Botzheim János Számítási intelligencia Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Mechatronika, Optika és Gépészeti Informatika Tanszék Graduate School of System Design, Tokyo Metropolitan University
I. Fuzzy rendszerek
I.1. Bevezetés, motivációk
Motivációk Hogyan lehetne automatikussá tenni azokat az összetett funkciókat, amelyek megvalósítására az ember könnyedén képes pl.: autóvezetés Nehezen kezelhető feladatok Számos, az ember által többé-kevésbé megoldható feladat a klasszikus matematikai módszerekkel nehezen vagy egyáltalán nem kezelhető Az emberi intelligencia elemeit modellezve a nagybonyolultságú rendszerek kezelése megvalósítható intelligens, ún. soft computing technikákkal Intelligens alapmódszerek Fuzzy rendszerek, neurális hálózatok, evolúciós algoritmusok Jellemző a biológiai és filozófiai indíttatás
Egy összetett probléma Sok komponensű, összetett rendszer. De az emberek képesek megoldani. Spóroljunk üzemanyagot, spóroljunk időt stb.
Homokkupac paradoxon
Homokkupac paradoxon ebből az következik, hogy homokkupac = 0 ennek oka: a homokkupacot nem definiáltuk elég pontosan gond: egy precíz matematikai definíció nincs összhangban a homokkupac hétköznapi fogalmával probléma: a precíz fogalmakat használó matematika nem alkalmas a pontatlan fogalmak formális kezelésére kérdés: ki tudjuk-e terjeszteni a matematikát úgy, hogy képes legyen pontatlan fogalmakat is kezelni?
I.2. Fuzzy halmazok
Fuzzy halmaz, fuzzy logika Fuzzy: homályos, életlen Lotfi A. Zadeh (1965): fuzzy halmazelmélet a nyelvi fogalmakban lévő pontatlanság kifejezésére Fuzzy logika: Zadeh, 1973 Fuzzy következtetés nyelvi szabályokkal: Zadeh: 1973 Mamdani: 1975
Fuzzy halmaz Elmosódott határ: pl.: magas emberek : mennyire eleme egy ismert magassággal rendelkező ember ennek a halmaznak? Részleges tagság: 0 és 1 között: van aki jobban beletartozik, van aki kevésbé Milyen mértékben tartozik x a halmazba? tagsági függvény
Egy példa Pl. Egy hallgatói csoport Alaphalmaz: X 1 0 1 1 0 1 1 Kinek van jogosítványa? X egy részhalmaza az A (crisp) halmaz c A (X) = karakterisztikus függvény Ki tud jól vezetni? m(x) = tagsági függvény 0.7 0 1.0 0.8 0 0.4 0.2
Egy másik példa példa az emberek magasságait leíró 3 fuzzy halmazra a halmazok részben átfedhetik egymást egy ember több halmazba is beletartozhat, különböző tagsági értékkel m 1 alacsony középtermetű magas 0 160 170 180 190 200 x [cm]
Definíciók Crisp halmaz: Konvex halmaz: A nem konvex, mert a A, c A, de d=la+(1-l)c A, l [0, 1]. B konvex, mert minden x, y B és l [0, 1]-re: z=lx+(1-l)y B. Részhalmaz: a A b A x B A x y y B c d a b A (crisp halmaz) Ha x A akkor x B. A B
Definíciók Egyenlő halmazok: Ha A B és B A akkor A=B, különben A B. Valódi részhalmaz: Ha létezik legalább egy y B úgy, hogy y A akkor A B. Üres halmaz Karakterisztikus függvény: m A (x): X {0, 1}, ahol X az univerzum (alaphalmaz). 0 érték: x nem eleme az A halmaznak, 1 érték: x eleme az A halmaznak.
Definíciók A={1, 2, 3, 4, 5, 6} Számosság: A =6. Az A hatványhalmaza: P (A)={{}=Ø, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {1, 4, 6}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {2, 4, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. P (A) =2 6 =64.
Definíciók Relatív komplemens vagy differencia: A B={x x A és x B} B={1, 3, 4, 5}, A B={2, 6}. C={1, 3, 4, 5, 7, 8}, A C={2, 6}! Komplemens:, ahol X az alaphalmaz. A komplemensképzés involutív: Alaptulajdonságok: Unió: A B={x x A vagy x B} Alaptulajdonságok:
Definíciók Metszet: A B={x x A és x B} Alaptulajdonságok: További tulajdonságok: kommutativitás: asszociativitás: idempotencia: disztributivitás: A B=B A, A B=B A. A B C=(A B) C=A (B C), A B C=(A B) C=A (B C). A A=A, A A=A. A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C).
További tulajdonságok: DeMorgan törvény: Definíciók Diszjunkt halmazok: A B=. Az X alaphalmaz partíciója:
Tagsági függvény Crisp halmaz Fuzzy halmaz Karakterisztikus függvény Tagsági függvény m A :X {0, 1} m A :X [0, 1]
Fuzzy halmazok - példa Évek Csecs emő Feln őtt Fiatal Idős 5 0 0 1 0 10 0 0 1 0 20 0.8.8.1 30 0 1.5.2 40 0 1.2.4 50 0 1.1.6 60 0 1 0.8 70 0 1 0 1 80 0 1 0 1
Fuzzy halmazok - tulajdonságok mag: tartó: α-vágat: magasság: