1 Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen egy út tengelyvonalának egy pontjában tüntették fel az eredő esés meghatározását, ha ismert a hosszesés és a keresztdőlés nagysága. Jó ez így? Most megvizsgáljuk, hogy ez hogy jön ki. Ehhez először tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra forrása: [ 2 ] Itt azt ( is ) szemlélhetjük, hogy egy úttestnek hosszirányú és keresztirányú esése / dőlése is van.
2 Előbbit a hossz - szelvényen ( a 2. ábrán a jobb oldalon), utóbbit a keresztszelvényen ( a 2. ábrán a bal oldalon ) adják meg. Mindkettőt a megfelelő függőleges síkban értelmezzük. Egy φ hajlású egyenes l százalékos lejtése definíció szerint: ( 1 ) Ennyi előkészítés után térjünk rá mondandónk kifejtésére. Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Itt az úttest egy darabját ábrázoltuk, némileg torzítva, az összetevő esések értelmezésé - hez. Eszerint, ( 1 ) - nek megfelelően: ( 2 ) ( 3 ) A feladat: meghatározni az esővíz lefolyásának irányát. Ehhez tekintsük a 3. ábra alapján készült 4. ábrát! Itt az ABC háromszög síkjában megrajzoltuk a CQ egyenest, mely e síkban a legnagyobb lejtésű, így a víz ezzel párhuzamosan folyik le róla. A 4. ábra alapján, az ( u, v, w ) tengelymetszetekkel dolgozva:: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 )
3 4. ábra így ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel:, tehát: innen:, ( 8 ) ( 9 ) Ismét a 4. ábrából: tehát: ( 10 ) innen: ( 11 ) Válaszunk a címben feltett kérdésre: az esővíz az úttest C tengelypontjából a CQ leg - meredekebb egyenes mentén folyik le, ahol a CQ egyenes függőleges síkja az xz síkkal a
4 ( 11 ) szerinti szöget, a CQ egyenes pedig az xy síkkal a ( 9 ) szerinti szöget zárja be. Ezután térjünk rá az 1. ábrával kapcsolatos kérdésre! Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) és ( 8 ) szerint: innen: ( 12 ) minthogy, ( 13 ) így ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) egyezésben az 1. ábra alapján felírható, Pitagorász - tétellel adódó eredménnyel. Majd ( 2 ), ( 3 ) és ( 10 ) szerint: tehát: ( 15 ) A ( 14 ) és a ( 15 ) képletek megalapozzák az 5. ábra szerinti rajzi jelölést. 5. ábra
5 Az 5. ábrán használt helyszínrajz kifejezést ( is ) magyarázza a 6. ábra. 6. ábra forrása: [ 1 ] Most már válaszolhatunk az 1. ábra kapcsán feltett kérdésre is: indokolt az úttest helyszínrajzán az 1., illetve az 5. ábra szerinti, a téglalap - szabály alapján történő eredő emelkedés / lejtés - ábrázolás; itt az irányított szakaszok a szemléletesség fokozását szolgálják. Hétköznapi nyelven megfogalmazva eredményeinket: az esővíz a tetszőleges C úttengely - pontból az e max % téglalap - átló mentén folyik le az útról, az 5. ábrán is látható felülnézeti / helyszínrajzi ábrázolási módban. Megjegyzések: M1. Már korábban is végeztünk a fentihez hasonló számításokat; ld. pl.: ~ Tudtad? 2., ~ Tudtad? 12. c. korábbi dolgozatainkat! M2. A 6. ábra a 2. ábra közeli rokona, amint az a források tanulmányozásából is kiderül.
