VIII. előadás Sorbaállási modellek Sorbaállás: A sorbaállás, a várakozás általáos probléma közlekedés, vásárlás, takolás, étterem, javításra várás, stb. Eze feladatok elmélete és gyakorlata a matematikai - közgazdaságta öálló területe.
Két alapvető kérdést kell megválaszoli: mikor következik be és milye időtartamú a sorbaállás, a leggazdaságosabba hogya oldható meg a sorbaállás mérséklése, illetve kiküszöbölése. A továbbiakba a sorbaállási problémák elméletébe törtéő bevezetés a cél 4 alapvető modellel foguk megismerkedi. Alapfogalmak: Kiszolgálóhelyre bizoyos egységek ( emberek, gépkocsik, stb. ) szabályos, vagy szabálytala időközökbe érkezek.ezeket az egységeket rövide beérkezésekek evezzük. A kiszolgálóhelyeke az igéyelt tevékeység végrehajtására egy vagy több ú. kiszolgálási csatora áll a beérkezések redelkezésére. A kiszolgálási csatorára várakozók sorokat alkotak. 2
Alapfogalmak: (postai példa) kollégiumok Péztár taulmáyi ép. Péztár2 igazgatási ép. források sorok kiszolgáló csatorák Sorbaállási redszer = sorok + kiszolgáló csatorák Sorbaállási redszerek legléyegesebb jellemzője: beérkezések közötti időtartam, kiszolgálás időtartama. Ezek lehetek: álladó értékek, determiisztikusa változó értékek, sztochasztikusa változó (ismert valószíűségi eloszlással redelkező valószíűségi változó). 3
Mikor keletkezhet sor? Beérkezések közötti időtartam és a kiszolgálás időtartama álladó, de a beérkezések közötti időtartam rövidebb, mit a kiszolgálás időtartama em foglakozuk vele, modellezésre ics szükség. Beérkezések és/vagy a kiszolgálás időtartama valószíűségi változó. További osztályozás: korlátos forrású vagy em korlátos forrású redszer (előfizetéses meza, mezai étkezés) zárt vagy yílt sorbaállási redszer (Egy üzembe a gépek meghibásodásával kapcsolatos sorbaállási redszerek zártak, mert a megjavított gépek visszakerülve a termelésbe újra meghibásodhatak - ellekező esetbe, ha a kiszolgálást követőe em jöhet létre körfolyamat, yílt a redszer.) egy csatorás vagy több csatorás redszer ( egy péztár, vagy több péztár esete) 4
Példák: Kiszolgálás jellege Beérkezések Kiszolgálási csatorák telefoálás telefohívások telefo-áramkörök javítás gépmeghibásodás szerelők gyártás redelés mühelyek kiszolgálás vevők eladók utazás utasok tömegközlekedési eszközök vedéglátás vedégek picérek kirakodás hajók dokkok Jelölések (pl. egy termelő üzem eseté) : m - az egységek száma a vizsgált jeleség egészébe (m végtele is lehet) pl.: egy gyárba található gépek száma - beérkezések száma a redszerbe (a sorba állók és a kiszolgálásba részesülők száma együttese) pl.: a meghibásodott gépek száma v beérkezések száma a sorba pl.: javításra váró gépek száma j a kiszolgálásba részesülő egységek száma pl.: a javítás alatt levő gépek száma 5
Jelölések: S a kiszolgáló csatorák száma pl.: a szerelők száma a gyárba - az ürese álló csatorák száma pl.: azo szerelők száma, akikek ics mukájuk Mi a továbbiakba olya esetekkel foglalkozuk, amikor, v, j valószíűségi változók (ismert eloszlással eze eloszlásokat kísérletekkel, megfigyelésekkel határozzák meg) várakozó sor hossza em korlátozott. Jelölések: források csatorák sor(ok) S-a csatorák száma v-beérkezések a sorba j-egységek kiszolgálás alatt -beérkezések a redszerbe m-egységek a vizsgált jeleség egészébe 6
Felmerülő kérdések: Meyi az átlagosa a redszerbe tartózkodók száma? M() =? ( a redszerbe levő egységek várható értéke) Meyi átlagosa a sorba álló egységek száma? M(v) =? ( a sorba álló egységek várható értéke) Átlagosa háy csatora áll ürese? M( ) =? ( az üres csatorák várható értéke) Mi alapjá dötsük el a kiszolgáló egységek (csatorák) optimális számát? Emlékeztető várható érték számítására: Vegyük például a kocka dobást. Lehetséges dobások: dobása 2 dobása 3 dobása 4 dobása 5 dobása 6 dobása Ezek valószíüsége: p =/6 p 2 =/6 p 3 =/6 p 4 =/6 p 5 =/6 p 6 =/6 Dobások várható értéke: M=*/6+2*/6+3*/6+ 4*/6+5*/6+6*/6=2/6 Általába a várható érték: M= kimeetelek értéke*hozzájuk tartozó valószíűség értéke 7
Tegyük fel: mide csatorába az egyszerre kiszolgáltak száma egy. Ekkor ha S, akkor =j. (Redszerbe levő egyedek száma megegyezik a kiszolgálási csatorákba levő egyedek számával). Az is feáll, hogy + =S. Ha >S, valamit =0, akkor S=j és =v+j, azaz ha a csatorák száma kisebb a redszerbe levő egységek számáál, akkor várakozó sor keletkezik. A továbbiakba még azt is feltesszük, hogy egy sorral va dolguk. Várható értékek számítása: Tegyük fel, ismert aak a valószíűsége, hogy beérkezés törtét p. Tehát ismertek a 0 p 0, p, 2 p 2, 3 p 3,, p,, m p m értékek. A redszerbe levők lehetséges száma: 0,, 2, 3,,,, m Ekkor a sorbaállási redszerbe levők várható értéke: M()= 0*p 0 + *p + 2*p 2 +... + m*p m = m 0 *p 8
Várható értékek számítása: Tehát ismertek az egyes beérkezések valószíüségi értékei: 0 p 0, p, 2 p 2, 3 p 3,, p,, m p m. A várakozó sorba levők lehetséges száma: 0,, 2, 3,,,, m-s, és a hozzájuk tartozó valószíüségek: p S, p S+, p S+2, p S+3,, p m A várakozó sorba tartózkodó egyedek számáak várható értéke: M(v)= 0*p s + *p s+ + 2*p s+2 +... + (m-s)*p m = S m ( S)*p Várható értékek számítása: Tehát ismertek az egyes beérkezések valószíüségi értékei 0 p 0, p, 2 p 2, 3 p 3,, p,, m p m. Az üres csatorák lehetséges száma: 0,, 2, 3,,,, S, és a hozzájuk tartozó valószíüségek: p S, p S-, p S-2, p S-3,, p 0 Az ürese álló csatorák számáak várható érték: M( )= 0*p S + *p S- + 2*p S-2 +... + S*p 0 = S 0 *p S S 0 (S )*p 9
Igazolható az alábbi összefüggés: M() + M( ) = M(v) + S A továbbiakba az alábbi sorbaállási modellekkel foglalkozuk: em korlátos forrású redszer ( m esete ) egy csatorás redszer ( S= ) több csatorás redszer ( S> ) korlátos forrású redszer ( m adott érték ) egy csatorás redszer ( S= ) több csatorás redszer ( S> ) Csatorák optimális számáak meghatározása: Elv: költség miimalizálás. c c 2 jelölje azt az időegységre voatkozó fajlagos költséget, amely abból adódik, hogy az egyed a kiszolgáló közpotba (sorbaállási redszerbe) tölti az időt. (kiesik a mukából az egyed) jelölje egy csatora időegységre voatkozó fajlagos fetartási és üzemeltetési költségét. Cél: kétféle költség összegéek miimalizálása! K = c *M() + c 2 *S mi 0
Csatorák optimális számáak meghatározása: Elv: költség miimalizálás. Ha csak a veszteségidőket vesszük figyelembe, akkor az egyedek (ügyfelek) részéről a várakozó sorba eltöltött idő, a kiszolgáló közpot részéről az üresjárati idő (csatorák állás ideje) a meghatározó. c, c 2 eze veszteség időkre voatkozó fajlagos költségeket jeletsék Cél: kétféle költség összegéek miimalizálása! K = c *M(v) + c 2 *M( ) mi Nem korlátos, egycsatorás sorbaállási redszer Legegyszerübb eset: -egyetle kiszolgáló egység va Jelölések: -sem igéyek, sem a várakozó helyek icseek korlátozva - jeletse az időegység alatt átlagosa beérkezett egyedek számát ( beérkezési ráta ) - jeletse az időegység alatt átlagosa kiszolgált egyedek számát folyamatos kiszolgálást feltételezve ( kiszolgálási ráta ) λ μ -forgalom itezitása 0 < < kell legye! egyébkét a sor végteleé válik
Feltételek a továbbiakra: Stacioer folyamatról va szó a p i valószíüségek függetleek az időtől. A beérkezések Poisso- folyamatot alkotak a beérkezések száma paraméterü Poisso -eloszlású valószíüségi változó. Egy egység kiszolgálásáak időtartama paraméterü expoeciális eloszlású valószíüségi változó. Ha eze feltételek mellett ismerék a p 0,p,p 2,.,p m értékeket, akkor számolhatók a várható értékek. A p 0,p,p 2,.,p m értékek meghatározása egy, az előbbi feltételek figyelembevételével felírható egyeletredszer segítségével törtéik.(ettől eltekitük.) Az adódó általáos formula: p = p 0 p 0 =? =,2,. Mivel p 0 + p + p 2 + = (teljes eseméyredszerről va szó) = p 0 + p + p 2 + + p +. = p 0 + p 0 + 2 p 0 + 3 p 0 +. = = p 0 ( + + 2 + 3 +. ) = p 0 * / (- ) végtele geom. sor 2
Tehát a keresett valószíüségek: p 0 p ( ) Ezek segítségével a keresett várható értékek: A redszerbe található egységek várható száma: M() 0 *p ( )... A sorba állók várható száma: M(v) S ( S)p ( )p p p de S=, ezért M() ( p0) M() 2 3
A várakozási idő: t s - jeletse a sorbaállási időt t r - jeletse a redszerbe eltöltött időt Stacioárius esetbe a redszerbe időegység alatt érkező egységek várható száma azoos a redszerből távozó egységek várható számával. A várható sorbaállási idő: M(t s ) M(v) λ 2 λ μ A redszerbe eltöltött idő várható értéke: M(t r ) M() λ λ μ A kettő külöbsége a kiszolgálási idő várható értékét adja: M(t r ) M(t s ) μ μ μ 4
Oldjuk meg az alábbi feladatot: Egy hivatal egyik irodájába, ahol mukaapoko 0 órá keresztül fogadják az ügyfeleket, 60 személy fordul meg apota.az itt dolgozó ügyitéző órákét 8 személyt képes meghallgati.tegyük fel, hogy a beérkezések Poisso-eloszlásuak, míg az ügyitézés ideje pedig expoeciális eloszlású. Mi a valószíüsége, hogy kettő vagy aál kevesebb ügyfél va az irodába? Mekkora lesz a várakozó sor várható hossza? Meyi a várható sorbaállási idő? és értékéek meghatározása törtéje egy órára voatkozóa. = 6 = 8 P( 2) ezekből Aak valószíüsége, hogy kettő vagy aál kevesebb ügyfél va az irodába: 0 p p2 2 p (- ) (- ) (- ) - - 2 2-3 P( 2) (3 / 4) 37 / 64 3 λ μ 6 8 3-3 4 5
Az irodába található ügyfelek várható száma: 3/4 M() 3 3/4 A várakozó ügyfelek várható száma: M(v) 2 (3/4) 2 9 2 3/4 4 A sorbaállás várható időtartama: M(t s ) M() μ M(v) λ 3 óra 8 22.5perc 6
Vége a mai óráak! 7