A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 24 műhold (6 pályasíkban 4-4) T m = 12 óra Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: r a = 6370km 1 Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk. Időmérési diszkrepanciák várhatók, mert: (1) A műhold és a vevőkészülék eltérő r-koordinátákkal rendelkezik (ld. gravitációs kékeltolódás). (2) A műhold mozog a vevőkészülékhez képest (ld. idődilatáció). Schwarzschild-metrika: (1) Tfh. a vevő áll (a Föld nem forog), és a műhold is nyugalomban van AB eseménypár (ill. CD eseménypár): dr = 0, dj = 0 2 1
dt AB = dt CD M = 4.44mm, r m = 26600km, r a = 6370km (csak a magasságkülönbséget figyelembe vevő számolás) gravitációs kékeltolódás 3 (1) + (2) Magasságkülönbség + relatív mozgás dr = 0 (a magasságkülönbséget és a relatív mozgást figyelembe vevő számolás) eredő relativisztikus diszkrepancia 4 2
Ha ezt a különbséget nem korrigálnánk, mekkora hiba halmozódna fel 1 nap alatt? 86400s 4.46 10-10 = 38.5µs hiba 1 nap alatt. Számít-e ez a kicsi hiba? IGEN, mert az időadatokat távolságmérésre használjuk. Ekkora távolságmérési hiba halmozódna fel 1 nap alatt: 38.5µs 3 10 8 m/s» 11km. A GPS-műholdak órájába korrigáló áramkör van építve, a relativisztikus effektusok kompenzálására. A GPS példa arra, hogy a téridő görbültsége gyakorlati alkalmazások szintjén is beleszólhat a mindennapi életünkbe. 5 Legfeljebb mennyi ideig lehet életben maradni egy fekete lyuk eseményhorizontján belül? [1] [2] [3] [1], [2], [3] 6 3
[4] Szeretnénk áthaladni az eseményhorizonton, de odabent szeretnénk minél tovább életben maradni. Mit tegyünk? E/m, L/m: algebrai helyettesítésként is felfoghatók, az [1] és [2] jobb oldalának tömörebb jelölésére. A [4] levezetésekor nem használtuk fel, hogy E/m vagy L/m konstans. A [4] bármilyen tömegpont mozgását helyesen leírja! (Például: bekapcsolt hajtóművel repülő űrhajó esetén E(r)/m és L(r)/m nem mozgásállandók.) t 2M legyen a lehető legnagyobb (1) A kiindulásnál E = 0. ([1]: r = 2M-ről induljunk, álló helyzetből.) (2) A kiindulásnál L = 0. (Ne mozogjunk j-irányban, csak r-irányban.) (3) Közben végig geodetikuson mozogjunk, ne csináljunk semmit (mert azzal csak növelnénk E 2 -et vagy L 2 -et). 7 A maximális életbenmaradási idő: Példák: (1) M = M Nap = 1.5km t max = 4.7km = 16µs (2) M = M Galaxis ~ 10 12 M Nap t max ~ 1.6 10 7 s ~ 182nap (3) M ~ 4 10 10 M Nap [az eddig észlelt legnagyobb tömegű (bár forgó) f.ly.] t max ~ 7nap 8 4
Ha beleesünk egy fekete lyukba, mennyi ideig tart az utazás fájdalmas szakasza? A fájdalom oka: a spagettizálódás (az árapály-hatás) 9 Árapály-gyorsulás, newtoni számolás: 1. Hosszirányban: húzófeszültség Dy << r ha a tömeget méterben mérjük: [1/m] 10 5
Árapály-gyorsulás, newtoni számolás: 2. Keresztirányban: nyomófeszültség Dx << r (Ugyanilyen a képlet z-irányban.) 11 Árapály-gyorsulás, einsteini számolás: Emlékeztető: geodetikus deviáció! " #!$ " % = ( % )*+ # *, ), + Mostani jelölésünkkel: Ha r 0, akkor Dg x, Dg y (az utazás vége végtelenül fájdalmas) 12 6
Milyen r-értéknél kezd fájdalmas lenni? r aú =? Ökölszabály: akkor kezdjük kényelmetlenül érezni magunkat, amikor a lábunkat is, a fejünket is a súlyunknak megfelelő erővel húzzák. Dg y = 2g F, amikor Dy = h (=2méter) (g F = 9.81m/s 2 = 1.09 10-16 1/m) Példák: (1) M = M Nap = 1.5km r aú ~ 2000M (> 2M) (2) M = 10 6 M Nap r aú ~ 0.2M (< 2M) (3) M = 10 9 M Nap r aú ~ 0.002M (<< 2M) 13 Mekkora legyen legalább a fekete lyuk tömege, hogy r aú belül legyen az eseményhorizonton? r aú < 2M... M > 3.2 10 4 M Nap Meddig tart az utazás fájdalmas szakasza? (I) r = 2M-ből nyugalomból induló űrhajós (r aú < 2M M > 3.2 10 4 M Nap ) (1) M = 10 6 M Nap t aú = 6.59 10 7 m = 0.22s [t max = pm = 15.7s] (2) M = 10 9 M Nap t aú = 6.39 10 7 m = 0.21s [t max = pm = 4.36 óra] 14 7
(II) Végtelenül távoli pontból, nyugalomból induló űrhajós Kiinduláskor: dr = 0, r =, dt = dt E/m = 1 r-irányú mozgás L/m = 0 általánosan: most: Eddig tart az utazás fájdalmas szakasza, függetlenül a fekete lyuk tömegétől! 15 Hogy néz ki egy fekete lyuk, ha egy gömbhéjat építünk köré, és onnan nézzük? Hogy néz ki egy fekete lyuk, miközben r-irányban esünk felé? Gömbhéjon álló űrhajós 12 A végtelenből fejest ugró űrhajós 10 r = 50M 108 54 r = 5M f.ly. 286 82 r = 2.13M 140 r = 0.25M [A http://fizipedia.bme.hu/images/1/1c/12_divingpanoramas.pdf 8. ábrája alapján] 16 8