24. előadás: INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK
|
|
- Emil Török
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 24. előadás: INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK Ketesi Gábo Vaian. fejezet eősen átdolgozva
2 24. Bevezető Ennek az előadásnak a soán visszatéünk a fogyasztói magatatás vizsgálatához, és a fogyasztó döntési oblémáját kibővítjük egy új dimenzióval: az idővel. Az időtényező bevonása az elemzésbe lehetővé teszi, hogy megvizsgáljuk milyen átcsootosításokat hajthatnak vége a fogyasztók a jelenbeli, illetve a jövőbeli fogyasztási lehetőségeik között. Az időtényező bevonása az elemzésbe lehetővé teszi, hogy a megtakaítások oblémáját összekacsoljuk a beuházások elemzésével. Az előadás második felében kibővítjük az elemzést a beuházási döntésekkel is Az intetemoális költségvetési kolát Kézeljünk el egy fogyasztót, aki abban a kédésben dönt, hogy mennyit fogyasszon egy bizonyos jószágból két időszakban. A két időszak legyen: t,. index jelölje a jelent vagy a mát, az -es index jelölje a jövőt vagy a holnaot. Az egyszeűség kedvéét legyen a fogyasztás tágyát kéező jószág az összetett jószág, azaz a fogyasztás. Ne bonyolítsuk az elemzést most azzal, hogy többfajta fogyasztási cikket feltételezünk! A fogyasztásnak mint összetett áunak az áa (ahogy megszoktuk). Induljunk ki abból, hogy a fogyasztónak a jelenben és a jövőben is van valamilyen jövedelme. Ha mondjuk a és indexek egy adott év decembe, illetve a következő év januá hónaját jelentik, akko m és m szimbólumok a fogyasztó idei decembei, illetve jövő januái fizetését jelölik. 24. fólia Ezt ábázolhatjuk egy koodinátaendszeben. A vízszintes tengelyen az e havi fogyasztásunkat, a függőlegesen a jövő havi fogyasztásunkat tüntettük fel. A kiindulóontunk temészetesen csak az lehet, amennyi jövedelemmel az egyes hónaokban endelkezünk. Ezt látjuk az M ( m, m ) készletontban. Ha az adott havi fogyasztásunkat egyedül az adott hónaban endelkezése álló jövedelemtől tesszük függővé, akko nincs intetemoális döntési obléma. Noha minden egymást követő hónaban van jövedelmünk és fogyasztásunk is, ezek között mégsincs semmiféle kaocs. Az időben zajló töténet szétesik t,,2,..., T daab egymástól független, jelenbeli (idődimenzió nélküli) döntése. Mi van azonban akko, ha azt gondoljuk, hogy a endelkezésünke álló m jövedelem nem elegendő ahhoz, hogy szeetteinknek megfelelő kaácsonyi ajándékot vegyünk Mivel jól tudjuk, hogy januában is lesz jövedelmünk, és azt is el tudjuk kézelni, hogy az ünneek után kéesek leszünk egy kicsit össszehúzni magunkat, iacionális lenne, ha nem gondolkod-nánk el azon a lehetőségen, hogy kölcsönt veszünk fel. Tegyük föl, hogy egy banktól veszünk fel egy övid távú egyhavi lejáatú kölcsönt. Hogyan ábázolhatnánk ezt a 24.. ábán? Igen egyszeűen: a kölcsön segítségével kimozdulhatunk az M ontból jobba lefelé. Az új feltételek mellett a kölcsön nagyságától függően többet is költhetünk decembeben nomál fogyasztása és kaácsonyi ajándéka decembei jövedelmünk-nél. A kölcsön évén megnövekedett fogyasztás legyen: c. Nyilván igaz, hogy: c > m. A kölcsönt azonban januában kamatostul vissza kell fizetni. Ha a hitelkamatláb H (%), akko jelenbeli 2
3 fogyasztásegységben méve ontosan ( H ) dc összeget ( dc c m ) kell fogyasztónknak a bank észée januában visszafizetni. Ennyivel lesz kevesebb a januában felhasználható jövedelme. A visszafizetés után má nem m összegből költhet januában, hanem csak az ( m dc) m ( H ) dc keetből. Mit is csinált a fogyasztónk? Kitágította a endelkezésée álló lehetőségek köét. Átcsootosított fogyasztási lehetőségeket a jövőből a jelenbe: lemondott dc mennyiségű januái fogyasztá-si lehetőségől annak édekében, hogy fogyasztása decembeben dc mennyiséggel nagyobb lehessen. A jelen- és jövőbeli fogyasztási lehetőségek közti átváltási aány éen dc / dc ( H ). Minden egy fointnyi kölcsöne ( H ) fointnyi visszafizetett összeg jut a jövőben. Ha a bank csak azt vizsgálja meg, hogy a fogyasztó endelkezik-e elég jövőbeli fedezettel, és annak megléte esetén a januái fizetés összeghatáától függően tetszőleges összeget kész kölcsönadni, akko könnyen belátható, hogy ilyen tanzakciókkal a fogyasztó az M ( m, m ) készletontból lefelé a ( H ) hajlásszögű egyenes mentén, egészen a vízszintes tengellyel való metszésontig bámilyen métékig kées kitágítani jelenbeli fogyasztási lehetőségeit jövőbeli fogyasztási lehetőségeinek ovásáa. Egy onta kolátozódó költségvetési kolátját ezzel, ha csak egy iányban, de végtelen számú lehetősége tágította ki. Most kézeljük el az altenatív lehetőséget. Fogyasztónk nem engedheti meg magának, hogy gazdag ajándékokat vegyen kaácsonya, met januában má nem halogathatja tovább a lakásában má égóa esedékes felújítási munkálatokat. Januái jövedelme edig ee nem ad kellő fedezetet. Mit tehet ilyenko? Féletesz valamennyi énzt decembeben a felújítás céljaia. Megtehetné azt is, hogy a ánában őzi megtakaított énzét, de mivel jól tudja, hogy a bankban kamatot fizetnek éte ( B a betéti kamatláb), acionális fogyasztóként inkább ott tatja januáig a énzét. Feltesszük, hogy a bank ontosan ugyanannyi kamatot fizet a betéteseknek, mint amennyi kamatot számít fel a kölcsönökét. A közgazdasági szakzsagon azt az esetet, amiko B H, tökéletes hiteliacnak nevezi. Az előző okfejtéssel analóg módon, könnyen belátható, hogy ilyenko a fogyasztó a jövőbeli fogyasztási lehetőségeit tágította ki jelenbeli fogyasztási lehetőségei tehée. S mivel a betéti és hitelkamatlábak egymással megegyeznek, most az M ( m, m ) készletontból kiindulva, felfelé mozdult el a ( H ) hajlásszögű egyenes mentén. Ezzel a tanzakcióval, egészen a függőleges tengellyel való metszésontig, bámilyen métékig kées kitágítani jövőbeli fogyasztási lehetőségeit jelenbeli fogyasztási lehetőségeinek tehée. Egyetlen onta kolátozódó költségvetési kolátját ezzel a másik iányban is végtelen számú lehetősége tágította ki. Az ily módon meghatáozott egyenest intetemoális költségvetési kolátnak nevezzük fólia Az intetemoális költségvetési kolát bonyolultabb fomát is ölthet, ha a betéti és hitelkamatlábak egymástól különböznek. Ha a hitelkamatláb magasabb, mint a betéti kamatláb ez a eális feltételezés, hiszen a bank működési költségeit valamiből 3
4 fedezni kell, akko egységnyi megtakaítás évén kevesebb jövőbeli fogyasztási lehetőséghez lehet jutni, mint amennyi jövőbeli fogyasztásól mondunk le akko, ha jelenbeli fogyasztásunkat egy egységgel szeetnénk növelni. Ezt az esetet a közgazdászok tökéletlen hiteliacnak szokták nevezni. Az elnevezés aa utal, hogy a bankok közti tökéletes veseny zéus működési költségek esetén kées kiegyenlíteni a betéti és hitelkamatlábak esetlegesen meglevő különbségeit. A tökéletes-tökéletlen kifejezés temészetesen nem túl szeencsés, de mivel ez a megszokott, mi is ezt használjuk. A továbbiakban kizáólag tökéletes hiteliacokat feltételezünk. Az intetemoális döntési obléma tágyalását nem teheljük meg a betéti és hitelkamatlábak különbözőségének oblémájával fólia Az intetemoális költségvetési kolátnak algebai fomát is adhatunk. Induljunk ki abból az iménti megállaításunkból, hogy a mai és a holnai fogyasztási lehetőségeink közti átváltási aányt az intetemoális költségvetési egyenes hajlásszöge fejezi ki! Hogyan lehetne ezt a statikus fogyasztási elméletből ismet áaány analógiájáa visszavezetni? Mit jelentenek itt egyáltalán az áak? Íjuk fel a költségvetési kolátot a jelen és jövő fogyasztási lehetőségeit étékelő, egyelőe ismeetlen jelentésű áak segítségével. Ezen a módon definiáltunk egy V összjövedelmet is: a két időontbeli jövedelmünk megfelelő időontbeli áakon étékelt összegét. Teljes diffeenciálással megkajuk, hogy a jelen és a jövő fogyasztási lehetőségei közti cseeaány a jelen és a jövő fogyasztási lehetőségeihez tatozó áaánnyal egyenlő (3 ). Ha a jelenbeli fogyasztás áát egységnyinek választjuk ( ), akko a két időontbeli fogyasztás közti cseeaányt alaul véve azt kajuk, hogy a jövőbeli fogyasztás áa : /( ). Ha összegezni akajuk jelen- és jövőbeli jövedelmünket ugyanúgy, ahogy az almáa és kötée fodított kiadásainkat is csak az áak segítségével vagyunk kéesek összegezni, akko jövőbeli jövedelmünket és fogyasztásunkat /( ) áon étékelve, voltakéen nem tettünk mást, minthogy minden jövőben megkeesett és kiadott fointot a jelenben megkeesett és kiadott fointétéken étékelünk. Az intetemoális költségvetési kolát így a (6)-os kéletnek megfelelően átíható. V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünknek jelenbeli fogyasztási lehetőségeinken számított étéke, öviden: jelenétéke. Teljesen analóg módon kiszámíthatjuk a különböző időontbeli jövedelmeink jövőétékét (V ) is. Ez esetben azonban a jövőbeli jövedelem áát kell egységnyinek választanunk. V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünknek jövőbeli fogyasztási lehetőségeinken számított étéke, öviden: jövőétéke. Miét is lenne az iaci tökéletlenség, hogy a bankoknak működési költségeik vannak? A tökéletes hiteliac ideája voltakéen mindenfajta iac tökéletes működésével analóg fogalom. Aa ímel, amit eddig is többszö felemlítettünk, hogy a tökéletes veseny modelljében eltekintünk a iacok (infomációs, tanzakciós és egyéb) működési költségeitől. Ami esze nem jelenti azt, hogy ilyen költségek nincsenek, hanem usztán csak azt, hogy a modellek egyszeűsítése édekében elvonatkoztatunk tőlük. 4
5 24.4 fólia Az intetemoális költségvetési kolát segítségével könnyen ábázolhatjuk jövedelmünk jelen-, illetve jövőétékét. A jelenéték nem más, mint a költségvetési egyenes vízszintes tengelymetszetéhez tatozó fogyasztás étéke. Ennyi jövedelmünk lenne ma abban az esetben, ha minden holnai jövedelmünket mai fogyasztási lehetősége váltanánk át, vagyis ha annyi kölcsönt vennénk fel ma, hogy csak az összes jövőbeli jövedelemünk lenne elegendő ahhoz, hogy azt visszafizessük. Analóg ételme van jövedelmeink jövőétékének (lásd a függőleges tengelymetszetet!). Ennyi fogyasztási lehetőséggel endelkeznénk a jövőben, ha minden mai jövedelmünket a jövőbeli fogyasztás céljából megtakaítanánk Fogyasztói efeenciák: intetemoális hasznossági függvény Tekintsük most a fogyasztó efeenciáit, ahogyan azt a fogyasztó közömbösségi göbéi eezentálják! 24.5 fólia A közömbösségi göbék alakja megmutatja, hogy a fogyasztó a jövő fogyasztását a jelen fogyasztásához kéest hogyan étékeli. Például, ha húznánk egy olyan közömbösségi göbét, amelynek a meedeksége minden ontban l lenne, akko ezzel egy olyan fogyasztó intetemoális efeenciáit jelenítenénk meg, akinek közömbös az, hogy amit fogyaszt, azt ma vagy holna fogyasztja el. 2 Jól viselkedő efeenciák esetén a fogyasztó hajlandó a mai fogyasztását bizonyos métékben a holnaival helyettesíteni, és sajátos ízlésétől függ az, hogy milyen métékben. Ebben az összefüggésben igen temészetes a efeenciák konvexitása, ami azt fejezi ki, hogy a fogyasztó előnyben észesíti azt az állaotot, ha ma és holna is endelkezik bizonyos métékű fogyasztási lehetőséggel, azzal az állaottal szemben, ha sokat fogyaszthat ma és semmit sem fogyaszt holna, vagy ha sokat fogyaszt holna és semmit sem fogyaszt ma. Az intetemoális efeenciákat is eezentálhatjuk a fogyasztói elméletben megismet hasznossági függvénnyel. A fogyasztó időefeenciáit a jelen és jövőbeli fogyasztási lehetőségek közti helyettesítési hatáátával íhatjuk le fólia A ábán két különböző időefeenciájú fogyasztó közömbösségi göbéjét mutatjuk be. Az összehasonlítás céljából kiválasztott közös ontban mind az A, mind edig a B fogyasztó előnyben észesíti a mai fogyasztást a holnaival szemben, B fogyasztó azonban e tekintetben A-val szemben tüelmetlenebb. Temészetesen elkézelhetők olyan fogyasztók is, akik hatáozottan a jövő fogyasztási lehetőségeit efeálják a jelen lehetőségeivel szemben. Ilyenek éldául azok, aki valamie nagyon gyűjtenek. 2 A jelen és jövő fogyasztási lehetőségei között a ő számáa tökéletes a helyettesítés. 5
6 24.7 fólia A közgazdasági elemzésekben gyakan használják az intetemoális hasznossági függvény egy seciális fomáját: a diszkonttényezővel ellátott additív szeaábilis hasznossági függvényt. Ez a függvény az egyes időontbeli fogyasztási étékek hasznossági indexeit összegzi úgy, hogy a jövőbeli fogyasztás hasznosságát a jelenbeli fogyasztás hasznosságához kéest egy konstans tényezővel leétékeli. E függvényfoma használata kézenfekvő előnnyel já: mivel egyetlen aamétebe ez itt β sűíti a fogyasztói időefeencia métékét, ezzel az általánosabb függvényfomákhoz kéest technikailag kezelhe-tőbbé is teszi Intetemoális fogyasztói döntés A költségvetési kolát és a hasznossági függvény ismeetében meghatáozhatjuk a fogyasztó otimális döntését. Nem kell mást tennünk, mint ahogy azt az első félévben megtanultunk megoldanunk a oblémához tatozó feltételes otimalizálási feladatot fólia A feladat megoldása soán itt is egy éintőfeltételhez jutunk. Az otimumban a fogyasztó olyan jelen- és jövőbeli fogyasztási kosaat választ, amelynél intetemoális helyettesítési hatáátájának étéke é megegyezik a jelen és jövőbeli fogyasztási lehetőségek iaci cseeaányával. Magyaán azzal, ahogy a hiteliac közvetítésével kées a jelenbeli jövedelmét jövőbelie váltani (ha megtakaít, illetve kölcsönt nyújt, akko ezt teszi), vagy ahogy jövőbeli jövedelmét kées jelenbelie cseélni (ha kölcsönt vesz fel, akko ezt teszi) fólia Vizsgáljuk meg a ábán látható két fogyasztó döntését. A két fogyasztónak azonosak a jövedelmei 5, de jellegzetesen különböznek a efeenciái. Ha a kamatlábak mindekettőjük számáa azonosak, máskéen fognak viselkedni. A fogyasztó beteszi a bankba a énzét, megtakaít úgy is mondhatjuk, hogy kölcsönt nyújt 6, B fogyasztó edig kölcsönt vesz fel. Mindkettejüke nézve azonban évényes az első félévben megismet általános összefüggés: noha az otimumban a két személy efeenciái egymástól különböznek, a helyettesítési hatáaányok azonban mindegyikőjük számáa azonosak. 7 3 Vigyázat! Az, hogy az időefeencia méőszáma egyetlen konstans e hasznossági függvényben, nem feltétlenül jelenti azt, hogy az intetemoális helyettesítési hatááta a hasznossági függvény minden ontjában azonos. Miét nem jelenti azt? És milyen seciális esetben jelenti mégis azt? 4 Ételmezzük az éintőfeltételt a statikus fogyasztói döntésnél megszokott módon! Az első félévben megismet abitázs-évelés alkalmazásával (közgazdasági évvel és ne mechaniku-san) bizonyítsuk be, hogy nem lehet otimális az az intetemoális fogyasztói kosá, amelynél a helyettesítési hatááta nagyobb vagy kisebb ()-nél. Mit jelent ez? 5 Úgy is mondhatnánk, hogy azonosak az indulókészletei. 6 A bank közvetítésével mindenkéen kölcsönt nyújt valakinek. Az ő szemontjából mindegy, hogy kinek. 7 Mi a jelentése ennek? Itt is keessük meg a fogyasztáselméleti analógiát! 6
7 24. fólia A 24.. ábán egy olyan esetet mutatunk be, ahol két azonos efeenciájú fogyasztó indulókészleteit az intetemoális költségvetési egyenesen úgy helyeztük el, hogy a hiteliaci otimumban egyikük kölcsönadó, a másikuk edig kölcsönvevő legyen Komaatív statika Hogyan eagának a fogyasztók a kamatláb változásáa? Ez nyilvánvalóan ugyanolyan jellegű kédés, mint amiko a fogyasztói elméletben azt fitattuk, hogy hogyan eagálnak a fogyasztók a temékek áaányának megváltozásáa. Mint a statikus fogyasztói elméletben is láttuk emlékezzünk a Szluckij-tétele!, ez nem egyszeű kédés. Lássunk előszö egy egyszeűbb esetet! A kamatláb emelkedé-se megváltoztatja-e a fogyasztók eedeti hiteliaci helyzetét? Aki eedetileg kölcsönadó vagy kölcsönvevő volt, az megmaad-e annak a kamatemelés után is? Tekintsük a 24.. ábát! 24. fólia Fogassuk el a költségvetési egyenest egy adott készletontból (M) kétfélekéen. Előszö úgy, hogy a fogatással a kamatlábat megnöveljük (a költségvetési egyenes ekko meedekebb lesz), másodszo edig úgy, hogy a kamatlábat csökkentjük (a költségvetési egyenes ekko laosabb lesz). Az első esetben az ába baloldali aneljén a fogyasztó a kamatváltozás előtti helyzetben kölcsönadó volt. Könnyen igazolható, hogy a kamatemelés nem változtatja meg a fogyasztó hiteliaci helyzetét. Ha koábban kölcsönadó volt, akko az is maad. Miét? Induljunk ki abból: a kamatemelés előtti állaotban a költségvetési halmaz besatíozott ontjai koábban is mind eléhetők voltak a fogyasztó számáa, ő mégis az E ontot választotta, E-t tehát biztosan előnyben észesíti a satíozott halmaz ontjaival szemben. Mivel az eedeti otimális kosá (E) a kamatemelés utáni állaotban továbba is észe maad a fogyasztó költségvetési halmazának, új otimuma nem eshet az új költségvetési egyenes olyan ontjáa, amely indulókészletétől jobba helyezkedik el (vagyis észe a szükével jelölt halmaz-nak). Ez esetben ugyanis olyan ontot választana, amelyet má egysze, E oció jelenlétében elutasított. Az új otimum tehát szükségkéen csak az elfogatott költségvetési egyenes azon ontjaia eshet, amelyek a készletonttól bala helyezkednek el. Hasonló hatás mutatható ki a kölcsönvevők esetében: ha a fogyasztó a kiinduló helyzetben kölcsönvevő volt, akko az előbbivel analóg évelés segítségével beláthatjuk, hogy kamatcsökkentés esetén az is maad. Ezt az esetet látjuk a 24.. ába jobboldali aneljén fólia A két altenatív esetől nevezetesen, hogy mi töténik a kölcsönadóval kamatcsökkentés, illetve, hogy mi töténik a kölcsönvevővel kamatemelés esetén 7
8 előzetes megfontolások alaján semmi biztosat nem mondhatunk. A dolog kimenetele a fogyasztó sajátos efeenciáin is múlik. Téjünk most vissza az eedeti kédéshez: Hogyan eagálnak a fogyasztók a kamatláb változásáa? A fogyasztói eakciók itt is akácsak a statikus fogyasztói elméletben két komonensből: helyettesítési és jövedelemhatásból állnak. Vizsgáljuk meg őket alaosabban! A ábán egy olyan személy esetében vizsgáljuk meg a kamatláb emelkedésének hatását, aki a kamatemelés előtt kölcsönadó volt. Mint az előző évelésből tudjuk, ő továbba is kölcsönadó maad fólia Alkalmazzuk a Szluckij-tételt! A kiinduló állaotban a fogyasztó otimális döntése az E ontban volt. A kamatláb emelkedésének hatásáa edig átkeült az E ontba. Folytassunk le egy gondolatkíséletet: Mi tötént volna akko, ha a kamatláb úgy emelkedett volna, hogy közben a fogyasztó nem mozdulhatott volna el eedeti otimumában elét hasznossági szintjéől? Mivel a jelenbeli fogyasztás a jövőbeli fogyasztáshoz kéest megdágult a kamatláb emelkedése ezt jelenti a fogyasztó csökkenti jelenbeli, és növeli jövőbeli fogyasztását. Ez a helyettesítési hatás. A kölcsönadó helyzete azonban a ába alaján elvégzett elemzésből tudjuk kamatemelés következtében egyételműen javul is. Ez a javulás azon méhető le, hogy a kamatemelés évén a ögzített hasznossági szint E ~ ontjához húzott költségvetési egyenesől átkeült a (magasabb jelenétéket kéviselő) effektív költségvetési egyenese. V ~ jelenétékől elmozdult a magasabb V jelenétéke. Ez a jövedelemhatás. Mivel jó okunk van á, hogy mind a jelenbeli, mind a jövőbeli fogyasztást nomál jószágnak tekintsük, a jövedelemnövekedés mindkét időontbeli fogyasztás növelésée ösztönzi a fogyasztót. Mivel a jövőbeli jövedelem esetében a helyettesítési hatás és a jövedelemhatás egy iányba mutat, e tekintetben biztos előejelzést tehetünk: a kamatláb emelkedése azzal a következménnyel já, hogy a kölcsönadó bizonyosan növelni fogja jövőbeli fogyasztását. A jelenbeli fogyasztással kacsolatos előejelzésünk má nem egyételmű. Az, hogy ilyen helyzetben a jelenbeli fogyasztás étéke nő, csökken, vagy változatlan maad, az azon múlik, hogy az ellentétes előjelű helyettesítési és jövedelemhatás közül melyik dominálja a másikat fólia A ába ugyanezt vizsgálja meg a kölcsönvevőe nézve abban az esetben, ha az a kamatemelés hatásáa továbba is kölcsönvevő maad. A most bemutatott éveléssel analóg módon belátható, hogy egy kölcsönvevő számáa a kamatláb emelkedése szükségkéen csökkenti a mai fogyasztását (az ő esetében a jövőbeli fogyasztással kacsolatos előejelzések a bizonytalanok) Fishe-egyenlet Az intetemoális fogyasztói döntés modelljét felhasználva, fontos dolgokat tudhatunk meg az inflációól, a fogyasztási javak áának általános emelkedéséől. Ezt 8 Póbáljuk ki, meg tudjuk-e ismételni az előző évelést ebben az esetben! Ha igen akko az előző okfejtést is megétettük. 8
9 a szemontot egyszeűen beéíthetjük az elemzésbe. Elegendő azt megenged-nünk, hogy a fogyasztási javak átlagáa (az ászínvonal) a két időszakban különbözzék. Az alábbi eedménye jutottunk: 24.5 fólia N π R. Ez a híes Fishe 9 -egyenlet, amely kimondja: a nominális kamatláb megközelítően egyenlő a eálkamatláb és az inflációs áta összegével. Mivel a jövőbeli inflációs áta általában nem ismet, ezét az egyenlet átfogalmazható úgy, hogy a tényleges inflációs áta helyébe azt az inflációs átát íjuk be, amelye a gazdaság szeelői számítanak e ( π ): e N π. R Ezt a következményt így fogalmazhatjuk meg: Minél eősebbek az inflációs váakozások (vagyis minél nagyobb inflációa számítanak a gazdaság a szeelői), annál magasabb lesz a nominális kamatláb A modell kitejesztése kettőnél több időont esetée Az intetemoális döntés modellje kitejeszthető kettőnél több eiódusa is. Vegyük előszö ennek a legegyszeűbb esetét: a háomeiódusú modellt! 24.6 fólia Egy háomeiódusú modell összeakható két kéteiódusú modellből. Annyit kell csak megtennünk, hogy egy máa és holnaa, valamint egy holnaa és holnautána megfogalmazott modellt összekacsolunk egymással. Hogyan tudjuk a hamadik eiódusban megkeesett jövedelmet, illetve fogyasztási kiadást kifejezni az első időszak (a ma) fogyasztásának étékén? Hogyan hatáozható meg a kéteiódusú modell, két időszakot összekötő, övid távú kamatlábaiból a háomeiódusú modell, hoszabb időszak fogyasztási étékeit összekötő kamatlába? Ha ezt a kédést kéesek vagyunk megválaszolni, akko a tetszőleges hosszúságú időtávokat összekötő, ún. hosszú távú kamatlábat is meg tudjuk hatáozni. Induljunk ki abból, hogy egy tetszőleges t-edik időontbeli övid távú kamatláb nem tesz mást, mint beáazza a ( t ) -edik idő-ontbeli fogyasztást a t-edik időontbeli fogyasztáshoz viszonyítva. Ha éldául t, akko az kamatláb lehetővé teszi, hogy a /( ) fomula segítségével beáazzuk az első időszakbeli fogyasztásunkat, a áú, -dik időszakbeli fogyasztásunkhoz kéest. Ezeknek az áaknak 9 Iving Fishe ( ), ameikai közgazdász tiszteletée nevezték el így. Fishe volt az első olyan közgazdász, aki a közgazdasági dinamikát valóban koszeű módon kezelte. Az ő munkássága nyomán vált általánossá az intetemoális döntési oblémák itt bemutatott tágyalási módja. Az eddigiekben alkalmazott diagamot is óla nevezték el Fishe-diagam-nak. 9
10 a segítségével tudjuk jelen- és jövőbeli jövedelmünk, illetve fogyasztásunk jelenétékét kiszámítani fólia Az ily módon meghatáozott áak felhasználásával tetszőleges éváa tudunk áaányokat számítani úgy, hogy minden esetben a bázisidőszaki fogyasztás áát vesszük egységnyinek. A fólián jól látszik, hogy ha az így kaott, egymást követő övid távú kamatlábakat tatalmazó áaányokat összeszoozzuk egymással, akko megkajuk két egymástól időben tetszőleges messze levő fogyasztás áaányát is. A szóban fogó áaány temészetesen tatalmazza a megfelelő hosszú távú kamatlábat is fólia A háomeiódusú modellben a hamadik időszak fogyasztását és jövedelmét ennek a kamatlábnak a segítségével lehet az első időszak fogyasztási lehetőségeinek étékén meghatáozni. Ezen az áon étékelve adható hozzá a hamadik eiódus jövedelme és fogyasztása a háomeiódusú modell költségvetési kolátjához. Teljesen analóg módon konstuálhatjuk meg egy tetszőlegesen sok eiódust tatalmazó intetemoális modell költségvetési kolátját is Intetemoális fogyasztói döntés temelés mellett Az intetemoális fogyasztói döntési oblémát kiegészíthetjük a temeléssel. Induljunk ki egy önellátó búzatemelő fame végtelenségig leegyszeűsített, kétidőszakos döntési oblémájából! Vizsgáljuk meg előszö azt az esetet, amiko fameünk önellátó temelést folytat!. Autakia 24.9 fólia A fame döntési helyzetét attól a onttól kezdve követjük nyomon, hogy idei ( t ) temését ( m ) leaatta. Jövő évi temését úgy biztosíthatja, hogy az idei temés egy észét féle- teszi vetőmagnak (k). A obléma egyszeűsége édekében feltesszük, hogy a fame fogyasztása egyedül gabonából áll, továbbá hogy, amit megtemel, azt vagy elfogyasztja idén ( c ), vagy edig vetőmagként felhasználja jövőe. Temelési technológiáját a c f ( k) konkáv temelési függvény íja le: k mennyiségű vetőmag felhasználásával temeli meg a jövő évi búzáját ( c ). Az idei év esektívájából szemlélve a dolgot, ha nem tenne féle vetőmagot, vagyis nem uházna be a jövő évi temelésbe, akko a jövő évi fogyasztása zéus volna. Jövő évi indulókészlete tehát m. Mennyi búzát kell féletennie vetőmagnak, ha azt szeetné eléni, hogy idei és jövőbeli fogyasztását egyaánt magában foglaló fogyasztói kosaa otimális legyen? A ábán az előző óán bevezetett temelési lehetőségek halmaza segítségével ábázoltuk a fame technológiai lehetőségeit. A temelési lehetőségek
11 hatáfelülete T ( c, c ) függvény az f (k) temelési függvény által kéviselt temelési lehetőségeket testesíti meg. A vetőmag mennyisége és a jövő évi temés nagysága közti függvényszeű összefüggést ugyanis e hatáfelületől is leolvashatjuk fólia A fólián ezt algebailag is belátjuk: a temelési függvény és a temelési lehetőségek hatáfelülete ontosan ugyanazt az infomációtatalmat hodozza. A TLH hatáának bámely ( c,c ) ontjában hatáozzuk meg az idei és a jövő évi búza mennyisége közti tanszfomációs hatáaányt (MRT-t), az azonosan egyenlő lesz az idei búzából féletett vetőmag k m c ) ontban mét hatátemékével. ( 24.2 fólia fólia Ennek a belátása után megoldjuk az önellátó fame beuházási oblémáját. Keessük meg a fame jólétét maximalizáló otimális vetőmagmennyiséget! Vagyis oldjuk meg a fólián látható feltételes otimalizálási feladatot. Az otimum ott lesz, ahol az idei és jövő évi fogyasztás közti helyettesítési hatáaány megegyezik a tanszfomációs hatáaánnyal, vagyis azzal, ahogyan az idei fogyasztás ovásáa temelés évén növelni tudja jövő évi fogyasztását. Minden más megoldás hatékonyságveszteséggel jána. (Miét? Kézeljünk el egy olyan esetet, amiko a közömbösségi göbe két onton is metszi a TLH-ának hatáfelületét! Ezekben a ontokban nem teljesül az éintőfeltétel. Adjunk intuitív magyaázatot á, hogy ezekben a ontokban miét nem lehet otimális a féletett vetőmag mennyisége! Ha jó intuitív magyaázatot tudunk adni, akko étjük, miől van szó.) 2. Decentalizált megoldás Vizsgáljunk most meg egy altenatív esetet. Fameünk vállalkozó lesz. Mostantól fogva iaca temel. Az egyszeűség kedvéét feltesszük, hogy az idei és a jövő évi búza nominális áa megegyezik, és étéke. Ilyen köülmények között hogyan hatáozhatjuk meg a fame oblémáját? Mennyi vetőmagot tesz féle, és mi lesz a jólétét maximalizáló otimális jószágkosaa? Vegyük észe, hogy ez esetben a feladatot két léésben kell megoldania. Előszö is egy beuházási döntést kell hoznia. A fame gazdasága itt úgy működik, mint egy ofitmaximalizáló vállalat, amelynek meg kell oldania egy beuházási feladatot. Olyan beuházási volument kell választania (annyi vetőmagot kell féletennie), amelynél a gazdaság ofitja maximális lesz fólia Az az á, ami egy zsák búzáa a iacon ki van íva: m m, ahol az m felső index jelöli akácsak a Fishe-egyenletben a énzbeli (m monetay) áat.
12 Hatáozzuk meg mindenekelőtt a ofitját! Ha nem uházna be, akko jelen és jövőbeli m jövedelmeinek jelenétéke V m m m volna. A beuházás célja éen az, hogy jövedelmeinek jelenétékét növelje. (Egyébként mi ételme lenne az egésznek?) A beuházással é az a célja, hogy jövedelmeinek jelenétékét a ofit összegével megnövelje. A fame ofitját úgy kajuk meg, hogy a jövő évi bevételéből levonjuk idei kiadásait. Mivel a kiadás és a bevétel különböző időontokban meül fel, azonos nevezőe kell hoznunk őket. Mi itt jelenétéken összegeztünk. k π ( ) f ( k k ). Ezt a különbséget kell maximalizálnunk fólia Az elsőendű feltétel ( f ( k) ) ha első illantása nehéz is felismeni nem más, mint a temeléselméletből jól ismet MR MC feltétel. Mivel a búza énzbeli áa, az * f ( k) éték nem más, mint egységnyi vetőmag-felhasználás hatátemékének jövő évi étéke, vagyis az egységnyi vetőmagfelhasz-nálással jáó hatábevétel. ( ) edig nem más mint egységnyi vetőmag-felhasználás hatáköltsége, hiszen amiko a jövő évi búza előállítása édekében egy egységnyi búzát nem fogyasztunk el akko jövőétéken számolva, ontosan *( ) jövedelemől mondunk le. (Minden költség altenatív költség!) Az elsőendű feltételt megoldva, megkajuk az otimális vetőmag-felhasználás volumenét: k *-ot. Ezt viszahelyettesítve a ofitfüggvénybe, megkajuk a famegazdaság otimális ofitjának étékét ( π *). Ha az otimális ofit étékét temészetesen jelenétéke átszámítva hozzáadjuk a fame indulókészletének jelenétékéhez (V-hez), azzal az intetemoális költségvetési kolátot kitoltuk egészen a temelési lehetőségek hatááig, egészen addig, ahol a költségvetési kolát má a temelési lehetőségek hatáfelületének éintője lesz. Ebben a ontban teljesül a jól ismet éintőfeltétel. Most sot keíthetünk a fame második oblémájának a megoldásáa. A fame zsebében most indulókészletének jelenétékénél nagyobb jelenétékű jövedelem laul: V * V π *. Hogyan osztja fel ezt a jövedelmet a jelen- és a jövőbeli fogyasztás céljaia? Most meg kell hoznia fogyasztási döntését. Ugyanazt a feladatot kell megoldania, mint amit má az előadás első felében megoldottunk fólia A fame fogyasztóként olyan otimális fogyasztói kosaat választ, amelynél fogyasztásának intetemoális helyettesítési hatáátája é megegyezik a mai és holnai fogyasztási lehetőségek iaci cseeaányával. Máskéen megfogalmazva: jelen-, illetve jövőbeli fogyasztása akko tekinthető otimálisnak, ha jelen- és jövőbeli fogyasztását egymáshoz kéest ontosan annyia étékeli, mint amennyiét jövőbeli fogyasztását a hiteliacon jelenbeli fogyasztása tudná cseélni. Aól az áól van szó, ami a zsáka van átűzve. 2
13 3. Fishe-féle szeaációs tétel Ez az eedmény mint má az előadás első észében említettük független attól, hogy a fogyasztó (jelen esetben: a fame) milyen efenciákkal endelkezik fólia ismét Ha a hiteliacok tökéletesek, akámilyen efeenciájú legyen is a fogyasztó, hitelfelvétel vagy kölcsönnyújtás évén mindig kées eleget tenni az említett otimumfeltételnek. Ez azonban egyszesmind azt is jelenti, hogy beuházási és fogyasztói döntése tökéletesen szeaálható egymástól fólia A ábán egy gafikonon ábázoltuk a fame beuházási és fogyasztói döntését. Időefeenciájával kacsolatban edig háom altenatív feltevést fogalmaztunk meg: A, B és C feltevést. Minél közelebb áll C-hez, elatíve annál többe étékeli az idei fogyasztást a jövő évihez kéest, minél közelebb áll A-hoz annál többe étékeli a jövő évi fogyasztását az ideihez kéest. Az ába leglényegesebb üzenete az: akámilyenek is az efeenciái, mindenkéen ugyanazt a beuházási döntést fogja meghozni. Ez a felismeés az alaja a dinamikus közgazdaságtan egy igen fontos tételének, amelyet megalkotójának tiszteletée Fishe 2 -féle szeaációs tételnek neveztek el fólia Ennek a tételnek a beuházás-, illetve tőkeelméletben 3 igen nagy hasznát vesszük. Ha az említett feltételek fennállnak, akko az otimális beuházási döntés meghatáozásako nem szükséges a obléma legáltalánosabb eezentációjáig, a beuházási döntést is meghozó fogyasztó haszonmaximalizálási oblémájáig elmennünk, elegendő a jóval egyszeűbb beuházási (vagyon-maximalizálási) oblémát megoldanunk. Biztosak lehetünk abban, hogy akámilyen efeenciájú szeelő legyen is a döntéshozónk, beuházási döntése efeenciáitól függetlenül ugyanaz lesz. Végezetül ejtsünk néhány szót a tételben megfogalmazott kikötésekől! A 2. kikötés az előadás első felében elmondottak alaján eléggé kézenfekvő. Ha a betéti és hitelkamatlábak különböznek, akko a kölcsönadók és kölcsönvevők más-más intetemoális költségvetési koláttal néznek szembe, így beuházási döntésük éintőfeltétele is különböző lesz. Ami az. kikötést illeti, ott az a gond, hogy ha az intetemoális hasznossági függvénynek más agumentumai is vannak a legjobb élda ee a szabadidő, akko a fogyasztók jólétüket nemcsak fogyasztásban (s így énzben) kifejezett dolgokban, hanem másban (éldául szabadidőben) is méik, melyet ez esetben nem lehet teljes métékben fogyasztási lehetőséggel kiváltani. Beuházás évén máedig egyedül énzbeli jövedelmünket tudjuk csak növelni. 2 Iving Fisheől van itt is szó. 3 A tétel alkalmazásával jövőbeli tanulmányaik soán nagy valószínűséggel két helyen is találkozhatnak: a vállalati énzügyek, illetve a munkaeőiac gazdaságtana című tantágyban. Az előbbi esetben a tétel a fizikai tőkejavakba, az utóbbi esetben az embei tőkébe (az embei tudásba) való beuházásoka konketizálható. 3
14 Iving Fishe ( ) 4
15 24. előadás INTERTEMPORÁLIS DÖNTÉSEK MELLÉKLET Ketesi Gábo 5
16 24. Intetemoális költségvetési kolát (tökéletes tőkeiac/hiteliac: B H ) 6
17 24.2 Intetemoális költségvetési kolát ( tökéletlen tőkeiac/hiteliac: B H ) 7
18 24.3 A jelen- és jövőbeli jövedelmek jelenétéke és az intetemoális költségvetési kolát A jelen és a jövő fogyasztási lehetőségei közti átváltási összefüggést az alábbi egyenlet fejezi ki: dc () dc Íjuk föl az intetemoális költségvetési kolátot a jelen- és jövőbeli fogyasztási lehetőségek áainak segítségével c c m m V, (2) ahol V jelen- és jövőbeli jövedelmeink összétékét kéviseli. Rögzítsük V-t, és diffeenciáljuk teljesen (2)-t c és c szeint! Átendezve: dc dc (3) (3 ) dc dc Legyen a jelenbeli fogyasztás ( c ) a numéaie, vagyis legyen! 8
19 24.3 A jelen- és jövőbeli jövedelmek jelenétéke és az intetemoális költségvetési kolát (folytatás) Ekko ()-et (3 )-be helyettesítve, ezt kajuk: Vagyis: dc (4) dc ha, akko (5) (5) felhasználásával íjuk át (2) intetemoális költségvetési kolátot! c c m, (6) m V ahol V nem más, mint az összes jelen- és jövőbeli jövedelmünk jelenétéke (jelenbeli fogyasztási lehetőségünk áán számított étéke). (4)-ből következően, amennyiben c-et választanánk numéaie-nek ( ), akko. Ez esetben az intetemoális költségvetési kolát így festene: ( )c, (7) c ( )m m V ahol V nem más mint összes jelen- és jövőbeli jövedelmünk jövőétéke (jövőbeli fogyasztási lehetőségünk áán számított étéke). 9
20 24.4 A jelenéték (a jövőéték) és az intetemoális költségvetési kolát 2
21 24.5 Az intetemoális hasznossági függvény és helyettesítési hatáaány 2
22 24.6 Különböző időefeenciájú fogyasztók 22
23 24.7 Additív szeaábilis hasznossági függvény diszkonttényezővel: az intetemoális hasznossági függvény egy fontos seciális esete u(c,c) v(c) βv(c) () u(c,c) v(c) v(c), ρ ( ) β ρ, ρ, < β (2) ahol ρ a diszkontláb (vagy diszkontáta), β edig a diszkonttényező. β azt méi, hogy a fogyasztó szubjektíve milyen métékben étékeli kevesebbe a jövőbeli fogyasztás hasznosságát a jelenbeli fogyasztás hasznosságánál. β nem más mint a fogyasztó időefeenciájának méőszáma: milyen métékben étékeli a jelent a jövőhöz kéest többe. Példa: u(c,c) lnc β lnc (3) HF: Hatáozzuk meg a helyettesítési hatáaányt, és ételmezzük különböző időefeenciájú fogyasztóka (lásd fólia)! 23
24 24.8 Intetemoális fogyasztói döntés max u(c,c) c,c c m kf : c m V (2) A Lagange-feladat: ERF: () c u(c,c) λ(c V) (3) L u(c,c) c : λ (4) c c : u(c,c c ) λ c λ : c V (6) Osszuk el egymással (4)-et és (5)-öt, és megkajuk az intetemoális fogyasztói döntési obléma otimalitási feltételét (az éintőfeltételt): Máskéen: u / c u / c (5) (7) MRS (7 ) c é- (7) és (6) együttesen meghatáozzák az otimális tékét. c és 24
25 24.9 Intetemoális fogyasztói döntés: azonos indulókészletek, különböző efeenciák 25
26 24. Intetemoális fogyasztói döntés: különböző indulókészletek, azonos efeenciák 26
27 24. A kamatláb változásának hatása a kölcsönadó, illetve a kölcsönvevő helyzetée egyételmű esetekben 27
28 24.2 A kamatláb változásának hatása a kölcsönadó, illetve kölcsönvevő helyzetée minden esetben A fogyasztó a kezdeti állaotban Kölcsönadó Hogyan változik a helyzete ha:?? Továbba is kölcsönadó maad? Kölcsönvevő? Továbba is kölcsönvevő maad 28
29 24.3 A kamatláb emelkedésének hatása a kölcsönadóa ( hatásáa ő továbba is mindenké kölcsönadó maad) 29
30 24.4 A kamatláb emelkedésének hatása a kölcsönvevőe (amennyiben továbba is kölcsönvevő maad) 3
31 24.5 Fishe-egyenlet A jelenbeli fogyasztás dc egységéől való lemondás ( R ) dc jövőbeli fogyasztásegység megszezését teszi lehetővé, fogyasztási eálegységekben méve: dc () ( R ) dc Mi töténik, ha közben az ászínvonal is változik? m Legyen a kezdeti időszak ászínvonala, edig a tágyidőszaké; legyen továbbá m és m a kezdeti és tágyidőszaki fogalomban levő énzmennyiség (a gazdaság szeelőinél levő összjövedelem)! Ekko: m m, c (2a) m m. c (2b) Átendezve és c, illetve m szeint teljesen diffeenciálva: m dc dm (2a ) m dc dm (2b ) m 3
32 24.5 Fishe-egyenlet (folytatás - ) Definiáljuk a következő hányadost! dm dm N (3) Jelentése: jelenbeli nomináljövedelmünk dm egységéől való lemondásét jövőbeli nomináljövedelmünk ( N ) dm egysége kées bennünket káótolni. ( N ) ennek a jutalma ; a nominális kamatláb. N Helyettesítsük be (3)-ba (2a )-t és (2b )-t! m dc m dm N (4) dm dc Helyettesítsük be (4)-be dc helyée ()-et! m m R ( )dc N (5) dc m m Vegyük észe, hogy / ( π) nem más, mint a nominális áemelkedés (vagyis az infláció) météke, ahol π az inflációs áta. Így (5) átíható a következőkéen: N R ( π)( ) (6) π R π R 32
33 24.5 Fishe-egyenlet (folytatás - 2) Mivel π R többnyie nullához közel eső kis szám, így megközelítően igaz, hogy : π (7) N R Ez a híes Fishe-egyenlet, mely kimondja: A nominális kamatláb megközelítően egyenlő a eálkamatláb és az inflációs áta összegével. Mivel a jövőbeli inflációs áta többnyie nem ismet, ezét az egyenletben a vát inflációs áta ( π e ) szeeel, amelye a gazdaság szeelői számítanak: N e π (8) Következmény: minél nagyobbak az inflációs váakozások e (minél magasabb π étéke), annál magasabb lesz a nominális kamatláb étéke is. R Pl. π, és R, 3 esetén a tozítás mindössze π R, 3. Iving Fishe ( ), ameikai közgazdász tiszteletée nevezték el így. 33
34 24.6 Kettőnél több eiódusú modell 34
35 Rövid és hosszú távú kamatláb A eiódusok száma Rövid távú kamatláb t Hosszú távú kamatláb R t 2 R R ) )( ( R ) )( )( ( T T T T T T t t T t t t T R ) (
36 Intetemoális költségvetési kolát kettőnél több eiódus esetén Háomeiódusú modell: V ) )( ( m m m ) )( ( c c c. T-eiódusú modell ( ): T t t i i t T t t i i t V ) ( m ) ( c. Ha... T 3 2, akko: T t t t T t t t V ) ( m ) ( c.
37 24.9 Intetemoális fogyasztói döntés temelés mellett (autakia) 37
38 24.2 Egy technikai megjegyzés: c f(k) és T(c,c ) infomációtatalma megegyezik Mivel: c m k, c f(k), így T(m k,f(k)) Diffeenciáljuk k szeint! Átendezve: Vagyis: T(c c,c ) ( ) T(c c,c ) f (k) T / c f (k) MRT. T / c MRT f (k). 38
39 24.2 A temelés melletti intetemoális fogyasztói döntési obléma megoldása (autakia) max u(c,c) c,c,k () kf-k: c m k (2) c f(k) (3) Helyettesítsük be (2)-t és (3)-at ()-be ERF: Átendezve: max u(m k k,f(k)) (4) u(c,c) u(c,c) ( ) f (k) c c u / c u / c f (k) (5) (6) MRS MRT (6 ) 39
40 24.22 A temelés melletti intetemoális fogyasztói döntési obléma megoldása (autakia) 4
41 24.23 Az intetemoális temelői/beuházási obléma 4
42 24.24 Az intetemoális temelői/beuházási obléma algebai megoldása ERF: max k f(k) π k () f (k) (2) MRT (2 ) (2) egyenlet megoldását (az otimális beuházási volument k -ot) visszahelyettesítve az () ofitfüggvénybe, megkajuk az otimális ofit étékét: f(k ) π k (3) Így, temelés évén a ofit étékével megnöveltük indulókészletünk jelenétékét: V V π (4) f(k ) * m k f(k ) ( m k ) m m. 42
43 24.25 Intetemoális fogyasztói döntési obléma tökéletes hiteliacok jelenlétében Mennyi lesz a fame idei és jövő évi búzafogyasztása? ERF-k: max u(c,c) c,c c kf: m c m V Vπ () (2) c u(c,c) λ(c V ) (3) L c : c : λ : u(c,c c u(c,c c ) λ ) λ (4) (5) c V (6) c (4), (5) és (6) együttesen meghatáozzák c -ot és c-ot. (4)-et (5)-tel elosztva, megkajuk az otimalitási feltételt (éintőfeltételt): u / c u / c (7) MRS (7 ) 43
44 24.26 Az otimális beuházási döntés bámilyen időefeenciájú fogyasztó intetemoális fogyasztói döntésével összeegyeztethető 44
45 24.27 Fishe-féle szeaációs tétel Az intetemoális temelői/beuházási feladat otimális megoldása tökéletesen független az egyéni efeenciáktól, amennyiben fennállnak bizonyos egyéb feltételek:. Az intetemoális hasznossági függvénynek a jelen-, illetve jövőbeli fogyasztáson kívül nincs más agumentuma. Pl. A hasznossági függvény nem tatalmazza a szabadidő változóját egyik időontban sem. 2. A tőkeiac/hiteliac tökéletes. A betéti és hitelkamatlábak megegyeznek:. B H Iving Fishe. Lásd a fólia lábjegyzetét 45
8. előadás EGYÉNI KERESLET
8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép
RészletesebbenIII. rész: A VÁLLALATI MAGATARTÁS
III. rész: A VÁAATI MAGATARTÁS Az árupiacon a kínálati oldalon a termelőegységek, a vállalatok állnak. A vállalatok különböznek tevékenységük, méretük, tulajdonformájuk szerint. Különböző vállalatok közös
RészletesebbenSzeminárium-Rekurziók
1 Szeminárium-Rekurziók 1.1. A sorozat fogalma Számsorozatot kapunk, ha pozitív egész számok mindegyikéhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Tehát a számsorozat olyan függvény, amelynek az
RészletesebbenA közlegelı problémájának dinamikája Lotka - Volterra egyenletek felhasználásával
A közlegelı poblémájának dinamikája Lotka - Voltea egyenletek felhasználásával Bessenyei István Pécsi Tudományegyetem, Közgazdaságtudományi Ka A gazdaság világszete és különösen hazánkban tapasztalható
RészletesebbenA 2008/2009. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának. feladatai és megoldásai fizikából. I.
Oktatási Hivatal A 8/9. tanévi FIZIKA Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGTAN ALAPJAI
KÖZGAZDASÁGTAN ALAPJAI Tartalom 1. A makroökonómia alapkérdései, a makroszintű jövedelem mérése 2. Gazdasági körforgás 3. Az árupiac és az IS görbe 4. A pénzpiac és az LM görbe 5. Az IS-LM rendszer 6.
RészletesebbenÖSSZEFÜGGÉSEK A LINEÁRIS REGRESSZIÓS MODELLBEN
MÓDSETANI TANULMÁNOK ÖSSEFÜGGÉSEK A LINEÁIS EGESSIÓS MODELLBEN D HAJDU OTTÓ A tanulmány a lineáis egessziós modell alavető mutatóit tágyala E mutatókat egymásból vezeti le olymódon hogy azok statisztikai
Részletesebben6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE
6. AZ EREDMÉNYEK ÉRTELMEZÉSE A kurzus anyagát felhasználva összeállíthatunk egy kitűnő feladatlapot, de még nem dőlhetünk nyugodtan hátra. Diákjaink teljesítményét még osztályzatokra kell átváltanunk,
RészletesebbenLineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
RészletesebbenKözbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom. A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak
Közbeszerzési referens képzés Gazdasági és pénzügyi ismeretek modul 1. alkalom A közgazdaságtan alapfogalmai Makro- és mikroökonómiai alapfogalmak ALAPKÉRDÉSEK TISZTÁZÁSA I. A gazdasági törvények lényege:
Részletesebben6. előadás PREFERENCIÁK (2), HASZNOSSÁG
6. előadás PREFERENCIÁK (), HASZNOSSÁG Kertesi Gábor Varian 3. fejezetének 50-55. oldalai és 4. fejezete alapján PREFERENCIÁK FEJEZET FOLYTATÁSA 6. A helyettesítési határarány Dolgozzunk mostantól fogva
RészletesebbenVeres Judit. Az amortizáció és a pénzügyi lízingfinanszírozás kapcsolatának elemzése a lízingbeadó szempontjából. Témavezető:
Vezetői Számvitel Tanszék TÉZISGYŰJTEMÉNY Veres Judit Az amortizáció és a pénzügyi lízingfinanszírozás kapcsolatának elemzése a lízingbeadó szempontjából című Ph.D. értekezéséhez Témavezető: Dr. Lukács
RészletesebbenMintapéldák és gyakorló feladatok
Mintapéldák és gyakorló feladatok Közgazdaságtan II. (Makroökonómia) címû tárgyból mérnök és jogász szakos hallgatók számára Az alábbi feladatok a diasorozatokon található mintapéldákon túl további gyakorlási
RészletesebbenFogaskerék hajtások I. alapfogalmak
Fogaskeék hajtások I. alapfogalmak A fogaskeekek csopotosítása A fogaskeékhajtást az embeiség évszázadok óta használja. A fogazatok geometiája má a 8-9. században kialakult, de a geometiai és sziládsági
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenHraskó András, Surányi László: 11-12. spec.mat szakkör Tartotta: Surányi László. Feladatok
Feladatok 1. Színezzük meg a koordinátarendszer rácspontjait két színnel, kékkel és pirossal úgy, hogy minden vízszintes egyenesen csak véges sok kék rácspont legyen és minden függőleges egyenesen csak
RészletesebbenTERMELÉSMENEDZSMENT. Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára. Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár 2006.
Szolnoki Főiskola Műszaki és Mezőgazdasági Fakultás Mezőtúr TERMELÉSMENEDZSMENT Gyakorlati segédlet a műszaki menedzser szak hallgatói számára Összeállította: Dr. Vermes Pál főiskolai tanár Mezőtúr 6.
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket
Részletesebben2. előadás: További gömbi fogalmak
2 előadás: További gömbi fogalmak 2 előadás: További gömbi fogalmak Valamely gömbi főkör ívének α azimutja az ív egy tetszőleges pontjában az a szög, amit az ív és a meridián érintői zárnak be egymással
RészletesebbenA programozás alapfogalmai
A programozás alapfogalmai Ahhoz, hogy a programozásról beszélhessünk, definiálnunk kell, hogy mit értünk a programozás egyes fogalmain. Ha belegondolunk, nem is olyan könnyű megfogalmazni, mi is az a
RészletesebbenAz elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok
TÓTH.: Dielektrikumok (kibővített óravázlat) 1 z elektrosztatika törvényei anyag jelenlétében, dielektrikumok z elektrosztatika alatörvényeinek vizsgálata a kezdeti időkben levegőben történt, és a különféle
Részletesebben5. IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR
5 IDŐBEN VÁLTOZÓ ELEKTROMÁGNESES TÉR A koábbiakban külön, egymástól függetlenül vizsgáltuk a nyugvó töltések elektomos teét és az időben állandó áam elektomos és mágneses teét Az elektomágneses té pontosabb
Részletesebben6. modul Egyenesen előre!
MATEMATIKA C 11 évfolyam 6 modul Egyenesen előre! Készítette: Kovács Károlyné Matematika C 11 évfolyam 6 modul: Egyenesen előre! Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási
RészletesebbenAdó: kényszer útján beszedett pénzösszeg, amellyel szemben közvetlen ellenszolgáltatás nem követelhető Adósságcsapda: kezelése hitelfelvétellel
Adó: kényszer útján beszedett pénzösszeg, amellyel szemben közvetlen ellenszolgáltatás nem követelhető Adósságcsapda: kezelése hitelfelvétellel történik Alacsony (inferior) javak: azok melynek jöv.rugja.
RészletesebbenAnalízisfeladat-gyűjtemény IV.
Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Részletesebben= szinkronozó nyomatékkal egyenlő.
A 4.45. ábra jelöléseit használva, tételezzük fel, hogy gépünk túllendült és éppen a B pontban üzemel. Mivel a motor által szolgáltatott M 2 nyomaték nagyobb mint az M 1 terhelőnyomaték, a gép forgórészére
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
RészletesebbenRelációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések
Relációs algebra áttekintés és egy táblára vonatkozó lekérdezések Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 2.4. Relációs algebra (áttekintés) 5.1.
RészletesebbenEGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ
EGÉSZSÉGÜGYI DÖNTÉS ELŐKÉSZÍTŐ MODELLEZÉS Brodszky Valentin, Jelics-Popa Nóra, Péntek Márta BCE Közszolgálati Tanszék A tananyag a TÁMOP-4.1.2/A/2-10/1-2010-0003 "Képzés- és tartalomfejlesztés a Budapesti
RészletesebbenAz alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai
A VETÜLETEK ALAP- ÉS KÉPFELÜLETE Az alap- és a képfelület fogalma, megadási módjai és tulajdonságai A geodézia, a térinformatika és a térképészet a görbült földfelületen elhelyezkedő geometriai alakzatokat
RészletesebbenVári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004
Vári Péter-Rábainé Szabó Annamária-Szepesi Ildikó-Szabó Vilmos-Takács Szabolcs KOMPETENCIAMÉRÉS 2004 2005 Budapest Értékelési Központ SuliNova Kht. 2 Országos Kompetenciamérés 2004 Tartalom 1. Bevezetés...4
RészletesebbenA lineáris programozás 1 A geometriai megoldás
A lineáris programozás A geometriai megoldás Készítette: Dr. Ábrahám István A döntési, gazdasági problémák optimalizálásának jelentős részét lineáris programozással oldjuk meg. A módszer lényege: Az adott
Részletesebben2. Piaci modellek. 2.1. Oligopóliumok
2. Piaci modellek 5 2. Piaci modellek A piac tanulmányozásának legalább két fontos megközelítése létezik, melyek a szerkezet-magatartás-teljesítmény paradigma és az árelmélet. Az első szerint egy iparág
RészletesebbenKosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István. tankönyv. Mozaik Kiadó Szeged, 2013
Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03 TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK
Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása
Gráfelmélet II. Gráfok végigjárása DEFINÍCIÓ: (Séta) A G gráf egy olyan élsorozatát, amelyben a csúcsok és élek többször is szerepelhetnek, sétának nevezzük. Egy lehetséges séta: A; 1; B; 2; C; 3; D; 4;
RészletesebbenAZ ÁRUPIACI KERESLET AZ EGYENSÚLYI JÖVEDELEM
AZ ÁRUPIACI KERESLET AZ EGYENSÚLYI JÖVEDELEM KIEGÉSZÍTENDŐ ÁLLÍTÁSOK A felsorolt alapfogalmadat illessze az állításokban kihagyott helyre! Egy fogalmat több helyen is felhasználhat. a) adott időszaki kiadások
RészletesebbenKözépszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 2005. november. I. rész
Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk.
RészletesebbenA rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.
A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;
RészletesebbenViselkedési minták a nyugdíjrendszerekben
3 REGULY ÁGOSTON 2 Viselkedési minták a nyugdíjrendszerekben (II. rész 1 ) A tanulmány második része négy ország nyugdíjrendszerét hasonlítja össze az elõzõ részben leírt modell segítségével. Az angol,
RészletesebbenZalaegerszegi Intézet 8900 Zalaegerszeg, Gasparich u. 18/a, Pf. 67. Telefonközpont: (06-92) 509-900 Fax: (06-92) 509-930
Zalaegerszegi Intézet 8900 Zalaegerszeg, Gasparich u. 18/a, Pf. 67. Telefonközpont: (06-92) 509-900 Fax: (06-92) 509-930 FELHASZNÁLÁSI FELTÉTELEK (felhasználási engedély) Ez a dokumentum a Budapesti Gazdasági
RészletesebbenLigeti Miklós: A VÁLASZTÁSI KAMPÁNYOK FINANSZÍROZÁSA
Ligeti Miklós: A VÁLASZTÁSI KAMPÁNYOK FINANSZÍROZÁSA KAMPÁNYKORRUPCIÓ A politikai pártok választási kampányainak a finanszírozása Magyarországon a rendszerváltozás óta megoldatlan probléma, egyben ez az
Részletesebben9. Áramlástechnikai gépek üzemtana
9. Áramlástechnikai gépek üzemtana Az üzemtan az alábbi fejezetekre tagozódik: 1. Munkapont, munkapont stabilitása 2. Szivattyú indítása soros 3. Stacionárius üzem kapcsolás párhuzamos 4. Szivattyú üzem
RészletesebbenParciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria I.
Geometria I. Alapfogalmak: Az olyan fogalmakat, amelyeket nem tudunk egyszerűbb fogalmakra visszavezetni, alapfogalmaknak nevezzük, s ezeket nem definiáljuk. Pl.: pont, egyenes, sík, tér, illeszkedés.
RészletesebbenMódszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez
Modszer_2_Layout 1 2010.10.25. 21:19 Page 1 ESSRG Füzetek 2/2010 Módszertani útmutató a természet adta javak és szolgáltatások nem pénzbeli értékeléséhez Kelemen Eszter, Bela Györgyi, Pataki György Környezeti
Részletesebben(Nem jogalkotási aktusok) RENDELETEK
2013.3.22. Az Európai Unió Hivatalos Lapja L 83/1 II (Nem jogalkotási aktusok) RENDELETEK A BIZOTTSÁG 231/2013/EU FELHATALMAZÁSON ALAPULÓ RENDELETE (2012. december 19.) a 2011/61/EU európai parlamenti
RészletesebbenSCHERMANN ZSOLT TDK DOLGOZAT
BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ÉPÜLETGÉPÉSZETI ÉS GÉPÉSZETI ELJÁRÁSTECHNIKA TANSZÉK SCHERMANN ZSOLT TDK DOLGOZAT Egy- és kétutú szelepek összehasonlítása, alkalmazása
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
Részletesebben8. Mohó algoritmusok. 8.1. Egy esemény-kiválasztási probléma. Az esemény-kiválasztási probléma optimális részproblémák szerkezete
8. Mohó algoritmusok Optimalizálási probléma megoldására szolgáló algoritmus gyakran olyan lépések sorozatából áll, ahol minden lépésben adott halmazból választhatunk. Sok optimalizálási probléma esetén
Részletesebben2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )
Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden
RészletesebbenRegressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon
Lengyel I. Lukovics M. (szerk.) 2008: Kérdıjelek a régiók gazdasági fejlıdésében. JATEPress, Szeged, 264-287. o. Regressziószámítás alkalmazása kistérségi adatokon Szakálné Kanó Izabella 1 A lokális térségek
RészletesebbenBEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA
Pék Johanna BEVEZETÉS AZ ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIÁBA (Matematika tanárszakos hallgatók számára) Tartalomjegyzék Előszó ii 0. Alapismeretek 1 0.1. Térgeometriai alapok............................. 1 0.2. Az ábrázoló
RészletesebbenBARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI. Takács Viola
BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI Takács Viola Iskolakultúra könyvek 20. Sorozatszerkesztõ: Géczi János Szerkesztõ: Sz. Molnár Szilvia BARANYA MEGYEI TANULÓK TUDÁSSTRUKTÚRÁI TAKÁCS VIOLA iskolakultúra
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
RészletesebbenS T A T I K A. Az összeállításban közremûködtek: Dr. Elter Pálné Dr. Kocsis Lászlo Dr. Ágoston György Molnár Zsolt
S T A T I K A Ez az anyag az "Alapítvány a Magyar Felsôoktatásért és Kutatásért" és a "Gépészmérnök Képzésért Alapítvány" támogatásával készült a Mûszaki Mechanikai Tanszéken kísérleti jelleggel, hogy
RészletesebbenS Z E G E D I Í T É L Ő T Á B L A
S Z E G E D I Í T É L Ő T Á B L A P O L G Á R I K O L L É G I U M KOLLÉGIUMVEZETŐ: DR. KEMENES ISTVÁN 6721 Szeged, Sóhordó u. 5. Telefon: 62/568-512 6701 Szeged Pf. 1192 Fax: 62/568-513 Szegedi Ítélőtábla
RészletesebbenEgyéni számlás felosztó-kirovó nyugdíjrendszerek
Közgazdasági Szemle, XLIX. évf., 2002. június (528 550. o.) RÉTI JÁNOS Egyéni számlás felosztó-kirovó nyugdíjrendszerek Az 1998-as nyugdíjreform nem hozott alapvetõ változásokat a társadalombiztosítási
RészletesebbenKÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)
0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
RészletesebbenFejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek
Fejezetek az abszolút geometriából 6. Merőleges és párhuzamos egyenesek Ebben a fejezetben megadottnak feltételezzük az abszolút tér egy síkját és tételeink mindig ebben a síkban értendők. T1 (merőleges
Részletesebbenválasztással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.
Egy kis számmisztika Az elmúlt másfél-két évben elért kutatási eredményeim szerint a fizikai téridő geometriai jellege szerint háromosztatú egységet alkot: egymáshoz (a lokális éterhez mért v sebesség
RészletesebbenMFI mérés BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA
B1 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR POLIMERTECHNIKA TANSZÉK MFI mérés HŐRE LÁGYULÓ MŰANYAGOK FOLYÓKÉPESSÉGÉNEK VIZSGÁLATA A JEGYZET ÉRVÉNYESSÉGÉT A TANSZÉKI WEB OLDALON
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet
RészletesebbenFeladatok és megoldások a 4. hétre
Feladatok és megoldások a. hétre Építőkari Matematika A3. Pisti nem tanult semmit a vizsgára, ahol 0 darab eldöntendő kérdésre kell válaszolnia. Az anyagból valami kicsi dereng, ezért kicsit több, mint
Részletesebbenö ö ö ö ő ö ö ő ö ő ő ő ö ö ő ő ö ö ő ő ű ű ő ő ö ű ő ö ö ő ö ő ö ú ő ö ű ű ő ő ö ű ő ö ö ű ű ő ö ű ő ö ö ű ű ű ű ű ű ű ö ű ő É ö ú ö ö ö ö Ő ö ö ö ö ő ö ö ő ö ö ő ö ö ő ű ö ö ö ö ö ö ő Ö ő ö ö ő ö ő ö
RészletesebbenJ E G Y Z Ő K Ö N Y V
1. J E G Y Z Ő K Ö N Y V Készült: Az ülés helye: Jelen vannak: Gádoros Nagyközségi Önkormányzat Képviselő-testülete Pénzügyi és Gazdasági Bizottságának 2013. június 13-án 10 30 órától megtartott üléséről
Részletesebben* Modern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell
* Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Tárgyfelelős neve * Modern piacelmélet Összejátszás, kartell ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Készítette: Hidi János * Verseny és versenyellenesség
RészletesebbenAnalízis lépésről - lépésre
Analízis lépésről - lépésre interaktív tananyag Dr. Stettner Eleonóra Klingné Takács Anna Analízis lépésről - lépésre: interaktív tananyag írta Dr. Stettner Eleonóra és Klingné Takács Anna Tartalom Előszó...
Részletesebben1. feladat. Keresse meg, hogy kik teljesítették a legtöbb kreditet, kiknek a legrosszabb az átlaguk, kik a legfiatalabbak, stb.
TUDNIVALÓK: Lévén, hogy nagyon kevés időnk van a konzultációkon, a feladatok zöme HÁZI FELADAT! Ezek megoldása fontos a tárgy sikeres teljesítéséhez! (Nyilván minden feladatsorban vannak hasonló jellegű
RészletesebbenA Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé
A Taní tó i/tana ri ké rdó ívré békü ldó tt va laszók ó sszésí té sé A Matematika Közoktatási Munkabizottságot az MTA III. osztálya azzal a céllal hozta létre, hogy felmérje a magyarországi matematikatanítás
RészletesebbenKomputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
RészletesebbenAzonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2008. október 21. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc
É RETTSÉGI VIZSGA 2008. október 21. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2008. október 21. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM
RészletesebbenRelációs algebra 1.rész
Relációs algebra 1.rész Tankönyv: Ullman-Widom: Adatbázisrendszerek Alapvetés Második, átdolgozott kiadás, Panem, 2009 Lekérdezések a relációs modellben 2.4. Egy algebrai lekérdező nyelv -- 01B_RelAlg1alap:
RészletesebbenLineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
RészletesebbenIFJÚSÁG-NEVELÉS. Nevelés, gondolkodás, matematika
IFJÚSÁG-NEVELÉS Nevelés, gondolkodás, matematika Érdeklődéssel olvastam a Korunk 1970. novemberi számában Édouard Labin cikkét: Miért érthetetlen a matematika? Egyetértek a cikk megállapításaival, a vázolt
RészletesebbenValószínűségszámítás
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................
RészletesebbenAz ALL YOU CAN MOVE sportkártya működése
Budapesti Corvinus Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Versenypolitika (Mikroökonómia) szekció Tudományos Diákköri Dolgozat Az ALL YOU CAN MOVE sportkártya működése Selmeczi-Tóth Anna Alkalmazott közgazdaságtan
RészletesebbenFELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK
3. osztály Egy asztal körül 24-en ülnek, mindannyian mindig igazat mondanak. Minden lány azt mondja, hogy a közvetlen szomszédjaim közül pontosan az egyik fiú, és minden fiú azt mondja, hogy mindkét közvetlen
RészletesebbenEgy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
RészletesebbenGráfokkal megoldható hétköznapi problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés
RészletesebbenGeometriai axiómarendszerek és modellek
Verhóczki László Geometriai axiómarendszerek és modellek ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2011 1) Az axiómákra vonatkozó alapvető ismeretek Egy matematikai elmélet felépítésének
Részletesebbená ú é é ő é ő á ő ő á á ú ű é é ö ő á ő ú ő ő á é Ü Ü á é á é á é á é á ö ö á é ő á ú ű é é á é é ő á ö ö á á é é ú é é ú á á ő é é é ö ö á á é ű ő á é ű ő ú ő á á é á ú é é á é ö á á ö Ü á á é é ú á á
RészletesebbenMakroökonómia I. segédanyag 2004. február
Makroökonómia I. segédanyag 2004. február. feladat Egy gazdaságra vonatkozóan ismertek az alábbi adatok a beruházási függvény I 600 2000R,a netto export függvény X 500 3000R, A fogyasztási határhajlandóság
RészletesebbenFELADATOK MIKROÖKONÓMIÁBÓL
FELADATOK MIKROÖKONÓMIÁBÓL Az alábbiakban példamegoldaásra javasolt feladatok találhatók mikroökonómiából. Az összeállítás formailag nem úgy épül fel, mint a dolgozat, célja, hogy segítse a vizsgára való
RészletesebbenSzéchenyi István Egyetem, 2005
Gáspár Csaba, Molnárka Győző Lineáris algebra és többváltozós függvények Széchenyi István Egyetem, 25 Vektorterek Ebben a fejezetben a geometriai vektorfogalom ( irányított szakasz ) erős általánosítását
RészletesebbenEgy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében
6 Dr. Fá z si Lá sz l ó PhD * Egy helytelen törvényi tényállás az új Büntető törvénykönyv rendszerében 1. Miről van szó A 2012. évi C. törvénnyel elfogadott új Büntető Törvénykönyv [Btk.] Különös Részének
RészletesebbenJ E G Y Z Ő K Ö N Y V
J E G Y Z Ő K Ö N Y V Készült: Petőfiszállás Községi Önkormányzati Képviselő-testületének 2012. január 25-én a Művelődési ház Könyvtártermében megtartott üléséről. Jelen vannak: ( A jelenléti ív a jegyzőkönyv
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenGyakran ismételt kérdések
Gyakran ismételt kérdések az európai parlamenti képviselőkről és az Európai Parlamentről A 2014. évi európai parlamenti választás: mikor és hogyan zajlik le? 2014-es választások: hogyan nevezik ki az EP
RészletesebbenModern piacelmélet. ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék. Selei Adrienn
Modern piacelmélet ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Selei Adrienn A tananyag a Gazdasági Versenyhivatal Versenykultúra Központja és a Tudás-Ökonómia Alapítvány támogatásával készült az ELTE TáTK
RészletesebbenÜ Ú Ú Á Á Ő É é ö é é é é é ü ö é é é é é é é é é é ö é ö ö ö é é é é é é ö é é é é ö é ű é é é ö é é é é éé ö é éö é é ö é é é é ö é ű é é é ö ö é é é é é ö é ö é é ö ö é ö é é é é é é ü é é ö é é é é
RészletesebbenKöltségvetési korlát és költségvetési egyenes
(C) htt://kgt.bme.hu/ ikroökonómia Elıadásvázlat. október 4. I. Rövid elmélettörténeti visszatekintés - Klasszikus közgazdaságtan (dam Smithtıl egészen a XIX. század második feléig) kínálatorientált közgazdaságtan
RészletesebbenElsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek
Elsôfokú egyváltozós egyenletek 6 Elsôfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek. Elsôfokú egyváltozós egyenletek 000. Érdemes egyes tagokat, illetve tényezôket alkalmasan csoportosítani, valamint
RészletesebbenÁROP-1.A.3-2014 TERÜLETI EGYÜTTMŰKÖDÉST SEGÍTŐ PROGRAMOK KIALAKÍTÁSA AZ ÖNKORMÁNYZATOKNÁL A KONVERGENCIA RÉGIÓKBAN
ÁROP-1.A.3-2014 TERÜLETI EGYÜTTMŰKÖDÉST SEGÍTŐ PROGRAMOK KIALAKÍTÁSA AZ ÖNKORMÁNYZATOKNÁL A KONVERGENCIA RÉGIÓKBAN A projekt által érintett jogszabályok felsorolása, valamint a főbb jogi rendelkezések
Részletesebben23. Kombinatorika, gráfok
I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta
RészletesebbenA CSALÁDOK ÉS HÁZTARTÁSOK ELŐRESZÁMÍTÁSA, 1986-2021 BUDAPEST 1988/2
A CSALÁDOK ÉS HÁZTARTÁSOK ELŐRESZÁMÍTÁSA, 1986-2021 BUDAPEST 1988/2 TARTALOMJEGYZÉK BEVEZETÉS... 7 I. AZ ELŐRESZÁMÍTÁS FELTÉTELRENDSZERE ÉS VÉGREHAJTÁSA... 10 1. A népesség családi állapot szerinti összetételének
Részletesebbenmágnes mágnesesség irányt Föld északi déli pólus mágneses megosztás influencia mágneses töltés
MÁGNESESSÉG A mágneses sajátságok, az elektromossághoz hasonlóan, régóta megfigyelt tapasztalatok voltak, a két jelenségkör szoros kapcsolatának felismerése azonban csak mintegy két évszázaddal ezelőtt
Részletesebben23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL
23. ISMEKEDÉS A MŰVELETI EŐSÍTŐKKEL Céltűzés: A műveleti erősítők legfontosabb tlajdonságainak megismerése. I. Elméleti áttentés A műveleti erősítők (továbbiakban: ME) nagy feszültségerősítésű tranzisztorokból
Részletesebben