eyarfas Andras, Hrask6 Andras Teljes gnifok felbontasair6 Teljes gnifnak nevezunk egy n elemu halmazt (pontok halmaza) ktilonboz6 elemeib6 kepzett parjaival (elek halmaza). A pontokat altalaban { ' 2,... 'n} = [n] jelbli, az eleket ij es a teljes grafra a Kn jelbles szokasos. Tehat Kn -nek G) = n(n2-l) ele van. Ebben a cikkben teljes grafok felbontasaival kapcsolatos eredmenyeket mutatok be, lehet6leg erdekes es mashol is hasznosithat6 bizonyitasokkal. Felbontason azt ertjtik, hogy Kn teljes grafot el6allitjuk olyan reszgrafok egyesftesekent, amelyeknek nines kozos ehik. Egy hires pelda!{7 felbontasa het ( 3 -ra (Fano-sik) ami lenyegeben egyertelmu es az {, 2, 4} egesz eltolasaival kaphat6 mod 7 aritmetikaval szamolva. A sakkot ketten, az ultit harman, a bridzset negyen jatsszak. Grafok felbontasa helyett jatszhatunk is.... Programok egy hetre Sokszor szemleletesebb pontok helyett emberekr6 beszelni, az eloz6 allftas peldaul azt mondja, hogy het jatekos het ultipartit szervezhet het napra ugy, hogy barmely ket jatekos pontosan egyszer jatszik egytitt. 6 2 4. abra. Ultipartik a Fano-sfk alapjan: a het jatekos a Mt pont, a het parti a het, egy vonalra (szakaszra, ill. korre) es6 pontharmas Hetf6n jatszik, 2, 4, kedden 2, 3, 5, es igy tovabb, vasarnap,, 3. Minden nap harman jatszanak, a tobbiek szabadok. 99
3 5 2 5 6 '6 ' '6 6 ' 6 6 2 2 ; 5 2. abra. Ultipartik mod 7 aritmetik<ban: a het jatekos a het szam, a het parti az {, 2, 4} h::'irmas es annak eltoltjai mod 7 '6. feladat. Bizonyitsuk be, hogy 5 jatekosnak is lehet het napra ultipartikat szervezni ugy, hogy barmely ketjatekos pontosan egyszer jatsszon egyiitt! Ehhez ot asztal kell (harom-harom szekkel), minden nap mindenki jatszik. Nem egyszeru megszervezni az iiltetest... Persze konnyu elkezdeni, az els6 asztal beosztasa het napra'lehet, 2, 3;,4,5;,6, 7;... ;, 4, 5. Pr6baljuk megtervezni a masik negy asztal beosztasat is! Ezt a problemat Kirkman tiszteletes tuzte ki 847-ben egy angol magazinban- persze nem ultir6 sz6lt, hanem 5 iskolasleany setajar6 het napon harmas sorokban... Egy konnyebb problema: 2. feladat. Keszftsiik el 8 bridzsez6 iiltetesi tervet het napra ket asztalhoz (negy-negy szekkel) ugy, hogy barmely harom pontosan egyszer til jon kozos asztalnal! v egiil a legkonnyebb: 3. feladat. Keszitsiik el 8 sakkoz6 iiltetesi tervet het napra negy asztalhoz (ket-ket szekkel) ugy, hogy barmely ketto pontosan egyszer iiljon kozos asztalnal. Erre hamarosan latunk megoldasokat... 2. Felbontc'is faktorokra Tegyiik fel, hogy n paros, nevezziik faktornak az n/2 paronkent kozos pont nelkiili 6b6l all6 grafot. Talan a legregebben ismert felbontasi tetel a kovetkez6. 2
6. tetel. Minden paros n eseten Kn felbonthat6 n- faktorra. A tetel egy gyakorlati alkalmazasa, hogy paros n eseten kor ~~ffierk6zes szervezheto n jatekos szamara n- fordul6ban ugy, hogy 'hiindenki mindenkivel pontosan egyszer jatszik. A felbontas fakto 'raia fordul6k parositasat jelentik. A tetel legegyszerubb bizonyita : ~a a k6vetkez6: i :::::, 2,..., n - eseten az i-edik faktor alljon az ::co,i) elbol es az (i-j,i+j) (mod n -) elekbol, aholj =,2,... :.!!: - ~.... ' 2. 3>\.. ~~- ~6 lf ~... j'. 6 y.. \.. 2.......7 2....7.,. 3::z I lttj6 I llw6 3{'~\r 2.. ~ 2a,.,..... 7 2..\_.. 7 2.._p7 3. abra. Kormerkozeses bajnoksag 8 csapat kozott. Az i-edik fordul6 (i =, 2, 3, 4, 5, 6 es 7) merkozesei mod 7 ertve: (, i), (i-, i + ), (i - 2, i + 2) es (i - 3, i + 3) Nem is olyan konnyu ettol ki.ilonbozo megoldasokat talalni, melyek minden paros n-re mukodnek... Ha n = 2k, akkor egy masik szellemes megoldast kaphatunk ugy' hogy a pontokat binads formaban irjuk (k hosszusagu - vektorkent) es ket pont kozotti elt pontosan akkor tessztik ugyanabba a faktorba, ha a pontok koordinatankent vett mod 2 osszegvektora ugyanaz. A ket megoldas kozti alapveto ki.ilonbseget j6 megfigyelhetjiik n = 8 eseten: az elsonel barmely ket faktor egyesitese nyolcpontu kort alkot, a masodiknal ez" nem igaz. Az. tetelt mar a tizenkilencedik szazadban ismertek, de kezenfekvo altalanositasat csak 975-ben bizonyitotta Baranyai Zsolt. A Baranyai-tetelben Kn helyett K~ szerepel, ami n pont osszes r elemfi reszhalmazat jelenti, a faktor pedig paronkent diszjunkt T elemu halmazokat jelent. Peldaul n = 6, r ::::: 4 eseten a,baranyai-faktorizaci6" azt jelenti, hogy 6 elem negyesei e4 6 ) : 4 6 = ei) = 455 csoportba 2
~.9 ]...:] too(.. :.=... : :ioi\ _... ~ i : "-i...: ;:.6~ : / IO~ ~Ill!oJ. \ }n /..... IO~lii ~ 9..:.::rll...... }:... fo... ~?... :.:.:.::.: :... ~~~~?r: ~~~~~Q~~:: ~~~:: ooo~~c OOOJQ Yt ~ 4. abra. Kormerkozeses bajnoksag 8 csapat kozott. Ha i = ABC 2, akkor az i-edik fordul6ban abc2 azzal az a'b' c~ csapattal jatszik, amelyikre a+a' =A, b+b' = B, c+c' = C (mod 2) oszthat6k, minden csoportbannegy diszjunkt negyessel. Tehat 6 bridzsel6 negy asztalnal455 napig jatszhat ugy, hogy barmely negy pontosan egyszer til kozos asztalmil. Ha csak azt akarju'k, hogy barmely ket jatekos pontosan egyszer tiljon kozos asztalnal, akkor 5 nap is eleg - ezt taglalja Montagh Balazs cikke - bridzsezok helyett motorversenyzokkel... 2. tetel. Han oszthat6 r-rel, akkor K~ felbonthat6 (~=D faktorra. A faktorok szama abb6 ad6dik, hogy osszesen (~) darab r elemu reszhalmaz van, egy faktoron beltil pedig ~' es (~) : ~ = = (~= i). A tetel az r = 2 specialis esetben az L tetelt adja. Viszont ( ellentetben az. tetellel) algebrai jellegu bizonyitasa nem ismeretes. A 2. tetel bizonyitasanak hattereben hal6zati folyamok allnak, de eleg egy onmagaban is igen erdekes specialis eset a bizonyftashoz, nevezetesen Baranyai kerekftesi Jemmaja.. lemma. Tegyiik fel, hogy egy A matrix sor es oszlopdsszegei egesz szamok. Ekkor a matrix elemei kicserelhet6k als6 vagy fels6 egesz reszeikkel ugy, hogy olyan B matrixot kapunk, melynek sor es oszlopdsszegei ugyanazok mint az A matrix e. Bizonyibis. Az A matrix egy elemet nevezziik rossz elemnek, ha nem egesz. Ha A-ban nines rossz elem, akkor A= B mads megfelel. Egyebkent a kovetkez6 algoritmus csokkenti a rossz elemek 22
szamat a sor es oszloposszegek es az egesz reszek valtoztatasa nelk:iil. V alasszunk egy r rossz elemet, ennek soniban van egy masik rossz elem is, r2, mivel a sorosszeg egesz. Ezutan r 2 oszlopaban valaszthatunk egy r3 rossz elemet, majd r3 soniban egy r 4 rossz etemet... Az eljanis soran elobb ut6bb visszajutunk ugyanahhoz az elemhez (nem feltetlentil Tt -hez). Mindenesetre kapunk paros szamu rossz elemet melyek kozott a ciklikusan egymasra kovetkezok felvaltva ugyanabban a sorban, illetve oszlopban vannak. Nevezztik ezt rossz komek. A rossz kor minden egyes elemenek tekintsi.ik 'az also_ es fels6 egesz reszetol vett tavolsag kisebbiket ( egyenloseg eseten valamelyiket) aztan ezen tavolsagok legkisebbiket a rossz koran jelolji.ik E-nal. Nyilvanval6, hogy a rossz kor elemeihez valtakozva E-t hozzaadva, illetve kivonva a matrix sor es oszloposszegei es az elemek egesz reszei nem valtoznak, viszont legalabb egy rossz elem megszunik. A fenti algoritmust eleg sokszor alkalmazva kapjuk a kfvant B matrixot. Igen meglep6, hogy az elobbi lemman alapszik a 2. tetel bizonyitasa, megpedig indukci6val. A bizonyitas annyiban tri.ikkos, hogy a 2. tetelnel latsz6lag erosebb tetelt lehet indukci6val bizonyftani. Vezessi.ink be nehany jelolest. Legyen n es r a 2. tetel szerint, M := (~=D (a faktorok szama) es m := njr (az r-elemu halmazok szama a faktorokban). Hasznalni fogjuk a [k] jelolest az {, 2,..., k} halmazra, [] az i.ires halmaz- azaz. K~ egy faktora a csucsok [n] halmazat m darab diszjunkt r elemu reszhalmazra bontja. Tekintsiik [n] egy tetszoleges [k] (;:::: k 2: n) reszhalmazat. A faktor tagjainak [k]-val val6 metszetei egymast6 diszjunktak es uni6juk [k], azaz [k] egy m reszhalmazra val6 felbontasat, tigynevezett m-partfci6jat adjak. Mig a faktor minden tagjanak elemszama r, addig a partfci6 tagjai nem feltetlentil azonos elemszamuak. Pelda: n = 6, r = 2, k = 2 ekkor m = 3. K~ egy faktora a {{5,6}, {,3}, {2,4}} halmazrendszer. Ennek [k] = [2]-vel vett metszetei {, { }, {2} }. Az {{5,6}, {3,4}, {,2}} 23
faktorb6 pedig [2]-nek a 3-partfci6jat kapjuk. {,, [2]} Ha K~ -t felbontottuk M faktoita, akkor azok mindegyikebol kaphatunk egy m partfci6t [k]-ra. [k] egy S reszhalmaza CISI < ::; r) annyiszor szerepel, ahanyfelekeppen a kimaradt k +,..., ; elemekb6 kivalaszthat6 r-isi darab. Ezert a 2. tetelb6 kovetkezik az alabbi allftas. 2. * tetel. Legyen r oszt6ja n-nek. Ekkor birmely ::; k < n eseten van M darab olyan m-partfci6ja [k] -nak amelyben minden s ~ [k] pontosan (r~l~l) szamu partfci6ban fordul elo. Az el6z6 peldaban M = 5. Az els6 negy partfci6 lehet az otodik pedig {, {}, {2} }, {,, [2]}. A 2* tetel k = n eseten trtikkosen adja a 2. tetelt: barmely S ~ [k] pontosan (r_j 8 ) partfci6ban fordul el6. Ez a szam azonban csak lsi = r eseten nem nulla (ekkor ) ami pontosan azt jelenti, hogy csak az r elemu halmazok szerepelnek a partfci6kban es mindegyik pontosan egyben. A 2* tetel el6nye, hogy k szerinti indukci6val bizonyfthatjuk. Ha k =, akkor az M partfci6 mindegyike csupa tires halmazb6 allhat. Tegyiik fel, hogy valamely k < n-re megvannak az A,..., AM m-partfci6k. Most mindegyik partfci6 egy es csak egy halmazat ki kell b6vftenlink a k + elemmel ugy, hogy barmely s c [k] halmaznak (rn-~!=-\) peldanyat bovftstik, Cr-=.isn peldanyat pedig ne b6vftstik ki k + -gyel. Els6 lepesben bfzzuk a valasztast a veletlenre! Az S halmazt (;_!~!=-\) / (rn-l~l) = r;~~l val6szfnuseggel kell kib6vfteni. A veletlent Baranyai kerekftesi m6dszerevel ktiszoboljtik ki. frjuk ezeket a kibovftesi val6szfnusegeket egy \II x 2k-as A matrixba! A oszlopai [k] reszhalmazainak felenek meg, a sorok pedig a partfci6knak (lasd a peldat a kovetkez6 oldalon). Az A matrix Ai soraban es S c [k] oszlopaban all6 elem tehat lesz, ha S 24
nem szerepel Ai-ben, ha pedig szerepel, akkor erteke r7 ~~~, illetve liz tires halmaz eseten, amely Wbbszor is szerepelhet ugyanabban a partici6ban, ez az ertek t n~k, ahol t jeloli az tires halmaz mul, tiplicitasat Ai-ben. Erdemes ellenarizni, hogy a pelda eseten az A matrix elsa negy sora [/2, /4, /4, ] es az otodik sora [,,, ] ha az elsa oszlop az tires halmaznak, a negyedik oszlop meg [2] == {, 2}-nek felel meg. Nem nehez belatni, bogy az A matrix minden sorosszege es az S-hez tartoz6 (S ~ [k]) oszloposszeg V~-~~~\). Ezutan a kerekitalemmat alkalmazzuk az A matrixra ami adja a B matrixot. A B matrix Ai-hez tartoz6 soraban egyetlen egyes van, ennek oszlopa egy Si E Ai blokkot definial. Peldankban:,{},{2},{},{2},{},{2},{},{2},,{,2} {} {2} {,2} 2 2 2 2 4-4 I I - 4 4 4-4 I I 4-4 {} {2} {,2} ---o- 2 2 (i i o) 2~2 2 2,{},{2},{},{2},{},{2} ~.,{},{2},,{,2} 25
Ezutan definialunk uj m~partfci6kat [k+ ]-en ugy, hogy (minden i-re) Ai-ben Si-t kicserelji.ik Si U { k + }-re, Ai Wbbi blokkjat valtozatlanul hagyva. Az uj partfci6k kielegftik a 2* tetelt k + - gyel, ennek ellenorzeset is az olvas6ra bfzzuk. Peldankban a [3] halmaz megfelelo partfci6i:, {}, {2,3};, {, 3}, {2}; {3}, {}, {2}; {3}, { }, {2}; {3},, {, 2}. 3. Felbontas teljes reszgrafokra Egy teljes graf trivialisan felbonthat6 egyetlen teljes grafra. A De Bruijn-Erdos tetel azt mutatja, hogy nem trivialis felbontashoz mar sokkal tobb teljes reszgraf kell. m~n. 3. tetel. Ha Kn eleitm > teljes reszgrafra bontjuk fel, akkor Egy tomor bizonyftas Conwaytol: legyenek a felbontasban szerepl6 teljes reszgrafok ponthalmazai At, A2,..., Am es tegyi.ik fel, hogy n ~ m. Jelolji.ik d(i)-vel az i pontot tartalmaz6 Aj halmazok szamat. Konnyu latni, hogy tetsz6leges i ~ Aj eseten d(i) ~ ~ IAjl Ez es az n ~ m egyen6tlenseg adja, hogy nm- nd(i)::; :S nm- miajl. azaz () ---->. n(m- d(i)) - m(n- IAj I) Csak eppen az nem latszik, mire is j6 ez. Arra, hogy osszeadva 6ket minden i ~ Aj parra kapjuk n m ~ A~. n(m - d(i)) ~ ~.~A. m(n- IAj I)' ~- J p~ J- ~"F- J de mindket oldal erteke! U gyanis a bel so osszegek azonos mennyisegeket adnak ossze, a baloldalon m-d(i)-szer, a jobboldalon n-iaj -szer. Ezert az () egyenl6tlenseg val6jaban egyenl6seg, 26
erniatt az n ~ m (es mellesleg minden d(i) ~ IAj I) egyenl6seg kell egyen. 4. Feladat. Lassuk be, hogy a 3. tetelben egyenl6seg (m = n) csak ket esetben lehet:. A felbontas egy fix pontot tartalmaz6 parokb6 es a fix pontot elkeriil6 n - -elemu halmazb6 all. 2. Valamely q > egeszre n = q 2 + q +, a felbontasban minden Ai halmaz q + elemu, minden pontot q + halmaz tartalmaz, barmely ket kiilonboz6 halmaz metszi egymast (q-rendu veges projektfv sfk). A 3. tetel kovetkez6 altalanositasat Fisher-egyenl6tlensegnek nevezik. 4. tetel. Ha Kn eleit m teljes reszgrafra bontjuk fel ugy, hogy minden elt pontosan ), -szor fediink es egyik fed6 reszgr:if sem maga Kn, akkor m ~ n. Ennek a tetelnek csak linearis algebrat hasznal6 bizonyftasai ismeretesek. Miel6tt rciter.nenk a bizonyftasra tisztazzuk az ahhoz sziikseges alapvet6 fogalmakat es tetelt. Ha adottak az f. I, f. 2, f. 3 vektorok, akkor kerdezhetjiik, hogy vannak-e olyan cq, a2, a3, szamok, amelyek koziil nem mindegyik, es teljesiil a (2) linearis osszefiigges. Ha vannak ilyen szamok, akkor vektorainkat Jinearisan 6sszefiigg6nek nevezziik. Ha a (2) osszefiigges csak abban az esetben teljesiil, amikor a = a 2 = a3 =, akkor a vektorok Jinearisan fiiggetlenek. Ha f. I, f. 2, f. 3 a sfk harom vektora, akkor mindenkeppen linearisan osszefiigg6ek (lasd az abrcit). Ha viszont f.i, f_ 2, f.3 a ter hcirom nem egy sfkba es6 vektora, akkor linecirisan fiiggetlenek. Ezek a fogalmak altalanosfthat6k: engedjiik meg, hogy az f.i,..., f.n vektoroknak m koordinatcija legyen. Ebben az altalanos esetben is igaz, hogy az f.i,..., f.n vektorok csak akkor lehetnek linecirisan fiiggetlenek, ha n ::=:; m. Ha ugyanis m > n, akkor a 27
I:i=t ai {fi = Q osszefi.iggest koordinatankent felirva egy olyan ho~ mog~~ linea.ris egyenletr~ndszert kapunk~ az O:i valtoz6kra, amely~ ben tobb az smeretlen, mmt az egyenlet, gy bztosan van a trivialis a =... = am = megoldast6 kiilonbozo megoldasa is. Visszateriink a 4. tetel igazolasahoz. A 3. tetel jeloleseit hasznalva feltehetjiik, hogy minden i~re ( ::; i ::; n) d(i) = ). + '"'fi, ahol 'Yi >. >.-nal kevesebb reszgnif ugyanis nem tudja >.-szor lefedni az i-edik csucsb6 kiindul6 eleket ). reszgraf meg eppen elegendo lenne, ha mindegyik tartalmazna a~ i-edik csucsb6 indul6 osszes elt, azaz ha mindegyik a teljes Kn graf lenne. Definialjunk minden i ponthoz egy m komponensu x. vektort, melyben a j-edik koordinata aszerint vagy, hogy az-i pont benne van e Aj-ben. Azt allftjuk, hogy vektoraink linearisan fiiggetlenek, amibol kovetkezik a tetel. Bizonyftsunk indirekten! Tegyiik fel, hogy val6s CYi szamokkal n teljesiil L ai{fi =. Kepezziik az egyenlet mindket oldalanak!fr i=l vel vett skalaris szorzataf. Megfigyelve, hogy {fi{fj = >. ha i ;t: j es {fi!fj =). + 'Yi ha i = j, azt kapjuk, hogy minden j-re Ha egyenleteinket osszeadjuk, azt kapjuk, hogy n ami csak I: ai = eseten teljesiilhet. Korabbi egyenlettinkbol ko~ i=l vetkezik, hogy ilyenkor mindegyik aj egyiitthat6 zerus, azaz vek~ toraink linearisan ftiggetlenek. 28
4. Felbontis teljes paros reszgrafokra Teljes paros gnifnak nevezztik azokat a gnifokat melyeknek ponthalmaza ket diszjunkt halmaz, A, B egyesftese es elei azon parok, melyeknek egyik pontja A-ban masik pontja B-ben van. JelOl, jiik [A, B]-vel a teljes paros grafot. 5. tetel. Ha Kn ejeit n teljes paras reszgrafra bontjuk fel, akkorm 2: n-. Erre a tetelre is csak linearis algebrat hasznal6 bizonyftasok ismeretesek. Talan a kovetkezo bizonyftas a legfrappansabb, ez Tverbergt6 szarmazik. Legyenek [Ai, Bi] a felbontasban szereplo teljes paros grafok, i =, 2,... 'm es legyenek XI' x2,... 'Xn a Kn pontjaihoz rendelt val6s vaitoz6k. Ekkor a kovetkezo azonossag teljesi.il: Tekintstik a kovetkezo m+ egyenletbol al6 homogen linearis egyenletrendszert: LjEAi Xj = ahol i =, 2,... 'm es I:i=l Xi= ==. Ennek nem letezhet nem trivialis megoldasa, mert a megoldast behelyettesftve az azonossagba a baloldalon nullat, a jobboldalon negatfv szamot kapnank. Ez azt jelenti, hogy a valtoz6k szama nem nagyobb az egyenletek szamanal, azaz n 5:. m +. Az 5. tetel hattere egy k6delmeleti kerdes. A k6delmeletben ket m hosszusagu - sorozat Hamming tavolsaganak nevezik azon koordinatak szamat a.melyben a ket sorozat ki.ilonbozik. Ennek egy altalanosftasat Pierce vetette fel a 972-ben. Tekintsiink m hosszusagu sorozatokat, ahol, mellett * szimb6- lumot is hasznalhatunk, amit gyakran dzs6kernek neveznek. Ket ilyen sorozat Hamming tavolsaganak azon koordinatak szamat nevezztik, ahol az egyik sorozat, a masik pedig. Peldaul * es * Hamming-tavolsaga 2. Ez azert hasznos, mert barmely 6sszefiigg6 graf pontjaihoz hozza lehet rendelni (valamilyen m re) m hosszusagu --* sorozatokat ugy, hogy barmely ket pont 29
kozott a Hamming-tavolsag es a graf-tavolsag megegyezik. (Grattavolsag: a ket pont kozotti legrovidebb lit eleinek szama.) Pr6baljuk ezt bebizonyitani, nem nehez! Az viszont nehez problema, hogy egy adott gratboz mi a legkisebb m, amelyre ilyen hozzarendeles (k6dolas) lehetseges. Az 5. tetel azzal ekvivalens, hogy Kn teljes graf eseten Iegalabb n - hosszusagu --* sorozatokat kell hasznalni a hozzarendeleshez (k6dolashoz). 5. feladat. Bizonyitsuk be az ekvivalenciat, valamint azt is hogy n - hosszusagu sorozatokkal meg is lehet oldani a hozza~ rendelest, azaz az 5. tetelben m = n- lehetseges. (Peldaul a o*, sorozatok j6k < 3 eseten.) ' Az 5. tetelnek iranyitott valtozata is van, pr6baljuk meg igazolni, Tverberg m6dszere most is segithet: 6. feladat. Mutassuk meg, hogy a szimmetrikusan iranyftott Kn-et (minden el ket iranyt kap) nem lehet n-nel kevesebb iranyitott teljes paros grafra felbontani. Ket konyvet ajanlunk az olvas6knak: J. H. van Lint-R. M. Wilson: A course in Combinatcirics, Cambridge University Press. M. Aigner-G., M. Ziegler: Proofs from the BOOK, Springer Verlag. 2