5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb modelljét kapjuk, ha az időbeli változásokat is figyelembe vesszük A továbbiakban az elektomos és mágneses té téjellemzői nemcsak a hely, hanem az idő szeint is változnak 51 Időben változó mágneses té 511 Nyugalmi indukció A kíséleti eedmények azt mutatják, hogy időben változó mágneses té elektomos teet hoz léte A kíséleti eedmények általánosítását az indukció tövény fejezi ki Tekintsünk egy majdnem zát vezető hukot, amely időben változó mágneses teet fog köül, akko a tapasztalat szeint a vezető két vége között feszültség méhető (51 ába), amely aányos a vezető huok fluxusának időegység alatti megváltozásával Az indukált feszültség iánya a fluxus megváltozás iányához jobbcsava szabály szeint kapcsolódik, () t dψ u i = (51) A negatív előjel azt jelenti, hogy a fluxus időbeli megváltozása és az indukált feszültség iánya a jobbcsava szeinti iánnyal ellentétes

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 147 51 ába Az indukált feszültség fogalma Figyelembe véve a vezető huok keesztmetszetén átmenő indukció vonalakat, az indukált feszültség a következő összefüggéssel állítható elő ui () t dψ = ( t) = d db ( ) (, t) B, t da = da a a Tekintsük az 5 ábán látható háomszög szeint peiodikusan változó fluxust 5 ába A háomszög szeint peiodikusan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata Az első negyed peiódusban, amiko a fluxus lineáisan nő, az indukált feszültség negatív állandó étéket vesz fel A második negyed peiódusban, amiko a fluxus lineáisan csökken, az indukált feszültség ugásszeűen előjelet vált és mindaddig pozitív állandó lesz az étéke, amíg a fluxus nem kezd el úja növekedni Hasonló helyzet alakul ki, ha a fluxus szinuszosan változik () t Ψ 0 sinω t Ψ =, ekko az indukált feszültség nem ugásszeűen, hanem folytonosan változik, (53 ába) u i = Ψ 0ω cosω t = U 0 cos ω t,

148 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR ahol U 0 = ωψ0 Mint az ábán látható az indukált feszültség időfüggvénye késik a fluxus időfüggvényéhez képest 53 ába Szinuszosan változó fluxus és az indukált feszültség kapcsolata 51 Lenz tövény Ha a majdnem zát vezető hukot bezájuk, az indukált feszöltség hatásáa áam indul meg a vezetőben Az áam iánya azonban az indukált feszültség iányával ellentétes lesz (54 ába) 54 ába A Lenz tövény ételmezése Ez azzal magyaázható, hogy az indukált feszültség hatásáa töltés-szétválasztás jön léte, és az áam a pozitív töltéstől a negatív töltés felé folyik Az ábán beajzoltuk az áam iányát, amely az R ellenállású vezetőben folyik () t i ( t) u = i R Ez az áam azonban olyan B mágneses teet hoz léte, amely csökkenti az eedeti mágneses té étékét, azaz azzal ellenkező iányú teet gejeszt Ezt a tövényszeűséget,

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 149 amely az indukált feszültség tövényből következik, Lenz tövénynek nevezzük, és azt mondja ki, hogy az indukált feszültség hatásáa a vezető huokban folyó áam olyan mágneses teet hoz léte, amely az őt létehozó hatást csökkenteni akaja 513 Faaday indukció tövény Vegyük figyelembe a zát, R ellenállású vezetőben folyó i( t) áamot, amelyet az indukált feszültség hatásáa jön léte, ui =, dl l () t = i() t R E( t) Helyettesítsük az indukció tövény bal oldalát kapott eedménnyel, dψ ( ) () t db(, t) E, t dl = = da l a (5) az indukció tövény általánosított alakját, a Faady indukció tövényt kapjuk, amely azt mondja ki, hogy az időben változó mágneses té elektomos teet gejeszt 5 A mozgási indukció Ha egy időben állandó mágneses tében, aa meőlegesen, egy vezető daabot mozgatunk, akko a vezető két végpontja között feszültség méhető (55 ába) 55 ába A mozgási indukció A jelenség a Loentz eőtövény alapján magyaázható ( E + v B) F = Q, ui a v sebességgel mozgó vezetőben lévő szabad elektonoka az időben állandó mágneses tében eő hat, amely a töltéseket szétválasztja,

150 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR ( v B) = QEi Ei = v B, F = Q A fenti téeősséget a vezető daabjáa integálva kapjuk a mozgási indukcióból számazó feszültséget um i () t = E dl = ( v B) l i l dl (53) A jelenség úgy is magyaázható, hogy a v sebességgel mozgó vezető l hosszúságú daabja idő alatt da = l v felület d Ψ = Blv fluxus vonalait metszi, ahonnan az indukált feszültség d Ψ = Blv = u i Habá a nyugalmi és a mozgási indukció fizikai alapja más, a két jelenség egységesen kezelhető abban az ételemben, hogy a vezető huok fluxusának megváltozása, egyészt a mágneses indukció időszeinti megváltozása miatt, másészt a vezető keesztmetszetének megváltozása miatt jön léte, azaz ui () t dψ = () t = d B a (, t) da( t) db = a (, t) da a () t B(, t) ahol az egyenlet jobb oldalán az utolsó előtti tag a nyugalmi indukcióból, a második tag mozgási indukcióból számazó indukált feszültséget jelenti da ( t), 53 Időben változó áam mágneses tee 531 Önindukció jelensége Tekintsük az 56 ábán látható tekecset Ha a tekecsben külső foás hatásáa időben változó áam folyik, az időben változó mágneses teet gejeszt, amely indukált feszültséget hoz léte a tekecs két végpontja között Figyelembe véve, a tekecs L önindukció együtthatóját, a tekecs fluxusa Ψ t = L i t, és így az indukció tövény ételmében az indukált feszültség () ()

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 151 u i dψ d () t = = Li() t = L di( t) A tekecs kapcsain azonban az 56 ába Az önindukció jelensége és a tekecs feszültsége ( t) di() t d u L () t = Ψ = L (54) tekecsfeszültséget szoktuk alkalmazni, amely éppen az indukált feszültséggel ellenkező iányú, így ul () t u ( t) = i (55) A tekecsfeszültség ismeetében a tekecs fluxus meghatáozható t t0 t t Ψ () t = ul() τ dτ = ul() τ dτ + ul() τ dτ = Ψ ( t0) + ul() τ dτ, t t 0 ahol Ψ ( t 0 ) a tekecsen a t 0 pillanat előtti fluxus változásból számazó fluxus, a t 0 időpillanattól kezdődő vizsgálatok kezdeti feltétele 53 Kölcsönös indukció jelensége Koábban láttuk, hogy egy tekecs fluxusát nemcsak a saját áama, hanem a szomszéd tekecsben folyó áam, a kölcsönös indukció együtthatón keesztül (57 ába) megváltoztatja Két tekecsből álló endsze esetén a tekecsek fluxusa (58 ába) Ψ 1 = L 1 i1 + M i, Ψ = M i1 + L i, (56) 0

15 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR ahol L 1, L a tekecsek önindukció együtthatója, míg M a kölcsönös indukció együttható 57 ába A szomszéd tekecs fluxusa 58 ába Két tekecsből álló endsze és modellje Mint ismeetes a kölcsönös indukció együttható a tekecsek helyzetétől és az áamok efeencia iányától függően lehet pozitív vagy negatív, amelyet az 58 ábán a pontokkal jelöltünk Azaz, ha a két tekecsben az áamok a pontoktól folynak a nem pontos végek felé, akko a kölcsönös indukció együttható előjele pozitív, ellenkező esetben negatív A efeencia iányok 58 ábán való ögzítése mellett a tekecsek feszültségei a következők d di1 di u 1 = Ψ1 = L1 + L1, d di1 di u = Ψ = L1 + L (57) 533 Tekecsek soos és páhuzamos kapcsolása (i) Vizsgáljuk meg két soba kapcsolt tekecset, amelyek áama közös (59 ába) i 1 = i = i

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 153 59 ába Soba kapcsolt csatolt tekecsek Az eedő feszültség a két feszültség összege, azaz di1 di u = u1 + u = L1 ± M + ± M = ( L + L ± M ) = L, 1 di di s di1 di + L ahonnan a két csatolt tekecset helyettesítő soos eedő (510 ába) induktivitása L s = L1 + L ± M A pozitív előjel a efeencia pontoknak felel meg, a negatív előjel akko lép életbe, ha az egyik pont a tekecs másik végée keül 510 ába A soos tekecsek helyettesítő képe (ii) Vizsgáljuk meg az 511 ábán látható páhuzamosan kapcsolt csatolt tekecseket, amelyek feszültsége közös, u 1 = u = u Az egyes tekecsek feszültsége az áamokkal kifejezve

154 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR di di di di u L 1 M u M 1 L 1 = 1 ±, = ± + Fejezzük ki az áamok deiváltjait 511 ába Páhuzamosan kapcsolt csatolt tekecsek di1 L m M = u, L L M 1 di L1 m M = u, L L M 1 ahonnan az eedő áam a két áam összege, i = i 1 + i, di di1 di L1 + L m M 1 = + = u = u L L M 1 Lp A páhuzamosan kapcsolt tekecsek a pólusoka nézve helyettesíthetők egy tekeccsel (51 ába), amelynek eedő induktivitása L L M L 1 p = L1 + L m M 51 ába A páhuzamosan kapcsolt tekecsek helyettesítő képe

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 155 54 A mágneses té enegiája 541 Tekecs enegiája Hatáozzuk meg egy L indukció együtthatójú tekecs enegiáját, ha áama t 0 idő alatt nulláól I étéke nő Minthogy az áam változásával változik a tekecsben a fluxus, és az tekecs pólusain méhető feszültség is u L = dψ, és így a tekecs idő alatt felvett enegiája dψ dw = ul i = i = i dψ Ha a tekecs áama a t = 0 pillanatban nulla, akko a t 0 idő alatt felvett enegiája Ψ W = 0 i dψ, 0 ahol Ψ 0 a tekecs fluxusa a t 0 pillanatban A fluxust az áammal kifejezve Ψ = L i és az előző összefüggést kiétékelve Ψ0 I 1 W = i dψ = i Ldi = LI, (58) 0 0 azaz a tekecs enegiája W LI 1 1 = 1 = Ψ I = L Ψ (59) L 54 Csatolt tekecsek enegiája A csatolt tekecsek enegiája az egyes tekecsek enegiájának összege Minthogy 1 W = ( Ψ 1I1 + ΨI), és a tekecsek fluxusai Ψ 1 = L 11I1 + MI, Ψ = MI1 + LI, a csatolt tekecs enegiája

