Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen, 011

Előszó A hiányos tudással érkező hallgatók számára a Műszaki Kar lehetőséget biztosít a felzárkózásra, a további tanulmányok folytatásához elengedhetetlen ismeretek elsajátítására. A minimálisan elvárt ismeretanyag a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz kapcsolódó segédletekben van összefoglalva, a legfontosabb témakörök a tanórákon is elhangzanak. A tárgy célja, hogy irányt mutasson az ismétlésben, nem pedig az, hogy az általános és a középiskolai tananyagot újra tanítsa. A tárgy órarend szerinti óráin mindenkinek lehetősége van kérdezni és segítséget kérni az ismétléshez. Ez a feladatgyűjtemény részletesen tartalmazza a kijelölt feladatok megoldását, amely a szorgalmas diák számára lehetővé teszi a hiányos ismeretek pótlását. A feladatgyűjteményben a klasszikus matematikai feladatok mellett egyszerű műszaki alkalmazások is helyet kaptak. A feladatok túlnyomó része standard feladat abban az értelemben, hogy a háttérben lévő elméleti tudnivalókon kívül egyéb ötletet nem igényel. Az ezektől eltérő, nehezebb feladatokat -al jelöltük. Az elemi geometria fejezetben szereplő feladatok egy része Nagyné Dr. Kondor Rita és Dr. Szíki Gusztáv Áron Matematikai eszközök mérnöki alkalmazásokban című jegyzetéből lettek átvéve. A példatár gondos átnézéséért köszönetet mondunk Nagy Noémi óraadó oktatónak. Hasznos tanácsaiért köszönötet mondunk Dr. Kocsis Imrének, a Műszaki Alaptárgyi Tanszék vezetőjének, valamint a Tanszék minden oktatójának, akik a személyes beszélgetések során hasznos ötletekkel segítették munkánkat. A szerzők

Tartalomjegyzék 1. Hatványozás azonosságai 4. Gyökvonás azonosságai 8 3. Logaritmus azonosságai 14 4. Algebrai átalakítások, nevezetes azonosságok, algebrai törtek 16 5. A szumma és a produktum jel használata 18 6. Binomiális tétel 0 7. Számok normálalakja 1 8. Középértékek 9. Százalékszámítás 4 10. Függvénytani alapfogalmak 6 11. Elsőfokú függvények 9 1. Abszolútértékés függvények 33 13. Másodfokú függvények 37 14. Négyzetgyök függvény 45 15. Racionális törtfüggvények 47 16. Elsőfokú egyenletek 51 17. Elsőfokú egyenlőtlenségek 53 18. Másodfokú egyenletek 56 19. Másodfokú egyenlőtlenségek 58 0. Polinomosztás 60 1. Exponenciális függvények 61. Logaritmikus függvények 64 3. Exponenciális egyenletek 66 4. Exponenciális egyenlőtlenségek 71 5. Logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek 73 6. Trigonometrikus függvények 75 7. Trigonometrikus egyenletek 77 8. Két pont távolsága, vektorok hossza, szöge 81 9. Egyenes egyenlete 83 30. Kör egyenlete 86 31. Vegyes koordinátageometria feladatok 87 3. Elemi geometria 89 3

4 I. SZÁMOK, MŰVELETEK 1. 1. Hatványozás azonosságai 1. Számítsuk ki az alábbi hatványokat: a) b) 3 3 ( 1 c) 3 ) 3 d) ( 1) ( ) 3 1 e) f) 4 1 g) ( h) 1 3 ) 3 i) ( 1) 1 a) = = 4 b) 3 3 = 3 3 3 = 7 ( ) 3 1 c) = 3 3 = 7 3 d) ( 1) = ( 1) ( 1) = 1 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 e) = = 1 8 f) 4 1 = 1 4 1 = 1 4 g) = 1 = 1 4 ( h) 1 ) 3 = 1 ( 3 3 1 ) ( 1 ) = 1 3 3 7 i) ( 1) 1 = 1 ( 1) = 1 1. A hatványozás azonosságainak felhasználásával végezzük el az alábbi műveleteket: a) x 3 x 5 b) x x 7 x 5 c) x x x 9 d) a a e) a5 a 6 f) x x g) (a ) 3 h) a3 a 4 a i) a a 4 a a) x 3 x 5 = x 3+( 5) = x = 1 x b) x x 7 x 5 = x +7+5 = x 14 c) x x x 9 = x3 x 9 = 1 x 6 d) a a = a 1 = a e) a5 a 6 = a 1 = 1 a f) x x = x = x 0 = 1 g) (a ) 3 = a 3 = a 6 h) a3 a 4 = a3+4 a a i) a a 4 a = a+4 a = a7 a = a5 = a6 a = a5

5 3. A hatványozás azonosságainak felhasználásval végezzük el a műveleteket ( ) a bc 3 3 ( ) a 3 b c 1. x y 3 x y 3 ( ) a bc 3 3 ( ) a 3 b c 1 = (a bc 3 ) 3 x y 3 x y 3 (x y 3 ) (a3 b c ) 1 = 3 (x y 3 ) 1 = (a ) 3 b 3 (c 3 ) 3 (x ) 3 (y 3 ) 3 (a3 ) 1 (b ) 1 (c ) 1 (x ) 1 (y 3 ) 1 = a6 b 3 c 9 x 6 y 9 a 3 b c x y 3 = = a6+( 3) b 3+ c 9+ x 6+( ) y = a3 b 5 c 11 9+( 3) x 8 y = a3 b 5 c 11 x 8 6 y 6 4. Egy alkalommal az ötöslottón kihúzott számok mindegyike 3-nak hatványa. Milyen számokat húztak ki a lottón? A kihúzott számok: 3 0 = 1, 3 1 = 3, 3 = 9, 3 3 = 7, 3 4 = 81. 5. Írjuk fel az alábbi kifejezéseket törtmentes alakban: a) 1 b) 1 16 c) 3 8 a) 1 = 1 b) 1 16 = 1 4 = 4 c) 3 8 = 3 1 8 = 3 8 1 d) 5 6 e) 1 x f) 3 x 3 d) 5 6 = 5 1 6 = 5 6 1 e) 1 x = x f) 3 x 3 = 3 1 x 3 = 3 x 3 g) a 7 h) i) 1 x 100 1 a 1 g) a = 1 7 a = 7 a 7 h) 1 = x 100 x100 i) 1 a = 1 a1 = a 6. Írjuk át az alábbi kifejezéseket úgy, hogy ne tartalmazzanak negatív kitevőjű hatványt! a) 3 1 b) 3 c) x 10 ( 1 d) ( 1 e) 3 f) 4 4 ) 1 ) ( g) a ( 1 h) x 100 i) 7 ) 3 ) 1

6 a) 3 1 = 1 3 b) 3 = 1 3 = 1 8 c) = x10 x 10 ( ) 1 1 d) = 1 = ( ) 1 e) = 3 = 9 3 f) 4 4 = 1 4 = 1 4 56 ( ) 3 ( a 3 a g) = = a ) 3 8 ( ) 1 1 h) = x 100 x 100 i) 7 = 1 7 = 1 49 7. Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét! A hatványzozás azonosságait felhasználva 64 5 3 5,5 1000 3 400 1,5. 64 5 3 5,5 1000 3 400 1,5 = ( 6 ) 5 3 (5 ),5 (( 5) 3) 3 (( 5) ) 3 = ) ) = 30 3 5,5 ( 5) 3 ( 3 ( 5) ( 3 = 8. Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét A hatványozás azonosságait felhasználva 0, 04 15 3 0, 1 4 5 6 = = 10 5 5 ( 5) ( 5) 3 = = 10 5 5 5 6 5 3 = 5 0 = 4 1 = 4. 0, 04 15 3 0, 1 4 5 6. = ( ( )) 10 (5 3 ) 3 ( 10 ) 1 = (5 ) 6 ( 5 9. Számoljuk ki az alábbi kifejezés pontos értékét! ) 4 59 ( 10 ) 1 5 1 = ( 5 = 54 5 9 5 1 = 514 5 = 5 1 51 = 5 4. 3 1 7 5 ( 1 9 ) 49 ( 1. 1 )8 ) 4 59 ( 10 )1 5 1 =

7 A hatványozás azonosságait felhasználva 3 1 7 5 ( 1 9 ) 49 ( 1 = 1 )8 = 3 1 7 5 (( 1)) 3 7 ( ) 1 8 = 3 1 7 5 3 4 7 3 8 7 = 8 3 7 = 3 8 7 5 3 8 7 = 6 7 5 ( 6) = 7 1 = 7. 10. Egy papírlap 0,1 mm vastag. Tízszer egymás után kettéhajtjuk. Milyen vastag lesz a keletkezett papír? Ha egyszer hajtjuk ketté a papírlapot, akkor -szeresére, ha -szer hajtjuk ketté, akkor 4-szeresére, stb., ha n-szer hajtjuk ketté, akkor n -szeresére változik a papír vastagsága. Így a keresett vastagság: 10 0, 1=10,4 mm=10,4 cm.

8. Gyökvonás azonosságai 1. Végezzük el a következő műveleteket! a) 50 b) ( + 8) c) 4 3 3 d) 3 e) 3 f) ( 3 8) 7 g) 3 h) 50 i) 13 + 3 13 3 j) 3 9 3 3 k) 3 4 3 16 4 3 l) 4 50 50 a) = = 5 = 5 b) ( + 8) = ( ) + 8 + ( 8) = + 16 + 8 = + 8 + 8 = 18 c) 4 3 3 = 4 3 3 = 36 = 6 d) 3 = 3 = 4 = = 4 3 3 e) = = = f) ( 3 8) = 3 8 = 8 4 = 4 7 7 g) = 3 3 = 9 = 3 h) 50 = 50 = 100 = 10 i) 13 + 3 13 3 = ( 13 + 3)( 13 3) = 13 3 = 13 9 = 4 = j) 3 9 3 3 = 3 9 3 = 3 7 = 3 k) 3 4 3 16 = 3 4 16 = 3 64 = 4 4 3 3 l) 4 = 4 = 4 16 =. Számoljuk ki a következő kifejezések pontos értékét! a) b) ( 7 + 13 + 7 13 ) ( 6 11 6 + 11 ) c) d) ( 5 + 1 + 5 1 ) ( 8 15 8 + 15 )

a) ( 7 + 13+ 7 13) = ( 7 + 13) + 7 + 13 7 13+( 7 13) = = 7 + 13 + (7 + 13)(7 13) + 7 13 = 14 + 49 13 = = 14 + 6 = 14 + 1 = 6 b) ( 6 + 11 6 11) = ( 6 + 11) 6 + 11 6 11+( 6 11) = = 6 + 11 (6 + 11)(6 11) + 6 11 = 1 36 11 = = 1 5 = 1 10 = c) ( 5 + 1+ 5 1) = ( 5 + 1) + 5 + 1 5 1+( 5 1) = = 5 + 1 + (5 + 1)(5 1) + 5 1 = 10 + 5 1 = = 10 + = 10 + 4 = 14 d) ( 8 + 15 8 15) = ( 8 + 15) 8 + 15 8 15+( 8 15) = = 8 + 15 (8 + 15)(8 15) + 8 15 = 16 64 15 = = 16 7 = 16 14 = 3. Milyen hosszú az oldala annak a négyzetnek, melynek a területe 9 cm. A négyzet területe a, így az a = 9 egyenlet megoldását keressük, ami ±3. Oldalhosszúság nyilván nem lehet negatív, így a megoldás a = 3 cm. 4. Számoljuk ki a következő kifejezések pontos értékét 9 a) 3 5 17 3 5 + 17 b) 3 1 + 19 3 1 19 c) 5 7 17 5 7 + 17 d) 4 10 + 19 4 10 19 a) 3 5 17 3 5 + 17 = (5 3 17)(5 + 17) = 3 5 17 = 3 8 = b) 3 1 + 19 3 1 19 = (1 3 + 19)(1 19) = 3 144 19 = 3 15 = 5 c) 5 7 19 5 7 + 17 = (7 5 17)(7 + 17) = 5 49 17 = 5 3 = d) 4 10 + 19 4 10 19 = (10 4 + 19)(10 19) = 4 100 19 = 4 81 = 3 5. Vonjuk össze az alábbi kifejezéseket: a) + 8 + 3 b) 3 + 7 + 43 c) 3 16 + 3 54 d) 4 3 + 4 486 e) 3 4 + 3 81 f) 15 + 5 a) + 8 + 3 = + 4 + 16 = + + 4 = 7

10 b) 3 + 7 + 43 = 3 + 9 3 + 81 3 = 3 + 3 3 + 9 3 = 13 3 c) 3 16 + 3 54 = 3 8 + 3 7 = 3 + 3 3 = 5 3 d) 4 3 + 4 16 = 4 16 + 4 81 = 4 + 3 4 = 5 4 e) 3 4 + 3 81 = 3 8 3 + 3 7 3 = 3 3 + 3 3 3 = 5 3 3 f) 15 + 5 = 5 5 + 5 = 5 5 + 5 = 6 5 6. Írjuk fel gyökjelek segítségével az alábbi hatványokat és adjuk meg a pontos értéket: a) 8 1 3 b) 4 1 c) 3 1 5 d) 5 3 e) 7 4 3 f) 100 3 g) 8 1 3 h) 4 1 i) 36 3 a) 8 1 3 = 3 8 = b) 4 1 = 4 = c) 3 1 5 = 5 3 = d) 5 3 = 5 3 = 5 5 = 5 5 = 65 e) 7 4 3 = 3 7 4 = 3 7 3 7 = 7 3 7 = 7 3 = 81 f) 100 3 = 1 = 1 100 = 1 3 100 3 100 100 = 1 100 100 = 1 1000 g) 8 1 3 = 1 8 1 3 h) 4 1 = 1 4 1 i) 36 3 = 1 36 3 = 1 3 8 = 1 = 1 = 1 4 = 1 36 3 = 1 36 36 = 1 36 36 = 1 36 6 = 1 16 7. Írjuk fel törtkitevőjű hatványok segítségével az alábbi gyököket: a) 3 a c) a 3 e) 7 x b) 4 x 3 d) 5 x 11 f) x 9 a) 3 a = a 1 3 b) 4 x 3 = x 3 4 c) a 3 = a 3 d) 5 x 11 = x 11 5 e) 7 x = x 1 7 f) x 9 = x 9

11 8. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a 3 x 3 y x y 3 kifejezést! A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: 3 x 3 y x6 x y 3 = 3 y x y 3 = 6 x 8 y 5. 9. Írjuk fel egyetlen gyökjel segítségével a a a a kifejezést! A hatványozás és gyökvonás azonosságait felhasználva: a a a a3 a = a a = a = a 4 4 a 3 = a4 a 3 = 8 a 7 10. Végezzük el a ( 3 4 + 4 8) műveletet! Elvégezve a szorzást, majd alkalmazva a gyökvonás azonosságait ( 3 4 + 4 8) = 3 4 + 4 8 = 6 4 3 + 4 8 = = 6 16 8 + 4 8 4 = 6 18 + 4 3 = 6 7 + 4 5 = = 6 6 + 4 4 = 6 + 4. 11. Bizonyítsuk be, hogy n (n N) vagy egész, vagy irracionális szám. A n nyilván lehet egész. Például 9, 16, stb. Tegyük fel, hogy n nem egész, racionális szám. Ekkor n = p, ahol p és q 1 egész számok. Feltehető, hogy p és q relatív prímek, q azaz a tört már nem egyszerűsíthető. Ekkor p és q legnagyobb közös osztója 1: (p, q) = 1. Másrészt n = p q, és mivel (p, q) = 1, ezért (p, q ) = 1, mert relatív prímek négyzetei is relatív prímek. Mivel n természetes szám, ezért q = 1, ami ellentmondás.

1 1. Fejezzük ki a T = π hg 1 képletből g t, majd számítsuk ki a g értékét, ha T =, h = 0, 994. Az egyenletet négyzetre emelve, osztva 4π h-val, majd véve mindkét oldal reciprokát T = 4π h 1 g T 4π h = 1 g 4π h T = g. Behelyettesítve a megadott adatokat g = 9, 81. 13. A relativisztikus mechanika szerint, ha az m 0 nyugalmi tömegű részecske v sebességgel mozog, akkor tömege megváltozik az c m = m 0 c v összefüggésnek megfelelően, ahol c = 3 10 8 m s a fény sebessége. a) A megadott képlet elemzésével döntsük el, hogy a részecske tömege nő, csökken, vagy változatlan marad, ha a sebessége növekszik? b) Egy elektron, melynek nyugalmi tömege 9, 1 10 31 kg, 1, 10 8 m s gyorsító berendezésből. Mekkora a tömege? sebességgel lép ki egy c) Mekkora sebességgel mozog az a részecske, melynek a tömege a nyugalmi tömegének a 110%-a? a) A jobboldali kifejezésben c és m 0 adott pozitív számok, csak a nevezőben előforduló v változhat. Ha v nő, akkor a tört nevezője csökken, így a kifejezés értéke nő. A részecske sebességének növekedésekor tehát a tömege is nő. b) Behelyettesítés után adódik. m = 9, 93 10 31 c) A feltétel szerint m = 1, 1 m 0. Ezt behelyettesítve a megadott összefüggésbe c 1, 1 m 0 = m 0 c v, amiből m 0 -al való egyszerűsítés után 1, 1 = c c v

13 adódik. Behelyettesítve a c értékét 1, 1 = 3 10 8 9 10 16 v. Beszorozva a nevezővel, majd négyzetre emelve 1, 19 (10 16 v ) = 3 10 8. Ebből kifejezve az ismeretlent, v = 1, 5 10 8 m s.

14 3. Logaritmus azonosságai 1. Adjuk meg a következő kifejezések értékét: a) log 8 b) log 16 c) log 3 9 d) log 3 7 e) log 1 f) log 3 1 3 g) log 4 16 h) log 5 1 5 i) log 1 16 j) log k) log 3 3 l) log a) log 8 = log 3 = 3 b) log 16 = log 4 = 4 c) log 3 9 = log 3 3 = d) log 3 7 = log 3 3 3 = 3 e) log 1 = log 1 = 1 f) log 3 1 3 = log 3 3 1 = 1 g) log 4 16 = log 4 4 = h) log 5 1 5 = log 5 5 1 = log 5 5 1 = 1 i) log 1 16 = log 4 = 4 j) log = log 1 = 1 k) log 3 3 = log3 3 1 = 1 l) log = log ( ) =. Adjuk meg a következő kifejezések pontos értékét: a) log 8 1 c) 4log4 ( e) 1 log 1 8 ) b) 3 log 3 7 d) log 9 f) log 111 a) log 8 = 8 b) 3 log 3 7 = 7 c) 4 log 4 1 = 1 3. Adjuk meg a 49 log 7 3 d) log 9 = 9 e) ( 1 ) log 1 8 = 8 f) log 111 = 111 kifejezés pontos értékét! A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 49 log 7 3 = (7 ) log 7 3 = 7 log 7 3 = 7 log 7 3 = 3 = 3.

15 4. Adjuk meg a 4 log 16 9 kifejezés pontos értékét! A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 4 log 16 9 = (16 1 ) log 16 9 = 16 1 log 16 9 = 16 log 16 9 1 == 5. Adjuk meg a kifejezés pontos értékét! lg +lg 3 100 A hatványozás és gyökvonás azonosságait alkalmazva 9 1 = 3. 100 lg +lg 3 = 100 lg 3 = 100 lg 6 = (10 ) lg 6 = 10 lg 6 = 10 lg 6 = 6 = 36. 6. Számítsuk ki az alábbi kifejezések pontos értékét: a) lg + 3 lg 5 + lg 18 lg 3 b) 3 lg 15 + lg + lg 14 lg 1 c) log 5 15 log 5 1 + log 5 35 a) lg +3 lg 5+lg 18 lg 3 = lg 4+lg 5 3 +lg(3 ) lg 3 = lg 4+lg 5 3 +lg 3 +lg lg 3 = lg(4 5 3 ) = lg 1000 = lg 10 3 = 3 b) 3 lg 15+ lg +lg 14 lg 1 = lg 15 3 +lg +lg 14 lg 1 = lg 153 14 1 lg 9000 = lg(1000 9) = lg 1000 + lg 9 = 3 + lg 9 15 35 c) log 5 15 log 5 1 + log 5 35 = log 5 = log 5 5 1 7. Számoljuk ki a következő kifejezés pontos értékét: 10 4+lg 5 + 3 10 3+lg 7. = lg 153 8 3 = 10 4+lg 5 + 3 10 3+lg 7 = 10 4 10 lg 5 + 3 10 3 10 lg 7 = 10 4 5 + 3 10 3 7 = = 100 5 + 10 3 = 530.

16 4. Algebrai átalakítások, nevezetes azonosságok, algebrai törtek 1. Végezzük el az alábbi szorzásokat: a) (a 4)(a + ) b) (a + 3)(a ) c) x(x 3 + x 1) d) (x 4)( + x) a) (a 4)(a + ) = a + a 4a 8 = a a 8 b) (a + 3)(a ) = a a + 3a 6 = a + a 6 c) x(x 3 + x 1) = x 4 + x x d) (x 4)( + x) = x + x 8 4x = x x 8. Bontsuk fel a zárójeleket: a) (a ) b) (x + 3) c) (x 3y) a) (a ) = a a + = a 4a + 4 b) (x + 3) = x + 3x + 3 = x + 6x + 9 d) (x + xy) c) (x 3y) = (x) x 3y + (3y) = 4x 1xy + 9y d) (x + xy) = (x ) + x xy + (xy) = x 4 + x 3 y + x y 3. Bontsuk fel a zárójeleket: a) (a + 4) 3 c) (x y) 3 b) (x + y) 3 d) (a b) 3 a) (a + 4) 3 = a 3 + 3a 4 + 3 a 4 + 4 3 = a 3 + 1a + 48a + 64 b) (x + y) 3 = x 3 + 3x y + 3xy + y 3 c) (x y) 3 = x 3 3x y+3x (y) (y) 3 = x 3 6x y+3x4y 8y 3 = x 3 6x y+1xy 8y 3 d) (a b) 3 = (a ) 3 3(a ) b + 3a b b 3 = a 6 3a 4 b + 3a b b 3 4. Végezzük el az alábbi szorzásokat: a) (a + 3)(a 3) b) (b + )(b ) c) (x y )(x + y ) d) (7 3b)(7 + 3b)

17 a) (a + 3)(a 3) = a 9 b) (b + )(b ) = b 4 c) (x y )(x + y ) = x 4 y 4 d) (7 3b)(7 + 3b) = 49 9b 5. Alakítsuk szorzattá az alábbi kifejezéseket: a) x y b) a 9 c) 4a 9b d) 16 c 4 e) 5a 5b f) 10x 40y a) x y = (x + y)(x y) b) a 9 = (a + 3)(a 3) c) 4a 9b = (a + 3b)(a 3b) d) 16 c 4 = (4 + c )(4 c ) = (4 + c )( + c)( c) e) 5a 5b = 5(a b ) = 5(a + b)(a b) f) 10x 40y = 10(x 4y ) = 10(x + y)(x y) 6. Egyszerűsítsük az alábbi törteket: a) a b b a b) x 9 x 3 c) a b a b a) a b b a b) x 9 x 3 c) a b a b = (b a) b a = 1 = (x + 3)(x 3) x 3 = (a + b)(a b) a b = x + 3 = a + b d) a a a 1 (b 5) e) 3b 15 f) d 81 5d + 45 d) a a a 1 = a(a 1) (a + 1)(a 1) = a a+1 e) (b 5) 3b 15 f) d 81 5d + 45 = (b 5) 3(b 5) = 3 = (d + 9)(d 9) 5(d + 9) = d 9 5

18 5. A szumma és a produktum jel használata 1. Végezzük el a műveleteket: a) b) c) 5 n n=1 5 (n + 1) n=1 4 (k + 4) k=1 d) e) f) 3 k(k + 1) k=1 4 k k=1 3 n + k=1 a) b) c) d) e) f) 5 n = 1 + + 3 + 4 + 5 = 15 n=1 5 (n+1) = ( 1+1)+( +1)+( 3+1)+( 4+1)+( 5+1) = 3+5+7+9+11 = 35 n=1 4 (k + 4) = (1 + 4) + ( + 4) + (3 + 4) + (4 + 4) = 5 + 6 + 7 + 8 = 6 k=1 3 k(k + 1) = 1(1 + 1) + ( + 1) + 3(3 + 1) = + 6 + 1 = 0 k=1 4 k = 1 + + 3 + 4 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 k=1 3 n + = (1 + ) + ( + ) + (3 + ) = 3 + 6 + 11 = 0 k=1. Végezzük el a műveleteket: a) b) c) 5 n n=1 5 (n + 1) n=1 4 (k + 4) k=1 d) e) f) 3 k(k + 1) k=1 4 k k=1 3 n + k=1 a) 5 n = 1 3 4 5 = 5! = 10 n=1

b) c) d) e) f) 5 (n+1) = ( 1+1) ( +1) ( 3+1) ( 4+1) ( 5+1) = 3 5 7 9 11 = 10395 n=1 4 (k + 4) = (1 + 4)( + 4)(3 + 4)(4 + 4) = 5 6 7 8 = 1680 k=1 3 k(k + 1) = (1 ) ( 3) (3 4) = 6 1 = 144 k=1 4 k = 1 3 4 = 1 4 9 16 = 576 k=1 3 n + = (1 + )( + )(3 + ) = 3 6 11 = 198 k=1 3. Végezzük el a műveleteket: a) ( 3 ) (k + n) n=1 k=1 a) b) ( 3 ) (k + n) = k=1 n=1 b) ( 3 ) (k + n) n=1 k=1 (k + 1)(k + )(k + 3) = k=1 ( 3 ) (k + n) = k=1 n=1 = (1 + 1)(1 + )(1 + 3) + ( + 1)( + )( + 3) = 4 + 7 = 96 [ ] (k + 1) + (k + ) + (k + 3) = (3k + 6) = k=1 = (3 1 + 6)(3 + 6) = 9 1 = 108 k=1 19

0 II. SZÁMOK, MŰVELETEK. 6. Binomiális tétel 1. A binomiális tétel felhasználásával végezzük el a következő hatványozásokat: a) (x + 3) 4 b) (3x + 1) 5 c) (x 3) 3 A binomiális tételt alkalmazva a) ( ) 4 (x + 3) 4 = (x) 0 3 4 + 0 + ( 4 3 d) (3x + y) 4 ( ) ( ) 4 4 (x) 1 3 3 + (x) 3 + 1 ) ( ) 4 (x) 3 3 1 + (x) 4 3 0 = 81 + 16x + 16x + 96x 3 + 16x 4 ; 4 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 5 (3x + 1) 5 = (3x ) 0 1 5 + (3x ) 1 1 4 + (3x ) 1 3 + (3x ) 3 1 + 0 1 3 ( ) ( ) 5 5 + (3x ) 4 1 1 + (3x ) 5 1 0 = 1 + 15x + 90x 4 + 70x 6 + 405x 8 + 43x 10 ; 4 5 c) x 3 7x + 7x 7; d) 81x 8 + 16x 6 y + 16x 4 y + 96x y 3 + 16y 4.

1 7. Számok normálalakja. Adjuk meg az alábbi számok normálalakját: a) 9500 c) 600 10 1 e) 0, 3 b) 3 10 10 d) 1980 10 10 f) 0, 00 a) 9500 = 9, 5 10 3 b) 3 10 10 = 3, 10 11 d) 1980 10 10 = 1, 98 10 13 f) 0, 00 = 10 3 c) 600 10 1 = 6 10 3 e) 0, 3 =, 3 10 1 3. A Föld tömege 6 10 7 g, a Nap tömege 10 33 g. Hányszorosa a Nap tömege a Föld tömegének? A Nap tömege a Föld tömegének 1033 106 = 6 107 3 -szerese. 4. Egy korong alakú vörösvértest alapkörének átmérője közelítőleg 7, 4 10 6 mm, magassága közelítőleg 10 6 mm. Mekkora a térfogata? A térfogat a V = r πm képlettel számolható ki. A sugár az átmérő fele, azaz 3, 7 10 6.Behelyettesítve az adatokat az előbbi képletbe V = (3, 7 10 6 ) π 10 6 = 13, 69 10 1 π 10 6 = 7, 38 10 18 π mm 3. adódik.

8. Középértékek 1. Határozzuk meg a 9 és 16 számok számtani és mértani közepét! A két szám számtani közepe : mértani közepük A(9; 16) = 9 + 16 = 5 = 1, 5, G(9; 16) = 9 16 = 9 16 = 3 4 = 1.. Egy egyetemi hallgató a félév végén 8 tantárgyat, összesen 7 kreditet teljesített. A vizsgajegyei: db kredites 4-es, 3 db 5 kredites 3, 1 db 1 kredites 4-es, 1 db 1 kredites -es, és 1 db 6 kredites 5-ös. Számoljuk ki a hallgató súlyozott tanulmányi átlagát! Súlyozott (ahol a súlyok a kreditek) számtani közepet kell számolnunk: 4 + 3 5 3 + 1 1 4 + 1 1 + 1 6 5 16 + 45 + 4 + + 30 = 7 30 = 97 7 3, 6. 3. Két pozitív szám összege 10. Határozzuk meg a két számot úgy, hogy szorzatuk maximális legyen. 1. Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x + y = 10. Az x és y számok számtani közepe x + y = 10 = 5, mértani közepük xy. Az xy kifejezés értéke pontosan akkor maximális, ha a xy értéke maximális a négyzetgyök függvény szigorú monotonitása miatt. A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt 5 = x + y xy, tehát xy 5, és egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha x = y, azaz x = 10, tehát x = 5. Így a keresett két szám x = 5 és y = 5.. Legyenek a keresett számok x és y. Ekkor a feltétel szerint x+y = 10. Keressük az x-et és az y-t úgy, hogy xy maximális legyen. Az x+y = 10 feltételből y-t kifejezve y = 10 x adódik. Ezt behelyettesítve az xy kifejezésbe azt kapjuk, hogy x(10 x). Felbontva a zárójelet a 10x x kifejezéshez jutunk. Ezt teljes négyzetté alakítva (x 10x) = (x 5) + 5.

Ennek akkor a legnagyobb az értéke, ha (x 5) a legkisebb, azaz ha 0, ami csak akkor lehet, ha x = 5. Ebből y = 10 5 = 5. Így a két szám x = 5 és y = 5. 3

4 9. Százalékszámítás 1. Mennyi 15000-nek a 30%-a? 15000 30 100 = 15000 0, 3 = 4500. Egy kabát ára 0%-os árleszállítást követően 8000 Ft-ba kerül. Mennyi volt a kabát ára az árleszállítás előtt? Jelöljük a kabát eredeti árát x-szel. Ekkor a feltétel szerint az x 0, x = 8000 egyenlethez jutunk. Elvégezve baloldalon az összevonást Megoldva az egyenletet x = 10000. 0, 8x = 8000. 3. Egy termék árát 5000 Ft-ról 6500Ft-ra emelték fel. Hány százalékos volt az áremelkedés? Mivel 6500 100 = 1, 3, 5000 ezért az áremelkedés 30%-os volt. 4. Mekkora összeget kap két év múlva az, aki most köti le 50000 forintját fix 1%-os kamatos kamatra? Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: ( a n = T 1 + p ) n. 100 Jelen esetben T = 50000, p = 1, n =, így két év múlva a rendelkezésre álló összeg ( 50000 1 + 1 ) = 50000 (1, 1) 88117. 100

5. Mekkora összeget helyezzünk el a bankba évi 6%-os kamatos kamatra, ha 5 év múlva 600.000 forintot szeretnénk felvenni? Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: ( T 1 + p ) n. 100 Jelen esetben T ismeretlen, p = 7, n = 5, a n = 600.000. Ezt behelyettesítve az előző képletbe ( 600.000 = T 1 + 6 ) 5 100 adódik. A jobboldalon elvégezve a műveleteket a 600.000 = T (1, 06) 5 egyenlethez jutunk. Mindkét oldalt (1, 06) 5 -el osztva T = 600.000 (1, 06) = 600.000 447.761. 5 1, 34 Így 447.761 Ft-ot kell elhelyeznünk a bankban ahhoz, hogy a kívánt összeghez jussunk. 6. Hány év alatt duplázódik meg az évi 4%-os kamatra betett pénzünk? A T = T ( 1 + 4 ) n 100 egyenletet kell megoldanunk n-re. Mindkét oldalt T -vel egyszerűsítve ( = 1 + 4 ) n. 100 Az egyenlet jobboldalán elvégezve a műveleteket az = (1, 04) n egyenlethez jutunk. Vegyük mindkét oldalnak a 10-es alapú logaritmusát: Felhasználva a logaritmus aonosságait Mindkét oldalt végigosztva lg 1, 04-el, lg = lg(1, 04) n. lg = n lg 1, 04. n = lg lg 1, 04 17, 67, tehát 18 év elteltével duplázódik meg a tőkénk a megadott feltételek mellett. 5

6 III. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK 1. (hatványfüggvények) 10. Függvénytani alapfogalmak 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? a) Minden emberhez hozzárendeljük a magasságát. b) Minden természtes számhoz hozzárendeljük a nála 1-el nagyobb természetes számot. c) Minden számhoz hozzárendeljük a négyzetét. d) Minden osztályzathoz hozzárendeljük azokat a diákokat, akiknek az év végi matematika jegye az adott osztályzat. (Feltételezzük, hogy az osztálynak legalább 6 tanulója van.) e) Minden valós számhoz hozzárendeljük a felét. A d) nem függvény, mert egy osztályzat több diákhoz is tartozhat. egyértelmű, így azok függvények. A többi leképzés. Határozzuk meg az alábbi függvény értelmezési tartományát és értékkészletét! Értelmezési tartomány: x [4, 13[, értékkészlet y [3, 8[. 3. Adott az ABC háromszög AB és AC oldala, AB = 10 cm, AC = 6 cm. A két oldal által bezárt ϕ szöghöz rendeljük hozzá a háromszög területét. Mi lesz az így kapott függvény értelmezési tartománya és értékkészlete? Egy háromszög területe a háromszög két oldalának és az általuk bezárt szög szinuszának szorzatának a fele. Így a keresett függvény: t(ϕ) = 10 6 sin ϕ = 30 sin ϕ. Így az értelmezési tartománya 0 < x < 180, értékkészlete 0 < y < 30.

4. Legyen f(x) = x + 3x 4. Számoljuk ki az valós számok! Mivel továbbá ezért f(b) f(a) b a = b a + 3b 3a b a f(b) f(a) b a f(b) = b + 3b 4, f(a) = a + 3a 4, 7 hányadost, ha a és b különböző = (b + 3b 4) (a + 3a 4) = b + 3b 4 a 3a + 4 = b a b a (b a)(b + a) + 3(b a) (b a)(b + a + 3) = = b a b a = a + b + 3. 5. Legyen f(x) = x x. Számoljuk ki az f(a + 3) f(a 3) értéket, ha a R tetszőleges. Mivel továbbá ezért f(a + 3) = (a + 3) (a + 3) = a + 6 (a + 6a + 9) = = a + 6 a 6a 9 = a 4a 3, f(a 3) = (a 3) (a 3) = a 6 (a 6a + 9) = = a 6 a + 6a 9 = a + 8a 15, f(a + 3) f(a 3) = a 4a 3 ( a + 8a 15) = = a 4a 3 + a 8a + 15 = 1a + 1. 6. Legyen f(x) = 4 x. Számoljuk ki az f(b ) f(b + ) értéket, ha b R tetszőleges. Mivel továbbá ezért f(b ) = 4 (b ) = 4 (b 4b + 4) = = 4 b + 4b 4 = b + 4b = b(b 4), f(b + ) = 4 (b + ) = 4 (b + 4b + 4) = = 4 b 4b 4 = b 4b = b(b + 4), f(b ) f(b + ) = b + 4b ( b 4b) = b + 4b + b + 4b = 8b.

8 7. Igazak-e az alábbi állítások? a) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény, amely páros. b) Van olyan, a teljes valós számok halmazán értelmezett szigorúan monoton növekvő függvény, amely páratlan. c) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páros függvény. d) Létezik a teljes valós számok halmazán értelmezett pozitív értékű páratlan függvény. e) Van olyan függvény, mely páros és páratlan is. a) Hamis. b) Igaz, például f(x) = x. c) Igaz, például f(x) = x + 1. d) Hamis. e) Igaz, például az azonosan nulla függvény. 8. Lehet-e az alábbi görbe egy szám-szám függvény képe? Nem lehet szám-szám függvény képe, mert egy x értékhez több y is tartozik. 9. Bizonyítsuk be, hogy nem létezik olyan, a valós számok halmazán értelmezett függvény, melyre f(x) + f(1 x) = 1 x. Ha x = 0, akkor azaz f(0) + f(1) = 1. Ha x = 1, akkor f(0) + f(1 0) = 1 0, f(1) + f(1 1) = 1 1, azaz f(1) + f(0) = 0. Így ellentmondáshoz jutottunk.

9 11. Elsőfokú függvények 1. Egy úszómedencét éjjel töltenek meg vízzel. Este 9 és 11 óra között az úszómedence üres. 11 órától reggel 6 óráig óránként 800 hektoliter vizet engednek egyenletes sebességgel a medencébe. 6 órakor elzárják a csapokat. Ábrázoljuk a medencében lévő víz mennyiségét az este 9 és reggel 6 óra közötti időszakban!. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 4 függvényt! A függvény f(x) = ax + b alakú, ezért a képe egy egyenes. Egy egyenest két pontja egyértelműen meghatároz. Például határozzuk meg a tengelyekkel való metszéspontokat! Ha x = 0, akkor a helyettesítési érték y = 4. A függvény zérushelye, azaz az f(x) = 0 egyenlet megoldása x =. Így azt kaptuk, hogy a függvény az x tengelyt -nél, az y-t 4-nél metszi. Ez alapján fel tudjuk rajzolni a képét: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) R monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: nincs zérushely: x = korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható

30 3. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 1 x 1 függvényt! Mivel x 1 = (x 1)(x + 1), ezért x 1 = x + 1, ha x 1. Így a függvény x = 1-nél x 1 nincs értelmezve, egyébként pedig a képe egy egyenes. Ez az egyenes az x-tengelyt 1-nél, az y-t 1-nél metszi. Így fel tudjuk rajzolni a képét: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {1} értékkészlet: f(x) R \ {} monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: nincs zérushely: x = 1 korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 4. Mi annak az elsőfokú függvénynek a hozzárendelési szabálya, mely áthalad az A(1, ) és B(, 4) ponton? Elsőfokú függvény általános alakja f(x) = ax + b. Elsőfokú függvény képe egyenes. Mivel az A(1, ) pont illeszkedik az egyenesre, ezért behelyettesítve a koordinátákat a = a + b egyenlethez jutunk. Ugyanakkor a B(, 4) pont is illeszkedik az egyenesre, így 4 = a + b. A második egyenletből kivonva az elsőt a = adódik, amit visszahelyettesítve például az első egyenletbe b = 0-hoz jutunk. Így a keresett függvény f(x) = x. 5. Az f(x) = ax + b függvényre f( ) = 5, f(3) = 5. Határozzuk meg az a és b értékeket, majd ábrázoljuk és elemezzük a kapott függvényt! A függvény pontbeli helyettesítési értéke 5, ezért 5 = a + b, továbbá a 3 pontbeli helyettesítési érték 5, ezért 5 = 3a+b. A kapott egyenletrendszert megoldva megkapjuk az a és b értékeket. A két egyenletet kivonva egymásból 10 = 5a adódik, amiből a =. Ezt visszahelyettesítve például az első egyenletbe azt kapjuk, hogy b = 1. Tehát a keresett

függvény f(x) = x + 1. Ez a függvény 1/-nél metszi az x-tengelyt, és 1-nél metszi az y tengelyt. Ez alapján fel tudjuk rajzolni a függvényt: 31 A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) R monotonitás: szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: nincs zérushely: x = 1 korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 6. Rajta van-e az A(, 1) pont az f(x) = x 3 függvény grafikonján? A pont koordinátáit behelyettesítve a 1 = 3, azaz 1 = 1 egyenlethez jutunk, ami ellentmondás, így az adott pont nem illeszkedik a függvény grafikonjára. 7. Egy országút mentén fekvő A és B városok távolsága 00 km. Reggel 8 órakor elindul A-ból B-be egy kerékpáros v k = 15 km/h átlagsebességgel, 9 órakor B-ből A felé egy versenykerékpáros v v = 35 km/h átlagsebességgel. a) Ábrázoljuk a kerékpárosok által megtett utat az idő függvényében közös koordinátarendszerben! b) Mikor találkoznak? c) Oldjuk meg a feladatot akkor is, ha a kerékpáros A-ból nem a B város felé, hanem ellentétes irányba indul el! a) A keresett út-idő grafikon:

3 b) Ha a kerékpáros t órán át közlekedik, akkor a versenykerékpáros t 1 óráig közlekedik. Ezalatt a kerékpáros 15t utat, a versenykerékpáros 35(t 1) utat tesz meg (s = v t). Együttesen 00 km utat tesznek meg, így felírhatjuk a 15t + 35(t 1) = 00 egyenletet, melynek megoldása t = 4, 7. Így azt kaptuk, hogy a kerékpáros indulása után 4, 7 órával, azaz 1 óra 4 perckor találkoznak. c) A versenykerékpáros 00 km-el több utat tesz meg, ezért a 15t + 00 = 35(t 1) egyenletet írhatjuk föl. Ennek megoldása t = 11, 75, vagyis 19 óra 45 perckor találkoznak. 8. Ábrázoljuk az függvényt! f(x) = { x, ha x 0 x, ha x > 0

33 1. Abszolútértékés függvények 1. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = x függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 0, minimum érték f(0) = zérushely: x 1 =, x = korlátosság: alulról korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = x 3 függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

34 értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 3, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 3, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 3, minimum érték f( 3) = zérushely: x 1 =, x = 4 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 3. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = 3 x+ +3 függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: maximuma van, maximumhely x =, maximum érték f( ) = 3 zérushely: x 1 = 3, x = 1 korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 4. Ábrázoljuk az f(x) = x + x függvényt! Ha x 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x + x = x. Ha x < 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = 0. Tehát a függvény képe:

35 5. Ábrázoljuk az f(x) = x + x 1 függvényt! Ha x 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x + x 1 = 3x 1. Ha x < 0, akkor x = x, így ilyenkor f(x) = x 1. Tehát a függvény képe: 6. Ábrázoljuk az f(x) = x + 3 + x 3 függvényt! Mivel az abszolútérték definíciója szerint { (x + 3) = x 3, ha x < 3 x + 3 = x + 3, ha x 3, továbbá x 3 = { (x 3) = x + 3, ha x < 3 x 3, ha x 3, ezért három esetet kell megkülönböztetnünk. Ha x < 3, akkor f(x) = x 3 x + 3 = x. Ha 3 x < 3, akkor f(x) = x + 3 x + 3 = 6.

36 Ha x 3, akkor Így a függvény képe: f(x) = x + 3 + x 3 = x. 7. Ábrázoljuk az f(x) = x + 1 x 4 függvényt! Mivel az abszolútérték definíciója szerint { (x + 1) = x 1, ha x < 1 x + 1 = x + 1, ha x 1, továbbá x 4 = ezért három esetet kell megkülönböztetnünk. Ha x < 1, akkor Ha 1 x < 4, akkor { (x 4) = x + 4, ha x < 4 x 4, ha x 4, f(x) = x 1 + x 4 = 5 = 5. f(x) = x + 1 + x 4 = x 3. Ha x 4, akkor Így a függvény képe: f(x) = x + 1 x + 4 = 5 = 5.

37 13. Másodfokú függvények 1. Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt, majd jellemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 0 monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 5, minimum érték f(5) = zérushely: x = 0 korlátosság: alulról korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható. Ábrázoljuk az f(x) = x függvényt, majd jelemezzük azt! A függvény képe: A kép alaján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 0 monotonitás: ha x 0, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x 0, akkor szigorúan monoton csökkenő

38 szélsőérték: maximuma van, maximumhely x = 0, maximum érték f(0) = 0 zérushely: x = 0 korlátosság: felülről korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 3. Ábrázoljuk függvénytranszformációs lépések segítségével az f(x) = (x 5) függvényt, majd jelemezzük azt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x 5, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 5, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely x = 5, minimum érték f(5) = zérushely: x 1 = 4, x = 6 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 4. Egyenletesen gyorsuló személygépkocsi álló helyzetből indulva 1 perc alatt 100 km/h sebességet ér el. a) Mennyi utat tesz meg ezalatt az idő alatt? b) Ábrázoljuk a jármű által megtett utat az idő függvényében! c) Mennyi idő alatt teszi meg az autó a gyorsulási útszakasz felét? a) A gépkocsi gyorsulása a = v t km 100 h = 1 min = 5 3 km min.

39 Az 1 perc alatt megtett út b) Az út-idő grafikon az s = a t = 5 6 km. s = 5 6 t. parabola: c) Az 5 6 t = 5 1 egyeneletből kapjuk a keresett eredményt. Ebből t = 1 perc, ami körülbelül 4,4 másodperc. 5. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 4x + 6 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: A függvény képe: f(x) = x + 4x + 6 = (x + ) 4 + 6 = (x + ) + A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

40 értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely: x =, minimum érték f( ) = zérushely: nincs korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 6. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 4x 1 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: f(x) = x 4x 1 = (x x) 1 = [(x 1) 1] 1 = (x 1) 3 A függvény képe: A kép alaján elemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: ha x 1, akkor szigorúan monoton csökkenő; ha x 1, akkor szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimum hely: x = 1, minimum érték f(1) = 3 zérushely: A zérushelyet a x 4x 1 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk: x 1, = 4 ± 16 + 8 4 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható = 4 ± 4 4 = ± 6.

41 7. Ábrázoljuk és jellemezzük a f(x) = x + 8x + 3 függvényt! Első lépésben teljes négyzetté alakítunk: f(x) = x + 8x + 3 = (x 4x) + 3 = [(x ) 4] + 3 = (x ) 5 A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R értékkészlet: f(x) 5 monotonitás: ha x, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: maximuma van, maximumhely: x =, minimum érték f() = 5 zérushely: nincs korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható 8. Adott az f(x) = x +3x+5 és a g(x) = x +x+9 függvény. Oldjuk meg az f(x) g(x) egyenlőtlenséget! Az egyenlőtlenséget átrendezve az f(x) g(x) 0 egyenlőtlenséget kell megoldanunk. Az f(x) g(x) = 3x + x 4 függvény zérushelyei x 1 = 4 3, x = 1. A függvény képe

4 Az egyenlőtlenség megoldása 4 3 x 1. 9. 40 km/h sebességgel haladó gépkocsi fél perc alatt 100 km/h-ra gyorsul fel. Mekkora utat tesz meg ez idő alatt? Ábrázoljuk a jármű által megtett utat az idő függvényében! A gyorsulás A fél perc alatt megtett út s = v 0 t + a t = 40 Koordinátarendszerben az a = v t = 60 1 10 = 700 km/h. 1 10 + 700 ( ) 1 = 1 10 3 + 1 4 = 7 1 km s(t) = 3 t + t függvényt kell ábrázolnunk. Ezt teljes négyzetté alakítva ( s(t) = t + 1 ) 1 3 9, így a függvény képe 10. Egy kavicsot 0 m/s kezdősebességgel függőleges irányban felfelé felhajítunk. Állpítsuk meg, hogyan függ a kavics föld felszínétől mért magassága az időtől, s ábrázoljuk a távolságot az idő függvényében! A közegellenállás elhanyagolható. A kavics földfelszíntől mért távolságát a h(t) = v 0 t g t = 0t 5t függvény írja le. Ezt teljes négyzetté alakítva h(t) = 5(t + 4t) = 5[(t + ) 4] = 5(t + ) + 0..

43 Ezt ábrázolva: A pálya legmagasabb pontja a t = s időhöz tartozó 0m. 11. Határozzuk meg az f(x) = x 7x + 1 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x 7x + 1 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 7 ± 49 48. = 7 ± 1, így x 1 = 4, x = 3. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 4+3 = 3, 5. A minimum érték f(3, 5) = (3, 5) 7 3, 5 + 1 = 0, 5. 1. Határozzuk meg az f(x) = x + 6x + 5 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x 6x + 5 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 6 ± 36 0 = 6 ± 4, így x 1 = 5, x = 1. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 5+1 = 3. A minimum érték f(3) = 3 + 6 3 + 5 = 3. 13. Határozzuk meg az f(x) = x + 4x 3 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x + 4x 3 = 0

44 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 4 ± 16 1 = 4 ±, így x 1 = 1, x = 3. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumhely a zérushelyek számtani közepe, azaz 1+3 =. A maximum érték f() = + 4 3 = 1. 14. Határozzuk meg az f(x) = x +1x 16 függvény szélsőértékének típusát, annak helyét és értékét! A függvény zérushelyeit az x + 1x 16 = 0 egyenlet megoldásával kapjuk. A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva x 1, = 1 ± 144 18 4 = 1 ± 4, 4 így x 1 =, x = 4. Mivel a függvény másodfokú tagjának együtthatója negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximum hely a zérushelyek számtani közepe, azaz +4 = 3. A maximum érték f(3) = 3 + 1 3 16 =. 15. A folyóparton 40 m hosszú kerítéssel téglalap alakú kertet kerítünk be három oldalról. A kert parttal párhuzamos oldalának hosszát jeölje x, a partra merőleges oldalak hosszát jelölje y. Hogyan válaszuk meg x és y értékét ahhoz, hogy a kert területe a lehető legnagyobb legyen? A kert kerülete x+y = 40, amiből x = 40 y. A terület t = xy = (40 y)y = 40y y. Ezt teljes négyzetté alakítva y + 40y = (y 0y) = [(y 10) 100] = (y 10) + 00, ami akkor a legnagyobb, ha y 10 = 0, azaz ha y = 10. Ekkor x = 40 y = 40 0 = 0. Tehát x = 0 m, és y = 10 m esetén lesz a legnagyobb a kert területe.

45 14. Négyzetgyök függvény 1. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x 4 1 függvényt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x 4 értékkészlet: f(x) 1 monotonitás: szigorúan monoton növekvő szélsőérték: minimuma van, minimumhely: x = 4, minimum érték f(4) = 1 zérushely: x = 5 korlátosság: alulról korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x + 3 függvényt! A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x értékkészlet: f(x) 3 monotonitás: szigorúan monoton csökkenő

46 szélsőérték: maximuma van, maximum hely: x =, maximum érték f( ) = 3 zérushely: nincs korlátosság: felülről korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 3. Az álló helyzetből egyenletes gyorsulással induló vonat 0 s alatt 00 m utat tesz meg. Ábrázoljuk a menetidőt a megtett út függvényében! Az s = a t összefüggésből a = s 00 így a = t = 1 m. A menetidő az út függvényében 400 s s t = a = s. A függvény képe:

47 15. Racionális törtfüggvények 1. Egy medencébe 5 azonos keresztmetszetű cső vezet. Ha egy csövön keresztül engedjük be a vizet, akkor a medence 4 óra alatt telik meg. a) Mennyi idő alatt telik meg a medence, ha, 3, 4, illetve 5 csövön keresztül engedjük a vizet? b) Milyen kapcsolat van a megnyitott csövek száma és a feltöltéshez szükséges idő között? c) Ábrázoljuk a töltési időt a megnyitott csövek számának függvényében! a) Általában x cső megtöltéséhez 4 x órára van szükség. b) A megnyitott csövek száma és a feltöltéshez szükséges idő között fordított arányosság van. c) A keresett függvény:. Két város távolsága 100 km. Egy autó legkevesebb 40 km/h, és legfeljebb 100 km/h átlagsebességgel teheti meg az utat. Ábrázoljuk az út megtételéhez szüksége időt az átlagsebesség függvényében! Az út megtételéhez szükséges idő és az ehhez szükséges átlagos sebesség fordítottan arányos. Az ábrázolandó függvény t = 100, 40 v 100 : v

48 3. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = 1 x 4 függvényt! A függvény képe: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {4} értékkészlet: f(x) R \ {0} monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 4 és szigorúan monoton csökkenő, ha x > 4 szélsőérték: nincs zérushely: nincs korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 4. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = 1 x+3 függvényt! A függvény képe:

49 A kép alapján jellemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ { 3} értékkészlet: f(x) R \ { } monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 3 és szigorúan monoton csökkenő, ha x > 3 szélsőérték: nincs zérushely: az 1 x + 3 = 0 egyenlet megoldása x =, 5. korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 5. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x+1 x+ függvényt! Az x + 1 x + = x + 1 x + = 1 1 x + = 1 x + + 1 átalakítás után függvénytranszformációs lépésekkel ábrázolhatjuk a függvényt: A kép alapján jellemezhetjük a függvényt:

50 értelmezési tartomány: x R \ { } értékkészlet: f(x) R \ {1} monotonitás: szigorúan monoton növekvő, ha x < és szigorúan monoton növekvő, ha x > szélsőérték: nincs zérushely: a 1 x + + 1 = 0 egyenlet megoldása x = 1. korlátosság: nem korlátos paritás: nem páros, nem páratlan periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: invertálható 6. Ábrázoljuk és jellemezzük az f(x) = x x függvényt! Ha x < 0, akkor x = x, így f(x) = 1 x. Ha x > 0, akkor x = x, így ekkor f(x) = 1 x. Így a függvény képe: A kép alaján elemezhetjük a függvényt: értelmezési tartomány: x R \ {0} értékkészlet: f(x) R \ {0} monotonitás: ha x < 0, akkor szigorúan monoton növekvő; ha x > 0, akkor szigorúan monoton csökkenő szélsőérték: nincs zérushely: nincs korlátosság: nem korlátos paritás: páros periodicitás: nem periodikus invertálhatóság: nem invertálható

51 IV. FÜGGVÉNYEK, EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK. (algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek) 16. Elsőfokú egyenletek 1. Oldjuk meg a (x ) 3(x + 1) = 3( x + 3) (x ) + 3 egyenletet a valós számok halmazán! A feladat megoldását a zárójelek felbontásával kezdjük: x 4 6x 3 = 6x + 9 x + + 3. Összevonjuk a megfelelő oldalon szereplő egynemű kifejezéseket: Mindkét oldalhoz adjunk hozzá 7x-et: Mindkét oldalhoz adjunk hozzá 7-et: amiből 3-al osztva. Oldjuk meg az x 6x 3 17 egyenletet a valós számok halmazán! 4x 7 = 7x + 14. 3x 7 = 14. 3x = 1, x = 7. = 7 14x 34 + 10x 3 4 Első lépésben beszorzunk a közös nevezővel, ami jelen esetben 68: Elvégezzük a zárójel felbontását: Az egynemű tagok összevonása után a 68x (4x 1) = 14 8x + 170x 51. 68x 4x + 1 = 14 8x + 170x 51. 44x + 1 = 14x 37 egyenlethez jutunk. Kivonva 44x-et, és hozzáadva 37-et mindkét oldalhoz az 49 = 98x egyenletet kapjuk. Mindkét oldalt elosztva 98-al, a megoldáshoz jutunk: x = 49 98 = 1.

5 3. Oldjuk meg a 7 x + 3 + 5 x 3 = 3 x 9 egyenletet a valós számok halmazán! Az x 9 kifejezés szorzat alakban írható: (x 3)(x + 3), így x 3 és x 3. Ebből láthatjuk, hogy a közös nevező (x 3)(x+3), amivel beszorozva az egyenlet mindkét oldalát adódik. Felbontva a zárójeleket a 7(x 3) + 5(x + 3) = 3 7x 1 + 5x + 15 = 3 egyenelethez jutunk. Elvégezve az összevonásokat: 1x 6 = 3. Mindkét oldalhoz 6-ot hozzáadva 1x = 9. Elosztva mindkét oldalt 1-vel, majd egyszerűsítve x = 3 4.

53 17. Elsőfokú egyenlőtlenségek 1. Oldjuk meg a 3x + 5 10 3x + 7 5 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! < x + 7 3 Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk be a közös nevezővel, 105-el: Felbontva a zárójeleket 15(3x + 5) + 1(10 3x) < 35(x + 7). 45x + 75 + 10 63x < 70x + 45. Összevonva a megfelelő oldalon szereplő egynemű kifejezéseket: 18x + 85 < 70x + 45. hozzáadva mindkét oldalhoz 18x-et, majd kivonva 45-öt, a 40 < 88x egyenlőtlenséghez jutunk. Mindkét oldalt elosztjuk 88-cal: x > 44 88. Oldjuk meg a valós számok halmazán a x + 3 3x + 4 < 5 egyenlőtlenséget! 3x + 4 0, így x 4. Rendezzük nullára az egyenlőtlenséget: 3 x + 3 3x + 4 5 < 0. Hozzuk közös nevezőre! (Nem szorozhatunk be vele, mert nem tudjuk az előjelét.) x + 3 5(3x + 4) < 0. 3x + 4 Bontsuk fel a számlálóban a zárójelet: x + 3 15x 0 < 0. 3x + 4 Elvégezve az összevonást 13x 17 < 0. 3x + 4 Egy törtet kaptunk, aminek negavítnak kell lenni. Ez csak úgy lehet, hogy ha a számláló és a nevező különböző előjelű.

54 Első eset: a számláló pozitív és a nevező negatív, azaz a (I.) 13x 17 > 0 és 3x + 4 < 0. egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása: x < 17 ( = 51 ), 13 39 a második egyenlőtlenség megoldása x < 4 3 ( = 5 ). 39 Így a fenti (I.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása x < 4 3. Második eset: a számláló negatív és a nevező pozizív, azaz a (II.) 13x 17 < 0 és 3x + 4 > 0 egyenlőtlenségeknek egyszerre kell fennállniuk. Az első egyenlőtlenség megoldása x > 17 13, a második egyenlőtlenség megoldása x > 4 3. Így a fenti (II.) egyenlőtlenség-rendszer megoldása: x > 17. A feladatban kitűzött egyenlőtlenség megoldása az (I.) és (II.) egyenlőtlenség-rendszerek megoldáshalmazainak uniója: 13 { M = x R x < 4 } vagy x > 17. 3 13 3. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a n + 5 3n + 4 n + 3 3n + 1 < 0 egyenlőtlenséget! Beszorozzuk az egyenlőtlenség mindkét oldalát (3n + 4)(3n + 1)-el. Mivel ez a kifejezés pozitív, ezért az egyenlőtlenség iránya nem változik meg a szorzás során: Felbontva a zárójeleket: Felbontjuk a még meglévő zárójelet: Összevonva az egynemű kifejezéseket: (n + 5)(3n + 1) (n + 3)(3n + 4) < 0. 6n + 17n + 5 (6n + 17n + 1) < 0. 6n + 17n + 5 6n 17n 1 < 0. 7 < 0,

55 ami azonosság, így az egyenlőtlenségnek minden természetes szám megoldása. 4. Határozzuk meg azt a legkisebb pozitív egész számot, amely eleget tesz a n n + 3 < 1, (n N) 100 egyenlőtlenségnek! Az abszolútértéken belül közös nevezőre hozva n (n + 3) n + 3 < 1 100. Elvégezve a zárójelfelbontást és az összevonást: 6 n + 3 < 1 100. Egy tört abszolútértékét úgy kapjuk, hogy a számlálónak és a nevezőnek is vesszük az abszolútértékét: 6 n + 3 < 1 100. Beszorozzuk mindkét oldalt 100(n + 3)-al. Mivel ez a kifejezés pozitív, ezért a beszorzás során a reláció iránya nem változik meg: 600 < n + 3. Mindkét oldalból kivonunk 3-at: 597 < n. Ennek az egyenlőtlenségnek eleget tevő legkisebb pozitív egész szám: n = 598.

56 18. Másodfokú egyenletek 1. Oldjuk meg az egyenletet a valós számok halmazán! x + 5x + 6 = 0 Az ax + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenlet megoldóképlete: x 1, = b ± b 4ac. a Jelen esetben a = 1, b = 5, c = 6. Így a megoldások Tehát x 1 =, x = 3. x 1, = 5 ± 5 4 6 1 = 5 ± 1.. Oldjuk meg az x 5 = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet olyan hiányos mádofokú, melynél az elsőfokú tag hiányzik. mindkét oldalhoz 5-öt: x = 5, amiből x = ±5. Adjunk hozzá (Egy másik megoldási mód: (x 5)(x + 5) = 0, szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0.) 3. Oldjuk meg az x 5x = 0 egyenletet a valós számok halmazán! Az egyenlet olyan másodfokú egyenlet, melynél a konstans tag hiányzik. Emeljük ki az egyenlet bal oldalán az x-et. Ekkor x(x 5) = 0. Egy szorzatot kaptunk, ami 0. Ez csak úgy lehet, ha valamelyik tényező 0. Így x = 0 vagy x 5 = 0, amiből x = 5.

4. Oldjuk meg a pozitív számok halmazán a egyenletet! x x 3 = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 1 ± ( 1) 4 ( 3) = 1 ± 5 4 4, amiből az egyik megoldás x 1 = 3, a másik x = 1. Mivel a pozitív számok halmazán keressük a megoldást, ezért a 1 nem megoldás, így az egyenlet egyetlen gyöke 3. 5. Határozzuk meg az egyenlet valós megoldásait! 3x 7 x + 5 = x 3 x + Először megállapítjuk, mikor nincs értelmezve a bal és jobb oldalon álló kifejezés: x és x 5. Az egyenlet mindkét oldalát szorzzuk be (x + 5)(x + )-vel: Elvégezve a szorzást (3x 7)(x + ) = (x 3)(x + 5). 3x + 6x 7x 14 = x 3x + 5x 15. Összevonva az egyenlet megfelelő oldalain szereplő egynemű tagokat: 3x x 14 = x + x 15. Rendezzük 0-ra az egyenletet: x 3x + 1 = 0. Alkalmazzuk a másodfokú egyenlet megoldóképletét: x 1, = 3 ± ( 3) 4 = 3 ± 1 4 4, így x 1 = 1 és x = 1, melyek valós megoldásai az egyenletnek. 57

58 19. Másodfokú egyenlőtlenségek 1. Oldjuk meg az a) x x 6 < 0 b) x x 6 0 c) x x 6 > 0 d) x x 6 0 egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! Először megkeressük az f(x) = x x 6 függvény zérushelyeit. Ehhez meg kell oldanunk az x x 6 = 0 egyenletet. A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 1 ± ( 1) 4 ( 6) = 1 ± 5. Ebből x 1 = 3, x = adódik. Ennek segítségével felvázolhatjuk a másodfokú függvény grafikonját: Az f függvény grafikonjáról a következők leolvashatók: - Ha x<-, akkor a függvényértékek pozitívak, - Ha x=-, akkor a függvényérték 0, - Ha -<x<3, akkor a függvényértékek negatívak, - Ha x=3, akkor a függvényérték 0, - Ha x>3, akkor a függvényértékek pozitívak. A fentieket figyelembe véve a megoldások: a) < x < 3 (ezt így is írhatjuk: x ], 3[) b) x 3 (ezt így is írhatjuk: x [, 3]) c) x < vagy x > 3 (ezt így is írhatjuk: x ], [ ]3, + [) d) x vagy x 3 (ezt így is írhatjuk: x ], ] [3, + [). Oldjuk meg az a) x + 6x 5 < 0 b) x + 6x 5 0 c) x + 6x 5 > 0 d) x + 6x 5 0

59 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Először megkeressük az f(x) = x + 6x 5 függvény zérushelyeit. Ehhez meg kell oldanunk az x + 6x 5 = 0 egyenletet. A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint x 1, = 6 ± 6 4 ( 1) ( 5) = 6 ± 4. Ebből x 1 = 1, x = 5 adódik. Ennek segítségével felvázolhatjuk a másodfokú függvény grafikonját: Az f függvény grafikonjáról a következők leolvashatók: - Ha x<1, akkor a függvényértékek negatívak, - Ha x=1, akkor a függvényérték 0, - Ha 1<x<5, akkor a függvényértékek pozitívak, - Ha x=5, akkor a függvényérték 0, - Ha x>5, akkor a függvényértékek negatívak. A fentieket figyelembe véve a megoldások: a) x < 1 vagy x > 5 (ezt így is írhatjuk: x ], 1[ ]5, + [) b) x 1 vagy x 5 (ezt így is írhatjuk: x ], 1] [5, + [) c) 1 < x < 5 (ezt így is írhatjuk: x ]1, 5[) d) 1 x 5 (ezt így is írhatjuk: x [1, 5])