y(1),... elemeit. A következő példánál az ábránkon ezeket a meghosszabbításokat nem rajzoltuk be, csupán a sorozat elemeit jelöltük be az x tengelyen. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 6 / 24

3.6 Pókháló modell: példa Ábránkon az y(n + 1) = 4 y(n) (n N 0 ) differenciaegyenletre vonatkozó pókhálót vázoltuk y(0) = 0 kezdőérték mellett, y(1) = 2, y(2) = 2 1, 414, y(3) = 4 2 1, 608. Az ábrán a f (x) = 4 x és a h(x) = x függvények vannak felrajzolva. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 7 / 24

3.7 Másodrendű differenciaegyenlet, egzisztencia- és unicitástétel Legyen f : N 0 R R R adott függvény, akkor az y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N 0 ) egyenletet másodrendű explicit differenciaegyenletnek nevezzük. Világos, hogy ha y(0), y(1) adottak akkor az egyenletből egyértelműen meghatározható az (y(n)) (n N 0 ) sorozat valamennyi eleme. Egzisztencia- és unicitástétel Adott f : N 0 R R R és a(0), a(1) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 2) = f (n, y(n + 1), y(n)) (n N 0 ) és y(0) = a(0), y(1) = a(1) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 8 / 24

3.8 Lineáris differenciaegyenletek Az alábbiakban az áttekinthetőség kedvéért másodrendű differenciaegyenletekkel foglalkozunk, de teljesen hasonló eredmények érvényesek n-edrendű egyenletekre is. Lineáris differenciaegyenletek Adott p, q, f : N 0 R függvények esetén az y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ) (1) egyenletet másodrendű lineáris differenciaegyenletnek nevezzük. A p, q függvények az egyenlet együtthatói, f az egyenlet szabad tagja. Feltesszük, hogy a q együttható nem zérus (különben egyenletünk másodrendűnél alacsonyabbrendű volna, amint azt egy n n 1 index eltolással láthatjuk). Az (1) egyenletet homogénnek nevezzük ha f (n) = 0 (n N 0 ), ellenkező esetben inhomogén egyenletről beszélünk. A homogén egyenletet melyet (1)-ből f (n) = 0 helyettesítéssel kapunk az (1) egyenlethez asszociált (kapcsolt) homogén egyenletnek nevezzük. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 9 / 24

3.8 Lineáris differenciaegyenletek Világos, hogy adott a(0), a(1) R esetén egyetlen olyan (y(n)) (n N 0 ) sorozat van melyre y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ) és y(0) = a(0), y(1) = a(1) teljesül. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 10 / 24

3.9 Lineáris homogén differenciaegyenletek általános megoldása A másodrendű lineáris homogén differenciaegyenletek általános alakja y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = 0 (n N 0 ). (2) ahol p, q adott sorozatok, q(n) 0 valamely n N 0 -ra. Könnyű ellenőrizni, hogy ha y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) a (2) egyenlet megoldásai, akkor tetszőleges C 1, C 2 együtthatókkal képezett y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N 0 ) lineáris kombinációjuk is megoldása (2)-nek, és minden megoldás ilyen alakban kapható meg (feltéve, hogy az y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) megoldások lineárisan függetlenek, azaz fenti linearis kombinációjuk csak úgy lehet nulla, ha C 1 = C 2 = 0, vagy másképpen, e sorozatok nem egymás konstansszorosai). Azt is mondjuk, hogy y(n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) (n N 0 ) a (2) egyenlet általános megoldása. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 11 / 24

3.10 Megoldások lineáris függetlensége, Casorati determináns Nem nehéz igazolni, hogy a (2) homogén egyenlet y 1 (n), y 2 (n) (n N 0 ) megoldásai lineárisan függetlenek akkor és csakis akkor ha e sorozatok Casorati determinánsa, azaz C y1,y 2 (n) := y 1 (n) y 2 (n) y 1 (n + 1) y 2 (n + 1) 0 valamely n 0 N 0 esetén. Sőt, az is igaz, hogy ha C y1,y 2 (n 0 ) 0 valamely n 0 N 0 -ra, akkor C y1,y 2 (n) 0 minden n N 0 esetén. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 12 / 24

3.11 Lineáris inhomogén egyenletek: a megoldás szerkezete Könnyű igazolni, hogy az y(n + 2) + p(n)y(n + 1) + q(n)y(n) = f (n) (n N 0 ). (ahol q(n) 0 valamely n N 0 -ra) másodrendű lineáris inhomogén egyenlet általános megoldása y(n) = y h (n) + ȳ(n) (n N 0 ) alakú, ahol y h (n) = C 1 y 1 (n) + C 2 y 2 (n) az asszociált homogén egyenlet általános megoldása (azaz y 1 (n), y 2 (n) lineárisan független megoldásai az asszociált homogén egyenletnek, C 1, C 2 tetszőleges konstansok) és ȳ(n) egy u.n. partikuláris megoldása inhomogén egyenletünknek. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 13 / 24

3.12 Konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletek Ha az (1) egyenletben p, q R, q 0 konstans függvények (sorozatok) és f (n) = 0 (n N 0 ), akkor másodrendű konstansegyütthatós lineáris homogén differenciaegyenletet kapunk: y(n + 2) + py(n + 1) + qy(n) = 0 (n N 0 ). (3) A (3) egyenlettel párhuzamosan tekintsük a λ 2 + pλ + q = 0 (4) másodfokú algebrai egyenletet (ezt a (3) egyenlet karakterisztikus egyenletének nevezzük). (4)-et λ n -nel megszorozva kapjuk, hogy λ n+2 + pλ n+1 + qλ n = 0 amiből látható, hogy az y(n) = λ n sorozat megoldása (3)-nak, akkor és csakis akkor, ha λ megoldása a (4) karakterisztikus egyenletnek. A megoldások viselkedése a (4) egyenlet D = p 2 4q diszkriminánsától függ. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 14 / 24

3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q > 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző valós λ 1 λ 2 megoldása van, és ekkor y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = λ n 2 (n N 0 ). lineárisan független megoldásai (3)-nak, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 1 λ 1 λ 2 = λ 2 λ 1 0. Ezért most a (3) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 λ n 1 + C 2λ n 2 (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 15 / 24

3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q = 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek egy kétszeres valós λ 1 == p 2 megoldása van, ekkor igazolható, hogy y 1 (n) = λ n 1, y 2(n) = nλ n 1 (n N 0) megoldásai (3)-nak. λ 1 = p 2 0 mivel ha p 2 = 0, p2 4q = 0 volna, akkor p = q = 0, ami ellentmond a q 0 feltételnek. y 1 (n), y 2 (n) lineárisan függetlenek, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 0 λ 1 λ 1 = λ 1 0. Ezért most (3) általános megoldása y(n) = C 1 λ n 1 + C 2nλ n 1 (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 16 / 24

3.13 A megoldás menete Ha p 2 4q < 0, akkor a karakterisztikus egyenletnek két különböző komplex gyöke van λ 1,2 = α ± iβ ahol α = p 2, β = 4q p 2 2 0, vagy trigonometrikus alakban λ 1,2 = r(cos ϑ ± i sin ϑ) ahol (r = α 2 + β 2, cos ϑ = α r ). Ekkor λ n 1,2 = r n (cos(ϑn) ± i sin(ϑn)), a valós és képzetes részek lineárisan független megoldások, mivel Casorati determinánsuk a 0 pontban C y1,y 2 (0) = 1 0 r cos ϑ r sin ϑ = r sin ϑ = r β r = β 0. A (3) egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 r n cos(ϑn) + C 2 r n sin(ϑn) (n N 0 ) ahol C 1, C 2 tetszőleges konstansok. A megoldás átírható y(n) = Ar n cos(ϑn + ω) vagy y(n) = Ar n sin(ϑn + ω) (n N 0 ) alakba is, ahol A, ω tetszőleges konstansok. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 17 / 24

3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Ha az inhomogén egyenlet f (n) szabad tagja az a n, n k, cos βn, sin βn (5) sorozatok lineáris kombinációja (vagy ilyenek szorzata) akkor az inhomogén egyenletnek van olyan ȳ(n) megoldása, mely az alábbi sorozatok lineáris kombinációja a n, (1, n, n 2,..., n k ), (sin βn, cos βn), (cos βn, sin βn) (vagy ilyenek szorzata), feltéve hogy az (5)-beli sorozatok egyike sem megoldása a homogén egyenletnek. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 18 / 24

3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Az alábbi táblázatban láthatjuk az inhomogén egyenlet megoldásának (próbamegoldás) alakját (amennyiben f (n) nem megoldása az asszociált homogén egyenletnek): f (n) ȳ(n) a n A 1 a n n k A k n k + A k 1 n k 1 + + A 1 n + A 0 n k a n (A k n k + A k 1 n k 1 + + A 1 n + A 0 )a n sin βn A 1 sin βn + A 2 cos βn cos βn A 1 sin βn + A 2 cos βn a n sin βn a n (A 1 sin βn + A 2 cos βn) a n cos βn a n (A 1 sin βn + A 2 cos βn) a n n k sin βn a n (A k n k +...+A 0 )sin βn+a n (B k n k +...+B 1 n+b 0 )cos βn a n n k cos βn a n (A k n k +...+A 0 )sin βn+a n (B k n k +...+B 1 n+b 0 )cos βn Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 19 / 24

3.14 A határozatlan együtthatók módszere A határozatlan együtthatók módszere Ha a próbamegoldás valamelyik tagja megoldása az asszociált homogén egyenletnek, akkor e tagnak megfelelő próbamegoldás minden tagját szorozni kell n r -lel, ahol r az a minimális kitevő amivel teljesül az, hogy az új, (n r -nel megszorzott) próbamegoldás már nem megoldása az asszociált homogén egyenletnek. 1.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 0 (n N 0 ) homogén egyenlet karakterisztikus egyenlete λ 2 5λ + 6 = 0 aminek két gyöke van λ 1 = 2, λ 2 = 3 így általános megoldása y h (n) = C 1 2 n + C 2 3 n. 2.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 4 n + n 2 + 3 (n N 0 ) inhomogén egyenlet egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n + ȳ(n), ahol módszerünk alapján ȳ(n) = A 4 n + Bn 2 + Cn + D (n N 0 ), A, B, C, D határozatlan együtthatók. Behelyettesítve ȳ(n)-t átrendezés után kapjuk, hogy Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 20 / 24

3.14 A határozatlan együtthatók módszere: példa 2A 4 n + 2Bn 2 + ( 6B + 2C)n + ( B 3C + 2D) = 4 n + n 2 + 3. Mivel 4 n, n 2, n, 1 lineárisan függetlenek, ebből következik, hogy 2A = 1, 2B = 1, 6B + 2C = 0, B 3C + 2D = 3. Megoldva ezt az egyenletrendszert kapjuk, hogy A = 1/2, B = 1/2, C = 3/2, D = 4. Ezért példánk általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n + 1 2 4n + 1 2 n2 + 3 2 n + 4 (n N 0). 3.PÉLDA. Az y(n + 2) 5y(n + 1) + 6y(n) = 2 n (n + 3) (n N 0 ) inhomogén egyenlet egyenlet általános megoldása y(n) = C 1 2 n + C 2 3 n + ȳ(n), ahol módszerünk alapján ȳ(n) = 2 n (An + B)n (n N 0 ), A, B határozatlan együtthatók. Behelyettesítve ȳ(n)-t és kiszámolva az együtthatókat, kapjuk, A = 1 4, B = 9 4, ȳ(n) = 1 4 2n (n + 9)n. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 21 / 24

3.15 A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje Jelölje Y (n) egy ország n időpontban (évben) megfigyelt nemzeti jövedelmét, C(n) a teljes fogyasztását és I(n) a teljes beruházást. Tegyük fel, hogy Y (n) = C(n) + I(n), C(n + 1) = ay (n) + b, I(n + 1) = c (C(n + 1) C(n)), (n N 0 ), ahol a, b, c (pozitív) konstansok. Az első egyenlet szerint a nemzeti jövedelem fogyasztásból és beruházásbol áll. A második egyenlet alapján az n + 1-edik időszak fogyasztása az előző periódus nemzeti jövedelmének lineáris függvénye. Ez a modell multiplikátor oldala. Végezetül az utolsó egyenlet azt állítja, hogy az n + 1-edik időszak beruházása az előző időszak fogyasztásának növekedésével arányos. Ez a modell akcelerátor oldala. Az összevont multiplikátor-akcelerátor modellt számos közgazdász vizsgálta, akik közül P. A. Samuelson nevét emeljük ki. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 22 / 24

3.15 A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje Tegyük fel, hogy C(0), Y (0) ismert, akkor mindhárom függvényt/sorozatot ki tudjuk számolni. Az alábbiakban Y (n) meghatározás a célunk. Írjunk n helyére n + 2-t az első egyenletben és n helyére n + 1-t a második és harmadik egyenletekben: Az utolsó egyenletet átírhatjuk Y (n + 2) = C(n + 2) + I(n + 2), C(n + 2) = ay (n + 1) + b, I(n + 2) = c (C(n + 2) C(n + 1)). I(n + 2) = c (ay (n + 1) + b (ay (n) + b)) = ca (Y (n + 1) Y (n)) alakba. Ezt és a második egyenletet az elsőbe helyettesítve kapjuk, hogy Y (n + 2) a(1 + c)y (n + 1) + acy (n) = b (n N 0 ). (a) Vizsgálja az asszociált homogén egyenlet karakterisztikus egyenletét, és a homogén egyenlet megoldásait! (b) Keresse meg az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 23 / 24

3.16 Gyakorló feladatok y(n + 2) 6y(n + 1) + 8y(n) = 0, y(0) = 0, y(1) = 1, y(n + 2) + 2y(n + 1) + 3y(n) = 0, y(n + 2) 2y(n + 1) + 5y(n) = 0, y(n + 2) 8y(n + 1) + 16y(n) = 0, y(n + 2) 8y(n + 1) + 16y(n) = 2 4 n + 2n 3, y(n + 2) 6y(n + 1) + 8y(n) = 5 3 n + 2n 2 1, 3y(n + 2) + 2y(n) = 4n + 6, y(n + 1) + 2y(n) = 5 n, y(n + 3) + y(n + 2) y(n + 1) y(n) = 0. Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 24 / 24