1 Egy gyakorlati szélsőérték - feladat Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot. 1. ábra forrása: [ 1 ] Magyarul: Három egyforma széles deszkából egy (eresz - )csatornát szegezünk össze. Az oldalfal milyen hajlásszögénél lesz a csatorna keresztmetszete a legnagyobb? A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra A csatorna T keresztmetszeti területe a trapéz terület - képletével: ( 1 ) Az a mennyiség számítása: tehát: ( 2 )
2 A b mennyiség számításához tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Eszerint: tehát: ( 3 ) A c mennyiség számítása: ezzel: ( 4 ) ( 5 ) Most ( 1 ) és ( 5 ) - tel: A d mennyiség számítása: ( 6 ) ( 7 )
3 Az m mennyiség számítása: Most ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ) cal: Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 9 ) - cel: ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) A ( 10 ) függvény α szerinti szélsőértékét keressük. I. Közelítő analitikus megoldás Ekkor feltesszük, hogy ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) A szélsőérték szükséges feltétele: innen: tovább alakítva: a megoldóképlettel: rendezve: így: minthogy: tehát: ( 13 / 1 ) ( 13 ) Tehát a ( 11 ) közelítésben a csatorna legnagyobb keresztmetszeti területét akkor kapjuk,
4 ha az oldalfalak a fenékkel 60 - os szöget zárnak be. Ez megegyezik a 4. ábrán látható eredménnyel. 4. ábra forrása: [ 1 ] A terület - szélsőérték nagysága ( 12 ) és ( 13 / 1 ) - gyel: tehát: ( 14 ) II. Pontos numerikus megoldás Ehhez felvesszük az alábbi deszka - adatokat 5. ábra: 5. ábra forrása: http://www.turgyeifatelep.hu/webaruhaz/upload/images/big/deszka-2-5x15x200- cm_47_1266830112.jpg v = 2, 5 cm ; s = 15 cm. ( A ) Majd ( 10 ) és ( A ) - val:
5 A T ( α ) függvényt a 6. ábra szemlélteti. ( a ) 6. ábra A 6. ábráról leolvasható, hogy ekkor: Most számoljuk ki a ( 14 ) - et ( A ) - val! Ekkor: ( b ) ( c ) ( d ) A keresztmetszeti területek százalékos eltérése: Az ( e ) eredmény szerint jelentős a százalékos eltérés a közelítő és a pontos értékek között. Ennek alapján javasolható a pontos numerikus számítás, egy adott esetben. Ez főként azzal magyarázható, hogy nem teljesül a ( 11 ) feltétel: ( e )
6 ( f ) Ezzel feladatunkat megoldottuk. Megjegyzések: M1. Minthogy csatornáról van szó, a vízzárást biztosítani kell, a két illeszkedő deszka gérbe vágásával. Ha ugyanis az s = b = a felvétellel élünk, akkor az azt jelenti, hogy a két deszka egy vonal mentén érintkezik csak, jó esetben. Ekkor sarokkitöltő léc - darabokat kellene alkalmazni a sarkok lezárására, vagyis egyszerűbb, ha szögfelező mentén végzett vágással illesztjük a deszkákat. M2. Természetesen meg lehet próbálni a II. esetben is az analitikus eljárást. Úgy tűnik, hogy ekkor egy hatodfokú algebrai egyenlet megoldása lenne a közvetlen feladat, amit szintén numerikusan végeznénk el; vagyis célszerűbb ekkor mindjárt numerikusan indítani a feladat megoldását. M3. Sajnos, nem egészen értjük e feladat készítőjének / megoldójának a gondolkodás - módját; hiszen a szegezett doszka az vélhetően szegezett deszka. Ha más lenne, pl. tábla ( falemez ) ahogyan a szótárban második jelentésként olvasható akkor lehetséges, hogy teljesül ( 11 ), így az ( e ) szerinti százalékos eltérés is lényegesen kisebb lehetne. Ezzel itt már nem foglalkozunk. M4. A 7. ábrán ( 12 ) és ( A ) alapján megjelenítettük az I. megoldás területfüggvényének grafikonját is. Innen leolvashatóak a ( 13 ) és ( d ) szerinti eredmények is. A 6. és a 7. ábra grafikonjai igen hasonlóak, így valószínűleg jól dolgoztunk, azaz nem tévesztettünk el semmit sem. M5. Némiképpen meglepő, hogy egy ilyen látszólag egyszerű geometriai elrendezésű fel - adat pontos megoldása milyen komoly számítási nehézségekkel járhat. Ezeket kerültük meg a Graph ingyenes grafikonrajzoló szoftver alkalmazásával. Ennek segítségével per - cek alatt megoldhatunk olyan feladatokat, melyekkel azelőtt napok alatt sem boldogultunk volna. M6. Valaki azt gondolhatja, hogy minek ez a nagy pontoskodás. Erre a kérdésre mindig ez a válaszom: Képzeljük el, hogy a felhasznált anyagokat arany - áron mérik! Megvan? Úgy - e, ez esetben máris nem lenne olyan meglepő a nagy pontosságra való törekvés?
7 7. ábra M7. Megeshet, hogy a középfokú szakképzésben is hasznosítani lehet a fenti eredménye - ket, az ismeretlen matematikai részektől eltekintve. Utóbbira példa lehet a szélsőérték meghatározása a területfüggvény deriváltja segítségével. Ekkor is jó szolgálatot tehet a Graph, illetve annak szélsőérték - kereső szolgáltatása. Szóval, akár egy újabb projekt - feladat segédanyaga is lehet ez a dolgozat. ( Hasonlókat mondhatunk a Feldman ~ Sapiro fűrészáru - kihozatalt maximalizáló elmélet szélsőérték - számítása kapcsán is.) Sok sikert! Forrás: [ 1 ] I. A. Maron: Differencialnoje i integralnoje iszcsiszlenyije v primerah i zadacsah Nauka, Moszkva, 1970., 145. + 385. o. Sződliget, 2017. 07. 25. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár