Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy K[x] egységelemes kommutatív gyűrű, de nem test; míg K(x) test. 1.2. Feladat. Döntsük el, hogy a komplex számok körében a szokásos műveletekkel testet alkotnak-e az alábbi halmazok? a. {a + bi a, b Q}; b. {a + b 4 2 a, b Q}; c. {a + b 3 3 + c 3 9 a, b, c Q}. 1.3. Feladat. Határozzuk meg, hogy mely n > 1 egész számokra lesz a Z n gyűrű test. 1.4. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy p karakterisztikájú test tetszőleges a, b elemeire teljesül az (a + b) p = a p + b p egyenlőség, tehát az x x p leképezés homomorfizmus. 1.5. Feladat. Határozzuk meg Q, R, C és az 1.3. Feladatban szereplő testek prímtestét. 1.6. Feladat. Mutassuk meg, hogy egy K test bármely automorfizmusa fixen hagyja K prímtestének elemeit. 1.7. Feladat. Határozzuk meg az alábbi tesbővítések fokát: a. Q( 3 3) Q; b. Q( 7 3) Q( 7 9); c. Q( 4 2) Q( 2); d. Q( 2, 7) Q; e. Q( 15 + i 14) Q. 1.8. Feladat. A 10 és az 5 2 2 5 elemek közül melyek primitívek a Q( 2, 5) Q testbővítésben? 1.9. Feladat. Keressünk primitív elemet az alábbi tesbővítésekben: a. Q( 3, 5) Q; b. Q( 5, 3 5) Q. 1

1.10. Feladat. Keressük meg az alábbi komplex számok minimálpolinomját Q felett: a. 3 3 7; b. 2 i 5; c. 2 3 3. 1.11. Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges u, v pozitív egész számokra Q( u) = Q( v) pontosan akkor teljesül, ha uv négyzetszám. 1.12. Feladat (2 pont). Határozzuk meg az alábbi tesbővítések fokát: a. Q( 3 1 2) Q; b. Q( 3 7 5 2) Q. 1.13. Feladat (2 pont). Legyen chark = 0, L K tetszőleges testbővítés és α, β L. Ha m α és m β gyökei rendre α = α 1,..., α s és β = β 1,..., β t, valamint a c K elemre α + cβ = α i + cβ j csak i = j = 1 esetén teljesül, akkor K(α + cβ) = K(a, b). 2. Gyakorlat 2.1. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges p karakterisztikájú véges test esetén az x x p leképezés automorfizmus. 2.2. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy véges testnek nincs két különböző, azonos elemszámú részteste. 2.3. Feladat. Legyenek K L véges testek. Tegyük fel, hogy K = p m és L = p n. Mutassuk meg, hogy m n. 2.4. Feladat. Mutassuk meg hogy tetszőleges n és m n pozitív egész számok esetén a p n elemű testnek van p m elemű részteste. 2.5. Feladat. Határozzuk meg a megadott elemek multiplikatív rendjét az alábbi véges testekben, és döntsük el, hogy ezek közül melyek ciklikus generátorok és melyek nem: a. Z 2 [x]/(x 4 + x + 1): x + 1, x 2 + x; b. Z 3 [x]/(x 2 + 1): x, x 1. 2.6. Feladat. Határozzuk meg a megadott elemek inverzét az alábbi véges testekben: a. Z 3 [x]/(x 2 + 1): 2, x + 1; b. Z 5 [x]/(x 2 2x 2): x, x + 2. 2

2.7. Feladat. Keressük meg a megadott elemek minimálpolinomját az alábbi véges testekben: a. Z 2 [x]/(x 4 + x + 1): x 2 + x, x 3 + 1; b. Z 5 [x]/(x 2 2x 2): x 1, x + 2. 2.8. Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy minden K véges testre és minden n pozitív egész számra van n-edfokú, K felett irreducibilis polinom K[x]-ben. 2.9. Feladat (2 pont). Mutassuk meg, hogy ha L K tetszőleges testbővítés és α L páratlan fokú algebrai elem K fölött, akkor α 2 is az, és K(α) = K(α 2 ). 2.10. Feladat (2 pont). Legyen K(α) a K test egyszerű transzcendens bővítése és L közbülső test: K L K(α). Mutassuk meg, hogy K(α) egyszerű algebrai bővítése L-nek. Határozzuk meg K(α) azon elemeit, amelyek algebraiak K felett. 2.11. Feladat (3 pont). Van-e olyan p karakterisztikájú test, amelyben az x x p leképezés NEM automorfizmus? 2.12. Feladat (2 pont). Legyen K véges test. Mely pozitív egész n számokra teljesül, hogy az x n a polinomnak van gyöke K-ban az összes a K elemre? 2.13. Feladat (4 pont). Legyen K véges test. Mely pozitív egész n számokra teljesül, hogy az x x n leképezés automorfizmus? 3. Gyakorlat 3.1. Feladat. Mathematica segítségével oldjuk meg a 2.5. és 2.6. Feladatokat. 3.2. Feladat. Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami tetszőleges véges testben meghatározza bármely nem 0 elem multiplikatív rendjét / multiplikatív inverzét. 3.3. Feladat (2 pont). Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami megoldja a 2.7. Feladatot (tetszőleges véges tesben bármely elemnek kiszámolja a prímtest feletti minimálpolinomját). 3.4. Feladat (2 pont). Mathematica segítségével készítsünk olyan függvényt, ami adott (p, n) input esetén felsorolja a p (prím) elemszámú test felett az összes n fokszámú irreducibilis polinomot. 3

4. Gyakorlat 4.1. Feladat. Legyen p = 19, q = 23, m = pq és jelölje s és t az RSA algoritmusban szereplő két kulcsot. Számoljuk ki a hiányzó paramétereket (m, ϕ(m), t), ha s = 101. Hány bites az így kapott kód? 4.2. Feladat. Whitefield (Diffie) es Martin (Hellman) titkos kulcsot szeretnének generálni. Kiválasztanak egy szimpatikus prímszámot: 17, keresnek hozzá egy primitív gyököt: 3. Whitefield titkos száma: 4, Martin titkos száma: 5 lesz. Számoljuk ki a közösen generált titkos kulcsot. 4.3. Feladat. Ha egy n összetett számra a n 1 1 mod n teljesül, akkor az n-et a alapú álprímnek nevezzük. Igazoljuk, hogy a 341 kettes alapú álprím, de nem hármas alapú álprím. 4.4. Feladat. Ha egy n összetett számra a n 1 1 mod n minden (a, n) = 1 esetén teljesül, akkor az n-et univerzális álprímnek (vagy Carmichael-számnak) nevezzük. Igazoljuk, hogy az 561 univerzális álprím. 4.5. Feladat. Mutassuk meg, hogy egy univerzális álprímnek legalább három prímosztója van (ld. 4.7. Feladat). 4.6. Feladat. Adjunk becslést arra, hogy az alábbi műveletek hány lépésben számíthatók ki, ahol egy lépés két szám összeadását, kivonását, szorzását vagy maradékos osztását jelenti: a. a b maradéka modulo m; b. az a és b legnagyobb közös osztója; c. az ax + by = c lineáris diofantikus egyenlet megoldása; d. az ax c mod b kongruencia megoldása. 4.7. Feladat (3 pont). Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges n összetett számra az alábbi három feltétel ekvivalens. a. Az n univerzális álprím. b. Az n négyzetmentes, továbbá tetszőleges p prímszámra ha p n, akkor p 1 n 1. c. Bármely a számra a n a mod n. 4.8. Feladat (2 pont). Keressünk hatékony eljárást log k n és k n kiszámítására (k > 1 rögzített, n 1 tetszőleges egész szám). Az előző eredményeket felhasználva mutassuk meg, hogy létezik hatékony eljárás, ami eldönti, hogy egy szám hatványszám-e. 4.9. Feladat (3+2 pont). Tegyük fel, hogy van hatékony algoritmus, ami feltöri az RSA kódolást: a nyilvános kulcs (m és s) ismeretében meghatározza a titkos kulcsot (t). a. Mutassuk meg, hogy ezt az algoritmust használva meghatározható (p 1)(q 1). b. A fentiek segítségével faktorizáljuk m-et, azaz határozzuk meg p-t és q-t. 4

5. Gyakorlat Kiselőadás: Jacobi szimbólum (kb. 30 perc) 5.1. Feladat. Számítsuk ki az alábbi Jacobi-szimbólumokat: ( ) ( ) ( ) 1234567 31 589,,. 225 95 1999 5.2. Feladat. Döntsük el, melyik megoldható az alábbi kongruenciák közül (11131 és 3659 prímszámok): x 2 1113 (mod 11131), x 2 23 (mod 3659). 5.3. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím és p = a 2 +b 2, akkor az alábbi kongruenciák közül legalább az egyik megoldható: x 2 a (mod p), x 2 b (mod p). 5.4. Feladat (2 pont). Határozzuk meg az alábbi Jacobi-szimbólum értékét: ( ) m+1 2, m > 2 páratlan szám. m 5.5. Feladat (2 pont). Bizonyítsuk be, hogy ha x tetszőleges egész szám, akkor 12x 2 +1 prímosztói 6k + 1 alakúak. 6. Gyakorlat Kiselőadás: Solovay Strassen prímteszt (kb. 30 perc) Korábbi feladatok megoldása 7. Gyakorlat Zárthelyi dolgozat (90 perc) 8. Gyakorlat 8.1. Feladat. Legyen K véges test. Bizonyítsuk be, hogy minden f : K K függvény polinomfüggvény; azaz létezik olyan p(x) K polinom, amelyre p(a) = f(a) minden a K elemre. 5

8.2. Feladat. Lássuk be, hogy a kúpszeletek (kör, ellipszis, parabola, hiperbola) R 2 affin varietásai. 8.3. Feladat. Lássuk be, hogy a gömb, az ellipszoid, a paraboloid és a hiperboloid R 3 affin varietásai. 8.4. Feladat. Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy tetszőleges n pozitív egész szám esetén K n minden véges részhalmaza affin varietást alkot. 8.5. Feladat. Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy K n affin varietásai (disztributív) hálót alkotnak. 8.6. Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok affin varietást alkotnak: a. {(t, t 2, t 3 ) : t K} K 3 ; b. R 2 azon pontjai, melyek (r, ϑ) polárkoordinátái kielégítik az r = sin ϑ egyenlőséget. 8.7. Feladat. Igazoljuk, hogy az alábbi halmazok nem alkotnak affin varietást (ld. 8.11. Feladat): a. {(z, w) C 2 : z 2 + w 2 = 1} C 2 ; b. {(cos t, sin t, t) : t R} R 3. 1. ábra. {(t, t 2, t 3 ) : t R} és {(cos t, sin t, t) : t R} 8.8. Feladat (2 pont). Legyen K tetszőleges test. Mutassuk meg, hogy K[x] végtelen sok irreducibilis (fő)polinomot tartalmaz. 8.9. Feladat (2 pont). Mutassuk meg, hogy minden algebrailag zárt test végtelen. 8.10. Feladat (2 pont). Legyen K végtelen test és tekintsük a K[x 1,..., x n ] polinomgyűrűt. Mutassuk meg, hogy az f K[x 1,..., x n ] polinomra f = 0 pontosan akkor teljesül, ha az általa meghatározott f : K n K polinomfüggvény az azonosan nulla függvény. 8.11. Feladat (3 pont). Legyen f K[x, y] n-edfokú polinom. Tegyük fel, hogy C = V (f) és L C tetszőleges K 2 -beli egyenes. Igazoljuk, hogy ekkor C L n. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be a feladat állítását kettő helyett magasabb dimenzióra. 6

9. Gyakorlat 9.1. Feladat. Igazoljuk, hogy R 2 azon pontjai, melyek (r, ϑ) polárkoordinátái kielégítik a megadott egyenlőséget, affin varietást alkotnak: a. r = sin(3ϑ); b. r 2 = sin 2 (2ϑ). 2. ábra. r = sin(3ϑ) és r = sin(2ϑ) 9.2. Feladat. Legyen a R rögzített szám. Mutassuk meg, hogy az alábbi paraméteres egyenletekkel megadott görbe (sztrofoid) affin varietás: x = a sin t, y = a(tan t)(1 + sin t). 9.3. Feladat. Keressünk algebrai paraméterezést a V (x+2y 3u+v+1, x+y+u v 2) R 4 affin varietáshoz. 9.4. Feladat. Keressünk algebrai paraméterezést a V (y x 2, z x 3 ) R 3 affin varietáshoz, valamint a hozzá tartozó érintőfelülethez. 9.5. Feladat (2 pont). Legyen Φ: R n R n, x xa + b affin transzformáció (A R n n, b R n ), V R n affin varietás. Melyik lesz (mindig) affin varietás az alábbi halmazok közül: a. Φ(V ) = {Φ(a) : a V }; b. Φ 1 (V ) = {a R n : Φ(a) V }? 9.6. Feladat (2+2 pont). Keressünk algebrai paraméterezést az alábbi R 2 -beli affin varietásokhoz. 7

a. V (x 2 + y 2 1); b. V (x 2 y 2 1). 9.7. Feladat (2 pont). Legyen a R rögzített szám. Keressünk algebrai paraméterezést a V ((a x) 3 (a + x)y 2 ) affin varietáshoz (cisszoid). 3. ábra. Sztrofoid és cisszoid (a = 1) 10. Gyakorlat 10.1. Feladat. Írjuk fel az R kommutatív egységelemes gyűrű (x 1,..., x n ) R ideáljának egy általános elemét. 10.2. Feladat. Mutassuk meg, hogy Z és K[x] tetszőleges K testre főideálgyűrű. 10.3. Feladat. Mutassuk meg, hogy Z[x] Noether-gyűrű, de nem főideálgyűrű. 10.4. Feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha R kommutatív (egységelemes) gyűrű, és R[x] Noether-gyűrű, akkor R is az. 10.5. Feladat. A K = R, C és Z 2 testek esetén határozzuk meg a {(0, 0)} és K varietásokhoz tartozó ideálokat: I({(0, 0)})-t és I(K)-t. 10.6. Feladat. Legyen R egységelemes kommutatív gyűrű. és I R tetszőleges ideál. Lássuk be, hogy a. I I R minden I R; b. I J = I J minden I, J R. 10.7. Feladat. Határozzuk meg a (360) Z ideál radikálját. 10.8. Feladat. Tetszőleges f C[x] polinomra határozzuk meg az (f) C[x] ideál radikálját. 8

10.9. Feladat. Legyen K = R vagy C. Igazoljuk a következő állításokat: a. IV (x 2 + y 2 ) = (x 2 + y 2 ) teljesül, ha K = C és nem teljesül, ha K = R. b. IV (x 2, y 2 ) = (x 2, y 2 ) = (x, y) K = C és R esetén is. 10.10. Feladat (4 pont). Minden pozitív egész n számra keressünk Z[x] ideáljai között olyant, amelyik generálható n elemmel, de nem generálható kevesebb, mint n elemmel. 10.11. Feladat (2 pont). Rögzítsünk egy p prímszámot. Legyen R azon racionális számok halmaza, amelyek felírhatók r/s alakban, ahol 2 s. Mutassuk meg, hogy R (egységelemes) részgyűrűje a racionális számok halmazának. Határozzuk meg R összes ideálját és radikálideálját. 10.12. Feladat (2 pont). Definiáljuk az R (egységelemes, kommutatív) gyűrű I és J ideáljainak szorzatát a következőképpen. Legyen IJ az {ab a I, b J} halmaz által generált ideál. Mutassuk meg, hogy IJ I J tetszőleges I, J R ideálokra teljesül, de IJ = I J nem minden esetben áll fenn. [Gondolhatunk R-re, mint n változós polinomgyűrűre.] 10.13. Feladat (2 pont). Az előző feladat jelöléseit használva, mutassuk meg, hogy IJ = I J tetszőleges I, J R ideálokra teljesül. [Gondolhatunk R-re, mint n változós polinomgyűrűre.] 11. Gyakorlat 11.1. Feladat. Számoljuk ki az alábbi polinompárok s-polinomját a lexikografikus rendezésre nézve, ha x > y > z. a. f = 4x 2 z 7y 2 és g = xyz 2 + 3xz 4 ; b. f = xy + z 3 és g = z 2 3z. 11.2. Feladat. Mutassuk meg, hogy az {y x 2, z x 3 } Q[x, y, z] polinomhalmaz a. nem Gröbner-bázis a lexikografikus rendezésre nézve, ha x > y > z; b. Gröbner-bázis a lexikografikus rendezésre nézve, ha y > z > x. 11.3. Feladat. Keressünk (minimális/redukált) Gröbner-bázist az alább megadott F Q[x, y] polinomhalmazhoz. a. F = {x 2 y 1, xy 2 x}; b. F = {x 2 + y, x 4 + 2x 2 y + y 2 + 3}. 11.4. Feladat. Döntsük el, hogy az alább megadott f R[x, y] polinomra és G R[x, y] Gröbner bázisra teljesül-e f (G). 9

a. f = x 2 + xy + y 2 és G = {x + y, y 2 }; b. f = x 3 + x 2 y 2 + y 3 és G = {x 3 y 2, y 3 }. 11.5. Feladat. Döntsük el, hogy az alább megadott f polinomra és F polinomhalmazra teljesül-e f (F ). a. f = x 3 + x 2 y 2 + y 3 C[x, y] és F = {x 3 y 2, y 3 } C[x, y]; b. f = yz C[x, y, z] és F = {y x 2, z x 3 } C[x, y, z]. 12. Gyakorlat Korábbi feladatok megoldása 13. Gyakorlat Zárthelyi dolgozat (90 perc) 10