MECHANIKA. félév 006
Munka-,, tűz-,, polgá-,, vagyonvédelm oktatás
t a t a l o m j e gy z é k Bevezetés a fzka tágya, helye a tem.tudományok köében, a fzka megsmeés folyamata és módszee, a fzka mennységek jellege, métékendszeek, alapmennységek Knematka anyag pont egyenes vonalú és göbe vonalú mozgása egyenletes és egyenletesen változó mozgások meev testek mozgása Dnamka Newton tövénye, mpulzus, eő alapvető fzka kölcsönhatások (eőtövények) munka, enega ég mechanka mozgó vonatkoztatás endsze specáls elatvtáselmélet pontendsze mechankája meev testek defomálható testek ezgések, hullámok hangtan
odalom :. Budó Á.: Kísélet Fzka I.. Holcs L.: Fzka I-II. 3. középskolás fzka tankönyvek 4. Öveges könyvek 5. Tasnád-Béces-Skapts-Ltz: Mechanka I-II + Hőtan előadás + számolás gyakolat + labo nem kötelező kötelező kötelező vzsga gyak.jegy gyak.jegy
a fzka helye a temészet- tudományok köében élettelen temészet vzsgálata cél: a temészet jelenségek tanulmányozása, objektív tövények megsmeése, ezek évényesség hatáanak vzsgálata, és a tövények gyakolat alkalmazása de : kéma, földtudomány, csllagászat s ntedszcplnás alkalmazások (pl. kstályok vzsgálata)
a fzka megsmeés folyamata konkét általános általános konkét nduktív deduktív megfgyelés spontán tapasztalás (alma leesk a fáól) tudatos kíséletezés méés a fzka jelenségek vzsgálata mesteséges köülmények között kezdet feltételek egyszee csak egy fzka mennységet változtatunk mközben egy másk változását egsztáljuk (ejtegetős kíséleteket végzünk)
megfgyelés következtetés : a Föld vonzza a több testet modell / elmélet alkotás : Newton-féle gavtácós tövény hpotézs / jóslás : vajon bámelyk két test vonzza egymást? (fzka mennységek között összefüggések) újabb kísélet, megfgyelés gen
a fzka mennységek jellege skalá szám : csak nagysága van pl. tömeg vekto szám + ány : nagyság + ány s pl. eő de más jellegű mennység s van még (pl. mechanka feszültség) + métékegység a különböző egységek nem hasonlíthatók össze!!! műveletek vektookkal (+, -, skaláal szozás, skalás szozás, vekto szozás) öszeadódó (extenzív) kegyenlítődő (ntenzív) mennységek pl. tömeg pl. hőméséklet
métékendszeek, alapmennységek általában SI : alapegységek: hosszúság, méte [m] tömeg, klogamm [kg] dő, másodpec [s] elektomos áameősség, ampe [A] hőméséklet, kelvn [K] anyagmennység, mól [mol] fényeősség, kandela [cd] kegészítő egységek: síkszög, adán [ad] tészög, szteadán [s] számaztatott egységek: az alap- és kegészítő egységekből algeba műveletekkel pl : sebesség [ m / ], eő [kg.m / ],
nem SI-egységendszeek (pl USA): nch, coll, hüvelyk, láb, méföld, gallon, Fahenhet, stb előtétszavak: exa E 0 8 peta P 0 5 tea T 0 gga G 0 9 mega M 0 6 klo k 0 3 hekto h 0 deka da 0 dec d 0 - cent c 0 - mll m 0-3 mko µ 0-6 nano n 0-9 pko p 0 - femto f 0-5 atto a 0-8
pl : ggawatt, megawatt eőművek teljesítménye klowattóa háztatások enegafogyasztása klogamm pl, alma, kenyé, stb tömege klométe távolság de pl. a számítástechnkában klo 0 04! hektolte hodók űtatalma declte ksebb edények űtatalma centlte még ksebb űtatalom decméte, cm, mm, nm távolságok cg, mg, µg ks tömegek az ezektől ksebb ll. nagyobb egységek az atom és még ksebb méettatományban előfoduló távolságok és enegák jellemzésée használatos
egyéb, nem SI, de használt métékegységek: fok, pec, másodpec (szögméés) π ad 80 o angstöm (Å) 0-0 m fényév (távolság!!!) 9.46. 0 km hektá (ha) 00 m 00 m lte (l) dm 3 mázsa (q) 00 kg tonna (t) 000 kg óa, pec, másodpec (dőméés; és év, nap, hónap, stb ) km/h 3.6 km/h m/s atmoszféa (atm) 035 Pa ba, mba 0 5 Pa kalóa (cal) 4.868 J klowattóa (kwh) Wh 3600 J lóeő (LE) 736 W celsus fok 0 C o 73 K stb.
MECHANIKA knematka a mozgás leíása a szemlélő szemszögéből. nem kees okokat. pálya elmozdulás, elfodulás sebesség, szögsebesség gyosulás, szöggyosulás mozgások vzsgálata ( helyváltoztatás) dnamka a mozgásfajták, a változások okat vzsgálja. tömeg, tehetetlenség nyomaték eő, fogatónyomaték lendület, pedület enega vonatkoztatás endsze : koodnátaendsze
koodnátaendsze : háom, nem egy egyenesen levő ponthoz lehet vszonyítan vagy az ezeke llesztett tengelyekhez : z y C A B x x-y-z jobbsodású endsze legyen pl. egy meev testen kjelölhetjük ezeket a pontokat
földajz hely megadása: ogó a Föld kp.-ja z-tengely a Sakcsllag felé mutat, az yz sík átmegy a Geenwch angol falu csllagvzsgálóján munkadaabon fuandó lyuk helyének megadása: a munkadaab éle a koodnáta-tengelyek (tevajz) épületek, stb deékszögű koodnátaendsze: pont helyzete az yz, zx és xy síktól mét távolságok (vagys az x-, y- és y-tengelyeke vett meőleges vetületek)
z vagy pedg polákoodnáták: z ϑ polászög φ azmutszög (földajzban ez a hosszúság fok, a szélesség fok pedg a ϑ pótszöge) x ϑ φ y y x x snϑ cosφ y snϑ snφ z cosϑ
sok, ehhez képest nem mozgó újabb kood.dsz. s megadható vonatkoztatás endsze nem kell anyaghoz hozzáendeln pontszeű testek pl. Föld a Nap köül, v. vonat BP és NyH között pontendszeek pl. felobbanó bomba epesze, tüzjáték, meev testek pl. fogó pögettyű, falhoz támasztott léta, hétköznap életünk soán a vonatkoztatás endsze a Föld (eltekntünk a fogástól)
knematka mozgás jellemzése : mlyen pályán mozog menny dő alatt menny utat tett meg, vagy : mekkoa elmozdulása van dő, dőtatam, dőpllanat, esemény dő két esemény között dőtatam dőméés : peodkus folyamatok alapján ( óák ) pl. csllagok jáása, homokóa fodítgatása, stb Galle (583) : ngalengések egyenlő dőtatamúak első ngaóa (kevésbé pontos óák má előtte s voltak)
a legégebb mechanka dőméő szekezet 386, Angla legpontosabb óa atomóa (Cs) dő egysége : másodpec s 9963,770 Cs-ezgés
távolságméés : a méte-etalonnal való összehasonlítás alapján ( vonalzók ) végpontok összellesztése, 0 jelzés ha nem lehet egymás mellé tenn: leolvasás páhuzamos fénysugaakkal (tüköskála) szem
leolvasás pontosságának növelése : optka eszközök fnommechanka (csavamkométe), nónusz méés pontatlanságok pl : l (3,46 ± 0,07) cm labo
mozgás jellemzése : z t A (x A, y A, z A ) AB elmozdulás B t > t út (s) (x B, y B, z B ) pálya A B O y x vonatkoztatás endsze : Descates-féle jobbsodású koodnáta endsze
y f(x) (pl. a hely az dő fgv.-ben) f(x) f(x 0 ) α m tgα f(x) x f(x x 0 0 ) O x 0 x x dffeencahányados
y f(x) (pl. a hely az dő fgv.-ben) f(x) f(x) f(x 0 ) α O x 0 éntő x dffeencálhányados (devált) x x m (tgα) lm x x0 f(x) x f(x x 0 0 ) df (x) dx f ' (x) ha dőfüggés van (x t) : df (t). f(t) dt
z A (x 0, y 0, z 0 ) t 0 AB elmozdulás sebesség vekto v B út (s) (x, y, z) t > t 0 v 3 pálya A v B pllanatny sebesség O y x v lm t t 0 B t t 0 A lm t 0 AB t d dt.
sebességvekto dőben változhat a lm t 0 v d v t dt. v d dt.. gyosulásvekto v (t) v (t) v ( t) v(t + t) v(t + t) v(t + t) gyosulásvekto tangencáls, a t centpetáls, a cp v v
v (t) v(t + t) ha t << : knagyítva : v (t) v v n v v(t + t) t φ( t) nagyon messze aa összeé a két vekto (közös pontból ndulnak) v t n v ( t + t) v ( t) v v( t) ϕ v / t és t 0 a a t n dv d s.... s ϕ β dt dt v(t) ϕ lm t t 0 v ω v
mozgásfajták haladó mozgás egyenletes változó (dőben) egyenletesen nem egyenletesen kömozgás, fogó mozgás egyenletes változó ezgőmozgás, hullámmozgás hamonkus anhamonkus pl. : haladó mozgás : pl. vonat a snen, gyalogos a jádán, stb
legegyszeűbb mozgás : egyenesvonalú egyenletes mozgás: pálya : egyenes sebesség : dőben állandó (vekto!) a 0 pl. : vonat a nyílt egyenes pályán mozgólépcső, kísélet : Mkola-cső (gmnázum taná volt a múlt század első felében) tapasztalat : a buboék által megtett utak az dők függvényében egyenest adnak :
tapasztalat : út (m) a buboék által megtett utak az dők függvényében egyenest adnak : út ~ dő út v. dő más szavakkal : az egyfoma dők alatt megtett utak egyfomák megtett út s v közben eltelt dő t dő (s) sebesség
a megtett út meghatáozása a v-t gafkonól : sebesség sebesség sebesség v v v 0 s v t t v 0 dő 0 v v0 s v t + 0 t t dő s v 0 n t dő s0 + v(t ) t v. t t út göbe alatt teület s t s0 + v(t) dt t
sebesség pllanatny sebesség átlagsebesség pl. : autó v. vonat NyH és BP között, dőnként megáll feladat : egy gépkocs egy utat odafele 60 km/h sebességgel, vsszafele 80 km/h sebességgel tesz meg. Mekkoa a teljes (oda-vssza) úta számított átlagsebessége? (68.5 km/h) átlagsebesség sebességek átlaga!!! v összes út összes dő (met lassabban hosszabb deg megy)
hasonlóan egyszeű mozgás még : egyenesvonalú egyenletesen gyosuló mozgás: pálya : egyenes sebességvekto : dőben nem állandó : ánya állandó nagysága dőben egyenletesen nő a > 0 ( a t ) pl. : vonat az állomásól elndul és gyosít (egyenes pályán) kísélet : lejtőn leguuló golyó (különböző hajlásszögeknél) tapasztalat : s ~ t paabola
s ~ t konkétan : s a t és v a t út v gyosulás t t
lassulásnál : a v nem nulla kezdősebességől nduló mozgás : a s v0 t + t és v v0 + a t t szabadesés : elejtett test mozgását csak a Föld vonzása befolyásolja első kísélet vzsgálata : Galle
Galle : az eső, nehéz test szabad mozgása állandóan gyosul amennye én tudom, még senk sem állapította meg, hogy a távolságok, melyeket egy nyugvó állapotból nduló test egyenlő ntevallumok alatt befut, úgy aánylanak egymáshoz, mnt a páatlan egész számok, kezdve az egységgel kísélet : ejtőzsnó v 7 az egyes golyók által megtett utak 5 3 3 5 7 azaz tt s v ~ t t
v ~ t a szabadesés s egyenesvonalú, egyenletesen gyosuló mozgás kísélet : papídaab és vasgolyó ejtése levegőben ejtőcső nem egyszee ékeznek le kísélet : papídaab és vasgolyó ejtése (vákuumban) egyszee ékeznek le mnden szabadon eső test v g t gyosulása ugyanakkoa!!! g nehézség gyosulás, s t g 9.8 m / s g pontos méése: Eötvös Loánd; ngák, stb pl. : kút mélységének méése beledobott kővel 5t
függőleges hajítás lefelé, felfelé : nem nulla kezdősebességű szabadesés fede hajítás (vízszntes hajítás) : függőleges és vsz. komponenseke bontva : függ. hajítás felfele + egyenesvonalú egyenletes y mozg. vsz.-en : ameddg mozog föl-le, addg megy jobba max. emelkedés magasság s s v v0 + g t g 0 + v0 t + t nulla kezdet magasságól t emelkedés t esés x hajítás max. távolsága
feladat : egy 50 m magasan szálló epülőgépől csomagot dobnak k. Mennyvel a cél előtt kell a csomagot kdobn, ha a gép sebessége 00 km/h? (304 m) ( vsz. hajítás adott magasságból) v 0 0 g x v,x v 0 v,y g. t v,x v 0 v,y g. t v v y
y feladat : egy 30 m magas szklapeemől 30 o -os szögben lőnek ágyúval az ékező kalózhajóa. A lövedék kezdősebessége 00 m/s. Mlyen messze legyen a kalózhajó, hogy eltalálják? v 0 00 m / s 30 o v 0 00 m / s 30 m y(t) g y0 + v0y t t, és v0x áll. x
mozgások összetevése : folyón egy csónak megy keesztül, hol é patot? y x v vektook összeadása pl. : v x v 0 pontosabban később! y L
kömozgás : egyenletes egyenletesen gyosuló (lassuló) + egyenletes kömozgás : pálya út ívhossz ω áll. O ϕ szögelfodulás φ t ϕ! jobbkéz-szabály ω ϕ t m peódusdő : T fodulatszám : f π /T szögsebesség : ω π/t πf φ ω. t s. φ v. ω
a t 0, de a cp 0 : ϕ! t v ω szögsebesség a cp v v ω ω v ω dϕ ω dt ϕ t! s
egyenletesen változó kömozgás : ω β t áll. a t β ω β t v ω a t áll. v a t v a t s a t ϕ β t mozgás tetszőleges pályagöbén : a pályagöbét mnden pllanatban egy-egy köpályával helyettesíthetünk s ϕ áll. egyenletes mozgás egyenletesen változó mozgás szabálya évényesek
ezgőmozgás : hamonkus anhamonkus hamonkus ezgőmozgás : π t x(t) A sn 0 0 0 T T x ( ) ω t + ϕ A sn t + ϕ A sn π + ϕ ampltúdó köfekvenca A -A T T peódusdő/ezgésdő f /T, fekvenca t kísélet : úgón ezgő test, megpendített hú, hangvlla végén tű, megütjük, majd komozott üveglaphoz éntve egyenletesen húzzuk
x(t) A sn ( ω t + ϕ ) 0 v(t). x(t) A ω cos ( ω t + ϕ ) 0 x a(t). v(t).. x(t) A ω sn ( ω t + ϕ ) 0 v x T t t a x t
a hamonkus ezgőmozgás és egyenletes kömozgás kapcsolata : csllapodó ezgés : β 0 hamonkus β 0.4 ampl. eősebben csökken β 0. csllapítás tényező ampl. csökken fékezés β 5 apeodkus hatáeset
ezgések összeadása páhuzamos meőleges kísélet : ezgések összeadása + meev testek egyszeű mozgása : tanszlácó (haladó mozg.) és otácó (ögz. teng. köül fogás) tanszlácó : a test pontjanak elmozdulása ugyanakkoa (vekto) pl. : óáskeék kosaa Fzdemo.exe Lssajous-göbék de ez függ attó, h. mlyen kood.dsz.-ből nézzük
otácó : ögz. teng. köül fogás a test pt.-ja egymással páhuzamos síkú köpályákon mozognak, és a köök kp.-ja egy egyenese esnek : ω a fog.teng. nem feltétlenül v megy át a testen! pl. kapaószalag : R v mnden pont szögelfodulása, szögsebessége, stb egyfoma
fogó mozgás : meev testek egy tengely köül fogása : a test egyes pontja nem mozdulnak fogástengely ögzített tengely, legalább pont ögz. (keék, moto, ) kísélet : pögettyű ω áll. és v áll. mnden ponta szabad tengely pont köül foog (pögettyű, labda, ) bonyolult! a több pontja a tengely köül köpályákon mozognak vsszavezettük kömozgása
egymáshoz képest mozgó vonatkoztatás endszeek : egy nyugvó + egy ehhez képest mozgó vontk.dsz V V pl. : sn és vasút kocs folyópat és víz a Föld pl. : v sz v ' v haladó fogó a pont V-hez lépest abszolut elmozdulása ( ) a V azon pt.-jának V-bel elmozdulása, amelyben a pont az dőszakasz elején volt, szállító elmozdulás ( sz), és a pont V -höz vszonyított elmozdulása a elatív elmozd. ( ) ' sz + '
sz + ' v v + v ' a a + a ' sz sz fogó endszeben : y y ω t ω sz t ω t ω áll. a Co x ω x ω ω a ω sz + ω' ωsz ωszω' ω' elatív gyosulás ( ω ' ) ω v' v' + a' ωsz sz sz a sz szállító gyosulás ω' + ω a + ω v' sz sz Cools-gyosulás
meev testek összetett mozgása : síkmozgás : kényszemozgás, tetszőleges haladó és fogó mozgások összege a síkmozgás leíása a testhez ögzített tengely köül fogással : a test egy O pt.-ja legyen a fogáspt., ezen átmegy a mozgás síkjáa meőleges fog.teng. az O -vel együtt haladó V dsz.-ben a test foogn látszk ezen teng. köül : v ' ω ' ezen pt. seb.-e a V-endszeben : v v + ω ' tanszlácó + otácó 0
gödülő mozgás : fogás ögzített tengely köül + haladó mozgás gödülés tszta gödülés csúszásmentes (autó egyenletesen halad) csúszva gödülés (htelen ndulás, vagy fékezés)
vonatkeék : + v k ω v k ω v t v t v k v t v t ω az a pont annyt halad előe, mnt amennyt vsszafele fodul : v t azaz a snhez képest áll!!! pllanatny fogástengely ω ez a pont hátafele mozog!
pögettyű : a test egy pt.-ja a kszemelt V vonatk.dsz.-ben nyugalomban maad a teng. átmegy ezen a pt.-on, de helyzete változk a knematka leíást ld. tankönyvekben szabadság fokok : szabad mozgás : 3 kényszemozgás : kevesebb, mnt 3 meev teste : 6 ( 3 hely és 3 elfogatás ) tanszl. otácó
dnamka mozgások, mozgásállapotváltozások okanak vzsgálata, leíása égen : a mozgás fenntatásához egy másk test állandó hatása ( eő ) kell, pl. egy kocs csak akko mozog, ha húzzuk Galle : elndított és magáa hagyott test annál hosszabb utakat tesz meg, mnél smább/csúszósabb a felület gondolatban folytatta : az egysze elndított test megtataná mozgásállapotát, ha a felület akadályozó hatását (súlódás) k lehetne küszöböln tehetetlenség tövénye
a tehetetlenség tövénye axóma alaptövény Newton megfogalmazásában : valószínűleg gaz mnden test megtatja mozgás állapotát ( sebességének nagyságát és ányát), amíg más test/testek hatása annak megváltoztatásáa nem kényszeít necaendsze Newton I. töv. Newton : 64-77 mechanka tövénye, dffeencálszámítás, szín, optka, tükös távcső, gavácó (öszefoglalta Kopenkusz, Galle és Keple felfedezéset) 687-ben Pncpa 705-ben lovaggá ütk Newton előtt : eő embe által kfejtett eőfeszítés utána : eő testek kölcsönhatásának météke feltétele: éntkezés, különböző állapot eedménye: mozgásállapot-változás
ha két test kölcsönhatásba lép mndkettőnek megváltozk a mozgásállapota : pl. : két, kocsolyán álló embe húzza egymást / egyk húzza a máskat / másk húzza az egyket, mndkettő elmozdul az elmozdulások (és a kapott sebességek) ellentétes ányúak a kövéebb fog lassabban mozogn kísélet : kocsk ütközése snen / légpánás asztalon a kölcsönhatás tövénye : ( tapasztalat! ) a sebességváltozások ellentétes ányúak, és a sebességváltozások nagyságának hányadosa egy adott testpáa jellemző állandó, nem függ a kölcsönhatás módjától a tömeget lehet defnáln :
tömeg : egy B test tömege n-szeese az A test [kg] tömegének, ha kölcsönhatásuk soán a B test sebességváltozása n-ed észe az A sebességváltozásának a tömeg a test tehetelenségének météke + méések a tömeg tanztív de : fénysebességnél más!!! másképpen fogalmazva : m v m mpulzus (lendület) p test kölcsönhatása soán v m (v'' v') m (v'' v') m v' + m v' m v'' + mv'' m v p p
'' p '' p ' p ' p + + p p mpulzusmegmaadás zát dsz-ben! ütközésko a tömegközéppont egyenesvonalú egyenletes mozgást végez tkp m m m m ) ( m m m + + + + pl. egyfoma tömegek ütközésénél a középső pont helyben maad, ha mndkettő egyfoma sebességgel halad : tömegközéppont tkp m m v m v m v + + a számlálóban állandó v m v m +
eő kölcsönhatás météke : menny dő alatt mekkoa mpulzusváltozás van? : F p t m v t m v t m a mpulzustétel pl.: kalapácsütés eőtövények : F [N] m a Newton II. töv. ( dnamka alaptövénye ) úgó : F -k. ( l) (megnyúlás s) (Hooke-töv.) F így a úgó megnyúlása áll. kül.súlyok kül.megnyúlások
gavtácó: G m. g m M de : F γ g F g F m + M g h (R h ) γ 0 R m M M Fg γ m γ R R g m g γ 6,67. 0 - Nm /kg Newton 0 γ F g pl. : a Holda csak F g hat a Föld matt (köpálya, 7,3 nap kengés dő) súly súlyeő F gav vagy G F g m M (R + h )
súlódás : kísélet : lejtőn lecsúszó fahasáb : tapasztalat : F sul ellentétes az elmozdulás ányával nagysága nem függ az éntkező felületek nagyságától álló tágyat nehéz megmozdítan, de utána má könnyebb toln csúszás : F cs µ cs. F ny súlódás tapadás : 0 < F t < F t,max µ t. F ny és µ cs < µ t tapadás: fa-fa : 0,6; acél-acél : 0,5; acél-jég: 0,07
µ cs < µ t álló tágyat nehéz megmozdítan, de utána má csúszk µ cs < µ t fékhatás : ne csússzon meg a keék!!! blokkolásgátló elndulás kpögésgátló csapágyak : olaj, gáz µ cs csökkentése kopás csökkentése
pl.: teheautón vaslemezek egymáson, kanyaodk, szemből jön a busz, lemezek lecsúsznak autógum méete, fékpofa/fékbetét méete mégsem mndegy mét??? az anyagot le kell eszeln a felületől : nagyobb felület több atom több kötés felvágása pl. : az autó mét tud kanyaodn (mét nem csúszk k egyenesen az útól)? met k akana csúszn, de a tapadás súlódás eő ezzel ellentétesen hat, azaz a köpálya közepe felé ( F cp ), ez tatja köpályán az autót.
közegellenállás : folyadékban, gázban mozgó testek
tapasztalat : F köz ellentétes az elmozdulás ányával nagysága függ a mozgó test felületétől, sebességétől és a felület alakjától F köz -k. A. ρ. v ks sebességeknél F köz -k. A. ρ. v nagy sebességeknél pl. : hodót vsznek tetőcsomagtatón kényszeeő : pl. alátámasztás (felfüggesztés) által a teste ható eő F ny ngamozgás F ny m v mg mg α F ny mg F ny < mg (mgcosα) F ny mndg meőleges az alátámasztó felülete
pl. : az autó mét halad az úton? : y autóa ható eők : G eleje v x ω F ny F ω F ny F ts, F ts, a y 0 0 F, y F F > 0 F,x ts, ts, a G x dv dt F ny x 0 x
felhajtóeő, Coulomb-eő, mágneses eő, van de Waals, stb tovább tapasztalat : F AB F BA Newton III. töv. ( hatás-ellenhatás tövénye ) kölcs.hat.tv. újafogalmazása pl.: bkózásko A felemel B-t, akko A eősebb, de mégs ugyanakkoa eővel hat B-e, mnt B A-a!!! pl.: ló húzza a lovaskocst, akko N.III. szent a kocs s ugyanakkoa eővel húzza a lovat vsszafele mét megy mégs előe??? pl.: lehet így utazn? (Cyano) ( mágnest feldobja, az a kocst magához húzza, fent a golyót úja feldobja, és így tovább ) mét? vas kocs ld. későb mágnesgolyó
pl. : úgóeő hatásáa létejövő mozgás : eőtöv.-t sm. meghat.-hatjuk, h. adott kezdet állapotból ndulva hogyan fog mozogn : x x(t) smet : t 0 ban x x(0), v v(0), k és m : numekus megoldás : ks t F változása elhanyagolható egyenl.gyosuló mozgással mozog t 0 ban : t t/ ben : elmozd. t alatt : majd ugyanígy tovább : a(0) F v( t / ) x( t) ( x(0) ) m v(0) + x(0) + a(0) t v( t / ) t
t t ben : t 3 t/ ben : ktéés t-ben : ( x( t) ) F a( t) m 3 v( t) v( t) + x( t) x( t) + a( t) t 3 v( t) t t t ben : t 5 t/ ben : ktéés 3 t-ben : ( x( t) ) F a( t) m 5 3 v( t) v( t) + x(3 t) és így tovább tetsz. deg x( t) + a( t) t 5 v( t) t kajzoltatn az x(t), v(t) és a(t) függvényeket
analtkus megoldás : N.II. -k. x m. a a dv dt d x dt d x dt F m k m az smtl. egy függvény : x x(t) és annak deváltja dffeencálegyenlet a ham.ezgésnél volt olyan ktéés-dő függés, h. a hely és annak. deváltja (gyosulás) megegyezett: x(t) A. sn(ω. t+φ 0 ) d x dt A ω sn( ωt + ϕ 0 ) x vsszahelyettesítéssel ellenőzhetjük, h. ez kelégít a fent dff. egy.-t k m x
d x dt A ω sn( ωt d x dt + ϕ ) 0 k m x x(t) A. sn(ω. t+φ 0 ) k A ω sn( ωt + ϕ0 ) A sn( ωt + ϕ0 ) m ω k m ω de A és φ 0 tetszőleges lehet meghatáozhatók a kezdet feltételekből : t 0 - ban : x(0) 0, v(0) v 0 x(0) A. sn(ω. 0+φ 0 ) A. sn(φ 0 ) 0 v(0) A. ω. cos(ω. 0+φ 0 ) A. ω. cos(φ 0 ) v 0 A. sn(φ 0 ) 0 k m A. ω. cos(φ 0 ) v 0
A. sn(φ 0 ) 0 A. ω. cos(φ 0 ) v 0 φ 0 0 v A 0 v0 ω m k tehát a megoldás : m k x(t) v0 sn t + 0 k m vagys : a úgón ezgő test ham. ezgőmozg. végez, melynek köfekv.-ja : k ezgésdeje : T ω π ω m π hasonló poblémáknak hasonló a megoldása s!!! lásd pl. : ngamozgás! m k
tovább tapasztalat : ha több eő hat egy teste, pl. több úgó: F F vagy : F 3 F F F 3 pl. specálsan : úgón függő test vsz. alátámasztáson levő test m a F eedő eő Newton IV. töv. ( eőhatások függetlenségének elve ) eő egyensúly nyugalom
ha specálsan : a kötélnek nncs súlya (tömege), vagy van, csak nyugvó kötél, akko a meghúzott kötél az egyk végée ható eőt változtatás nélkül továbbítja a másk végén levő testhez : úgóa hasonlóan vonatszeelvény F 3 F F F 3 de odafgyeln : F F F F F F pl. magdebug féltekék : 8-8 ló 6 ló!!! hanem csak 8 ló
m van, ha függőlegesen van a úgó? : d x m dt k x + mg k x mg k mg x ': x, ω k k m d x' dt k m x' T π ω π m k tehát : ugyanaz, mnt vsz. úgó, csak az mg k lesz az új egyensúly helyzet
pl. : kúpnga : φ l F e F k (kényszeeő) v m. g (szabadeő) kömozgás : l. snφ F e a kp. felé mutat N.II. : F cp m. a cp m.. ω ω π. n mg. tgφ m. (l. snφ). ω m. (lsnφ). (πn) g cos ϕ cosϕ l 4π g l 4π n n centfugáls szabályozó : F cp F e F e mg. tgφ
pl. : matematka nga : kötélnga, fonálnga vékony, súlytalan, nyújthatatlan fonálon lengő test kényszemozgás síkmozgás (köpálya) φ l pllanatny helyzet : φ φ(t) eők : m. g F k s F e m. g (szabadeő) (kényszeeő kötéleő) m. g. cosφ F k kötélányú és éntőányú komponenseke bontva : kötélányban : F,k 0 F k -m. g. cosφ 0 éntő ányában : F e m. g. snφ
N. II. : m. a F e d s m mg snϕ dt d ϕ l mg snϕ dt d ϕ g snϕ dt l m ha φ kcs d ϕ dt snφ φ g l ϕ ω mozgásegyenlet és ϕ, ahol s l. φ ω ez ugyanolyan egyenlet, mnt a ham. ezgőmozg. : T π ω g l φ(t) φ 0. sn(ω. t+α k ) T π l g g - t lehet mén
de : T függ φ 0 -tól : nagyobb ampltúdó hasonlóan a fzka nga : T függ a geometa méetektől g - t tt s lehet mén tozós nga : ezeket ld. később (meev testeknél) nagyobb T!!! pl. : égtestek mozgása : (bolygómozgás, mesteséges égtestek, Keple töv.-).e..sz. : geocentkus vlágkép (Ptolemaosz) köpályák, kp.-ban a Föld 500 : helocentkus vlágkép (Kopenkusz) Nap köül pályák, és tengely köül fogás
609-69 : Keple-töv.-k : Tycho Bahe s!. ellpszspálya, egyk gyújtópt.-ban a Föld;. a Naptól a bolygókhoz húzott sugá egyenlő dők alatt egyenlő teületeket súol; 3. a bolygók kengés dőnek négyzete úgy aánylanak egymáshoz, mnt az ellpszspályák nagytengelyenek köbe. q P q Nap dőegység alatt súolt teület teületsebesség q t a Föld sebessége legnagyobb P-ben (januá 3-án) legksebb A-ban A dq dt áll.
bolygómozgás centáls mozgás a bolygóa ható eő mndg egy centum felé mutat a gyosulása s centáls eők tétel : centáls mozgásnál a tömegpt. pályája síkgöbe és a teület seb. állandó. megfodítva : ha a pálya síkgöbe és a teület seb. áll. akko a mozgás centáls mozgás. F g bz. : ld. könyvekben má Keple s sejtette az ált. tömegvonzás töv.-t tömegpontoknak vesszük F g m M γ 0 Föld 0
Föld v 0 F g pl. számítógéppel szmuláln a mozgást : F g a F m a m M γ F m γ M 0 0 x-y koodnáta endszeben + kezdet feltételek : x(0), y(0), v x (0), v y (0) ellpszs alakú pályák, egyk fókuszban a Föld (Keple) nagytengely méete és kengés dő v 0 -lal nő ha specálsan v 0 olyan, h. a cp v 0 /, F cp γmm/ mv 0 / köpálya; geostaconáus pálya
számítással kmutatható, h. a homogén gömb helyettesíthető egyetlen, ugyanolyan tömegű tömegponttal geostaconáus pálya : Föld, M v F g m F g ω mm γ π T γm ma cp 3 ω mω és T 4h 86400s 3 γmt 4π pl. távközlés műholdak...
