Kvantuminformatikai alapismeretek összefoglalása

Kvantuminformatikai alapismeretek összefoglalása sa Gyöngy ngyösi LászlL szló BME Villamosmérn rnöki és s Informatikai Kar

Támadás s kvantumszámítógéppel Egy klasszikus algoritmusnak egy U unitér transzformáci ció feleltethető meg. Minden klasszikus algoritmus megvalósíthat tható unitér r transzformáci cióval egy kvantumszámítógépben A szuperponált kezdőállapot segíts tségével pedig párhuzamosan végrehajthatv grehajtható az előírt művelet m az összes lehetséges bemenő adatra A műveletvm veletvégrehajtás s teljes mértm rtékben párhuzamosan törtt rténik

A kvantumhálózat működésének m elméleti leti alapjai A kvantumszámítások sok során n kihasználhat lható kvantumjelenségek: Szuperpozíci ció Összefonódott állapotok Hullámf mfüggvények interferenciája Kvantumalgoritmusok Kvantum-teleport teleportáció Kvantum-párhuzamoss rhuzamosság Kvantum keresés

Vezérelhet relhető kvantumkapu Bármilyen U kvantumkapu működése m vezérelhet relhető Vezérlő kvantumbit U n db cél kvantumbit Ha a vezérlő kvantumbit magas szintű, akkor az U transzformáció végrehajtódik. A CNOT ekvivalens egy kontrollált-x kapuval

Kvantum-transzform transzformációk U u u = 1 u u 1 11 unitér akkor, és csak akkor, ha UU * * u u u u 1 = = = 1 1 u u u u * 1 1 11 * 1 11 I

Unitér r transzformáci ciók U U 1 = = = UU U U I = 1 1 1 = = = 1 1 1. = 1 1 1 = = = 1 1 1 = i i 1 = = = i i 1 2 II I I 2 XX X I 2 YY Y I 1 1 1 1 1 1 2 ZZ = Z = = = I...

Kvantum-transzform transzformációk 1 1 1 1 α + 1 + = 1 α1 α α α α 1 1

Kvantum-transzform transzformációk H mátrix alakban: 1 1 2 2 1 1 2 2 ϕ mátrix alakban: 1 i e φ

Motiváci ció Megbízhatunk zhatunk-e e a jelenlegi titkosítási si technikákban? kban? A napjainkban alkalmazott titkosítási si eljárások ereje a gyakorlati feltörhetetlens rhetetlenség biztosításában ban rejlik Elméletileg letileg azonban feltörhet rhetőek ek A feltörés s sikere a birtokunkban lévől számítási si kapacitást stól függ A modern titkosítás s alapköve: RSA (1977: Rivest-Shamir Shamir-Adleman) A hatékonyabb feltöréshez vezető lehetséges utak: Elméleti leti jellegű áttörés s a matematikában Kevésb sbé valósz színű Gyakorlati jellegű,, technikai áttörés Kvantumszámítógépek megjelenésével

Motiváci ció A szilíciumchipek sebessége másfm sfél évente megkétszerez tszereződik A Moore-törv rvény alapján n 217-re egy bit informáci ciót t egy atomban fogunk kódolni k A hagyományos, napjainkban alkalmazott technológi giák k pár p éven belül elérik a végsv gső fizikai határokat Hogyan tovább?

Fejlődési ütem Forradalom a számítástechnik stechnikában? Dinamikusan fejlődő tudományter nyterület Folyamatos kutatás s a világ g számos országában Már r elérhet rhető a működőképes m kvantumszámítógép A tudományos publikáci ciók, cikkek száma az elmúlt lt néhány n ny évben exponenciális sebességgel növekszik n Óriási lehetőségek a kvantumjelenségek kihasználásban sban: Összefonódott állapotok Teleportáci ció Szupersűrűségű tömörítés Kvantum hibajavítás Kvantumkriptográfia

A kvantuminformatika megjelenése

Kvantuminformatika Aki a kvantummechanikát tanulmányozza, nyozza, és s nem szédül l bele, az nem is érti. rti. Niels Bohr A kvantumvilágban tapasztalható jelenségek a klasszikus, hétköznapi felfogásunkt sunktól l nagymért rtékben különbk nböznek Egy kvantumrendszerben az elvégzend gzendő feladatok szuperpozíci ciós állapotba hozhatók, azaz egyidejűleg végrehajthatók. A szuperpozíci ció felhasználásával N db kvantumbittel 2 N művelet hajtható végre egyidejűleg!

Kvantumállapotok jellemzése valósz színűségi amplitúdóik ik alapján ψ = α + β 1 1 1 ψ = 1 2 2 1 1 α + β 1 Normáltsági feltétel α 2 + β 2 = 1 1 1 1 2 2 P() = P(1) = 1 2

A kvantumbit Egy klasszikus bittel ellentétben, tben, a kvantumbit nem csupán n a vagy 1 állapot valamelyikében lehet, hanem a két k állapot közötti k szuperpozíci cióban is. Kvantumbit megvalósítása sa Pl. hidrogén atommal Alapállapot: Gerjesztett állapot: Feles spinű részecskékkel, kkel, pl. elektron, proton

Kvantumállapot mérésem A mérés m s kvantum-áramk ramkörös s jelölése ψ M (A kimenet egy klasszikus érékű bit lesz) Ha ψ = α + β 1 akkor: M = : vagy M = 1: α β 2 2 valószínűséggel valószínűséggel

EPR állapotok felhasználása sa EPR jelenség (Einstein, Podolsky, Rosen) A pár p r egyik tagja valamilyen egyértelm rtelmű kvantumállapotba kerül, akkor a pár p r másik m tagja, a másik m részecske r kénytelen k ezzel ellentétes tes állapotot elfoglalni. A szubatomi részecskék k között k mesterségesen létrehozhatl trehozható A kapcsolat megmarad bármekkora b távolst volság g esetén n is Összefonódott állapotok felhasználása sa Teleportáci ció: nem közvetlenk zvetlenül l a részecskét t teleportáljuk ljuk át, hanem egy létező elemi részecske r állapotát, azaz tulajdonságait visszük át t egy másik, már m r létezl tező elemi részecskr szecskére. A kvantumállapot átviteléhez nincs szüks kség g a két k t részecske r fizikai kapcsolatára, így összefonódott állapotokat használunk lunk.

RSA feltörése: prímfaktoriz mfaktorizáció Az NFS algoritmussal egy 53 bites szám m faktorizáci ciója, 14 PC-vel 1 hónapig h tartott Moore törvt rvénye alapján, 218-ra 14 PC teljesítm tménye megfelel 1. mai PC teljesítm tményének nek (1-szeres növekedn vekedés) Mire lesz elég? Klasszikus rendszerek esetén, a faktorizált számok méretében 18 bites növekedés érhető el egy év alatt. Az NFS algoritmussal elérhető eredmények, klasszikus rendszerekben - 768 bites RSA kulcsot 21-re, míg egy 124 bites RSA kulcsot 218-ra leszünk képesek feltörni a jelenlegi klasszikus architektúrákkal.

Mennyire kell tartanunk a kvantumszámítógépek támadt madásától? Peter Shor prímfaktoriz mfaktorizációs s algoritmusa Amíg g a prímfaktoriz mfaktorizáció klasszikus rendszerekben exponenciális, addig kvantumos rendszerekben négyzetes növekményű végrehajtási időt t igényel Peter Shor Az RSA feltörése egy 16 klasszikus számítógépb pből álló hálózatnak 8 hónapigh tartott. Ugyanezen feladat egyetlen kvantumszámítógéppel néhányny másodperc alatt végrehajthatv grehajtható. Az alapprobléma: Egy nőn még g mindig kiszámíthat thatóbb, mint az elektron. Az első kereskedelmi forgalomban is kapható kvantumszámítógép p bemutatása D-Wave,, 27. február r 13. Mérő László Mérő László

Kvantuminformatika Egyéb b eredmények: Adatbázis szűrés Lov Grover kvantumalgoritmusa Az 56 bites DES feltörése kvantumszámítógéppel 185 lépésbl sből végrehajtható (másodperc töredt redéke) Mai klasszikus rendszerű szuperszámítógépnek pnek 1 év Adott egy adatbázis USA lakosságával: 27 adat Egyetlen elem megtalálásához klasszikus rendszerben átlagosan 27 /2 = 135 millió lépés s szüks kséges A kvantumos változat v esetében kb. 16 ezer lépésből l megtalálhat lható a keresett elem

Kvantum operátorok Egy kvantumrendszeren belül, l, minden kvantum-transzform transzformáció reverzibilis A klasszikus Boole-algebra felett értelmezett operátorok esetén n ez nem követelmény Egy reverzibilis művelet m mindig megadható egy unitér r mátrixm formájában: ( U T )* = U 1

Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk A klasszikus rendszerkehez hasonlóan, an, a logikai műveletek végrehajtv grehajtásához hoz különbk nböző kvantum kapukat definiálhatunk α + β 1 α + β 1 X Z β + α 1 α β 1 α + β 1 H α + 1 1 1 + β 2 2

Kvantum CNOT kapu Klasszikus rendszerek esetén n a NAND kapu az ún. univerzális kapu A NAND kapuk segíts tségével tetszőleges áramkör r felépíthet thető NOT kapu NAND-ból ÉS kapu NAND-ból VAGY kapu NAND-ból Létezik kvantum rendszerekben UNIVERZÁLIS kvantum kapu?? Vagyis, bármilyen b tetszőleges, n kvantumbiten elvégezhet gezhető logikai művelet felépíthet thető véges számú elemi kvantumkapuból l? Igen, kvantumrendszerek esetében is létezik l univerzális kapu, azonban ezen kapu működése m klasszikus rendszerkben nem értelmezhető.

Az univerzális kvantum kapu Controlled-NOT (CNOT) kapu A két k t bementi kvantumbit: vezérl rlő és s cél c l kvantumbit A A B B A Ha a vezérlő kvantumbit, akkor a célbit változatlan marad : vagy 1 1. Egyébként a célbit értéke negálódik : 1 11 vagy 11 1. A kimenet : AB, AB, A

Az elemi CNOT kapu CNOT kapu működése m leírhat rható a klasszikus XOR művelet segíts tségével: CNOT A, B = A, B A A CNOT kapu működési m elve: A vezérlő kvantumbit A B cél kvantumbit B A

Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? - Klasszikus rendszerek esetén n egy tetszőleges bit másolása sa az XOR művelettel m megvalósíthat tható: másolandó bit eredeti bit x x x x y x y x bemenet másolt bit

Lényegesebb alap kvantum-kapuk kapuk Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? Hogyan alakul a helyzet egy kvantumrendszeren belül? l? másolandó kvantumbit ψ = a + b 1 a + b 1 Kimenet a + b 1 a + b 11 bemenet

Kvantumállapot másolhatatlansm solhatatlansága Készíthető kvantumbit-másol soló kapu? Vajon? ψ ψ = a + b 11 ( )( ) 2 2 ψ ψ = a + b 1 a + b 1 = a + ab 1 + ab 1 + b 11 Azaz, egy kvantumállapot nem másolhatm solható,, hiszen ab. 2 2 a + ab + ab + b a + b 1 1 11 11. Vagyis, egy ismeretlen kvantumállapot lemásol solása sa NEM LEHETSÉGES! - NO CLONING TÉTELT TEL -

Kvantumkriptográfia A fotonok polarizáci ciós állapotainak összefoglalásasa Ortogonális bázisvektorokb Szuperpozíci ciós állapot leírása valósz színűségi amplitúdókkal Az állapothoz tartozó valósz színűségi amplitúdók, valamint a használt bázisb orientáci ciója meghatározz rozzák a mérési m eredmények kimenetelét. t.

A kvantumkriptográfia működési elve

Kvantumkriptográfia A kvantumkriptográfi fiában a biteket a fotonok polarizáci ciós s szögével reprezentáljuk Az egyeseket és s nullákat rektilineáris ris és diagonális bázisokkal kódoljuk k A téves bázisb zisú mérések irreverzibilis változást okozhatnak a kvantumrendszerben

Kvantumkriptográfia A rektilineáris ris és s diagonális szűrőkkel előáll llítható fotonok, és s azok bináris értékei

Kvantumkriptográfia A fotonok értékeinek dekódol dolására kétfk tféle bázist b választhatunk A vevő rektilineáris ris polársz rszűrővel tökéletesen t azonosítja a függőlegesen és vízszintesen polarizált lt fotonokat, az átlósakat azonban nem, mivel azokat véletlenszerűen en függf ggőlegesnek vagy vízszintesnek v mérim

Kvantumkriptográfia Ha a vevő diagonális szűrőt t alkalmaz, akkor az átlósan polarizált lt fotonokat tökéletesen felismeri, de a vízszintesen és függőleges fotonokat helytelenül átlós s polarizálts ltságúaknak azonosítja tja. A kapott bit értéke így véletlenszerű lesz.

Kvantumkriptográfia alkalmazása A kommunikáci ció résztvevői Alice Eve Bank Kvantumcsatorna Publikus csatorna

Kvantumkriptográfia alkalmazása A kvantumcsatorna egyirány nyú,, Alice-től l a Bank felé A kvantumcsatornát, t, így az ott folyó kommunikáci ciót t a kvantummechanika alaptörv rvényei védik v A kvantumcsatornán n törtt rténik a titkos kulcs kialakítása Szimmetrikus, OTP kulcs A publikus csatorna kétirányú A detektorok egyeztetésére használjuk

Kvantumkriptográfia alkalmazása A kommunikáci ció során n Alice és s a Bank a kvantumcsatornán keresztül l hozza létre l a titkos kulcsot A használt bázisokat b és s a kulcs elemeit a publikus csatornán keresztül l egyeztetik

Kvantumkriptográfia alkalmazása A protokoll támadt madása

Kvantumkriptográfia alkalmazása Eve megjelenése a protokollban Mi teszi lehetetlenné a lehallgató dolgát? Eve egy fotont csak egyszer mérhet be Nincs informáci ciója a bemérend rendő foton bázisb zisáról Az elfogott fotonok felét t tudja csak helyesen bemérni A detektoregyeztetés s során n a felek téves t detektorválaszt lasztásaihoz saihoz tartozó bitek kikerülnek a kulcsból Ez az informáci ció a lehallgatón n nem segít, mivel a Bank által helyesen bemért fotonok felét t szintén n tévesen t határozta meg A téves t bázisb zisú lehallgatás s irreverzibilis változv ltozásokat okoz a rendszerben!!

Kvantumkriptográfia Animáci ció: : A protokoll működésének m bemutatása

Kvantumkriptográfia Összefoglalás Jelenleg nem kínál k l előny nyöket, mert az RSA révén r rendelkezésünkre nkre áll a gyakorlatilag feltörhetetlen kódk A kvantumszámítógépek megjelenéséig még m g biztonságban vagyunk A kvantumkriptográfia nem csupán n gyakorlatilag feltörhetetlen kód, hanem abszolút értelemben is az. A kvantumelmélet let lehetetlenné teszi, hogy Eve helyesen értelmezze az Alice és s Bob között k kialakult kulcsot A lehallgatási próbálkoz lkozásokat pedig Alice és s Bob azonnal észreveszi Kijelenthető,, hogy ha egy kvantumkriptográfi fiával titkosított tott üzenetet valaha is megfejtenének, nek, akkor hibás s a kvantumelmélet, let, ami az egész fizikát t alapjaiban döntend ntené össze

Kvantumkriptográfia Az első kvantumkriptográfi fiára épülő banki tranzakció 25: Ausztria, BécsB A megvalósításhoz shoz szüks kséges eszközök k már m r elérhet rhetőek ek a piacon Quantique, Magiq A technológia jelenleg még m drága,a potenciális vásárlv rlói i kör k r is meglehetősen szűkre szabott Elsődleges célcsoport c jelenleg: Kutatóint intézetek, kormányzati hivatalok, bankok, üzleti élet, nemzetbiztonság, katonaság

Valódi véletlenszámgenerátor Kvantum-véletlensz letlenszámgenerátor Foton alapú véletlenszám m előáll llítás 3 féle f implementáci ció PCI, USB, OEM-chip Valódi véletlenszv letlenszámok előáll llítása 4/16 Mbps-es sebességgel Alacsony költsk ltségek Szélesk leskörű felhasználási si lehetőség Kvantumkriptográfia PIN generálás Statisztikai kutatások Numerikus módszerek m alkalmazása Szerencsejátékok, stb

Kvantumbitek ábrázolása

Kvantuminformáci ció ábrázolása A kvantumbit A kvantumbit állapotának leírására ra a Dirac-féle braket szimbólumot használjuk Ket: : oszlopvektor Bra: : sorvektor, ket adjungáltja Azaz a sorvektor az oszlopvektor komplex konjugált elemeinek transzponáltja A szuperpozíci ciós állapot szemléltet ltetésére pedig a Bloch-gömb mböt

Kvantuminformáci ció ábrázolása e iθ = cosθ + isinθ iφα iφβ ψ = α + β 1 = re + re 1 iθ z = a + bi = r(cos θ + i sin θ) z = re. α β α 2 2 + β = 1 ψψ =1 A kvantumbiteken végrehajtható U unitér transzformációk megadhatóak elemi forgatási transzformációkkal.

Kvantuminformáci ció ábrázolása Az I-transzformáció az ún. identitás transzformáció, amely transzformáció esetén a kimeneti kvantumállapot megegyezik a bementi kvantumállapottal. Az I-transzformáció tehát a következőképpen írható le: σ I = I 1 = 1 ekkor 1 1 a b = a b, így φ = a + b 1. Az X-transzformáció egy kvantumbit állapotát negálja. A kimeneti állapotot így a következőképpen írhatjuk le: φ = σx ψ σ X = 1 X = 1 ekkor 1 1 φ = a 1 + b. a b = b a,

Kvantuminformáci ció ábrázolása Az Y-transzformáció a negáló és komplex-fázisfordító transzformáció, amelyet a következőképpen adhatunk meg: σ Y = Y j = j ekkor j j így φ = j a 1 j b. a b = b j a, A kiindulási állapotot kék színnel, a transzformált φ = j a 1 j b kimeneti kvantumállapotot pedig zöld színnel jelöltem.

Kvantuminformáci ció ábrázolása A Z-transzformáció a fázisfordító transzformáció. A transzformációval előállítható kimeneti φ kvantumállapot a következőképpen határozható meg: σ Z = 1 Z = 1 ekkor 1 1 φ = a b 1. a b = a b, A kék színnel jelölt ψ = a + b 1 kiindulási kvantumállapoton végrehajtott σ transzformáció eredményét Z

Kvantuminformáci ció ábrázolása A Hadamard-transzformáció képes arra, hogy egy bázisállapotban lévő kvantumbitet szuperponált állapotba vigyen. Ennek értelmében, ha egy n-bites kvantumregiszter minden kvantumbitjére Hadamard-transzformációt alkalmazunk, a kvantumregiszterben -tól 2 n -1 -ig az összes szám szuperpozíciós állapotát kezelhetjük párhuzamosan. 1 1 1 σ H = H = a 2 1 1 b = 1 a b +, 2 a b így φ = 1 ( + 1) a + 1 ( 1) b. 2 2 Amíg tehát egy klasszikus regiszter csak egy konkrét számot kezel egyidejűleg, addig egy kvantumregiszteren elvégzett művelet egyszerre kerül végrehajtásra az összes, 2 n értéken. 1 ψ = + 2 ( 1 )

Kvantuminformáci ció ábrázolása

Több kvantumbites rendszer Két kvantumbites kvantumrendszer leírása: Lehetséges bázisállapotok: ( α + α 1 ) ( β + β 1 ) 1 1 = 1 = 1 1 = 1 1 1 = 11 A bázisállapotokhoz tartozó valószínűségi amplitúdókkal: αβ + αβ 1 + αβ 1 + αβ 11 1 1 1 1 vektor alakban: αβ αβ α1β α1β1 1 α = α 1 β β 1

Több kvantumbites rendszer A két kvantumbites α + α 1 + α 1 + α 1 1 1 1 11 kvantumrendszer bemérésekor a x y kimenet valószínűsége: α xy 2

Több kvantumbites rendszer A szuperponált két kvantumbites α + α 1 + α 1 + α 1 1 1 1 11 kvantumrendszer valószínűségi amplitúdói: 2 2 2 2 + + + = 1 1 1 11 α α α α Azonban nem minden két kvantumbites rendszer adható meg tenzor-szorzat alakban. A felbonthatatlan kvantumállapotok az összefonódott kvantumállapotok.

EPR állapotok Nem összefonódott két kvantumbites állapot: 1 ξ = ( + 1 ) 2 1 1 1 Vektor formában: ξ = 2 1 1 1 1 1 Sűrűségmátrix formájában: ρξ = ξ ξ =. 2 Az állapot felbotható részrendszerek tenzorszorzatára: ρ ξ 1 1 1 1 = 2 1 1

EPR állapotok Összefonódott állapot : + 1 Ψ = + 2 ( 11 ) 1 1 + + 1 Sűrűségmátrix : ρ + =Ψ Ψ =, Ψ 2 1 1 Az összefonódott állapotok nem bonthatóak fel részrendszerek tenzorszorzatára!

Összefonódott állapotok létrehozása Az összefonódott állapotok létrehozásához mindösszesen egy Hadamard kapura, illetve egy CNOT kapura lesz szükségünk: x y Kimenet 1 2 ( + 11 ) x H 1 1 2 ( 1 + 1 ) y 1 1 2 ( 11 ) 1 1 1 2 ( 1 1 )

Az áramkör r működésem H 1 2 ( + 1 )? CNOT + 2 1 = = = + 1 CNOT 2 1 2 1 2 ( CNOT + CNOT 1 ) ( + 11 )

EPR állapotok felhasználása sa A kvantumszámítógépek közti k adatátvitelhez tvitelhez ne legyen szüks kség közvetlen fizikai kontaktusra az egyes kvantumbitek közöttk A kvantumbitek fizikai realizáci ciója legyen a lehető legegyszerűbb Foton alapú kommunikáci ció helyett lézernyall zernyaláb, vagy mikrohullám Az összefonódott állapotban lévől kvantumbitek egy kvantum-buszon keresztül l kommunikálnak egymással A kvantum-busz fizikai megvalósítása sa lehet: lézer vagy mikrohullám

Kvantum-transzform transzformációk Unitér r transzformáci ciók A kvantumkapuk és s a felépített kvantumáramk amkörök reverzib ibilisekilisek (nincs informáci cióveszteség) Kimeneti szálak száma = Bemeneti szálak száma A kimenet a bemeneti eneti vektorok permutáci ciója Klasszikus logikai szabályrendszerek leírhat rhatók Kvantumjelenségek gek: kvantumállapotok fázisa, f összefonódottság

Kvantum-transzform transzformációk Átvitel-bemenet nélkn lküli li összeadás megvalósítása sa Alapprobléma: : A klasszikus sum = x 1 x és carry = x 1 x függvények implementálása x 1 x y 1 y U add x 1 x y 1 carry y sum

Kvantum-transzform transzformációk A félösszeadó unitér r mátrixa: m U ADD = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Kvantum-transzform transzformációk Half Adder : egyszerűsített implementáci ció x 1 x C 2 NOT (Toffoli) CNOT x 1 sum y y carry

Kvantum-transzform transzformációk c n 1 Klasszikus összeadó a b a 1 b 1 s s 1 s 2 a 2 b 2 s 3 a 3 Sum b 3 c n Carry

Kvantum-transzform transzformációk Kvantumösszeadó σ x : Pauli-féle X transzformáció, NOT művelet Irányított-σ x : controlled-not, CNOT kapu Controlled-controlled σ x = Toffoli-kapu Controlled σ x = C-NOT kapu

Elemi kvantumáramk ramkörök Reverzibilis áramkörök: k: ötlet megszület letése a 8-as években (Feynman), cél: c energiaveszteség g minimalizálása Bennett, Toffoli: bármilyen klasszikus logikai transzformáci ció megvalósíthat tható reverzib ibilisilis műveletekkel Annyi bemenő bit értékét t kell a kimeneten megőrizni, amelyből egyértelm rtelműen en eldönthet nthető a bemenő bitek értéke. i n bemenet Klasszikus logikai függvény m kimenet f(i) i Reverzibilis kvantum függvény irreleváns állapotok f(i) kiegészítő kvantumbitek

Elemi kvantumáramk ramkörök Hogyan állítható elő a klasszikus kus f függvény kvantumos változata? A függvf ggvény legyen f :i f(i), n bemenettel el és m kimenettel Kvantum-kim kimenet reverzibilis: : a klasszikus megvalósításhoz shoz képest k n bit extrae kimenet + m bit extra bemenet szüks kséges A klasszikus f függvény kvantumos változata így: f rev : i, j i, f(i) j ahol az XOR művelet Valósítsuk meg az ÉS S függvf ggvény kvantumos változatv ltozatát: t: f(a,b) ) = AND(a,b a,b) a b c Reverzibilis ÉS kapu a b f = ab c a b c a b f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Elemi kvantumáramk ramkörök A kapott kvantum-transzform ranszformációt a Toffoli kapuval realizálhatjuk lhatjuk AND művelet: c =, esetén NAND művelet: ha c = 1. a b c Reverzibilis ÉS kapu a b f = ab c a b c a b f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Elemi kvantumáramk ramkörök Reverzibilis kvantum kapuk: Minden klasszikus logikai függvf ggvény leírha rható univerzális kvantum műveletekkelm Nem létezik l három h bemenetűnél kisebb univerzális reverzibilis kvantumkapu

Elemi kvantumkapuk ismertetése se

Elemi kvantumáramk ramkörök NOT Bemeneti állapot: c + c 1 1 Kimeneti állapot: c 1 + c 1 A NOT leképezés: 1 és 1 A transzformáci ció mátrixa: (NOT)(NOT NOT)= )=Identitás transzformáci ció 1 1 1 1 1 1 = 1 1 NOT NOT NOT

Elemi kvantumáramk ramkörök GyökNOT Imaginárius elemek A transzformáci ció mátrixa: i/ 1/2 1/ 1/2 1 i 1 = 1/ 1/2 i / 1/2 2 1 i Így a kimenetelekk valósz színűsége: : i/ 2 2 = ½ és 1 : 1/ 2 2 = ½. A véletlenszerv letlenszerű viselkedés s eliminálhat lható: (NOT lesz) 1 2 i 1 i 1 1 i 1 i = i i NOT NOT

Elemi kvantumáramk ramkörök Komplex elemek helyett csak valós értékekkel számolunk: 1 1 1 i 1 1 1 1 2 2 =. 2 1 i 2 1 1 1 1 2 2 Funkcionalitása azonos: Véletlenszerű kimenet Konkatenáci ciója NOT transzformáci ció 1 1 1 1 2 2 2 2 1 =. 1 1 1 1 1 2 2 2 2

Elemi kvantumáramk ramkörök Hadamard 1 2 1 1 1 1 H 1/ 2 + 1/ 2 1 és 1 1/ 2 1/ 2 1. Az 1/ 2 normalizálást elhagyva: x (-1) x x 1 x Fázisfordítás 1 e iφ φ

Univerzális kvantum-transzform transzformációk Követelmény: U tetszőleges ψ állapot A Hadamard és fázisfordító kapukból felépíthető minden 1-kvantumbites, univerzális műveletm Példa: Az áramkör kimenete: ψ = cos θ + e iφ sin θ 1 H 2θ H π 2 + φ

Elemi kvantumáramk ramkörök Controlled NOT (CNOT) kapu x y CNOT x x y 1 1 1 1 x y x x y CNOT leképez pezés: x x x σ x 1 x NOT x x x x NEM KLÓNOZ NOZÁS!!! Csak és s kizárólag ismert, és 1 bázisállapotokra okra érvényes!

Az elemi kvantumáramk ramkörök felépítése Univerzális lis, reverzibilis kapu A végrehajtv grehajtás s során n nem veszítünk informáci ciót A Toffoli kapu a z értékét akkor módosm dosítja, ha x és s y is 1 : ( ) T x, y, z = z xy.

Elemi kvantumáramk ramkörök Controlled CNOT (C 2 NOT vagy Toffoli kapu) 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c a b ab c

Elemi kvantumáramk ramkörök Irány nyított U unitér transzformációk: u u 1 u 1 u 11 U U U U C(U) C 2 (U)

Elemi kvantumáramk ramkörök Bármilyen C 2 (U) kapu felépíthet thető CNOT,, illetve C(V) és C(V ) kapukból, ahol V 2 = U = U V V V 1/2 (1+i) (1-i) (1-i) (1+i) (1-i) (1+i) 1/2 (1+i) (1-i)

Elemi kvantumáramk ramkörök Az áramkör r működése m kontrollbit esetén 1 1? = 1 1 1 1 1 1 x U x x V x x V V V x

Az áramkör r működése m aktív v kontroll esetén 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? = 1 1 1 1 x U U x x V x V x V V V U x

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság alkalmazása

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Bármilyen bináris f függvényre, ahol f :,1,1, { } { } létrehozható olyan U f unitér r kvantumáramk ramkör, r, amellyel elvégezhet gezhető az f függvény által meghatározott műveletm Azaz, minden klasszikus rendszerű f művelet egyértelm rtelműen en megfeleltethető egy kvantum- transzformáci ciónak: U f : x, y x, y f ( x) bináris összeadás

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Mire képes k a megkonstruált U f kvantumáramkörünk? 1 x y x U f y f(x) A kvantumáramkör kimenete: f f ( 1 ) ψ = U = U 1 =, 1 f ()

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Mi törtt rténik, ha a bemenetre szuperpozíci ciós állapotot adunk? 1 2 ( + 1 ) 1 x y x U f y f(x) Kvantum párhuzamosság!!! Az f() és az f(1) értékét egyetlen bemeneti bittel meghatároztuk. ψ + 1 = U f 2 + 1 = U f 2, f () + 1, f (1) = 2, f () + 1, f (1) = 2

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság Egyetlen lépésben l meghatározhatjuk a következő művelet értékét: t: f () f(1) Egy klasszikus rendszerben ehhez a következk vetkező lépéseket kellene végrehajtanunkv grehajtanunk: 1. Az f() értékének kiszámítása sa 2. Az f(1) értékének kiszámítása sa 3. A két k t eredmény bináris összeadásasa Ahol az f továbbra is: f {,1} {,1} :

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) ψ = 1 ψ 1 = + 2 1 2 1

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) ψ 2 + 1 1 ha f() = f(1), ± 2 2 = 1 1 ha f() f(), 1 ± 2 2

Kvantum párhuzamossp rhuzamosság H x x H 1 H y U f y f(x) A kapott eredmény átírása után: ψ 3 1 = ± f( ) f(1) 2 Azaz, megkaptuk a keresett műveleti értéket: f ( ) f (1) Az f kiegyensúlyozott vagy konstans? Egyetlen lekérdezéssel megválaszoltuk.

Kvantum keresés implementálása

Kvantum keresés A kvantum-keres keresési si algoritmus szemléltet ltetése: általában az adatbázis zis-keresésen sen keresztül Szemléletesebb letesebb példap lda: gráfsz fszínezés Gráfszínezési probléma megoldása kvantum-kereséssel 4 2 1 5 3 Feladat: közös éllel rendelkező csomópontok kiszínezése eltérő színnel Cél: kiszínezés végrehajtása minimális számú színnel 4 2 1 3 5 6 7 6 7 A gráf 3-színnel kiszínezhető

2 1 4 3 1. csomópont lehetséges színei Gráf színezés kvantum-algoritmussal Az összes lehetséges színkombináció 2. csomópont lehetséges színei 3. csomópont lehetséges színei 4. csomópont lehetséges színei 1 kimenet: akkor és csak akkor, ha a csp. 1 és csp. 2 színe eltérő 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 F(x) ÉS művelet: 1 kimenet csak a keresett színezés esetén

Az összes lehetséges kombináció előállítására a Hadamard transzformációt alkalmazzuk > > > H H H H Az összes lehetséges színkombináció H 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 f(x) A Hadamard transzformációval a kvantumállapotok szuperponált állapotba kerültek ÉS művelet: 1 kimenet csak a keresett színezés esetén Az összes lehetséges bemeneti kombinációt egyidejűleg vizsgálhatjuk!

Gráf f színez nezés s kvantum-keres keresésselssel

> 1 2 n ( ) f ( x 1 ) ( x 1 ) Az orákulum egy Karnaugh táblának feleltethető meg Minden helyes mintermre (1) -1 kimenettel 1> orákulum f(x) Rossz mintermek () kódolása: 1 A Hadamard transzformációkkal előállított szuperponált állapotokkal az összes lehetséges helyes mintermet párhuzamosan határozhatjuk meg

Kvantum-keres keresés: s: Belső f függvény meghatároz rozása 1 lépésbenl

A lehetséges belső f függvf ggvények A kvantum kereséssel egyetlen lekérdezésből megállapíthatjuk a belső orákulum függvény típusát.

Az orákulum tulajdonságai Az f : {,1} 2 {,1} belső függvény kimenete csak egyetlen x {,1} 2 bementre 1: f (x) = 1 Cél: azon x {,1} 2 bemenet megtalálása, amelyre f (x) = 1 A négy lehetséges belső függvénytípust egyetlen lekérdezésből megállapíthatjuk!

Kimeneti állapot: A belső f függvény leképezése: x 1 x 2 y f x 1 x 2 y f(x 1,x 2 ) Előállítjuk az összes lehetséges bemeneti kombinációt az f: függvény teszteléséhez 1 H H H Kvantum keresés f A bemeneti állapot: ( + 1 + 1 + 11 )( 1 ) (( 1) f() + ( 1) f(1) 1 + ( 1) f(1) 1 + ( 1) f(11) 11 )( 1 ) A helyes bemenetek a kvantumállapotok fázisában kódolva jelennek meg!

H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M állapot = 1 állapot =.353 -.353.353 -.353.353 -.353.353 -.353 állapot =.353 -.353.353 -.353.353 -.353 -.353.353 állapot =.353 -.353.353 -.353.353 -.353 -.353.353 állapot = -.353.353.353 -.353.353 -.353.353 -.353 állapot = -.5.5.5 -.5 állapot = -.5.5.5 -.5 ab c 1 1 11 1 ab c 1 1 1.3,3 11.3,3 1.3,3.3,3 ab c 1 1.3,3 11 -.3,3 1.3,3.3,3 ab c 1 1.3,3 11 -.3,3 1.3,3.3,3 ab c 1 1 11 1 -.3,3.3,3.3 -,3.3,3 ab c 1 1 11 1 -.5,5.5,5 ab c 1 1 11 1 -.5,5.5 -.5

H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M áll. =.353 -.353.353 -.353.353 -.353 -.353.353 áll. = -.353.353.353 -.353.353 -.353.353 -.353 áll. = -.5.5.5 -.5 áll. = -.5.5.5 -.5 áll. = -.353.353.353 -.353.353 -.353 -.353.353 áll. = -.353.353.353 -.353.353 -.353 -.353.353 áll. = -1 áll. = 1 ab c 1 1.3,3 11 -.3,3 1.3,3.3,3 és 11 közötti fáziscsere ab c 1 1 11 1 -.3,3.3,3.3 -,3.3,3 Hadamard: és 11 megkülönböztetése ab c 1 1 11 1 -.5,5.5,5 Ha az első bit 1 invertáljuk a 2.-at ab c 1 1 11 1 -.5,5.5 -.5 ab c 1 1 11 1 -.3.3.3 -.3 -.3.3.3 -.3 Invertálás és 11 között ab c 1 1 11 1 -.3.3.3 -.3 -.3.3.3 -.3 Hadamard ab c 1 1 11 1-1

H H X X H f H H X H H X H 1 H H M M M ψ = + 1 + 1 + 11 ψ 1 =+ 1 + 1 + 11 ψ 1 =+ + 1 1 + 11 ψ 11 =+ + 1 + 1 11 A Hadamard transzformáció után már ismert a helyes megoldás a -1 fázis alapján. Azonban a megoldás ekkor még a komplex Hilbert-térben értelmezett. A megoldást valahogyan ki kell nyernünk. A helyes kimenethez tartozó fázis: -1.

Minden helyes színezési lehetőség negatív fázissal jelenik meg Inicializáló állapot > Hadamard transzformáció Orákulum: komparátorok, ÉS kapuk Hadamard transzformáció Bemeneti bitek Orákulum kimenete

Kvantum keresés A node az U = UU iterációt többször alkalmazza a kvantumregiszterre I s k Az iteráció eredményeként a keresett k állapotot kiemeli a ψ állapotból Az iteráció leírható egy θ szögű forgatási transzformációval is, amelyre Az U iteráció j alkalommal történő végrehajtása után az ψ állapotból I kiemelhetjük a keresett k állapotot. 2 1 θ = 2 n sin. A k állapot valószínűségi amplitudója ekkor: (( ) ) a = sin 2 j+ 1 θ. j k

Kvantum keresés A ψ vektor tükrözése L-en Az ψ vektor elforgatása

Kvantum keresés L és L közti távolság: 1 2 θ Tetszőleges ψ állapot elforgatása 2θ -vel: 1. ψ tükrözése L mentén 1 2. Kapott eredmény tükrözése L mentén Egy iterációs lépé s: ψ elforgatása 2θ -vel 2

Kvantum keresés π 2θ Az U I iterációt j = alkalommal végrehajtva az ψ kindulási állapoton, 4θ a keresett k állapot fázisa: így az állapot előfordulási valószínűsége a node kvantumregiszterén belül: Hibázási valószínűség: j a k ( 2 j 1) + θ π 2, π = sin = 1. 2 N π 12, ha a node az U I iterációt int szer hajtja végre. 4θ

Kvantum teleportáci ció

SWAP állapotok felcserélése A A A ( A B) = B B B A B A B A B ( A B) = A

A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 + Ψ M2 X M2 Z M1 ψ ψ 1 ( α + β 1 ) ( 11 ) + = ψ Ψ = + 2

A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 + Ψ M2 X M2 Z M1 ψ ψ 1 2 ( α ( + 11 ) + β 1 ( 11 )) 1 = +

A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 M2 + Ψ X M2 Z M1 ψ ψ 2 = 1 2 1 ( α + β 1 ) + 1 ( α 1 + β ) + ( ) ( ) α β 1 + 11 α 1 β

A csomópontok kommunikáci ciója- Kvantumteleportáci ció ψ H M1 M2 + Ψ X M2 Z M1 ψ, 1, 1 vagy 11

Kvantumteleportáci ció - Összefoglalás Alice Bob kvantumbitje α + β 1 I 1 α 1 + β X 1 α β 1 Z 11 α 1 β Y = ZX Bob transzformáci ciója Eredmény α + β 1

Kvantumteleportáci ció - Összefoglalás A teleportáci ció segíts tségével egy adott kvantumbit újraépíthető egy fizikailag különbk nböző helyen, azonban az eredeti kvantumállapot megsemmisül A teleportáci cióhoz szüks kséges EPR állapotok elemi kvantumáramk ramkörökkelkkel létrehozhatóak ak Olcsó megvalósítás, s, hatékony működésm A kvantumteleportáci ció kombinálhat lható a kvantum-párhuzamoss rhuzamosság jelenségével A párhuzamos, p elosztott rendszerű kvantumhálózat hatékonys konysága tovább fokozható