DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket feljegyezzük és együtt tekintjük, ú.n. idősort kapunk. Jelölje x avál- tozó mennyiséget (pl. fogyasztás) és x t annak a t-edik időpontban megfigyelt értékét (t =0,,,...). Az idősor tehát: x 0,x,...,x t,x t+,...= {x t } t=0, vagyis egy sorozat. Bizonyos idősorok nem véletlenszerűek, ellenkezőleg, a t-edik időpontban felvett érték valamilyen törvényszerűség alapján egyértelműen meghatározható az előző (t -edik, t -edik,...) időpontokhoz tartozó értékekből. Ezen törvényszerűségeket leíró matematikai formulák a differenciaegyenletek. Matematikailag: legyen adva egy (t, x) f(t, x) függvény és tegyük fel, hogy bármely t esetén (itt és a továbbiakban t a0,,, 3,... nem-negatív egész számok valamelyikét jelöli), az f(t, ) függvény tetszőleges valós számra értelmezve van. Ekkor az x t = f(t, x t ) (t =,, 3,...) összefüggést elsőrendű differenciaegyenletnek nevezzük. Ez azt mondja meg, hogyan kell kiszámítani az idősor t-edik elemét a t -edikből. Ez tehát egy iterációt rögzít: ha tudjuk az x 0 kiindulási (kezdő) értéket, akkor kiszámítható x, abból x és így tovább, az egész idősor. Azért elsőrendű az egyenlet, mert csak az előző értéket használjuk a kiszámításhoz. Ha az előző kettőre van szükség a kiszámításhoz, akkor másodrendűnek nevezzük az egyenletet (erről később lesz szó). Az egyenlet megoldása maga az idősor {x t } t=, amelyet röviden x t -nek is fogunk írni. Tehát az egyenletnek végtelen sok megoldása van, de ha rögzítjük az x 0 kezdeti értéket, akkor a megoldás már egyértelműen meghatározott. Konstans együtthatós lineáris egyenlet ELSŐRENDŰ DIFFERENCIAEGYENLETEK x t = ax t + b t (t =,, 3,...) ahol a R konstans, b,b,b 3,... adott sorozat. Tegyük fel, hogy x 0 adott és végezzük el az iteráció elsőhárom lépését: x = ax 0 + b x = ax + b = a x 0 + ab + b x 3 = ax + b 3 = a 3 x 0 + a b + ab + b 3. Észrevéve a törvényszerűséget, tudjuk folytatni az idősort számolás nélkül: Ebből a következő tételhez jutunk: x 4 = a 4 x 0 + a 3 b + a b + ab 3 + b 4 x 5 = a 5 x 0 + a 4 b + a 3 b + a b 3 + ab 4 + b 5.

Tétel. Az x t = ax t + b t (t =,, 3,...) differenciaegyenlet megoldása: vagyis tömörebben írva: x t = a t x 0 + a t b + a t b + + ab t + b t, x t = a t x 0 + t a t k b k (t =,, 3,...) k= Bizonyítás. A teljes indukciómódszerét használjuk. A formulát bebizonyítottuk a t = értékre. Tegyük fel, hogy a formula igaz t-re. Belátjuk, hogy akkor igaz t+-re is. Valóban: ( ) t x t+ = ax t + b t+ = a a t x 0 + a t k b k + b t+ = a t+ x 0 + k= t t+ a t+ k b k + b t+ = a t+ x 0 + a (t+) k b k, k= de ez éppen a bizonyítandó formula jobboldala. Ha b t nem függ t-től, tehát b t = b (t =,, 3,...), akkor t a t k b k = b k= k= t a t k = b(a t + a t + + a + a +)= k= = b at a Ha b t = b (t =,, 3,...)és a =,akkor (a ). t a t k b k = b( + + +)=bt. k= Tehát a következő szabályt kaptuk: x t = ax t + b (t =,, 3,...) ( x t = a t x 0 b ) + b (a ) a a x t = x 0 + tb (a =). Példa. x t = x t +3 (a = ),b=3 ( ) t x t = (x 0 6) + 6 (t =0,,,...).

. Példa. x t = 3x t +4(a = 3,b=4) x t =( 3) t (x 0 ) +. (Az előadáson bemutatjuk a két megoldást az ODE ARCHITECT programcsomag segítségével.) Egy alkalmazás: A növekedés multiplikátor-akcelerátor modellje. Y t : a nemzeti jövedelem a t-edik évben I t : a teljes beruházás a t-edik évben S t : a teljes megtakarítás a t-edik évben Tegyük fel, hogy () a megtakarítás arányos a nemzeti jövedelemmel (multiplikátor-szabály): S t = αy t (0 <α=állandó) () a beruházás arányos a nemzeti jövedelem megváltozásával az előző évhez képest (akcelerátor-tényező): I t = β(y t Y t ) (0 <β=állandó) (3) fennáll az egyensúlyi feltétel, tehát a teljes beruházás nem haladhatja meg a megtakarítást vele egyenlő: S t = I t A(3)feltétel segítségével kiküszöböljük az S t változót, tehát ()-ből az I t = αy t adódik. Ezt a ()-be helyettesítve adódik: ahonnan Y t -t kifejezve kapjuk: Képletünk szerint a megoldás: Y t = αy t = β(y t Y t ), β β α Y t (t =,, 3,...). ( β ) t Y 0 (t =0,,,...). Y t = β α Ha β/β α>, akkor a gazdaság exponenciálisan nő. Ha 0 <β/(β α) <, akkor a gazdaság exponenciálisan csökken. Egyensúlyi állapot, stabilitás 3

Tekintsük az x t = f(x t ) (t =,, 3,...) ú.n. autonóm differenciaegyenletet. Ennek egyensúlyi (vagy stacionárius) állapota azon x értéke az x változónak, amelyet kezdeti értéknek véve a megoldás az x t = x (t =0,,,...) állandó sorozat. Ez azt jelenti, hogy az egyensúlyi állapotok pontosan az x = f(x) egyenlet megoldásai. Például, az x t = ax t + b egyenlet egyensúlyi állapota: x = ax + b x = b a (a ). A megoldást szolgáltató képlet szerint a esetén x t = a t (x 0 x )+x (t =0,,,...) Ha x 0 = x,akkorx t = x,tehát x egyensúlyi állapot. Ha x 0 x, akkor az egyensúlyi helyzettől való x t x eltérés az x t x = a t (x 0 x ) (t =0,,,...) törvény szerint változik. Ha a <, akkor az eltérés 0-hoz tart, éspedig ha 0 <a<, akkor monoton módon, ha <a<0, akkor oszcillálva. Ha a >, akkor az eltérés nő, éspedig ha a>, akkor monoton módon, ha a<, akkor oszcillálva (ld. ábra). 4

Ezért az a < esetben az egyensúlyi állapotot stabilisnak nevezzük, az a > esetben pedig instabilisnak. Apókháló-modell. Tegyük fel, hogy egy termék keresleti (D), illetve kínálati (S)függvénye: D = a bp (a, b > 0), S = c + dp (c, d > 0), ahol p az áru árát jelöli. Ha az áru ára nő, akkor a kereslet csökken, a kínálat viszont nő. Bizonyos termékek esetén (ilyenek pl. a nem raktározható mezőgazdasági termékek, mondjuk a földieper) a kínálat reagálásához időre (pl. egy évre) van szükség. Jelölje p t a t-edik időszakban kialakult árat. A kereslet ezen az áron: D t = a bp t. A termelő (eladó) a p t árból kiindulva a következő évre az S t+ = c + dp t 5

kínálatot tervezi. A p t ár a kereslet és a kínálat közötti kötelező egyensúly törvényéből, tehát a D t = S t egyenlőségből alakul ki (az eladó úgy állítja be a p t árat, hogy a teljes árumennyiséget el tudja adni). Tehát vagyis D t = S t a bp t = c + dp t, p t = d b p t + a + c. b Képletünk szerint az egyenlet egyensúlyi állapota: p = a + c b + d b = a + c b + d, ami éppen a keresleti és kínálati egyenes metszéspontjának p-koordinátája (p = p E ). Egyenletünk megoldása tehát az általános képlet szerint: ( p t = d ) t (p 0 p )+p (t =0,,,...). b A b, illetve a d konstans azt mutatja, hogy a kereslet, illetve a kínálat milyen mértékben reagál az árváltozásra, ezért ezeket rugalmassági együtthatóknak hívjuk: m D = b : a kereslet rugalmassági együtthatója m S = d :akínálat rugalmassági együtthatója Ezekkel a megoldás: ( p t = m ) t S (p 0 p )+p (t =0,,,...). m D Tehát a következő eredményre jutottunk:. Ha a kereslet rugalmasabb, mint a kínálat (m D >m S ), akkor az ár oszcillálva tart az egyensúlyi árhoz (csillapodó oszcilláció)..haakínálat rugalmasabb a keresletnél (m D <m S ), akkor az ár oszcillál úgy, hogy az amplitúdók végtelenbe tartanak (instabilis oszcilláció, a piac összeomlik). 3. Ha a kereslet és kínálat egyformán rugalmasak (m D = m S ), akkor p t = { p +(p 0 p ), ha t páros p (p 0 p ), ha t páratlan, vagyis p + periodikusan változik a p egyensúlyi ár körül p 0 p amplitúdóval (stabilis, de nem csillapodó oszcilláció). 6

7

Ugyanehhez az eredményhez egy nagyon egyszerű geometriaimódszerrel is eljuthatunk. Rajzoljuk fel a keresleti és a kínálati egyeneseket ugyanabban a koordinátarendszerben. Induljunk a p 0 árból. Ehhez az eladó tervezegys kínálatot a következő évre. A D = S egyenlőség miatt ez meghatározza a p árat, amelyből megkapjuk az S kínálatot. Ez azt jelenti, hogy felváltva lépkedünk a D és az S egyenes között függőleges és vízszintes irányban. Így keletkezik a pókháló (ld.ábra). 8

9

Példa. Tegyük fel, hogy q számú sertés felnevelési költsége C(q) =αq + βq, (0 <α,β), továbbá, hogy a gazdaság N egyforma sertésfarmból áll. Legyen a keresleti függvény: D(p) =γ δp (0 <γ,δ), ahol p egy sertés ára. A farm haszna: π(q) =pq C(q) =pq αq βq, ezt kívánja mindegyik farm maximalizálni. Mint tudjuk, a maximum feltétele: π (q) =p α βq =0 q 0 = p α β. Mivel π (q) = β <0, q 0 -ban a haszonnak tényleg maximuma van. Ha p>α,akkor q 0 =(p α)/β sertést kell egy farmon hízlalni, hogy maximális legyen a haszon. Ennek megfelelően az N farm kínálati függvénye: S(p) = N(p α) β (p >α). Az egyensúlyi ár az S(p) = D(p) egyenlőségből: A rugalmassági együtthatók: N(p α) β = γ δp p = βγ + Nα βδ + N. m S = N β, m D = δ. A megoldás: ( p t = N ) t (p 0 p )+p. βδ Az esetek:. Ha N<βδ, akkor csillapodó oszcilláció történik és az ár tart a (βγ+nα)/(βδ+n) egyensúlyi árhoz.. Ha N>βδ, akkor instabil oszcilláció van, a piac összeomlik. 3. Ha N =βδ, akkor periodikus oszcilláció alakul ki. Kamatos kamat és diszkontált jelenérték 0

Kövessük most egy folyószámla egyenlegét, ha oda periódusonként befolyik bizonyos összeg, illetve felveszünk bizonyos összeget. w t :azegyenlegat-edik periódusban y t : a befizetés a t-edik periódusban c t :akivét a t-edik periódusban r: egy periódusra eső kamatláb A kamatos kamat törvénye szerint: Általános képletünk szerint a megoldás: Átszorozva ( + r) t -nel: w t =(+r)w t +(y t c t ) (t =,,...). w t =(+r) t w 0 + t ( + r) t k (y k c k )(t =,,...). k= ( + r) t w t = w 0 + t ( + r) k (y k c k ). k= A baloldalon a w t összeg diszkontált jelenértéke (PDV) áll. Ez tehát a w 0 induló betétből, a t időpontig történő összes befizetés jelenértékéből és az összes kifizetés jelenértékéből alakul ki. Lakáskölcsön visszafizetése Tegyük fel, hogy felveszünk egy B összegű lakáskölcsönt és azt havonként törlesztjük; a havi kamatláb legyen r. Minden hónapban ugyanannyi a törlesztőrészlet, és T hónap alatt kell a kölcsönt visszafizetni. Kérdés: mennyi a törlesztőrészlet? b t :azaktuális egyenleg (ennyivel tartozunk még a t-edik hónapban) z: egyhavitörlesztőrészlet Ekkor: { bt =(+r)b t z (t =,,...,T A differenciaegyenlet megoldása: b 0 = B, b T =0. ( b t =(+r) t B z ) + z r r. Mivel b T =0: 0=(+r) T ( ) B z + z r r,

amit B-re megoldva a következőt kapjuk: B = z r [ ( + r) T ]=z T ( + r) t. ( ) Tehát akölcsön egyenlő a havi részleteket diszkontált jelenértékével. Az összefüggést z-re megoldva: rb z = ( + r) T = rb + ( + r) T rb ( + r) T. Ebből látszik, hogy a fizetőrészlet nagyobb, mint az eredeti B kölcsönre egy periódus alatt fizetendő rb kamat, ami érthető, hiszen a kamatok befizetésén túl a tőkét is téríteni kell. A két összetevő elkülönítése fontos, mert sok országban (pl. USA) a törlesztés kamattartalma, tehát rb t levonható azadóalapból, de a tőketörlesztés nem. Számítsuk ki a kamattartalmat és a tőketörlesztést, mint a t idő és a z fizetőrészlet függvényét. A( ) összefüggésből: Ezt a megoldásba helyettesítve: t= B z r = z r ( + r) T. b t = z r [ ( + r)t T ]. Tehát a t időszaki tartozásra eső kamatfizetés a t időszakra eső tőketörlesztés pedig rb t = z[ ( + r) t T ], z rb t = z( + r) t T. Tehát a tőketörlesztés kezdetben kicsi, de exponenciálisan nő. Változó együtthatós lineáris egyenlet x t = a t x t + b t (t =,,...). Ugyanúgy számolunk, mint a konstans együtthatós egyenlet esetében: x = a x 0 + b x = a x + b = a a x 0 + a b + b x 3 = a 3 x + b 3 = a 3 a a x 0 + a 3 a b + a 3 b + b 3. Asejtés: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) x t = a s x 0 + a s b + a s b +...+ a s b t + b t s= s= s=3 s=t

vagyis ( t ) x t = a s x 0 + s= ( t t k= s=k+ a s ) b k (A nullatényezős szorzat értéke definíció szerint ). A formulát ugyanúgy teljes indukcióval kell bizonyítani, mint a konstans együtthatók esetében (ezt elvégezni kötelező feladat!) Kamatos kamat változó kamatlábakkal w t =(+r t )w t + y t c t (t =,,...) ahol w t :aszámla egyenlege a t-edik időszakban r t :akamatláb a t-edik időszakban y t :betét a t-edik időszakban c t :kivét a t-edik időszakban Képletünk szerint: Vezessük be a [ t ] w t = ( + r s ) w 0 + s= D t := ú.n. diszkonttényezőt. Ezzel képletünk a D t w t = w 0 + [ t t k= s=k+ t s= ( + r s) = ] ( + r s ) (y k c k ). t s [ t t s=k+ ( + r ] s) t s= ( + r s) k= alakot ölti. Egyszerű számolás szerint +r s (y k c k ) t s=k+ ( + r s) t s= ( + r s) = = ( + r k+ )...( + r t ) ( + r )...( + r k )( + r k+ )...( + r t ) ( + r )( + r )...( + r k ) = D k. Tehát D t w t = w 0 + t D k (y k c k ). k= Ez azt a jól ismert elvet rögzíti, hogy a megtakarításunk jelenértéke az induló tőke + a bevételek összeadódó jelenértékei - a kivétek összeadódó jelenértékei. 3

Vezessük be az R k = D k D t = t s=k+ ( + r s ) ún. kamattényezőt, ami azt fejezi ki, hogy hányszorosára növekedett a k-adik időszakban betett összeg a t-edik időszakra. Képleteink összefoglalva: w t = R 0 w 0 + D t w t = w 0 + t R k (y k c k ) k= t D k (y k c k ), (t =,,...) k= D k := ( + r )...( + r k ), R k := ( + r k+ )...( + r t )(k =,,...) Feladat: Ha lakáskölcsönt veszünk fel változó r t kamatlábak mellett, és havonta z t a törlesztőrészlet, akkor a korábban tárgyalt modell a { bt =(+r t )b t z t (t =,,...,T) b 0 = B, b T =0 alakot ölti. Tegyük fel, hogy ismertek az r t kamatlábak, és a z t törlesztőrészlet a z t = r B +(t )γ (z > 0,γ >0,t=,,...,T) szabály szerint változik, vagyis a törlesztőrészletek egyenletesen nőnek. Határozzuk meg a γ növekedés mértékét. Homogén egyenlet Másodrendű lineáris egyenletek (H) x t+ + a t x t+ + b t x t =0 (t =0,,,...) a t, b t adott. Az x t+ = a t x t+ b t x t (t =0,,,...) alakból látszik, hogy ez az egyenlet egy olyan iteráció, amely az x 0,x kezdeti értékekből kiindulva meghatározza az x,x 3,...,x t,... mennyiséget. Két megoldás, x () t,x () t lineárisan függő, halétezik két olyan c,c konstans, hogy c + c > 0, és c x () t + c x () t =0 (t =0,,,...). 4

Ha két megoldás nem lineárisan függő, akkor lineárisan függetleneknek hívjuk őket. Nyilvánvalóan, az x () t,x () t megoldások akkor és csakis akkor lineárisan függetlenek, ha az (x () 0,x() )és (x() 0,x() )kétdimenziós vektorok lineárisan függetlenek. Mivel a kétdimenziós vektorok között mindig van két lineárisan független (pl. (, 0) és (0, )), ezért mindig létezik az egyenletnek két lineárisan független megoldása. Ezt az egyenlet alaprendszerének nevezzük. Tétel. Ha x () t,x () t az egyenlet egy alaprendszere, akkor az egyenlet általános megoldása: x t = c x () t + c x () t (c,c = konst.). Ez azt jelenti, hogy a) ez a képlet a c és c konstansok tetszőleges értékeinél megoldását adja az egyenletnek b) bármely ˆx t megoldáshoz léteznek olyan ĉ, ĉ konstansok, hogy ˆx t =ĉ x () t +ĉ x () t (t =0,,,...). Bizonyítás. a) Helyettesítsük be az x t sorozatot az egyenletbe: x t+ + a t x t+ + b t x t =(c x () t+ + c x () t+ )+a t(c x () t+ + c x () t+ )+b t(c x () t + c x () t ) = c (x () t+ + a tx () t+ + b tx () t )+c (x () t+ + a tx () t+ + b tx () t )=0, hiszen x () t és x () t b) Mivel (x () megoldásai a (H) egyenletnek. ), (x(),x() ) lineárisan függetlenek, bázist alkotnak R -ben, tehát 0,x() 0 léteznek ĉ, ĉ konstansok úgy, hogy (ˆx0 ˆx ) ( ()) ( ()) x 0 x 0 =ĉ x () +ĉ x (). Ekkor ˆx = a ˆx b ˆx 0 = a (ĉ x () +ĉ x () ) b (ĉ x () 0 +ĉ x () 0 ) =ĉ ( a x () b x 0 )+ĉ ( a x () b x () 0 )=ĉ x () +ĉ x (), ami azt jelenti, hogy az állítás igaz t = esetén. Ebből bizonyítható ugyanaz az egyenlőség t = 3-ra, majd teljes indukcióval tetszőleges t N-re. Atétel azt mutatja, hogy a homogén egyenlet teljes megoldásához elegendő találni két lineárisan független megoldást. Inhomogén egyenlet (IH) x t+ + a t x t+ + b t x t = j t a t,b t,j t adott sorozatok. Tétel.Az (IH) egyenlet általános megoldása: 5

x t = c x () t + c x () t + x t (t =0,,,...), ahol x () t,x () t alaprendszere az inhomogén (IH) egyenlethez tartozó (H) homogén egyenletnek, és x t egy tetszőleges (partikuláris) megoldása az inhomogén egyenletnek. Bizonyítás. a) Helyettesítsük be x t -t az (IH) egyenletbe: x t+ + a t x t+ + b t x t = c (x () t+ + a tx () t+ + b tx () t + c (x () t+ + a tx () t+ + b tx () t )+ x t =0+0+ x t = x t, hiszen x () t és x () t megoldásai a (H) egyenletnek. b) Legyen ˆx t tetszőleges megoldása az (IH) egyenletnek. Ekkor ˆx t x t megoldása a(h) egyenletnek (ellenőrizzük behelyettesítéssel!), tehát az előzőtétel szerint léteznek olyan ĉ, ĉ konstansok, hogy ˆx t x t =ĉ x () t +ĉ x () t (t =0,,,...), tehát ˆx t =ĉ x () t +ĉ x () t + x t (t =0,,,...), amit bizonyítani kellett. Konstans együtthatós homogén egyenlet (KH) x t+ + ax t+ + bx t =0 (a, b R). Keressünk megoldásokat alakban. Behelyettesítve kapjuk: x t = λ t (λ R) λ t+ + aλ t+ + bλ t =0, vagyis (k) λ + aλ+ b =0. Az x t = λ t exponenciális függvény akkor és csakis akkor megoldása az egyenletnek, ha a λ hatványalap megoldásaa(k) karakterisztikus egyenletnek. Ennek megoldásai: λ = a + 4 a b, λ = a 4 a b. Tétel.. Ha a 4b >0, akkor a (KH) egyenlet általános megoldása: ( x t = c a )t + 4 a b + c ( a 4 a b 6 )t

(c,c R).. Ha a =4b 0, akkor a (KH) egyenlet általános megoldása: ( x t = c a ) t ( + c t a ) t (c,c R). 3. Ha a 4b <0, akkor a (KH) egyenlet általános megoldása: x t = Ar t cos(ϕt+ ω) (A>0,ω [0,π]), ahol r = ( b, ϕ = arccos a ). b Bizonyítás. Azt kell bebizonyítani, hogy mindhárom esetben a definiált függvények tényleg megoldások, és az (x 0,x ) R vektor a benne szereplő szabadon választható konstansok megfelelő megválasztásával előállítja az R egy bázisát, hiszen ekkor ezekhez a konstansokhoz tartozó megoldások alaprendszert adnak. ad. Az összeg tagjai külön-külön megoldások (miért?), továbbá ac =, c =0, illetve a c =0,c =választás esetén ( ()) ( ) x 0 x () =, λ ( ()) ( ) x 0 x () =, λ és ezek λ λ miatt bázist alkotnak R -ben (miért?). ad. Az x () t =( a/) t megoldás, hiszen a/ gyöke a (k) karakterisztikus egyenletnek. Bizonyítsuk be, hogy x () t = t( a/) t is megoldás. Valóban, ha λ := a/, akkor x () t+ + ax() t+ + bx() t =(t +)λ t+ + a(t +)λ t+ + bλ t = λ t {(t +)λ + a(t +)λ + b} = λ t {t(λ + aλ + b)+(λ + aλ)} = λ t {t(λ + aλ + b)+λ(λ + a)} =0, hiszen λ gyöke a karakterisztikus egyenletnek, és λ + a =( a/) + a =0. Másrészt, ( ()) x 0 x () = ( ()) a x 0, x () = 0 a bázist alkotnak, hiszen a 0. ad 3. Ebben az esetben is behelyettesítéssel lehet meggyőződni arról, hogy x t megoldás (Feladat!). Másrészt, az A =,ω =0, illetve az A =,ω = π/ választással adódó ( ()) ( ) x 0 x () =, r cos ϕ 7 ( ()) ( ) x 0 0 x () = r sin ϕ

vektorok bázist alkotnak (miért?).. Példa. Határozzuk meg az egyenlet általános megoldását és az kezdeti feltételnek megfelelő megoldását. A karakterisztikus egyenlet és gyökei: x t+ 3x t+ +x t =0 x 0 =0, x =3 λ 3λ +=0 λ, = 3 ± 9 8 = 3 ± ; λ =, λ =. Az általános megoldás: x t = c + c t (t =0,,,...). Ha ˆx t jelöli a megadott kezdeti feltételeket kielégítő megoldást, akkor ˆx 0 =ĉ +ĉ =0 ˆx =ĉ +ĉ =3, tehát ĉ = 3, ĉ =3, vagyis ˆx t = 3+3 t =3( t ).. Példa. Az egyenlet: x t+ 4x t+ +4x t =0. A karakterisztikus egyenlet és gyökei: λ 4λ +4=0 λ, = 4 ± 6 6 =. Az általános megoldás: 3. Példa. Az egyenlet: x t = c t + c t t =(c + c t) t. x t+ +4x t =0. A λ + = 0 karakterisztikus egyenletnek nincs valós gyöke. Tehát az általános megoldás: r = b =, ϕ = arccos 0 = π 8

x t = A t cos Konstans együtthatós inhomogén egyenlet ( ) π t + ω. (KIH) x t+ + ax t+ + bx t = d t. Néhány speciális d t jobboldal esetén találhatunk partikuláris megoldást a határozatlan együtthatók módszerével.. Szabály. Az x t+ + ax t+ + bx t = λ t p(t) egyenlet (0 λ R,p(t) adotts-edfokú polinóm, 0 s =egész) partikuláris megoldását x t = λ t tm (e s t s + e s t s + + e t + e 0 ) alakban keressük, ahol az m 0egész szám azt mutatja, hogy λ hányszoros gyöke a karakterisztikus egyenletnek (m lehet 0, vagy ). Az e 0,e,...,e s együtthatókat behelyettesítéssel határozzuk meg.. Szabály. Az x t+ + ax t+ + bx t = R t cos φt és az x t+ + ax t+ + bx t = R t sin φt egyenlet (R b, vagy φ arccos( a/ b)) egyenlet partikuláris megoldását x t = R t (e cos φt+ e sin φt) alakban keressük. Az e,e együtthatókat behelyettesítéssel határozzuk meg. Ezen szabályok megalapozása és általánosabb alakja a [] tankönyvben megtalálhatók.. Példa. x t+ 5x t+ +6x t = t. A karakterisztikus egyenlet és gyökei λ 5λ +6=0 λ, = 5 ± 5 4 ; λ =,λ =3. Mivel λ = egyszeres megoldása a karakterisztikus egyenletnek, a partikuláris megoldást alakban keressük. Behelyettesítve: az x t = et t e(t +) t+ 5e(t +) t+ +6et t = t {et( 5 +6)+e( 5 )} = t e( ) t 9

azonosságnak kell teljesülni, ahonnan e = /. Tehát az általános megoldás: x t = c t + c 3 t t t ( = ) t + c t + c 3 t.. Példa. Határozzuk meg a egyenlet általános megoldását. A karakterisztikus egyenlet és gyökei: 8x t+ 6x t+ + x t =5sin π t 8λ 6λ +=0 λ, = 6 ± 36 3 ; λ = 6 4,λ =. Az egyenlet egy partikuláris megoldását a. Szabály szerint x t = A cos π t + B sin π t alakban keressük. Behelyettesítés, az addíciós tételek alkalmazása és összevonás után kapjuk, hogy a 8 x t+ 6 x t+ + x t =8 [A cos π (t +)+B sin π ] (t +) 6 [A cos π (t +)+B sin π ] (t +) + A cos π t + B sin π t =( 7A 6B)cos π t +(6A 7B)sinπ t 5sinπ t azonosságnak kell teljesülni, azaz a 7A +6B =0 6A 7B =5 egyenletrendszert kell megoldani. Az egyenlő együtthatók módszerével az A = 6/7, B = 7/7 adódik, vagyis a keresett általános megoldás: ( ) t ( ) t x t = c + c + (6cos π ) 4 7 t 7sinπ t. 0

Egy másodrendű multiplikátor-akcelerátor-modell. Tegyük fel, hogy egy ország évenkénti nemzeti jövedelme (x t )három összetevőre bomlik () fogyasztás (c t ) () egyéni beruházás (tőkeeszközök, gépek vásárlása a termelés növelése érdekében) (i t ) (3) központi kiadások (kormányzati kiadások) (g t ), tehát (E) x t = c t + i t + g t. Az itt szereplő mennyiségek között Samuelson a következő összefüggéseket feltételezte: (a) a fogyasztás arányos az előzőévi nemzeti jövedelemmel (multiplikátor-szabály), (b) a beruházás arányos a fogyasztásnak az előzőévi fogyasztáshoz viszonyított növekedésével (akcelerátor-szabály) (c) a központi kiadás évről évre állandó. Formulákkal: c t = αx t i t = β(c t c t ) g t = (0 <α=állandó) (0 <β=állandó). Ezeket az összefüggéseket és az (E) egyenletet használva kapjuk: x t = αx t + β(c t c t )+=αx t + β[αx t αx t ]+ = α( + β)x t αβx t +, vagyis az x t nemzeti jövedelem kielégíti az (DE) x t+ α( + β)x t+ + αβx t = (t =0,,,...) lineáris inhomogén differenciaegyenletet. Tegyük fel, hogy x 0 =,x =3. Ha az egyenlet által előírt iterációt elvégezzük az α =0, 5, β=, illetve az α =0, 8, β= esetben, akkor atáblázatban

közölt adatok szerint mindkét esetben oszcilláció megoldást kapunk. Észre kell vennünk azonban, hogy amíg az első esetben az oszcilláció csillapodik, x t -höz tart (stabilis oszcilláció), addig a második esetben szétrobbanó (instabilis) oszcillációt tapasztalunk. Felmerül a kérdés: hogyan függ a stabilitás az α, β konstansoktól? Egyáltalán, mindig oszcillál a nemzeti jövedelem? Adjuk meg a (DE) egyenlet általános megoldását, majd az adott kezdeti feltételnek megfelelő megoldását a két konkrét esetben. A karakterisztikus egyenlet és gyökei a két konkrét esetben:. α =0, 5, β = x t+ x t+ +0, 5x t =, λ λ + =0, tehát a karakterisztikus egyenletnek nincs valós gyöke. Általános tételünk 3. esete szerint a homogén egyenlet általános megoldása: r = b = x t = A (, ϕ = arccos a ) = arccos = π b 4 ( ) t cos ( ) π 4 t + ω, (A >0, ω [0,π]).

Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását x t = c alakban keresve behelyettesítéssel az x t = megoldáshoz jutunk, tehát az általános megoldás: x t = x 0 t + x t = A ( ) t cos ( ) π 4 t + ω +. Az x 0 =,x = 3 kezdeti feltételt kielégítő megoldás paramétereinek az x 0 = A cos ω += ( ) π x = A cos 4 + ω +=A ( ) cos ω sin ω +=3, vagyis a cos ω =0, A sin ω = feltételt kell kielégíteni, azaz ω = π,a=. A keresett megoldás: x () t ( ) t = cos π (t +)+(t =0,,,...). 4 Ez valóban a körül oszcillál és -höz tart, ha t, és számszerűen is igazolja az előző táblázatot.. α =0, 8, β= x t+, 4x t+ +, 6x t = λ, 4λ +, 6=0 nincs valós gyök r = b =, 6 ϕ = arccos,, 6. Az inhomogén egyenlet általános megoldása: x t = A( (, 6) t cos arccos, ) t + ω +5., 6 Tehát a második esetben is minden megoldás oszcillál, most az 5 körül, és, 6 > miatt egyre növekvő amplitúdóval, ami ismét igazolja a táblázatot. Magyarázatot kaptunk a két megoldásban tapasztalt viselkedésre. Hogy a felvetett stabilitási problémára is tudjunk válaszolni, tárgyalnunk kell a stabilitás általános feltételeit. Stabilitás 3

Az (IH) x t+ + ax t+ + bx t = d egyenletnek x = x egyensúlyi helyzete, haaz{x t } = {x } t=0 az egyenletnek: konstans sorozat megoldása x + ax + bx = d x = d a + b + feltéve, hogy a + b + 0. Ugyanúgy, mint az elsőrendű egyenleteknél, az x egyensúlyi helyzetet stabilisnak nevezzük, ha bármely megoldás ehhez az értékhez tart, ha t : lim t x t = x {x t } esetén. Szemléletes jelentés: ha a rendszer valamilyen zavaró tényező miatt kibillen egyensúlyából, akkor aszimptotikusan (hosszú idő elteltével) visszatér az egyensúlyi működéshez. Tétel. Az (IH) inhomogén egyenlet x egyensúlyi helyzete akkor és csakis akkor stabilis, haahozzátartozó (H) x t+ + ax t+ + bx t =0 homogén egyenlet x =0egyensúlyi helyzete stabilis, vagyis a (H) homogén egyenlet általános megoldására ( ) lim (c x () t + c x () t )=0 (c,c R) t teljesül. Bizonyítás. Mivel x t = x megoldása az (IH) egyenletnek, az (IH) egyenletáltalános megoldása x t = c x () t + c x () t + x. Ebből látszik, hogy lim x t = x akkor és csakis akkor teljesül minden megoldásra, ha ( ) t teljesül. Tétel. Az (IH) egyenlet egyensúlyi helyzete stabilis akkor és csakis akkor, ha az a, b paraméterek kielégítik a a + b +> 0, a+ b +> 0, b < egyenlőtlenségek mindegyikét. A stabilitás csillapított oszcilláció formájában jelentkezik akkor és csakis akkor, ha b>a /4. Bizonyítás. Előzőtételünk szerint csak a homogén egyenlet stabilitását kell vizsgálni.. a > 4b, két különböző valós karakterisztikus gyök létezik: λ = a + 4 a b, λ = a 4 4 a b.

Azt kell biztosítani, hogy lim t λt =0, lim t λt =0 teljesüljön, vagyis <λ <λ < legyen igaz. Először oldjuk meg a <λ egyenlőtlenséget: < a 4 a b, a 4b < a +. Ez csak akkor teljesülhet, ha a<. Ekkor a megoldás a 4b <a 4a +4, 0 < a + b +. Tehát <λ a<és a + b +> 0. Most oldjuk meg a λ < egyenlőtlenséget: a + 4 a b<, a 4b <a+. Ez csak akkor teljesülhet, ha a>. Ekkor a 4b <a +4a +4 0 <a+ b +. Tehát λ < a> és a + b +> 0. Tehát az. esetben a stabilitáshoz pontosan a <a<, a + b +> 0, a+ b +> 0 egyenlőtlenségeknek kell együtt teljesülni. Az a b paramétersíkon ez azt jelenti, hogy a b = a /4 parabola alatt az ABC idom a stabilitási tartomány (ld. ábra).. a =4b 0. Ekkor a lim t ( a ) t ( =0, lim t a ) t =0 t egyenlőségeknek, vagyis az a/ <, azaz az a < relációnak kell teljesülni. Az ábrán ez azt jelenti, hogy a 5

b = a /4 parabolának az AOC íve a stabilitási tartományhoz tartozik. 3. a < 4b. Ekkor az x t = A( b) t cos(ϕt+ ω) általános megoldás pontosan akkor tart 0-hoz, ha b<, vagyis b<. Geometriailag, a b = a /4 parabola felett az AOC idom tartozik a stabilitási tartományhoz, továbbá pontosan ekkor oszcillálnak a megoldások. Ahárom esetet összefoglalva, a stabilitási tartományt a a + b +> 0, a+ b +> 0, b< egyenlőtlenségek együttes teljesülése jellemzi, ami az a b paramétersíkon az ABC besatírozott háromszöget jelenti. Alkalmazás a multiplikátor-akcelerátor-modellre x t+ α( + β)x t+ + αβx t =, a = α( + β), b= αβ, egyensúlyi helyzet: x = (α ). α Az egyensúlyi helyzet az előző tétel szerint pontosan akkor stabilis, ha a + b += α( + β)+αβ+= α +> 0 a + b +=α( + β)+αβ+=αβ+ α +> 0 b = αβ >0 6

együtt teljesülnek. Mivel a középső egyenlőtlenség automatikusan teljesül, a stabilitási tartományt az α<és αβ < feltétel jellemzi (ld. az ábrán a besatírozott tartományt). Közgazdaságilag: () a fogyasztási határhajlandóság (α) nemlehet-nél nagyobb, hiszen a nemzeti jövedelemnél többet nem lehet fogyasztani. () adott α fogyasztási határhajlandóság mellett a β akcelerációs tényező nemlehet nagy, nevezetesen a β</α feltételnek kell teljesülni. Különben a gazdaság szétrobbanó (instabilis) oszcillációba kerül. Vizsgáljuk most meg azt a kérdést, milyen α, β esetén oszcillálnak a megoldások. Ez két esetben lehetséges: () λ,λ valós, λ λ < 0, () λ,λ nem valós. Az () akkor áll elő, ha a + ami lehetetlen. A () feltétele a < 4b, vagyis 4 a b<0 4 a b<a= α( + β), α ( + β) < 4αβ α< 4β ( + β). Az α β paramétersíkon ez a tartomány a β-tengely és az α =4β/(+β) függvénygrafikon közötti rész. Ezzel megkaptuk a Samuelson-modell teljes stabilitási és oszcillációs térképét. Anélkül, hogy az iteráció egyetlen lépését elvégeznénk, tudjuk, hogy a kétszeresen satírozott 7

tartományban stabilis oszcilláció történik, az egyszeresen satírozott tartományban oszcilláció nélkül tart a gazdaság az egyensúlyhoz, a két görbe közötti tartományban instabilis oszcilláció történik (a gazdaság felrobban), felette ugyanez oszcilláció nélkül. Goodwin piacmodellje. A pókhálómodellnél abból indultunk ki, hogy a termelő a jövő évi kínálatot az idei ár alapján kalkulálja: S t+ = c + dp t. Rugalmasabb reagálást jelent, ha a termelő nem csak az idei árat, de a tavalyit is figyelembe veszi, és a tavalyi idei tendencia alapján dönt a p t+ = p t + ρ(p t p t ), ahol ρ =konst. az ú.n. várhatósági tényező (lehet pozitív és negatív is; ρ = 0,akkor a pókháló-modellt kapjuk vissza); p t+ kalkulált jövő évi ár. Ekkor a modell a { Dt = a bp t S t+ = c + d[p t + ρ(p t p t )] alakot ölti. A p t ár most is a piac könyörtelen D t = S t feltételéből alakul ki: a bp t = c + d[( + ρ)p t ρp t ], vagyis p t + d( + ρ) b p t dρ b p t = c + a b (t =, 3,...). Ez egy másodrendű differenciaegyenlet: p t+ + αp t+ + βp t = γ (t =0,,,...), ahol α = d( + ρ) b = m S ( + ρ), β= dρ m D b = m S ργ= c + a m D b = c + a m D. Az egyensúlyi ár: p = γ +α + β = c + a m D + m S. Az egyensúlyi ár stabilitásának szükséges és elegendő feltétele a α + β += m S m D +> 0 α + β += ( + ρ) m S m D > 0 β =+ m S m D ρ>0 8

egyenlőtlenségek teljesülése. Az első automatikusan teljesül. Az utolsó két egyenlőtlenségből álló rendszer megoldása a ρ-tengelyt három részre osztjuk: I. ρ>0. Ekkor + ρ >0, ezért m S < m D +ρ és m S > m D ρ. Amásodik egyenlőtlenség automatikusan teljesül, így az első adja a megoldást (ld. ábra). II. <ρ<0. Ekkor még mindig + ρ >0, tehát m S m D < +ρ és m S m D < ρ. A ρ> /3 esetben elegendő azelsőt, a ρ 3 esetben a másodikat teljesíteni (ld. ábra). III. ρ<. Ekkor + ρ <0, tehát m S > m D +ρ és m S < m D ρ. Az első automatikusan teljesül, tehát csak a második számít (ld. ábra). Emlékezzünk rá: a ρ =0választásnak megfelelő pókhálómodellben a stabilitás feltétele: m S /m D < (ld. ábra kivastagított szakasz). Megállapíthatjuk az ábra alapján, 9

hogy az új árkalkulációs stratégia a <ρ<0választással stabilizálja a piacot, mivel a stabilitás az m S /m D hányadosra tágabb feltételt szab. A legjobb a ρ = /3 választás, amikor a stabilitás feltétele: m S /m D < 3. FELHASZNÁLT IRODALOM [] Hatvani László, Krisztin Tibor, Makay Géza, Dinamikus modellek a közgazdaságban, Polygon, 00. [] Sydsaeter-Hammond, Matematika közgazdászoknak, Aula, 998. 30