Determinisztikus folyamatok. Kun Ferenc

Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001

2 Determinisztikus folyamatok

Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok 5 2. Tömegpont mozgása 7 2.1. A dinamika alaptörvénye..................... 10 2.2. Feladatok............................. 14 3. Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása 15 3.1. Euler-módszer........................... 16 3.2. Hibaanalízis............................ 18 3.2.1. Lokális és globális hiba................. 19 3.2.2. Algoritmus stabilitása.................. 22 3.2.3. Feladatok......................... 25 3.3. További eljárások......................... 26 3.3.1. Másodrendű Runge-Kutta módszer........... 26 3.3.2. Negyedrendű Runge-Kutta módszer........... 27 3.3.3. Verlet-módszer...................... 28 3.3.4. Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer..... 29 3.4. Az algoritmus pontosságáról................... 30 3.4.1. Feladatok......................... 31 4. Rezgőmozgás 33 4.1. Harmónikus rezgőmozgás..................... 33 4.2. Csillapodó rezgés......................... 36 4.3. Kényszerrezgés, rezonancia.................... 40 4.3.1. Feladatok......................... 43 4.4. Az anharmónikus rezgőmozgás.................. 44 5. Tömegpontrendszerek mechanikája 47 5.1. Tömegpontrendszer mozgásegyenletei.............. 48 5.2. Gravitációs dinamika: a bolygók mozgása............ 51 3

Determinisztikus folyamatok 5.2.1. A bolygómozgás törvényszerűségei............ 53 5.2.2. Feladatok......................... 57 5.2.3. Nap-Föld-Jupiter rendszer vizsgálata.......... 59 5.2.4. Feladatok......................... 62 5.3. Ütközések............................. 63 5.3.1. Ütközések törvényszerűségei............... 64 5.3.2. Feladatok......................... 70 6. Függelék 73 6.1. Az anharm.exe program kezelése................ 73 6.2. Az orbiter.exe program kezelése................. 76 6.3. A collision.exe program használata............... 78 4

1. fejezet Determinisztikus folyamatok A determinisztikusnak nevezzük azokat a folyamatokat, amelyek időfejlődése determinisztikus, azaz ismerve a rendszer egy adott időpillanatbeli állapotát és a mozgásának törvényeit a rendszer állapota tetszőleges későbbi és korábbi időpillanatban meghatározható. Ilyen determinisztikus folyamatok a fizikában a klasszikus mechanika által vizsgált anyagi testek mozgásai. A Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése című tárgy keretében a klasszikus mechanikai mozgások kinematikájával és dinamikájával foglalkozunk. A kinematika csupán a mozgás leírásával foglalkozik, a mozgásokat önmagukban, keletkezésükre való tekintet nélkül vizsgálja, míg a dinamika az egyes mozgásformák keletkezésének okait kutatja. A klasszikus mechanikai mozgásokat Newton második törvényére épülő mozgásegyenletek megoldásával kapjuk. A determinisztikus mozgások mozgásegyenletei matematikai szerkezetüket tekintve közönséges differenciálegyenletek, illetve egyenlet rendszerek. A legegyszerűbb esetektől eltekintve, ezeket a differenciálegyenleteket nem tudjuk analitikus eszközökkel megoldani, ezért számítógépes modellezést végzünk, az egyenletek numerikus megoldását keresve. Anyagi testek mozgásainak tanulmányozása során az egyszerűbb rendszerektől haladunk a bonyolultabbak felé. Ha a test méretei elhanyagolhatóak a mozgása során fellépő méretekhez képest, akkor a test mozgása reprezentálható egyetlen pontjának mozgásával. Ilyenkor a kiterjedt testet anyagi pontnak, tömegpontnak tekintjük. A definícióból látható, hogy az, hogy egy testet tömegpontnak tekinthetünk-e az attól is függ, hogy az illető testnek milyen mozgását vizsgáljuk. Ha a Földnek a Nap közüli mozgását tanulmányozzuk, akkor a pálya méretei miatt a Föld reprezentálható egyetlen ponttal. Viszont ha a Föld forgására vagyunk kiváncsiak, akkor mint kiterjedt objektumot kell vizsgálnunk. A tömegpont tehát a valós testeknek egy absztrakciója, modellje. A tömegpont mozgásának leírása viszonylag egyszerű, mert nem kell foglalkoznunk az testek véges kiterjedése okozta 5

Determinisztikus folyamatok bonyadalmakkal. Vizsgálódásaink következő lépéseként több tömegpontból álló, úgynevezett tömegpont rendszerekkel fogunk foglalkozni. A tömegpont rendszerek speciális eseteként kapjuk majd a merev testeket. A kiterjedt merev test egy olyan tömegpont rendszer, amely pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága a pontrendszer mozgása során állandó. A jegyzet végén pedig olyan testek mozgásait vizsgáljuk, amelyek deformálódhatnak is. 6

2. fejezet Tömegpont mozgása Elsőként a legegyszerűbb mechanikai rendszerrel, a tömegponttal foglalkozunk. A tömegpont mozgásának leírása azt jelenti, hogy a tömegpontnak egy masik testhez viszonyított helyét bármelyik időpilanatban meg tudjuk mondani. A továbbiakban ezt fogalmazzuk meg egy kicsit pontosabban. A tömegpont pillanatnyi helyét a térben az r helyvektorral jellemezzük, amelyet egy O referencia ponttól mérünk. A tömegpont az O referencia ponthoz képest nyugalomban van, ha az r helyvektor időben állandó, s mozog, ha r változik. A tömegpont mozgását ismerjük, ha ismerjük az r(t) függvényt, amelyet pályagörbének nevezzünk és feltételezzük, hogy sima függvény. A klasszikus mechanika célja az, hogy egy adott rendszerre, adott körülmények között meghatározzuk az r t függvénykapcsolatot. tömegpont r(t 1, t 2 ) PSfrag replacements r(t 1 ) r(t 2 ) pálya O referencia pont 2.1. ábra. A helyvektor és a pálya illusztrációja. További fontos alapfogalmak 7

tömegpont Elmozdulás: A t 1 < t 2 időpillanatpárhoz tartozó elmozdulás r(t 1, t 2 ) = r(t 2 ) r(t 1 ). (2.1) Sebesség: a tömegpont t pillanatbeli sebessége v(t) a pályafüggvény differenciálhányadosa v(t) = d r(t) ; v(t) = dt r(t). (2.2) Út: a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út s(t 1, t 2 ) az r(t) függvény r(t 1 ) és r(t 2 ) pontjai közé eső ívének hossza, azaz t2 d r(t) s(t 1, t 2 ) = dt, (2.3) dt s(t 1, t 2 ) = t 1 t2 t 1 v(t) dt (2.4) Az 2.4 egyenlet alapján látható, hogy a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út a sebességnagyság-idő függvény integrálja, azaz a v(t) görbe alatti terület. Példa: a) b) PSfrag replacements v(t) v(t) t 1 t 2 t t 1 t 2 t t 2.2. ábra. Sebességnagyság-idő függvények. Az a) ábrán a tömegpont állandó nagyságú sebességgel mozog, a b) ábrán viszont a t 1 t időintervallumban a sebesség lineárisan nőtt, majd beállt egy konstans értékre. Lendület: tömegpont lendülete Gyorsulás: a tömegpont gyorsulása Érdekesebb speciális esetek: p = m v. (2.5) a = d2 r(t) dt 2, azaz a = v(t) (2.6) 8

tömegpont A r(t) helyvektor párhuzamos a v(t) sebesség vektorral, akkor a pályagörbe az O referencia pontra illeszkedő r(t o ) irányú egyenes. Ha a v(t) sebesség vektor párhuzamos az a(t) gyorsul]ással, akkor a pályagörbe az r(t o ) pontra illeszkedő v(t o ) irányú egyenes. Gyorsításról (lassításról) beszélünk, ha a tömegpont sebességének nagysága nő (csökken). PSfrag replacements z e 3 O r m y x e 1 e 2 2.3. ábra. koordinátarendszer definíciója. A mozgás leírására az O referencia ponthoz koordinátarendszert rögzítünk. Az O pontot origónak nevezzük, a koordinata tengelyeket pedig az O-hoz rögzített e α bázisvektorok jelölik ki. A koordinatarendszerünkben az r(t) vektort a x(t) r(t) = y(t) z(t) koordinátákkal jellemezzük, amelyek az idő függvényei. Ehhez hasonlóan a sebesség és gyorsulás komponensei v(t) = v x (t) = dx(t) dt v y (t) = dy(t) dt v z (t) = dz(t) dt, a(t) = 9 a x (t) = d2 x(t) dt 2 a y (t) = d2 y(t) dt 2 a z (t) = d2 z(t) dt 2.

tömegpont Mozgási energia: az m tömegű v sebességgel mozgó tömegpont mozgási energiája: 2.1. A dinamika alaptörvénye E mozg = 1 2 mv2. (2.7) A dinamika alaptörvénye szerint a tömegpont mozgását a környezete határozza meg úgy, hogy megadja a tömegpont lendületének változási gyorsaságát p = F, (2.8) ahol F = F ( r, v, t) ismertnek feltételezett függvény, amely a környezetnek a vizsgált testre kifejtett hatását jellemzi. Általános esetben F függhet a tömegpont r helyétől, v sebességétől és a t időtől. Behelyettesítve a lendület definícióját a következő alakra jutunk p = d p dt = d(m v) = m d v dt dt, (2.9) m d2 r dt = F. 2 (2.10) Az 2.10 egyenlet az r(t) függvényre másodrendű közönséges differenciálegyenlet m d2 r(t) dt 2 = F. (2.11) Ebből az egyenletből, ismerve a környezet hatását a vizsgált testre ( F ), meghatározható a test mozgása, azaz az r(t) függvény, ezért a 2.10 egyenletet mozgásegyenletnek nevezzük. Az egyenlet megoldásának egyértelmű meghatározásához kezdőfeltételek megadása szükséges. Másodrendű differenciálegyenletről lévén szó, meg kell adnunk egy t o időpillanatban a nulladik és az első derivált értékét, azaz a helyvektort r(t o ) és a sebességvektort v(t o ) a t o időpillanatban. Egy koordináta rendszerben a 2.11 mozgásegyenlet három darab differenciálegyenletre esik szét, amelyek csatolt differenciálegyenletrendszert is alkothatnak mẍ = F x (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.12) mÿ = F y (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.13) m z = F z (x, y, z, v x, v y, v z, t). 10

tömegpont PSfrag replacements A egyenletek csatolása azt jelenti, hogy az x koordinátára vonatkozó egyenletben szereplő F x erőkomponens nemcsak x-től, hanem az összes többi koordinátától és sebességkomponenstől függhet. Igy a három egyenletet általában nem lehet egymástól függetlenül megoldani. Az egyes konkrét fizikai esetek, rendszerek az F alakjában különböznek. A továbbiakban egyszerű, speciális eseteket vizsgálunk, egyszerű erő alakok mellett keressük a mozgásegyenlet megoldását. Példák: Az egyszerűség kedvéért egydimenziós, azaz egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk. Ilyenkor a 2.13 egyenletrendszerből csak egyetlen egyenletünk marad. nem hat erő: F=0. O v o x x o 2.4. ábra. A referencia pont, a koordinátarendszer és a kezdőfeltételek illusztrációja. Az O referencia pontot a kezdősebesség által meghatározott egyenesen felvéve, s a koordinátarendszer x tengelyét v o -al párhuzamosan irányítva (lásd az 2.4 ábrát) az 2.13 egyenletrendszerből egyetlen egyenlet marad: mẍ = 0. (2.14) Az egyenlet megoldását kétszeri integrálással kapjuk ẋ(t) = C 1, (2.15) x(t) = C 1 t + C 2. (2.16) A megoldásfüggvényben szereplő konstansokat a kezdőfeltételekből lehet meghatározni. A t = 0 időpillanatban a kezdeti koordináta x o a kezdősebesség értéke pedig v o. Behelyettesítve a fenti egyenletekbe adódik C 1 = v o, C 2 = x o. Tehát azt kaptuk, hogy v(t) = v o és x(t) = x o + v o t, a tömegpont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. 11

tömegpont mozgás konstans erő hatása alatt: F = Fo és F o v o. A referencia pontot és a koordináta rendszert az előző feladathoz hasonlóan felvehetjük, így ismét egy egyváltozós problémával állunk szemben. A mozgásegyenlet most mẍ = F o (2.17) alakú. A mozgásegyenlet megoldását az előző esethez hasonlóan kétszeri integrálással kapjuk meg ẋ(t) = F o m t + C 1, (2.18) F o x(t) = 1 2 m t2 + C 1 t + C 2. (2.19) A C 1, C 2 konstansokat ismételten a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg, C 1 = v o, C 2 = x o. x(t) és v(t) alakját a 2.5 és 2.8 ábra illusztrálja. 7 25 v(t) 6 5 4 3 x(t) 20 15 10 2 1 5 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 2.5. ábra. A tömegpont sebessége az időnek lineáris fügvénye. 2.6. ábra. Az x(t) függvény egy parabola. fékező erő: F = αv. Az erő kifejezésében a negatív előjel azt fejezi ki, hogy az erő ellentétes irányú a sebességgel. A mozgásegyenlet a következő alakú lesz mẍ = αv = αẋ (2.20) Ez másodrendű egyenlet x-re, de bevezetve a sebességet, mint független változót, redukálható elsőrendű egyenletté dv dt = α v. (2.21) m 12

tömegpont Ez már egy egyszerű szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása dv v = α m dt + C. (2.22) Az integrálást elvégezve és a konstans értékét a kezdőfeltételekből meghatározva kapjuk ln v = α m t + C, v = v o e α m t. Látható, hogy a sebesség a fékező erő hatására a kezdeti v o értékről exponenciálisan csökken. A csökkenés gyorsaságát az α fékezési együttható és az m tömeg hányadosa határozza meg. A helykoordináta meghatározásához a sebesség idő függvényt integráljuk v = dx dt = v o e α m t, x(t) = v o m α α e x(t) = x o + v o m α m t + C, ( 1 e α m t). Az x(t) és v(t) függvényeket az ábra illusztrálja. 2.0 1.8 1.6 2.0 1.4 1.2 1.5 v(t) 1.0 0.8 x(t) 1.0 0.6 0.4 0.5 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 2.7. ábra. A sebesség exponenciálisan tart nullához. 2.8. ábra. Az x(t) egy konstanshoz tart. 13

tömegpont 2.2. Feladatok 1. Határozzuk meg az 2.2 ábrán látható két sebesség-idő függvény esetén a t 1, t 2 időintervallumban megtett utat. 2. Egy tömegpont mozgása közben helyvektorának abszolút értéke állandó. Határozzuk meg, milyen szöget zár be a helyvektor a sebességvektorral! 3. v o sebességgel repül egy repülőgép. Rakétával akarjuk lelőni. A rakéta v r sebességgel képes haladni, és mindig úgy mozog, hogy sebességvektora a repülőgép felé mutat. Határozzuk meg, hogy a rakéta milyen pályán mozog a becsapódásig! 4. Villamos megállásakor a vezető folyamatosan csökkenti a szerelvényre ható húzóerőt. Tegyük fel, hogy az erő csökkenése időben lineáris, azaz F (t) = F o kt, ahol k egy konstans. Határozzuk meg a leállásig megtett utat! 5. Az előzőekben külön-külön vizsgáltuk egy test mozgását konstans erő és csak sebességtől függő fékező erő hatása alatt. Ha egy testre egyszerre hat egy konstans nagyságú erő és egy fékezőerő, mozgásegyenlete a következő: mẍ = F o αv. Elemezzük a mozgást! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 6. Erős szélben egy könnyen csúszó test a szél hatására mozgásba jön. A test mozgásegyenlete mẍ = α(v sz v) alakú, ahol v sz jelöli a szél sebességét, v pedig a vizsgált test sebessége. Oldjuk meg az egyenletet v o = 0 kezdőfeltétel esetén! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 7. Az eddigiek alapján vizsgáljuk a ferde hajitást levegőben! Milyen szög alatt kell levegőben rögzített v o sebességgel eldobni egy követ, hogy legmesszebb repüljön? 14

3. fejezet Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása A klasszikus mechanikában a mozgást a Newton törvények alapján differenciálegyenletekkel, vagy egyenlet rendszerekkel irjuk le. A 2.11 mozgásegyenlet matematikai formáját tekintve egy közönséges, másodrendű differenciálegyenlet az r(t) pályafüggvényre. Az előző fejezetben láttuk, hogy a mozgásegyenletet csak a legegyszerűbb esetekben, az F ( r, v, t) legegyszerűbb alakjai mellett lehet analitikusan megoldani. A komplikált, de érdekes, esetleg a gyakorlat számára is fontos esetekben a mozgásegyenletet csak numerikusan tudjuk kezelni. Az egyetlen tömegpont mozgását leíró mozgásegyenlet általános alakja a következő m r = F ( r, v, t), (3.1) amelynek egyértelmű megoldásához meg kell adjuk a t 0 kezdeti időpillanathoz tartozó r o kezdeti hely és a v o kezdeti sebesség értékét. A numerikus eljárások ismertetéséhez, az egyszerűség kedvéért, egydimenziós, egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk, azaz az mẍ = F (x, v, t) (3.2) egyenlet numerikus megoldásával foglalkozunk. A feladatunk tehát az, hogy ismert F (x, v, t) esetén határozzuk meg az x(t) függvényt. A tanultakat a fejezet végén általánosítjuk tetszőleges dimenziószámra. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási eljárásai az úgynevezett véges differencia módszerre épülnek. Ezek alapgondolata, hogy az 15

Euler-módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.1. ábra. Az Euler-módszer szemléltetése. Látható, hogy v(t) t egyenlő a téglalap területével. időt, mint független változót, diszkretizáljuk és a megoldásfüggvényt a csonkolt Taylor-sorával közelítjük. 3.1. Euler-módszer A legegyszerübb véges differencia módszer az Euler módszer. Ehhez tekintsük az 3.2 egyenlet x(t) megoldásfüggvényének Taylor-sorát: x(t + t) = x(t) + dx dt t + 1 t 2 d 2 x dt 2 t 2 +... (3.3) t Az Euler-módszernél a Taylor sort az első deriváltat tartalmazó tag után csonkoljuk, azaz a x(t + t) = x(t) + v(t) t (3.4) közelítéssel élünk. Ez azt jelenti, hogy x-nek a t + t-ben felvett x(t + t) értékét x(t) és v(t) ismeretében közelítjük úgy, hogy a t intervallumon x(t)- t egyenessel helyettesítjük. Mivel x(t) a v(t) függvény idő szerinti integrálja, az Euler-módszer az 3.1 ábra alapján ekvivalens azzal, hogy v(t) integrálását téglalap módszerrel végezzük. 16

Euler-módszer Hasonló közelítéssel élünk a sebességre is, így tehát a numerikus megoldáshoz az iterálandó egyenletrendszer x(t + t) = x(t) + ẋ(t) t, (3.5) v(t + t) = v(t) + v(t) t, (3.6) alakú lesz. Vegyük észre, hogy a 3.5 iterációs egyenletek alakja általános, független magától a megoldandó differenciálegyenlettől. A megoldandó differenciálegyenlet konkrét alakja az a(t) = F (x(t),v(t),t) összefüggésen keresztül m a második iterációs egyenletben jelenik meg. Az egyenletek jobb oldalán csak t időpillanatbeli mennyiségek (x(t), v(t)) állnak, s ezek birtokában állítjuk elő a későbbi, t + t-beli értékeket. Az i-edik iterációs lépésben az iterálandó egyenletek tehát, amelyekkel akár már számítógépes programot is írhatunk: }{{} a(t) a i = F (x i, v i, t i ), m t i+1 = t i + t, x i+1 = x i + v i t, (3.7) v i+1 = v i + a i t. A megoldáshoz kezdőfeltételek megadása szükséges x(t o ), v(t o ). Példa: Tekintsük a rezgőmozgást leíró differenciálegyenletet: mẍ = Dx az x(t o = 0) = A és v(t o = 0) = 0 kezdőfeltételekkel. Az iterálandó egyenletrendszert úgy kapjuk, hogy a 3.7 egyenletrendszerben a i helyére a i = Dx i /m-et helyettesítünk. A 3.7 egyenletek alapján a megoldás programlistája a következő lehet D = 2 // rugoallando m = 1 // a tomegpont tomege x0 = 0.5 v0 = 0.0 x[0] = x0 // kezdeti koordinata v[0] = v0 // kezdeti sebesseg dt = 0.01 for (i = 0 <= N-1) // N iteracios lepest vegzunk 17

Hiba Euler-módszer { a[i] = -D*x[i]/m x[i+1] = x[i] + v[i]*dt v[i+1] = v[i] + a[i]*dt t = t + dt } A programmal kapott numerikus eredményeknek az analitikus megoldással történő összevetését a 3.2 ábra mutatja. A következőkben a numerikus meg- 1200 1000 analitikus megoldas Euler-modszer 800 x(t) 600 400 200 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3.2. ábra. Az analitikus és numerikus megoldás összehasonlítása. A két görbe eltérése, különbsége adja a módszer teljes hibáját. Jól megfigyelhető, hogy t növekedésével a hiba nő. t oldás hibáját probáljuk meg jellemezni. 3.2. Hibaanalízis A véges differenciák módszerével a differenciálegyenlet megoldását véges pontossággal állítjuk elő, a módszernek van hibája. Kétféle hibát különböztetünk meg: csonkolási hiba, 18

Hiba Euler-módszer kerekítési hiba. Csonkolási hiba A véges differencia módszereket a 3.3 általános Taylor sor csonkolásával kapunk. Mivel a Taylor sornak csak véges számú tagját vesszük figyelembe, eredményünk hibás lesz. A hiba értéke termeszetesen a Taylor sor elhagyott tagjainak összege, amelyet jellemezhetünk az első elhagyott, elnemtűnő tag értékeével. A véges differencia módszerek csonkolási hibája te (truncation error) a megoldás függvény Taylor sorában az első elhagyott, el nem tűnő tag értéke. Igy például az Euler módszer esetén a csonkolási hiba: te = 1 d 2 x(t) t 2. (3.8) 2 dt 2 A 3.8 egyenletből is látható, hogy egy adott véges differencia módszer esetén a csonkolási hiba a t lépésköz csökkentésével csökkenthető. Numerikus módszer rendje Egy véges differencia módszert n-ed rendűnek nevezünk, ha a csonkolási hibája t n+1 szerint változik. E szerint az Euler módszer első rendű. Fontos hangsúlyozni, hogy a csonkolási hiba értéke független attól, hogy a konkrét számításokat hogyan hajtjuk végre. Tehát ez nem kötődik a módszer számítógépes megvalósításához, ha az iterációs lépéseket papiron ceruzával számoljuk a csonkolási hiba épp annyi, mintha számítógépen számoltunk volna. Kerekítési hiba A kerekítési hiba re (rounding error) azon hibák együttese, amelyet a véges differencia algoritmus számítógépes implementációja okoz. A számítógépen a valós számok véges számú biten vannak ábrázolva, ezért minden velük végzett művelet véges pontosságú. 3.2.1. Lokális és globális hiba Tegyük fel, hogy az mẍ = F differenciálegyenletet akarjuk integrálni a [t 1, t 2 ] intervallumon. Az integráláshoz t lépésközt használunk. Ekkor az integrációs tartomány τ hossza τ = t 2 t 1 és az integráláshoz szükséges iterációs lépések száma M = τ/ t. A lokális hiba az egy iterációs lépésen belül fellépő hibák összessége, vagyis lte+lre, ahol lte a lokális csonkolási, és lre a lokális kerekítési hibákat jelölik. A globális hiba a teljes számolás (azaz a τ hosszú intervallumon M lépésben 19

Hiba Euler-módszer történő integrálás) alatt felhalmozódott hiba gte + gre, ahol gte és gre a globális csonkolási és kerekítési hibákat jelölik. Egy numerikus számolás végeredményének pontossága szempontjából a globális hiba a releváns. kerekítés gte+gre csonkolás PSfrag replacements t t 3.3. ábra. A gte+gre teljes hiba mint t függvénye. Az ábrán jeleztük, hogy az egyes t tartományokon melyik hibaforrás adja a teljes hiba domináns járulékát. Egy n-ed rendű módszer lokális csonkolási hibája általánosan az lte = kx (n+1) t n+1 (3.9) összefüggéssel adható meg, ahol x (n+1) az x(t) függvény n+1-edik deriváltját jelöli. M iterációs lépés alatt, t lépésközt használva, a globális csonkolási hiba gte = k M i=1 x (n+1) i t n+1 = k t n+1 M i=1 x (n+1) i (3.10) alakú. Az x (n+1) i deriváltak különbözőek lehetnek az egyes i iterációs lépésekben, de helyettesíthetjük őket átlagukkal gte = k t n+1 Mx (n+1). (3.11) Mivel a mozgásegyenletnek egy τ hosszú időintervallumon történő végigintegrálásához M = τ/ t számú iterációs lépés szükséges, az eközben fellépő 20

Hiba Euler-módszer globális csonkolási hiba gte = k t n+1 τ t x(n+1) = kτ t n x (n+1). (3.12) Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az n-ed rendű módszer globális csonkolási hibája t n-edik hatványával arányos gte t n, míg a lokális csonkolási hiba lte t n+1 volt. Az 3.12 egyenlet azt is megmutatja, hogy rögzített t esetén a hiba a végigintegrált időintervallum τ hosszának lineáris függvénye. Egy számolás teljes hibáját a csonkolási és a kerekítési hiba együttese határozza meg. Az eddigiekben láthattuk, hogy egy adott véges differencia módszernél a globális csonkolási hiba az integráláshoz használt t lépésköz határozza meg. Ezzel szemben a kerekítési hiba az elvégzett numerikus műveletek számától, azaz az iterációs lépések számától, függ. Az 3.3 ábra a gte + gre teljes hibának a t időlépéstől való függését illusztrálja. Az előzőek 10-2 5 2 gte+gre 10-3 5 2 10-4 5 2 5 10-5 2 5 10-4 2 5 10-3 2 5 10-2 2 5 10-1 3.4. ábra. Az Euler-módszer gte + gre teljes hibája mint t függvénye. t alapján, nagy t értékek esetén egy adott hosszúságú időintervallum végigintegrálásához szükséges műveletek száma kicsi, ezért a kerekítési hiba kicsi. A teljes hibát a csonkolási hiba határozza meg. t csökkentésével a csonkolási hiba csökken, ugyanakkor növekszik a kerekítési hiba, majd a kerekítési hiba válik dominánssá a teljes hibában. Van tehát egy optimális t lépésköz, amellyel a teljes hibát minimalizálni lehet. 21

Hiba Euler-módszer A 3.3 ábra sematikusan mutatja be a véges differencia módszerek hibájának t-től való függését. A hiba elemzését minden konrét módszer esetén el kell végezni, illetve az optimumot adó t értéke még magától a megoldandó differenciálegyenlettől is függhet. A példa kedvéért a 3.4 ábrán megmutatjuk, hogyan néz ki az Euler-módszerre gte + gre a t függvényében, ha egy tömegpontra csak a sebességgel arányos fékezőerő hat (lásd a 2.20 mozgásegyenletet). t értékét több, mint négy nagyságrenden keresztül változtattuk és a hiba értéke is több nagyságrenden keresztül változik, ezért mindkét tengelyen logaritmikus skálát használtunk. Az ábrából leolvasható, hogy t 2 10 4. Megvizsgálhatjuk azt is, hogyan változik a teljes hiba, ha rögzítjük t értékét, s változtatjuk az integrációs intervallum τ hosszát. Ezt mutatja be a 3.5 ábra. Az ábrán látható lineáris függés összhangban van 0.3 0.25 0.2 gte+gre 0.15 0.1 0.05 0.0 0 10 20 30 40 50 3.5. ábra. Az Euler-módszer gte+gre teljes hibája mint τ függvénye rögzített t esetén. a teljes csonkolási hibára vonatkozó 3.12 általános eredménnyel! 3.2.2. Algoritmus stabilitása Egy numerikus algoritmust stabilnak nevezünk, ha egyik iterációs lépésről a másikra nem erősíti a hibát. Az algoritmus instabil, ha a hibát erősíti. Az algoritmus felételesen stabil, ha kis t értékekre stabil, de t-t egy kritikus t c érték fölé növelve az algoritmus instabillá válik. 22

Hiba Euler-módszer Vizsgáljuk az előző alfejezetben bemutatott Euler-algoritmus stabilitási tulajdonságait! A példa kedvéért a rezgőmozgás 3.8 differenciálegyenletét tekintjük. Legyen a mozgásegyenlet egzakt megoldása x(t) és v(t), a numerikus eljárással kapott közelítő megoldásokat pedig jelöljük x, (t)-vel és v, (t)-vel. Az egyes függvények egy iterációs lépésbeli hibája az egzakt és a numerikus megoldások különbsége: e x (t) = x, (t) x(t), e v (t) = v, (t) v(t). Nézzük meg hogyan változik a hiba két egymást követő iterációs lépésben: e x (t + t) = x, (t + t) x(t + t) = x, (t) + ẋ, (t) t x(t) ẋ(t) t = x, (t) x(t) + (ẋ, (t) ẋ(t)) t = e x (t) + e v (t) t. Hasonlóan a sebesség hibájának időfejlődése: e v (t + t) = v, (t + t) v(t + t) = v, (t) v(t) + ( v, (t) v(t)) t ( = e v (t) + D ) [x, (t) x(t)] t. m Itt fölhasználtuk a konkrét példánkat a gyorsulás kiszámítására: a = F/m azaz a = ( D/m)x = ω 2 x, ahol bevezettük az ω = D/m jelölést. Tehát a végeredmény: e x (t + t) = e x (t) + e v (t) t, (3.13) ( e v (t + t) = e v (t) + D ) e x (t) t. m A 3.14 egyenletrendszer egy iterációs egyenletrendszer, amely a rezgőmozgás differenciálegyenletének Euler módszerrel történő integrálásakor fellépő csonkolási hiba időfejlődését írja le. Az egyenletrendszer együttható mátrixa A = 1 t ω 2 t 1 A hiba időfejlődését az A mátrix sajátértékei határozzák meg. Ha a 2 2- es valós elemű A mátrix két sajátértékének abszolútértéke egynél nagyobb, 23

Hiba Euler-módszer akkor az algoritmus a hibát erősíti, ha kisebb egynél, akkor nem erősít. Sajátértékek meghatározása: (1 λ) 2 + ω 2 t 2 = 0 λ 2 2λ + 1 + ω 2 t 2 = 0 λ 1,2 = 2 ± 4ω 2 t 2 2 = 1 ± t ω 2 Látható, hogy t értékétől függetlenül λ > 1, ezért a bemutatott Euler algoritmus instabil. A feltételes stabilitás illusztrációjára módosítjuk az Euler módszert. Legyenek az iteráció egyenletei: x(t + t) = x(t) + [v + v t] t, v(t + t) = v(t) + v t. A vizsgált konkrét példa esetén az egyenleteink: Ekkor a stabilitási mátrix: x(t + t) = x(t)[1 ω 2 t 2 ] + v(t) t, v(t + t) = v(t) ω 2 x(t) t. A = 1 ω 2 t 2 t ω 2 t 1 Stabil megoldást kapunk, ha 2 < ω t < 2. 24

További módszerek 3.2.3. Feladatok 1. A GENMOT program segítségével vizsgáljuk egy tömegpont mozgását, amelyre egy konstans F o erő hat! Kezdőfeltételként válasszuk az x(0) = x o és v o = 0 értékeket, majd legyen v o 0! Az Euler-módszert használva elemezzük numerikusan az x(t), v(t), v(x) függvényeket! 2. Legyen F = cv és elemezzük a tömegpont mozgását analitikusan, majd az Euler-módszerrel numerikusan. Elemezzük az x(t), v(t), a(t), és a v(x), a(x) függvényeket, vessük őket össze az analitikus eredményekkel! 3. Elemezzük az Euler-módszer hibáját! Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 4. Vizsgáljuk a rezgőmozgást! Először nézzük meg az x(t) és v(t) függvényeket, majd a v(x) függvényt! Határozzuk meg analitikusan a v x síkon kapott görbe egyenletét! Az Euler-módszerrel integrálva a mozgásegyenletet, hogyan lehet észrevenni a v x síkon, hogy a módszer nem stabil? Indítsunk mozgásokat a legkülöbözőbb kezdőfeltételek mellett! 5. A GMRACE nevű programban egy versenyautóval kell megtennünk egy kört a versenypályán. Az autó gyorsulásának nagyságát és irányát tudjuk versenyzőként kontrolálni. Próbáljunk tenni egy kört az autóval! Hogyan lehet kanyarodni? Figyeljük milyen a gyorsulás és sebességvektor egymáshoz viszonyított iránya menet közben! 6. A fékezőerő esetén mérjük ki, hogyan változik az Euler módszer teljes hibája, ha rögzített t mellett növeljuk az integrációs időintervallum τ hosszát! A kapott eredményt vessük össze az analitikus eredményekkel! 7. Végezzük el analitikusan a módosított eljárás stabilitás vizsgálatát! Milyen intervallumon válasszuk t-t, hogy stabil eljárást kapjunk? 25

További módszerek 3.3. További eljárások Az előző fejezetben láttuk, hogy az Euler-módszer egy egyszerű, viszont pontatlan módszer, es ráadásul instabil is. Pontatlansága és instabilitása miatt gyakorlati számításokra alkalmatlan, de egyszerűsége réven az állatorvosi ló szerepét játsza, rajta keresztúl a véges differencia módszerek minden lényeges tulajdonsága bemutatható. 3.3.1. Másodrendű Runge-Kutta módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.6. ábra. Integrálás trapéz módszerrel. Összevetve az ábrát az Eulermódszer 3.1 ábrájával látható, hogy itt pontosabb eredményt kapunk. A 3.6 ábra alapján látható, hogy jobb, pontosabb iterációs módszert kapunk, ha a v(t) görbe alatti területet nem téglalap módszerrel, hanem trapéz módszerrel kíséreljük meg kiszámítani. Ekkor a közelítő módszerünk egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) + 1 [v(t) + v(t + t)] t, (3.14) 2 v(t + t) = v(t) + 1 [a(t) + a(t + t)], 2 a(t + t) = F (x(t + t), v(t + t), t + t). m A 3.15 egyenletszer még nem használható, mert az egyenletek jobb oldalán nemcsak a t időpillanatbeli mennyiségek, hanem már a t + t időpillanatbeli 26

További módszerek mennyiségek is szerepelnek, amelyeket nem ismerünk. A jobboldalon szereplő x(t + t), v(t + t) kiszámítására használjuk fel az előző fejezetben bemutatott Euler-módszert. Ekkor x(t + t) Euler = x(t) + v(t) t, v(t + t) Euler = v(t) + a(t) t, a(t + t) Euler = F (x(t + t) Euler, v(t + t) Euler, t + t). Behelyettesítve a fenti egyenleteket a 3.15 egyenletrendszerbe, már használható eljárást kapunk. x(t + t) = x(t) + 1 [ ] v(t) + v(t + t) Euler t, 2 (3.15) v(t + t) = v(t) + 1 [ ] a(t) + a(t + t) Euler t, 2 Az egyenletek jobb oldalán csak t-beli értékek állnak. Mivel az egyenletrendszer jobboldalán t a második hatványon szerepel, a megkonstruált eljárás másodrendű. A differenciálegyenlet ilymódon történő integrálását másodrendű Runge-Kutta módszernek nevezzük. Mivel a módszer másodrendű, pontosabb számolást biztosít, mint az Euler-módszer. Vegyük azonban észre, hogy ennek ára az, hogy a gyorsulást egy iterációs lépésben nem egyszer, hanem kétszer kell kiszámítani, ami effektíve kétszer több CPU időt igényel. 3.3.2. Negyedrendű Runge-Kutta módszer Az előbb bemutatott Runge-Kutta módszer pontosságát tovább javíthatjuk, ha x(t), v(t) kiszámításához a t + t intervallumon belülről is választunk segédpontokat, és a függvények ottani közelítő értékeit is felhasználjuk x(t + t), v(t + t) pontosabb meghatározására. A negyedrendű Runga-Kutta módszer x(t)-re vonatkozó iterációs egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) + 1 6 (s 1 + 2s 2 + 2s 3 + s 4 ) t, ahol az egyes s i -k x(t) deriváltjai a t + t intervallum különböző pontjaiban: s 1 = v(t), s 2 = v(t + 1 2 t, x(t) + 1 2 s 1 t), s 3 = v(t + 1 2 t, x(t) + 1 2 s 2 t), s 4 = v(t + t, x(t) + s 3 t). 27

További módszerek Látható, hogy ez a módszer negyed rendű, tehát javítottuk a pontosságot, viszont enek ára az, hogy egyetlen iterációs lépésben nem egyszer, hanem négyszer kell kiszámítani a derivált értékét. Általánosan igaz az, hogy egy n-ed rendű Runga-Kutta módszerrel egy iterációs lépésben n-szer kell a deriváltat kiértékelni. Ezért a módszer lassú! Gyors számolás csak egészen egyszerű rendszerek esetén végezhető. A fizikában olyan módszereket próbálunk alkalmazni, amelyek a pontosságot növelik anélkül, hogy a deriváltat egy iterációs lépésben egynél többször kellene kiszámítani! Erre két lehetőség kínálkozik: használjunk koordináta és sebesség adatokat, amelyeket az előző iterációs lépésekben számítottunk ki (Verlet-módszer). a jelen pozíció birtokában jósoljuk jövőbeli koordináta és sebesség értékeket (Prediktor-Korrektor módszerek). 3.3.3. Verlet-módszer Az x(t + t) Taylor sora harmad rendig bezáróan: x(t + t) = x(t) + dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t 2 + 1 d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.16) t Irjunk hasonló Taylor sort x(t t) kiszámítására x(t t) = x(t) dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t 2 1 d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.17) t A két egyeneletet összeadva és átrendezve, közelítő összefüggést kapunk x(t+ t)-re: x(t + t) = 2x(t) x(t t) + d2 x(t) dt 2 t 2 +... Ez az egyenlet definiálja a Verlet-módszert, melynek hibája t 4 -el arányos, ezért harmad rendű! Az 3.18 egyenlet nem tartalmaz információt a sebességről, benne csak a második derivált fordul elő, amit a kiindulási mozgásegyenletből kell behelyettesíteni. Tehát a módszer a gyorsulásból, illetve az erőből kiindulva, direktben a pozíciót szolgáltatja. Ha a sebességre kíváncsiak vagyunk, akkor ezt már a koordináta birtokában, a sebesség definíciója alapjan számíthatjuk ki: x(t + t) x(t t) v(t). 2 t A Verlet algoritmus, mint láttuk, egy kétlépéses módszer, mert x(t + t) értékét két iterációs lépésbeli információ felhasználásával határozza meg. 28

További módszerek 3.3.4. Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer A Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszerek egy iterációs lépésben három műveletet végeznek el: prediktor lépés: x(t) és v(t) birtokában megbecsüljük x(t + t) és v(t + t) értékét. kiértékelés: kiértékeljük a gyorsulást a t + t időpillanatban a becsült x(t + t) és v(t + t) értékeket felhasználva. korrektor lépés: korrigáljuk a becsült x(t + t) és v(t + t)-t felhasználva az előző és esetleg korábbi iterációs lépésekbeli koordináta és sebesség értékeket. Példaként tekintsük a harmadrendű Gear prediktor-korrektor módszert! 1. Becslés Ennél a módszernél a helykoordináta, a sebesség, a gyorsulás és a magasabb deriváltak becslését a következő egyenletek alapján végezzük x p (t + t) = x(t) + v(t) t + 1 2 a(t) t2 + 1 6 b(t) t3, v p (t + t) = v(t) + a(t) t + 1 2 b(t) t2, a p (t + t) = a(t) + b(t) t, b p (t + t) = b(t). 2. Kiértékelés A kiértékelés azt jelenti, hogy a becsült mennyiségek segítségével kiszámítjuk az egyes részecskékre ható erőt 3. Korrigálás F p = F (x p, v p ) a c (t + t) = F p m. A kiértékeléssel kapott a c (t + t) mennyiségre építve korrigáljuk a becsült értékeket. Ehhez kiszámítjuk a(t + t) = a c (t + t) a p (t + t), 29

További módszerek majd a korrekciót a következő egyenletek alapján végezzük x c (t + t) v c (t + t) a c (t + t) b c (t + t) = x p (t + t) v p (t + t) a p (t + t) b p (t + t) + c 0 c 1 c 2 c 3 a(t + t) Az egyenletekbe szereplő (c, c 1, c 2, c 3 ) együtthatók értékét úgy határozzuk meg, hogy a kívánt pontosságot érhessük el. Másodrendű differenciálegyenletek esetén értékük c 0 = 3/16, c 1 = 251/360, c 2 = 1, c 3 = 11/18. 3.4. Az algoritmus pontosságáról A fizikában használt véges differencia algoritmusok pontosságát gyakran jellemezzük úgy, hogy megnézzük, az algoritmus megőrzi-e megmaradó fizikai mennyiségek értékét. A legegyszerűbb ilyen teszt az energia vizsgálatán alapszik. A mechanikai rendszer teljes energiája E = 1 2 mv2 + E pot, a moygási és a potenciális, helyzeti, energia összege. Formálisan az E energia a kordinátának és a sebességnek egy összefüggése E = E(x(t), v(t)). Az energia állandósága azt jelenti, hogy a rendszer mozgása során változik x(t) és v(t), de a kettejükből alkotott kifejezés E = E(x(t), v(t)) értéke mindig állandó. A véges differencia algoritmusunkkal vizsgáljunk olyan rendszert, amelyben a teljes energia megmaradó fizikai mennyiség, azaz értéke a mozgás során állandó. Ekkor az M iterációs lépésben felgyülemlett teljes hibát jellemezhetjük azzal, hogy az algoritmus mennyire képes megőrizni az energia értékét: ge = M [E (0) E (k t)] 2, k=1 ahol E (0) jelöli a numerikusan számolt energia étékét az integrálás elején, majd E (k t) az numerikusan energia értéke az egyes k iterációs lépésekben. 30

3.4.1. Feladatok További módszerek 1. A GENMOT program segítségével, elemezzük a másodrendű és negyedrendű Runge-Kutta-módszer hibáját! Legyen F = cv. Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 2. Az előző pontbeli számításokat elvégezve hasonlítsuk ösze a Runge- Kutta módszerre kapott eredményeket az Euler-módszer hibájával! Értelmezzük a látottakat! 3. Rögzített t mellett változtassuk az integrációs tartomány τ hosszát a másodrendű Runge-Kutta módszer esetén es mérjük ki gte + gre-t a τ függvényében! 4. A másodrendű Runge-Kutta módszerre próbálgatással határozzuk meg a kritikus t c értéket, ami alatt választva t-t stabil módszert kapunk! 31

32 További módszerek

4. fejezet Rezgőmozgás Az eddig tanultak alkalmazásaként a továbbiakban konkét fizikai rendszereket tekintünk, amelyek mozgását analitikus és numerikus eszközökkel elemezzük. Elsőként a rezgőmozgást végző tömegponttal foglalkozunk. A fejezetben lépésről lépésre haladva feltárjuk a harmónikus, a csillapodó majd a kényszerrezgés tulajdonságait. A fejezet végén röviden kitérünk az anharmónikus rezgésekre is. 4.1. Harmónikus rezgőmozgás Definíció: Az egyenes mentén mozgó tömegpont rezgőmozgást végez, ha pillanatnyi helyzetét a x(t) = A(t) sin (ωt + ϕ) (4.1) függvény írja le. x az egyenes valamely adott pontjától (neve egyensúlyi helyzet) mért helyzetjellemző, A(t) amplitúdó, φ(t) = ωt + ϕ fázisfüggvény, ω körfrekvencia, ϕ fázisállandó, vagy fázisszög. Ha A(t) = A o állandó, akkor a rezgőmozgást harmónikusnak nevezzük. Ha A(t) monoton csökkenő, akkor csillapodó rezgőmozgásról beszélünk. A T = 2π/ω mennyiséget rezgésidőnek nevezzük. Idő szerint differenciálva x(t)-t, a harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont sebessége v(t) = A o ω cos (ωt + ϕ) (4.2) alakúnak adódik. Az (4.1,4.2) egyenletekből meghatározhatjuk a v sebességet, mint az x helykoordináta függvényét x 2 A 2 o + v2 = 1, (4.3) A 2 2 oω 33

Rezgőmozgás 6 10 4 2 5 x 0 v 0-2 -5-4 -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t -10-6 -4-2 0 2 4 6 x 4.1. ábra. A harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont x(t) függvénye két különböző kezdőfeltétel esetén, és a v(x) függvény az egyik esetre. ami a v x síkon egy ellipszist ír le, melynek féltengelyei A o és A o ω. Definíció: Kvázielasztikus erő: F = D r, ahol D > 0 állandó, r a tömegpont helyvektorát jelöli. Ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, mozgásegyenlete m r = D r, m r + D r = 0 alakú. Csak az egydimenziós esettel foglakozunk, ezért a mozgásegyenletet a mẍ + Dx = 0 (4.4) formába írjuk. A továbbiakban a (4.4) mozgásegyenlet megoldását keressük valamilyen x o, v o kezdeti feltételek mellett. Az egyenlet egy közönséges, másodrendű, lineáris, konstans együtthatós, homogén differenciálegyenlet, amelynek analitikus megoldására létezik általánosan használható eljárás. Keressük 4.4 megoldását exponenciális alakban azaz x p (t) = Ae λt, (4.5) amit behelyettesítve kapjuk a differenciálegyenlet λ-ra vonatkozó karakterisztikus egyenletét mλ 2 + D = 0. (4.6) Mivel a karakterisztikus egyenlet másodfokú, λ-nak két lehetséges értéke van λ = ±iω o, ahol ω o = 34 D m.

Rezgőmozgás D: a rugó keménysége PSfrag replacements 4.2. ábra. A kvázielasztikus erő legegyszerűbb megvalósítása, ha egy testet csavarrugóra akasztunk. A rugó által a testre kifejtett erő a rugó l megnyúlásának F = D l alakú függvénye, ahol D jelöli a rugó keménységét. A differenciálegyenlet két partikuláris megoldása tehát x p 1(t) = A 1 e iωot, x p 2(t) = A 2 e iωot. Az általános megoldás a partikuláris megoldások lineáris kombinációjaként állítható elő x(t) = A 1 e iωot + A 2 e iωot, ahol az A 1, A 2 együtthatók értékét a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg. Véve az egyenlet mindkét oldalát a t o = 0 helyen x o = A 1 + A 2. A tömegpont sebességét deriválással kapjuk majd fölhasználva a kezdőfeltételt v(t) = iω o A 1 e iωot iω o A 2 e iωot, v o = iω o (A 1 A 2 ) adódik. A kapott két egyenletből meghatározhatóak az A 1, A 2 együtthatók: A 1 = x o + vo iω o 2, A 2 = ro vo iω o, 2 35

Rezgőmozgás Csillapodó rezgés a megoldásfüggvény pedig x(t) = x o cos ω o t + v o ω o sin ω o t alakúnak adódik, amit összevetve az általános x(t) = A o sin (ω o t + ϕ) formával leolvasható az amplitúdó és a fázisszög értéke: A o = x 2 o + v2 o, ωo 2 tgϕ = ω ox o v o. A fentieket összegezve beláttuk, hogy ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, akkor az harmónikus rezgőmozgást fog végezni. A kialakuló harmónikus rezgés körfrekvenciáját a D erőállandó és az m tömeg, az amplitúdót és a kezdő fázist pedig a kezdőfeltételek határozzák meg. 4.2. Csillapodó rezgés Eddig tömegpont mozgását vizsgáltuk a kvázielasztikus erő hatása alatt. Nézzük meg, mi történik, ha ezen kívül még egy F f = βv sebességgel arányos fékező erő is hat a tömegpontra, azaz ha egy testet rugóra akasztunk és valamilyen közegbe (levegőbe, vízbe) tesszük. Ekkor a mozgásegyenlet mẍ = Dx βẋ, mẍ + Dx + βẋ = 0 (4.7) lesz, amit a tömeggel végigosztva és bevezetve a 2κ = β/m jelölést, a következő alakra hozható ẍ + 2κẋ + ωo 2 x = 0. (4.8) Ez is másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén differenciálegyenlet, tehát megoldását az előző esetben ismertetett gondolatmenethez hasonlóan kapjuk. A megoldást az 4.5 exponenciális alakban keresve a karaketerisztikus egyenlet λ 2 + 2κλ + ωo 2 = 0 λ 1,2 = κ ± κ 2 ωo, 2 ahol κ = β 2m. λ 1,2 értéke, és így a megoldásfüggvény alakja erősen függ κ és ω o viszonyától. A lehetséges eseteket külön-külön tárgyaljuk. 36

Rezgőmozgás Csillapodó rezgés 4 3 ae - t 2 x 1 x 1 0 x 2 x 3 x 4-1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t -ae - t 4.3. ábra. Csillapodó rezgés. Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója exponenciálisan csökken. x i jelöli az egymást követő maximumok értékét. κ < ω o : gyenge fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± iω, ahol ω = ω 2 o κ2, két lineárisan független partikuláris megoldást kapunk: A 1 e λ 1t, A 2 e λ 2t és az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 e iωt + A 2 e iωt ) alakúnak adódik. A megoldástól azt kívánjuk, hogy valós legyen, ami elérhető például úgy, hogy a konstansokat a következő alakban vesszük fel: A 1 = a 2 eiα, A 2 = a 2 e iα, vagyis A 1, A 2 helyett két új a, α konstanst vezetünk be a fenti definícióval. Igy x = ae κt cos (ωt + α) adódik, vagy α helyett α π/2-t írva x = ae κt sin (ωt + α). (4.9) Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken, ezért csillapított rezgőmozgásnak nevezzük, bár ez nem periódikus folyamat. Az (4.9) egyenletből leolvashatóak a csillapított rezgés tulajdonságai is: a körfrekvencia és a rezgésidő ω = ω 2 o κ2, T = 2π ω 2 o κ 2. Az ω tehát kisebb, mint a csillapítatlan rezgőmozgás ω o körfrekvenciája, a T 37

Rezgőmozgás Csillapodó rezgés rezgésidő pedig nagyobb T o -nál. Látható, hogy az x(t) függvény határértéke lim x(t) = 0, t azaz a fékezés hatására a mozgás aszimptótikusan leáll és a részecske a rugó feszitetlen helyénél nyugalomba kerül. Az 4.9 megoldásfüggvény viselkedését a 4.3 ábra illusztrálja. A csillapodó rezgőmozgás érdekes tulajdonsága, hogy bármely két egymásutáni, egyirányú maximális kitérés viszonya ugyanaz (lásd a 4.3 ábrát): x 1 x 3 = x 2 x 4 =... = x n x n+2, mert ha például az x n -hez tartozó idő t n, akkor (4.9) szerint x n = x(t n) x n+2 x(t n + T ) = eκt. (4.10) Ezért a K = e κt mennyiséget a csillapodás mértékének tekinthetjük és csillapodási hányadosnak nevezzük. Most rátérünk arra az esetre, amikor a karakterisztikus egyenlet gyökei valósak. x PSfrag replacements 0 t 4.4. ábra. Az aperiódikus határeset. Az x(t) függvény nem vált előjelet. Kis t értékekre növekszik, majd nagy t-kre exponenciálisan csökken. κ > ω o, erős fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± κ 2 ω 2 o, vagyis a λ 1, λ 2 gyökök 38

Rezgőmozgás Kényszerrezgés valósak és negatívak, az általános megoldás pedig x(t) = A 1 e λ 1t + A 2 e λ 2t alakú lesz. Mivel mindkét λ valós, az x(t)-ben szereplő tagok az idővel exponenciálisan csökkenek és így a mozgás nem lesz rezgőmozgás. Közelebbről tekintsük a következő kezdőfeltételekkel jellemzett esetet: t = 0-nál legyen x = 0, tehát A 1 + A 2 = 0, valamint ẋ = v = v o, tehát A 1 λ 1 + A 2 λ 2 = v o. Ebből következik A 1 = A 2 = v o λ 1 λ 2 = v o 2 κ 2 ω 2 o, és innen x(t) = v o [e (κ κ 2 ω 2 o )t e (κ+ κ 2 ω 2 o )t ]. (4.11) 2 κ 2 ω 2 o A megoldás alakjából látható, hogy x értéke sosem lesz negatív. A 4.11 megoldás alakját a 4.4 ábra illusztrálja. A mozgás során t = 0-tól kezdve x növekszik, bizonyos t 1 időpillanatban eléri maximumát, majd t - re zérushoz tart. A maximum helye abból határozható meg, hogy ott a tömegpont megáll. Igy mozog például a rugóra akasztott test, amelyet valamilyen nagy viszkozitású folyadékba merítünk és egyik irányba kitérítünk. A kitérítést követően a test a másik oldalra már nem fog átmenni, hanem a feszitetlen helyen megáll. κ = ω o. Ebben az úgynevezett aperiódikus határesetben λ 1 = λ 2 = κ és így egy partikuláris megoldást kapunk: e κt. A differenciálegyeneletek elmélete alapján a másik partikuláris megoldás te κt és így az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 + A 2 t). Ha ismét az előző kezdőfeltételeket használjuk könnyen belátható, hogy A 1 = 0, A 2 = v o és x(t) = v o te κt, ami az előző esethez hasonló függvényalakot ad, azaz aperiódikus mozgás, x kizárólag mindig egyirányú és t -re nullához tart. 39

Rezgőmozgás Kényszerrezgés 4.3. Kényszerrezgés, rezonancia Tegyük fel, hogy a tömegpontra a kvázielasztikus és a fékező erőn kívül még egy periódikus gerjesztő erő is hat: F = F o cos (ωt). Ez az eset legegyszerübben úgy valósítható meg, hogy egy testet csavarrugóra erősítünk, majd a rugó felső végét fel és le mozgatjuk. Igy az előzőekben megismert csillapított szabad rezgést kívülről befolyásoljuk, ezért ezt az esetet kényszerrezgésnek nevezzűk, ω-t pedig gerjesztési, vagy kényszerfrekvenciának hívjuk. A korábban bevezetett ω s = ω 2 o κ2 mennyiséget sajátfrekvenciának nevezzük. A probléma mozgásegyenlete mẍ = Dx βẋ + F o cos ωt, vagy a korábban bevezetett jelölésekkel ω o = D m, az egyenlet alakja a következő lesz κ = β 2m, f o = F o m mẍ + 2κẋ + ω 2 o x = f o cos ωt. (4.12) Ez az egyenlet abban különbözik a korábban látott (4.4,4.8) mozgásegyenletektől, hogy a jobb oldal nem nulla, hanem maga is t függvénye, tehát az ismeretlen függvényen és deriváltjain kívül más, ismert függvénye is van t-nek az egyenletben. Az ilyen differenciálegyenletet inhomogénnak nevezzük. Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását úgy kapjuk meg, hogy megkeressük egy partikuláris megoldását majd ehhez hozzáadjuk a megfelelő homogén egyenlet általános megoldását. A megoldás részleteit nem ismertetjük, hanem helyette megadjuk a megoldásfüggvény alakját, majd azt elemezzük. κ < ω o esetén az 4.12 egyenlet általános megoldása: x(t) = A cos (ωt ϕ) } {{ } periódikus + ae κt sin ( ωo 2 κ2 t + α), (4.13) } {{ } csillapodó ahol A = f o 2κω (ωo 2, és tgϕ = ω2 ) 2 + 4κ 2 ω2 ωo 2 (4.14) ω2 40

Rezgőmozgás Kényszerrezgés x 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 4.5. ábra. A kényszerrezgés mozgásegyenletének (4.13) megoldása. Az ábra jól illusztrálja, hogy a csillapodó rész eltünésével periódikus mozgást kapunk. -0.5-1.0-1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t Az (4.13) általános megoldásból látható, hogy az anyagi pont mozgása két részből tevődik össze: egy ω körfrekvenciájú csillapítatlan és egy ω 2 o κ 2 körfrekvenciájú csillapított rezgőmozgásból. Az idő múlásával a csillapodó rész kihal és asszimptótikusan a gerjesztés és fékezés együttes hatásának eredményeként egy periódikus mozgás, harmónikus rezgőmozgás alakul ki, tehát a tömegpont a gerjesztő erő ω körfrekvenciájával csillapítatlan rezgést, kényszerrezgést végez. Ezt illuszrálja a 4.5 ábra. A kialakuló kényszerrezgés A 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1 < 2 4.6. ábra. A kialakuló harmónikus rezgés (4.14) amplitudója mint az ω gerjesztő frekvencia függvénye két különböző κ fékezési együttható érték mellett. 1.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A amplitúdója és a gerjesztő erő és a kényszerrezgés közötti fázistolás ϕ szöge a gerjesztő erő ω körfrekvenciájától függ. A (4.14) egyenlet szerint, amint a gerjesztő frekvencia 0-tól ω o -ig, majd innen -ig nő, a ϕ fáziskülönbség 0-tól π/2-ig, majd onnan π-ig nő, tehát a rezgés fázisban mindig elmarad a gerjesztő erőhöz képest. Az amplitudó kis ω-áktól indulva először nő, ω = ω o közelében maximumot ér el, majd ismét csökken. Tehát az amplitúdó akkor a legnagyobb, ha a gerjesztő frekvencia a rendszer sajátfrekvenciájának közelébe esik. Ez a jelenség a rezonancia, az A(ω) görbét pedig rezonan- 41

Rezgőmozgás Kényszerrezgés cia görbének nevezzük (lásd a 4.6 ábra). Látható, hogy a maximum annál erősebb, minél kisebb a rendszer κ csillapítása. Csillapítatlan rendszerre ω = ω o esetén az amplitúdó végtelenné válna. Ez a jelenség a rezonancia katasztrófa. A rezonanciának rendkívül nagy jelentősége van a gyakorlati életben. Egy épületben a vizvezetékben fellépő rezonancia miatt az épület súlyosan rongálódhat, a rezonancia az oka annak, hogy hidakon katonák nem mehetnek lépést tartva. 42

Rezgőmozgás Kényszerrezgés 4.3.1. Feladatok 1. Lengő rendszereknél, például a mérlegnél, az x o egyensúlyi helyzet meghatározható három egymást követő fordulópont x 1, x 2, x 3 megfigyeléséből. (Az 4.4 ábrán x o értéke nulla.) Kiindulva a (4.10) egyenletből, fejezzük ki x o -t az x 1, x 2, x 3 segítségével. A kapott formulát régen gyakran használták mérlegelésnél. 2. Elemezzük a csillapodó rezgőmozgást numerikusan! Adott ω o mellett indítsunk mozgásokat változtatva a β fékezési együtthatót a mozgásegyenletben (azaz változtatva κ-t. Vegyük fel β-t úgy, hogy κ < ω o teljesüljön! Inditsunk egy mozgást valamilyen kezdőfeltétellel és figyeljük a csillapodó rezgés létrejöttét. Olvassuk le a fordulópontokban az x értékét majd ellenőrizzuk az (4.10) egyenlet teljesülését! Vegyük fel β-t úgy, hogy κ > ω o teljesüljön! Miben különbözik az így kialakuló mozgás az előző esettől? Értelmezzük a kapott x(t) görbét. Adott kezdőfeltételek mellett az x miért nem vált előjelet? Inditsunk mozgásokat úgy, hogy x legyen negatív, majd pozitív. Elemezzük az aperiódikus határesetet! 3. Csillapodó rezgőmozgás vizsgálatánál κ < ω o feltétel mellett inditsunk egy mozgást majd ábrázoljuk a tömegpont sebességét a helykoordináta függvényében! Értelmezzük a látottakat és hasonlítsuk össze a kapott görbét a csillapítatlan esetben kapottakkal! 4. Vizsgáljuk a csillapított és gerjesztett oszcillátor mozgását! Indítsunk mozgásokat különböző kezdőfeltételekkel változtatva a programban a csillapítás és gerjesztés értékét! Figyeljük a gerjesztett rezgőmozgás kialakulását! Elemezzük a mozgást a v x síkon is! 5. Az anharm.exe program segítségével vegyük fel a periodikusan gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor rezonanciagörbéjét két különbőző κ érték mellett. Számoljuk ki a maximumot és a félértékszélességet a különböző csillapítások mellett. Az analitikus megoldás alapján elemezzük a látottakat. 43

4.4. Az anharmónikus rezgőmozgás Anharmónikus rezgőmozgás Az előző fejezetben láttuk, hogy a harmonikus rezgőmozgás kialakulásának dinamikai feltétele a tömegpontra ható az x kitéréssel arányos visszatérítő erő, azaz F = Dx. Ilyen erőt fejt ki például a csavarrugó a hozzá erősített testre, ha a rugó megnyúlása kicsi a nyugalmi hosszához képest. Azonban nagyobb megnyúlásoknál a rugó által kifejtett erő már nem lineáris függvénye az x kitérésnek, hanem x magasabb hatványait is tartalmazza. Természetesen az ilyenkor kialakuló mozgás sem lesz már harmónikus rezgőmozgás, hanem egy komplikált úgynevezett anharmonikus rezgőmozgás jön létre. A következőkben nagyon röviden néhány tipikus anharmónikus rezgőrendszerrel és a kaotikus mozgás kialakulásával fogunk foglalkozni. A feladatok megoldásához az anharm.exe programot használjuk, amelynek leírása az 6.1 függelékben található. 1. Duffing oszcillátor A rezgőmozgásról tanultak legegyszerübb általánosítása, ha az F erő kifejezésében egy x 3 -el arányos, a rugóerővel ellentétes irányú erőt is figyelembe veszünk, azaz F = Dx + C 3 x 3 βv + F 0 sin(ωt). (4.15) Az így kapott rezgő rendszert Duffing oszcillátornak nevezzük, amely a kaotikus viselkedés kialakulásának egyik iskolapéldáját mutatja. Feladatok (a) β = 0, F o = 0 esetén határozzuk meg azokat az x pontokat, ahol F (x ) = 0, tehát a tömegpontra nem hat erő. (b) β = 0, F o = 0 esetén indítsunk mozgásokat a legkülönbözőbb kezdőfeltételekkel! Értelmezzük a kialakult mozgásokat! Mi az előbb meghatározott x pontok szerepe? (c) Ismételjük meg az előző számításokat β 0 esetén! Értelmezzük a v(x) síkon látottakat! (d) Kapcsoljuk be a gerjesztő erőt! különböző értékei mellett! Analizáljuk a mozgást F o és ω 2. Atomok és molekulák egymás közötti kölcsönhatását lehet modellezni az F = Dx 3A 2 x 2 4A 3 x 3 βv + F 0 sin(ωt) (4.16) egyenletű oszcillátorral. D = F 0 = 0 esetén a potenciális energia U = x 0 F (x )dx = k 2 x2 +A 2 x 3 +A 3 x 4 a paraméterek alkalmas megválasztása 44

Anharmónikus rezgőmozgás esetén az x = 0 pont körül két különböző meredekségű ággal rendelkezik, ami a taszító és vonzó kölcsönhatások különböző erősségét modellezi. 3. Elektromos áramkörök modellezésére használható a Van Der Pol oszcillátor: F = Dx β(x 2 0 x 2 )v + F 0 sin(ωt) (4.17) A határciklus és a káosz tanulmányozása egyeránt lehetséges a rendszeren. Feladatok (a) Elemezzük a mozgásokat β > 0 és β < 0 esetén a v(x) síkon! (b) Figyeljük meg a kialakuló határciklus alakját! Indítsunk mozgásokat a cikluson belülről és kívülről is! Hasonlítsuk össze a határciklus egyes ágain történő haladás sebességét! 4. Inga M = ml 2 ϑ = mgl sin ϑ LD ϑ + LF0 sin(ωt) (4.18) ahol M az ingára ható forgatónyomaték, L az inga hossza, ϑ a kitérése. Kis kitérések esetén a rendszer a sin ϑ ϑ közelítéssel megoldható. Ha ezt a lineáris közelítést feladjuk, az amplitúdó változni fog az időben, a rezonanciagörbe többértékűvé válik és a rendszer kaotikus tulajdonságokat mutat. Feladatok (a) Indítsunk mozgásokat először kicsi, majd nagy kezdeti kitérésekkel! Hasonlítsuk össze a két esetben kialakult mozgást! 5. A szimulációs programmal vizsgálható még egy két fal közé rúgókkal kifeszített tömegpont mozgása (a fallal párhuzamosan, 1 dimenzióban): ( ) W 2 F = 2D(L L 0 )x/l βv + F 0 sin(ωt) ahol L 2 = x 2 + 2 (4.19) a rúgók rúgóállandója D, L 0 a nyugalmi, L a nyújtott hosszuk, W a falak távolsága. A rúgók összenyomhatóak. A rendszer kaotikus viselkedést mutat. 45

Anharmónikus rezgőmozgás Az előző esetek elemzésénél láthattuk, hogy ha az erő kifejezésében x-ben nemlineáris tagok is előfordulnak a mozgás bonyolúlt, aperiódikus, összevissza lesz és sosem válik önismétlővé. Az ilyen mozgást kaotikusnak nevezzük. A kaotikus mozgások egyik legjellemzőbb tulajdonsága a kezdőfeltételre való érzékenység. Kaotikus mozgásoknál a rendszer kezdőfeltételekkel szembeni érzékenységét a Ljapunov exponenssel mérik. Ez szemléletesen a következőképpen definiálható: Jelölje x t a kaotikusan mozgó test helykoordinátáját a t időpillanatban. Nyilván x t a kezdeti feltételek függvénye: x t = x t (x 0 ). Ha a testet kicsivel különböző kezdőfeltételekkel indítjuk, koordinátájának x t (x 0 ) tól mért távolsága exponenciálisan fog nőni a t idővel x t (x 0 + ε) x t (x 0 ) ε e tλ (4.20) ahol λ a Ljapunov exponens. λ tehát a trajektóriák távolodásának gyorsaságát jellemzi!. 46

5. fejezet Tömegpontrendszerek mechanikája Az egyetlen tömegpont mozgásának vizsgálata után tömegpontok rendszereinek mozgását elemezzük. A tömegpontrendszer kinematikai és dinamikai vizsgálata a tömegpontra vonatkozó fogalmakra épül. Természetesen a tömegpontra vonatkozó fogalmak a tömegpontrendszer egyes elemeire különkülön értelmezhetőek, tehát r i, p i,... jelöli a pontrendszer i-edik elemének helyvektorát, impulzusvektorát,..., továbbá teljesül, hogy v i = r i, értelmezhető az s i út, stb. Egy tömegpontrendszert a { r i, m i } N módon jelölünk, ahol r i, m i az i-edik tömegpont helyvektora és tömege, N jelöli a pontrendszer elemeinek a számát. Egy tömegpontrendszer elemei nemcsak egymással, de a pontrendszerhez nem tartozó más tömegpontokkal is kölcsönhatásban lehet, ezért elsőként az erő fogalmát kell gazdagítanunk. Definíció: Belső erő-nek nevezzük az { r i, m i } N tömegpontrendszer elemei közötti kölcsönhatást jellemző F i B erőket. Fj i jelöli a rendszer j-edik eleme által az i-edik elemre kifejtett erőt, ekkor F B i = N j i=1 F j i, azaz az i-edik tömegpontra ható belső erő a többi tömegpont által rá kifejtett erők összege. 47

Tömegpont rendszerek Definíció: Az F j i erőt centrálisnak nevezzük, ha az i és j tömegpontokat összekötő egyenesbe esik, vagyis F j i r ij. A továbbiakban a belső erőkről mindig feltételezzük, hogy centrális! Tömegpontrendszerre egy egyszerű példa két tömegpont amelyet rugóval kapcsolunk össze. m 1 PSfrag replacements F 2 1 x z O r 1 y r 2 F 1 2 m 2 5.1. ábra. Példa tömegpontrendszerre. Két különböző tömegű tömegpont rugóval van összekötve. A tömegpontrendszer elemeinek száma 2. A két tömegpont a rugón keresztül erőt fejt ki egymásra. Az ábrán szereplő rendszer zárt, mert a rendszerhez nem tartozó más testekkel nem áll kölcsönhatásban. Definíció: Külső erő-nek nevezzük az { r i, m i } N tömegpontrendszerhez nem sorolt testekkel való kölcsönhatást jellemző F i K erőket. Definíció: A tömegpontrendszer zárt ha elemeire külső erők nem hatnak. A 5.1 ábrán bemutatott két tömegpontból álló rendszer zárt, mert a tömegpontrendszerhez nem tartozó tömegponttal nincs kölcsönhatásban. Ha figyelembe vennénk a Föld által az m 1, m 2 tömegpontra kifejtett gravitációs erőt a tömegpontrendszer nyílt lenne. A rúgó által a két tömegpontra kifejtett erő F 2 1 = D( r 2 r 1 ) (5.1) centrális, mert mindig párhuzamos a két tömegpontot összekötő r 2 r 1 vektorral. 5.1. Tömegpontrendszer mozgásegyenletei Egy tömegpontrendszer mozgását ismerjük, ha ismerjük minden elemének mozgását, vagyis ha az összes r i (t) függvény ismert. A tömegpont mozgás- 48

Tömegpont rendszerek egyenletéből kiindulva kapjuk a tömegpontrendszer mozgásegyenlet rendszerét m i ri = F B i + F K i, i = 1,..., N (5.2) ahol F B i és F i K jelöli a rendszer i-edik tömegpontjára ható belső és külső erők eredőjét, N pedig a rendszer elemeinek száma. A (5.2) egyenletben F i B és F i K az r 1, r 2,..., r N helyvektoroknak ismert függvényei. Vegyük észre, hogy (5.2) egy skaláregyenletekben számolva 3N darab másodrendű differenciálegyenletből álló csatolt differenciálegyenlet rendszer. A csatolás a belső erőkben fellépő koordináta függéseken keresztül valósúl meg. A egyenletrendszer egyértelmű megoldásához kezdőfeltételek megadása szükséges, ami az ismeretlen függvények nulladik és első deriváltjának értéke valamilyen kezdeti t 0 időpontban: r i0 = r i (t o ), és v i0 = v i (t o ), (5.3) azaz meg kell adnunk minden részecske kezdeti helyét és sebességét. A fenti differenciálegyenlet rendszer megoldása szolgáltatja a rendszer egyes elemeinek r i (t) pályafüggvényét. Példa: Az 5.1 ábrán bemutatott rendszer mozgásegyenletei a következők: m 1 r1 = D( r 1 r 2 ), (5.4) m 2 r2 = D( r 1 r 2 ). A kezdőfeltételek r 1 (t o ), v 1 (t o ), és r 2 (t o ), v 2 (t o ). Ha a referenciaponthoz koordinátarendszert rögzítünk, akkor a vektorokra felírt 5.4 egyenletrendszer, hat darab skalár egyenletből álló egyenletrendszerré alakítható: m 1 ẍ 1 = D(x 1 x 2 ), (5.5) m 1 ÿ 1 = D(y 1 y 2 ), m 1 z 1 = D(z 1 z 2 ), m 2 ẍ 2 = D(x 1 x 2 ), m 2 ÿ 2 = D(y 1 y 2 ), m 2 z 2 = D(z 1 z 2 ). Az egyenletek közötti csatolás abban nyílvánul meg, hogy az egyenletek jobb oldalán a x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 változók össze vannak keveredve. Ha a kezdőfeltételeink olyanok, hogy a két tömegpont egy egyenes mentén mozog, akkor az 5.5 skalár egyenletekből álló egyenletrendszer tovább egyszerűsíthető két skalár egyenletből álló egyenletrendszerré: m 1 ẍ 1 = D(x 1 x 2 ), m 2 ẍ 2 = D(x 1 x 2 ), 49

Tömegpont rendszerek ahol a koordinátarendszer x tengelyét a mozgás egyenesén vettük fel, a kezdőfeltételek pedig x 1 (t o ), v 1 (t o ), és x 2 (t o ), v 2 (t o ) alakba írhatók. A továbbiakban néhány a tömegpontrendszer egészére vonatkozó tételt tárgyalunk. Definíció: Az { r i, m i } N tömegpontrendszer tömegközéppontja az r c = helyzetvektorú pont. Megjegyzések: i m i r i m, ahol m = i m i (5.6) A tömegközéppont r c helyvektora csak a tömegeloszlástól függ, nem függ a referencia pont megválasztásától. A definícióból látható, hogy i m i ( r c r i ) = 0, és az origó eltolása a r c r i különbségen nem változtathat. N = 2 esetén a tömegközéppont a két tömegpontot összekötő egyenesen van, ami az előző pont gondolatsorának egyenes következménye, 5.2 ábra. Ha a tömegpontok mozognak, mozoghat a tömegközéppontjuk is! Sebességét 5.6 helyvektorának idő szerinti differenciálásával kapjuk v c = i m i v i m. Innen rögtön következik, hogy a tömegpontrendszer teljes p tot impulzusa p tot = i m i v i = m v c. r 2 PSfrag replacements r c 5.2. ábra. A tömegközéppont helye kételemű tömegpontrendszer esetén. O r 1 A mozgásegyenlet rendszerből kiindulva fontos megállapítást tehetünk a tömegközéppont mozgására. Összeadva a 5.2 mozgásegyenlet rendszer egyen- 50

Gravitációs dinamika leteit N i=1 m i ri = i N p i i=1 } {{ } p tot = i p tot = i F i B } {{ } =0 F K i, F K i. + i F K i, A fenti egyenletből látható, hogy ha egy rendszerre külső erők nem hatnak F i k = 0, akkor a rendszer elemei úgy mozognak, hogy a rendszer teljes impulzusa állandó marad. Tehát a fenti eredmény azt jelenti, hogy a rendszer tömegközéppontja nyugalomban marad. 5.2. Gravitációs dinamika: a bolygók mozgása A következőkben olyan tömegpontrendszer mozgását vizsgáljuk, amelyeknek elemei a gravitációs erővel hatnak kölcsön. Először a Nap-Föld rendszert elemezzük, amelyet az 5.3 ábra illusztrál: PSfrag replacements m N r = r F r N mf F F N FN F r N O r = r r F 5.3. ábra. Két tömegpont, amelyek között a gravitációs erő hat. Az egyik tömegpont a Nap, másik a Föld. A Nap által a Földre kifejtett gravitációs erő F N F = γ m Nm F r (5.7) r 2 r alakú, ahol γ jelöli a gravitációs állandót, m N, m F a Nap és Föld tömege, r pedig a Nap-tól a Földhöz mutató vektor, amelynek r abszolútértéke a Nap- Föld távolság. A gravitációs erő tehát egyenesen arányos a testek tömegével 51

Gravitációs dinamika és fordítottan arányos a testek távolságának négyzetével. A negatív előjel azt fejezi ki, hogy az erő vonzó erő, azaz a Nap által a Földre kifejtett erő iránya ellentétes a Nap-tól a Földhöz mutató vektorral. Az ábrán bemutatott Nap-Föld rendszer mozgásegyenletei a következők: m F rf = γ m Nm F r 2 m N rn = γ m Nm F r 2 r r, r r, (5.8) ami skaláregyenletekben számolva 6 darab egyenletből álló másodrendű csatolt differenciálegyenletrendszer az ismeretlen r F (t), r N (t) függvényekre. Kezdőfeltételként meg kell adnunk a két objektum kezdeti helyét és sebességét: r F (t o ), r N (t o ) és v F (t o ), v N (t o ). Az 5.8 egyenletrendszer adja az úgynevezett gravitációs kéttestprobléma általános leírását, amelynek megoldásával kaphatjuk meg a Nap és a Föld mozgását. Ha a két vizsgált objektum közül az egyik tömege jóval nagyobb, mint a másiké, mint esetünkben a Nap tömege 330.000 szerese a Föld tömegének, a nagytömegű objektum mozgása elhanyagolható méreteihez képest, állónak tekinthető, azaz a mozgásegyenletben az ő koordinátája állandónak vehető. Ezt a közelítést, tehát amikor a nagy tömegkülönbség miatt a nagytömegű kölcsönható partner mozgását elhanyagoljuk, egytest közelítésnek, egytest problémának, vagy Kepler-problémának nevezzük. Egytest közelítés esetén célszerű a referencia pontot a nagytömegű test helyének választani, azaz a mi esetünkben a Naphoz rögzíteni: y Föld PSfrag replacements r Nap x 5.4. ábra. A Nap-Föld rendszer egytest közelítésben. A Földre vonatkozó mozgásegyenlet ekkor a következő: m F r = γ m N m F r 2 52 r r, (5.9)

Gravitációs dinamika ahol most r jelöli a Föld-Nap távolságot. Ennek megoldásával kaphatjuk a Föld, illetve hasonló egyenletek megoldásával, a többi bolygó Napkörüli mozgását. 5.2.1. A bolygómozgás törvényszerűségei A bolygók mozgásának törvényszerűségeit Kepler állapította meg Tycho Brahe megfigyelési eredményeinek analizálásával: Kepler törvények: 1. A bolygók a Nap körül ellipszis alakú pályákon keringenek, amelyek egyik fókuszpontjában a Nap van. 2. A Naptól egy bolygóhoz húzott vezérsugár egyenlő idők alatt egyenlő területeket súrol. 3. Az ellipszis pályán történő mozgásnál a T periódus időre és az ellipszis a fél nagytengelyére fennáll: T 2 a 3 = áll. Az állandó értéke a Naprendszerre jellemző, minden a Naprendszerben kialakuló ellipszis pályára ugyanaz. Föld PSfrag replacements a Nap 5.5. ábra. Az ellipszis pálya jellemzői. A mozgásegyenletek minden információt tartalmaznak a mozgásról, így a Kepler törvények mindenképpen igazolhatóak az egytestprobléma 5.9 mozgásegyenletéből kiindulva. A gravitációs egytestprobléma vizsgálatához szorozzuk meg a 5.9 egyenlet mindkét oldalát vektoriálisan r-el m F [ r, r] = γ m Nm F r 3 53 [ r, r].

Gravitációs dinamika Mivel párhuzamos vektorok vektorszorzata nulla, az egyenlet jobb oldala nulla, a baloldal pedig átalakítható a következő módon d dt [ r, r] = [ r, r] + [ r, r] = [ r, r], ahol ismét kihasználtuk, hogy párhuzamos vektorok vektorszorzata nulla. Tehát végeredményül azt kaptuk, hogy d dt [ r, r] = 0, azaz [ r, r] = áll.. A vektorszorzat állandósának nagyon fontos általános következményei vannak az r(t) függvényre vonatkozóan. A vektorszorzat merőleges mindkét szorzótényező vektorra, lásd a 5.6 ábra. A fenti egyenlet szerint a szorzatvektor állandósága azt jelenti, hogy a tömegpont mindig a vektorszorzatra merőleges síkban kell mozogjon, azaz a mozgás síkmozgás. Ez minden centrális erő hatása alatt létrejövő mozgásra igaz. Tehát megmutattuk, hogy a gravitációs erőtérbeli mozgás síkmozgás. Azt, hogy pályagörbe ellipszis, a mozgásegyenlet analitikus megoldásával lehet belátni. [ r, d r] PSfrag replacements r d r 5.6. ábra. A felületi sebesség illusztrálása. A besatírozott terület nagysága kifejezhető az [ r, d r] vektorszorzat segítségével. Az [ r, r] = [ r, d r]/dt mennyiségnek szemléletes jelentése van. A vektorszorzat értelmezése szerint [ r, d r] a két vektor által felfeszített paralelogramma területe, amelyet tehát az r vektor dt idő alatt súrol. Tehát a vektorszorzat felületi sebességként értelmezhető v F = 1 [ r, v], és állandósága 2 épp Kepler második törvényének teljesülését jelenti. Kepler harmadik törvényét szintén a 5.9 mozgásegyenlet általános megoldásának elemzésével lehet igazolni, viszont körpálya speciális esetében teljesülését könnyen beláthatjuk. Az r sugarú körpályán mozgó test gyorsulása a = v 2 /r nagyságú, s a kör középpontja felé mutat. Bolygók esetén a 54

Gravitációs dinamika körmozgást a Nap által kifejtett gtavitációs erő hozza létre, ezért ekkor a mozgásegyenlet a következő alakú m v2 r = γ m Nm, (5.10) r 2 ahol m N a nap tömegét, m pedig egy tetszőleges bolygó tömegét jelöli. Innen a v pályasebesség meghatározható ( ) 1 γmn 2 v =. (5.11) r Mivel a v sebesség állandó, egy körbefordulás T ideje, azaz a periódus idő T = 2rπ (5.12) v lesz. A fenti két egyenletet egymásba helyettesítve adódik Kepler harmadik törvényének teljesülése T 2 r 3 = 4π2 γm N, (5.13) s ezzel meghatároztuk a törvényben szereplő naprendszer állandó értékét is. ag replacements [ r, d r] r d r 5.7. ábra. A pálya alakjának változása a kezdeti sebesség függvényében. Mivel a mozgás síkmozgás, a referenciául választott Naphoz egy koordinátarendszert rögzítve a fenti vektoregyenlet két skaláregyenletté esik szét. Az r vektor komponensei (x, y), majd a rájuk vonatkozó egyenletek: ẍ = γ m Nx, r 3 ÿ = γ m Ny, r 3 r = x 2 + y 2. 55

Gravitációs dinamika A kapott egyenletrendszer numerikus megoldását például Verlet-módszerrel a következő módon kaphatjuk meg: r 3 (t) = (x(t) 2 + y(t) 2 ) 3 2, x(t + t) = 2x(t) x(t t) γm N x(t)r 3 (t) t 2, y(t + t) = 2y(t) y(t t) γm N y(t)r 3 (t) t 2, A numerikus megoldás során érdemes minden iterációs lépésben előre kiszámítani r 3 értékét. A szimuláció kezdőfeltételét célszerű úgy megválasztani, hogy a Naptól egy adott távolságban rögzítjük a kezdeti helyet majd változtatjuk a kezdősebsség értékét a bolygót a Nappal összekötő egyenesre merőleges irányban az 5.7 ábrán illusztrált módon. 56

5.2.2. Feladatok Gravitációs dinamika A feladatok végrehajtásához az orbiter.exe programot használjuk, illetve szükségünk lehet egy grafikus ábrázoló programra. 1. A táblázat a Naprendszer bolygóinak pályaadatait adja. Az idő egysége 1 földi év a távolságé pedig a Föld pálya fél nagytengelye. Bolygó Keringési idő (T ) Félnagytengely (a) Merkur 0.241 0.387 Vénusz 0.615 0.723 Föld 1.0 1.0 Mars 1.88 1.523 Jupiter 11.86 5.202 Saturnusz 29.5 9.539 Uránusz 84.0 19.19 Neptunusz 165 30.06 Plutó 248 39.44 5.1. táblázat. A Naprendszer bolygóinak pályaadatai. Egy grafikus ábrázoló program segítségével mutassuk meg Kepler harmadik törvényének teljesülését, s határozzuk meg a Naprendszer-állandó T 2 /a 3, majd a γm N értékét! (Segítség: az egyik legegyszerűbb lehetőség, hogy ábrázoljuk kétszer logaritmikus skálán T -t mint a függvényét. Ha teljesül Kepler harmadik törvénye, milyen görbét kell látnunk?) 2. Az orbiter programmal tekintsük meg a Naprendszert! A méretbeli különbségek miatt a távoli bolygókat csak a belső boltgóktól szeparáltan tudjuk megneézni! 3. Tekintsük egyetlen bolygó mozgását! A kezdőfeltétel derékszögű koordináta rendszerben legyen x(t = 0) 0, y(t = 0) = 0, vx(t = 0) = 0, és vy(t = 0) 0. Miután rögzítettük a Naptól mért kezdeti x(t = 0) távolságot, változtassuk addig vy(t = 0)-t, amig körpályát nem kapunk! Hasonlítsuk össze a kapott pályákat! Mit nevezünk első és második kozmikus sebességnek? Miért negatív a teljes energia? Mi történne, ha pozitív lenne? 57

Gravitációs dinamika 4. Válasszuk meg a kezdőfeltételeket az előző feladatban ismertetett technikával úgy, hogy ellipszis pálya alakuljon ki! A programban használt numerikus integrálási eljárás úgynevezett adaptív t értéket használ. Ez azt jelenti, hogy ha a bolybó gyorsan mozog, a kielégítő numerikus pontosság eléréséhez kis t-t kell használni, míg ahol a mozgás lassú nagy t is jó eredményt ad. Hogy a mozgást valós időben érzékelhessük, integráljuk a mozgást néhány periódusra, majd használjuk a program Replay funkcióját, ami valósidejű visszajátszást csinál. Jellemezzük a bolygó pályamenti sebességének alakulását! Tételezzük fel, hogy a vizsgált bolygó a Föld! Mennyi idő telik el a Földön a Nap két delelése között, ha a Föld Napközelben, illetve Naptávolban van? 5. Hogyan lehetne figyelembe venni a levegő fékező hatását egy szatelitre? Milyen erőt kellene a mozgásegyenletbe irni? milyen lesz a mozgás pályája? 6. A napszél hogyan deformálja egy szatellit Föld körüli pályáját? 7. Ha egy bolygó egy kettős csillag rendszerében mozog, nagyon kicsi az esélye annak, hogy zárt pálya alakul ki. A bolygó mozgása ilyenkor erősen irreguláris, összevissza, zárt pálya csak nagyon speciális kezdőfeltételek mellett alakulhat ki. A program lehetőséget nyújt a kettős csillag plussz egy bolygó rendszerének vizsgálatára. A bolygót inditsuk az egyik csillag közeléből s figyeljük meg milyen pálya alakul ki! Keressünk olyan kezdőfeltételt, amellyel a bolygó a két csillagot nyolcas alakban megkerüli, majd elhagyja a csillagrendszert! A kettőscsillag rendszerében a bolygó mozgása kaotikus lehet, ami abban nyílvánul meg, hogy a bolygó pályája nagyon érzékeny a kezdőfeltételekre. Inditsunk mozgásokat egymáshoz nagyon közeli kezdőfeltételekkel egy figyeljük meg az egyes pálygörbék egymástól való távolodását! Növeljük a bolygó tömegét! Figyeljük, hogyan változik a pálya alakja és stabilitási tulajdonságai nagyobb tömegek esetén! 58

5.2.3. Nap-Föld-Jupiter rendszer vizsgálata Gravitációs dinamika Eddig csak azt vizsgáltuk, hogyan mozog egy bolygó a Nap gravitációs terében. A Nap körül keringő bolygók a közöttük ható gravitációs erő révén szintén befolyásolják egymás mozgását. Mivel a bolygók tömege lényegesen kisebb a Nap tömegénél, ez a hatás többnyire a Nap körüli számított pálya kis módosulásában nyílvánul meg, ezért azt mondjuk, a bolygók csak zavarják, perturbálják egymás mozgását. Előfordulhatnak azonban olyan esetek, amikor bolygók egymásra kifejtett hatása erősen befolyásolja a Napkörüli mozgás pályáját: Ha egy bolygó tömege nagy és Napkörüli keringése során időrőlidőre egy másik, kisebb tömegű bolygó közelébe kerül, hosszú idő elteltével a kisebb bolygó pályája megváltozhat. A Naprendszer belső bolygói közül a Jupiter jóval nagyobb tömegű, mint a többi bolygó, ezért jelentősen befolyásolta környezete időfejlődését a Naprendszer története folyamán (lásd a kisbolygók övében a Kirkwood sávok kialakulása), sőt hatását még a földön is ki lehet mutatni. Másik tipikus eset, amikor a perturbációk fontossá válhatnak a Naprendszer külső bolygói esetén következhet be. Ezek a bolygók már nagyon nagy távolságban mozognak a Naptól, így a Nap gravitációs hatását már egy nem túlságosan nagytömegű, de a közelben lévő másik bolygó is módosíthatja, pályamósulást okozva. A külső bolygók felfedezését is a már korábban ismert bolygók pályamódosulásai elemzésének köszönhetjük. Erre nagyon szép példa az Neptunusz története. Az Uránuszt 1781-ben fedezte fel F. W. Herschel majd pályáját Bouvard határozta meg 1821-ben figyelembe véve a Jupiter és a Szaturnusz pályáját. Azonban a számított és a megfigyelt pálya között eltérés mutatkozott, ami az idő múlásával nőtt. Leverrier francia csillagász 1846-ben az anomália magyarázatára abból a feltevésből indult ki, hogy az Uránuszon túl létezik egy nagytömegű bolygó, s az anomália mértékéből a helyét is meghatározta. Számításai alapján Galle berlini csillagász találta meg távcsövével a keresett bolygót, amely a Neptunusz nevet kapta. A Pluto-t 1930-ban fedezték fel a fentiekhez hasonló módon [1]. Ha az előző felyezetben ismertetett kéttestproblémát kiegészítve, a Földön kívül még egy másik bolygót is figyelembe veszünk a háromtest problémát kapjuk, amit analitikusan már nem lehet megoldani. Ilyenkor a probléma csak numerikusan kezelhető. A következőkben a Nap-Föld-Jupiter rendszer mozgását elemezzük úgy, hogy a Napot továbbra is nyugvónak tekintjük. A rendszert az 5.8 ábra szemlélteti. Ekkor a Jupiter által a Földre kifejtett erő F J F = γ m Jm F, rf 2 J ahol r F J a Földnek a Jupitertől mért távolságát jelöli. A mozgásegyenletekben Napnak az egyes bolygókra kifejtett hatásán kívül itt már figyelembe 59

Gravitációs dinamika PSfrag replacements y r F Föld r F J r J Jupiter Nap x 5.8. ábra. A Nap-Föld-Jupiter rendszer. A Napot továbbra is nyugvónak tekintjük s a referencia pontot a Nap helyére választjuk. kell venni a Föld-Jupiter kölcsönhatást is! A bolygók mozgásegyenletei m F rf = γ m Nm F r F r 3 F m J rj = γ m Nm J r J r 3 J γ m Jm F ( r F r J ), rf 3 J + γ m Jm F ( r F r J ). rf 3 J A két egyenlet csatolt mozgásegyenlet rendszert alkot, nem lehet őket egymástól függetlenül megoldani. Az egyenletek jobb oldalán az első tag mindig a Nap által az illető bolygóra kifejtett erő, a második tagok pedig a bolygók kölcsönös hatását írják le. Az egyenletrendszert csak numerikusan tudjuk megoldani. Ehhez először felírjuk az egyenleteket koordinátás alakban ẍ F = γ m Nx F r 3 F ÿ F = γ m Ny F r 3 F ẍ J = γ m Nx J r 3 J ÿ J = γ m Ny J r 3 J γ m J(x F x J ), rf 3 J γ m J(y F y J ), rf 3 J + γ m F (x F x J ), rf 3 J + γ m F (y F y J ), rf 3 J 60

Gravitációs dinamika majd megkonstruáljuk a választott numerius módszer, például a Verlet módszer, iterációs egyenleteit r F 3 (t) = (x F (t) 2 + y F (t) 2 ) 3 2, r F J3 (t) = ((x F (t) x J (t)) 2 + (y F (t) y J (t)) 2 ) 3 2, x F (t + t) = 2x F (t) x F (t t) γ [m N x(t) F r F 3 (t) + m J (x F (t) x J (t))r F J3 (t)] t 2, y F (t + t) = 2y F (t) y F (t t) γm N y F (t)r F 3 (t) t 2, r J3 (t) = (x J (t) 2 + y J (t) 2 ) 3 2, x J (t + t) = 2x J (t) x J (t t) γm N x(t) J r F J3 (t) t 2, y J (t + t) = 2y J (t) y J (t t) γm N y J (t)r F 3 (t) t 2. 61

5.2.4. Feladatok Gravitációs dinamika 1. A Mars és a Jupiter között húzódik a kisbolygók öve, ahol sok ezer kisméretű bolygó kering. Részletes vizsgálatok kiderítették, hogy a kisbolygók pályája nem egyenletesen tölti ki a Mars és a Jupiter közötti területet, hanem vannak sávok, ahol egyáltalán nem találunk kisbolygót. Ezek az üres sávok az úgynevezett Kirkwood sávok! A Kirkwood sávok kialakulásának oka, hogy a közeli Jupiter zavaró hatása miatt azok a pályák, amelyeken a keringési idő a Jupiter keringési idejével racionális arányban all, instabilak, ezért róluk a kisbolygók kiszóródtak a Naprendszer története folyamán. Például ezek a Kirkwood sávokból kiszóródott nagytömegű objektumok okozhatnak időről-időre riadalmat a Földön, mert összeütközhetnek bolygónkkal. A fenti táblázat segítségével határozzuk meg azon kisbolygók pályájának a félnagytengelyét, amelyek keringési ideje a Jupiter keringési idejének 1/2, 3/7, 2/5, és 2/3 része! A fenti eredményeket használjuk kezdőhelyként, majd keressünk olyan kezdősebességet, amelyyel körpálya alakul ki! Hogyan helyezkednek el a körpályák egymáshoz képest? 2. Nap-Jupiter-üstökös rendszer: a Jupiter közelében elhaladó üstöközök pályája jelentősen módosul. Az üstökös paramétereit változtatva elemezzük a Jupiter hatását! 3. Mini Naprendszer: a Jupiter és holdjainak rendszere a Naprendszerhez hasonló önálló kis rendszer. A szimulációs program lehetőséget ad ezen kis rendszer önálló elemzésére. 4. Lagrange pontok 5. Űrhajó dokkolása: A rendszer három objektumból áll, Föld, a Föld rörül keringő űrállomás és egy űrhajó, amely az űrállomáshoz akar csatlakozni. Az állomás és űrhajó a Föld körül kering. A csatlakozáshoz az űrhajó sebéssége (vektor!) egyenlő kel legyen az űrállomás sebességével. Az űrhajó hajtóművét tudjuk kontrollálni a nyilakkal, lökéseket adva x és y irányban. 62

Ütközések 5.3. Ütközések A tömegpontrendszerek mozgásáról tanultak további alkalmazásaként kiterjedt mechanikai testek ütközését vizsgáljuk. Testek mozgásának vizsgálatakor ütközésnek nevezzük azt a jelenséget, amikor két vagy több, egymáshoz képest mozgó test érintkezésbe jut egymással. Ütközéskor, a testek sebessége miatt, a testek között az érintkezés rövid ideje alatt igen nagy erők lépnek fel. Ha ezeket az erőket pontosan meg tudnánk adni, akkor fel tudnánk írni a testek mozgásegyenletét, amelynek megoldásával a testek mozgása pontosan meghatározható lenne. Az ütközéskor fellépő erők pontos alakját viszont nem ismerjük, róluk többnyire annyit tudunk, hogy igen nagyok és rövid ideig, lökésszerűen hatnak, ezért erőlökéseknek is nevezzük őket. A problémát ezért úgy fogalmazzuk át, hogy adottak az ütköző testek sebességei közvetlenül az ütközés előtt, és adottak az erőlökések, keressük a testek ütközés utáni sebességét, ahogyan az 5.9 ábra illusztrálja. v, 1 v 1 PSfrag replacements v 2 v, 2 5.9. ábra. Két billiárdgolyó ütközése. A két gömbalakú golyó kemény anyagból készül, ezért az ütközéskor fellépő nagy erők következtében az ütközés rövid ideig tart. Tetszőleges alakú testek ütközésénél az ütközést centrálisnak nevezzük, ha az ütközési pontban a két felület közös n normálisa egybeesik a két test tömegközéppontját összekötő egyenessel, lásd az 5.10 ábrát. Igy tehát gömb alakú testek ütközése mindig centrális. Ha közvetlenül az ütközés előtt a két sebességvektor egy egyenesbe esik, akkor az ütközést egyenesnek, egyébként ferdének nevezzük. A két ütköző test tömege legyen m 1 és m 2, ütközés előtti sebességeik v 1, v 2, az ütközés utániak pedig v, 1, v, 2. Célunk tehát az, hogy az ütközés előtti sebességek és az ütközéskor fellépő erőlökés ismeretében határozzuk meg az ütközés utáni sebességvektorokat. 63

Ütközések c 1 v 1 PSfrag replacements n c 2 v 2 5.10. ábra. Az n ütközési normális definíciója. Ha az n vektor egybeesik a c 1, c 2 tömegközéppontokat összekötő egyenessel, az ütközést centrálisnak nevezzük. 5.3.1. Ütközések törvényszerűségei Mivel két test ütközésekor csak belső erők lépnek fel, az impulzus megmaradása mindig teljesül, azaz igaz, hogy p 1 + p 2 = p, 1 + p, 2, (5.14) m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v, 1 + m 2 v, 2. (5.15) A teljes impulzus állandósága miatt a rendszer tömegközéppontja vagy nyugalomban van, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. A fenti egyenlet önmagában még nem elegendő az ütközés utáni sebességek meghatározásához, ezért egyszerűsítő feltevésekkel kell éljünk. Az ütközéseknek három fő típusát különböztetünk meg: Tökéletesen rugalmas ütközés Tökéletesen rugalmasnak nevezzük az ütközést, ha az ütközés során a rendszer teljes mozgási energiája állandó. Ha E 1, E 2 jelöli a két test mozgási energiáját, akkor E 1 + E 2 = E, 1 + E 2,, (5.16) 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 = 1 2 m 1 v,2 1 + 1 2 m 2 v,2 2. (5.17) Rugalmatlan ütközés Egy ütközés a valóságban szinte sohasem lehet tökéletesen rugalmas, mindig van valamekkora energia veszteség, vagyis E 1 + E 2 > E 1 + E 2. (5.18) 64

Ütközések Ennek többnyire az az oka, hogy ütközéskor a testek deformálódnak, s az anyag viszkozitása miatt a mozgási energia egy része a testek melegítésére fordítódik. Sokszor ütközés során a testek maradandó alakváltozást szenvednek, vagy apró repedések keletkeznek rajtuk, ami szintén energiába kerül. Adott anyagból készült gömb alakú testek ütközésekor a rugalmatlanság mértékét jellemezhetjük úgy, hogy megadjuk az ütközés előtti és utáni mozgási energia arányát ε = E 1 + E 2 E 1 + E 2, ahol ε 1. (5.19) Rögzített alak mellett (pl. gömb) ε csak az anyagi minőségtől függő jellemző. Tökéletesen rugalmatlan ütközés Tökéletesen rugalmatlan ütközés során a testek összetapadnak, s az ütközést követően együtt haladnak tovább. Ilyenkor tehát a két test ütközés utáni v sebessége azonos. A közös v sebességet az impulzusmegmaradás alapján egyszerűen kiszámíthatjuk. Mivel következik, hogy m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 ) v, (5.20) v = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2. (5.21) A továbbiakban csak a tökéletesen rugalmas ütközés problémáját vizsgáljuk részletesen. Az eddigi vizsgálataink során az egyes mennyiségeket az úgynevezett Laboratóriumi vonatkoztatási rendszerben, röviden Laborrendszerben irtuk fel. Vizsgáljuk most meg a mozgást a tömegközépponthoz rögzített vonatkoztatási rendszerben! A tömegközéppont v c sebessége a Laboratóriumi rendszerben v c = m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2. (5.22) Az egyes tömegpontoknak a tömegközépponthoz viszonyított v 10, v 20 sebessége az ütközés előtt v 10 = v 1 v c, (5.23) v 20 = v 2 v c. 65

Ütközések Behelyettesítve v c 5.22 alakját a következő adódik v 10 = v 20 = m 2 m 2 ( v 1 v 2 ) = v, (5.24) m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 ( v 2 v 1 ) = m 1 v. (5.25) m 1 + m 2 m 1 + m 2 Azt kaptuk, hogy a két sebesség egymással ellentétes irányú, tehát akármilyenek is a Laborrendszerbeli sebességek, a Tömegközépponti rendszerből mindig azt látjuk, hogy a két ütköző test egy egyenes mentén mozog vagy egymás felé, vagy egymástól távolodva. A v = v 1 v 2 a két test egymáshoz viszonyított relatív sebessége. Az ütköző rendszer teljes impulzusa a Tömegközépponti rendszerben m 1 v 10 + m 2 v 20 = m 1m 2 m 1 + m 2 v m 1m 2 m1 + m 2 v = 0. (5.26) Tehát a két test impulzusa egyenlő nagyságú és ellentétes irányú, így a teljes impulzus nulla. Az impulzus megmaradás miatt az ütközés utáni teljes impulzus is nulla kell legyen, azaz az ütközés eredményeként mindössze annyi történhet, hogy a testek impulzusvektorai, sebességvektorai elfordulnak, lásd a 5.11 ábrát. Az ütközés utáni mozgás egyenesét jellemezhetjük például a v, 10 PSfrag replacements v 10 v 20 v, 20 5.11. ábra. Tömegközépponti rendszerben ütközéskor a sebességvektorok csak elfordulnak. n o = v o 10 irányvektorral. Hogy ez az irány pontosan milyen, attól függ, hogy a testek érintkezésekor pontosan mi történt, hogyan deformálódtak, milyen erővel hatottak egymásra. Itt nem térünk ki arra, hogyan lehet a kölcsönhatás pontos ismeretében az n o irányvektort meghatározni, feltételezzük, hogy n o ismert, vagyis hogy az ütközési problémát a tömegközéponti rendszerben megoldottuk. Keressük az ütközés utáni állapot általános jellemzőit a laborrendszerben. Ekkor a Tömegközépponti rendszerben az ütközés 66

Ütközések utáni sebességek v, 10 = m 2 m 1 + m 2 v n o, (5.27) v, 20 = m 1 m 1 + m 2 v n o. (5.28) Miután meghatároztuk az ütközés eredményét a Tömegközépponti rendszerben, a Laborrendszerbeli sebességeket az 5.23 egyenletek alapján kaphatjuk meg v, 1 = m 2 m 1 + m 2 v n o + m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2, (5.29) v, 2 = m 1 m 1 + m 2 v n o + m 1 v 1 + m 2 v 2 m 1 + m 2. Az ütközés kezdeti és végállapotának viszonyát egyszerűen lehet geometriailag szemléltetni a két test kölcsönhatásának, azaz az n o vektornak a pontos ismerete nélkül. Az 5.29 egyenleteket a megfelelő tömegekkel megszorozva megkapjuk a testek Laborrendszerbeli impulzusait az ütközés után m 1 p, 1 = mv n o + ( p 1 + p 2 ), (5.30) m 1 + m 2 p, m 2 2 = mv n o + ( p 1 + p 2 ), m 1 + m 2 ahol m jelöli a két ütköző partner úgynevezett redukált tömegét m = m 1m 2 m 1 + m 2. (5.31) Az 5.30 egyenletek alapján lerajzolhatjuk az ütközés laborrendszerbeli menetét: első lépésként rajzoljunk egy mv sugarú O középpontú kört az 5.12 ábrán illusztrált módon. Az ábrán az AO, OB vektorok az 5.30 egyenletekben szereplő komponensek. Adott v 1, v 2 kezdeti sebességek, illetve p 1, p 2 kezdeti impulzusok mellett a kör sugara és az A, B pontok helye változatlan, ami változhat, az csak a C pont helye, vagyis az ütközés utáni impulzusok. Az, hogy az A és B pont a körön belülre, vagy kívülre esik, függ a tömegektől és a kezdeti sebességektől. Tételezzük fel, hogy a 2. részecske kezdetben nyugalomba van, azaz p 2 = 0. Ekkor OB = m 2 m 1 +m 2 p 1 = m v, így a B pont éppen rajta van a körön. Az A pont ekkor még mindig lehet a körön belül, ha m 1 < m 2, illetve a körön kívül, ha m 1 > m 2. Az 5.13 ábra az m 1 < m 2 esetet mutatja be. Ha ráadásul még a két tömeg is egyforma, az ábra a következő alakú lesz Az ábrán χ jelöli az n o vektornak az eredeti mozgásiránnyal bezárt 67

Ütközések C PSfrag replacements AC n o CB A O B OC = m v, AO m 1 = ( p 1 + p 2 ), m 1 + m 2 OB m 2 = ( p 1 + p 2 ). m 1 + m 2 5.12. ábra. A szerkesztésből következik, hogy AC = p, 1 és CB = p, 2. C PSfrag replacements AC χ Θ 1 Θ 2 A O B CB 5.13. ábra. Kisebb tömegű mozgó test ütközik egy nyugalomban lévő nagyobb tömegűvel. Az n o vektort szaggatott vonallal jelöltük. szögét, amit tömegközépponti rendszerbeli szórásszögnek is nevezünk. Laboratóriumi rendszerben a kezdetben mozgó test ütközés utáni mozgásának iránya az eredeti mozgásiránnyal Θ 1 szöget zár be, amit Laborrendszerbeli szórásszögnek is nevezünk. Az ütközés hatására a kezdetben nyugalomban lévő test mozgásba jön, melynek iránya az 1. részecske ütközés előtti irányával Θ 2 szöget zár be. A szerkesztősből egyszerűen leolvasható egy nagyon fontos általános eredmény, hogy Θ 1 + Θ 2 = π/2, vagyis a szórt és meglökött egymásra merőleges irányban mozognak, függetlenül Θ 1 és Θ 2 konkrét értéketől. Θ 1 és Θ 2 kifejezhető a χ tömegközépponti rendszerbeli szórásszöggel 68

Ütközések C PSfrag replacements AC χ Θ 1 Θ 2 A O B CB 5.14. ábra. Azonos tömegű testek ütközése. A 2. indexű test kezdetben a laboratóriumi rendszerben nyugalomban volt. Θ 1 = χ 2, Θ 2 = π χ. (5.32) 2 69

Ütközések 5.3.2. Feladatok A feladatok végrehajtásához a collision.exe programot használjuk. 1. Kötélre függesztett m 1 tömegű homokos ládába v sebességgel m 2 tömegű lövedéket lövünk vizszintes irányban. A lövedék a homokban teljesen lefékeződik. Határozzuk meg, mekkora sebességgel lendül ki a láda a benne lévő lövedékkel! 2. Két azonos tömegű billiárd golyó ütközik. Az egyik golyó kezdetben nyugalomban van, s az ütközés centrális és egyenes. Határozzuk meg az ütközés utáni sebességeket! Gondoljuk végig a tanult szerkesztést erre az esetre! 3. Hogyan módosul az előző pont eredménye, ha m 1 < m 2, illetve m 1 > m 2? 4. Amikor két golyó ütközik, az ütközési pont környékén a golyók deformálódnak. A rugalmas deformáció hatására közöttük taszító erő lép fel, ami végül is szétdobja őket, s ezt a folyamatot látjuk kívülről egy gyors ütközésnek. Az ütközéskor fellépő rugalmas deformációt és az eredményeként fellépő taszító erőt kielégítően modellezhetjük úgy, hogy a két golyó közé az ütközés időtartama alatt egy rugót képzelünk. A rugó megnyúlása egyenlő a két golyó átlapolódásával. Ha a golyók sugara R és középpontjuk távolsága r, akkor az átlapolódás x = 2R r s a rugalmas deformáció okozta erő F = kx, amely addig hat, amíg a két test érintkezésben van egymással. k értéke az testek anyagától és alakjától is függ. Határozzuk meg analitikusan a testek érintkezésének időtartamát két golyó egyenes ütközésekor! (Irjuk fel a relatív mozgás mozgásegyenletét!) Használjuk fel a korábban a rezgőmozgásról tanultakat! 5. Jól tudjuk a gyakorlatból, hogy testek ütközése sosem tökéletesen rugalmas, a mozgási energia egyrésze mindig disszipálódik. Gondoljunk csak a pattogó labdára! Testek ütközésekor az energia disszipáció egyik gyakori oka, hogy a testek deformációjakor, az anyag belső surlódása, viszkozitása miatt, az energia egy része hővé alakul. A belső súrlódást jól modellezhetjük, ha az előző pontban felírt mozgásegyenletet kiegészítjük egy disszipációt okozó taggal η v, ahol v = v 1 v 2 a testek relatív sebessége. Határozzuk a kezdeti és végállapoti mozgási energiák arányát! 70

Ütközések Változott-e az ütközés időtartama a tökéletesen rugalmas esethez képest. 6. A collision.exe program segítségével elemezzük kemény billiárd golyók ütközését! A program lehetőséget ad arra, hogy egyszerre láthassuk az ütközés lefolyását a Laboratóriumi és a Tömegközépponti rendszerben, továbbá az impulzus vektorokat is megvizsgálhatjuk. 7. Nézzük meg ugyanezt puha golyókkal is! 71

72 Ütközések

6. fejezet Függelék A tárgyhoz kapcsolódó számítógépes gyakorlatokon előre elkészített, felhasználóbarát programcsomagok kerülnek felhasználásra. A függelékbe összegyűjtöttük az egyes programok használatának leírását. 6.1. Az anharm.exe program kezelése A mozgást az enter billentyűvel vagy az egérrel a fázisdiagramm egy tetszőleges pontjára vagy a képernyő jobb alsó részén levő potenciáldiagrammra kattintva lehet elindítani. A fázisdiagrammra kattintva egyúttal a mozgás kezdőfeltételeit is kijelöljük. Menük: ( az F10 gombbal lehet elérni ) Choices Beállítások A következő opciók választhatók: képernyőtörlés képernyőtörlés és újraskálázás ( a skálákat úgy választja meg, hogy a mozgás elférjen az ablakban ) A két minimumhellyel völggyel rendelkező potenciáloknál mindkét völgybe bejelöli a pillanatnyi energiaértéket Az animáció ki/be kapcsolása. növeli. A kikapcsolás a számolás sebességét Maximális energiájú ábrázolható mozgás megadása periódusidő energiafüggésének ábrázolása a rendszerparaméterek ( k vagy g ) 5 különböző értékénél 73

Ütközések rezonanciagörbe ábrázolása a rendszerparaméter 2 különböző értéke mellett. Egy almenüben beállíthatjuk a paraméterek értékeit. Ha a rezonanciagörbének van többértékü szakasza, akkor ez is megkereshető A mozgás Fourier transzformálása. A következő lehetőségek közül lehet választani:a(ω) ( sárga ) és φ(ω) ( zöld ); Valós és képzetes Fourier transzformáció Poincaré mozgókép: A gerjesztőerő különböző fázisainál felvett Poincaré diagrammok egymás utáni ábrázolása. Az F2 nyomvatartásával az első néhány tranziens mozgáshoz tartozó pontot le lehet törölni. ugyanez a mozgókép a visszatérő diagrammal. Display Kijelzés. A következő ablakokat lehet választani: x(t)függvény v(t)függvény v(x)függvény ez a fázisdiagramm Poincaré diagramm Visszatérési diagramm 2 ábra választása 4 ábra választása előzőleg kiiszámolt periódusidő energia függvény ábrázolása előzőleg kiiszámolt rezonanciagörbe ábrázolása kijelzési opciók Forces Erők A bevezetőben leírt oszcillátortipusok közül lehet választani. Ezenkívül be lehet állítani a gerjesztés és a csillapítás erősségét (Drive & Damping) Az Interesting Parameters menüpont az egyes rendszereket olyan kezdőfeltételekkel indítja, ahol érdekes viselkedés várható A Search Parameter Space menüponttal a paramétertér egy beállított tartományából különböző kezdőfeltételekkel lehet elindítani a rendszert, és 74

Ütközések minden paraméterértéknél egy 30 pontból álló Poincaré diagrammot vesz fel a program, ami a Files menüben a Read Search Map utasítással megnézhető. Ez a menü a háttérben fut, az eredményeket a program egy file ban tárolja. A Series Approximation menüpont a két fal ill. az inga esetében a mozgásegyenletet a nemlineáris tagot Taylor sorának max. harmadrendű részösszegével közelíti: F = A 1 mx A 3 mx 3 Dv + F 0 sin(ωt) két fal (6.1) F = (g/l)θ + θ 3 /6 Dv + F 0 sin(ωt) inga (6.2) 75

Ütközések 6.2. Az orbiter.exe program kezelése A program a bolygómozgás Newton - féle egyenletét oldja meg a klasszikus Runge Kutta iterációs módszer segítségével [2] 246.o. A program ugyancsak alkalmas a csillagászati többtestprobléma ( max. 5 test ) szimulálására. A program az orbiter.exe -vel indítható. Bejelentkezés után a képernyő felső részén egy menüt találunk, melyben a következő funkciók állithatóak be ( F10 -zel juthatunk a menühöz ): Files A definiált rendszer ( tömegek, pillanatnyi koordináták és sebességek együttese) kimenthető és később visszatölthető Choices A kijelzést és az érintett rendszert illető választási lehetőségek: Clear & Continue Törlés és folytatás. Törli az ablakokat ( ha a törlés opció be van állítva ) és folytatja a mozgást onnan, ahol megállítottuk Restart Újraindítás. A mozgást a kezdeti feltételek által rögzített pontból indítja újra. Ha az egyik testről másolatot készí tettünk akkor megkérdezi, hogy az eredeti vagy a módosított rendszert kívánjuk újraindítani. Replay Visszajátszás. A program a pályagörbét vis. az r(t) függvényt diszkrét időközönként elmenti. Ezek az elmentett pályák visszajátszhatóak. Ennek előnye, hogy amig az iterációs módszer a pontosság megtartása érdekében ott a leglassabb, ahol a testek sebessége a legnagyobb, addig a visszajátszás a valós idővel arányos időskálán mutatja a mozgásokat. Az égitestek mozgása ugyanis ott a leggyorsabb, ahol helyzeti energiájuk a legkisebb ( ld. energiamegmaradás tétele ) vagyis mivel ez utóbbi negatív, amikor a vonzócentrumhoz a legközelebb vannak. Viszont itt a legnagyobb a pályagörbület és ezért a gyorsulás, azaz azonos pontosság elérése érdekében az iterációs módszernek itt kisebb időintervallummal kell dolgoznia. Replicate Body Egy kiszemelt test megsokszorozása. Max. 8 db., egy tetszőlegesen kiválasztott testhez közeli kezdeti sebességgel és koordinátával rendelkező testekkel lehet ugyanazt a szimulációt elindítani. Ennek kaotikus mozgások tanulmányozásánál van jelentősége, ott ui. a fázistér egymáshoz közeli pontjaiból induló testek trajektóriája is jelenősen eltérő lesz rövid időn belül. Settings A számolást és a kijelzést meghatározó paraméterek Reverse Time Időmegfordítás. Ha a rendszert megállítjuk és visszafelé 76

Ütközések indítjuk el a testeknek a kiindulási pozícióba kell visszatérni. Az eltéréssel a numerikus integrálás pontossága ellenőrizhető. Change Parameters A mozgás paramétereinek (hely, idő, tömeg ) megváltoztatása Move Body(Mouse) Test mozgatása egérrel Add Body Test hozzádása. A menüpont kiválasztása után az egérrel a megfelelő ablakba kattintva egy testet lehet a rendszerhez adni. Ezt követően ennek paraméterei is beállíthatók. Allow Thurst Lökés engedélyezése. A legutolsó testnek a nyilakkal megfelelő irányú lökést lehet adni. Ennek nagysága a Page Up/Down gombokkal növelhető / csökkenthető. Plots & Zoom Ablakok és nagyítások választása: 1,2,4 ill. 6 ablakot választhatunk, amelyek a következők lehetnek: Tömegközépponthoz rögzített vonatkoztatási rendszer; Naphoz, Földhöz ill. Jupiterhez rögzített rendszer; a Nappal és Földdel együtt forgó rendszer. Systems Az alábbi égitest rendszerek közül lehet választani: Nap Föld Hold Naprendszer Űrhajó dokkolása: Egy Föld körüli pályán keringő űrállomásra kell dokkolni egy űrhajóval. A nyilakkal lehet kormányozni az űrhajót, a PgUp gombbal a hajtómű tolóerejét lehet szabályozni Nap Jupiter és Holdjai Lagrange pontok: Stabil körpályán keringő pontok a Nap Jupiter rendszerben Kettőscsillag és üstökös A Jupiter Földhöz képesti relatív mozgását szemléltető program. A Jupiter néha úgy látszik, mintha visszafelé forogna. A jelenséget az ókorban sokáig helytelenül értelmezték. Új rendszer definiálása 77

6.3. A collision.exe program használata Ütközések A program a részecskék pályáit a mozgásegyenletek numerikus integrálásával határozza meg ( klasszikus Runge Kutta módszerrel, ld. [2] ). A részecskéket végtelen távolinak tekinti, ha a képernyőn feltüntetett távolság 3 -szorosával eltévolodnak a szórócentrumtól, ezért un. befogási kísérletek nem modellezhetők. A program a colision.exe - vel indítható. Az F10 gombbal lehet a menübe belépni, az F2 indítja a szimulációt, az F3-mal lehet a paramétereket beállítani. Ekkor a következő menüpontokból válszthatunk: Single Collision Egyetlen szórási folyamat vizsgálata. A paramétereket a Collision Conditions szórási adatok menüben lehet beállítani. Vary Impact Parameter Ütközési paraméter változtatása. Az ezt követő almenüben az ütközési paraméterek számát, alsó és felső határát lehet beállítani, ill. a többi paramétert megváltoztató menü is lehívható. PlotCross Section σ(χ) függvény kirajzolása. Az ezt követő almenüben beállítható, hogy hány ütközési paraméter esetén fusson le a szimuláció, és ezek egyenletesen, a 0 közelében koncentráltan, vagy erősen koncentráltan oszoljanak el. Az ezt követő pontokban rendre a szóródó részecske energiáját, a potenciál tipusát, a tömegek arányát, a kölcsönhatás erősségét, ill. hatótávolságát lehet beállítani. Ugyancsak lehívható egy a többi paramétert megváltoztató almenü, és itt kell beállítani, hogy a χ σ(χ) adatokat tartalmazó file t kívánunk e készíteni A Plots&Zoom Grafikonok és skálák menüpontban a grafikus megjelenítést lehet irányítani. Rendre a következőek választhatóak: 78

Egy ablak választása Csak pályák ábrázolása: Két ablak jelenik meg, ami a labor ill. a tömegközépponti rendszerben mutatja a részecskék pályáit. Csak impulzusvektorok ábrázolása Az előbbi két ablak origójából kiindulva ábrázolja az impulzusvektorokat. Pályák és impulzusvektorok A fenti 4 ablak Az ablakok skálájának csökkentése / növelése Az alapértelmezésbeli skálák visszaállítása Kimentett hatáskeresztmetszet ábrák kirajzolása Ütközések A Forces Erők menüben a bevezetőben felsorolt potenciálok közül lehet választani. Ha Coulomb potenciált választunk, akkor megjelenik egy almenü, amelyben beállítható, hogy a kölcsönhatás taszító vagy vonzó legyen, ill. hogy mely potenciálokkal szorzódjon meg a Coulomb potenciál U(r) = k r függvénye. ( Kölcsönhatások kombinálása ). 79

80 Ütközések

Irodalomjegyzék [1] Bába Ágoston: Mechanika I II KLTE Egyetemi jegyzet [2] Járai Antal: Modern Alkalmazott Analízis KLTE Egyetemi jegyzet 1991 [3] Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtestfizikába Műszaki könyvkiadó Bp. 1981 [4] Tél Tamás Szépfalusy Péter: A káosz Akadémiai kiadó Bp. 1982 [5] Landau Lifsic: Elméleti Fizika I: Mechanika Tankönyvkiadó Bp. 1988 81