1 Két statikai feladat Az interneten találtuk az [ 1 ] feladatgyűjteményt és benne két érdekes feladatot. Úgy tűnik, hasznos lehet megoldásuk, feldolgozásuk. Az 1. feladat nagyon ismerősnek tűnt. Ez nem a véletlen műve, hiszen mint hamar kiderült ezzel találkoztunk már a [ 2 ], [ 3 ] munkákban is. 1. feladat 1. ábra Egy sima, mozdulatlan, függőleges tengelyű, r sugarú félgömbben nyugszik egy homogén, vékony rúd, melynek hossza: l > 2r. Mekkora része lóg ki a félgömbből? Most tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra
2 Először a geometriai viszonyokat kell tisztázni. Ez egy 3 erő egyensúlya - típusú feladat, ahol a 3 erő: ~ a G = mg súlyerő; ~ az R A támaszerő; ~ az R C támaszerő. Ezek hatásvonalainak az M pontban kell metsződnie, egyensúly esetén. Mivel nincs súrlódás, így az R C támaszerő merőleges a rúdra, az R A támaszerő pedig sugárirányú, azaz merőleges a gömb felületére. A G súlyerő a homogén tömegeloszlású rúd hosszának felében működik. A CB = t kilógó szakasz hosszát kell meghatároznunk. Thalész tétele értelmében a DAC szög is derékszög. Így azonban AD CM, vagyis kirajzolódik az ACMD téglalap, melynek átlói 2r hosszúságúak. A ) Analitikus megoldás Ennek során a síkbeli erőrendszerre vonatkozó statikai egyensúlyi feltételi egyenletekkel dolgozunk. Egy nyomatéki egyensúlyi egyenlet: ( 1 ) Egy vízszintes vetületi egyensúlyi egyenlet: ( 2 ) majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel: ( 3 ) Egy függőleges vetületi egyensúlyi egyenlet: innen ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal is: kiemeléssel: azonos átalakításokkal:
3 közös nevezőre hozva: összevonva: ismert trigonometriai azonosságokkal: tehát: ( 4 ) Az egyensúlyi helyzetet jellemző φ szöget a ( 4 ) egyenlet megoldása adja. Átalakításokkal ( 4 ) - ből: cos2 1 ; rendezve: a másodfokú egyenlet megoldó - képletével: ( 5 ) figyelembe véve, hogy ( 6 ) így ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) A kilógás mértéke a 2. ábra szerint: ( 8 ) most ( 7 / 1 ) és ( 8 ) - cal:
4 tehát: ( 9 ) Látjuk, hogy ( 9 ) megegyezik az 1. ábrán közölt eredménnyel. Ezután a ( 3 ) és ( 4 ) képletekkel: tehát: ( 10 ) A támaszerők nagysága most már az ( 1 ), ( 7 ) és ( 10 ) képletekkel számítható. A [ 2 ] műben megjegyzik, hogy az egyensúly feltétele az itteni jelölésekkel : ( 11 ) Ugyanis ( 11 ) - ben az egyenlőség határesetét véve: ( 11 / 1 ) majd ( 7 / 1 ) - gyel is: ( 12 ) Ekkor ( 9 ) - ből ( 11 / 1 ) - gyel: tehát: ( 13 )
5 Fentiek szerint adott r gömbsugár esetén a rúd l hosszára fennáll az alábbi korlátozás: ( 14 ) A ( 11 / 1 ) és ( 13 ) összefüggések esetét a 3. ábra mutatja. Megjegyzések: 3. ábra M1. A 2. ábrán a félkört kiegészítve mondhatjuk, hogy az M és N pontok is körpontok. A 2. ábráról nem biztos, hogy jól leolvashatóak, ezért e tényeket megerősítjük. Ugyanis AM = 2r: körátmérő, az ANM szög adottan derékszög, így Thalész tétele miatt is az M és N pontok rajta vannak az r sugarú körön. M2. A 2. ábrán az M pont a mozgónak képzelt rúd momentán centruma is, hiszen M az A és C pontbeli sebességvektorok egyenesére merőleges egyenesek metszéspontja. M3. Az a tény, hogy a rúd 2. ábrabeli helyzete az egyensúlyi helyzet, még a virtuális munka elve alapján is belátható. Ekkor ugyanis egy m forgatónyomaték hatására a rúd az M pont körül δϕ virtuális elfordulást végezne, melynek következtében a rúd S súlypontja olyan δr virtuális elmozdulást kapna, amelyre δr = MS δϕ. Ez azonban merőleges G hatásvonalára, így a virtuális munka tételével: m δϕ + G δr = 0 m δϕ + 0 = 0 m = 0, vagyis a rúd egyensúlyban van: azaz nincs szükség m - re ahhoz, hogy az adott helyzetben egyensúlyban maradjon. Ezzel eleget tettünk az 1. ábra 1 / 2. feladat - felhívásának is.
6 B) Grafo - analitikus megoldás Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra Itt a folytonos nyílértelemmel záródó vektorháromszöget is megrajzoltuk. Ebből szinusztétellel: ( 15 ) Hasonlóan: ( 16 ) Most ( 15 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) Megállapíthatjuk, hogy ( 10 ) és ( 15 ), valamint ( 2 ) és ( 17 ) megegyeznek. A φ - re vonatkozó meghatározó egyenlet még így is felállítható: a 2. ábra alapján írhatjuk, hogy
7 ( 18 ) Most megállapíthatjuk ( 4 ) és ( 18 ) egyezését. Ezzel az 1. feladatot megoldottuk. 2. feladat ( 5. ábra ) 5. ábra Egy homogén, l hosszúságú láncot ráfektetünk egy trapéz keresztmetszetű, mozdulatlan prizma a < l hosszúságú felső lapjára. A trapéz szárai a vízszintessel α és β szöget zárnak be. Milyen helyzetben lesz egyensúlyban a sima prizma lapjain fekvő apró szemű lánc? Útmutatás: Vezessük be a lánc ρ lineáris sűrűségét és a bal oldalon lelógó lánc s hosszát! A megoldáshoz tekintsük a következő ábrákat is! ~ A 6. ábrán azt láthatjuk, hogy a prizmára fekvő lánc / kötél szakaszhosszait hogyan jelöltük. Ezzel kapcsolatos az alábbi összefüggés: 6. ábra ( 1 )
8 ~ A 7. ábrán a ferde lánc -, illetve kötél - ágra ható megoszló erőrendszereket tüntettük fel. 7. ábra A lánc egy ds hosszúságú elemi darabjára ható dg elemi súlyerő nagysága: ( 2 ) ahol ρ a lánc lineáris sűrűsége, g a nehézségi gyorsulás nagysága, γ a lánc lineáris súlya, ill. folyómétersúlya. Az α hajlású lapon fekvő lánc egy ds hosszúságú elemi darabjára ható dn elemi kereszt - irányú teher nagysága, ( 2 ) - vel is: ( 3 ) Az α hajlású lapon fekvő egy ds hosszúságú elemi darabjára ható df elemi hosszirányú teher nagysága, ( 2 ) - vel is: ( 4 ) A megfelelő megoszló teherintenzitások, ( 3 ) és ( 4 ) - gyel is: ( 5 ) ( 6 ) A súrlódásmentesség következménye, hogy a q n intenzitású megoszló terheléssel szemben fellép a vele azonos nagyságú, ellentétes nyílértelmű n intenzitású reakció - erőrendszer, a q t intenzitású megoszló terheléssel szemben azonban nem, így azt a láncban ébredő húzó - erőnek kell egyensúlyoznia. Ahogyan a 7. ábrán is feltüntettük, a láncban ébredő húzóerő F nagyságára, ( 6 ) - tal is: ( 7 ) ~ A 8. ábrán a prizma felső lapján felfekvő láncdarabot és a reá ható tengelyirányú erőket tüntettük fel.
