1 A felcsapódó kavicsról Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez azért is érdekes, mert autóvezetés közben már többször is eszünkbe jutott, hogy milyen feltételek mellett következhet be a kőfelverődés amit gyakorta a pénztárcánk is bán. A feladat Egy D külső átmérőjű autógumiba beszorult egy m tömegű kavics, melyet az ábra szerint F nagyságú erők szorítanak a gumihoz, ahol a kő és a gumi közötti súrlódási tényező μ. a) Az autó milyen v haladási sebessége esetén repül ki a kavics a gumiból? ( A nehézségi gyorsulás elhanyagolásával. ) b) Egy az autót követő, azzal egyező sebességű teherautót h magasságban találja el a ϕ szöggel jelzett autókerék - állásnál kirepülő kavics. Mekkora ekkor az 1. ábra szerinti a távolság?
2 Adatok: m = 5 g = 0,005 kg ; D = 0,5 m ; g = 9,81 m / s 2 ; F = 4 N ; μ = 1,0 ; h = 1 m ; ϕ = 30. ( A ) A megoldás a) Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra Itt azt láthatjuk, hogy az ω szögsebességgel forgó kavics kirepülése előtt hogyan alakul az erőtani helyzet: az S súrlódási erők egyensúlyt tartanak az F c centrifugális erővel. Az egyensúlyi egyenlet: ( 1 ) azonban: így ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) szerint: A kerék gördülési feltétele: ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) így ( 4 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 ) Most ( A ) és ( 6 ) - tal: ( E1 )
3 Megállapítjuk, hogy ( 6 ) és ( E1 ) megegyezik az 1. ábrán közölt megoldással. b) Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! 3. ábra Itt a grafikus megoldást szemléltettük. Ehhez felírtuk a hajítási parabola ( t - paraméteres ) egyenletrendszerét, a Graph szoftverrel ábrázoltuk a parabolát, ezután elmetszettük az y = 1 ( m ) egyenessel, majd leolvastuk a metszéspontok x - koordinátáit:. ( E2 ) Ezek csak keveset térnek el az 1. ábrán közölt megoldástól. Az eltérés valószínűleg nume - rikus okokra vezethető vissza. Megjegyzések: M1. Az ( 1 ) képletben a közelítőleg egyenlő jelet azért alkalmaztuk, mert a gumiabroncs egy deformálható test, így a tényleges geometriai és erőtani viszonyokat csak közelíti az 1. ábra szerinti helyzet. M2. Az ( 5 ) gördülési feltétel magyarázatához lásd pl. egy korábbi dolgozatunkat, mely - nek címe: Kerék gördüléséről. M3. A b) feladatrészhez tartozó képleteket itt nem vezettük le, bár a számítást nyilvánva - lóan elvégeztük, a 3. ábra előállításához. Ezt azzal indokoljuk, hogy az 1. ábrán közölt vagy ahhoz közeli végeredmények többféleképpen is megkaphatók, ahogyan az itt is történt.
4 Minthogy középiskolai típusú / nehézségű fizika - feladatról van szó, ez nem okozhat gondot az érdeklődő Olvasónak. Meg azért is választottuk a grafikus megoldási módot, hogy könnyen belátható legyen, miszerint a feladatnak 2 megoldása van. Vagy mégsem? A 4. ábrán már csak 1 megoldást mutatnak. 4. ábra forrása: [ 2 ] Valaki szólhatott, hogy nem lesz ez így jó: a 2 m - nél is kevesebb követési távolság rá - futásos balesethez vezethet! Bizony, így van ez: egy fizikailag értelmes megoldás nem biztos, hogy életszerű; azaz: több szempontból is meg kell azt vizsgálni! Bár meglehet, hogy pont fordítva történt: az 1 megoldásos változatot átírták 2 megoldásosra, mert ez itt Mechanika, nem pedig Közlekedésrendészet M4. A fenti feladat igazi tanulsága M3 - mal kapcsolatos. Érdekes, hogy két, közeli rokon egyetemi segédanyagban ilyesmit találhattunk. Szerintünk ez direkt szerencse, mert így egy pici bepillantást nyerhettünk a feladatok keletkezésének és átalakulásának folyamatá - ba. Írja ezt egy olyasvalaki, aki saját maga is ebben a cipőben jár / botladozik.
5 Források: [ 1 ] https://www.tuhh.de/t3resources/mec/pdf/scripte/dynamik_aufgabensammlung.pdf [ 2 ] https://www.tuhh.de/t3resources/mec/pdf/scripte/aufgabensammlung_tm3.pdf Sződliget, 2018. 08. 01. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár