oordinátgeometri Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 6 6 6 ) xf + 9 yf + N 7 N F 9 i ) 7 O c) O N d) O c N e) O O 6 6 + 8 B( 8) 7 N 5 N N N 6 A B C O O O BA( 6) A B BA A B O $ BA A B Hsonlón BC CB AC C A + 65 ) + + c c c 5 + + + + ` ` ` c 8 + c c+ c c + + + Innen: 8 c 0 A( 8 5) B( ) C( 0 ) ) ( 6) (7 ) ( ) x+ 0 y+ 0 66 O (0 0) H O (x y ) kkor 7 O ( ) 0 + 0 6 + B( 6 ) OB felezôpontj: F ( 6) AC felezôpontj F ( 6) OB( 6 ) AC( ) OB $ AC 0 Az átlók merôlegesen felezik egymást 67 M( ) O( 7 0 ) +90 kl elforgtv O( 0 7) O ( ) 90 kl elforgtv O ( ) ( 0) OM ( 5 ) OM $ 0 OM OM 6 0 6 így OM $ N 9 N 5 N N 68 A AA BB 6 CC 9 O O O O
90 Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 69 n túl meghosszítv (6 ) On túl meghosszítv ( ) H ( ) kkor ( ) ( ) 70 B (6 ) C (6 ) 5$ + $ 0 5( ) $ 7 ) A : B : 5 p 5 p + ( 5 ) 7 7 9 N N AQ: QB 5: Q ( 8 8) ) 7 7 O 7 7 O 8 N 7 N 7 ) ( ) ( 6) (5 0) ) O O 7 AB( ) AB $ AB( 6) OB OA + AB OB( 7 ) B( 7 ) Hsonlón: A ( 5) N 7 N 7 F ( ) F 0 FF O O 75 Egyenlô mgsságú háromszögek területének 75 rány megegyezik közös mgssághoz trtozó oldlk rányávl Az ABC háromszög területe legyen t tab t tbc t t t+ t t t t ` t t tabq t t 7 t+ t t tbq AQ: Q t : t t : t ABQ BQ 7 : t t CQ: Q tbcq: tbq : : 6: 7 76 egyen z OAB háromszög területe t taeo t tabd t 76 t t+ t t ` t t toa : tae t t+ t t t: t : tabq O : E : + + O OE OE O O( ) O 5
Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 9 N N 5 77 ) S( ) ) S 0 O + N O c) d) O 8 8 O 78 S ABC ( ) S DEF (7 7) SS ( 6 5) AD + BE + CF( 8 5) SS( 8 5) + + c d + e+ f s s SS ss SS d e f ( c) + + + + AD + BE + C d + e+ fc N 9 N 79 Az ABC háromszög súlypontj S 5 0 S 5 O O A BCD háromszög súlypontj S 9 6 6 N 9 N Sl 5 O O S Sl c Áltlánosn: s + + s + d + + c+ d s 80 C(5 5) 8 H ( 0) H (8 0) ( ) (0 ) (5 8) (7 7) M ( ) M ( 6) 8 N M hrmdolópontji: O 7 N O M hrmdolópontji: 6 N O N O 8 N H hrmdolópontji: O 6 N O H hrmdolópontji: 7 N O N O 6 N 8 AD( ) BC( ) AD BC ABCD prlelogrmm H O EF BC EG z ABH háromszög középvonl ezért EG BH BC így FG BC BHFG prlelogrmm ezért M BF és GH felezôpontj Eôl következik hogy M z AH negyedelô N pontj M O N 8 ) AB( ) DC( ) AB#DC ) AB DC O c) AB DC ( 6 ) 8 ) Az AQR prlelogrmm átlói felezi egymást A( ) B( ) C( ) ) (5 5) (7 ) ( 9) c) (8 ) ( 7) ( ) 85 C(7 5) D( 9) 86 A romusz középpontj ( 9) D ( ) A D +90 os elforgtottjánk kétszerese: A( 8) OA O + A OA( 7) A( 7) C(5 ) 8 87 ( 0) A( 5 ) +90 kl elforgtv B( 5) B( 5) D(5 5) 88 uabu 5 uacu 0 ubcu 5 5 Az f messe BC oldlt en f z AC oldlt Qn f c z AB oldlt Ren
9 Szkszt dott rányn osztó pont súlypont koordinátái 0 7 N B : C 5 : 0 : O AQ : QC 5 : 5 5 : 5 N 5 O Q 6 5 O AR : RB 0 : 5 5 : 5 R 6 5 8 8 5 5l $ 6+ m $ 0 89 egyen (p 0) és AB : B m : n m m 5 tehát AB : B 5: + m 5p + 6 6 N 8 p 0 6 5 5 O Hsonlón: R 0 N O 90 uabu 0 A mgsság tlppontj T A efogótétel szerint AO AT $ AB 6 0 $ AT 8 8 96 7 N AT BT AT : BT : 9 : 6 T 5 5 5 5 5 5 O 9 E HO + E HO 9 HO : HO : 7 7$ HO $ HO HO ( x 5 y) HO ( 7x 0 y) 7 7 ( x) 7 ( x) x 5 7 5 N 75 ( y) 0 ( y) y H O N 9 AB BC CD DA felezôpontji rendre: F O F 5 N O F 5 N 6 O F ( 9) 9 N F F illetve F F felezôpontji: O 9 N O F F F F prlelogrmm 9 egyen z S súlypont z origó súlyponton átmenô egyenes z x tengely S(0 0) A( ) B( ) C(c c ) A feltétel szerint + + c 0 Eôl + c q + q qc q 9 Az ABC háromszög AB oldlát B csúcs felé hosszítjuk meg és így tová A csúcspontokhoz vezetô vektorok c AB BC c CA c legyen m > 0 m! R A keletkezett háromszög csúcsihoz vezetô vektorok c AB m$ AB m( ) + m( ) BC m$ BC m( c ) c + m( c) ` + CA m$ CA m( c) c+ m( c) + + c + + c + + c + + c s s S S 95 Az olyn háromszögeket kell megkeresni melyeknél súlypont koordinátái különözô eseteket jelölnek z origótól vló távolságot tekintve A ( 0) B( 0 ) C( ) N S( 0 0 ) OS 0 A ( 0) B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS A ( )
ét pont távolság 9 N B( 0 ) C( 0 ) S 0 O OS N A ( 0 0 ) B( 0 ) C( 0 ) S O OS N A ( 0 0 ) B( 0 ) C( ) S O OS 5 N A ( 0 ) B( ) C( 0 ) S O OS H S koordinátáink elôjelét változttjuk távolság változtln mrd így értéke felsorolt 6 lehetôség vlmelyike lehet 96 AB( 5 ) CD( 5 6 ) 96 $ AB CD AB CD H B : H D AB : CD : H B H D HB 7x 5yi HD 9x yi H (6 ) ABH + CDH AH : H D AB : CD : AH HD AH^x yh 5 N HD 9x yi H 5 O 97 AB( ) $ AB( 9 ) +90 os elforgtottj AD ( 9) BC ( 9) d + AD 9 N c + BC D 0 O C 5 N 9 O $ AB 90 os elforgtottj: AD BC( 9) innen D N 8 O C N 9 O 9 N 5 O N O AB Megoldhtó feldt úgy is h BC ét pont távolság 98 O 5 O 5 O O 58 O 5 6 O6 O 7 O 8 $ O9 ` + j 99 5 9 c 09 d 85 500 ) d 5 ) d 65 c) 65 d) 5 e) 7 f) h) 5 5 70 g) 50 ) c 5 0 5 5 k 5+ 0+ 5 5 5 + 5 5 5 + 5 l ) 0 + + 9 c) 5 + + d) + + +
9 ét pont távolság 507 50 ) CA CB 0 AB F ( 5 0) mc t $ területegység ) 6 területegység AB 50 C(c 0) ( c ) + ( c 6) + 5 c 7 C(7 0) AB FAB ( ) mc t területegység 50 ) CA( 6) CB( 9 ) CA $ CB 0 AB 65 AB 0 r t r területegység 69r ) t területegység 505 AB felezôpontj: ( ) A( ) +90 os elforgtottj C( ) C( 0 5) A +90 os elforgtottj ( ) C ( ) 5 N 506 egyen A( 0) B(0 5) AB 6 O 5 N O S 5 + 6 6 6$ $ 6$ 507 t ADBE 6 $ t t t T ABC ( + + ) 7 területegység CA( ) CA 0 CB( 5) CB 6 CA $ CB 8 0 $ 6 $ cosc c 9 7 8 508 ) T 59 területegység k 05 + 86 + 6 + 57 57 7 egység ) területegység 509 ) AD( ) BC( ) ADBC AB( ) AB $ BC Y 0 tehát prlelogrmm ) AB( 5 0 ) DC( 0 ) AB DC AD BC 0 tehát szimmetrikus trpéz c) AC( ) BD( ) AC BD 5 AC $ BD 0 tehát négyzet d) Négyzet e) Négyzet 50 C(x y) qabu 5 qacu qbcu 5 qacu qbcu 5 N N ( x ) + ( y ) 5 + + O C ( x 8) + y 5 O O O 5 Mivel kör érinti z x tengelyt r H (x y) rjt vn körön x + (y + ) 69 ( 6) + (6 + ) + 9 Y 69 ezért nem illeszkedik körre illeszkedik körre 5 ) C + 5 r C + r ) r 5 ) (x y) A B A B (x ) + (y ) (x +) + (y ) 7x y ) x + 7y 7
ét pont távolság 95 5 A szályos htszög középpontj és két szomszédos csúcs szályos háromszöget lkot AB l tg 60 AB 6 Ezért ( + 6 0) (8 0) 5 6 l latovái csúcsok: l ( 0) l 5 l illetve 6 l 6 l 7 l ( 0) 55 O A O A (x 0) x (x 9) + x 5 (5 0) 56 (x0) A B A B (x ) + (x 6) + 5 x 7 (7 0) 57 Q(0 y) Q 5 5 + (y + 9) 5 Q 0 9+ 0 l Q 0 90 l 58 Az érintés mitt kör középpontj ( r) h sugr r Ekkor A r ( + ) + (r ) r r 0 ( 0) 59 Mivel ( ) z elsô negyeden vn kör középpontj (r r) r (r ) + (r ) r r 0 r (0 0) ( ) 50 egyen (x y) olyn pont melyre A9 B A( x + y ) B( x 8 y + 6) A $ B ( x+ )( x 8) + ( y )( y+ 6) 0 x + y x+ y 0 H y 0 kkor + 0l 0l H x 0 kkor Q 0 + l Q 0 l 5 (x 0) A9 B A( x + ) B( x 7 ) A $ B ( x+ )( x 7) + 9 0 7 0l 7 0l + 5 (x 0) A( x 6 ) B( x + ) A B A $ B ( x 6)( x+ ) + 0 x x+ 0 Egy megoldás vn h diszkrimináns 0 D 6 ( ) 0 6 A(6 6) ( 0) 5 B(0 y) AB CB AB $ CB 0 AB( 6 y) CB( y + ) 6 + y(y + ) 0 B (0 ) B (0 ) A középpontos szimmetriát felhsználv D (5 ) D (5 ) 5 B(0 y) AB( y + ) CB( y 6) AB $ CB 8+ ( y+ )( y 6) 0 B 0 l B 0 l D 6 l D 6 l + + 5 AB 7+ BC 0 T 7+ 0 l 6+ l 6+ l AB 7 BC 0+ T 6 l 55 megoldás vn szerint hogy z AB oldl hossz vgy rövide H BC AB AB( 9 ) BC ( ) BC ( ) c + BC c + BC C ( 9)
96 ét pont távolság N C ( ) z AC felezôpontj: O 9 7 N O H BC $ AB BC ( 6 7 ) C( 9 ) BC ( 6 7 ) 7 N C( ) Így O 7 N O 56 AB 0 BC 5 egyen D(x y) AD AB AD AB ( x 8) + ( y 5) 0 D ( 7 ) CD BC CD BC ( x ) + ( y ) 5 AC 5 BD 0 T 5 területegység 9 $ BD 57 AC( 9 9 ) AC 9 T 7 BD N Az AC felezôpontj F O FD illetve FB z FD 90 os elforgtottj 9 9 N FC O FD N O FB N O d f+ FD D ( ) f+ FB B( ) 58 A romusz átlói felezik romusz szögeit tehát z ABC háromszög szályos B(x y) ( x ) + ( y ) 0 AC 0 AD BC 0 x + y 0 B + l D + l 59 ( j) ( j) { 5 + j(0 ) $ j 5 $ $ cos { 5 $ j + $ $ 5 +! Mivel > 0 B( ) 5 50 A(x y) AB AC 5 AB AC 5 ( ) ( ) x+ + y+ 5 ( x 8) + ( y ) 5 A ( ) A ( ) BC 7 N 0 BC felezôpontj F O m AF 0 T 75 területegység 5 ) egyen (u v) A B A B illetve A C A C (u ) + (v 5) (u 8) + (v ) illetve (u ) + (v 5) (u + 6) + (v + ) 9 9 N v u 5 5 5 5 O r 9 N N 57 + 5 5 O 5 O 5 9 N ) O r 0 9 N c) ( ) r 5 d) ( ) r 5 e) 0 5 O r 877 0
Az egyenes egyenletei 97 5 Az oldlfelezô pontok áltl meghtározott háromszög hsonló z eredetihez öré írt körének sugr fele z eredeti háromszög köré írhtó körének A B A B illetve A C A C (u + 7) + (v + ) (u + ) + (v 9) illetve (u + 7) + (v + ) 5 77 N (u 5) + (v + ) 6 O r A 7 5 N 77 N + + O 6 O 85 R á 7 $ R r T R r $ r r 6758 területegység 5 Ilyen háromszög nem létezik C 5 (x y) A B A B illetve C : D : D 9 ( ) (6 ) 55 S( 7) AB + BC + CA 6 + 5 + 6 68 AS + BS + CS 89 + 50 + 7 56 Mivel $ 56 68 ezért z állítás igz Az áltlános megoldáshoz válsszuk koordinátrendszert úgy hogy súlypont z origó essen 56 egyen z e egyenes z x tengely (x 0) A( ) B( ) C(c c ) A A + B + C (x ) + + (x ) + + (x c ) + c c c x + + N + + i + + + c + + + c O kifejezés minimális h c x + + + + c N 0 O súlypontnk z x tengelyre esô merôleges vetülete 57 egyen A(0 0) B( 0) C( ) D(0 ) (x x) S x + y + ( x ) + y + ( x ) + ( y ) + x + ( y ) x + y x y+ N N x + y + O O # S # S min ekkor négyzet középpontján vn S mx ekkor négyzet csúcsin vn Az egyenes egyenletei 58 ) x + y 6 ) x + y + 0 c) x + y + 8 0 d) x + y 0 e) y 5 f) x 0 g) x + y 59 ) y 0 ) x y c) x + y d) x y 5 e) x y 5 f) x + y 8 g) 8x + 0y 0 h) x 50 ) x 5y 7 0 x 5y ) x y c) x y 7 d) 5x y 0 e) 9x y 5 f) 5x + y 6 g) x 0 h) 8x y i) n ( ) ( ) x + ( ) y 0 h Y kkor x y 0 h kkor x vgy y vgy n x + n y (n + n ) j) x+ l y 6+ 6 5 xx yyi n(y y x + y )(y y ) x + (x + x ) y (y y ) x + (x + x ) y rendezve kiemelve: (x y )(x x ) (x x )(y y ) H x x és y Y y x x h x Y x és y y y y