Indexszámítási módszerek; Simpson-paradoxon

Indexszámítási módszerek; Simpson-paradoxon Vida Balázs 2018. március 7. Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 1 / 22

Bevezetés Mir l lesz szó? 1 Index(szám) fogalma, példák 2 Érték-, ár- és volumenindexek i. gazdasági feladat táblán és R-ben ii. általánosítási lehet ségek iii. alkalmazások 3 Simpson-paradoxon i. példa ii. a matek mögötte iii. további érdekességek Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 2 / 22

Bevezetés Index(szám) fogalma, példák Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 3 / 22

Bevezetés Index(szám) fogalma, példák Deníció A közvetlenül nem összesíthet, de valamilyen szempontból összetartozó javak adatainak átlagos változását mutató viszonyszám az index vagy indexszám. Példák: termel i árindexek, fogyasztói árindex, bruttó átlagkeresetek indexe, GDP volumenindexe, t zsdeindex Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 4 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Egy gazdasági feladat Marika néni két portékájára vonatkoznak az alábbi táblázatbeli adatok. Áru 2017. február 2018. február Eladott mennyiség Egységár (Ft) Eladott mennyiség Egységár (Ft) Tojás (db) 1000 40 1500 50 Alma (kg) 500 200 300 300 Számítsuk ki, hogyan változott... a) az eladási érték termékenként külön-külön és a két termékre együttesen! b) az értékesítés volumene külön-külön és a két termékre együttesen! c) az eladási ár termékenként külön-külön és a két termékre együttesen! Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 5 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Indexszámítási jelölések és összefüggések I. Alapfogalmak Jelölések (tfh. n kül. termék értékesítési adatait vizsgáljuk, j = 1,..., n): q 0,j (q 1,j ): a j. termékb l eladott mennyiség a bázisid szakban (tárgy id szakban) p 0,j (p 1,j ): a j. termék egységára a bázisid szakban (tárgy id szakban) v 0,j (v 1,j ): a j. termék eladásából származó árbevétel (azaz az értéke) a bázisid szakban (tárgy id szakban): v 0,j = q 0,j p 0,j v 1,j = q 1,j p 1,j } érték = mennyiség egységár Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 6 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Indexszámítási jelölések és összefüggések II. Egyedi indexek Deníció Az egyes termékekre számított dinamikus viszonyszámokat egyedi indexeknek hívjuk. egyedi volumenindex: i q = q 1,j q 0,j egyedi árindex: i p = p 1,j p 0,j egyedi értékindex: i v = v 1,j v 0,j = q 1,j p 1,j q 0,j p 0,j = i q i p Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 7 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Indexszámítási jelölések és összefüggések III. Értékindex Deníció Az értékindex (I v ) a termékek egy csoportjára vonatkozó érték átlagos változását fejezi ki. I v = j=1 v 1,j j=1 v 0,j = j=1 q 1,j p 1,j j=1 q 0,j p 0,j Látható, hogy az értékváltozást befolyásolja a... termékek mennyiségváltozása volumenindex termékek árváltozása árindex Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 8 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Indexszámítási jelölések és összefüggések IV. Volumen- és árindex Deníció A volumenindex (I q ) a termelés volumenének átlagos változását mutatja a termékek valamely körére vonatkozóan. bázisid szaki súlyozású (Laspeyres) I q (0) = j=1 q 1,j p 0,j j=1 q 0,j p 0,j tárgyid szaki súlyozású (Paasche) I q (1) = j=1 q 1,j p 1,j j=1 q 0,j p 1,j Deníció Az árindex (I p ) az árszínvonal átlagos változásának mértékét mutatja a vizsgált termékek összességére vonatkozóan. bázisid szaki súlyozású (Laspeyres) I p (0) = j=1 q 0,j p 1,j j=1 q 0,j p 0,j tárgyid szaki súlyozású (Paasche) I p (1) = j=1 q 1,j p 1,j j=1 q 1,j p 0,j Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 9 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Indexszámítási jelölések és összefüggések V. Keresztezett indexformulák Általában a Laspeyres- és Paasche-féle indexek közt különbség van (ui. különböz ek a súlyok). Ha nagy az eltérés, akkor használatosak az ún. keresztezett indexformulák, például: Fisher-féle volumenindex: I q (F ) = I q (0) I q (1) Fisher-féle árindex: I p (F ) = I p (0) I p (1) Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 10 / 22

Megoldás R-ben Érték-, ár- és volumenindexek adatok=array(dim=c(2,4)) colnames(adatok)=c("q0","p0","q1","p1") rownames(adatok)=c("tojas","alma") adatok[,1]=c(1000,500) adatok[,2]=c(40,200) adatok[,3]=c(1500,300) adatok[,4]=c(50,300) q1p1=adatok[,3]*adatok[,4] q0p0=adatok[,1]*adatok[,2] q1p0=adatok[,2]*adatok[,3] q0p1=adatok[,1]*adatok[,4] #egyedi_arindexek iq=adatok[,3]/adatok[,1] ip=adatok[,4]/adatok[,2] iv=(q1p1)/(q0p0) adatok=cbind(adatok,iq,ip,iv) colnames(adatok)[5]="iq" colnames(adatok)[6]="ip" colnames(adatok)[7]="iv" #ertek_index Iv=sum(q1p1)/sum(q0p0) #volumen_index_lasp Iq0=sum(q1p0)/sum(q0p0) #volumen_index_paas Iq1=sum(q1p1)/sum(q0p1) #volumen_index_fish IqF=sqrt(Iq1*Iq0) #ar_index_lasp Ip0=sum(q0p1)/sum(q0p0) #ar_index_paas Ip1=sum(q1p1)/sum(q1p0) #ar_index_fish IpF=sqrt(Ip1*Ip0) Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 11 / 22