156 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 1 1 W = L 11I 1 + MI1I + LI (510) 543 A mágneses té enegia sűűsége Tekintsük az 513 ábán látható elemi téfogatot, amelyet mágneses eővonalak és az azoka meőleges felületek hatáolnak Az elemi téfogat enegiája 1 dw = ΨI 513 ába Az elemi téfogat enegiája Az I áam a gejesztési tövényből bámely mágneses eővonala, és a fluxus az eővonalaka meőleges felülete vonatkozó egyenletek alapján I = H dl, Ψ = B da, l a ahonnan az elemi téfogat enegiája, figyelembe véve, hogy a d l dv = d dw = 1 1 1 1 IΨ = H dl B da = HB da dl = HB dv l a la v Az elemi téfogat enegiája az egységnyi téfogata vonatkoztatott w enegiasűűségnek a téfogata vett integálja, dw = v 1 H B dv = w dv v ahonnan az elemi téfogat enegiasűűsége

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 157 dw 1 w = = H B W dv m 3 (511) 544 Belső indukció együttható A mágneses enegia és az induktivitás kapcsolatának ismeetében meghatáozható a belső indukció együttható, ahol 1 1 W = Lb I = w dv = H µ dv, (51) v v 1 1 1 µ B w = HB = H = (513) µ Alkalmazzuk a fenti összefüggést egy l hosszúságú hengees vezető belső indukció együtthatójának meghatáozásáa (514 ába) 514 ába A hengees vezető belső önindukció együtthatójának meghatáozása A gejesztési tövényt alkalmazva a hengees vezető belsejében egy eővonala H dl = I, I H π = π l 0 π, a mágnese téeősség a vezető belsejében I H () =, 0 < < 0 π 0

158 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A dv = π l d elemi téfogat és a mágneses enegiasűűség ismeetében a hengees vezető mágneses enegiája 1 0 4 I 1 I l 0 1 W = π π l d = µ = L 4 b 0 4 0 I, = π π 0 ahonnan a belső indukció együttható független a hengees vezető sugaától, csak az anyag mágneses pemeabiltásától és a vezető hosszától függ µ l L b = (514) 8π 545 A mágneses eőhatás és a vituális munka elve Az elektosztatikus téhez hasonlóan a mágneses tében fellépő eőhatások is számíthatók a vituális munka elve alapján Habá az enegiaegyensúlyi egyenlet nem változik, F s dw gen = dw belső + d, ahol a geneáto által idő alatt a endszebe betáplált enegia a endsze fluxusát változtatja meg, dwgen = IkdΨ k, k míg a endsze belső enegiáját az indukálás soán fellépő áam megváltozása eedményezi, azaz dwbelső = Ψ kdik k Ha a endszebe betáplált enegia nem változik, azaz a endsze fluxusa állandó, a vituális munka elve alapján az ds elmozdulás iányában fellépő eőhatás dw F belső s =, Ψ k = állandó, k = 1,, L,n (515) ds Ha a vituális elmozdulás soán a huok áama állandó, és a pemeabilitás független az indukciótól, akko

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 159 dwgen Fs =, Ik = állandó, k = 1,, L, n (516) ds 55 Időben változó elektomos té 551 A folytonossági egyenlet A töltésmegmaadás elve alapján stacionáius áamlás esetén azt tapasztaltuk, hogy egy téfogatba beáamló töltések onnan el is távoznak Időben változó elektomágneses té esetén azonban a v téfogatba idő alatt beáamló dq be, és az onnan kiáamló dq ki töltések különbsége a v téfogatban ugyanazon idő alatt felhalmozódó dq töltésmennyiséggel egyenlő (515 ába) dqbe dq dq ki = 515 ába A folytonossági egyenlet ételmezése Vegyük figyelembe hogy a dq be = Ibe a téfogatba befolyó, dq ki = Iki pedig a kifolyó áam, ezzel a töltésmegmaadása vonatkozó összefüggés a folytonossági egyenlet a következő dq Ibe Iki = (517) Az egyenlet baloldala felíható a v téfogatot hatáoló zát felületen ki és belépő áamsűűségekkel, valamint az egyenlet jobb oldalán a v téfogatban elhelyezkedő töltések összegével, azaz I be Iki = J a ρ dv v (, t) da, Q = (, t) A fenti összefüggést alkalmazva és figyelembe véve, hogy a téfogat időben nem változik a folytonossági egyenlet a következő alaka hozható

160 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR J a (, t) da = (, t) d dρ(, t) ρ dv = dv v v Némi endezés után a folytonossági egyenlet szokásos alakjához jutunk dρ ( ) (, t) J, t da + dv = 0 (518) a v A folytonossági egyenlet a töltésmegmaadás elvét fejezi ki, és ezen keesztül, minthogy a töltés anyagi észecskék tulajdonsága a fizika általános elvét, az anyagmegmaadás elvét epezentálja az elektomágneses teek esetében 55 Az eltolási áam Időben változó elektomágneses té esetén a stacionáius állapota vonatkozó gejesztési tövény és a folytonossági egyenlet ellentmondása vezet, H dl = J da l a dρ(, t), da + dv = 0 a v, J ( t) A folytonossági egyenletet a v téfogatot hatáoló a felülete íjuk fel Jelöljünk ki ezen a felületen egy tetszőleges zát l göbét, amely a felületet két észe osztja (516 ába) 516 ába Gejesztési tövény stacionáius tében Íjuk fel a gejesztési tövényt úgy, hogy a H mágneses téeősséget integáljuk az l göbée, a J áamsűűséget pedig egysze az a 1, majd az a felülete, a felületi nomálisok figyelembe vételével = 1, H dl J da H dl = J da l a1 l a

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 161 Minthogy a baloldalon álló kifejezés mindkét esetben ugyanaz, a jobboldalak egyenlőségéből következik, hogy a J áamsűűségnek egy zát felülete vett összege, integálja zéus J a (, t) da = 0, a folytonossági egyenlet szeint viszont nem Továbbá, vegyük figyelembe az elektosztatika Gauss tételét, amely szeint a téfogatban elhelyezkedő töltések az eltolási vektonak a téfogatot hatáoló felülete vett integáljával egyenlő, ρ dv = D da, v a d d dd ( ) ( ) ( ) (, t) J, t da = ρ, t dv = D, t da = da, a v a a ahonnan azt kapjuk, hogy az áamsűűség és az eltolási vekto idő szeinti deiváltjának összege zát felülete vett integálja ad nulla étéket ( ) (, ) dd t, J t + da = 0, (519) a és így az ellentmondás kiküszöbölése édekében a gejesztési tövény általános alakja a következő lesz ( ) ( ) dd, t H dl = J, t + da, (50) l a v =,t epezentálja a vezetőben folyó vezetési áamot, ahol J J( ) Je = dd(, t) (51) pedig az elektomos té időbeli megváltozásából számazó un eltolási áamot képviseli Nézzük meg, hogy a gejesztési tövény új alakja mit jelent Ha dd(, t) = 0, a Jv = J(,t) vezetési áam mágneses teet gejeszt (517 ába), ha azonban az eltolási áam nem nulla, dd(, t) 0 az is létehoz egy mágneses teet és a két mágneses té összegeződik, szupeponálódik

16 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 517 ába A vezetési és az eltolási áam mágneses tee 553 A kondenzáto áama Kapcsoljunk időben változó u ( t) feszültséget egy C kapacitású kondenzátoa A kondenzáto elektódáin időben változó ± q( t) töltés halmozódik fel q () t C u( t) = Ez úgy lehetséges, hogy az egyik elektódáa i ( t) áam folyik be, a másikól ugyanakkoa i () t áam folyik el Alkalmazzuk a kondenzátoa a folytonossági egyenletet Vegyük köül a kondenzátot egy zát 1 áam folyik be a felülettel (518 ába), a felületen ( t) () t dq ibe () t iki() t = 0 =, i áam folyik ki és i () t azaz a kondenzáto elektódáin a töltések összege nem változik, ui idő alatt az egyik elektódán + dq, a másik elektódán dq töltés halmozódik fel, ezek eedője azonban nulla 518 ába A kondenzáto áama

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 163 Alkalmazzuk a folytonossági egyenletet most egy olyan téfogata, amely csak az egyik elektódát tatalmazza Az a felületen most i ( t) áam folyik be, amely aányos a kondenzáto feszültségének idő szeinti deiváltjával () t du() t dq i () t = = C (5) A téfogat töltése az elektosztatika Gauss tétele szeint kifejezhető az eltolási vektonak a felülete vett integáljával Némi átalakítás után azt kapjuk, hogy a kondenzáto lemezei között az eltolási vekto időszeinti deiváltjának az a felülete vett integálja, azaz az eltolási áamsűűségnek az integálja, az eltolási áam folyik () t i () t dq = = d ahol az eltolási áamsűűség Je () t és az eltolási áam ie () t dd ( ) (, t) D, t da = da = Je a a a a () t d = i () t dd(, t) =, (53) dd = a (, t) da (54) Tehát a kondenzáto elektódáihoz a töltéseket a vezetőben folyó i ( t) vezetési áam viszi, a kondenzáto lemezei között az időben változó elektomos té hatásáa az i e () t eltolási áamban folytatódik A kondenzátoban fellépő eltolási áam ugyanúgy mágneses teet hoz léte, mint a vezetési áam 56 Az elektomágneses té alapaxiómái 561 Az elektomágneses té enegiaviszonyai Valamely v téfogatban felhalmozott W ( t) elektomágneses enegia két okból változhat az időben Az egyik, a téfogatban fellépő P ( t) teljesítményű folyamatok, amelyek P () t > 0 esetén a téfogat elektomágneses enegiáját csökkentik, P () t < 0 esetén a téfogat elektomágneses enegiáját növelik, másészt a téfogatot hatáoló zát e,

164 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR a felületen átáamló, vagy átsugázott P s ( t) teljesítmény csökkenti a té enegiáját Az elektomágneses té enegiamélege ezek szeint dw () t () + P () = 0 + P t s t (55) Az egyes mennyiségek kifejezhetők az elemi téfogata, ill felülete vonatkozó sűűség t w,t enegiasűűséggel jellegű mennyiségekkel, így a téfogat W ( ) enegiája a ( ) W W J, = 1 v 0 v m3 () t = w( t) dv, w(, t) = lim, [ w] v a P () t teljesítmény a p (,t) teljesítmény sűűséggel, (56) P W, = 1 v 0 v m3 () = p( t) dv, p(, t) = lim, [ p] P t v, (57) míg a felületen kisugázott P s ( t) teljesítmény az egységnyi felületen kisugázott teljesítmény sűűséggel, a Poynting vektoal jellemezhető Ps P W, = 1 a 0 a m a () t = S( t) da, S(, t) = lim s, [ S] (58) Az enegia egyensúlyi egyenlet a sűűségekkel a következő alakban íható fel dw v (, t) dv + p v a (, t) dv + S(, t) da = 0 (59) A statikus elektomos té, a stacionáius elektomos és mágneses té enegia és teljesítmény sűűségeinek ismeetében az elektomágneses té téváltozóival is felíható az enegiaegyensúlyi egyenlet Az elektomágneses tében az elektomos és a mágneses enegia megváltozása dw (, t) dd ( ) (, t) db ( ) (, t) = E, t + H, t Homogén, lineáis anyag esetén, amiko a szigetelőanyag ε pemittivitása, és a mágneses anyag µ pemeabilitása nem változik sem a geometiai té pontjaiban és nem

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 165 függ az elektomos és mágneses té nagyságától, művelet után az elektomágneses té enegiasűűsége D = ε E, B = µ H, az invez 1 1 w = D E + B H (530) A téfogatban végbemenő enegiaátalakulások következtében a téfogati teljesítmény sűűség p,, ( t) = J E amely a J = ( E + ) σ E i diffeenciális Ohm tövény figyelembe vételével J ( ) p, t = J Ei (531) σ alakban adható meg Végül, bizonyítás nélkül megadjuk a Poynting vektonak a téváltozóktól való függését, S, (53) ( t) = E H Ezzel az enegia egyensúlyi egyenlet a következő alaka hozható, dd db J E + H dv + dv J Eidv + v v σ v a ( E H ) da = 0, (533) ahol az egyenlet baloldalán álló eső tag az elektomos és a mágneses té enegiájának megváltozása, a második tag a vezető közegekben a Joule tövény szeint hővé váló teljesítmény, a hamadik tag a nem-villamos enegia betáplálásnak a figyelembe vétele, míg az utolsó tag a felületen kisugázott teljesítmény 56 A Maxwell egyenletek Amint azt a koábbiakban láttuk, az elektomágneses teet gejesztő mennyiségek a J,t villamos áam Ezek azonban nem függetlenek ρ (,t) elektomos töltés és a ( ) egymástól A köztük lévő kapcsolatot az anyag, ill töltés-megmaadási tétel, a folytonossági egyenlet fejezi ki

166 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR J a d ρ (534) v (, t) da + (, t) dv = 0 E Az elektomágneses té téjellemzői egyészt a té intenzitását kifejező (,t) elektomos téeősség vekto és B(,t ) mágneses indukció vekto, másészt a té gejesztettségét meghatáozó D(,t ) eltolási vekto és H (,t ) mágneses téeősség vekto Az elektomágneses té téváltozóia a tapasztalati tövények általánosításával kapott összefüggéseket Maxwell egyenletek néven foglaljuk össze Az I Maxwell egyenlet az általánosított gejesztési tövény, ( ) ( ) ( ) = dd, t H, t dl J, t + da, (535) l a amely azt mondja, hogy a mágneses téeősségnek egy zát göbée vett integálja (összege) a göbe által kifeszített felületen áthaladó áamokat adja Meg kell jegyezni, hogy a jobb oldalon a totális áam, azaz a vezetési és az eltolási áam összege szeepel A gejesztési tövényt úgy ételmezhetjük, hogy mind a vezetési áam, mind az eltolási áam mágneses teet hoz léte A II Maxwell egyenlet a Faaday indukció tövény, db ( ) (, t) E, t dl = da, (536) l a E elektomos téeősségnek egy zát göbée vett amely azt mondja, hogy az (,t) integálja (az indukált feszültség) a göbe által köülfogott felületen átmenő d B(,t) indukcióvonalak idő szeinti megváltozásával egyenlő Az I és a II Maxwell egyenletek nem függetlenek egymástól, ui a gejesztési tövény jobb oldalán álló J (,t ) vezetési áam létehoz egy időben változó H (,t ) mágneses teet, amely mágneses té időbeli változása az indukció tövénynek megfelelően E(,t ) elektomos teet gejeszt, amely azonban az eltolási áamon keesztül módosítja az mágneses teet A III Maxwell egyenlet a mágneses indukció foásmentességét fogalmazza meg, B a (, t) da = 0 (537)

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 167 Azt mondja, hogy zát felületen ugyanannyi mágneses eővonal lép be, mint ki, azaz nincsenek mágneses töltések, a mágneses indukció vonalak sehol nem kezdődnek és sehol nem végződnek, egyszeű esetben zát göbét alkotnak A IV Maxwell egyenlet az elektosztatika Gauss tétele, D d a = ρ dv, (538) a v D amely szeint az (,t) elektomos té foása a töltés Az eltolási vektonak egy zát felülete vett integálja a felület által hatáolt téfogatban elhelyezkedő ρ (,t) töltésekkel egyenlő Az V Maxwell egyenlet a téváltozók és az anyagjellemzők kapcsolatát fogalmazza meg Homogén, lineáis anyag esetén a szigetelőanyagokat az ε pemittivitással, a mágneses anyagokat a µ pemeabilitássak, vezető anyagokat a σ vezetőképességgel jellemezhetünk, ( E + P) B = µ H = µ ( H + M ), J = ( E + ) D = ε E = ε0, 0 σ E i, (539) ahol P v a szigetelőanyag polaizáció vektoa, M a feomágneses anyagok mágnesezettségi vektoa és E i a beiktatott téeősség, amellyel a nem villamos eedető enegiákat (töltés szétválasztó eőt) modellezünk Végül a VI Maxwell egyenlet az elektomágneses té enegiaviszonyaia ad összefüggést, amely szeint az elektomágneses té egységnyi téfogatának teljesítménysűűsége p (, t) dw(, t) dd ( ) (, t) db ( ) (, t) = = E, t + H, t, amelyből homogén, lineáis közeg esetén az elektomágneses té enegiasűűsége 1 1 w = D E + B H (540) 57 Ellenőző kédések [1] Ismetesse a Faaday féle indukció tövényt; [] Foglalja össze a mozgási indukció jelenségét; [3] Ismetesse az általánosított gejesztési tövényt; [4] Ismetesse a folytonossági egyenletet;

168 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR [5] Ismetesse az elektomágneses té enegiaegyensúlyáa vonatkozó összefüggéseket; [6] Ismetesse a Poynting vekto fogalmát; [7] Foglalja össze az elektomágneses té alapaxiómáit58 Gyakoló feladatok 581 Feladat Egy R ellenállású gyűű alakú vezető időben változó, tében egyenletes eloszlású Ψ fluxust vesz köül (519 ába) Hatáozza meg mekkoa feszültséget méünk a vezető P Q pontja között, ha a voltméőt a baloldali ába szeint és ha a jobboldali ába szeint kötjük be 519 ába A mét feszültség szomszéd tekecs fluxusa dψ u A vezetőben az u i = indukált feszültség hatásáa i = i áam folyik A baloldali R α ába szeint a voltméő a gyűű P Q pontjai közötti l 1 szakaszának R1 = R π α ellenállásán fellépő ua = R1 i = ui feszültséget méi π Ha azonban a jobboldali elendezést vizsgáljuk, akko a voltméő az l szakasz α α ellenállásán keletkezett feszültséget méi ub = R R i = 1 u i 58 π π Feladat

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 169 Egy 0 sugaú, d vastagságú, σ vezetőképességű fémtácsa homogén mágneses tében a té iányáa meőlegesen van elhelyezve (50 ába) A mágneses indukció az időben B () t = B cos ( t) 0 ω függvény szeint változik A vezető tácsát ideális szigetelő veszi köül Hatáozzuk meg az indukció következtében fellépő áam hőteljesítményét 50 ába A tácsában keletkezett övényáam A tácsa sugaú észén Φ () t πb( t) változása az sugaú kö keülete mentén éintő iányú ( t) = mágneses fluxus halad át Ennek időbeli E, elektomos teet kelt, amely a hengeszimmetia miatt az sugá mentén állandó Az indukció tövényt alkalmazva dφ E dl = π E + 0 l (, t) = = πb ω sin ( ω t) ahonnan az elektomos téeősség meghatáozható E B ω = (, t) 0 sin ( ω t) A diffeenciális Ohm tövény ételmében az áamsűűség B J E 0 ω = σ = σ sin ( t) ω A hőteljesítmény a Joule tövény alapján számítható, ahol az elemi téfogatnak egy d szélességű gyűűt tekintünk, dv = d π d,

170 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR J 0 B B P() t dv 0ω sin ( t) d d 0ω = = σ ω π = σ π 4d sin( t) v 4 8 0 ω σ 0 Az időben változó teljesítménynek egy peiódusa vett átlaga sin ( ω t) 1 cos = ( ω t) összefüggés felhasználásával, és figyelembe véve, hogy ( t) időbeli átlaga nulla, 1 P = B 4 0ω σ π 0 d, 16 cos ω egy peiódusa vett vagyis az indukció és a köfekvencia négyzetével, és a sugá 4-dik hatványával aányos Ennek a hővé váló teljesítménynek a csökkentése édekében a tanszfomáto vasmagját a mágneses indukcióval páhuzamos iányban lemezelni szokás Az indukció hatásáa keletkező, a vezetőben záódó áamot övényáamnak nevezzük Az áamsűűség ismeetében meghatáozható a tácsában köbe folyó áameősség 0 B I d d J d d 0ω = J a = = σ sin a 0 583 Feladat 0 0 1 4 ( ω t) d = B ω σ d sin( ω t) Az 51 ábán látható keet homogén és időben állandó B indukciójú mágneses tében ω szögsebességgel foog Hatáozzuk meg a keetben indukálódó feszültséget, ha a keet hossza d, szélessége h (i) A keet fluxusa, miközben a keet Φ = Bhd cos α = Bhd cosωt, így az indukált feszültség dφ d u i = = Bhd cosω t = Bhdω sinω t α = ω t szöget fodul el 0 0

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 171 51 ába A mágneses tében fogó keet (ii) A mozgási indukcióalapján a d hosszúságú oldal sebessége v = ω h, az indukált feszültség d ui = 0 584 Feladat h ( v B) dl = d ω Bsinα = dhωbsinω t,az előző eedménnyel összhangban Az l hosszúságú úd homogén mágneses tée meőlegesen az egyik vége köül ω szögsebességgel foog (5 ába) Hatáozza meg, mekkoa feszültség indukálódik a úd két végpontja között 5 ába A homogén mágneses tében fogó úd Minthogy a úd a mágneses indukcióa meőleges iányban mozog, benne feszültség indukálódik Az sugáon mozgó d hosszúságú szakaszban du i = ( v B) dl = v B d = ω B d az egész údon pedig,

17 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR l l ui = ω B d = ω B 0 feszültség lép fel 585 Feladat Homogén mágneses tée meőlegesen helyezünk el egy 0 sugaú fémtácsát, amely tengelye köül ω szögsebességgel foog (53 ába) Hatáozzuk meg mekkoa feszültség indukálódik a tácsa tengelye és peeme között, ha B = 1T, 0 = 0,5 m, n = 3000 fodulat pec 53 ába Homogén tében fogó tácsa Képzeljük el, hogy a tácsa végtelen sok küllőből áll Egy küllőben az előző feladat szeint u i = ω B 0 feszültség indukálódik Az egyes küllők páhuzamosan kapcsolódnak, ezét a feszültségük ugyanekkoa A numeikus adatokat figyelembe véve 0,5 u = ω 0 i B = 100π = 37,7V feszültség állítható elő

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 173 586 Feladat Mekkoa feszültség indukálódik az 54 ábán látható vezetőkből álló elendezésben, ha a vezetők síkjáa meőleges mágneses indukció B ( t) = B0 sin( ω t) szeint változik és az l hosszúságú vezetékdaab a két vezetővel páhuzamosan v ebességgel mozog 54 ába A keet és a mozgó úd (i) Az x helyen lévő vezető által köülzát fluxus Ψ = l xb sin( t) 0 ω változó fluxus által indukált feszültség a megadott efeencia iány szeint dψ u i = = l xω B0 cos ( ω t) Az időben Az l hosszuságú vezető v sebességgel mozog, így az általa indukált feszültség a efeencia iánnyal ellenkező iányú ( t) u i = vbl = lvb0 sin ω, és így az indukált feszültség ( vsinωt xω cosωt) ui = ui ui = B0 l + Vegyük még figyelembe, hogy a mozgó ud indukált feszültség u i = B0lv( sinω t +ωt cosωt) x = vt távolságot tesz meg, így a keesett (ii) Hasonló eedményt kapunk, ha a vezető keesztmetszete által bezát fluxust Ψ = l vt B0 sinωt = B t idő szeinti deiváljuk, () a() t

174 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR ( ) dψ d db t da u i = = B() t a() t = a() t B() t = B0 lv( ωt cosωt + sinωt) ( t) 587 FeladatKét páhuzamos, kö keesztmetszetű, végtelen hosszúnak tekinthető vezeték egymástól a távolsága helyezkedik el (55 ába) A vezetékben folyó áamok egyenlő nagyságúak és ellenkező iányúak Hatáozzuk meg az egyik vezető l hosszúságú szakaszáa ható eőt 55 ába A két hengees vezető eőhatásához (i) Számolhatunk a df = I dl B összefüggéssel Az egyik áam által a másik helyén létehozott indukció I B = µ 0H = µ 0 π a Ez az indukció a vezetőe meőleges, így az eő a jobbcsava szabály alapján taszító jellegű I l F = µ 0 π a (ii) A feladat megoldható a vituális munka elve alapján is Minthogy a vezetők áama állandó az elmozdulás soán megváltozik a vezető huok induktivitása, és így az elmozdulás iányában fellépő eő dw 1 dl F s = = I ds ds

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 175 Minthogy a kettősvezeték önindukció együtthatója µ 0l d L = ln 0, π 0 a két vezető tengelyét összekötő iányban fellépő eőhatás a tengelyek távolságát növelni akaja 1 dl µ 0lI 1 F a = I = da π a 0 (iii) Az egyes vezetőke még sugáiányú eő is hat dw F = = d0 1 dl µ = 0lI 1 1 I d0 π a 0 0 Vegyük figyelembe, hogy a vezetők közti távolság jóval nagyobb, mint a vezetők sugaa, d >> 0, így a sugá iányú eő közelíthető F µ 0 l I 1 π 0 A negatív előjel azt fejezi ki, hogy az eő a sugaat csökkenteni igyekszik Nagy áamok esetén a eőből számított nyomásnak az anyag sziládsága áll ellen F 0I p µ = = π0 l ( π0 ) 588 Feladat Hatáozzuk meg azt az eőhatást, amely az 56 ábán látható végtelen hosszú egyenes vezető és a vele egy síkban fekvő keet között lép fel, ha a vezetők I 1, I áama az elmozdulás soán állandó

176 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 56 ába Az egyenes vezető és a keet helyzete Az elendezés enegiája kifejezhető az induktivitásokkal 1 1 W = L 1I 1 + LI + L1I1I A keet bámilyen vituális elmozdulásával csak a kölcsönös induktivitás változik µ b + a L1 = mln, π b és így a vituális munka elve alapján vonzóeő lép fel dw µ 1 1 F x = = I1I m db π b + a b 59 További gyakoló feladatok 591 Feladat Hatáozza meg, mekkoa mágneses enegiát táol az L 1 = mh, L = 6 mh, L 1 = 15 mh ön-, és kölcsönös indukció együtthatóval endelkező csatolt tekecs, amelyet I 1 = 1 A, I = 8 A áammal táplálunk

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 177 1 n n Minthogy a tekecsendsze enegiája W = LklIk Il, a jelen esetben a csatolt k = 1l= 1 1 1 tekecs enegiája W = L 1 I 1 1 1776 mw 1,776 W 1 + L I I + L I = = 59 Feladat Hatáozza meg, mekkoa áammal tápláltuk azt az L = 8,6 mh önindukció együtthatójú tekecset, amely W = 1 mw mágneses enegiát táol 1 Minthogy a tekecs enegiája W W = LI, ahonnan I = = 1,6705 A L 593 Feladat Hatáozza meg, mekkoa mágneses enegiát táol az a µ = 1 000 mágneses pemeabilitású anyag egységnyi téfogata, ha benne B = 1,8 T mágneses indukció van jelen 1 B Az egységnyi téfogatban az enegiasűűség w = BH = = 107,496 Ws/m3 µ 0µ 594 Feladat Hatáozza meg, mekkoa a mágneses fluxusa annak az L = 5 mh önindukció együtthatójú tekecsnek, amely W = 38 mw mágneses enegiát táol 1 A tekecs enegiája W W = LI, ahonnan a tekecs áama meghatáozható I =, L W így a tekecs fluxusa Ψ = LI = L = WL = 0,0195 Vs L

178 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 595 Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a mágneses indukció, amely egy keetben Ψ =15cos100t, mvs mágneses fluxust gejeszt = 36 cm sugaú vezető Ψ Ψ 15 10 3 cos100t B = = = = 0,0368cos100t T = 36,8cos100t mt a π 0,36π 596 Feladat Hatáozza meg, mekkoa W mágneses enegiát táol az együtthatójú tekecs, ha a vezetőjében I =,8 A áam folyik L = 7, mh indukció 1 1 W = LI = 7, 10 3,8 = 0,08 Ws 8,40 mj = 597 Feladat Hatáozza meg, mekkoa annak a tekecsnek az L indukció együtthatója, amely az I =,8 A áam hatásáa W = 40 mj mágneses enegiát táol 1 W 40 10 3 W = LI, L = = = 10,041 10 3 H 10,041 mh I,8 = 598 Feladat Hatáozza meg, mekkoa az L = 3,6 mh indukció együtthatójú tekecs I áama, ha a tekecs W = 5 mj mágneses enegiát táol 1 5 10 3 W W = LI, I = = = 5,3748 A L 3,6 10 3

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 179 599 Feladat Hatáozza meg, mekkoa mágneses enegiát táol a B =1,5T indukciójú mágneses té a µ = 000 elatív pemeabilitású közeg egységnyi téfogatában 1 B 1,5 w 447,633 J/m3 447,633 Ws/m3 m = = = = µ 4π10 7000 5910 Feladat Hatáozza meg, mekkoa abban a levegővel kitöltött közeg 1 m 3 téfogatában táolt W mágneses enegia, ahol az egyenletes eloszlású mágneses téeősség H = 3 A/cm 1 W = 1 4 10 7 0 = 300 m µ H V π = 0,0565 Ws = 56,5 mws 5911 Feladat Hatáozza meg mekkoa a mágneses enegiája annak az együtthatójú tekecsnek, amelyen I = 6 A áam folyik át L =,8 mh indukció 1 1 W = =,8 10 36 m LI = 0,0504 Ws 50,4 mws = 591 Feladat Hatáozza meg, mekkoa feszültség indukálódik az l = 80cm hosszú egyenes vezetőben, ha a homogén eloszlású B =1,T állandó indukciójú mágneses tée meőleges síkban v = 1,4m/s sebességgel mozog U i = vbl = 1,4 1, 0,8 = 1,3440 V

180 5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 5913 Feladat Hatáozza meg, mekkoa az ab = 15 0 cm keesztmetszetű vezető huok fluxusa, ha az egyenletes eloszlású B = 1,sin100t, T indukciót fogja köül Ψ = Bab = 1, 15 0 10 4 sin100t = 0,0360sin100t Vs = 36 sin 100t mvs 5914 Feladat Hatáozza meg, mekkoa a fluxusa annak az = 1cm sugaú vezető huoknak, amely egyenletes eloszlású B = 1,cos 00t T mágneses indukciót vesz köül Ψ = Ba = B π = 1, 0,1π cos 00t = 0,0543 cos 00t Vs = 54,3 cos00 t mvs 5915 Feladat Hatáozza meg, mekkoa ( t) tekecsen az ( t) 3sin( 150t)A Ψ fluxust hoz léte az L = mh indukció együtthatójú i = nagyságú áam () t = L i() t = 10 3 3sin150t = 6 10 3 sin150t Vs = 6sin150 t mvs Ψ 5916 Feladat Hatáozza meg, mekkoa az a b = 1 15cm felület fluxusa, ha a mágneses indukció vekto felülete meőleges komponense B n = 1,5cos( 00t)T Ψ () t = a b Bn = 0,1 0,15 1,5cos00t = 0,070cos00t V = 7,0cos00t mv,

5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR 181 5917 Feladat Két tekecs kölcsönös indukció együtthatója L 1 = 3µH Hatáozza meg, mekkoa Ψ () t fluxust gejeszt a tekecsben az 1 tekecs i 1( t) = 3sin( 40t)A áama () t = L i () t = 3 10 63sin 40t = 9 10 6 sin 40t Vs = 9sin 40 µvs Ψ 1 1 t 5918 Feladat Egy elektomágneses teet sugázó testtől nagy távolságban az elektomos és a mágneses téeősség vektook egymása meőleges komponensei E x = 3cos( ω t)mv/m, H y = 5cos( ω t)µa/m Hatáozza meg az egységnyi felületen átáamló teljesítményt Az egységnyi felületen átáamló teljesítmény a Poynting vekto, S = E H, így minthogy az elektomos té x itányú, a mágneses té y iányú, a vektoi szozatból a Poynting vekto z iányú lesz, S = = 15 10 9 W m z ExH y