Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldva a fenti egyenletet, a gyökök: ( ) cos, = cos = vagy cos = (+ pont) = + k Ha cos =, akkor 5 = + k ( pont) ahol k ( pont) Ha cos =, akkor nincs megoldás, hiszen cos, minden esetén. ( pont) Az egyenlet megoldása közben ekvivalens átalakításokat végeztünk, így mindkét gyöksorozat megoldása az eredeti egyenletnek. ( pont) Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és (6 pont) cos = 5sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) a) A logaritmus definíciója szerint + + = ( pont) + = 8 ( pont) + = 6 ( pont) = 6 ( pont) Ellenőrzés. ( pont) cos = sin helyettesítéssel, ( pont) sin + 5sin = 0 ( pont) sin = y új változóval y 5y+ = 0. ( pont) y = ; y = ( pont) y nem megoldás, mert sin ( pont) - 90 -
Trigonometria - megoldások = + k vagy = 5 + k (fokban is megadható) ( pont) 6 6 k ( pont) Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. ( pont) Összesen: 7 pont ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) 9 = 0 (6 pont) sin = sin + (6 pont) a) Legyen = a Az a a = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. ( pont) Ennek az egyenletnek a gyökei: a = és a = ( pont) a = = esetén = ( pont) a = = egyenlet nem ad megoldást, ( pont) mert minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. ( pont) Az = kielégíti az eredeti egyenletet. ( pont) Legyen sin = a Az a a = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a = és a =. ( pont) a = sin = nem ad megoldást, ( pont) mert sin ( pont) a = sin = ( pont) A sin = egyenlet gyökei: = + k, ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az értékek kielégítik az egyenletet. ) Mely valós számokra teljesül a 0 ; intervallumon a egyenlőség? ( pont) ( pont) Összesen: pont sin = ( pont) = 6 ( pont) 5 = 6 ( pont) Összesen: pont 5) Adja meg az összes olyan forgásszöget fokokban mérve, amelyre a 5 k( ) = kifejezés nem értelmezhető! Indokolja a válaszát! ( pont) cos A kifejezés nem értelmezhető, ha = 90 + n 80, n ( pont) - 9 -
6) Határozza meg az alábbi egyenletek valós megoldásait! a) ( ) ( ) log log + 6 = 0 (7 pont) sin = (0 pont) 6 a) Az egyenlet bal oldalán szereplő szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. ( pont) Ha az első tényező 0, akkor log = ( pont) Innen = = 8 ( pont) Ha a második tényező 0, akkor 6 log = 6 ( pont) Innen = = 6 ( pont) ahonnan a pozitív tartományba csak az = 8 ( pont) Mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet. ( pont) sin = vagy sin = 6 6 ( pont) = + n vagy = + n 6 6 6 6 ( pont) 5 7 = + n vagy = + n 6 6 6 6 ( pont) = + k ; = l ; = + m ; = + n, k, l,m,n ( pont) Összesen: 7 pont 7) Döntse el az alábbi két állítás mindegyikéről, hogy igaz vagy hamis!( pont) sin függvény periódusa. a) Az ( ) Az sin ( ) ( ) függvény periódusa. a) igaz ( pont) hamis ( pont) Összesen: pont 8) Oldja meg a valós számok halmazán a sin = 0 egyenletet, ha ( pont) A megoldások: ; ; 0; ;. ( pont) - 9 -
- 9 - Trigonometria - megoldások 9) Döntse el az alábbi négy állításról, hogy melyik igaz, illetve hamis! A: Van olyan derékszögű háromszög, amelyben az egyik hegyesszög szinusza ( pont) B: Ha egy háromszög egyik hegyesszögének szinusza, akkor a háromszög derékszögű. ( pont) C: A derékszögű háromszögnek van olyan szöge, amelynek nincs tangense. ( pont) D: A derékszögű háromszögek bármelyik szögének értelmezzük a koszinuszát. ( pont) A: igaz ( pont) B: hamis ( pont) C: igaz ( pont) D: igaz ( pont) Összesen: pont 0) Melyik szám nagyobb? A = lg vagy B = cos 8 ( pont) 0 A nagyobb szám betűjele: B ( = cos 8 ) ( pont) ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 5 = 7 (6 pont) sin = + cos (6 pont) a) A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: 5. ( pont) és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: 5,5 ( pont) Négyzetre emelve: 0 + 5 = 7. ( pont) Rendezve: + 0 96 = 0 ( pont) amelynek valós gyökei a 6 és a 6. ( pont) Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 6, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. ( pont) A baloldalon a sin = cos helyettesítést elvégezve kapjuk: cos = + cos ( pont) cos + cos = 0 ( pont) cos cos + = 0 ( pont) ( ) Ha cos = 0, akkor = + k, ahol k. ( pont) egyenletnek nincs megoldása (mert cos = nem lehetséges). ( pont) Összesen: pont A cos + = 0
) Határozza meg a radiánban megadott = 5 = szög nagyságát fokban!( pont) ( pont) ) a) Oldja meg a valós számok halmazán az + 0 egyenlőtlenséget! (7 pont) Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha + = 0. ( pont) c) Oldja meg a cos + cos = 0 egyenletet a ; alaphalmazon. (6 pont) a) Ha, akkor ( 0, ezért) + 0, vagyis. ( pont) A -nál kisebb számok halmazán tehát a ; intervallum minden eleme megoldása az egyenlőtlenségnek. ( pont) Ha, akkor ( 0, ezért) + 0, vagyis. ( pont) A -nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a -nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. ( pont) A megoldáshalmaz: ;. ( pont) 5 = 0 ( pont) = ( pont) = log ( pont), 69 ( pont) c) (A megadott egyenlet cos -ben másodfokú,) így a megoldóképlet felhasználásával ( pont) cos = 0,5 vagy cos =. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a ; intervallum). ( pont) A megadott halmazban a megoldások:, illetve. ( pont) Összesen: 7 pont ) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! cos = ( pont) = 60 ( pont) = 00 ( pont) Összesen: pont - 9 -
- 95 - Trigonometria - megoldások 5) Adja meg azoknak a 0 és 60 közötti szögeknek a nagyságát, amelyekre igaz az alábbi egyenlőség! ( pont) sin = A számológépbe beírva megoldást kapunk = 5 Viszont van egy másik megoldás is 80 = = 5 6) Oldja meg a ; zárt intervallumon a =, = ( pont) ( pont) Összesen: pont cos = egyenletet! ( pont) ( pont) 7) a) Egy háromszög oldalainak hossza 5 cm, 7 cm és 8 cm. Mekkora a háromszög 7 cm-es oldalával szemközti szöge? ( pont) 0; intervallumon a következő egyenletet! Oldja meg a ( ) cos =. (6 pont) c) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) I) Az f :, f ( ) = sin függvény páratlan függvény. g, g ( ) = cos függvény értékkészlete a ; II) Az : intervallum. III) A : h, h ( ) cos a ; intervallumon. zárt = függvény szigorúan monoton növekszik a) (A kérdezett szöget -val jelölve) alkalmazzuk a koszinusztételt: ( pont) 7 = 5 + 8 5 8 cos ( pont) Ebből cos =, ( pont) azaz (mivel egy háromszög egyik szögéről van szó) = 60 ( pont) Ha cos =, ( pont) akkor a megadott intervallumon = 5, vagy =. ( pont) Ha cos =, ( pont) akkor a megadott intervallumon =, vagy =. ( pont)
c) I) igaz II) hamis III) hamis ( pont) Összesen: pont 8) Adja meg a következő egyenlet 0;π intervallumba eső megoldásának pontos értékét! sin = ( pont) = ( pont) 9) Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett + cos függvény értékkészletét! ( pont) A függvény értékkészlete: 0; ( pont) 0) Adja meg a valós számok halmazán értelmezett f ( ) = + sin függvény értékkészletét! ( pont) Felírjuk a sin függvény értékkészletét. sin Ha az így kapott egyenlőtlenség minden oldalához hozzáadunk egyet, megkapjuk az + sin függvény értékkészletét. 0 + sin ( pont) Tehát a megoldás 0;. Összesen: pont ) Oldja meg a sin = egyenletet a valós számok halmazán! ( pont) = + k ( k ) ( pont) Összesen: pont ) Mely -ekhez rendel a 0; intervallumon értelmezett cos függvény -et? ( pont) = és 5 = ( pont) Összesen: pont 0; intervallumon! ( pont) cos = 0, 5 5 Az egyenlet megoldásai: = = ( pont) Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenletet a - 96 -