Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése kézirat Kun Ferenc Debreceni Egyetem Elméleti Fizikai Tanszék Debrecen 2001
2 Determinisztikus folyamatok
Tartalomjegyzék 1. Determinisztikus folyamatok 5 2. Tömegpont mozgása 7 2.1. A dinamika alaptörvénye..................... 10 2.2. Feladatok............................. 14 3. Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása 15 3.1. Euler-módszer........................... 16 3.2. Hibaanalízis............................ 18 3.2.1. Lokális és globális hiba................. 19 3.2.2. Algoritmus stabilitása.................. 22 3.2.3. Feladatok......................... 25 3.3. További eljárások......................... 26 3.3.1. Másodrendű Runge-Kutta módszer........... 26 3.3.2. Negyedrendű Runge-Kutta módszer........... 27 3.3.3. Verlet-módszer...................... 28 3.3.4. Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer..... 29 3.4. Az algoritmus pontosságáról................... 30 3.4.1. Feladatok......................... 31 4. Rezgőmozgás 33 4.1. Harmónikus rezgőmozgás..................... 33 4.2. Csillapodó rezgés......................... 36 4.3. Kényszerrezgés, rezonancia.................... 40 4.3.1. Feladatok......................... 43 4.4. Az anharmónikus rezgőmozgás.................. 44 5. Tömegpontrendszerek mechanikája 47 5.1. Tömegpontrendszer mozgásegyenletei.............. 48 5.2. Gravitációs dinamika: a bolygók mozgása............ 51 3
Determinisztikus folyamatok 5.2.1. A bolygómozgás törvényszerűségei............ 53 5.2.2. Feladatok......................... 57 5.2.3. Nap-Föld-Jupiter rendszer vizsgálata.......... 59 5.2.4. Feladatok......................... 62 5.3. Ütközések............................. 63 5.3.1. Ütközések törvényszerűségei............... 64 5.3.2. Feladatok......................... 70 6. Függelék 73 6.1. Az anharm.exe program kezelése................ 73 6.2. Az orbiter.exe program kezelése................. 76 6.3. A collision.exe program használata............... 78 4
1. fejezet Determinisztikus folyamatok A determinisztikusnak nevezzük azokat a folyamatokat, amelyek időfejlődése determinisztikus, azaz ismerve a rendszer egy adott időpillanatbeli állapotát és a mozgásának törvényeit a rendszer állapota tetszőleges későbbi és korábbi időpillanatban meghatározható. Ilyen determinisztikus folyamatok a fizikában a klasszikus mechanika által vizsgált anyagi testek mozgásai. A Determinisztikus folyamatok számítógépes modellezése című tárgy keretében a klasszikus mechanikai mozgások kinematikájával és dinamikájával foglalkozunk. A kinematika csupán a mozgás leírásával foglalkozik, a mozgásokat önmagukban, keletkezésükre való tekintet nélkül vizsgálja, míg a dinamika az egyes mozgásformák keletkezésének okait kutatja. A klasszikus mechanikai mozgásokat Newton második törvényére épülő mozgásegyenletek megoldásával kapjuk. A determinisztikus mozgások mozgásegyenletei matematikai szerkezetüket tekintve közönséges differenciálegyenletek, illetve egyenlet rendszerek. A legegyszerűbb esetektől eltekintve, ezeket a differenciálegyenleteket nem tudjuk analitikus eszközökkel megoldani, ezért számítógépes modellezést végzünk, az egyenletek numerikus megoldását keresve. Anyagi testek mozgásainak tanulmányozása során az egyszerűbb rendszerektől haladunk a bonyolultabbak felé. Ha a test méretei elhanyagolhatóak a mozgása során fellépő méretekhez képest, akkor a test mozgása reprezentálható egyetlen pontjának mozgásával. Ilyenkor a kiterjedt testet anyagi pontnak, tömegpontnak tekintjük. A definícióból látható, hogy az, hogy egy testet tömegpontnak tekinthetünk-e az attól is függ, hogy az illető testnek milyen mozgását vizsgáljuk. Ha a Földnek a Nap közüli mozgását tanulmányozzuk, akkor a pálya méretei miatt a Föld reprezentálható egyetlen ponttal. Viszont ha a Föld forgására vagyunk kiváncsiak, akkor mint kiterjedt objektumot kell vizsgálnunk. A tömegpont tehát a valós testeknek egy absztrakciója, modellje. A tömegpont mozgásának leírása viszonylag egyszerű, mert nem kell foglalkoznunk az testek véges kiterjedése okozta 5
Determinisztikus folyamatok bonyadalmakkal. Vizsgálódásaink következő lépéseként több tömegpontból álló, úgynevezett tömegpont rendszerekkel fogunk foglalkozni. A tömegpont rendszerek speciális eseteként kapjuk majd a merev testeket. A kiterjedt merev test egy olyan tömegpont rendszer, amely pontjainak egymáshoz viszonyított távolsága a pontrendszer mozgása során állandó. A jegyzet végén pedig olyan testek mozgásait vizsgáljuk, amelyek deformálódhatnak is. 6
2. fejezet Tömegpont mozgása Elsőként a legegyszerűbb mechanikai rendszerrel, a tömegponttal foglalkozunk. A tömegpont mozgásának leírása azt jelenti, hogy a tömegpontnak egy masik testhez viszonyított helyét bármelyik időpilanatban meg tudjuk mondani. A továbbiakban ezt fogalmazzuk meg egy kicsit pontosabban. A tömegpont pillanatnyi helyét a térben az r helyvektorral jellemezzük, amelyet egy O referencia ponttól mérünk. A tömegpont az O referencia ponthoz képest nyugalomban van, ha az r helyvektor időben állandó, s mozog, ha r változik. A tömegpont mozgását ismerjük, ha ismerjük az r(t) függvényt, amelyet pályagörbének nevezzünk és feltételezzük, hogy sima függvény. A klasszikus mechanika célja az, hogy egy adott rendszerre, adott körülmények között meghatározzuk az r t függvénykapcsolatot. tömegpont r(t 1, t 2 ) PSfrag replacements r(t 1 ) r(t 2 ) pálya O referencia pont 2.1. ábra. A helyvektor és a pálya illusztrációja. További fontos alapfogalmak 7
tömegpont Elmozdulás: A t 1 < t 2 időpillanatpárhoz tartozó elmozdulás r(t 1, t 2 ) = r(t 2 ) r(t 1 ). (2.1) Sebesség: a tömegpont t pillanatbeli sebessége v(t) a pályafüggvény differenciálhányadosa v(t) = d r(t) ; v(t) = dt r(t). (2.2) Út: a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út s(t 1, t 2 ) az r(t) függvény r(t 1 ) és r(t 2 ) pontjai közé eső ívének hossza, azaz t2 d r(t) s(t 1, t 2 ) = dt, (2.3) dt s(t 1, t 2 ) = t 1 t2 t 1 v(t) dt (2.4) Az 2.4 egyenlet alapján látható, hogy a t 1 < t 2 időpillanatok között megtett út a sebességnagyság-idő függvény integrálja, azaz a v(t) görbe alatti terület. Példa: a) b) PSfrag replacements v(t) v(t) t 1 t 2 t t 1 t 2 t t 2.2. ábra. Sebességnagyság-idő függvények. Az a) ábrán a tömegpont állandó nagyságú sebességgel mozog, a b) ábrán viszont a t 1 t időintervallumban a sebesség lineárisan nőtt, majd beállt egy konstans értékre. Lendület: tömegpont lendülete Gyorsulás: a tömegpont gyorsulása Érdekesebb speciális esetek: p = m v. (2.5) a = d2 r(t) dt 2, azaz a = v(t) (2.6) 8
tömegpont A r(t) helyvektor párhuzamos a v(t) sebesség vektorral, akkor a pályagörbe az O referencia pontra illeszkedő r(t o ) irányú egyenes. Ha a v(t) sebesség vektor párhuzamos az a(t) gyorsul]ással, akkor a pályagörbe az r(t o ) pontra illeszkedő v(t o ) irányú egyenes. Gyorsításról (lassításról) beszélünk, ha a tömegpont sebességének nagysága nő (csökken). PSfrag replacements z e 3 O r m y x e 1 e 2 2.3. ábra. koordinátarendszer definíciója. A mozgás leírására az O referencia ponthoz koordinátarendszert rögzítünk. Az O pontot origónak nevezzük, a koordinata tengelyeket pedig az O-hoz rögzített e α bázisvektorok jelölik ki. A koordinatarendszerünkben az r(t) vektort a x(t) r(t) = y(t) z(t) koordinátákkal jellemezzük, amelyek az idő függvényei. Ehhez hasonlóan a sebesség és gyorsulás komponensei v(t) = v x (t) = dx(t) dt v y (t) = dy(t) dt v z (t) = dz(t) dt, a(t) = 9 a x (t) = d2 x(t) dt 2 a y (t) = d2 y(t) dt 2 a z (t) = d2 z(t) dt 2.
tömegpont Mozgási energia: az m tömegű v sebességgel mozgó tömegpont mozgási energiája: 2.1. A dinamika alaptörvénye E mozg = 1 2 mv2. (2.7) A dinamika alaptörvénye szerint a tömegpont mozgását a környezete határozza meg úgy, hogy megadja a tömegpont lendületének változási gyorsaságát p = F, (2.8) ahol F = F ( r, v, t) ismertnek feltételezett függvény, amely a környezetnek a vizsgált testre kifejtett hatását jellemzi. Általános esetben F függhet a tömegpont r helyétől, v sebességétől és a t időtől. Behelyettesítve a lendület definícióját a következő alakra jutunk p = d p dt = d(m v) = m d v dt dt, (2.9) m d2 r dt = F. 2 (2.10) Az 2.10 egyenlet az r(t) függvényre másodrendű közönséges differenciálegyenlet m d2 r(t) dt 2 = F. (2.11) Ebből az egyenletből, ismerve a környezet hatását a vizsgált testre ( F ), meghatározható a test mozgása, azaz az r(t) függvény, ezért a 2.10 egyenletet mozgásegyenletnek nevezzük. Az egyenlet megoldásának egyértelmű meghatározásához kezdőfeltételek megadása szükséges. Másodrendű differenciálegyenletről lévén szó, meg kell adnunk egy t o időpillanatban a nulladik és az első derivált értékét, azaz a helyvektort r(t o ) és a sebességvektort v(t o ) a t o időpillanatban. Egy koordináta rendszerben a 2.11 mozgásegyenlet három darab differenciálegyenletre esik szét, amelyek csatolt differenciálegyenletrendszert is alkothatnak mẍ = F x (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.12) mÿ = F y (x, y, z, v x, v y, v z, t), (2.13) m z = F z (x, y, z, v x, v y, v z, t). 10
tömegpont PSfrag replacements A egyenletek csatolása azt jelenti, hogy az x koordinátára vonatkozó egyenletben szereplő F x erőkomponens nemcsak x-től, hanem az összes többi koordinátától és sebességkomponenstől függhet. Igy a három egyenletet általában nem lehet egymástól függetlenül megoldani. Az egyes konkrét fizikai esetek, rendszerek az F alakjában különböznek. A továbbiakban egyszerű, speciális eseteket vizsgálunk, egyszerű erő alakok mellett keressük a mozgásegyenlet megoldását. Példák: Az egyszerűség kedvéért egydimenziós, azaz egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk. Ilyenkor a 2.13 egyenletrendszerből csak egyetlen egyenletünk marad. nem hat erő: F=0. O v o x x o 2.4. ábra. A referencia pont, a koordinátarendszer és a kezdőfeltételek illusztrációja. Az O referencia pontot a kezdősebesség által meghatározott egyenesen felvéve, s a koordinátarendszer x tengelyét v o -al párhuzamosan irányítva (lásd az 2.4 ábrát) az 2.13 egyenletrendszerből egyetlen egyenlet marad: mẍ = 0. (2.14) Az egyenlet megoldását kétszeri integrálással kapjuk ẋ(t) = C 1, (2.15) x(t) = C 1 t + C 2. (2.16) A megoldásfüggvényben szereplő konstansokat a kezdőfeltételekből lehet meghatározni. A t = 0 időpillanatban a kezdeti koordináta x o a kezdősebesség értéke pedig v o. Behelyettesítve a fenti egyenletekbe adódik C 1 = v o, C 2 = x o. Tehát azt kaptuk, hogy v(t) = v o és x(t) = x o + v o t, a tömegpont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. 11
tömegpont mozgás konstans erő hatása alatt: F = Fo és F o v o. A referencia pontot és a koordináta rendszert az előző feladathoz hasonlóan felvehetjük, így ismét egy egyváltozós problémával állunk szemben. A mozgásegyenlet most mẍ = F o (2.17) alakú. A mozgásegyenlet megoldását az előző esethez hasonlóan kétszeri integrálással kapjuk meg ẋ(t) = F o m t + C 1, (2.18) F o x(t) = 1 2 m t2 + C 1 t + C 2. (2.19) A C 1, C 2 konstansokat ismételten a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg, C 1 = v o, C 2 = x o. x(t) és v(t) alakját a 2.5 és 2.8 ábra illusztrálja. 7 25 v(t) 6 5 4 3 x(t) 20 15 10 2 1 5 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 2.5. ábra. A tömegpont sebessége az időnek lineáris fügvénye. 2.6. ábra. Az x(t) függvény egy parabola. fékező erő: F = αv. Az erő kifejezésében a negatív előjel azt fejezi ki, hogy az erő ellentétes irányú a sebességgel. A mozgásegyenlet a következő alakú lesz mẍ = αv = αẋ (2.20) Ez másodrendű egyenlet x-re, de bevezetve a sebességet, mint független változót, redukálható elsőrendű egyenletté dv dt = α v. (2.21) m 12
tömegpont Ez már egy egyszerű szétválasztható változójú differenciálegyenlet, amelynek megoldása dv v = α m dt + C. (2.22) Az integrálást elvégezve és a konstans értékét a kezdőfeltételekből meghatározva kapjuk ln v = α m t + C, v = v o e α m t. Látható, hogy a sebesség a fékező erő hatására a kezdeti v o értékről exponenciálisan csökken. A csökkenés gyorsaságát az α fékezési együttható és az m tömeg hányadosa határozza meg. A helykoordináta meghatározásához a sebesség idő függvényt integráljuk v = dx dt = v o e α m t, x(t) = v o m α α e x(t) = x o + v o m α m t + C, ( 1 e α m t). Az x(t) és v(t) függvényeket az ábra illusztrálja. 2.0 1.8 1.6 2.0 1.4 1.2 1.5 v(t) 1.0 0.8 x(t) 1.0 0.6 0.4 0.5 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 t 2.7. ábra. A sebesség exponenciálisan tart nullához. 2.8. ábra. Az x(t) egy konstanshoz tart. 13
tömegpont 2.2. Feladatok 1. Határozzuk meg az 2.2 ábrán látható két sebesség-idő függvény esetén a t 1, t 2 időintervallumban megtett utat. 2. Egy tömegpont mozgása közben helyvektorának abszolút értéke állandó. Határozzuk meg, milyen szöget zár be a helyvektor a sebességvektorral! 3. v o sebességgel repül egy repülőgép. Rakétával akarjuk lelőni. A rakéta v r sebességgel képes haladni, és mindig úgy mozog, hogy sebességvektora a repülőgép felé mutat. Határozzuk meg, hogy a rakéta milyen pályán mozog a becsapódásig! 4. Villamos megállásakor a vezető folyamatosan csökkenti a szerelvényre ható húzóerőt. Tegyük fel, hogy az erő csökkenése időben lineáris, azaz F (t) = F o kt, ahol k egy konstans. Határozzuk meg a leállásig megtett utat! 5. Az előzőekben külön-külön vizsgáltuk egy test mozgását konstans erő és csak sebességtől függő fékező erő hatása alatt. Ha egy testre egyszerre hat egy konstans nagyságú erő és egy fékezőerő, mozgásegyenlete a következő: mẍ = F o αv. Elemezzük a mozgást! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 6. Erős szélben egy könnyen csúszó test a szél hatására mozgásba jön. A test mozgásegyenlete mẍ = α(v sz v) alakú, ahol v sz jelöli a szél sebességét, v pedig a vizsgált test sebessége. Oldjuk meg az egyenletet v o = 0 kezdőfeltétel esetén! Mekkora sebességre gyorsulhat fel a test? 7. Az eddigiek alapján vizsgáljuk a ferde hajitást levegőben! Milyen szög alatt kell levegőben rögzített v o sebességgel eldobni egy követ, hogy legmesszebb repüljön? 14
3. fejezet Differenciálegyenletek és egyenlet rendszerek numerikus megoldása A klasszikus mechanikában a mozgást a Newton törvények alapján differenciálegyenletekkel, vagy egyenlet rendszerekkel irjuk le. A 2.11 mozgásegyenlet matematikai formáját tekintve egy közönséges, másodrendű differenciálegyenlet az r(t) pályafüggvényre. Az előző fejezetben láttuk, hogy a mozgásegyenletet csak a legegyszerűbb esetekben, az F ( r, v, t) legegyszerűbb alakjai mellett lehet analitikusan megoldani. A komplikált, de érdekes, esetleg a gyakorlat számára is fontos esetekben a mozgásegyenletet csak numerikusan tudjuk kezelni. Az egyetlen tömegpont mozgását leíró mozgásegyenlet általános alakja a következő m r = F ( r, v, t), (3.1) amelynek egyértelmű megoldásához meg kell adjuk a t 0 kezdeti időpillanathoz tartozó r o kezdeti hely és a v o kezdeti sebesség értékét. A numerikus eljárások ismertetéséhez, az egyszerűség kedvéért, egydimenziós, egyenes mentén történő mozgásokat tekintünk, azaz az mẍ = F (x, v, t) (3.2) egyenlet numerikus megoldásával foglalkozunk. A feladatunk tehát az, hogy ismert F (x, v, t) esetén határozzuk meg az x(t) függvényt. A tanultakat a fejezet végén általánosítjuk tetszőleges dimenziószámra. Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldási eljárásai az úgynevezett véges differencia módszerre épülnek. Ezek alapgondolata, hogy az 15
Euler-módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.1. ábra. Az Euler-módszer szemléltetése. Látható, hogy v(t) t egyenlő a téglalap területével. időt, mint független változót, diszkretizáljuk és a megoldásfüggvényt a csonkolt Taylor-sorával közelítjük. 3.1. Euler-módszer A legegyszerübb véges differencia módszer az Euler módszer. Ehhez tekintsük az 3.2 egyenlet x(t) megoldásfüggvényének Taylor-sorát: x(t + t) = x(t) + dx dt t + 1 t 2 d 2 x dt 2 t 2 +... (3.3) t Az Euler-módszernél a Taylor sort az első deriváltat tartalmazó tag után csonkoljuk, azaz a x(t + t) = x(t) + v(t) t (3.4) közelítéssel élünk. Ez azt jelenti, hogy x-nek a t + t-ben felvett x(t + t) értékét x(t) és v(t) ismeretében közelítjük úgy, hogy a t intervallumon x(t)- t egyenessel helyettesítjük. Mivel x(t) a v(t) függvény idő szerinti integrálja, az Euler-módszer az 3.1 ábra alapján ekvivalens azzal, hogy v(t) integrálását téglalap módszerrel végezzük. 16
Euler-módszer Hasonló közelítéssel élünk a sebességre is, így tehát a numerikus megoldáshoz az iterálandó egyenletrendszer x(t + t) = x(t) + ẋ(t) t, (3.5) v(t + t) = v(t) + v(t) t, (3.6) alakú lesz. Vegyük észre, hogy a 3.5 iterációs egyenletek alakja általános, független magától a megoldandó differenciálegyenlettől. A megoldandó differenciálegyenlet konkrét alakja az a(t) = F (x(t),v(t),t) összefüggésen keresztül m a második iterációs egyenletben jelenik meg. Az egyenletek jobb oldalán csak t időpillanatbeli mennyiségek (x(t), v(t)) állnak, s ezek birtokában állítjuk elő a későbbi, t + t-beli értékeket. Az i-edik iterációs lépésben az iterálandó egyenletek tehát, amelyekkel akár már számítógépes programot is írhatunk: }{{} a(t) a i = F (x i, v i, t i ), m t i+1 = t i + t, x i+1 = x i + v i t, (3.7) v i+1 = v i + a i t. A megoldáshoz kezdőfeltételek megadása szükséges x(t o ), v(t o ). Példa: Tekintsük a rezgőmozgást leíró differenciálegyenletet: mẍ = Dx az x(t o = 0) = A és v(t o = 0) = 0 kezdőfeltételekkel. Az iterálandó egyenletrendszert úgy kapjuk, hogy a 3.7 egyenletrendszerben a i helyére a i = Dx i /m-et helyettesítünk. A 3.7 egyenletek alapján a megoldás programlistája a következő lehet D = 2 // rugoallando m = 1 // a tomegpont tomege x0 = 0.5 v0 = 0.0 x[0] = x0 // kezdeti koordinata v[0] = v0 // kezdeti sebesseg dt = 0.01 for (i = 0 <= N-1) // N iteracios lepest vegzunk 17
Hiba Euler-módszer { a[i] = -D*x[i]/m x[i+1] = x[i] + v[i]*dt v[i+1] = v[i] + a[i]*dt t = t + dt } A programmal kapott numerikus eredményeknek az analitikus megoldással történő összevetését a 3.2 ábra mutatja. A következőkben a numerikus meg- 1200 1000 analitikus megoldas Euler-modszer 800 x(t) 600 400 200 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 3.2. ábra. Az analitikus és numerikus megoldás összehasonlítása. A két görbe eltérése, különbsége adja a módszer teljes hibáját. Jól megfigyelhető, hogy t növekedésével a hiba nő. t oldás hibáját probáljuk meg jellemezni. 3.2. Hibaanalízis A véges differenciák módszerével a differenciálegyenlet megoldását véges pontossággal állítjuk elő, a módszernek van hibája. Kétféle hibát különböztetünk meg: csonkolási hiba, 18
Hiba Euler-módszer kerekítési hiba. Csonkolási hiba A véges differencia módszereket a 3.3 általános Taylor sor csonkolásával kapunk. Mivel a Taylor sornak csak véges számú tagját vesszük figyelembe, eredményünk hibás lesz. A hiba értéke termeszetesen a Taylor sor elhagyott tagjainak összege, amelyet jellemezhetünk az első elhagyott, elnemtűnő tag értékeével. A véges differencia módszerek csonkolási hibája te (truncation error) a megoldás függvény Taylor sorában az első elhagyott, el nem tűnő tag értéke. Igy például az Euler módszer esetén a csonkolási hiba: te = 1 d 2 x(t) t 2. (3.8) 2 dt 2 A 3.8 egyenletből is látható, hogy egy adott véges differencia módszer esetén a csonkolási hiba a t lépésköz csökkentésével csökkenthető. Numerikus módszer rendje Egy véges differencia módszert n-ed rendűnek nevezünk, ha a csonkolási hibája t n+1 szerint változik. E szerint az Euler módszer első rendű. Fontos hangsúlyozni, hogy a csonkolási hiba értéke független attól, hogy a konkrét számításokat hogyan hajtjuk végre. Tehát ez nem kötődik a módszer számítógépes megvalósításához, ha az iterációs lépéseket papiron ceruzával számoljuk a csonkolási hiba épp annyi, mintha számítógépen számoltunk volna. Kerekítési hiba A kerekítési hiba re (rounding error) azon hibák együttese, amelyet a véges differencia algoritmus számítógépes implementációja okoz. A számítógépen a valós számok véges számú biten vannak ábrázolva, ezért minden velük végzett művelet véges pontosságú. 3.2.1. Lokális és globális hiba Tegyük fel, hogy az mẍ = F differenciálegyenletet akarjuk integrálni a [t 1, t 2 ] intervallumon. Az integráláshoz t lépésközt használunk. Ekkor az integrációs tartomány τ hossza τ = t 2 t 1 és az integráláshoz szükséges iterációs lépések száma M = τ/ t. A lokális hiba az egy iterációs lépésen belül fellépő hibák összessége, vagyis lte+lre, ahol lte a lokális csonkolási, és lre a lokális kerekítési hibákat jelölik. A globális hiba a teljes számolás (azaz a τ hosszú intervallumon M lépésben 19
Hiba Euler-módszer történő integrálás) alatt felhalmozódott hiba gte + gre, ahol gte és gre a globális csonkolási és kerekítési hibákat jelölik. Egy numerikus számolás végeredményének pontossága szempontjából a globális hiba a releváns. kerekítés gte+gre csonkolás PSfrag replacements t t 3.3. ábra. A gte+gre teljes hiba mint t függvénye. Az ábrán jeleztük, hogy az egyes t tartományokon melyik hibaforrás adja a teljes hiba domináns járulékát. Egy n-ed rendű módszer lokális csonkolási hibája általánosan az lte = kx (n+1) t n+1 (3.9) összefüggéssel adható meg, ahol x (n+1) az x(t) függvény n+1-edik deriváltját jelöli. M iterációs lépés alatt, t lépésközt használva, a globális csonkolási hiba gte = k M i=1 x (n+1) i t n+1 = k t n+1 M i=1 x (n+1) i (3.10) alakú. Az x (n+1) i deriváltak különbözőek lehetnek az egyes i iterációs lépésekben, de helyettesíthetjük őket átlagukkal gte = k t n+1 Mx (n+1). (3.11) Mivel a mozgásegyenletnek egy τ hosszú időintervallumon történő végigintegrálásához M = τ/ t számú iterációs lépés szükséges, az eközben fellépő 20
Hiba Euler-módszer globális csonkolási hiba gte = k t n+1 τ t x(n+1) = kτ t n x (n+1). (3.12) Tehát azt kaptuk eredményül, hogy az n-ed rendű módszer globális csonkolási hibája t n-edik hatványával arányos gte t n, míg a lokális csonkolási hiba lte t n+1 volt. Az 3.12 egyenlet azt is megmutatja, hogy rögzített t esetén a hiba a végigintegrált időintervallum τ hosszának lineáris függvénye. Egy számolás teljes hibáját a csonkolási és a kerekítési hiba együttese határozza meg. Az eddigiekben láthattuk, hogy egy adott véges differencia módszernél a globális csonkolási hiba az integráláshoz használt t lépésköz határozza meg. Ezzel szemben a kerekítési hiba az elvégzett numerikus műveletek számától, azaz az iterációs lépések számától, függ. Az 3.3 ábra a gte + gre teljes hibának a t időlépéstől való függését illusztrálja. Az előzőek 10-2 5 2 gte+gre 10-3 5 2 10-4 5 2 5 10-5 2 5 10-4 2 5 10-3 2 5 10-2 2 5 10-1 3.4. ábra. Az Euler-módszer gte + gre teljes hibája mint t függvénye. t alapján, nagy t értékek esetén egy adott hosszúságú időintervallum végigintegrálásához szükséges műveletek száma kicsi, ezért a kerekítési hiba kicsi. A teljes hibát a csonkolási hiba határozza meg. t csökkentésével a csonkolási hiba csökken, ugyanakkor növekszik a kerekítési hiba, majd a kerekítési hiba válik dominánssá a teljes hibában. Van tehát egy optimális t lépésköz, amellyel a teljes hibát minimalizálni lehet. 21
Hiba Euler-módszer A 3.3 ábra sematikusan mutatja be a véges differencia módszerek hibájának t-től való függését. A hiba elemzését minden konrét módszer esetén el kell végezni, illetve az optimumot adó t értéke még magától a megoldandó differenciálegyenlettől is függhet. A példa kedvéért a 3.4 ábrán megmutatjuk, hogyan néz ki az Euler-módszerre gte + gre a t függvényében, ha egy tömegpontra csak a sebességgel arányos fékezőerő hat (lásd a 2.20 mozgásegyenletet). t értékét több, mint négy nagyságrenden keresztül változtattuk és a hiba értéke is több nagyságrenden keresztül változik, ezért mindkét tengelyen logaritmikus skálát használtunk. Az ábrából leolvasható, hogy t 2 10 4. Megvizsgálhatjuk azt is, hogyan változik a teljes hiba, ha rögzítjük t értékét, s változtatjuk az integrációs intervallum τ hosszát. Ezt mutatja be a 3.5 ábra. Az ábrán látható lineáris függés összhangban van 0.3 0.25 0.2 gte+gre 0.15 0.1 0.05 0.0 0 10 20 30 40 50 3.5. ábra. Az Euler-módszer gte+gre teljes hibája mint τ függvénye rögzített t esetén. a teljes csonkolási hibára vonatkozó 3.12 általános eredménnyel! 3.2.2. Algoritmus stabilitása Egy numerikus algoritmust stabilnak nevezünk, ha egyik iterációs lépésről a másikra nem erősíti a hibát. Az algoritmus instabil, ha a hibát erősíti. Az algoritmus felételesen stabil, ha kis t értékekre stabil, de t-t egy kritikus t c érték fölé növelve az algoritmus instabillá válik. 22
Hiba Euler-módszer Vizsgáljuk az előző alfejezetben bemutatott Euler-algoritmus stabilitási tulajdonságait! A példa kedvéért a rezgőmozgás 3.8 differenciálegyenletét tekintjük. Legyen a mozgásegyenlet egzakt megoldása x(t) és v(t), a numerikus eljárással kapott közelítő megoldásokat pedig jelöljük x, (t)-vel és v, (t)-vel. Az egyes függvények egy iterációs lépésbeli hibája az egzakt és a numerikus megoldások különbsége: e x (t) = x, (t) x(t), e v (t) = v, (t) v(t). Nézzük meg hogyan változik a hiba két egymást követő iterációs lépésben: e x (t + t) = x, (t + t) x(t + t) = x, (t) + ẋ, (t) t x(t) ẋ(t) t = x, (t) x(t) + (ẋ, (t) ẋ(t)) t = e x (t) + e v (t) t. Hasonlóan a sebesség hibájának időfejlődése: e v (t + t) = v, (t + t) v(t + t) = v, (t) v(t) + ( v, (t) v(t)) t ( = e v (t) + D ) [x, (t) x(t)] t. m Itt fölhasználtuk a konkrét példánkat a gyorsulás kiszámítására: a = F/m azaz a = ( D/m)x = ω 2 x, ahol bevezettük az ω = D/m jelölést. Tehát a végeredmény: e x (t + t) = e x (t) + e v (t) t, (3.13) ( e v (t + t) = e v (t) + D ) e x (t) t. m A 3.14 egyenletrendszer egy iterációs egyenletrendszer, amely a rezgőmozgás differenciálegyenletének Euler módszerrel történő integrálásakor fellépő csonkolási hiba időfejlődését írja le. Az egyenletrendszer együttható mátrixa A = 1 t ω 2 t 1 A hiba időfejlődését az A mátrix sajátértékei határozzák meg. Ha a 2 2- es valós elemű A mátrix két sajátértékének abszolútértéke egynél nagyobb, 23
Hiba Euler-módszer akkor az algoritmus a hibát erősíti, ha kisebb egynél, akkor nem erősít. Sajátértékek meghatározása: (1 λ) 2 + ω 2 t 2 = 0 λ 2 2λ + 1 + ω 2 t 2 = 0 λ 1,2 = 2 ± 4ω 2 t 2 2 = 1 ± t ω 2 Látható, hogy t értékétől függetlenül λ > 1, ezért a bemutatott Euler algoritmus instabil. A feltételes stabilitás illusztrációjára módosítjuk az Euler módszert. Legyenek az iteráció egyenletei: x(t + t) = x(t) + [v + v t] t, v(t + t) = v(t) + v t. A vizsgált konkrét példa esetén az egyenleteink: Ekkor a stabilitási mátrix: x(t + t) = x(t)[1 ω 2 t 2 ] + v(t) t, v(t + t) = v(t) ω 2 x(t) t. A = 1 ω 2 t 2 t ω 2 t 1 Stabil megoldást kapunk, ha 2 < ω t < 2. 24
További módszerek 3.2.3. Feladatok 1. A GENMOT program segítségével vizsgáljuk egy tömegpont mozgását, amelyre egy konstans F o erő hat! Kezdőfeltételként válasszuk az x(0) = x o és v o = 0 értékeket, majd legyen v o 0! Az Euler-módszert használva elemezzük numerikusan az x(t), v(t), v(x) függvényeket! 2. Legyen F = cv és elemezzük a tömegpont mozgását analitikusan, majd az Euler-módszerrel numerikusan. Elemezzük az x(t), v(t), a(t), és a v(x), a(x) függvényeket, vessük őket össze az analitikus eredményekkel! 3. Elemezzük az Euler-módszer hibáját! Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 4. Vizsgáljuk a rezgőmozgást! Először nézzük meg az x(t) és v(t) függvényeket, majd a v(x) függvényt! Határozzuk meg analitikusan a v x síkon kapott görbe egyenletét! Az Euler-módszerrel integrálva a mozgásegyenletet, hogyan lehet észrevenni a v x síkon, hogy a módszer nem stabil? Indítsunk mozgásokat a legkülöbözőbb kezdőfeltételek mellett! 5. A GMRACE nevű programban egy versenyautóval kell megtennünk egy kört a versenypályán. Az autó gyorsulásának nagyságát és irányát tudjuk versenyzőként kontrolálni. Próbáljunk tenni egy kört az autóval! Hogyan lehet kanyarodni? Figyeljük milyen a gyorsulás és sebességvektor egymáshoz viszonyított iránya menet közben! 6. A fékezőerő esetén mérjük ki, hogyan változik az Euler módszer teljes hibája, ha rögzített t mellett növeljuk az integrációs időintervallum τ hosszát! A kapott eredményt vessük össze az analitikus eredményekkel! 7. Végezzük el analitikusan a módosított eljárás stabilitás vizsgálatát! Milyen intervallumon válasszuk t-t, hogy stabil eljárást kapjunk? 25
További módszerek 3.3. További eljárások Az előző fejezetben láttuk, hogy az Euler-módszer egy egyszerű, viszont pontatlan módszer, es ráadásul instabil is. Pontatlansága és instabilitása miatt gyakorlati számításokra alkalmatlan, de egyszerűsége réven az állatorvosi ló szerepét játsza, rajta keresztúl a véges differencia módszerek minden lényeges tulajdonsága bemutatható. 3.3.1. Másodrendű Runge-Kutta módszer v v(t) v(t + t) PSfrag replacements t t + t t 3.6. ábra. Integrálás trapéz módszerrel. Összevetve az ábrát az Eulermódszer 3.1 ábrájával látható, hogy itt pontosabb eredményt kapunk. A 3.6 ábra alapján látható, hogy jobb, pontosabb iterációs módszert kapunk, ha a v(t) görbe alatti területet nem téglalap módszerrel, hanem trapéz módszerrel kíséreljük meg kiszámítani. Ekkor a közelítő módszerünk egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) + 1 [v(t) + v(t + t)] t, (3.14) 2 v(t + t) = v(t) + 1 [a(t) + a(t + t)], 2 a(t + t) = F (x(t + t), v(t + t), t + t). m A 3.15 egyenletszer még nem használható, mert az egyenletek jobb oldalán nemcsak a t időpillanatbeli mennyiségek, hanem már a t + t időpillanatbeli 26
További módszerek mennyiségek is szerepelnek, amelyeket nem ismerünk. A jobboldalon szereplő x(t + t), v(t + t) kiszámítására használjuk fel az előző fejezetben bemutatott Euler-módszert. Ekkor x(t + t) Euler = x(t) + v(t) t, v(t + t) Euler = v(t) + a(t) t, a(t + t) Euler = F (x(t + t) Euler, v(t + t) Euler, t + t). Behelyettesítve a fenti egyenleteket a 3.15 egyenletrendszerbe, már használható eljárást kapunk. x(t + t) = x(t) + 1 [ ] v(t) + v(t + t) Euler t, 2 (3.15) v(t + t) = v(t) + 1 [ ] a(t) + a(t + t) Euler t, 2 Az egyenletek jobb oldalán csak t-beli értékek állnak. Mivel az egyenletrendszer jobboldalán t a második hatványon szerepel, a megkonstruált eljárás másodrendű. A differenciálegyenlet ilymódon történő integrálását másodrendű Runge-Kutta módszernek nevezzük. Mivel a módszer másodrendű, pontosabb számolást biztosít, mint az Euler-módszer. Vegyük azonban észre, hogy ennek ára az, hogy a gyorsulást egy iterációs lépésben nem egyszer, hanem kétszer kell kiszámítani, ami effektíve kétszer több CPU időt igényel. 3.3.2. Negyedrendű Runge-Kutta módszer Az előbb bemutatott Runge-Kutta módszer pontosságát tovább javíthatjuk, ha x(t), v(t) kiszámításához a t + t intervallumon belülről is választunk segédpontokat, és a függvények ottani közelítő értékeit is felhasználjuk x(t + t), v(t + t) pontosabb meghatározására. A negyedrendű Runga-Kutta módszer x(t)-re vonatkozó iterációs egyenletei a következők: x(t + t) = x(t) + 1 6 (s 1 + 2s 2 + 2s 3 + s 4 ) t, ahol az egyes s i -k x(t) deriváltjai a t + t intervallum különböző pontjaiban: s 1 = v(t), s 2 = v(t + 1 2 t, x(t) + 1 2 s 1 t), s 3 = v(t + 1 2 t, x(t) + 1 2 s 2 t), s 4 = v(t + t, x(t) + s 3 t). 27
További módszerek Látható, hogy ez a módszer negyed rendű, tehát javítottuk a pontosságot, viszont enek ára az, hogy egyetlen iterációs lépésben nem egyszer, hanem négyszer kell kiszámítani a derivált értékét. Általánosan igaz az, hogy egy n-ed rendű Runga-Kutta módszerrel egy iterációs lépésben n-szer kell a deriváltat kiértékelni. Ezért a módszer lassú! Gyors számolás csak egészen egyszerű rendszerek esetén végezhető. A fizikában olyan módszereket próbálunk alkalmazni, amelyek a pontosságot növelik anélkül, hogy a deriváltat egy iterációs lépésben egynél többször kellene kiszámítani! Erre két lehetőség kínálkozik: használjunk koordináta és sebesség adatokat, amelyeket az előző iterációs lépésekben számítottunk ki (Verlet-módszer). a jelen pozíció birtokában jósoljuk jövőbeli koordináta és sebesség értékeket (Prediktor-Korrektor módszerek). 3.3.3. Verlet-módszer Az x(t + t) Taylor sora harmad rendig bezáróan: x(t + t) = x(t) + dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t 2 + 1 d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.16) t Irjunk hasonló Taylor sort x(t t) kiszámítására x(t t) = x(t) dx t + 1 d 2 x dt t 2 dt 2 t 2 1 d 3 x t 3! dt 3 t 3. (3.17) t A két egyeneletet összeadva és átrendezve, közelítő összefüggést kapunk x(t+ t)-re: x(t + t) = 2x(t) x(t t) + d2 x(t) dt 2 t 2 +... Ez az egyenlet definiálja a Verlet-módszert, melynek hibája t 4 -el arányos, ezért harmad rendű! Az 3.18 egyenlet nem tartalmaz információt a sebességről, benne csak a második derivált fordul elő, amit a kiindulási mozgásegyenletből kell behelyettesíteni. Tehát a módszer a gyorsulásból, illetve az erőből kiindulva, direktben a pozíciót szolgáltatja. Ha a sebességre kíváncsiak vagyunk, akkor ezt már a koordináta birtokában, a sebesség definíciója alapjan számíthatjuk ki: x(t + t) x(t t) v(t). 2 t A Verlet algoritmus, mint láttuk, egy kétlépéses módszer, mert x(t + t) értékét két iterációs lépésbeli információ felhasználásával határozza meg. 28
További módszerek 3.3.4. Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszer A Prediktor-Korrektor (jósló-korrigáló) módszerek egy iterációs lépésben három műveletet végeznek el: prediktor lépés: x(t) és v(t) birtokában megbecsüljük x(t + t) és v(t + t) értékét. kiértékelés: kiértékeljük a gyorsulást a t + t időpillanatban a becsült x(t + t) és v(t + t) értékeket felhasználva. korrektor lépés: korrigáljuk a becsült x(t + t) és v(t + t)-t felhasználva az előző és esetleg korábbi iterációs lépésekbeli koordináta és sebesség értékeket. Példaként tekintsük a harmadrendű Gear prediktor-korrektor módszert! 1. Becslés Ennél a módszernél a helykoordináta, a sebesség, a gyorsulás és a magasabb deriváltak becslését a következő egyenletek alapján végezzük x p (t + t) = x(t) + v(t) t + 1 2 a(t) t2 + 1 6 b(t) t3, v p (t + t) = v(t) + a(t) t + 1 2 b(t) t2, a p (t + t) = a(t) + b(t) t, b p (t + t) = b(t). 2. Kiértékelés A kiértékelés azt jelenti, hogy a becsült mennyiségek segítségével kiszámítjuk az egyes részecskékre ható erőt 3. Korrigálás F p = F (x p, v p ) a c (t + t) = F p m. A kiértékeléssel kapott a c (t + t) mennyiségre építve korrigáljuk a becsült értékeket. Ehhez kiszámítjuk a(t + t) = a c (t + t) a p (t + t), 29
További módszerek majd a korrekciót a következő egyenletek alapján végezzük x c (t + t) v c (t + t) a c (t + t) b c (t + t) = x p (t + t) v p (t + t) a p (t + t) b p (t + t) + c 0 c 1 c 2 c 3 a(t + t) Az egyenletekbe szereplő (c, c 1, c 2, c 3 ) együtthatók értékét úgy határozzuk meg, hogy a kívánt pontosságot érhessük el. Másodrendű differenciálegyenletek esetén értékük c 0 = 3/16, c 1 = 251/360, c 2 = 1, c 3 = 11/18. 3.4. Az algoritmus pontosságáról A fizikában használt véges differencia algoritmusok pontosságát gyakran jellemezzük úgy, hogy megnézzük, az algoritmus megőrzi-e megmaradó fizikai mennyiségek értékét. A legegyszerűbb ilyen teszt az energia vizsgálatán alapszik. A mechanikai rendszer teljes energiája E = 1 2 mv2 + E pot, a moygási és a potenciális, helyzeti, energia összege. Formálisan az E energia a kordinátának és a sebességnek egy összefüggése E = E(x(t), v(t)). Az energia állandósága azt jelenti, hogy a rendszer mozgása során változik x(t) és v(t), de a kettejükből alkotott kifejezés E = E(x(t), v(t)) értéke mindig állandó. A véges differencia algoritmusunkkal vizsgáljunk olyan rendszert, amelyben a teljes energia megmaradó fizikai mennyiség, azaz értéke a mozgás során állandó. Ekkor az M iterációs lépésben felgyülemlett teljes hibát jellemezhetjük azzal, hogy az algoritmus mennyire képes megőrizni az energia értékét: ge = M [E (0) E (k t)] 2, k=1 ahol E (0) jelöli a numerikusan számolt energia étékét az integrálás elején, majd E (k t) az numerikusan energia értéke az egyes k iterációs lépésekben. 30
3.4.1. Feladatok További módszerek 1. A GENMOT program segítségével, elemezzük a másodrendű és negyedrendű Runge-Kutta-módszer hibáját! Legyen F = cv. Adott t mellett integráljuk a mozgásegyenletet egy rögzített t értékig, és itt olvassuk le x(t ), v(t ) értékét a programból. Az integrálást ismételjük meg legalább öt különböző t értékkel, majd az egyes t-k mellett kapott x(t ), v(t ) a megfelelő egzakt megoldásokból kivonva határozzuk meg a módszer hibáját, mint t függvényét! Ábrázoljuk valamilyen programmal a hibát, mint t függvényét! 2. Az előző pontbeli számításokat elvégezve hasonlítsuk ösze a Runge- Kutta módszerre kapott eredményeket az Euler-módszer hibájával! Értelmezzük a látottakat! 3. Rögzített t mellett változtassuk az integrációs tartomány τ hosszát a másodrendű Runge-Kutta módszer esetén es mérjük ki gte + gre-t a τ függvényében! 4. A másodrendű Runge-Kutta módszerre próbálgatással határozzuk meg a kritikus t c értéket, ami alatt választva t-t stabil módszert kapunk! 31
32 További módszerek
4. fejezet Rezgőmozgás Az eddig tanultak alkalmazásaként a továbbiakban konkét fizikai rendszereket tekintünk, amelyek mozgását analitikus és numerikus eszközökkel elemezzük. Elsőként a rezgőmozgást végző tömegponttal foglalkozunk. A fejezetben lépésről lépésre haladva feltárjuk a harmónikus, a csillapodó majd a kényszerrezgés tulajdonságait. A fejezet végén röviden kitérünk az anharmónikus rezgésekre is. 4.1. Harmónikus rezgőmozgás Definíció: Az egyenes mentén mozgó tömegpont rezgőmozgást végez, ha pillanatnyi helyzetét a x(t) = A(t) sin (ωt + ϕ) (4.1) függvény írja le. x az egyenes valamely adott pontjától (neve egyensúlyi helyzet) mért helyzetjellemző, A(t) amplitúdó, φ(t) = ωt + ϕ fázisfüggvény, ω körfrekvencia, ϕ fázisállandó, vagy fázisszög. Ha A(t) = A o állandó, akkor a rezgőmozgást harmónikusnak nevezzük. Ha A(t) monoton csökkenő, akkor csillapodó rezgőmozgásról beszélünk. A T = 2π/ω mennyiséget rezgésidőnek nevezzük. Idő szerint differenciálva x(t)-t, a harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont sebessége v(t) = A o ω cos (ωt + ϕ) (4.2) alakúnak adódik. Az (4.1,4.2) egyenletekből meghatározhatjuk a v sebességet, mint az x helykoordináta függvényét x 2 A 2 o + v2 = 1, (4.3) A 2 2 oω 33
Rezgőmozgás 6 10 4 2 5 x 0 v 0-2 -5-4 -6 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t -10-6 -4-2 0 2 4 6 x 4.1. ábra. A harmónikus rezgőmozgást végző tömegpont x(t) függvénye két különböző kezdőfeltétel esetén, és a v(x) függvény az egyik esetre. ami a v x síkon egy ellipszist ír le, melynek féltengelyei A o és A o ω. Definíció: Kvázielasztikus erő: F = D r, ahol D > 0 állandó, r a tömegpont helyvektorát jelöli. Ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, mozgásegyenlete m r = D r, m r + D r = 0 alakú. Csak az egydimenziós esettel foglakozunk, ezért a mozgásegyenletet a mẍ + Dx = 0 (4.4) formába írjuk. A továbbiakban a (4.4) mozgásegyenlet megoldását keressük valamilyen x o, v o kezdeti feltételek mellett. Az egyenlet egy közönséges, másodrendű, lineáris, konstans együtthatós, homogén differenciálegyenlet, amelynek analitikus megoldására létezik általánosan használható eljárás. Keressük 4.4 megoldását exponenciális alakban azaz x p (t) = Ae λt, (4.5) amit behelyettesítve kapjuk a differenciálegyenlet λ-ra vonatkozó karakterisztikus egyenletét mλ 2 + D = 0. (4.6) Mivel a karakterisztikus egyenlet másodfokú, λ-nak két lehetséges értéke van λ = ±iω o, ahol ω o = 34 D m.
Rezgőmozgás D: a rugó keménysége PSfrag replacements 4.2. ábra. A kvázielasztikus erő legegyszerűbb megvalósítása, ha egy testet csavarrugóra akasztunk. A rugó által a testre kifejtett erő a rugó l megnyúlásának F = D l alakú függvénye, ahol D jelöli a rugó keménységét. A differenciálegyenlet két partikuláris megoldása tehát x p 1(t) = A 1 e iωot, x p 2(t) = A 2 e iωot. Az általános megoldás a partikuláris megoldások lineáris kombinációjaként állítható elő x(t) = A 1 e iωot + A 2 e iωot, ahol az A 1, A 2 együtthatók értékét a kezdőfeltételekből határozhatjuk meg. Véve az egyenlet mindkét oldalát a t o = 0 helyen x o = A 1 + A 2. A tömegpont sebességét deriválással kapjuk majd fölhasználva a kezdőfeltételt v(t) = iω o A 1 e iωot iω o A 2 e iωot, v o = iω o (A 1 A 2 ) adódik. A kapott két egyenletből meghatározhatóak az A 1, A 2 együtthatók: A 1 = x o + vo iω o 2, A 2 = ro vo iω o, 2 35
Rezgőmozgás Csillapodó rezgés a megoldásfüggvény pedig x(t) = x o cos ω o t + v o ω o sin ω o t alakúnak adódik, amit összevetve az általános x(t) = A o sin (ω o t + ϕ) formával leolvasható az amplitúdó és a fázisszög értéke: A o = x 2 o + v2 o, ωo 2 tgϕ = ω ox o v o. A fentieket összegezve beláttuk, hogy ha egy tömegpontra csak a kvázielasztikus erő hat, akkor az harmónikus rezgőmozgást fog végezni. A kialakuló harmónikus rezgés körfrekvenciáját a D erőállandó és az m tömeg, az amplitúdót és a kezdő fázist pedig a kezdőfeltételek határozzák meg. 4.2. Csillapodó rezgés Eddig tömegpont mozgását vizsgáltuk a kvázielasztikus erő hatása alatt. Nézzük meg, mi történik, ha ezen kívül még egy F f = βv sebességgel arányos fékező erő is hat a tömegpontra, azaz ha egy testet rugóra akasztunk és valamilyen közegbe (levegőbe, vízbe) tesszük. Ekkor a mozgásegyenlet mẍ = Dx βẋ, mẍ + Dx + βẋ = 0 (4.7) lesz, amit a tömeggel végigosztva és bevezetve a 2κ = β/m jelölést, a következő alakra hozható ẍ + 2κẋ + ωo 2 x = 0. (4.8) Ez is másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, homogén differenciálegyenlet, tehát megoldását az előző esetben ismertetett gondolatmenethez hasonlóan kapjuk. A megoldást az 4.5 exponenciális alakban keresve a karaketerisztikus egyenlet λ 2 + 2κλ + ωo 2 = 0 λ 1,2 = κ ± κ 2 ωo, 2 ahol κ = β 2m. λ 1,2 értéke, és így a megoldásfüggvény alakja erősen függ κ és ω o viszonyától. A lehetséges eseteket külön-külön tárgyaljuk. 36
Rezgőmozgás Csillapodó rezgés 4 3 ae - t 2 x 1 x 1 0 x 2 x 3 x 4-1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t -ae - t 4.3. ábra. Csillapodó rezgés. Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója exponenciálisan csökken. x i jelöli az egymást követő maximumok értékét. κ < ω o : gyenge fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± iω, ahol ω = ω 2 o κ2, két lineárisan független partikuláris megoldást kapunk: A 1 e λ 1t, A 2 e λ 2t és az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 e iωt + A 2 e iωt ) alakúnak adódik. A megoldástól azt kívánjuk, hogy valós legyen, ami elérhető például úgy, hogy a konstansokat a következő alakban vesszük fel: A 1 = a 2 eiα, A 2 = a 2 e iα, vagyis A 1, A 2 helyett két új a, α konstanst vezetünk be a fenti definícióval. Igy x = ae κt cos (ωt + α) adódik, vagy α helyett α π/2-t írva x = ae κt sin (ωt + α). (4.9) Az (4.9) egyenlet olyan rezgőmozgást ír le, amelynek amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken, ezért csillapított rezgőmozgásnak nevezzük, bár ez nem periódikus folyamat. Az (4.9) egyenletből leolvashatóak a csillapított rezgés tulajdonságai is: a körfrekvencia és a rezgésidő ω = ω 2 o κ2, T = 2π ω 2 o κ 2. Az ω tehát kisebb, mint a csillapítatlan rezgőmozgás ω o körfrekvenciája, a T 37
Rezgőmozgás Csillapodó rezgés rezgésidő pedig nagyobb T o -nál. Látható, hogy az x(t) függvény határértéke lim x(t) = 0, t azaz a fékezés hatására a mozgás aszimptótikusan leáll és a részecske a rugó feszitetlen helyénél nyugalomba kerül. Az 4.9 megoldásfüggvény viselkedését a 4.3 ábra illusztrálja. A csillapodó rezgőmozgás érdekes tulajdonsága, hogy bármely két egymásutáni, egyirányú maximális kitérés viszonya ugyanaz (lásd a 4.3 ábrát): x 1 x 3 = x 2 x 4 =... = x n x n+2, mert ha például az x n -hez tartozó idő t n, akkor (4.9) szerint x n = x(t n) x n+2 x(t n + T ) = eκt. (4.10) Ezért a K = e κt mennyiséget a csillapodás mértékének tekinthetjük és csillapodási hányadosnak nevezzük. Most rátérünk arra az esetre, amikor a karakterisztikus egyenlet gyökei valósak. x PSfrag replacements 0 t 4.4. ábra. Az aperiódikus határeset. Az x(t) függvény nem vált előjelet. Kis t értékekre növekszik, majd nagy t-kre exponenciálisan csökken. κ > ω o, erős fékezés. Ekkor λ 1,2 = κ ± κ 2 ω 2 o, vagyis a λ 1, λ 2 gyökök 38
Rezgőmozgás Kényszerrezgés valósak és negatívak, az általános megoldás pedig x(t) = A 1 e λ 1t + A 2 e λ 2t alakú lesz. Mivel mindkét λ valós, az x(t)-ben szereplő tagok az idővel exponenciálisan csökkenek és így a mozgás nem lesz rezgőmozgás. Közelebbről tekintsük a következő kezdőfeltételekkel jellemzett esetet: t = 0-nál legyen x = 0, tehát A 1 + A 2 = 0, valamint ẋ = v = v o, tehát A 1 λ 1 + A 2 λ 2 = v o. Ebből következik A 1 = A 2 = v o λ 1 λ 2 = v o 2 κ 2 ω 2 o, és innen x(t) = v o [e (κ κ 2 ω 2 o )t e (κ+ κ 2 ω 2 o )t ]. (4.11) 2 κ 2 ω 2 o A megoldás alakjából látható, hogy x értéke sosem lesz negatív. A 4.11 megoldás alakját a 4.4 ábra illusztrálja. A mozgás során t = 0-tól kezdve x növekszik, bizonyos t 1 időpillanatban eléri maximumát, majd t - re zérushoz tart. A maximum helye abból határozható meg, hogy ott a tömegpont megáll. Igy mozog például a rugóra akasztott test, amelyet valamilyen nagy viszkozitású folyadékba merítünk és egyik irányba kitérítünk. A kitérítést követően a test a másik oldalra már nem fog átmenni, hanem a feszitetlen helyen megáll. κ = ω o. Ebben az úgynevezett aperiódikus határesetben λ 1 = λ 2 = κ és így egy partikuláris megoldást kapunk: e κt. A differenciálegyeneletek elmélete alapján a másik partikuláris megoldás te κt és így az általános megoldás x(t) = e κt (A 1 + A 2 t). Ha ismét az előző kezdőfeltételeket használjuk könnyen belátható, hogy A 1 = 0, A 2 = v o és x(t) = v o te κt, ami az előző esethez hasonló függvényalakot ad, azaz aperiódikus mozgás, x kizárólag mindig egyirányú és t -re nullához tart. 39
Rezgőmozgás Kényszerrezgés 4.3. Kényszerrezgés, rezonancia Tegyük fel, hogy a tömegpontra a kvázielasztikus és a fékező erőn kívül még egy periódikus gerjesztő erő is hat: F = F o cos (ωt). Ez az eset legegyszerübben úgy valósítható meg, hogy egy testet csavarrugóra erősítünk, majd a rugó felső végét fel és le mozgatjuk. Igy az előzőekben megismert csillapított szabad rezgést kívülről befolyásoljuk, ezért ezt az esetet kényszerrezgésnek nevezzűk, ω-t pedig gerjesztési, vagy kényszerfrekvenciának hívjuk. A korábban bevezetett ω s = ω 2 o κ2 mennyiséget sajátfrekvenciának nevezzük. A probléma mozgásegyenlete mẍ = Dx βẋ + F o cos ωt, vagy a korábban bevezetett jelölésekkel ω o = D m, az egyenlet alakja a következő lesz κ = β 2m, f o = F o m mẍ + 2κẋ + ω 2 o x = f o cos ωt. (4.12) Ez az egyenlet abban különbözik a korábban látott (4.4,4.8) mozgásegyenletektől, hogy a jobb oldal nem nulla, hanem maga is t függvénye, tehát az ismeretlen függvényen és deriváltjain kívül más, ismert függvénye is van t-nek az egyenletben. Az ilyen differenciálegyenletet inhomogénnak nevezzük. Az inhomogén differenciálegyenlet általános megoldását úgy kapjuk meg, hogy megkeressük egy partikuláris megoldását majd ehhez hozzáadjuk a megfelelő homogén egyenlet általános megoldását. A megoldás részleteit nem ismertetjük, hanem helyette megadjuk a megoldásfüggvény alakját, majd azt elemezzük. κ < ω o esetén az 4.12 egyenlet általános megoldása: x(t) = A cos (ωt ϕ) } {{ } periódikus + ae κt sin ( ωo 2 κ2 t + α), (4.13) } {{ } csillapodó ahol A = f o 2κω (ωo 2, és tgϕ = ω2 ) 2 + 4κ 2 ω2 ωo 2 (4.14) ω2 40
Rezgőmozgás Kényszerrezgés x 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 4.5. ábra. A kényszerrezgés mozgásegyenletének (4.13) megoldása. Az ábra jól illusztrálja, hogy a csillapodó rész eltünésével periódikus mozgást kapunk. -0.5-1.0-1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t Az (4.13) általános megoldásból látható, hogy az anyagi pont mozgása két részből tevődik össze: egy ω körfrekvenciájú csillapítatlan és egy ω 2 o κ 2 körfrekvenciájú csillapított rezgőmozgásból. Az idő múlásával a csillapodó rész kihal és asszimptótikusan a gerjesztés és fékezés együttes hatásának eredményeként egy periódikus mozgás, harmónikus rezgőmozgás alakul ki, tehát a tömegpont a gerjesztő erő ω körfrekvenciájával csillapítatlan rezgést, kényszerrezgést végez. Ezt illuszrálja a 4.5 ábra. A kialakuló kényszerrezgés A 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1 < 2 4.6. ábra. A kialakuló harmónikus rezgés (4.14) amplitudója mint az ω gerjesztő frekvencia függvénye két különböző κ fékezési együttható érték mellett. 1.0 0.5 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A amplitúdója és a gerjesztő erő és a kényszerrezgés közötti fázistolás ϕ szöge a gerjesztő erő ω körfrekvenciájától függ. A (4.14) egyenlet szerint, amint a gerjesztő frekvencia 0-tól ω o -ig, majd innen -ig nő, a ϕ fáziskülönbség 0-tól π/2-ig, majd onnan π-ig nő, tehát a rezgés fázisban mindig elmarad a gerjesztő erőhöz képest. Az amplitudó kis ω-áktól indulva először nő, ω = ω o közelében maximumot ér el, majd ismét csökken. Tehát az amplitúdó akkor a legnagyobb, ha a gerjesztő frekvencia a rendszer sajátfrekvenciájának közelébe esik. Ez a jelenség a rezonancia, az A(ω) görbét pedig rezonan- 41
Rezgőmozgás Kényszerrezgés cia görbének nevezzük (lásd a 4.6 ábra). Látható, hogy a maximum annál erősebb, minél kisebb a rendszer κ csillapítása. Csillapítatlan rendszerre ω = ω o esetén az amplitúdó végtelenné válna. Ez a jelenség a rezonancia katasztrófa. A rezonanciának rendkívül nagy jelentősége van a gyakorlati életben. Egy épületben a vizvezetékben fellépő rezonancia miatt az épület súlyosan rongálódhat, a rezonancia az oka annak, hogy hidakon katonák nem mehetnek lépést tartva. 42
Rezgőmozgás Kényszerrezgés 4.3.1. Feladatok 1. Lengő rendszereknél, például a mérlegnél, az x o egyensúlyi helyzet meghatározható három egymást követő fordulópont x 1, x 2, x 3 megfigyeléséből. (Az 4.4 ábrán x o értéke nulla.) Kiindulva a (4.10) egyenletből, fejezzük ki x o -t az x 1, x 2, x 3 segítségével. A kapott formulát régen gyakran használták mérlegelésnél. 2. Elemezzük a csillapodó rezgőmozgást numerikusan! Adott ω o mellett indítsunk mozgásokat változtatva a β fékezési együtthatót a mozgásegyenletben (azaz változtatva κ-t. Vegyük fel β-t úgy, hogy κ < ω o teljesüljön! Inditsunk egy mozgást valamilyen kezdőfeltétellel és figyeljük a csillapodó rezgés létrejöttét. Olvassuk le a fordulópontokban az x értékét majd ellenőrizzuk az (4.10) egyenlet teljesülését! Vegyük fel β-t úgy, hogy κ > ω o teljesüljön! Miben különbözik az így kialakuló mozgás az előző esettől? Értelmezzük a kapott x(t) görbét. Adott kezdőfeltételek mellett az x miért nem vált előjelet? Inditsunk mozgásokat úgy, hogy x legyen negatív, majd pozitív. Elemezzük az aperiódikus határesetet! 3. Csillapodó rezgőmozgás vizsgálatánál κ < ω o feltétel mellett inditsunk egy mozgást majd ábrázoljuk a tömegpont sebességét a helykoordináta függvényében! Értelmezzük a látottakat és hasonlítsuk össze a kapott görbét a csillapítatlan esetben kapottakkal! 4. Vizsgáljuk a csillapított és gerjesztett oszcillátor mozgását! Indítsunk mozgásokat különböző kezdőfeltételekkel változtatva a programban a csillapítás és gerjesztés értékét! Figyeljük a gerjesztett rezgőmozgás kialakulását! Elemezzük a mozgást a v x síkon is! 5. Az anharm.exe program segítségével vegyük fel a periodikusan gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor rezonanciagörbéjét két különbőző κ érték mellett. Számoljuk ki a maximumot és a félértékszélességet a különböző csillapítások mellett. Az analitikus megoldás alapján elemezzük a látottakat. 43