1 Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Itt az A és B pontok egy nyeregtető oromfali ereszpontjai, a P pont pedig a taréj pontja. Az ereszek egymástól való távolságának a vízszintes vetülete a, a függőleges vetülete m. A tetősíkok és így az oromélek is egymással adott γ 0 nagyságú szöget zárnak be. Az ereszek az oromfalra merőlegesek, l hosszúságúak. Keressük a tetősíkok α és β hajlásszögét, valamint az A tetőfelszín kifejezését. A feladat kiírása Adott: a, m, l, γ 0. Keresett: α, β, A. A feladat megoldása A nyeregtető P taréjpontja egy az AB szakaszra rajzolt γ 0 látószögű köríven fekszik. 1. ábra
2 Az α szögre az 1. ábra alapján: ( 1 ) Ismét az 1. ábráról: ( 2 ) Látjuk, hogy a közvetlen feladat: a P(φ) pont x P (φ) és y P (φ) koordinátáinak előállítása. Először: felírjuk az X P, Y P koordináták kifejezéseit a ξ tengelytől mért φ szögváltozóval: ( 3 ) ámde ( 4 ) ahol d AB az AB szakasz hossza; Pitagorász tételével: Most ( 3 ) és ( 4 ) szerint: ( 5 ) ( 6 ) Másodszor: az x P (φ) és y P (φ) koordináták képletei az alábbi transzformáció szerint: ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) Ezután ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cal: innen: ( 10 ) hasonlóan: ( 11 ) Harmadszor: ( 1 ), ( 10 ) és ( 11 ) - gyel:
3 tehát: ( 12 ) innen pedig ( 13 ) Majd ( 2 ) - vel: ( 14 ) Az oromélek hossza ( h 1 = AP, h 2 = BP - vel ) szinusztétellel ( is ) nyerhető: ( 15 ) most ( 15 ) és ( 5 ) - tel: ( 16 ) Hasonlóan: tehát: ( 17 ) A tető felszíne: ( 18 ) most ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal: azaz
4 ( 19 ) ahol ( 20 ) Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Megjegyzések: M1. Az 1. ábrán a látókörív másik, az AB egyenesre szimmetrikus felét nem rajzoltuk meg, hiszen az tetőépítési szempontból érdektelen számunkra. M2. A többször említett oromélek alatt a tetősíkok és az oromfal - síkok metszésvonalait értjük. Az oromfalak a nyeregtetőt a végein lezáró függőleges síkú, főként téglából készült épületszerkezetek. Az oromélek előbbi definíciója csak akkor igaz, ha a tető - síkidom az oromfal külső síkjánál véget ér. Ha a tető túlnyúlik az oromfalon, akkor az oromélek rend - szerint a tetősíkok és a tetősíkidom végein a vízszintes tetőgerinc egyenesére merőlegesen állított függőleges síkok metszésvonalaiként veendők ld. 2. ábra! 2. ábra forrása: http://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412a/2011_0060_epitestudomany/content/0 2-III-06/ xtr_03_1.jpg
5 M3. A ( 3 ) képleteket még kiegészíthetjük az alábbiakkal ld. 1. ábra! : ( 3-1 ) ( 3-2 ) M4. Az Olvasónak furcsának tűnhet, hogy közismert elemi síkgeometriai tények, tételek tetőgeometriai tudnivalókká nemesülnek. Tény, hogy van a dolognak egy ilyen pikantéri - ája, melyre talán csak sokára figyel fel az ezzel foglalkozó ember. Hasonlókat figyelhet - tünk meg az 1. részben is. Említésre méltó, hogy az itteni jelölésekkel a ( 18 ) szerinti ( 18-1 ) képlet az A tetőfelszín kétdimenziós adatát az oromélek s = h 1 + h 2 hosszának egy - dimenziós adatává változtatja. Igaz, ez a könnyebbség csak a síkprobléma jellegű nyereg - tetőknél áll fenn, ellentétben a térbeli problémát jelentő kontytetőkkel. A síkprobléma alatt itt azt értjük, hogy a vizsgált objektum geometriáját egyetlen sík - metszetével megadhatjuk, vagyis az egymással párhuzamos síkmetszetek ugyanazt adják. Szokás ezt a síkmetszetet profilnak / keresztmetszetnek is nevezni. A keresztmetszet síkja itt a vízszintes taréjra merőleges sík. Ezek csak a tetőalakra, de nem a tetőszerkezetre vonatkozó állítások, hiszen a méreteitől is függő szerkezeti kialakítása szerint a nyeregtetőnek is lehetnek fő - és mellékszaruállásai, melyek egymástól lényegesen eltérőek, így a tető különböző keresztmetszetei más - más képet mutathatnak. M5. Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Egy újabb tetőfelszín ~ számítási szélsőérték ~ feladat már megvizsgáltuk a tetőfelszín szélsőérték - feladatát, amikor az ereszvonalak egy magasságban vannak. Az ottani számítás értelemszerű megismétlésével, az itteni jelölésekkel a legnagyobb tetőfelszínt adó elrendezésre: ( 21 ) Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak a ( 21 ) - hez tartozó tetőprofil megrajzolását! A tetőfelszín ( 21 ) szerinti maximuma, ( 5 ) - tel is: ( 22 ) A ( 21 ) és ( 22 ) összefüggések belátása számítás nélkül is könnyen megy, az előző dol - gozatbeli eredmények értelemszerű alkalmazásával, megváltoztatásával.
6 M6. A ( 22 ) eredmény még így is belátható, az egyező tetőhajlások esetére vonatkozó ismert tetőfelszín - számító képlettel: ( 22-1 ) ahol ~ ϑ*: a tetősíkok és az AX nyomvonalú ferde sík közbezárt szöge ld. 1. ábra!, ~ T* vet : a tetősíkidomoknak ezen ferde síkra vett vetületi területe. M7. Ezt a feladatot is Hajdu Endrének köszönjük meg. Mint ahogy az alábbi képlet - egyszerűsítést is. Ehhez kiegészítjük az 1. ábrát ld. 3. ábra! 3. ábra Most felhasználjuk azt az ismert tételt, hogy az azonos íven nyugvó kerületi szög fele a középponti szögnek. A 3. ábra BP ívére alkalmazva e tételt írhatjuk, hogy ( 23 ) ámde ismét a 3. ábráról:
7 ( 24 ) most ( 23 ) és ( 24 ) szerint: innen pedig ( 25 ) ezután ( 20 ) és ( 25 ) - tel: ( 26 ) ( 26 ) egy jelentősen egyszerűbb és szebb képlet, mint ( 13 ). Egyezőségük trigonometriai azonosságok alkalmazásával belátható. Javasoljuk az érdeklődő Olvasónak e számítás elvégzését is! Sződliget, 2016. december 27. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár