SOOS C-KÖ Ellenállás, kondenzátor és tekercs soros kapcsolása Az átmeneti jelenségek vizsgálatakor soros - és soros C-körben egyértelművé vált, hogy a tekercsen késik az áram a feszültséghez képest, a kondenzátoron pedig a feszültség késik az áramhoz képest. áltakozóáramú körökben ez a késés, pontosan 90 fok. Ezt figyelhetjük meg az 1. és a 2. ábrán. ényegében viszonyítás kérdése, de lássuk meg, ez azt jelenti, hogy a valós terhelésen (ellenálláson) eső feszültséghez képest a kondenzátoron 90 fokot késik, a tekercsen pedig 90 fokot siet a feszültség. C 1. ábra Soros - és soros C-kör, mint négypólus kapcsolási rajzok 2. ábra Soros - és soros C-kör fázorábrája A forrásfeszültség: = 2 2 Az ellenállás feszültsége a forrásfeszültség koszinuszos vetülete: = cos A forrásfeszültség: = 2 2 Az ellenállás feszültsége a forrásfeszültség koszinuszos vetülete: = cos Ebből cos= Így a valós feszültség és a forrásfeszültség által bezárt szög: =arccos( ) Ebből cos= Így a valós feszültség és a forrásfeszültség által bezárt szög: =arccos( ) A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 1/9
SOOS C-KÖ Tekintettel arra, hogy soros körökről van szó, megállapítható, hogy közös az áram. Noha a soros egyenáramú köröknél megtanultuk, hogy Kirchhoff. törvénye (huroktörvény) szerint a részfeszültségek összege egyenlő a forrás feszültségével, itt ez nem járható számítási mód, a valós ellenálláson és a reaktanciákon eső feszültségek által bezárt szög(ek) miatt. Tehát a Pythagoras-tétel alkalmazása válik szükségessé. Az 1. ábra szerinti soros köröket egyesítsük úgy, ahogy azt a 3. ábra mutatja! Az így kialakított kapcsolást soros C-körnek nevezzük. Az kapott kapcsolás fázorábrája is a 3. ábra szerinti. együk észre: a tekercsen eső feszültség ( ) 90 fokot siet, a kondenzátoron mérhető feszültség ( ) pedig 90 fokot késik a valós ellenálláson eső feszültséghez ( ) képes, így a feszültségfázorok egymáshoz képest mindig 180 fokot zárnak be. A képzetes rész nagyságát tehát a két feszültségfázor különbsége adja. Amennyiben a feszültség-fázorábra komponenseit elosztjuk az egyetlen közös komponenssel, vagyis az árammal, akkor az impedancia-fázorábrát kapjuk eredményül, mely arányos a feszültségfázorábrával. = = X = = C = = U O = U O 3. ábra Soros C-kör és fázorábrája A feszültség-fázorábra összefüggései: = 2 ( ) 2 = cos Az impedancia-fázorábra összefüggései: = 2 ( ) 2 = cos cos= => =arccos( ) cos= => =arccos( ) A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 2/9
SOOS C-KÖ smétlő fogalmak: ellenállás: az impedancia valós része; a kondenzátor kapacitív látszólagos ellenállása: kapacitív reaktancia, kapacitancia, az impedancia képzetes része: = 1 C ; a tekercs induktív látszólagos ellenállása: induktív reaktancia, induktancia, az impedancia képzetes része: = 1 C ; impedancia: komplex ellenállás, amely valós ellenállásból és látszólagos ellenállásból tevődik össze. Tanulmányaink folyamán láttuk, hogy mind a kapacitív, mind pedig az induktív reaktancia frekvenciafüggő. Kapacitív reaktancia: = 1 C = 1 2 π f C, valamint frekvenciafüggése: 1 f. nduktív reaktancia: = =2 π f, valamint frekvenciafüggése: f. { az,vagyis X hanő,akkor nő } az 1 C,vagyis X csökken C hacsökken,akkor { az, vagyis X csökken az 1 C,vagyis nő } Amennyiben tehát egy adott soros C-kapcsolás esetén változtatjuk a frekvenciát, úgy a reaktanciák értéke is változik, ezzel a rajtuk mérhető feszültség is, valamint a bezárt szög is. Mindennek ismeretében belátható, hogy bizonyos frekvenciákon az induktív reaktancia a domináns, míg más frekvenciákon a kapacitív dominancia a jellemző: a) b) c) d) 4. ábra induktív [a) és b)], valamint kapacitív [c) és d)] dominancia az impedanciában A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 3/9
SOOS C-KÖ Összefoglalva az eddig látottakat: nduktív dominanciáról beszélünk, ha: >0 ; >0 ; >0 Kapacitív dominanciáról beszélünk, ha: <0 ; <0 ; <0 Nézzünk egy számpéldát! Állítsunk össze egy soros C-kört, a következő értékek és adatok mellett! =100 Ω ; =1 H ; C=5μ F ; =230 ; f =50 1 s Számítsuk ki a következőket! nduktív reaktancia: Kapacitív reaktancia: Eredő reaktancia: X mpedancia: Áramerősség: A tekercsen eső feszültség: A kondenzátoron eső feszültség: =? Az ellenálláson eső feszültség: A forrásfeszültség ellenőrzése: =? A fázisszög: =? 4. ábra a feladat kapcsolási rajza C nduktív reaktancia: = =2π f =2 π 50 1 s 1 H=2 π 50 1 s 1 s A =100π A =314,16Ω Kapacitív reaktancia: = 1 C = 1 2π f C = 1 2π 50 1 = s 5μ F 1 2π 50 1 As 5 10 6 s = 106 500π A =636,62Ω Az eredő reaktancia: X = =314,16Ω 636,62Ω= 322,46Ω => kapacitív jellegű Fontos megállni ezen a helyen! Mint ismeretes negatív ellenállás nem létezik, a negatív előjel általában jelölhet csökkenő változást, vagy mint ahogy esetünkben azt mutatja meg, hogy a kapott eredő reaktancia kapacitív jellegű. Az impedancia: = 2 ( ) 2 = 2 X 2 = 100Ω 2 ( 322,46Ω) 2 = = 10000Ω 2 103980,45Ω 2 == 113980,46Ω 2 =337,61Ω A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 4/9
SOOS C-KÖ Az áramerősség: = = 230 =0,68126 A=681,25mA 337,61Ω A tekercsen eső feszültség: = =314,16 Ω 681,25 10 3 A=214,02 A kondenzátoron eső feszültség: = =314,16Ω 681,25 10 3 A=433,70 Az ellenálláson eső feszültség: = =100Ω 681,25 10 3 A=68,13 A forrásfeszültség ellenőrzése: = 2 ( ) 2 = 68,13 2 (214,02 433,70 ) 2 =230 A cos (a feszültség-fázorábrából): cos= = 68,13 230 =0,296 A cos (az impedancia-fázorábrából): cos= = 100Ω 337,61Ω =0,296 A fázisszög: =arccos(0,296)=(-)72,77 o => ássuk meg: azért negatív a szög értéke, mert kapacitív az impedancia, vagyis a kapacitív jellegnek megfelelően valóban késés van. A fázisszög másképpen is kiszámítható. A impedancia meredeksége: m=tan()= X = 322,16Ω = 3,2216 ebből =arctan( 3,2216)= 72,77o 100Ω 5. ábra a kidolgozott feladat fázorábrái A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 5/9
SOOS C-KÖ Állítsuk össze a feladat kapcsolási rajzát a TNA-T áramkörszimulátor segítségével, majd végezzük el AC analízisét! 681,26mA 72,77 A 1 100 U 68,13 72,77 U0 C1 5u UC 433,7-17,23 1 1 U 214,02 162,77 7. ábra a kidolgozott feladat szimulációs mérése A szimulációs mérés eredményeit lehetőségünk van összehasonlítani a számításainkkal. illamos jellemzők Számított adatok Szimulációs adatok nduktív reaktancia: 314,16 Ω Kapacitív reaktancia: 636,62Ω Eredő reaktancia: X 322,46Ω mpedancia: 337,61Ω Áramerősség: 681,25 ma 681,26 ma A tekercsen eső feszültség: 214,02 214,02 A kondenzátoron eső feszültség: 433,70 433,70 Az ellenálláson eső feszültség: 68,13 68,13 A forrásfeszültség ellenőrzése: 230 A fázisszög, és által bezárt szög: 72,77 o (-) 72,77 o és által bezárt szög (-) 17,23 o és által bezárt szög 162,77 o és által bezárt szög 180 o Jól látható az adatokból, hogy a két reaktancia feszültsége (és vele együtt maguk a reaktanciák is) merev kapcsolatban vannak egymással (180 fok). A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 6/9
SOOS C-KÖ Soros C-rezgőkör áthattuk, hogy létezik olyan soros C-kör, amelyik kapacitív jellegű, s van, amelyik induktív jelleget mutat, a domináns reaktancia függvényében. Joggal tehetjük fel a kérdést: mi van akkor, ha a két reaktancia azonos nagyságú? Ez az állapot csak egy frekvencián következik be. Azt az állapotot, ahol a két reaktancia nagysága és vele együtt a két reaktancián eső feszültség nagysága megegyezik, rezonancia-frekvenciának nevezzük. A rezonancia-frekvencia meghatározásának kiinduló tétele tehát a reaktanciák nagyságának azonossága: = /helyettesítsünk be! = 1 C 2 = 1 C /rendezzük át az egyenletet ra! => 0 = 1 C rezonancia-frekvencia: f 0 = 1 2π C ez a Thomson-képlet. Mivel =, ezért belátható, hogy X = =0. Ha eredő reaktancia nulla, akkor az = 2 ( ) 2 képlet értelmében: =. Amennyiben az impedancia megegyezik az ellenállás értékével, fázistolásról sem beszélhetünk, vagyis =0, cos =1. Természetesen hasonlóképpen alakul a helyzet a feszültségek esetében is. = => = =0 => =0 = 2 ( ) 2 => = U 2 ( ) 2 = => = =0 => =0 Mivel a reaktanciákon eső feszültség nagysága egyezik meg a soros rezonancia-frekvencián, ezért feszültségrezonanciáról beszélünk. A soros rezonancián a legnagyobb lesz a soros C-kör árama, hiszen az impedancia eléri a minimumát. Ekkor f 0 = =. =0 =0 7. ábra a feszültség- és impedancia-fázorábra a rezonancia-frekvencián A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 7/9
SOOS C-KÖ Nézzünk egy számpéldát a soros feszültségrezonanciára! Keressük meg az előző példánk rezonancia-frekvenciáját! Állítsunk össze egy soros C-kört, a következő értékek és adatok mellett! =100 Ω ; =1 H ; C=5μ F ; =230 Számítsuk ki a következőket! ezonancia-frekvencia: f 0 =? nduktív reaktancia: Kapacitív reaktancia: Eredő reaktancia: X mpedancia: Áramerősség: A tekercsen eső feszültség: A kondenzátoron eső feszültség: =? Az ellenálláson eső feszültség: A fázisszög: =? C 8. ábra a feladat kapcsolási rajza A rezonancia-frekvencia: f 0 = 1 2π C = 1 2π 1 H 5μ F = 1 1 2π 1 s = As 2 π 5 10 6 s = 2 5 10 6 A 1 2 π 5 10 3 s = 103 1 2π 5 s = 5 100 π =71,176 1 =71,176 Hz s nduktív reaktancia: = =2π f 0 =2 π 71,176 1 s 1 H=2π 71,176 1 s 1 s A =447,214Ω Kapacitív reaktancia: = 1 C = 1 2π f 0 C = 1 2π 71,176 1 s 5μ F = 1 = 2π 71,176 1 =447,214Ω As s 5 10 6 μ F Eredő reaktancia: X = =447,214 Ω 447,214 Ω=0Ω mpedancia: = 2 ( ) 2 = 2 0 2 = 2 = Áramerősség: = U = = 230 100Ω =2,3 A A tekercsen eső feszültség: = =447,214 Ω 2,3 A=1028,59 A kondenzátoron eső feszültség: = =447,214Ω 2,3 A=1028,59 A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 1/9
SOOS C-KÖ Tessék megfigyelni, hogy a tekercsen és a kondenzátoron igen nagy feszültségek alakulhatnak ki, miközben a forrás feszültsége töredéke eme feszültségeknek. A reaktanciákon eső feszültség nagysága nagyban függ az áramerősségtől, közvetve pedig a soros ellenállástól. = U =. Az ellenálláson eső feszültség: = =100Ω 2,3 A=230 = A fázisszög: =arccos( ), mivel =, ezért =arccos(1)=0o Szimulációs ellenőrzés következzék. Állítsuk össze a feladat kapcsolási rajzát a TNA-T áramkörszimulátor segítségével, majd végezzük el AC analízisét! 2,3A 0 A 1 100 U 230 0 U0 1 1 C1 5u UC U 1,03k 90 1,03k -90 U-UC 49,65n -90 9. ábra A szimulációs mérés eredményeit lehetőségünk van összehasonlítani a számításainkkal. illamos jellemzők Számított adatok Szimulációs adatok nduktív reaktancia: 447,214Ω Kapacitív reaktancia: 447,214Ω Eredő reaktancia: X 0Ω mpedancia: 100 Ω Áramerősség: 2,3 A 2,3 A A tekercsen eső feszültség: 1028,59 1,03k A kondenzátoron eső feszültség: 1028,59 1,03k Az ellenálláson eső feszültség: 230 230 A forrásfeszültség ellenőrzése: 230 A fázisszög, és által bezárt szög: 0 o 0 o és által bezárt szög 90 o és által bezárt szög 90 o és által bezárt szög 180 o A EEKTOTECHNKA AKAMAÁSA Készítette: Mike Gábor 1/9