6 M3. A lejtés skaláris, nem pedig vektormennyiség. Fentebb azonban már majdnem ki - mondtuk ( már a nyelvünk hegyén volt ), hogy nyugodtan tegyük rá a nyilakat a szakaszok végére, legfeljebb a betűjelzés felülvonását hagyjuk el. No, azért ennyire nem vagyunk lazák. Vagy mégis? M4. Van valami, amiről eddig még nem volt szó, ez pedig a gradiensvektor. Ennek bevezetésével könnyebben értelmezhető a lejtések vektorszerű viselkedése. A gradiensvektor definíciója [ 3 ] szerint az alábbi: Az f ( x, y ) függvény gradiensvektora, másszóval gradiense a P 0 ( x 0, y 0 ) pontban a ( a ) vektor, ahol f parciális deriváltjai a P 0 pontban vannak számolva. Ugyanennek egy másik jelölése: grad( f ). Az ( a ) képletben i és j az x és y tengely menti egységvektorok, értelemszerűen. Most térjünk vissza a 4. ábrához! Ennek ABC síkja az útfelület - darab egyik síkja, illetve egy érintősíkja. E sík egyenletének tengelymetszetes alakja [ 4 ] : ( b ) Rendezve: ( c ) Most ( 4 ), ( 5 ) és ( c ) - vel: ( d ) Képezve a parciális deriváltakat: ( e ) A gradiensvektor kifejezése ( a ) és ( e ) szerint: ( f ) Most ( 2 ), ( 3 ) és ( f ) szerint: ( g )
7 innen: ( g / 1 ) A gradiensvektor abszolút értéke ( f ) és ( g ) szerint: ( h ) majd ( 1 ), ( 8 ) és ( 13 ) és ( h ) - val: innen pedig: ( i ) adódik, ami megegyezik ( 14 ) - gyel. Ekkor azonban már ( g / 1 ) alapján vektorosan írhatjuk, hogy ( k ) hiszen ( k ) - ból nem csak ( 14 ), hanem ( 15 ) is kiadódik. Látjuk, hogy a vektoros írásmóddal való kísérletünk jogossága igazolást nyert. M5. Megemlítjük, hogy a gradiensvektor a vizsgált sík minden pontjában ugyanaz, hiszen az ( f ) képlet már nem tartalmazza az x és y változókat. Továbbá azt is, hogy e max%, mint a gradiensvektorral párhuzamos vektor, merőleges a sík szintvonalaira, így az ABC sík AB nyomvonalára is, ahogyan azt az 5. ábra is mutatja. M6. Írásunk első részében a skaláris, második részében a vektoros szemléletet támogattuk. Az Olvasó maga döntheti el, hogy számára melyik a kényelmesebb, az elfogadhatóbb. Érezhető egy olyasféle nyomás, ami a vektoros felfogás felé tereli az ember gondolatait. Talán valami ilyesmi vezethette a matematikusokat is a gradiensvektor létrehozásához. M7. Néha a szakirodalomban nem gradiensvektort, hanem gradiens vektort emlegetnek. M8. Némiképpen meglepő, hogy eddig még sehol sem találkoztunk az 1. és az 5. ábra szerinti ábrázolás ittenihez hasonló magyarázatával.
8 Források: [ 1 ] Kosztka Miklós ~ Markó Gergely ~ Péterfalvi József ~ Primusz Péter: Erdészeti utak tervezése, építése, fenntartása Nyugat - magyarországi Egyetem, e - jegyzet, 79. o. vagy: http://www.tudasfelho.hu/felho/first/first_files/erde%cc%81szeti%20utak%20tervez e%cc%81se%20e%cc%81pi%cc%81te%cc%81se%20fenntarta%cc%81sa.pdf [ 2 ] http://www.emk.nyme.hu/fileadmin/dokumentumok/emk/efelt/efelt/segedletek/melyepites/ hossz_szelveny.pdf [ 3 ] George B. Thomas, Jr. ~ Maurice D. Weir ~ Joel Hass ~ Frank L. Giordano: Thomas - féle Kalkulus, III. kötet, Typotex Elektronikus Kiadó Kft., Budapest, 2007., 293. o. [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 274. o. Sződliget, 2017. 02. 19. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár