Searching in an Unsorted Database "Man - a being in search of meaning." Plato
History of data base searching v1 2018.04.20. 2
History of data base searching v2 2018.04.20. 3
History of data base searching v3 2018.04.20. 4
History of data base searching v4 Grover algorithm 2018.04.20. 5
Objectives Finding a certain entry in a database N items of size. The DB is unsorted. The DB contains M copy of the requested entry. Best classical solution: N question. How can be exploited quantum phenomena? x =?
General model of quantum algorithms Classical input Quantum output Initialization Parallelization Amplitude ampl. Measurement Quantum input Classical output
Grover operator
Grover operator T = H
Grover operator
Geometrical interpretation
Required number of iterations
Error analysis
Questions What will happen if M=N/2? What shall we do if M>N/2? Is it possible to find the marked item with a single step? How to decrease the error probability? Idea No. 1. Idea No. 2. 2018.04.20. 14
Quantum counting special phase estimation Calculation of M can be traced back to phase estimation on the Grover operator.
Quantum counting special phase estimation
RSA feltörése Grover algoritmussal Brutális!
Multiuser detection based on Grover algorithm
Direct sequence spread spectrum DS SS 3G mobile Gyorsan változó kód (chip) nagyfrekis komponensek j ( f ) s ( f ) Kóder t ( f ) r ( f ) Dekóder ~ ( ) f Szûrõ ( ) f c(t) Álvéletlen zaj vagy álvéletlen kód Szinkronizálás c(t)
Keskenysávú interferencia elnyomása s ( f ) t ( f ) j ( f ) S s0 S t0 S j0 B B t s S j0 f f f S j0 B s r ( f ) B j S t 0 S j0 B s B B j t B t ~ ( ) f S s0 S j0 B B j t B j ( ) f S s0 f f f B t B t B s
Feldolgozási nyereség PG: Processing Gain Tulajdonképpen a kiterjesztés mértéke PG=kiterjesztett sávszélesség/eredeti sávszélesség A gyakorlatban SF=chipsebesség/bitsebesség SF: spreading factor
Kódosztás CDMA: Code Division Multiple Access A spektrumkiterjesztés a felhasználókhoz rendelt ortogonális kódokkal Kombinált PHY + MAC Kódok ortogonalitása korlátozott
Detektálás
Detektálás
Detektálás
Kvantum többfelhasználós detekció Feladat: DS-CDMA rendszerben együttes detekció a bázisállomáson. Vett komplex alapsávi jel:
A detektor kimenete: Egyfelhasználós detekció
Kvantum többfelhasználós detekció MLS, Maximum Likelihod Sequence (jointly optimum) detekció: MBER, Minimum Bit Error Ratio (individually optimum) detekció:
Kvantum többfelhasználós detekció Csatorna mátrix:
Komplexitás: Kvantum többfelhasználós detekció
Kvantum egzisztencia tesztelés
Kvantum egzisztencia tesztelés Cél: annak eldöntése, hogy a keresett elem egyáltalán előfordul-e az adatbázisban? Klasszikus bonyolultság: O(N). Speciális fázisbecslés a Grover-operátoron. Fázisbecslés: Unitér operátor sajátértéke: Fázis: Fázistényező közelítése:
Kvantum fázisbecslés komplexitás: p qbit Klasszikus bizonytalanság Kvantum bizonytalanság
Kvantum bizonytalanság
Kvantum egzisztencia tesztelés Klasszikus bizonytalanság Komplexitás:
Kvantum egzisztencia tesztelés Hiba, ha az MSB biten 0-tól eltérő érték van.
Kvantum egzisztencia tesztelés Kvantum bizonytalanság: Komplexitás: p
Kvantum szélsőérték keresés Klasszikus rendezetlen adatbázis Rendezés + Logaritmusos keresés A rendezés nem mindig tehető meg! A klasszikus logaritmusos keresés kombinálása kvantum egzisztencia teszteléssel
Kvantum szélsőérték keresés Adatbázis (függvény!): Feladat: A kereső algoritmus: Grover kereséssel: Komplexitás:
Alap Grover-algoritmus A Grover-algoritmus hiányosságai: Az index regiszter bemeneti állapota rögzített (valós, egyenletes amplitúdó eloszlás). Nem biztosított az 1 valószínűségű találat.
Általánosított Grover-algoritmus 1.1. tézis 2-dimenziós bázis a V térben: Egyes speciális állapotok nem képezhetők le. Általánosított Grover-operátor:
Meghatározandó paraméterek és nem ismert!
Általánosított Grover-operátor Feltétel: legyen az, térben. Q megőrzi a teret. Q alakja a V 2-dimenziós térben Q sajátértékei:
Lépésszám Illesztési feltétel: lépésszám
Optimális lépésszám Az 1 valószínűségű találathoz szükséges lépésszám: