Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint kiemeléseket végezni. Például: a) 8-68 =-0, - + = 0, ezen tagok összege 0; a = 44 + 6 = 00. b) 8-7 =, - =, ezen tagok összege ; + 997 = 000, b = 000-04 = 98. 4 7 c) + + =, + =, - - =-, ezért 6 8 8 0 0 c = + - = 0. 4 4 6 4 d) + - = 0, - = 0, d = - =. 9 9 0 7 7 7 e) e = 4 $ $ = 00 $ = 00. f) f = 6 $ (97 + ) = 6 00. g) g = 8 $ ( - + 9) = 8 $ 0 = 760. 00. a) x =,; b) x = 0,; c) x =-; d) x =-4; e) x =-,; f) x =-0; x x g) x =-; h) - 6 0 60 + 0 0 60 = 60-60, innen x = ; 66 i) 4(x - ) + 0 $, = (x + ) + 4 $, innen x = -. 6 Megjegyzések: Helytakarékossági okokból nem végeztünk ellenôrzést, de ez az egyenletek megoldásának szerves része. Az ellenôrzés egyik módja a kapott eredmény visszahelyettesítése. Ha a megoldás során minden lépésben ügyeltünk arra, hogy azonos (másképpen ekvivalens) átalakításokat végezzünk, akkor nem szükséges a kapott eredményt visszahelyettesíteni. (Ekvivalens átalakítások során ekvivalens egyenleteket kapunk. Két egyenlet ekvivalens, ha ugyanazok a gyökei. Ekvivalens átalakítások alkalmazásakor tehát nem veszítünk gyököt, és nem keletkezik hamis gyök sem.) Elôfordulhat, hogy egy egyenlet gyökeit nem tudjuk visszahelyettesítéssel ellenôrizni; például végtelen sok megoldást kaptunk, vagy egyet sem. Ekkor feltétlenül meg kell vizsgálnunk, hogy azonos átalakításokat végeztünk-e. Általában tehát azt mondhatjuk, hogy a megoldás ellenôrzését vagy a kapott eredmény visszahelyettesítésével, vagy az átalakítások ekvivalenciájának vizsgálatával végezhetjük el. 00. a) x = ; b) nincs megoldás (x = 0 nincs benne az alaphalmazban).

6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek c) A zárójelek felbontása után x - 4-6x - =-6x + 9 - x + +, innen x = 7. 06 6 d) x = c,97; e) x =. f) Mindkét oldalt 6-tal szorozva 48 - $ x = 8 - $ (x - ), innen x = 7. 0 g) x = - ; h) x = nem megoldás; i) x =- nem természetes szám; 7 j) x =. 8 00. a) x + - x - + (x - ) = x -, innen x =, és x! Q. b) A bal oldal - x + [x - (x + 4)] =-x + x - 6(x + 4) =-x + x - 9-6x - 4 =-x - 4. Innen x = -, de ez nem pozitív. Nincs megoldás. c) Azonosságot kapunk, minden x < valós szám megoldás. 8 d) x = ; 89 e) x = - ; 6 R J x NV S f) Elsô megoldás: A bal oldal - x+ + x- + W 8 K 4 8 O S W = T L PX J x N = - x+ + x- + 8 K 4 8 O = x x x - + + - $ - $ = 8 4 8 L P 4 8x 8x 4x = - + + - - -4x = alakra hozható, innen 8 8-4x x = -, x = 0,6, és x! ] - ; ]. 8 4 8 Második megoldás: A kifejezést belülrôl kifelé haladva átalakítjuk. A bal oldal x x + = + x+ + 8x-4x-, + x- $ = = 4 8 8 8 8 8 4x = + x, x 8-4 + 8 = 4 x - 4x 4x, 8 - - = - alakra 8 8 hozható stb. g) x = ; h) x = 44, x! N. 004. a) x =-; -! [ -6; 6]; b) x =,, és,! Q; c) nincs megoldás; d) x = 9,6, de ez nem megoldás, mert kívül esik az alaphalmazon; 60 e) nincs megoldás (x = -, de ez nem pozitív); f) x =-0,6, és x < 0; g) x = 0,.

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 00. a) A két tört nevezôje ugyanaz, a számlálóknak is meg kell egyezniük; x = 8 (és x =Y ). b) x =, x = 8. Megjegyzés: Ha az a) feladatbeli egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk (x - ) -nel, a b) egyenletet kapjuk. Azonban az átalakítás nem ekvivalens, b)-nek x = is gyöke. c) Nincs megoldás, x = nem lehet. 8 8 d) - x = -, innen x =-8 (x =Y ). x- e) x - + = x - 7, innen 9 - x = x - 7, x = 4. Ekkor a tört 4 x - 4 nevezôje 0 lenne, így nincs megoldás. 9 - x 4 - x Másik megoldási lehetôség: - = =- =Y. x - 4 x - 4 x - 4 x + f) = x +, az egyenlet azonosság. Az x = 0 kivételével minden x x valós szám megoldás. g) Minden valós szám megoldás. h) x = 0, vagy a (x + ) = x - egyenletbôl x =-. i) x =, x =-. j) Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezôje 0; x =-, x =, x =. k) Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha számlálója nulla, és nevezôje nem nulla. A megoldás x! {; - ; - }. 006. A hagyományos, egyenletrendezésen alapuló megoldások mellett speciális megoldási módszereket is alkalmazhatunk. a) Az egyenlet jobb oldalán pozitív szám áll, a bal oldalon nem; nincs megoldás. b) A bal oldalon pozitív szám áll, a jobb oldalon is annak kell lennie; ezért x = 0 vagy x = lehet csak megoldás. Visszahelyettesítés után x =. c) A jobb oldalon pozitív (egész) szám áll, a bal oldalon is annak kell lennie, ezért x =- vagy x =- lehet csak megoldás. Visszahelyettesítés után x =-. d) Észrevehetjük, hogy + = 4 + = +, ezért adjunk az egyenlet mindkét oldalához -at (a bal oldalon minden taghoz -et). Ekkor x+ 6 x+ 6 x+ 6 J N + + = ( x + 6) + + 4 K 4 O = 0, innen x =-6. L P e) A négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért x $ ; a jobb oldal nem lehet negatív, ezért x #. Nincs megoldás.

64 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek f) A bal oldalon páros szám áll, a jobb oldalon páratlan. Nincs megoldás. g) (x; y) = (0; 0). h) (x; y; z) = (0; 0; 0). x - 9 6x - x - 9-6x 6x - 4 007. a) + = + = =, ha x =Y. x - - x x - x - x - Innen = x -, x =. b) = x, nincs megoldás. (A nevezô nem lehet 0.) J c) = azonosság K minden valós szám megoldás, kivéve x = N O. L P x - ( x+ )( x- ) d) = = x +, ha x =Y. x + =, innen x =. x - x - e) x + =, innen x = lenne, de ez nem megoldás. x + 4x+ 4 ( x + ) f) = = x +, ha x =Y -. x + = x -, innen x + x + x =. g) x + = x + 4, innen x =- lenne, de ez nem megoldás. 7 7( x ) ( x ) h) x+ + x- = - + + x - 6 =. Ha x =Y!, ( x+ )( x-) x - 9 akkor x - 6 =, x =. 4 i) x = 9. x x 4 x x( x ) ( x 4)( x ) j) x - 4 - x - x + - - + + - - = = x + x xx ( + )( x-) - 6x + 8 4 =, innen x =. xx ( + )( x-) x + J N x + x + x + x x k) : + : $ x + 6 K x O = = x + 6 x x + 6 x + =, ha x =Y 0, x + 6 L P x x =Y - és x =Y - 6. A x + 6 = x egyenletbôl x = 0 és x =- adódik, de x nem megoldás. 008. a) x =Y, ekkor x = x, x(x - ) = 0. Innen x = 0 megoldás, x = nem felel meg a kikötésnek. b) x = ; c) x =,; d) x = 0; e) x= ; f) x =, innen x =! ; g) x =.

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 009. a) x + y + z =, innen y = 0 vagy y = lehetséges. Ha y = 0, akkor x + z =, minden (x; z) = (t; - t), t! N, t # alakú megoldás jó. Ha y =, akkor x + z =, s innen (x; z) = (0; ) vagy (x; z) = (; 0). b) x + y + z =, innen (x; y; z)! {(0; 0; ), (0; ; ), (; 0; 0)}. c) y = - 6x, így y osztható 6-tal. (y; x) lehetséges értékei: (0; ), (6; ) vagy (; 0). 4x+ 6y d) + t = z. A jobb oldalon és közötti egész szám van, így 7 t = 0 vagy t =. Ha t = 0, akkor 4x + 6y lehetséges értékei:, 8,. Innen csak 4x + 6y = 8 lehetséges (z = 4), s ekkor (x; y) = (; 4), (4; ) vagy (7; 0). Ha t =, akkor z =, x = y = 0. e) x + 8z = y +. A jobb oldal értéke legfeljebb, így z = 0 vagy z = lehetséges. Ha z = 0, akkor (x; y) = (; ), (; 4), (4; 7) vagy (; 0); ha z =, akkor (x; y) = (0; ), (; 6) vagy (; 9). f) Nincs megoldás; a bal oldal osztható -mal, a jobb oldal nem. 97 - y + y 00. a) x = = 48 - y +. Mivel x egész, y = t - (t! N + ), s ekkor x = - t. A lehetséges megoldásokat az alábbi táblázatban soroltuk fel: t 4 6 7 8 9 0 x 46 4 6 6 6 6 y 7 9 7 9 b) (x; y) = (60-7t; t), ahol t = 9, 0,,, 9. c) y =x - + x -, innen x =t +, y =7t - (t! Z). A megoldások: t - 0 x - y -9 - d) Nincs megoldás; a bal oldalon páros, a jobb oldalon páratlan szám áll. 9 - x - x e) y = = 9 - x +, innen x = - t, y = t + 8 (t! Z). 7 f) x = y + y = 6+ y+, innen y = t -, x = 7t + (t! Z).

66 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek Egyszerû szöveges feladatok Helytakarékossági okokból általában nem végeztük el az eredmények ellenôrzését, de szöveges feladatok esetén kötelezô a kapott eredményt a szöveg alapján, a szövegbe való visszahelyettesítéssel ellenôrizni! A szöveges feladatok egy részét - az egyenlettel, egyenletrendszerrel való megoldás mellett - következtetéssel is megoldhatjuk. Néhány esetben erre is mutatunk példát. 0. Jelöljük x-szel a keresett számot! a) x= x+, innen x =-60. 4 4 b) x= x+, innen x = 7,. 4 (Következtetéssel: a szám -a kétszerese -ának; ha ez -tel na- gyobb, akkor a szám -a éppen, s maga a szám 7,.) 6 6 c) Nincs megoldás. d) x =. e) x = -. f) x = 0. g) x = 4. h) x =-,. i) x =. j) Azonosság; minden valós x szám megoldás. 8 0. a) Ha a keresett szám -e, akkor -e, s a szám. 4 4 b) A kimondatlan kérdés lehet: Mekkora a térfogatom? Jelöljük V V V V-vel a térfogatunkat! Ekkor V + + + =, ahonnan 9 9 9 7 V = (térfogategység). Megkaptuk az edény térfogatát is, ez térfogategység. s J s N c) Jelöljük a keresett számot s-sel! Ekkor s + - s + =0 K O, L P innen s = 9. d) A szám 4. e) Elsô megoldás: Jelöljük a keresett kincsek számát k-val! Ekkor k J k N k - - k - =0 7 K O, ahonnan k = = 7 +. L P Második megoldás: Ha elvesszük egy mennyiség részét, akkor 7 6 k 6 része marad meg. Így $ = 0, k =. 7 7

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 67 Harmadik megoldás: Okoskodhatunk visszafelé! Ha a második 6 személy elvitte a maradék tizenheted részét, akkor a kincs része 7 7 maradt meg. Mivel ez 0, a második személy elôtt 0 $ kincs 6 volt a kamrában. Ez pedig az elsô személy által elvitt -nyi kincs maradéka, vagyis az összes része. Így eredetileg 7 0 $ $ = 7 + kincs volt a kamrában. 6 Megjegyzés: Mai értelmezéssel csak egész számú kincset fogadnánk el megoldásként. 0. Elsô megoldás: Az életkorok összege a kiállítás elôtt 4 év, a kiállítás után 0 év. A kiállított játékos éves volt. $ 0 + x Második megoldás: Ha a kiállított játékos x éves volt, =, innen x = (év). 04. Jelölje a számokat x és x +, ekkor x + x + = x +. a) x + = 004, innen x = 00,, ez nem megoldás. (Két szomszédos egész szám összege páratlan.) b) x + = 00, innen x = 00. A számok 00 és 00. 4 x 0. Elsô megoldás: Jelölje x az osztálylétszámot, ekkor x + = +, 9 innen x = 7. Második megoldás: Eredetileg az osztály 9 része fiú, ez 9 résszel nagyobb, mint a lányok aránya. Ha az osztályba három lány érkezne, a fiúk és lányok száma megegyezne, így az osztály 9 része három, az osztálylétszám tehát 9 $ = 7. 06. Jelöljük a kétjegyû szám elsô számjegyét a-val, a másodikat b-vel! Ekkor az eredeti szám 0a + b, a számjegyek felcserélésével kapott szám 8 0b + a, innen 0b + a = $ ( 0a+ b), b = 7a. Az egyenlet jobb oldalán álló szám osztható 7-tel. és 7 relatív prímek, ezért 7 osztja b-t is. Mivel b számjegy, így csak 0 vagy 7 lehet. Ha b = 0, nem kapunk kétjegyû számot; míg ha b = 7, akkor a =. A keresett szám tehát a 7. 07. Mindegyik gyerek öt évvel lesz idôsebb, az életkorok összege évvel nô, vagyis 70 év lesz. 08. Ha a fiú most x éves, akkor az apa életkora x. 4 év múlva a fiú (x + 4), az apa (x + 4) éves lesz, innen x + 4 = (x + 4). A fiú most 4, az apa 4 éves.

68 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 09. a) Ha a nézô által kigondolt szám x, akkor a mûveletsor eredménye 0 ( x + ) -00 = x -. Tehát a bûvész a bemondott számhoz 0 fejben hozzáad -öt, a kapott számnak a felét veszi, és megtudja, milyen számra gondolt a nézô. + b) = 8. 00. a) Az átlagsebesség, megtett út és eltelt idô között s = v $ t a kapcsolat. 00 Innen t = = 8 óra 0 perc, illetve t 00 = = 6 óra 40 perc a menetidô, tehát az érkezési idô 6 óra 0 perc, illetve 4 óra 40 perc. b) Ha a kerékpárosok t óra óta úton vannak, akkor: Kerékpárosok Elsô kerékpáros Második kerékpáros Sebesség Idô Út Hátralévô út (km/h) (óra) (km) (km) t t 00 - t t t 00 - t 00. Innen (00 - t) = 00 - t, t = 9 0 c,6 (óra). Az út - idô grafikon (00. ábra): (Az ábrán ()-mal jelölt egyenes meredeksége 0.) 0 c) A második kerékpáros menetideje t =, így az elsô kerékpáros menetideje legfeljebb t = lehet. Innen 00 00 v = = c,04 (km/h) legalább.

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 69 0. a) Ha t idô múlva találkoznak: Kerékpárosok Elsô kerékpáros Második kerékpáros Sebesség Idô Út (km/h) (óra) (km) t t t t A két kerékpáros együttesen 00 km-t tesz meg, így t + t = 00, 00 innen t = c,70, tehát c óra 4 perckor találkoznak. 7 Másképpen is okoskodhatunk: A két kerékpáros egymáshoz viszonyított relatív sebessége + = 7 (km/h), s ekkora sebességgel kell 00 km-t megtenni. b) Tegyük fel, hogy Gödöllô és Hatvan között találkoznak az indulás után t órával! Kerékpárosok Elsô kerékpáros Második kerékpáros Sebesség Idô Út Hátralévô út (km/h) (óra) (km) Hatvanig (km) t t 8 - t t t 7 - t 6 Ekkor (8 - t) = 7 - t, de t = - nem ad megoldást (bár 9 fizikai szempontból van értelme az eredménynek). Ha Hatvan és Eger között találkoznak: Kerékpárosok Elsô kerékpáros Második kerékpáros Sebesség Idô Út Távolság (km/h) (óra) (km) Hatvantól (km) t t t - 8 t t 7 - t 8 Ekkor (t - 8) = 7 - t, innen t = c,8 (óra). 9

70 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 0. Az út - idô grafikon (0. ábra): A () egyenes () affin képe (az arány ). 8 c) 8 - t = t, innen t = c,04 (óra). 7 00 7 d) A találkozási idô t = - =, így 7 7 7 _ v + i = 00, s innen 7 v =,99 (km/h). Az elsô kerékpárosnak ekkorára kell növelnie az átlagsebességét. 0. a) Az elsô kerékpáros t órányi idô alatt 6t utat tesz meg, a második kerékpáros (t - ) óra alatt 6(t - )-et. Együtt 0 km-nyi utat tesznek meg, így 86 6t + 6(t - ) = 0. Innen t = c,8, 0. a találkozási idejük c 9 óra perc. (Másképpen: a relatív sebességük km/h, 0-6 így az elsô óra utáni menetidô = = 4 N stb. O P b) 0. ábra c) Az elsô kerékpáros által a találkozásig megtett út 0 km-rel több, így 6t + 0 = 6(t - ). Innen t = 9,, tehát óra 8 perckor találkoznak. (A relatív sebességgel számolva 0 + 6 + óra a találkozási idô.) 0 0. Ha a gyorsvonat a két város közötti s távolságot t idô alatt tette meg: Vonatok Sebesség Út Idô (km/h) (km) (óra) Személyvonat 60 s t+, Gyorsvonat 90 s t Ekkor 60(t +,) = 90t, innen t = (óra), és s = 70 km.

Elsôfokú egyváltozós egyenletek 7 04. a) A százalék századrészt jelent, 00 Ft %-a tehát 00 Ft egy századrésze. 00 $ 0,0 = (Ft). b) 00 $ 0, = 0 (Ft); c) 00 $ 0, = 770 (Ft); d) 00 $ 0,7 = 6 (Ft); e) 00 Ft; f) 00 $, = 400 (Ft); g) 00 $, = 70 (Ft); h) 00 $ 0,00 = 7 (Ft); i) 00 $ 0,000 4 =,4 (Ft); j) 00 $ 0,004 = 4 (Ft); k) 00 $ 0,000 6 =, (Ft). 48 0 0. a) 48 a 40-nek = = része, vagyis 0 %-a. 40 00 60 b) = = rész, vagyis %. 40 4 00 4, c) = rész, vagyis %. 40 00 00 d) c 0,467 rész, vagyis c 4,67%. 40 e) 00%. 00 f) c,08 rész, vagyis c 08,%. 40 g) c 0,004 rész, vagyis c 0,4%. 40 h) Az méternek 0-ed része, vagyis a 40 méternek c 0,04%-a. 06. a) 0; b) 0. 07. A keresett számot jelöljük x-szel, ekkor 0,x - x = 90. Innen a keresett szám x = 900. 08. Egy szám %-a egyenlô részével; és része csak a 0-nak 0 9 0 egyenlô. 09. -szor. 00. A nadrág eredeti árát jelöljük x-szel, ekkor a végsô ár,x $ 0,8 = 0,96x. A kétszeri árváltozás után tehát csökkent az áru ára. (4%-kal.) Megjegyzés: A kapott eredmény nem függ a nadrág eredeti x árától, ezért a hasonló típusú feladatokban megtehetjük, hogy az eredeti árat pl. egységnyinek vagy 00 egységnek tekintjük. 0. Jelölje x a nadrág eredeti árát! a) Az áremelkedés utáni ár,x. Ha ezután az árcsökkentés arányát y-nal jelöljük, akkor,x $ y = x. Innen y = = 0,8, vagyis a kereskedônek az új árat 0%-kal kell csökkentenie., b) Az árleszállítás utáni ár 0,7x. Ha ezután az árnövelés arányát y-nal jelöljük, akkor 0,7x $ y = x. Innen y = =, o, vagyis a kereskedônek az új árat c,%-kal kell 07, növelnie.

7 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 0. Jelölje x az eredeti árat! Az új ár ekkor,4x $ 0,7 = 0,98x, vagyis az áru %-kal lett olcsóbb. 0. Az eredeti árat jelölje x. a) Az. esetben a végsô ár,x $, =,6x, a. esetben,x $, = =,6x, az áru ára mindkét esetben 6,%-kal nôtt. b) Az. esetben a végsô ár,x $ 0,8 = 0,9x, a. esetben 0,8x $, = = 0,9x, az áru ára mindkét esetben 6,%-kal csökkent. c) Az. esetben a végsô ár,x $, $ 0,8 = 0,968x, a. esetben,x $ 0,8 $, = 0,968x, az áru ára mindkét esetben,%-kal csökkent. 04. 0 liter 0%-os alkoholban 0 $ 0, = 6 liter, 0 liter %-os alkoholban 0 $ 0, = 7, liter tiszta alkohol van. Jelöljük x-szel a keverék töménységét, s tekintsük az alábbi táblázatot! Keverékek Térfogat Töménység Tiszta alkohol (liter) (%) (liter). keverék: 0 0 6,. keverék: 0 7, Összeöntve: 0 x, x =, $ 00 = 7, vagyis a keverék 7%-os lesz. 0 Megjegyzés: A keverék töménységét az ún. súlyozott közép (vagy súlyozott átlag) képletével 0, $ 0+ 0, $ 0 is kiszámíthatjuk: = 0,7. 0 + 0 0. a) Keverékek Térfogat Töménység Tiszta alkohol (liter) (%) (liter). keverék: 4,. keverék: 6, Összeöntve: 0 x,7 7, = 0,7, a keverék 7%-os lesz. 0 40 $ 0, + 0 $ 0, b) c 0,89, a keverék 8,9%-os lesz. 40 + 0 c) 6,6%. 0 $ 0, d) = 0,87, a keverék 8,7%-os lesz. 0 + 0 0 $ 0, + 0 e) = 0,6, a keverék 6,%-os lesz. 0 + 0

Egyenletrendszerek 7 $ 0, + 0 $ 0, + 40 $ 0, f) A három mennyiség súlyozott átlaga c + 0 + 40 c 0,67, a keverék 6,7%-os lesz. 06. Jelöljük L-lel a víz térfogatát! $ 0, a) Ekkor + L = 0,, innen L = (liter). 40 $ 0, b) 40 + L = 0,, innen L = 40 (liter). 40 $ 0, 80 c) = 0,, innen L = (liter). 40 + L d) Nem lehetséges; a töménység nem nôhet. $ 0, 8 + $ 0, e) = 0,08, innen L = 0, (liter). + + L 07. a) 8%. b) %. m$ 0, + m$ 0, 6 c) Ha a 0%-os sóoldat tömege m, akkor = 0,, m a keverék %-os lesz. (Az eredmény m-tôl független, a két töménység súlyozott közepét kaptuk.) d) 9%. 08. a) Kétszer annyit. b) Fele annyit. c) Semennyit. Egyenletrendszerek 09. a) Grafikus megoldás: Olyan (x; y) számpárokat keresünk, melyek az () és () egyenletet egyszerre elégítik ki. A feladatot átfogalmazhatjuk: az (x, y) derékszögû koordináta-rendszerben () és () képe is egy-egy ponthalmaz, s ekkor olyan P(x; y) koordinátájú 09/a. pontokat keresünk, amelyek az () és () ponthalmazhoz egyaránt hozzátartoznak. A derékszögû koordináta-rendszerben () képe olyan egyenes, melynek meredeksége, tengelymetszete, () képe pedig - meredekségû, 4 tengelymetszetû egyenes (09/a. ábra). Olyan P(x; y) pontokat keresünk, amelyek mindkét egyenesen rajta vannak. Egyetlen ilyen pont lesz, a két egyenes metszéspontja.

74 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek Az ábra alapján mindkét egyenes átmegy az (; ) ponton, errôl ellenôrzéssel is meggyôzôdhetünk. A két egyenesnek több metszéspontja nincs. Algebrai megoldás: Ha () y = x + és () y =-x + 4, akkor x + = =-x + 4 is teljesül. Innen x =, x =, s visszahelyettesítve pl. ()- be, y =. Az egyenletrendszer megoldása (x; y) = (; ). Ellenôrzés: () = $ + és () =- + 4 valóban teljesül. Megjegyzések: - A kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldásai mindig számpárok. - A késôbbiekben - helytakarékossági okokból - már nem írjuk le, de a kapott megoldásokat mindig ellenôriznünk kell. Ezt úgy tehetjük meg, hogy a gyököket visszahelyettesítjük az eredeti egyenletekbe. - A grafikus megoldás általában nem ad pontos értéket (a leolvasási pontosság függ pl. a tengelyek beosztásától). Az ábrázolás segítségével megsejthetjük a metszéspontok koordinátáit, s ezeket visszahelyettesítéssel tudjuk ellenôrizni. - Miután a grafikus ábrázolás segítségével megtaláltuk a közös pontokat, mindig meg kell indokolnunk, hogy az ábrázolt ponthalmazoknak miért nincs több közös pontja. (Hiszen pl. a koordinátarendszer tengelyeit is csak véges tartomány- 09/b. ban ábrázoljuk; elképzelhetô, hogy az ábrázolt tartományon kívül van még közös pont.) - Két egyenesnek 0, vagy végtelen sok közös pontja lehet (ha egybeesnek). Két különbözô meredekségû egyenesnek egy közös pontja van, a továbbiakban nem indokoljuk a megoldás egyértelmûségét. b) Grafikus megoldás: () és () képe az 09/a. ábrán látható. Leolvasás és ellenôrzés után a metszéspont (; ). Algebrai megoldás: x + = x-, innen x =, visszahelyettesítés után y =. 040. a) Grafikus megoldás: () és () képe az 040/a. ábrán látható. Leolvasás és ellenôrzés után a metszéspont (-,; -0,). x Algebrai megoldás: - - = x + 4,, innen x =-,, visszahelyettesítés után y =-0,. b) Grafikus megoldás: A metszéspontot most nem tudjuk pontosan leolvasni; - < x < - és 0 < y <. (040/b. ábra). 8 Algebrai megoldás: x + = - x -, innen x = -, y =. 7 7

Egyenletrendszerek 7 040/a. 040/b. Megjegyzés: Geometriai módszerekkel (az egyenletrendszer megoldása nélkül) meghatározhatjuk a metszéspontot. Tekintsük a koordináta-rendszer azon egységnégyzetét, amelyben metszi egymást a két egyenes, s jelöljük a-val, illetve b-vel az 040/c. ábrán látható szakaszokat! a Derékszögû háromszögek hasonlósága miatt =, innen () b a = b a ; valamint - b =, innen () a = - b. Az egyenletrendszer megoldása = miatt b =, a =, b - b 7 7 8 s innen az y =, x = - értékeket kapjuk. 7 7 04. a) A metszéspont pontos koordinátáit nem tudjuk leolvasni.,x - =,x +,4-bôl 7 07 x = -, y = -. 04/a. 6 60 040/c.

76 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 04/b. 04/a. b) A két egyenes tükrös helyzetû az y tengelyre, a metszéspont b0; l. (A értéket persze nem az ábráról olvastuk le, hanem az x = 0 helyettesítéssel mindkét egyenesre ugyanazt az y tengelymetszetet kaptuk.) Algebrai megoldás: x+ = - x+, innen (x; y) = b0; l. 04. a) A metszéspont pontos koordinátáit nem tudjuk leolvasni. x + = - x +, innen x = -, y = + b) Az egyenleteket átalakíthatjuk. x + y =, innen () y =-x + ; -x + y =-, innen () y = x - (ábra).. A metszéspont (; ). Algebrai megoldás: - x + = x -, innen x =, y =. c) Az egyenleteket átalakíthatjuk. x + y = 4, innen 4 7 () y = - x + ; x - 6y =-7, innen () y = x +. 6 6 A metszéspont pontos koordinátáit nem tudjuk leolvasni. 4 7 4 Algebrai megoldás: - x+ = x+, innen x=, y=. 6 6 9 7 04/b. 04/c.

Egyenletrendszerek 77 04. Az egyik egyenletbôl kifejezzük valamelyik ismeretlent, s behelyettesítjük a másik egyenletbe. Ekkor egy egyenletet kapunk, melyben csak egy ismeretlen szerepel. a) Pl. ()-bôl ( ) x = y -, ezt ()-be helyettesítve (y - ) + y =. Innen 7y = 7, y =, s visszehelyettesítve ( )-be x =. Megoldás: (x; y) = (; ). b) ()-bôl y = 0,x -, innen ()-bôl - x - (0,x - ) =. (x; y) = (; - ). 7-, y 7-, y 044. a) ()-bôl x =, innen ()-bôl 4 $ -, y = 4. (x; y) = (,; 0). b) ()-bôl x = y - y -, innen ()-bôl $ + y =. J N (x; y) = ; K O. L P 4 4 J 4 N 7 04. a) ()-bôl x = - y, innen ()-bôl - - y + y= y+ K O. 6 8 L P J 8 8 N (x; y) = - ; K 4 6 O. L P + b) ()-bôl x = 6 - y J N (x; y) = K ; O K O. L P 046. a) ()-bôl x = - 6 y, innen ()-bôl - - = 0. (x; y) = b0; l., innen ()-bôl = +. $ - 6 y + y - b) ()-bôl y = x - 7, innen ()-bôl - 4x + (x - 7) =-4. Azonosságot kaptunk, az egyenletrendszernek minden (x; y) = (a; a - 7) alakú valós számpár a megoldása. A derékszögû koordináta-rendszerben () és () képe ugyanaz az egyenes. J N c) ()-bôl x = - y, innen ()-bôl $ - y + 0y+ 7= 0 K O. Ellentmondást kaptunk, az egyenletrendszernek nincs megoldása. L P A derékszögû koordináta-rendszerben () és () képe párhuzamos egyenes, melyeknek nincs közös pontja. 047. Az egyenleteket megszorozzuk úgy, hogy valamelyik ismeretlen együtthatói megegyezzenek vagy egymás ellentettjei legyenek.

78 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek a) Elsô megoldás: Szorozzuk meg ()-et -mal, ()-t -vel, kapjuk: ( ) 6x + 9y = ; ( ) 6x - 4y = 8. A két egyenletben x együtthatója megegyezik, tehát a két egyenletet egymásból kivonva olyan egyenletet kapunk, melyben csak y szerepel. ( ) - ( ): y =, innen y =, visszehelyettesítve ()-be vagy ()- be x =. Második megoldás: Szorozzuk meg ()-et -vel, ()-t --mal, kapjuk: ( ) 4x + 6y = 4; ( ) - 9x + 6y =-. A két egyenletben y együtthatója megegyezik, a két egyenletet kivonásából ( ) - ( ): x = 6. Innen x =, visszehelyettesítve y =. Harmadik megoldás: Szorozzuk meg ()-et -vel, ()-t -mal, kapjuk: ( ) 4x + 6y = 4; ( ) 9x - 6y =. A két egyenletben y együtthatói egymás ellentettjei. A két egyenletet összeadásából ( ) + ( ): x = 6. Innen x =, visszehelyettesítve y =. b) Az elsô egyenlet -szereséhez hozzáadjuk ()-t, innen - y =-, y = ; visszahelyettesítés után x =-. 4 048. a) Elsô megoldás: () - (): y 9 Második megoldás: () + (): 4x =-, innen x = -, és y =. 7 b) Az elsô egyenlet 6-szorosához hozzáadjuk a második egyenletet: 9 = 6, y =, és x = -. 7 6 $ () + (): -,y = 0, innen (x; y) = (; 0). 7 J 6 N 049. a) 8 $ () + (): - y =, innen (x; y) = - ;- 6 4 K 8 08 O. L P J 6 N b) () + (): x =,, innen (x; y) = 78; K O. 9 L P 00. a) 0, $ () - (): x = 0, innen (x; y) = (0; 4). 4 b) () - (): b- ly = 7, innen y = 7, x = - + 4. 6-0. a) $ () - $ (): y b+ 7 - l= 0, innen (x; y) = b ; 0l. b) $ () + (): 0 =. Nincs megoldás. J --a N c), $ () - (): 0 = 0. Minden (x; y) = a; K 4 O, a! R számpár L P megoldás.

Egyenletrendszerek 79 0. a) Legyen a = x, b = y, ekkor ( ) a + b = ; ( ) a - 4b =-7. Innen (a; b) = ( - ; ), visszahelyettesítve (x; y) = ( - ; ). b) Legyen a = x +, b = y - 4, ekkor ( ) - 4a + 4b = 0; ( ) a + b = 4. Innen (a; b) = (; ), visszahelyettesítve (x; y) = (0;,). 0. a) Legyen a = x +, b = y y- x, ekkor ( ) 7a - = b; 0 ( ) a - b =. 7 J N J 7 9 N Innen (a; b) = K ;- 7 O, visszahelyettesítve (x; y) = ; K O. L P L P b) Legyen a = x - y +, b = x+ y+, ekkor ( ) 4a + b = ; ( ) a - b =. J N Innen (a; b) = (; ), visszahelyettesítve (x; y) = ; K O. L P c) Legyen a = x + y -, b = x - y +. Ekkor ( ) 4a - b =-; ( ) a - b = 6. Innen (a; b) = (4; 6), visszahelyettesítve (x; y) = (; ). 04. a) (x; y) = (-; 4), és x, y! Q. b) (x; y) = (6; 0), és - < y <. J N 0. a) (x; y) = ; K O, és x, y > 0. L P J N b) (x; y) = K - ; O, és x, y! Q*. K 7 7 O L P J N 06. a) (x; y) = ; K O, de ez nem megoldás, mert y < 0 nem teljesül. L P b) Nincs megoldás.

80 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek J N K - O 07. a) (x; y) = ;, és x! Q*. K + + O L P J 0 N b) (x; y) = ; K 794 97 O. L P J, a -, N c) Minden (x; y) = a; K 4, O számpár megoldás, ahol a! Z. L P d) (x; y) = (; ). Egyenletrendszerrel megoldható egyszerû szöveges feladatok 08. Jelölje a két számot x és y, ekkor () x + y = 0; () x - y = 0. A két egyenlet összeadása után x = 0, innen x =, ezt visszahelyettesítve y =. Megjegyzés: Ha az egyik számot a-val, a másikat (0 - a)-val jelöljük, akkor az egyenletrendszer helyett elég az a - (0 - a) = 0 egyenletet megoldani. 09. Jelöljük a lovon lévô zsákok számát x-szel, a szamáron lévôkét y-nal! Ekkor () y + =(x - ); () y - = x +. Az egyenletrendszer megoldása (x; y) = (; 7). 060. Elsô megoldás: Jelölje a csirkék számát c, a nyulak számát n; ekkor () c + n = (a fejek száma); () c + 4n = 66 (a lábak száma). () - $ ()-bôl n = 0, n = 0, s ekkor c =. Tehát csirke van több a kertben. Második megoldás (következtetéssel): Ha a kertben csirke lenne, lábaik száma 46 volna. Ha egy csirkét egy nyúlra cserélünk, a fejek száma nem változik, a lábak száma -vel nô. Mivel 66 lábnak kell lennie, így pontosan 0 nyúl van a kertben; kevesebb, mint csirke. Megjegyzés: Egyenletrendszer nélkül is célt érhetünk, ha a nyulak számát közvetlenül - c- vel jelöljük; ekkor c + 4( - c) = 66 a megoldandó egyenlet. 06. Jelölje a kétágyas szobák számát k, a háromágyasokét h! Ekkor () k + h = 7; () k + h = 76. Innen (k; h) = (40; ). A feladatot megoldhatjuk egyenlettel vagy következtetéssel is.

Egyenletrendszerek 8 06. Ha T m az egyik és T m a másik terület nagysága, akkor: () T$ - T$ = 00; () T + T = 800. Innen T = 00 m, T = 600 m. 06. Jelöljük a nagyobbik számot n-nel, a kisebbiket k-val! Ekkor () 0,n = 6 k + ; () n = k + 80. Innen (k; n) = (0; 8). 064. Legyen a keresett szám elsô számjegye a, a második b! Ekkor () 0a + b = a + b + 8; () a = b vagy b = a. ()-bôl a =, ()-bôl b = vagy b = 4, így két megfelelô szám van: és 4. 06. Legyen a keresett szám elsô számjegye x, a második y! Ekkor 0x + y = = (x + y) + 7, innen 8x = 7 + y. A bal oldalon álló szám osztható 8-cal, innen y = és y = 9, ekkor x = és x =. Tehát két megfelelô szám van: és 9. 066. Jelölje a kutyák számát k, ekkor a lakosok száma 400k. év múlva a kutyák száma,04 k, a lakosok száma 0,88 $ 400k. A keresett arány 088, $ 400k. 86, 4, tehát ennyi lakosra jut majd egy kutya. 04, $ k 067. Elsô megoldás (egyenletrendszerrel): Jelöljük az elsô számot x-szel, a másodikat y-nal! Ekkor () x + y =4,44; x () = y. 0 ()-bôl x = 0y, ezt ()-be beírva y = 4,44. Innen y =,64, x =,8. Második megoldás (egyenlettel): Ha az elsô szám tizedrésze a második kétszerese, akkor az elsô szám éppen hússzorosa a másodiknak. Legyen az elsô szám x x, a második ekkor 0, összegük x x 4 0, x + = 44. Innen x =,8 és = 64, 0 a két szám. Harmadik megoldás (egyenlettel): Jelöljük az elsô számot x-szel, ekkor a x második szám 4,44 - x. A feltétel szerint = $ ( 4, 44- x), innen a két 0 szám x =,8 és 4,44 - x =,64.

8 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek Többváltozós egyenletrendszerek 068. Az ismeretleneket fokozatosan kiküszöböljük. a) ()-bôl z = x + y - ; ha ezt behelyettesítjük ()-be és ()-ba, két egyenletbôl álló, kétváltozós egyenletrendszert kapunk. x - 6y +,(x + y - ) =, innen 6x +,y -, =, vagyis ( ) 6x +,y =,, és hasonlóan ( ) x + y =. Innen x =, y =, s visszahelyettesítés után z =. b) Elsô megoldás: ()-bôl x = - y - z, innen ( ) -4y - z =-, ( ) y + z = 6. Az egyenletrendszer megoldása (y; z) = (-; ), s ekkor x =-. Második megoldás: () + () összegbôl y =-, () - () különbségbôl 4y + z =, s innen z =. Végül visszahelyettesítés után x =--t kapjuk. 069. a) (x; y; z) = (; ; ). b) (x; y; z) = (0,; 4; ). 070. a) (x; y; z) = (,; -; 0). b) (x; y; z) = (; ; -). 07. a) (x; y; z) = (; ; 4). b) (x; y; z) = (; -,; -). 07. a) Nincs megoldás. Az a =, b = új változók bevezetésével az x - y egyenletrendszer ( ) a + b + z = 4; ( ) a + b + z =,; ( ) -a - b + z = 8, J N alakú lesz. Ennek megoldása (a; b; z) = ; 0 ; K O, innen x = és L P z = adódik, de = 0 nem lehetséges. - y b) Nincs megoldás, () és () ellentmondó egyenletek. 07. a) () =- $ (), így valójában két különbözô egyenlet adott három ismeretlennel. Ha az egyenletek nem tartalmaznak ellentmondást, akkor végtelen sok megoldást kapunk, mert az egyik változóval kifejezhetjük a másik kettôt. Pl. ha y-t és z-t fejezzük ki x-szel, akkor () + ()-bôl -y = - x, innen y = x - ; $ () + $ ()-bôl z = = x - 8. Az egyenletrendszer megoldásai az (x; y; z) = = (x; x - ; x - 8) számhármasok (x szabadon választható).

Egyenletrendszerek 8 b) () =- $ (). () - ()-bôl y = ; () + ()-bôl x + z = 4. Így pl. x-et z-vel kifejezve (x; y; z) = (4 - z; ; z), ahol z szabadon választható. 074. Az ún. ciklikus egyenletrendszerek esetén a hagyományos megoldási módszerek mellett egyéb eljárásokat is alkalmazhatunk. (Pl. az egyenletek összeadása után szimmetrikus egyenletet kapunk.) a) Az egyenleteket összeadva (x + y + z) = 4, innen x + y + z =, s rendre visszahelyettesítve (), (), ()-ba, z =, x =, y = 4. b) Az egyenleteket összeadva 0 = 0 azonosságot kapjuk. Ennek oka, hogy ()-bôl és ()-bôl következik (): () + () =-(). A három ismeretlenre csak két egyenlet adott, végtelen sok megoldás van. Pl. ()-bôl y = x -, ()-ból z = x +, így a megoldások (x; y; z) = (x; x - ; x + ), ahol x szabadon választható. - y - y 07. a) ()-bôl x = 6 - y, ()-bôl z =, ezt ()-ba helyettesítve + + (6 - y) =,. Innen y =, (x; y; z) = (; ; - 0,). b) Ha pl. x # y # z, akkor x + y # y + z; egyenlôség csak akkor teljesülhet, ha x = y = z. Ha pedig x # z # y, akkor z + x # y + z, s egyenlôség csak x = y = z esetében állhat fenn. Egymáshoz képest x, y, z nagyság szerint hatféleképpen helyezkedhet el; a fennmaradó 4 eset a fenti kettôhöz hasonlóan vizsgálható (logikailag szimmetrikus). Tehát a megoldás (x; y; z) = (,4;,4;,4). A hagyományos megoldási módszert is alkalmazhatjuk. Az elsô két egyenletbôl y-t kiküszöbölve 9z - 4x = 7, ezt ()-mal egybevetve z =,4 stb. 076. a) Legyen a = és b = z, ekkor az egyenletrendszer: x ( ) a - b =-; ( ) b - y =-,; ( ) y - a = -0,4. ( ) + $ ( )-bôl a - 4y =-,4, ennek -szeresét ( )-höz adva - 7y = =-,, innen y =,6, s visszahelyettesítve b =, a =. Megoldás: (x; y; z) = b;, 6; l vagy (x; y; z) = b;, 6; - l. b) () + () - ()-ból x + y + z = 8,, visszahelyettesítve rendre (), (), ()-ba y =,, z =, x =. c) () + () + () + (4)-bôl x + y + z + u = 0, innen (x; y; z; u) = (; ; ; 4). 077. Elsô megoldás: Jelölje a számokat x, y, z, ekkor () x + y + z = 680; () x = 0,y; () z = y. Innen 0,y + y + y = 680, y = 600, s ekkor x = 80, z = 900.

84 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek Második megoldás: Egyenletrendszer felállítása nélkül is megoldhatjuk a feladatot. Ha a középsô számot y jelöli, akkor az elsô szám 0,y, a harmadik y, s innen 0,y + y + y = 680 rögtön adódik. 078. Elsô megoldás (egyenletrendszerrel): Jelöljük a polcokon lévô könyvek számát rendre x, y, z-vel! Ekkor () x + y + z = 8, () y = x +, () z = x - 4. ()-t és ()-t ()-be helyettesítve x + x + + x - 4 = 8, s innen x = 4. A polcokon rendre 4, 0, 8 könyv van. Második megoldás (egyenlettel): Legyen az elsô polcon x számú könyv, ekkor a másodikon x +, a harmadikon x - 4 darab könyv van. Ekkor 6x - = 8, amibôl x = 4 adódik. Az elsô polcon 4, a másodikon 0, a harmadikon 8 könyv van. 079. Elsô megoldás: Ha a barátoknak rendre a, b, c, d darab bélyegük van, akkor () a = 4 + b + c + d a+ c+ d, () b = 4 +, () c = 4 + a + b + d a+ b+ d, (4) d = 4 +. Vezessük be az a + b + c + d = s jelölést, s adjuk össze az egyenleteket! Ekkor s = 6 + s, innen s = 40. ()-bôl a = 70 + s - a, a = 8. Hasonlóan számolhatjuk ki a többi változót is, így a jóbarátoknak fejenként 8 bélyege van. Második megoldás: () - ()-bôl a - b = b - a adódik, innen 6(a - b) = 0. Tehát a = b, s hasonlóan mutathatjuk meg, hogy a = c = d. () átalakítva a = 4 + a, innen a (= b = c = d) = 8. 080. Külsô pontból húzott érintôszakaszok hossza megegyezik (080. ábra), ezért () x + y = 0, () y + z =, () x + z = 4. 080. () + () + ()-ból (x + y + z) = 6, x + y + z = 8. Innen (x; y; z) = (4; 6; 8). Megjegyzés: A háromszög oldalait a, b, c-vel, félkerületét s- sel jelölve x = s - a, y = s - b, z = s - c.

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 8 Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 08. A paraméteres egyenleteket a paraméterek minden lehetséges értékére meg kell vizsgálnunk. a) Ha a = 0, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha a =Y 0, akkor x =. a b) Ha a = 0, akkor az egyenletnek minden valós szám megoldása. Ha a =Y 0, akkor x = 0. c) Ha a = 0, akkor. ha b = 0, akkor minden valós szám megoldás;. ha b =Y 0, akkor nincs megoldás. b Ha a =Y 0, akkor x =. a d) x(a - ) =-8. Ha a =, akkor az egyenletnek nincs megoldása. - 8 Ha a =Y, akkor x =. a - e) x(a - ) = b -. Ha a = és b =, akkor minden valós szám megoldás. Ha a = és b =Y, akkor az egyenletnek nincs megoldása. b - Ha a =Y, akkor x =. a - f) x(a + ) = 4(a + ). Ha a =-, akkor minden valós szám megoldás. Ha a =Y -, akkor x = 4. 08. a) x(a - ) = a -. Ha a =,, akkor az egyenletnek nincs megoldása. a - Ha a =Y,, akkor x =. a - b) x(a - ) = b -. Ha a =,, akkor. ha b =, akkor minden valós szám megoldás;. ha b =Y, akkor az egyenletnek nincs megoldása. b - Ha a =Y,, akkor x =. a - c) (a + )(a - )x = a +. Ha a =-, akkor minden valós szám megoldás. Ha a =, akkor az egyenletnek nincs megoldása. Ha a =Y - és a =Y, akkor x = a -. d) a(a + )x = (a + ).

86 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek Ha a = 0, akkor nincs megoldás. Ha a =-, akkor minden valós szám megoldás. Ha a =Y 0 és a =Y -, akkor x =. a e) a(a - )x = (a + )(a - ). Ha a = 0, akkor nincs megoldás. Ha a =, akkor minden valós szám megoldás. a + Ha a =Y 0 és a =Y, akkor x =. a 08. a) x = p -. x > 0, ha p > ; x = 0, ha p = ; x < 0, ha p <. b) x(p + ) =. Ha p =-, nincs megoldás. Ha p =Y -, akkor x =. x > 0, ha p > - ; x < 0, ha p < -. p + c) x(p - ) = p -. p - Ha p =, nincs megoldás; egyébként x =. Egy tört akkor pozitív, ha számlálója és nevezôje azonos elôjelû. Ezért: p - x > 0, ha p > vagy p < ; x = 0, ha p = ; x < 0, ha < p <. d) x(p - ) = p -. Ha p =, minden x valós szám megoldás, tehát a gyökök tetszôleges elôjelûek. Ha p =Y, akkor x =, a gyök pozitív. e) x(p - ) = p - 6. Ha p =, minden x valós szám megoldás, a gyökök tetszôleges elôjelûek. Ha p =Y, akkor x =, a gyök pozitív. f) x(p - ) = p - 9. Ha p =, akkor minden x valós szám megoldás, a gyökök tetszôleges elôjelûek. Ha p =-, akkor x = 0. Ha p =Y és p =Y -, akkor x = p +. Tehát: ha p > - (és p =Y ), akkor x > 0; ha p < -, akkor x < 0. 084. a) x =Y, ekkor ( - p)x = 7. Ha p =,, nincs megoldás. 7 Ha p =Y,, akkor x = - p. A kikötés miatt 7 =Y, innen - p p =Y - 0,. Tehát: x > 0, ha p >,; x < 0, ha p <,, de p =Y - 0,.

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 87 b) x =Y, ekkor ( - p)x = 7. Ha p =, nincs megoldás. 7 Ha p =Y, akkor x = - p. A kikötés miatt 7 =Y, innen p =Y -. - p Tehát: x > 0, ha p <, de p =Y -; x < 0, ha p >. c) Ha p =,, akkor x =- kivételével minden valós szám megoldás. Ha p =Y,, akkor x =-, a gyök negatív. d) x =Y -, ekkor x( - p) = p -. Ha p =, nincs megoldás. p - p - Ha p =Y, akkor x =. A kikötés miatt =Y -, innen - p - p p =Y. Tehát: x > 0, ha 0, < p < ; x = 0, ha p = 0,; x < 0, ha p < 0, vagy < p, de p =Y. 08. a) ()-bôl x = - ay, ezt ()-be beírva ( - ay) - 4y = 4, innen () y(4 + a) = 0. Ha a =Y -, akkor y = 0, x =. Ha a =-, akkor ()-ból y tetszôleges szám lehet, s ekkor x = + y. A megoldás tehát minden (x; y) = ( + y; y) alakú számpár. b) Az elôzô átalakításhoz hasonlóan eljárva y(4 + a) =-. 6a + 8 Ha a =Y -, akkor y = -, és pl. ()-bôl x =. a + a + Ha a =-, akkor nincs megoldás. 086. a) (x; y) = (a + ; a). b) (x; y) = (a; ). 087. a) () + () összegébôl x(a + ) = 6. Ha a =-, nincs megoldás. 6 Ha a =Y -, akkor x = a +, y = a- a. a + 4 b) x, y =Y 0; legyen u = x, v = y. Ekkor ( ) u + v = a; ( ) u - v = megoldása (u; v) = (a + ; a - ). Tehát: ha a =- vagy a =, nincs megoldás; J N ha a =Y!, akkor (x; y) =, K a+ a- O. L P

88 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 088. a) x, y =Y 0; legyen u = x, v = y. Ekkor ( ) u + v = a; ( ) u - v = b J a+ b a-bn megoldása (u; v) = ; K O. Tehát L P ha a = b vagy a =-b, nincs megoldás; J N ha a =Y ± b, akkor (x; y) = ; K a+ b a-bo. L P b) () a =Y ; a =Y -. J N $ () + ()-bôl x K a a - + = a + + - a + - a + a+ 8 O, x =. a - a + L P Ha a =-, nincs megoldás. Ha a =Y - (és persze () is teljesül), akkor (- a + a+ 8)( a- ) x =. ( a+ )( a+ ) 089. a) Ekkor () (ab + )y = b +. Ha b =-0,, akkor () jobb oldala 0, így. ha a = 0, minden (x; y) megoldás;. ha a =Y 0, akkor nincs megoldás. Ha b =Y - 0,, akkor () jobb oldala nem nulla, így. ha a = -, nincs megoldás; b b + 0 - a. ha a =Y -, y =, s ekkor x =. b ab + ab + b) () x, y =Y 0; legyen u =, v =. Ekkor x y ( ) au + bv = ; ( ) u - v = 4, innen (4) u(a + b) = 4b +. Ha b =-0,, akkor:. Ha a =,, akkor minden u kielégíti (4)-et, tehát (u; v) = = (u; u - 4) a megoldás, innen pedig () figyelembevételével J N (x; y) = ; K u u- 4 O, ahol u!y {0; - 0,8}. L P. Ha a =Y,, akkor nincs megoldás.

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 89 Ha b =Y - 0,, akkor. ha a =-b, akkor nincs megoldás; J 4b + 0-4a N. ha a =Y - b, akkor (u; v) = ; K a+ b a+ b O, s innen (x; y) = L P J a+ b a+ b N = ; K 4b + 0-4a O. L P 090. a) x + y + z = a +, így (x; y; z) = (a + ; - a; a - ). b) ()-bôl x = 4 - y, így ( ) az = 0; ( ) 4- y - z = a. Ha a = 0, akkor z tetszôleges lehet: (x; y; z) = ( + 0,z; - 0,z; z). J a+ 4 4 -a N Ha a =Y 0, akkor z = 0, s innen (x; y; z) = ; ; 0 K O. L P 09. a) y(4 - a) = 0. Ha a = 4, akkor y tetszôleges lehet, s ekkor végtelen sok megoldás van: (x; y) = ( - a; a), ahol a! R tetszôleges. Ha a =Y 4, akkor (x; y) = (; 0). b) y(a + ) = b - 7,. Végtelen sok megoldás van, ha (a; b) = (-; 7,); nincs megoldás, ha a =-, b =Y 7,. 09. a) y(0, -,b) = a - 0,. Végtelen sok megoldás van, ha (a; b) = (0,; 7); nincs megoldás, ha b = 7, de a =Y 0,. b) y(ab - 6) = 6b + 6. Végtelen sok megoldás van, ha (a; b) = (-; -6). Nincs megoldás, ha ab = 6, de b =Y -6. 09. a) y(ab - ) = ab - a -. Végtelen sok megoldás van, ha () ab = ; () ab - a - = 0. ()-bôl a =, ()-bôl b =. N Nincs megoldás, ha ab =, de a =Y. Ekkor (a; b) = Ja ; K a O, ahol L P a! R \ {0; } szabadon választható. b) y(ab - ) = ab - a - 4. Végtelen sok megoldás lenne, ha () ab = ; () ab - a - 4 = 0.

90 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek ()-bôl a = 0, () ellentmondó, tehát nem lehet végtelen sok megoldás. Nincs megoldás, ha ab =, mert a = 0 nem lehet. N Ekkor (a; b) = Ja ; K a O, a! R \ {0} tetszôleges. L P 094. a) y( + ab) =-ab +. Végtelen sok megoldás lenne, ha () + ab = 0; () -ab + = 0. ()-bôl 0 =, tehát nem lehet végtelen sok megoldás. J N Nincs megoldás, ha ab =-; (a; b) = a; - K a O, a! R \ {0} tetszôleges. L P b) y(a + ) =-a + 4a +. Végtelen sok megoldás nem lehet; nincs megoldás, ha a =-. 09. Ha a racionális számokkal a négy alapmûveletet végezzük, racionális r számot kapunk. Ha pedig r! Q \ {0}, i! Q *, akkor r + i, r - i, r $ i, egyaránt i irracionális. - a a) x =! Q, ha a! Q. - b) Nincs megoldás, x =! Q*. c) Ha pl. a =-, akkor x =,. J a N d) (x; y) = K ; 0 O. L P e) Csak akkor lehet megoldás, ha a! Q*. Pl.: a =, (x; y) = (0; ). a - f) Ha pl. y = 0 és a =Y 0, akkor x =, a! Q. a 096. a) x = p + >, ha p >. b) x( - p) = + p. p + 8 - p Ha p =, nincs megoldás; egyébként x = >, ha > 0. - p - p Egy tört értéke pozitív, ha számlálója és nevezôje azonos elôjelû, ezért p < vagy 8 < p.

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 9 c) x(p - ) = p - 6. Ha p =, akkor minden valós x megoldás, tehát vannak -nél kisebb gyökök is. Ha p =Y, akkor x =, ez megoldás. d) x =Y 4, ekkor ( - p)x =. Ha p =, nincs megoldás; ha p =Y, akkor x = - p. A kikötés miatt - p =Y 4, innen p =Y - 0,. Ekkor - p >, ha 7+ p > - p 0, vagyis -, < p <, de p =Y - 0,. e) x =Y -, ekkor ( - p)x = 7p - 8. 7p - 8 Ha p =, nincs megoldás; ha p =Y, akkor x =. A kikötés - p 7p - 8 7p - 8 miatt =Y -, innen p =Y - 0,. Ekkor >, ha - p - p 9p - 4 4 > 0, vagyis < p <. - p 9 - y 097. a) x = = - y - y, s mivel x és y pozitív egészek, ezért y a többszöröse. (x; y) = (6; ) vagy (x; y) = (; 6). + y b) ()-bôl x = 0 - y -, ezért y = k + alakú (k! N), s ekkor x = 8 - k. A megoldásokat az alábbi táblázatban soroltuk fel. k 0 4 x 8 9 6 y 7 9 ()-bôl x = 8 - y, a megoldások (k; 8 - k) alakúak, ahol k 8-nál kisebb pozitív egész szám. A két megoldáshalmaz uniója adja az összes megoldást. c) ()-bôl x = - y - y, innen y = k alakú (k! Z), s ekkor x = - 4k. Figyelembe véve az adott intervallumot, (x; y)-ra az alábbi megoldások adódnak: k 0 4 x 7 - y 0 6 9 ()-bôl y = x -, a megoldások (k; k - ) alakúak, ahol k! { - ; 0; ; ; ; ; 0}. A két megoldáshalmaz uniója adja az összes megoldást.

9 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 098/a. 098. a) Elsô megoldás: A feladatot visszavezethetjük elsôfokú paraméteres egyenlet megoldására. Ha x $ 0, akkor x = p - 4; innen p - 4 $ 0, p $. Ha x < 0, akkor -x = p - 4, vagyis x =-p + 4; innen -p + 4 < 0, p >. Tehát egyetlen megoldás van, ha p = (ekkor x = 0); és két megoldás van, ha p > (ekkor x = p - 4 vagy x =-p + 4. Második megoldás: Grafikus segítséget alkalmazunk. Az f: x 7uxu és g: x 7 p - 4 függvények képeibôl következtethetünk a metszéspontok (és így a megoldások) számára. A g függvény képe (p-tôl függôen) az x tengellyel párhuzamos egyenes, innen (098/a. ábra): ha p - 4 > 0, vagyis p >, akkor megoldás van; ha p - 4 = 0, vagyis p =, akkor megoldás van; ha p - 4 < 0, vagyis p <, akkor nincs megoldás. Megjegyzés: Általában a grafikus megoldást, ha lehetôségünk van, érdemes alkalmazni. b) ux - u = p -. Az f: x 7ux - u és g: x 7 p - ábrázolása alapján (098/b. ábra): ha p - > 0, vagyis p >, akkor megoldás van; ha p - = 0, vagyis p =, akkor megoldás van; ha p - < 0, vagyis p <, akkor nincs megoldás. c) Ha p - > 0, vagyis p > 0,, akkor megoldás van; ha p - = 0, vagyis p = 0,, akkor megoldás van; 098/b. 098/c.

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 9 ha p - <0, vagyis p < 0,, akkor nincs megoldás (098/c. ábra). d) Az f: x 7ux + u és g: x 7 px ábrázolása alapján (g képe az origón áthaladó, p meredekségû egyenes, 098/d. ábra): p értéke Megoldások száma p # - - <p <0 p = 0 0 < p # 0 < p e) 098/e. ábra p értéke Megoldások száma p < - - # p < 0 098/d. 098/e. p = < p < # p 098/f. f) 098/f. ábra: p értéke Megoldások száma p < - - # p < 0 p = végtelen sok (x $ ) < p

94 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 099/f. 099. a) x = p - > -, ha p >. Ekkor megoldás van, egyébként nincs megoldás. b) x(p + ) =. Ha p =-, nincs megoldás; egyébként x = p + < p + 7, ha < 0, vagyis - 7 < p < -. Ekkor megoldás van, p + egyébként nincs megoldás. p - c) x(p - ) = p -. p =Y, ekkor x = # 0, ha < p #. Ekkor p - megoldás van, egyébként nincs megoldás. d) x(p - ) = (p - ). Ha p =, minden x! R + megoldás; ha p =Y, akkor x = ; ekkor megoldás van. e) x(p - ) = (p + )(p - ). Ha p =, minden - < x < megoldás; ha p =Y, akkor x = p +. Ekkor megoldás van, ha - < p + <, vagyis ha - < p <. f) Ábrázoljuk az f: x 7 ux - u + ux + u és g: x 7 p függvényeket (099/f. ábra)! p értéke Megoldások száma p < 4 0 p = 4 végtelen sok ( - # x # ) 4 < p 099/g. g) 099/g. ábra p értéke Megoldások száma p < - 4 - # p < 0 p = 4 4 < p < # p

Paraméteres egyenletek, egyenletrendszerek 9 h) 099/h. ábra 099/h. p értéke Megoldások száma p # - - < p < - 0, p =-0, -0, < p < 0 p = végtelen sok (x $ ) < p 00. a) ()-bôl és ()-bôl (x; y) = (; ), ezt ()-ba helyettesítve k =. 7 b) ()-bôl és ()-ból (x; y) = (-,; 4,), ezt ()-be helyettesítve k =. 0. a) (p + ) x = 0. Ha p =Y -, egy megoldás van; ha p = -, akkor végtelen sok. b) Ha p =Y, egyetlen megoldás van; ha p =, végtelen sok. c) Ha p =Y, egyetlen megoldás van; ha p =, nincs megoldás. d) y( + p) = q - 8. Ha p =-, akkor. ha q = 4, végtelen sok megoldás van;. ha q =Y 4, nincs megoldás. Ha p =Y -, akkor egyetlen megoldás van. e) x(p - q) = p - q - 7. Ha p = q, nincs megoldás; ha p =Y q, egyetlen megoldás van. + p ( + ) 0. a) ()-bôl p! Q; x =! Q, ha p = 0. J J K N N Ekkor (x; y) = ;. O K K O O L L P P b) ()-bôl p! Q; ekkor ()-bôl y = 0 lehet csak. Innen 6 + p = p, p = 6; (x; y) = (9; 0). c) ()-bôl p! Q; ekkor ()-bôl y = 0; innen + p = p +, de ez ellentmondás. Nincs megoldás.

96 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek d) () - ()-bôl y b + l= - - p, innen y = Gyöktelenítés után b - -gyel bôvítünko - - p. + y = p b- l+ - = ( - p) + p -. A feltétel szerint p racionális, így csak p = lehetséges (egyébként y irracionális lenne), s ekkor (x; y) = (,; - ). Szöveges feladatok 0. Ha a keresett szám x, akkor x + 0,x + 0x + = 467,, innen x =. 04. Jelöljük az arányossági tényezôt x-szel, ekkor az egyik szám x, a másik x. A feltétel szerint x + x =, innen x =, a keresett számok x = 6 és x =. 0. A terület 0 6 $ 0,4 = 4 $ 0 mm = 40 dm. 06. Ha egy alkalmazott hetente 60 játékot készít el, akkor egy munkanap alatt, egy óra alatt, játékot készít átlagban. A négy alkalmazott 8 órás munkanapokat számítva 4 $, $ 8 $ = 40 darabot tud készíteni, tehát túlórázni kell. 0 órás munkanapokat számítva 00 darab készíthetô, tehát 0 darabot a vállalkozónak is készítenie kell. 07. Elsô megoldás: Jelölje x a versenyzôk létszámát, ekkor x+ + x= x. Innen x = 6, s Anna a. helyezett lett. Második megoldás (következtetéssel): A versenyzôk 6 -a Anna elôtt, 6 -a pedig mögötte ért célba, így a versenyzôk 6 -a maga Anna. 6 versenyzô volt, Anna a. 08. A vonat 00 métert halad, amíg az eleje eléri és a vége elhagyja a hidat, 00 így v = = 00 (m/perc). A vonat sebessége 7 km/h. 0, 09. Legyen a téglalap két oldala a és b! Ekkor (a - )(b + ) = ab - 6, innen,a = b. A téglalap egyik oldala másfélszerese a másiknak. 0. Tekintsük az alábbi táblázatot: Egyjegyû szám -tôl 9-ig 9 darab 9 számjegy 9 oldal Kétjegyû szám 0-tôl 99-ig 90 darab 80 számjegy 99 oldal Háromjegyû szám 00-tól 999-ig 900 darab 700 számjegy 999 oldal A háromjegyû számok közül csupán 600 - (80 + 9) = 4 számjegy kell, ez 4 = 7 oldalt jelent. A könyv tehát összesen 9 + 90 + 7 = 6 oldalas.

Szöveges feladatok 97. A feladat kitûzôje valószínûleg a négyzetek oldalainak hosszára volt kíváncsi. Jelöljük az egyik négyzet oldalát a-val, akkor a másik oldala a. Az egyenlet: 4 J N a + a K = 00 4 O, a megoldás: a = 8; tehát a négyzetek oldala 8, illetve 6 L P egység.. A kitûzött utat jelöljük s-sel, ekkor s $ $ 0, = 0, innen s = 60 (km). A hátralévô 0 km 40%-át, azaz 0 km-t 0 perc alatt teszi meg a teherautó. x. Ha a tört, akkor x háromjegyû négyzetszám, tehát x valamely 6 x négyzetszám -szerese. Az alábbi táblázatból leolvasható a két megoldás. x 44 99 x 484 089 a tört 66 0 64 Ha x $ 99, akkor x legalább négyjegyû. B 4. $ 00 százaléka. A. Elsô megoldás: Jelölje az osztálylétszámot x, ekkor 0,x a jelesek és 0,7x a jelestôl különbözô osztályzatúak száma. A feltétel szerint (0,x - 4) = 0,7x + 4, innen x = 0 fô az osztálylétszám. Második megoldás: Ha ötször annyi tanulónak lett volna jelestôl különbözô osztályzata, mint ahány jeles lett volna, akkor az osztálylétszám 6 többszöröse. Az osztálylétszám 0%-a egész szám, ezért az osztálylétszám 0 többszöröse is. 6 és 0 legkisebb közös többszöröse 0, ez megoldást is ad. 0 nagyobb többszöröseire a nem jelesek és jelesek aránya csökken K J 7 N -hoz közelít O, más megoldás nincs. (Egyébként is helyesebb ilyen nagy létszámoknál osztályok helyett L P pl. évfolyamokról beszélni.) 6. Ha a résztvevôk számát n jelöli, akkor 0,6n + 0,6n - 9 = n, hiszen kétszer számoltuk azokat a versenyzôket, akik mindkét feladatot megoldották. (Másképpen: 0,6n - 9 + 0,6n - 9 + 9 = n.) Innen n = 4, ennyien vettek részt a versenyen. 7. Ha a ruha x tallért ért, akkor egyévi munkabér 00 + x, héthavi munkabér ( 00 + x), innen ( 00 + x) = 0 + x. A ruha x = 9 tallért ért. 7 7

98 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek 8. a) Ha a gondolt szám x, a mûveletek elvégzése után y = ((x + 4) - - - x) - = 4x + -et kapunk. Ha tehát a társ elárulja y-t, akkor x = y -. 4 b). 9. Ha a gondolt szám x, akkor a mûveletek elvégzése után az eredmény ( x + 8) -4 - x - 4 = mindig, x-tôl függetlenül. Azonosságot kaptunk, a gondolt számot nem lehet kitalálni. 0. a) Jelölje a három szomszédos számot x, x +, x +. Ekkor x + = 600, x = 99, a keresett számok 99, 00, 0. Megjegyzés: Kicsit elegánsabb, ha a három számot y -, y, y + -gyel jelöljük; ekkor összegük y = 600, innen a középsô szám y = 00. b) x + x + + x + + x + = 600, x = 48,; nincs megoldás. Más megoldási lehetôség: Négy szomszédos egész szám maradékai 4- gyel osztva - valamilyen sorrendben - 0,,,. Összegük maradéka, míg 600 maradéka 0, tehát nincs megoldás.. Jelölje a páros számokat x -, x, x + ; ekkor a közöttük lévô páratlan számok x - és x +. Innen a) x - + x + x + - (x - + x + ) = 004, x = 004. A három páros szám 00, 004, 006. b) x - + x + x + - (x - + x + ) = 00, x = 00. Nincs megoldás, mert x páratlan.. Jelöljük a két számot x-szel, illetve y-nal, ekkor () x + y = 79; () x = 0y. Innen (x; y) = (690; 69).. Elsô megoldás: Ha az eredeti szám ab alakú (a, b számjegyek), akkor () a + b = ; () 0a + b - (0b + a) = k, (k! N + ). ()-bôl 0a + b - (0b + a) = 9(a - b) = k, innen a - b! {; 4; 9} lehet csak. () miatt a - b = 4, a = 8, b = 4, a négyzetszám k = 84-48 = 6. Tehát az eredeti szám 84. Második megoldás: ab! {9, 84, 7, 66}, a négy eset közül ellenôrzéssel választhatjuk ki a megfelelôt. 4. Ha az eredeti szám ab alakú (a, b számjegyek), akkor a) () a + 4 = b; () 0b + a - (0a + b) = 7. Ekkor 0(a + 4) + a - (0a + (a + 4)) = 7, innen 6 = 7, ellentmondást kapunk. Nincs ilyen szám.