9 8. ábra Innen a 6. ábrát is tekintve leolvasható, hogy pl.: ( 8 ) Ez megegyezik a ( 7 ) - ből s = s 1 helyettesítéssel kapható értékkel. Most meg kell határoznunk a 8. ábrán jelölt F 1 és F 2 láncerők összefüggését. ~ A 9. ábrán a prizma A jelű sarkának felnagyított képét mutatjuk. 9. ábra Itt azt láthatjuk, hogy az éles sarok helyett egy r sugarú lekerekítést vettünk fel. A lánc végeit az F 1 és F 2 erők húzzák, a prizma pedig egy p intenzitású megoszló erőrendszerrel terheli a lánc testét; utóbbi eredője a P erő. Az α hajlású lapon és a vízszintes lapon fekvő láncvégek érintői éppen α szöget zárnak be egymással. Egy t - menti vetületi egyenlettel_ ( 9 ) Teljesen hasonlóan a B jelű sarokra: ( 10 ) Most ( 9 ) és ( 10 ) szerint:
10 ( 11 ) Ámde a β hajlású láncdarabra, ( 8 ) - hoz hasonlóan: ( 12 ) Majd ( 8 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: ( 13 ) A ( 13 ) összefüggés azt jelenti, hogy a láncvégek egyező magasságban vannak, egyensúly esetén. Most ( 1 ) és ( 13 ) - mal: ( 1 / 1 ) vagy ( 14 ) egyezően az 5. ábrán közölt megoldással a jelölésbeli kis eltéréstől eltekintve. Megjegyzések: M1. A láncra az a hosszúságú vízszintes szakaszon hat a függőleges hatásvonalú, γ intenzitású megoszló terhelés, valamint ennek ellentettje, mint reakció - erőrendszer. M2. Meghatározhatjuk a 8. ábra szerinti p megoszló teherintenzitás értékét is. Ehhez egy n - menti vetületi egyenletet írunk fel, ( 11 ) - et is felhasználva: ( 15 ) ámde feltéve, hogy p = állandó :
11 tehát: ( 16 ) ahol h: a húrhossz. Így ( 15 ) és ( 16 ) - tal: tehát: ( 17 ) Majd ( 8 ), ( 11 ), ( 14 ) és ( 17 ) - tel: tehát: ( 18 ) Minthogy ( 18 ) - ban α és β szerepe felcserélhető, így ( 18 ) az A és a B sarokra is igaz. Az előzőkben, a ( 16 ) képletre vezető számítás során feltettük, hogy p = állandó. Ez az alábbiak szerint igazolható is. A síkbeli kötél statikai egyensúlyi egyenletei ld. pl. [ 4 ]! : ( a ) esetünkben ( súrlódás hiányában ): így ( a / 1 ) és ( b ) szerint: ( b ) ( c ) majd a ( d ) átírással, valamint ( a / 2 ) - vel és ( c ) - vel:
12 Azt kaptuk, hogy az r sugarú sarok - lekerekítő körív bármely pontjában valóban fennáll, hogy az itteni jelöléssel : ( e ) Ezek szerint a p teherintenzitás állandó volta nem csak feltevés, hanem tény. Mindaddig, amíg eltekintünk a súrlódástól. M3. A ( 14 ) eredményt a virtuális munka tételével is előállítjuk. A részletek: most ( 8 ), ( 12 ) és ( 19 ) - cel kapjuk, hogy ezután ( 1 / 1 ) - gyel: most ( 1 / 2 ) - ből a virtuális elmozdulások összefüggése: ( 19 ) ( 20 ) ( 1 / 2 ) ( 21 ) majd ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: egyszerűsítés után: ( 22 ) vagyis ( 13 ) és ( 22 ) egyenértékűek. A ( 13 ) - ról ( 14 ) - re vezető lépések ugyanazok, mint előbb. Ezzel ( 14 ) más úton a virtuális munka elvének alkalmazásával történő igazolását befejeztük. M4. A dolog természetéből fakadóan különböző helyeken eltérő jelöléseket alkalmaznak. Ebből esetleg félreértések adódhatnak. Ilyen lehet az itt és a [ 4 ] műben is alkalmazott q t jelölés jelentésbeli különbsége. Ez itt megoszló húzóerő, [ 4 ] - ben megoszló súrlódóerő intenzitást jelent. A t index a tangenciális / érintő menti jelzőre utal, annak megfelelően, hogy az illető felület érintőjével párhuzamos vektorokról van szó. Hasonlóképpen gondot okozhat más megmagyarázatlan jelölés is. Példa lehet erre az ( a ) egyenletbeli θ mennyiség. Ennek itteni megfelelője a φ szögváltozó. Persze, néha feltételezzük, hogy az Olvasó magától is kideríti ezeket a nem is annyira rejtett kapcsolatokat.
13 Források: [ 1 ] N. L.V. Manakov ~ A. A. Nyekipelov ~ V. D. Ovszjannyikov: Zadacsi po tyeoretyicseszkoj mehanyike 4. kiadás, V. G. U., Voronyezs, 2003., 16 ~ 17. o. [ 2 ] N. N. Buhgoljc ~ I. M. Voronkov ~ A. P. Minakov: Elméleti mechanikai példatár, Statika Tankönyvkiadó, Budapest, 1951., 51. o. [ 3 ] M. I. Baty ~ G. Ju. Dzsanelidze ~ A. Sz. Kel zon: Tyeoretyicseszkaja mehanyika v primerah i zadacsah Tom I.: Sztatyika i kinyematyika 7. kiadás, Moszkva, Nauka, 1975., 26 ~ 28. o. [ 4 ] Lawrence E. Goodman ~ William H. Warner: Statics Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2001., 224. o. Sződliget, 2018. 06. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár
14