A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Hasonló dokumentumok
Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Egy pont földfelszíni helyzetét meghatározzák: a pont alapfelületi földrajzi koordinátái a pont tengerszint feletti magassága

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

Egy mozgástani feladat

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Fa rudak forgatása II.

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

Az éjszakai rovarok repüléséről

A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről

Élesmenetű csavar egyensúlya másként

Poncelet egy tételéről

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

A hordófelület síkmetszeteiről

Egy kinematikai feladathoz

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:

A főtengelyproblémához

Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

A csavarvonal axonometrikus képéről

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Matematikai geodéziai számítások 2.

A gúla ~ projekthez 2. rész

A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról

Henger és kúp metsződő tengelyekkel

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Egy sajátos ábrázolási feladatról

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Vontatás III. A feladat

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

Matematikai geodéziai számítások 2.

A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

A lengőfűrészelésről

Egy érdekes nyeregtetőről

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Jelölések. GBN304G Alkalmazott kartográfia II. gyakorlat Térképi vetületekkel kapcsolatos feladatok. Unger János. x;y) )?

A Cassini - görbékről

Keresztezett pálcák II.

Fénypont a falon Feladat

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Egy geometriai szélsőérték - feladat

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

3. Vetülettan (3/3-5.) Unger szeged.hu/eghajlattan SZTE Éghajlattani és Tájföldrajzi Tanszék

Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Érdekes geometriai számítások 10.

A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről

A ferde tartó megoszló terheléseiről

A magától becsukódó ajtó működéséről

Egy kinematikai feladat

A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról

Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

9. előadás: A gömb valós hengervetületei

Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

A véges forgatás vektoráról

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térbeli mozgás leírásához

További adalékok a merőleges axonometriához

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés

HÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok

Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

Észrevételek a forgásfelületek síkmetszeteivel kapcsolatban. Bevezetés

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

7. előadás: Lineármodulus a vetületi főirányokban és a területi modulus az azimutális vetületeken

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

Lépcső beemelése. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.

17. előadás: Vektorok a térben

Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.

Befordulás sarkon bútorral

Egy másik érdekes feladat. A feladat

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Két statikai feladat

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása

Egy variátor - feladat. Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Egy újabb cérnás feladat

Koordinátarendszerek

Átírás:

1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi és hosszúsági köröknek egymással párhuzamos, illetve egy - másra merőleges egyenesek felelnek meg. A meridiánokat állandó α szögben metsző pá - lyán hajózva loxodróma / gömbre írt csavarvonal mentén mozgunk, melynek képe a Mercator - térképen egy α hajlásszögű egyenes, a meridiánok ( függőleges ) kép ~ egye - neseihez képest. Nézzük a loxodróma paraméteres egyenletrendszerének levezetését!. ábra forrása: [ ] A. ábrán a szokásos gömbi ( matematikai ) koordináta-rendszert ábrázolták. Az R sugarú gömbfelület egy tetszőleges pontjának derékszögű koordinátái:

x = R cos φ cos λ, ( 1 / 1 ) y = R cos φ sin λ, ( 1 / ) z = R sin φ. ( 1 / 3 ) Itt φ a gömbi földrajzi szélesség, λ a gömbi földrajzi hosszúság szögértéke. Ahhoz, hogy a gömbre írt loxodrómát megadhassuk, ismerni kell a φ és a λ szögek közti matematikai összefüggést. Ezt mozgástani úton állítjuk elő v.ö.:[ 3 ]! 3. ábra Az gömb felületén mozgó, pillanatnyilag a P gömbfelületi pontban tartózkodó mozgó pont sebességének komponensei ld. 3. ábra! : v R = dr = 0, v λ = R cos φ dλ, v φ = R. ( ) A P pontbeli érintősíkban a sebességvektor és a meridián által közbezárt α szögre ( ) - vel is írhatjuk, hogy ctgα = m = v φ v λ = R R cos φ dλ = cos φ dλ = 1 cos φ dλ, tehát: ctgα = m = 1 cos φ dλ ; ( 3 ) ( 3 ) - ban a változókat szétválasztva:

3 cos φ = m dλ ; ( 4 ) integrálva v. ö.: [ 4 ]! : = ln tg φ + π cos φ 4 + C 1, ( 5 ) m dλ = m λ + C, ( 6 ) így ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) szerint: ln tg φ + π = m λ + c, c = C 4 C 1. ( 7 ) A c integrálási állandót pl. abból a feltételből határozzuk meg, hogy ld. az 1. ábrát is!, az Egyenlítőnél: φ = 0 λ = λ 0 ; ( 8 ) most ( 7 ) és (8 ) - cal: ln tg 0 + π 4 = 0 = m λ 0 + c 0 c 0 = m λ 0 ; ( 9 ) majd ( 7 ) és ( 9 ) - cel: ln tg φ + π 4 = m λ m λ 0 = m λ λ 0, ( 10 ) innen ( 3 ) - mal is: λ = λ 0 + tgα ln tg φ + π 4. ( 11 ) A ( 11 ) összefüggés teremti meg a kapcsolatot a φ és a λ szögek között. Majd ( 1 ) és (11 ) - gyel a ( 8 ) szerinti loxodróma paraméteres egyenletrendszere: x(φ) = R cos φ cos λ 0 + tgα ln tg φ + π 4, ( 1 / 1 ) y(φ) = R cos φ sin λ 0 + tgα ln tg φ + π 4, ( 1 / ) z(φ) = R sin φ. ( 1 / 3 ) Ezzel feladatunkat elvileg megoldottuk. Adatok az ábrázoláshoz: R = 1( m ) ; λ 0 = 0 ( rad ); tgα =. ( A ) Most ( 1 ) és ( A ) - val előállítjuk a loxodróma saját axonometrikus képét 4. ábra.

4 4. ábra Ha a gömbre írt csavarvonal átmegy a gömb ( φ 1, λ 1 ) pontján, akkor ( 7 ) - ből: ln + π 4 így ekkor ( 7 ) és (13) - mal: ln tg φ + π 4 ln tg φ + π 4 ezzel: = m λ 1 + c 1 c 1 = ln + π 4 = m λ + ln + π 4 ln + π 4 m λ 1, innen: m λ 1, ( 13 ) = m λ m λ 1 = m λ λ 1 = ctg α λ λ 1, λ λ 1 = tg α ln tg φ + π 4 ln + π 4 = tg α ln tg φ +π 4 +π 4, végül: λ φ = λ 1 + tg α ln tg φ +π 4 +π 4. ( 14 / 1 ) Most térjünk vissza a

5 ctgα = m = 1 cos φ dλ dλ tgα = cos φ > 0 ; ( 3 ) egyenlethez! Ebből kiolvasható, hogy ~ ha > 0, akkor λ növekedésével φ is növekszik, így a fenti levezetés szerint: dλ λ λ 1 = +tg α ln tg φ +π 4 +π 4 λ φ = λ 1 + tg α ln tg φ +π 4 +π 4 ; ( 14 / ) ~ ha < 0 dλ dλ val: > 0, akkor λ növekedésével φ csökken, így fentiek kis módosításá - λ λ 1 = tg α ln tg φ +π 4 +π 4 Összefoglalva: λ φ = λ 1 tg α ln tg φ +π 4 +π 4. ( 14 / 3 ) λ φ = λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 14 ) ahol ~ a + előjel él, ha a görbe keletre csavarodik, ~ a előjel él, ha a görbe nyugatra csavarodik [ 4 ]. Az 1. ábra középső része mutatja a kétféle csavarodású loxodrómát. Az 5. ábra mutatja a 4. ábrához képest ellenkezőleg csavarodó loxodrómát. Most ( 1 ) és ( 14 ) szerint a gömb ( φ 1, λ 1 ) pontján átmenő loxodróma paraméteres egyenletrendszerének ( 1 ) - nél általánosabb alakja: x φ = R cos φ cos λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 15 / 1 ) y φ = R cos φ sin λ 1 ± tg α ln tg φ +π 4 +π 4, ( 15 / ) z φ = R sin φ, π < φ < π. ( 15 / 3 ) Az előző dolgozatunkból vettük át az itteni 6. ábrát, ahol a sötétkék vonal az y(x) = ln tg x + π 4 ( 16 ) inverz Gudermann - függvény képe. Erről leolvasható, hogy π < x < π, vagyis ( 15 / 3 ) szögtartomány - megadása helyes.

6 5. ábra 6. ábra

7 Megjegyzések: M1. A loxodróma mellett másik fontos gömbi geometriai fogalom az ortodróma. 7. ábra forrása: [ 5 ] Az e mentén való hajózás adja a legrövidebb úthosszat a gömb A és B pontja között. Az út ilyenkor egy gömbi főkör mentén halad. Ebből következik, hogy a loxodróma men - tén hosszabb az út, mint az ortodróma mentén, ha utóbbin nincs akadály pl.: jéghegyek. Kiszámítjuk a loxodróma ívhosszát 3. ábra : v = v φ + v λ ; ds = R + R cos φ dλ ; ds = R + R cos φ dλ ; ds = R 1 + cos φ dλ ds = R 1 + tg α ; ds = R 1 ds = R cos α s ds = R s 1 cos α Ha cos α ; integrálva: φ φ 1 ; φ s φ1 = R ; ( 3 ) - mal is: cos α φ φ 1 ; ( 17 ) φ 1 π, φ + π, ( 18 )

8 akkor ( 17 ) és ( 18 ) - cal: φ s φ1 R π π = R π, tehát: cos α cos α s teljes = R π. ( 19 ) cos α A 6. ábra sötétkék görbéjéről az is leolvasható, hogy amíg a φ szög π / - től + π / - ig halad, addig a λ szög - től + - ig tart. Ez azt jelenti, hogy a loxodróma a pólusok körül végtelen sokszor csavarodik 4., 5. ábra. Emiatt is érdekes tény, hogy a végnélküli loxodróma a ( 19 ) szerinti véges hosszúsággal bír [ 4 ]. M. Az ortodrómával ha nem is így neveztük már foglakoztunk egy korábbi dolgoza - tunkban, melynek címe: Érdekes geometriai számítások - 6.: Két földrajzi hely távolságának meghatározása. M3. A gömbi földrajzi szög - koordinátákat fok mértékegységben szokás megadni. Ehhez ( 15 ) - öt átírjuk: x φ = R cos φ cos λ 1 ± 180 π tg tg α ln tg tg α ln φ +45 +45, ( 0 / 1 ) φ +45 y φ = R cos φ sin λ 1 ± 180 π +45, ( 0/ ) z φ = R sin φ, 90 < φ < 90. ( 0 / 3 ) M4. Az interneten sok szép kép található a loxodrómáról. Ilyen a 8. ábra is. 8. ábra forrása: [ 6 ]

9 Források: [ 1 ] https://hu.wikipedia.org/wiki/loxodroma [ ] http://www.agt.bme.hu/staff_h/varga/vetulettan/vetulet.pdf [ 3 ] L. G. Lojcjanszkij ~ A. I. Lurje: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki,tom I. Sztatyika i kinyematyika 8. kiadás, Nauka, Moszkva,198. [ 4 ] Szász Pál: A differenciál - és integrálszámítás elemei, I. kötet. kiadás, Közoktatásügyi Kiadóvállalat, Budapest, 1951. [ 5 ] http://www.matud.iif.hu/01/07/pics/kg1.jpg [ 6 ] https://www.geogebra.org/m/vamsfasz Sződliget, 019. 04. 05. Összeállította: Galgóczi Gyula ny. mérnöktanár