de : F cp NEM eőtövény m F cp F cp lehet pl kötéleő, úgóeő, gav.eő, (am húzza a testet, h köpályán maadjon)
a gav. állandó meghatáozása : Cavendsh, 798 M m m M tozós ngát ld. később! M tömegeket tett a m golyók mellé szmmetkusan és méte a tozós szál szögelfodulását γ 6,67. 0 - Nm /kg a Föld felületén : m M F γ m g a Föld tömege : R g M F R 5.97 γ 0 4 kg
a felszínen csak a Föld sűűsége : ρ ρ 4 3 M R.5 F 3 π kg dm pl. a Nap tömegének becslése : M Nap, m Mas,, T smet m Mas a cp m 3 Mas 5.5 0 4π T 3 kg m F 3 a belsejében cp m γ Mas ρ > M 5.5 Nap kg dm 3 M Nap 33 0 3 M F hasonlóan a holdakkal endelkező bolygóka s
az m a m d dt F m M γ mozgásegyenletből matematka úton levezethetők a Keple-töv.-k az s köv., h. más kúpszelet s lehet a pálya, pl. üstökösnél paabola v. hpebola sztatka eőméés, súlyos és tehetetlen tömeg : G m. g a súly a hellyel változk; különböző testek súlya ugyanazon a helyen a tömegtől függ úgóa akasztott test nyugalomban van : a 0 a á ható eők eedője nulla úgós eőméő egyszeű eőméés sztatka eőméés 0
súly ~ tömeg (G m. g) tömegméés : mélegek (több eze éve) etalonok ez a tömeg (súlyos tömeg, m s ) nem ugyanaz, mnt amt ütközésekkel defnáltunk (tehetetlen tömeg, m t ), de pl. ha ez a test szabadon esk : m t. a m s. g m m s t a g és a g mnden teste egyfoma m t m s
Eötvös Loánd : m t m s egyenlőség 5. 0-9 elatív hbával teljesül sűűség, fajsúly : homogén nhomogén anyag ρ m V dm dv pl. : kg víz 4 o C-on, nomál nyomáson dm 3 (l) ρ víz kg/dm 3 ρ kg 3 m pl. : galvanzált fémeke : ρ átlagsűűség vas hajó sűűsége s átlagsűűség! fajsúly, g cm 3
súlytalanság : ha csak a saját súlya hat á : pl. : szabadon eső test Föld köül köpályán kengő test a ánk ható súlyeőt akko éezzük, ha az alátámasztás által kfejtett nyomóeő s hat : F ny F ny G m g F ny m g
pl. : hajítás dnamka leíása : csak a nehézség eő hat a teste : N.II. : m. a m. g d dt d g m m g dt tf.h. g áll. a Földhöz ögz., függ. fölfele ányított z-tengely esetén : d x dt d y d z 0 0 g dt dt dx dt v x const x dy dt v y const const y z + z dz dt v g t vx t c y vy t + c z 3 x + g z t + v t + c
vx t c y vy t + c z 3 x + g z t + v t + 6 db smeetlen : v x, v y, v z és c c 3 meghatáozásuk a kezdet feltételekből ha pl. : t 0 ban 0 (x 0, y 0, z 0 ) és v 0 (v 0x, v 0y, v 0z ) x 0 c, y 0 c és z 0 c 3 const x v x v 0x, const y v y v 0y és const z v 0z c hajítás
kényszeeők, kényszemozgás : a Földön s tudunk necamozgást létehozn közelítőleg! pl. légpánás asztalon vagy snen az alátámasztás a tömegpontot a felületen való maadása kényszeít kényszeeő, az alátámasztás pedg a kénysze pl. : nyugvó asztalon álló test még egysze : F k, Feedő G + F k, mvel áll : a 0 G Fk, G ( F ny -mg )
ha az alátámasztás mozog s, pl. a gyosulással süllyed egy lft : Feedő G + Fk, ( m. g - F ny m. a ) ( F ny m. (g-a) ) m a Fk, G + m a m(g a) N.III. F test asztal -F k, G pl. : mét van bedöntve a kanya? pl. : két kötélen felfüggesztett test lámpa két fal között kfeszített dóton lejtőn lecsúszó test ld. önállóan!
lejtőn lecsúszó test : N.II.: m a F szabad + F kénysze a g. snα + v α F e mg. snα F ny mg ha adott µ cs : F ny α v mg F s F e mg. snα-f s m. a mg. snα-µ cs. mg. cosα m. a a g. (snα-µ cs. cosα)
F ny F + k az m tömegű teste : F k F k F v k N.II.: m a F mg + m α g m. a mg. snα-f k az m tömegű teste N.II. : m a F ha a kötél nyújthatatlan! F k -m. g m. a ha a kötél súlytalan! egyenlet és smeetlen F k és a meghatáozható ha még súl. s van
F F k F k (a keék és a úgó súlytalan) F k F k F F k m g (a keék súlytalan) m m
mozgás mozgó vonatkoztatás endszeben : Galle-féle elatvtás elv : egymáshoz képest egyenletesen haladó vonatk.dsz.-k közül nem tudunk egy abszolút nyugalomban levőt kválasztan pl. : egyenl. mozgó vonaton egy nga ugyanúgy leng, mnt az állomáson gyosulva haladó vonatk. dsz. : pl. : mekkoa eő hat egy a 0 gyosulással lefele nduló lftben álló embee? : V' F m tehetetlenség eő teh a 0 N.II. évényes maad F m teh a 0 G F ny m g a 0
az embe a lfthez képest nem gyosul F G + Fny + Fteh m a F ny 0 meghatáozható fogó endszeben : ha egy V' endsze egyenletes ω szögsebességgel foog egy nyugvó V-hez képest : Fcf m ω centfugáls eő m v' ω Cools-eő F Co ezekkel N.II. fogó dsz.-ben s gaz : m a' F + F cf + F Co
pl. : fogó endszeben álló test F cf m ω ω F cf pl. : az észak féltekén É-D ányban folyó folyók a jobb patjukat mossák, vagy az É-D ányban haladó vonatok keeke a jobb oldal snt jobban koptatják m v' ω matt F Co a kádban lefolyó víz foog
F Co ω v ' É F Co m v' ω D
a Föld tényleg foog? : gen, bzonyíték a Foucault-féle ngakísélet : hosszú kötélen nagy tömeg leng sokág leng, ks csllapodással kezdet lengés síkot megjelölk, tapasztalat : lengés sík óánként kb. 5 o -t elfodul ételmezés : fogó dsz.-ben : a teste oldalányú eltéítő eő hat, a pllanatny seb.-hez képest jobb oldal felé ( Cools-eő) necadsz.-ben : az nga megtatja lengés síkját, csak a Föld kfodul alóla
példák, alkalmazások :. keékpá ( v ) bedől (α) a kanyaban : v ω szögseb.-el fogó dsz-ből nézve : a bckl nyugalomban van : g és m m ω R a bckl síkjában kell, h. legyen mω tgα mg eedője R ω g v g a talaj síkjának kell lenn bckle, met a tapadás nem tud egyensúlyt tatan kcsúszk oldala a vesenypályák külsejét megemelk
kanyaban a vasút sn külső szálát s feljebb teszk. két golyó centfugáls géppel megfogatva : golyók a fogó dsz.-ben egyensúlyban vannak, ha m ω m m m ω 3. fogó aboncs belapul : kísélet! keéke kfelé ható F cf F defom pl. gyosulás veseny: hátsó keék
4. dnamkus meevség : kíséletek : fogó lánc kemény guul, akadályokat átugk fogó papílap meev fűészeln lehet vele 5. centfuga : háztatás, bológa, élelmszepa, 6. centfugál szabályozó 7. szvattyúk 8. ckusz: h?
9. cklonok : (az É- féltekén) (F Co ) passzátszelek, ÉK és DK felé, a levegő a ksebb nyomású helyeke áamlk + F Co a kocsban ülve a köpályán fogó endszeből nézzük : A-ban F cf fölfele mn. akkoa legyen mnt m. g lefelé : mv A mg (+ enegamegmaadás később) 0. a lövedékek jobba eltének
. a Föld a sakoknál belapul. a szabadon eső testek K-felé eltének : a 45 szélesség foknál: 00 m magasságnál.5 cm-t 3. ha egy test K NY ányban mozog : F Co lefelé mutat látszólagos súlynövekedés Eötvös-effektus NY K ányban fodítva pögettyűs ánytű : Foucault, 85 a C szmm.-teng. a függ. köül elfodulhat a pögettyű C köül gyosan foog a á ható F Co matt beáll É-D ányba
fodulatszám nagy legyen ( 0eze/pec) pögettyűt ld. később
nehézség eő, gavtácós té : súly mg és g ψ ψ F g + F cf a g + a cf a súly nem a középpont felé mutat!!! (csak a sakokon) a súly és g g ψ a sakokon a legnagyobb (ott F cf 0), az egyenlítőn a legksebb (F cf tt a legnagyobb) de a Föld nem gömb geod ( fogás ellpszod), a felülete mndenütt a gav. és F cf eők eedőjée
Föld : R p R e R e 6378 km R p 6357 km számítás szent : g ψ (g 90 o-3.4cos ψ) cm/s méések szent : g ψ (983.-5.cos ψ) cm/s (nem egyeznek, met nem gömb alakú) de ettől van pontosabb g ψ fomula s! g függ a magasságtól s G Budapest 9.8085 m/s g függ a helytől s : a talaj sűűségének lokáls változása matt
ásvány anyagok, Föld szekezetének kutatása Eötvös Loánd : Eötvös-nga : A l l B 40µm Pt-I tozós szál A B 5-0 g l 5-40 cm l 50-60 cm tozós szálon tükö gen pecíz leolvasás a nehézség eőté nhomogén g A g B tozós szál elfodul
Eötvös : súlyos és tehetetlen tömeg egyenlősége ld. otthon! g dőben sem állandó : Nap és Hold hatása áapály : ld. otthon!
mozgástövények pontendszeeke és testeke : ha nem egyetlen tömegpontól van szó tömegpontendsze ( pl. : szétobbanó epeszdaabok ) zát pontendsze : m F 3 F F 3 3 m 3 F F m dp F + F +... F 3 3 dt dp F + F3 dt + stb de : eőhatások függetlensége + hatás-ellenhatás mnden ponta külön-külön F j F... j
dp teljes dt dp dt dp + dt +... teljes p + p +... F + F + F 3 dp teljes dt + F 0 3 +... p állandó ha külső eő nem hat mpulzusmegmaadás pontendszee másként fogalmazva : tkp v tkp m + m +... m + m +... m v + m v +... m + m +... m m a tömegkp. sebessége állandó m v (m p + m v +... + m +...) vtkp m teljes v tkp
a tömegkp. sebessége állandó zát dsz. tkp.-ja necamozgást végez mpulzustétel pontendszeeke, azaz ha külső eők s hatnak : dp F + F + F3 dt + dp F + F + F3 dt + stb...... dp teljes dt F F m + eedő a tkp 0 F eedő a tömegközéppont úgy mozog, mnt egyetlen tömegpont, amben a endsze teljes tömege van és ame az összes külső eők vekto eedője hat
meev test specáls pontendsze pl. eldobott kalapács : tetsz pt.-ja bonyolult pálya de a tkp.-ja úgy mozog, mnt a tömegpont paabolapályán a tkp. úgy mozog, mnt egyetlen elhajított tömegpont
test tömegpt.-nak vehető, ha haladó mozg.-t végez, vagy megelégszünk a tkp mozgásának leíásával ekko elég a á ható külső eőket smen (még ezen eők támadáspt.-ját sem kell smen) tehát : mnden test tömegpontnak teknthető, ha haladó mozgást végez, vagy ha megelégszünk a tkp mozgásának leíásával tt 3 test egyfomán gyosul, de másként foog és másként defomálódk
testendszeek : A F j F B j tömegponta a teste F F vagy ezzel egyenétékű : p + p zát testdsz. teljes mp. állandó ha külső eők mpulzustétel, egész testdsz. tkp.-nak mozgása (mnt pontdsz.) TEHÁT : Newton töv.- ezeke s évényesek : áll.
felület és téfogat eők : téf.- eők (pl. gav. eő) felület eők (éntkezés) a belső pontoka s hatnak eők, de azok má belső eők, a külső eők hatásáa elmozduló felület pontok fejtk k (pl. súlódás) az eő felület ment eloszlásáa nncs ált. szabály koncentált eő (pontban hatónak képzeljük) az éntkezés felület gen kcs támadáspont lyenko N.III. egyételműen megfogalmazható Newton töv.- testeke :. tehetetlenség töv. a tkp.-a,. N.II. a tkp.-a vagy mpulzustétel, 3. hatás-ellenhatás
akétamozgás : kísélet : paton akéta, vagy kocs továbbá : ágyú, puska, stb hátalökődése a akéta testée a káamló gáz fejt k eőt
a akéta mozgása : anyag káamlk belőle csökken a tömege az dővel t pllanatban : mm(t) a bent lévő gázzal együtt; sebessége v(t) a káamló gáz áameőssége µ-dm/dt, elatív sebessége u(t) F külső eő s hat (pl. gavtácó, és/vagy közegellenállás) mp.-tétel a (akéta+bentlévő üzemanyag)-a : t dő alatt mp.-vátl. F. t a káamló gáz tömege - m µ. t m+ m a akéta és a t+ t pllanatban bennlevő gáz tömege ( m m(t+ t) - m(t) < 0) káamló gáz mp.vált. - m. u a akéta mp.vált. (m+ m). v az mp.tétel szent : m. u+(m+ m). v F. t / t és t 0 ( m 0 s!) µ. u + m. a F akéta mozgásegyenlete megoldás numekusan v. egyszeű esetben analtkusan
pl. : adott F, m F, m mekkoa? nncs súl. F F F m m F m a a? (m + m ) a a F... F (ha áll, akko eőt a. teste) F F F F F, az. test továbbítja az F
bzonyos feltételek mellett egy testlánc tagja továbbítják a szomszédjuk által á kfejtett eőt: az egyk test a máskon keesztül a hamadka hat tt nem tt gen
az anyag kontnuum-modellje; atomos szekezet : folytonos anyag: sűűség, fajsúly ld. koábban atomos szekezet : V súlódás: 0 E k
munka, enega, teljesítmény : W F. s W F s. s F. cosα. s F. s. cosα (olyan, mnt F és s skalás szozata) pl. : menny munkát végez az embe, ha egy bőöndöt elvsz 00 m messze? α s F F s F G v α 90 o W 0!? akko mét fáad el? (utánanézn!) 00m honnan jön ez, mét éppen F. s-t választották munkának??? ebből : hogyan lehetne meghat. egy tömegpont seb.-vált.-t, ha smejük a tp.-a ható eőt, mnt a hely fgv.-t:
hogyan lehetne meghat. egy tömegpont seb.-vált.-t, ha smejük a tp.-a ható eőt, mnt a hely fgv.-t: v-t k tudnánk számoln, ha sm. F(t) fgv.-t : F t p t F p m t F v de ált.-ban nem F(t)-t, hanem F(hely)-t smejük (pl. úgóeő, tömegvonzás, ) pl. : mennyvel vált. egy tp. seb.-e, ha s egyenes úton állandó nagyságú, az úttal páhuzamos F eő hat á : t m F v v v t v v t v s + v v s t + ha F áll. a áll. v v v + (ez tt dő szent ntegálás lenne : ) dt F p
v F v v t F s m m (v + v ) tehát v függ v, m től s m(v v )(v v ) mv mv + F s az mv mennység az, amnek vált.-t egyét. megszabja F és s pl. : mlyen sebeséggel é le egy m tömegű test egy α hajlásszögű, l hoszúságú lejtő aljáa, ha súlódás s van? F ny F eedő mgsnα -µmgcosα v α l v mg F s mv mv mgl(snα µ cosα) v
elnevezés : E E E : k kn W F. s mozg mv mozg.enega állandó eő munkája, ha F és s ánya megegyezk E mozg mv mv F s W munkatétel ha F elmozd. egyenl. kömozgás v nem változk E mozg sem vált. legyen az elmozd.-a F munkája nulla! általánosan : F. s. cosα F s. s F. s F F s
teljesül-e a munkatétel az ált. esete : F )m v )(v v (v mv mv + v a t F gen! F α v v v v v v v v v v ) v )(v v v ( + + munkatétel még egysze : a tp.-a ható eedő eő által végzett munka a tp. kn. enegájának megváltozásával egyenlő W > 0 és W < 0 s lehet!!! W W F F ) F (F W + + + ha több eő hat a tp.-a : pl. : mét könnyebb húzn egy kocst a homokban, mnt toln?
ha F állandó, vagy a mozgás pályája nem egyenes : F F W F. s 0 s s F F. s 0 s s s W W s n F (s F s s (s)ds ) s Fd s s pl. : menny a vsz. helyzetből 0 kezdőseb.-el nduló fonálnga sebessége a pálya legmélyebb pt.-ján? W kötéleő 0, met a pályáa F k mg W súlyeő Σmg. s F mgσ h mgh h s mg E mozg m v m 0 mgh + 0 s F h
pl. : menny munkát végez az egyk végén ögz. úgó, míg a másk végéhez ögzített testet az x helyzetből az x 0 egyensúly helyzetbe vsz? x F x 0 x x 0 W 0 0 0 0 ) x (x k ) x (x ) x (x k ) x (x F(x) W W > 0, aká x<x 0, aká x>x 0! pl. : mekkoa munkavégzés szükséges ahhoz, hogy egy L hoszúságú szöget teljes hosszában beüssünk fába, ha a benyomáshoz szükséges eő F k. x alakban függ a szög fában levő x hosszától? W F. x k. x. x W W L k 0 L k x k dx x k dw dw W L 0 L 0 L 0
munkatétel tömegpontendszee : a tp.-dsz. tagjáa év.-nek vesszük a munkatételt a tp.-dsz. kn. E-ja : E mozg E mozg, a tp.-dsz.-en végzett összes munka : az -edk tp.-a ható eedő F (külső + belső) W össz E mozg,végső E mozg,kezd m W v össz F (megkapható az egyes tp.-ka vonatk. munkatételek összeadásával) de a meev testeknél baj van : a belső eőket nem smejük meev testeket ld. később
teljesítmény, hatásfok : P W t P W t dw dt lm W t 0 [J/s W] W, kw, MW, mw, ( LE ) Ws J, Wh, kwh ( munka ) ha F ( F ) eő a ( a ) gyosulás v ( v ) ll. v ( v ) dw F d dw F d P F v dt dt pllanatny teljesítmény W hasznos η <!!! Wbefektetett
egyszeű gépek : eőátvtel eszközök ksebb eővel (eőlködéssel) tudjuk ugyanazt a munkát elvégezn pl. : lejtő, emelő, ék, hengekeék, csgák, stb pl. : egy 00 kg tömegű nagy ládát embe egyedül aka feltenn m magasa :? F' << F F ny F G m kvázsztatkusan emel F G : W F. s mgh α G F' F' mgsnα : m W F'. s' mgsnα. h/snα mgh
W F. s mgh W F'. s' mgsnα. h/snα mgh ugyanaz, ha NINCS veszteség mvel kvázszatkusan emel : E mozg 0 W külső W befekt -W hasznos W belső csak meev, nyújthatatlan testeke, ha pl. úgó s van, akko nem gaz!!! ΣW W k + W b W bef W h W belső 0 W bef W h 0 η W W hasznos befektetett
belső eőket az éntkező felületek fejtenek k egymása: - ezek nomáls komponensenek Σ munkája 0; - a páhuzamos komponensek Σ munkája s 0, met a felületeke ható eők egyfoma nagyságúak + ellentétes ányúak ( ellenők ); a súl eő munkája pedg mndg negatív tovább egyszeű gépeket ld. később (meev testek után) végeedményben : amt nyeünk a éven,elveszítjük a vámon, vagys ahányszo ksebb eővel dolgozhatunk, annyszo hosszabb úton kell a tehet mozgatn + ha van súl. s, akko még hosszabb
potencáls enega : munkatétel tp.-dsz.-e : E kn,teljes W külső eők + W belső eők munkatétel defomálható testeke : Σ W belső eők 0 (met a test egyes tömegpt.-ja közeledhetnektávolodhatnak egymáshoz) W külső eők E kn a munkatétel nem teljesül?! pl. : egyk végén ögz. úgót húzunk : kvázsztatkusan + a húzóeő egye nő
kvázsztatkusan E kn,úgó 0 de van munkavégzés! ( akko s gaz, ha m úgó << m ajta levő test, ekko a úgó végée ható eők közelítőleg egyfoma nagyságúak és ellentétes ányúak a úgó mozgása majdnem egyensúly állapotokon keesztül töténk lyenko évényes az F úgó -k. x eőtöv.!!! ) nyújtsuk lyen feltételek mellett a úgót : x 0 ól x hosszúsága : F x (x) -k. (x-x 0 ) W * (x 0 x) x x 0 x [ ] F (x) dx k (x x )dx (x x ) x m húzzuk a úgót, ez az általunk a úgóa kfejtett eő -F x (x) k. (x-x 0 ) összenyomása hasonlóan! x 0 0 k 0
az a fgv., am megadja, h. menny munkát végezne a úgó a testen, míg kvázsztatkusan x-ből x 0 -ba vnné a knyújtott úgó ugyanenny munkát tud végezn a áakasztott testen, míg x 0 ba vsszavsz : x0 k * W(x x 0 ) F x (x)dx (x x 0 ) W (x 0 x x) a úgó által a tömegponton (testen) végzett munka, mközben egy tetsz. x helyől x -be vsz : W(x x ) W(x x 0 ) - W(x x 0 ) U(x) : W(x x 0 ) W * (x 0 x) F x W 0 x x x 0 x
lneás úgóa : U(x) W(x x 0 ) W * (x 0 x) ½k. (x-x 0 ) tetsz. x x elmozd.-hoz szüks. munka : W(x x ) U(x ) - U(x ) nem lneás F x (x) esetée s év.! munkatétel E kn W(x x ) U(x ) - U(x ) ha nncs súl.!!! E k, -E k, U -U E k, + U E k, + U potencáls enega munkavégző képessége van (met az alakja elté az egyensúly alaktól)
összes enega mechanka enega E mozg + E pot enegamegmaadás töv. : csak bz. feltételekkel! E mozg + E pot E mozg + E pot kezdet végső dőben állandó tehát : munkatétel enegamegmaadás pl. : úgón ezgő teste másképpen : x x 0 A sn( ωt) A ω cos( ωt) E tot E k + E pot A v x k [ sn ( t) cos ( t) ] ω + ω E E kn pot mv k(x x és ω A 0 ) mω cos k m A ( ωt) k sn m ω ( ωt) k
E tot E k + E pot A k [ sn ( t) cos ( t) ] ω + ω A E tot E k + E pot k áll. enegamegmaadás! pl. : két tömegpont (test) összekapcsolva egy úgóval: belátható, hogy (E k + E k + E pot ) kezd (E k + E k + E pot ) vég a úgó csak akko végez munkát, ha a tömegpont egymáshoz képest elmozdul, met F úgó mndg páhuzamos a testet összekötő egyenessel a úgóeő centáls eő pl. : a gavtácós kölcsönhatás pot. enegája : F gav s centáls eő hasonlít F úgó - hoz
F gav s centáls eő hasonlít F úgó - hoz E pot a gavtácóa s hasonlóan felíható : U() W( 0 0 ) Fgavd az a munka, amt a gav. eő végezne a két tömegponton (testen), míg azok az adott elatív táv.- ból a null-helyzetnek választott 0 elatív táv.-a mozdulnak hol legyen a null-helyzet : úgónál az egyensúly hossznál volt : tetsz. x x elmozd.-hoz szüks. munka : W(x x ) U(x ) - U(x ) ha máshol választottuk volna a null-helyzetet (x 0 ') : U'(x)W(x x 0 ')W(x x 0 )+ W(x 0 x 0 ')U(x)+áll.
U'(x)W(x x 0 ')W(x x 0 )+ W(x 0 x 0 ')U(x)+áll. a pot. enega csak egy addtív konstans eejég egyételmű! tetszőlegesen választható Föld másk test gav. kölcsönhatása esetén : nullhelyzet célszeűen lehet - a végtelen távol pt., v. -a földfelszín F gav. kölcsönhatásnál nncs o. véges táv., ahol F 0 lenne (úgónál volt) egyelőe függőben hagyva a nullhelyzet választást
menny munkát végez a nehézség eő, míg a tömegpontok táv.-ból 0 -ba mozdulnak : mvel vonzóeő ha > 0 poztív munka ha < 0 negatív W W(x x ) U(x ) - U(x ); munka eő elmozd.; F gav -γmm/ U() F lm 0 F( ρ ) 0 0 mm Fd γ d U γmm R γmm 0 R γmm
U() U() γmm 0 tehát ha a nullhelyzetet 0 -ban választjuk : γmm mm + mm mm γ γ γ 0 0 + const. Föld másk test gav. kölcsönhatása esetén : a nullhelyzet célszeűen a földfelszín (a földsugá) U γmm R (tt -t a Föld középpt.-jától méjük) U R γmm γmm R mvel R + h R + h R
R + h R + és h << R h h R R R R h R U γmm R γm mh R g mgh U mgh de ezt úgy s meg lehet kapn, h a nehézség eő az m tömegű testen mgh munkát végez, míg a test h magasságból 0 magasságba süllyed (vagy m végzünk a testen mgh munkát, míg 0-ól h magassága emeljük) a Földtől nagyobb táv.-a (ha g áll.) a nulhellyzetet nkább a végtelenben választják : mm U γ
gav. pot. enega helyzet enega ha a két test közül egyk a Föld (M >> m), akko ez állónak teknthető : a m testnek van helyzet enegája de nem szabad elfelejten : a pot. E a KÉT test közös tulajdona pl. : adott magasságból elejtett test mekkoa sebességgel csapódk a földbe? pl. : menny lesz a h magasságú lejtőől súlódásmentesen lecsúszó test végsebessége, ha a kezdőseb.-e 0 volt? pl. : a Föld felszínéől egy testet nagy v 0 kezdőseb.-el függ.-en fellövünk. Mlyen magasa jut?
a Föld felszínéől egy testet nagy v 0 kezdőseb.-el függ.-en fellövünk. Mlyen magasa jut? U mm γ és R γ mm + mv 0 R mm γ R + h h pl. : mekkoa kezdőseb.-el kell fellőn, hogy ne essen vssza? ha az össz E a klövés pllanatában < 0, akko lesz o. táv., ahol a test seb.-e 0 lesz hogy ne foduljon vssza : v 0 γm R gr km s γ mm + mv R másodk kozmkus sebesség 0 0
pl. : fonálnga : E h l h E m
a pot. E általános def.-ja; konzevatív eők : tp. között kölcs.hatáshoz csak akko lehet E pot -t def., ha a tp.-k között ható eő CSAK a tp. elatív helyzetének fgv.-e, ekko : E pot az a W, amt az egyk tp. végez a máskon ÉS a másk az egyken, míg adott helyzetből a nullhelyzetnek megfelelő el. helyzetbe mozdulnak : U() W( elatív helyzet! 0 0 ) F()d (úgónál volt : ugyanez a W megkapható úgy s, h. ha az egyk tp.-a ülünk és onnan nézzük a másk hozzánk vsz. elmozd.t)
az U() W( 0 0 ) F()d def. csak akko egyét., ha a kölcs.h. eő munkáját egyét. megszabja a kezdő és végső helyzet, fgtl. attól, h. mlyen úton jut -ből 0 -ba ha ez telj. E pot! W( ) U( ) U( ) a munkatételből : U -U E k -E k U + E k U + E k teljesül a mech. E megm. tétele!
s F s F A valóban fgtl. a W az úttól? úgóa; gav. kölcs.h.-a: B esetben F csak a tp. táv.-tól függ és F centáls az utakat ks s elmozdulásoka bontva: az elmozd.-k eő-ányú komponense megegyezk a végzett munka a két úton megegyezk centáls eőhöz endelhető pot. enega (pl. Coulomb-eőhöz s), de más kölcs.hatáshoz s lehet!!
(pl. tozós nga esetén, ahol fogatónyomaték végez munkát, am csak a test kezdő- és véghelyzetétől függ) konzevatív kölcsönhatás : ha a végzett munka csak a kezdő- és véghelyzettől függ, azaz o. kölcs.h. amhez E pot az lyen eőket konzevatív eők-nek nev. pl. F súl. nem konz.! tömegpontendszee : ha a tagja között (páonként) konz. kölcs.h. van : enegatétel : E mozg, + E pot,j állandó < j egyes tp.-k mozg.e-ja az,j páos kölcsönhatás pot E-ja
E pot -t úgy s szokták def., mnt azt a munkát, amt kell végezn a kölcsönhatás eő ellenében, míg a nullhelyzetből az adott helye vsszük: W én F 0 én d F 0 kölcsönhatás d 0 F kölcsönhatás d U() az eő meghatáozása a pot. E-ból : előbb F() most U() U() F() smen kell a tömegpontok (testek) kölcs. helyzetét, ll. egy adott, kszemelt tp. helyzetét : a tp.dsz.-e U() teljes a tp.-k között pot.e-k összege; étékét a tp.-k elatív helyzete egyét. megszabja egy
addtív konstans eejég!!! (ld. koábban) U() de : teljes - ben a kválasztott tp. helyzetét jelöl, vszont U a dsz. több tagjának helyzetétől s függ! mozdítsuk el gondolatban a tp.-t δ -el ( vtuáls elmozdulás) U() U( + δ) a pot. E csökkenése a dsz. több tagja által a tp.-on végzett munkával U() U( + δ) Fδ F δ poztív, ha U(+δ) < U() és negatív fodítva F δ lm δ 0 δ U( + δ) δ U() ha véggpóbáljuk az összes lehetséges δ elmozdulásokat, megkapjuk az F-nek tetsz. ányú komponensét az eőkomponens < 0, ha az elmozd. U növekedésével já, és fodítva
az az ány, amee mozdulva a legnagyobb poztív eőkomponenst kapjuk, az eővekto ánya az eő abba az ányba mutat, amee mozdítva a pontot, a leggyosabban csökken a dsz. pot. E-ja pl. : mekkoa a teste ható eő egy adott z-helyen? ½kz U mgz U teljes (z) z F ö l d F z (z) a úgó pot. E-ja : U k( l l 0 ) kz a test helyzet E-ja : U teljes (z) kz + U mgz (nullhelyzet az ogóban) mgz a tp.-a ható F eedő z-komponense: lm δz 0 U(z + δz) δz U(z) du dz kz mg
meev test egyensúlya, fogatónyomaték, mpulzusmomentum ( pedület) : vektomennység momentuma : mpulzusmomentum L p fogatónyomaték M F tömegpont pedülete : Keple I. : a bolygók ellpszspályán mozognak Keple II. : a Naptól a bolygóhoz húzott vezésugá dőközök alatt teületeket súol : v dőegység alatt súolt teület f teületsebesség P f Nap A df. f dt f t állandó a Föld sebessége legnagyobb P-ben (januá 3-án), legksebb A-ban
v ḟ meőleges a pályasíka ha adott a tp.-a (bolygóa) ható eő menny változás gyosasága? : f + + t v v) (v ) ( lm dt d f 0 t teülete ½. a. b. snγ, + ány a jobbkéz-szabály szent + + t v v t t v lm 0 t [ ] + + a 0 v v a m F a (N.II.) F m F m dt f d vagys : ( ) ( ) a a v v v v v dt d v dt d f dt d.. + + vekto szozatot deválva :
vagys : F d f dt m F a Nap felé mutat, így F F 0 f áll. ez éppen Keple II. töv. f ánya s const. a pálya síkja s állandó centáls eő a tp.-a ható eő hatásvonala mndg átmegy a kood.dsz. egy adott pt.-ján (pl. a Földe ható gav. eő mndg a Nap felé mutat) így Keple II. másképpen : centáls eő hatása alatt mozgó tömegpont teületsebessége állandó
egyúttal megkaptuk az mpulzusmomentum tételt tömegponta : d f dt m F pedülettétel : d dt m f d dt ( mv) dl dt L d dt p M ( p) F M ebből vsszakapjuk a pedületmegmaadást : ha M 0 L állandó (pl. centáls eőnél)
pedülettétel pontendszee : tp.dsz. pedülete az egyes tp.-k pedületenek összege : az egyes tömegpontoka : dl dt dl dt külső fogatónyomatékok belső fogatónyomatékok M M + M + M L L dl dt + M 3 + M 3 dl dt +... +... dl dt stb (mnt mpulzustétel) M
zát tp.dsz. : M 0 ha még a belső eőke F j -F j (N.III.töv.) mellett az s teljesül, h. közös hatásvonalúak, akko M j -M j s teljesül dl dt M L állandó vagys zát tp.dsz. teljes pedülete állandó pl. : napendszee gaz pontszeű, elektomosan töltött testeke s gaz de : 0
nem zát tp.dsz.-e hatnak külső fogatónyomatékok : dl dt ha a belső fogatónyomatékok nem ejtk k egymást páonként : pl. egymása mágnesek, ekko nem centáls eők a belső eők M??? ld később
pl. : fonálnga még egysze : φ l dl dt M pedülettétel és L L m l v ; v l. ω l kl. snφ F k (kényszeeő kötéleő) d d dω mlv ml lω ml ml.. ϕ dt dt dt M M m g l snϕ mg k m l.. ϕ mg lsnϕ M m. g (szabadeő) ugyanaz a dff. egyenlet, mnt amt koábban kaptunk a N.II.-nél! (megoldást ld. ott)
pl. : bzonyítsuk be Keple III.-t : (a bolygópályák nagytengelyenek köbe úgy aánylanak egymáshoz, mnt a kengés dők négyzete) E mech állandó napközelben ugyananny, mnt naptávolban a ( ) v γmm γmm m v + felületsebesség állandó : T ellpszs teülete osztva teületsebességgel : kengés dő v f a c f v v c T T a + c abπ (a c)v abπ (a + c)v a v c c abπ (a c)t v abπ (a + c)t
4a b T π (a c) (a + c) γm a c c 4ac(a -c ) - és ellpszse : b a -c a T 3 γm 4π állandó Keple III.
meev test egyensúlya, fogatónyomaték : egyensúlyban van v áll. nyugalomban van v 0 F 0 de fooghat! M 0 ahol M fogatónyomaték fogató hatás M eő eőka F. F tengelye vonatk.!! M F F
tengely köül fogás : Z F' pl: ajtó nytása k F csak akko van fogás, ha F hatásvonala nem megy át a tengelyen M Z F k eőka ögzített teng. köül fogó meev test a tengelye meőleges síkban ható eők esetén akko van egyensúlyban, ha a teng.- e vonatkozó fogatónyomatékok algeba összege nulla
ögzített tengely, tengelye vonatkozó fogatónyomaték : egyetlen F eő hatásáa akko és csaks akko jön fogásba, ha F-nek van a tengelye komponense; és hatásvonal nem megy át a tengelyen az okozott β nem egyételmű : ugyanakkoa, ugyanolyan ányú eő másként fogat, ha hatásvonala messzebb van a tengelytől nagysága : M z k. F xy