Érték-, ár- és volumenindexek Általánosítási lehet ségek csoportosított sokaságra számított (azaz árucsoportonkénti) indexek (egyedi index helyett) részindex és (index helyett) f index fogalma indexsorok: kett nél több id szak adatainak összehasonlítása (NB. többféle viszonyítási lehet ség: bázis- és láncindexsor) területi indexek: területi összehasonlítás, pl. két város adatai között Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 12 / 22

Alkalmazások Érték-, ár- és volumenindexek termel i árindexek, pl. ipari, mez gazdasági árolló (két árindex hányadosa), spec.: cserearányindex (exportált és importált termékek árindexének hányadosa) fogyasztói árindex (CPI): a lakosság által vásárolt fogyasztási cikkek, szolgáltatások átlagos árváltozását fejezi ki; az ináció általános mér száma (link1_1985), (link2_1985_graf), (link_1960) t zsdeindex (a t zsdén forgalmazott részvények átlagos árfolyamváltozása), pl. BUX-index (link_bet), (link_portfolio) Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 13 / 22

Simpson-paradoxon Simpson-paradoxon: példa Egy kutatóorvos a kutatócsoportjával egy új kezelési eljárást fejlesztett ki, melyet budapesti (B) és vidéki (B) betegeken alkalmaztak. A projektben minden bp-i beteg 91%-os valószín séggel, illetve minden vidéki beteg 1%-os valószín séggel kapott új (U) kezelést. 1 1 Figyelembe véve például, hogy Bp-en könnyebb elvégezni a kezelést. Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 14 / 22

Példa: kísérleti adatok Simpson-paradoxon Kezelés: Standard (U) Új (U) Nem élte túl (T ): 5950 9005 Túlélte (T ): 5050 (46%) 1095 (11%) 1. ábra. Összesített adatok csak B csak B Kezelés: Standard (U) Új (U) Standard (U) Új (U) Nem élte túl (T ): 950 9000 5000 5 Túlélte (T ): 50 (5%) 1000 (10%) 5000 (50%) 95 (95%) 2. ábra. Adatok területi bontásban Vajon az adatok alapján hasznos az új kezelés? Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 15 / 22

Matematikai háttér I. Simpson-paradoxon Simpson-paradoxon Lehetséges, hogy az alábbi mindhárom egyenl tlenség fennálljon: P(T U) < P(T U), P(T UB) P(T UB) P(T UB) P(T UB) (1) A példában: P(T U) = 0, 11 < P(T U) = 0, 46, P(T UB) = 0, 1 P(T UB) = 0, 05 P(T UB) = 0, 95 P(T UB) = 0, 5 Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 16 / 22

Matematikai háttér II. Simpson-paradoxon Ugyanakkor, ha a feltételi val-ek pozitívak: P(T U) = λ P(T UB) + (1 λ) P(T UB) P(T U) = µ P(T UB) + (1 µ) P(T UB) (2) ahol λ := P(B U) és µ := P(B U). Hol van a kutya elásva? Ha B és U függetlenek, akkor λ = µ, és így (1) valóban lehetetlen. Ha azonban (2)-ben különböz a súlyozás, akkor felléphet az (1)-beli Simpson-paradoxon. Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 17 / 22

További érdekességek Simpson-paradoxon Bizonyos valváltozók korrelációjában: Vektoros interpretáció, l. (wiki) R-beli package a SP detektálására: Simpsons Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 18 / 22

Összefoglalás Mir l volt szó? 1 Index(szám) fogalma, példák 2 Érték-, ár- és volumenindexek i. gazdasági feladat egyedi indexek, érték-, ár-, volumenindexek, Laspeyres-, Paasche-, Fisher-féle indexek ii. általánosítási lehet ségek iii. alkalmazások 3 Simpson-paradoxon i. példa ii. a matek mögötte: P(A B) < P(A B) és P(A B) P(A B) valamely C és C további feltételi változók mellett a függetlenség kérdése iii. további érdekességek: korreláció, vektorok Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 19 / 22

Tesztkérdés Mit l függ termékek egy csoportjának értékváltozása? A termékek... A. mennyiségváltozásától B. árváltozásától C. mindkett t l D. egyikt l sem Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 20 / 22

Köszönöm a gyelmet! Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 21 / 22

Felhasznált irodalom Blyth, C. R. (1972). On Simpson's Paradox and the Sure-Thing Principle. Journal of the American Statistical Association, 67(338), 364366. Hoover, K. D. (2012). Applied intermediate macroeconomics. New York, NY: Cambridge University Press. Kövesi, J. és mtsai. (2011). Gazdaságstatisztika. Budapest: BME. Vida Balázs Indexszám; SP 2018. március 7. 22 / 22