Folyadéklap instabilitása

- - Leyező alakú spay olyadéklapban kialakuló keesztiányú áamlás. Ez a jelensé poblematikus pl. elületek bevonásánál, amiko a bevonó olyadéküönynek eyenletesnek kell lennie. A jelenséet elkeülni nem, de csökkenteni lehet. Véül, a üelékben saját kezdeti kíséleteinkől számolunk be. E témákkal ounk az alábbiakban olalkozni. Folyadéklap instabilitása A olyadéklapnak két alapvető instabilitási módusza van: a szimmetikus és antiszimmetikus (az anol iodalomban ezeket ende vaicose = visszészeű illetve sinuous = szinuszomájú móduszoknak nevezik). Ezeket a móduszokat sematikusan a. ábán láthatjuk.. ába. Az asszimmetikus (a) és a szimmetikus instabilitási hullám sematikus mejelenítése. (Senecal et al., 999) Ha a olyadéklap tökéletesen sima, a á ható eők eyensúlyban vannak. Ha azonban valami zavaás miatt ey kitüemkedés keletkezik, akko az eyensúly mebomlik. A elületi eszültséi eők mepóbálják visszaállítani az eedeti (sík) állapotot, mí mind a ázban, mind a olyadékban keletkező nomális eszültséek általában eősítik az instabilitást, azaz a zavaás amplitúdóját. A olyadék és ázázis közötti elatív sebessé addi növeli a zavaások amplitúdóját, amí azok szétesnek, és a keletkező olyadékszálak hamaosan cseppeke

- - Leyező alakú spay bomlanak. Ha a elületi eszültséi eők dominálnak, a zavaás elhal, mí ha az aeodinamikai eők dominálnak, a zavaás eősödik. A két eő aányával deiniálunk ey dimenziótlan számot, a Webe számot (We). Ha a Webe szám elé ey kitikus étéket akko lesz instabil a olyadéklap. A témával számos szező olalkozott, kezdve Squie-el (95), majd Haety és Shea (955), akik a mind olyadéklapot, mind a könyező ázt súlódásmentesnek, a olyadéklapot pedi eyenletes vastasáúnak tételezték el. Eedményeik azt mutatták, hoy a yakolat számáa édekes tatományban mindi az antiszimmetikus módusz dominál, a szimmetikus módusz eősítési tényezője jóval kisebb, íy nem iyelhető me. Ezt más szezők is íy találták, két szezőpáost kivéve (Li és Tankin, 99; Ranel és Siiano (99)), akik maas Webe számoknál és szokatlanul maas ázsűűsénél találtak ey tatományt, ahol a szimmetikus zavaás eősödik jobban. Ennek azonban, a paaméteek szokatlansáa miatt, kicsi a yakolati jelentősée. A önti eltételezések mellett a kitikus áz Webe szám We = ρ/ρ = Q, azaz a áz és a olyadék sűűséének aánya. (We = U hρ/σ, ahol U a olyadéklap és a könyező áz elatív sebessée, h a olyadéklap vastasáa, σ a elületi eszültsé.) A teljessé kedvéét összeolaljuk a kökeesztmetszetű olyadéksuá tulajdonsáait és összehasonlítjuk a lappal, mielőtt olytatjuk a olyadéklap táyalását. (i) A suá esetében a domináns instabilititási mód a szimmetikus, szemben a lappal; (ii) A suá esetében alacsony sebessénél a elületi eszültsé az instabilitást eősíti, mí nayobb sebessénél ellene dolozik. A lap esetében a elületi eszültsé mindi az instabilitás ellen dolozik, mí az instabilitást az aeodinamikai eők okozzák. Íy a lap vákuumban mindi stabil maadna; (iii) A suá elbomlásához nem szüksées a elatív sebessé, de seíti a elbomlást. A lap elatív sebessé nélkül nem bomlik el; Az alábbiakban a vékony, eyenletes vastasáú olyadéklap lineáis stabilitási elemzését közöljük, ahol a olyadék viszkozitását is iyelembe vesszük. A levezetés első észe elsősoban Li és Tankin (99) munkájáa alapozódik. Tekintsünk ey eyenletes, h vastasáú, ρ sűűséű, σ elületi eszültséű kétdimenziós olyadéklapot, amely U sebesséel mozo a súlódásmentes, ρ sűűséű könyező ázban. A koodinátaendszet a ázhoz özítjük, tehát U a olyadék és a áz elatív sebesséének tekinthetjük. A sebessé kicsi a hansebesséhez képest, íy mindkét közeet összenyomhatatlannak tekintjük, a avitációs hatásokat elhanyaoljuk. Az x tenely a lap közepén, az áamlás iányával páhuzamosan, az y tenely aa meőleesen van. A két olyadékelszínt a következő eyenletek adják me: y h ; exp( t ikx) () ahol y = ±h a olyadékelszín eyensúlyi helyzetei; a zavaás kezdeti amplitúdója, ami a lap élvastasáánál, h-nál sokkal kisebb; k = π/λ a hullámszám, λ a zavaás hullámhossza; ω = ω + iωi a komplex köekvencia. A valós ész ω a zavaás növekedési vay csökkenési átáját (az előjeltől üően), a képzetes ész ωi pedi π-sze a zavaás ekvenciája; ezzel a zavaás tejedési sebessée -ωi /k, t az idő. A olyadék mozása Mint említettük, az alapáamlás U naysáú x iányú sebessé, naysáú y iányú sebessé és könyező nyomás. Ee szupeponálódnak a kicsinek eltételezett (u, v) zavaási sebesséek az (x, y) iányban, valamint a p zavaási nyomás. A () kontinuitási eyenletet és a

- 4 - Leyező alakú spay () és (4) mozáseyenleteket lineaizálva közöljük, azaz elhaytuk a kis mennyiséek szozatait, illetve maasabb hatványait: u U t v U t u v x y u x v x p u x p v y () () (4) ahol a olyadék kinematikai viszkozitása. A ()-(4) eyenletekhez a következő peemeltételek kapcsolódnak. A olyadék-áz hatáelületen, ami elsőendű közelítésben továbba is y ±h-nak vehető, nincsen átáamlás, tehát a olyadék nomális sebessée a hatáelületen eyenlő a hatáelület nomális sebesséével. A csúsztatóeszültsé eltűnik a elületen (a áz súlódásmentes) és a nomális eszültsé olytonos. Ezeket a peemeltételeket matematikai omába öntve kapjuk: v U y ±h-nál (5) t x u v xy y ±h-nál (6) y x ahol p xy és yy, p y ±h-nál (7) yy yy a olyadék csúsztató- és nomális eszültsé,, yy a áz nomális eszültsé és a elületi eszültsé által okozott nyomás. ()-(4) meoldásához az ú. n. Helmholz dekompozíciót hívjuk seítséül. Ez azt jelenti, hoy a sebessémezőt elbontjuk két észe: a potenciálos (-es index) és a súlódásos (-es index) észe. Előbbihez potenciálüvényt, utóbbihoz áamüvényhez hasonló üvényt, ψ-t lehet deiniálni. u u u ; v v v (8) Levich (96) kimutatta, hoy a nyomás uyanaz a súlódásmentes és a súlódásos olyadékban, met a viszkozitás csak a hullám ekvenciáját beolyásolja, a nyomást nem. Íy a nyomást az -es sebessémezőből hatáozzuk me. Deiniáljuk a sebessépotenciált, -t. u v x y ; (9) A nyomást mekaphatjuk: () p U t x ()

- 5 - Leyező alakú spay A () és a (8)-() eyenletekből következik, hoy u x v y A () és (4) eyenletekből ende ezt kapjuk: u t U u x u v t U. () () v. (4) x v Deiniáljuk ψ-t: u ; v. (5) y x Behelyettesítve kapjuk: t U x. (6) A zavaások, hasonlóan ()-hez a következő omát öltik: ( y)exp( t ikx) (7) ( y)exp( t ikx). (8) (7)-et és (8)-at ()-be és (6)-ba behelyettesítve adódik: ( y ) k ( y) (9) ( y ) s ( y) () ahol s iku k. A (9) és () eyenletek meoldásai könnyen mekaphatók: ky ky ( y) Ce Ce () sy sy ( y) Ce C4e, () ahol C, C, C, C4 később mehatáozandó inteációs konstansok. Íy ky ky C e Ce exp( t ikx) sy sy C e C e exp( t ) (). (4) 4 ikx Az (5) és (6) peemeltételekből kiszámolhatók a konstansok: mí a nomális eszültsé a olyadéklapban k s C C (5) k cosh C kh ik C4, (6) cosh sh

- 6 - Leyező alakú spay yy v p y ky ky sy sy iku k e e C i kse e C exp( t ) ikx (7) A áz mozása A áz mozásáa hasonló alapeyenleteket íhatunk öl, mint a olyadékéa, csak itt a viszkozitást -nak tekintjük. u x u t v y p x (8) (9) v t A peemeltételek azt kívánják, hoy a hatáelületen olytonos leyen a nomális sebessé és távol a olyadéklaptól a zavaások elhalnak. Azaz: p y () v y ±h-nál () t v, ha y ±. () Mivel a áz súlódásmentes, itt is deiniálható sebessépotenciál. Ezt szintén az eddi meszokott alakban tételezzük el: (8), () és ()-ből következik: ( y)exp( t ikx). () / k exp( k( h y)) exp( t ikx) y h-a (4) (9)-ből és ()-ból következik, hoy a nomális eszültsé:, yy p / k exp( k( h y)) exp( t ikx) (5) t Felületi eszültsé által indukált nyomás A elületi eszültsé által létehozott nyomás elsőendű közelítésben: p, ahol R R x a hatáelület öbületi suaa. Eszeint: p k exp( t ikx) (6)

- 7 - Leyező alakú spay Diszpeziós eyenlet az antiszimmetikus zavaása (7)-et, (5)-öt és (6)-ot (7)-be helyettesítve y = h esetée adódik a diszpeziós összeüés a komplex növekedési áta és zavaási hullámszám között: iku k k s tanh( 4 k s tanh( sh) k (7) Diszpeziós eyenlet a szimmetikus zavaása A szimmetikus zavaás diszpeziós eyenlete endkívül hasonló az antiszimmetikus esetée. A levezetés hasonló, az eyenletet levezetés nélkül közöljük. A (7)-es eyenletben a tanh taok helyett coth taok jelennek me. iku k k s coth( 4 k scoth h( sh) k (8) Ezek az eyenletek komplikáltak, analitikus meoldásuk nem lehetsées. Bizonyos hatáesetekben azonban van analitikus meoldás. További elemzés (Senecal et al. (999) alapján) A további elemzéshez kicsit más alakba hozzuk a (7) eyenletet. Elosztunk ρ-el, amivel mejelenik az eyenletben a két sűűsé aánya, Q, valamint koodinátatanszomációt hajtunk vée; koodinátaendszeünket most az U sebesséel mozó olyadéklaphoz özítjük. Ezt metehetjük, hiszen az eész instabilitási jelensé Galilei-invaiáns. Matematikaila ez annyi változást eedményez, hoy -t iku -val helyettesítjük, valamint, hoy U előjele ellentétes lesz. Következésképpen s deiníciója is átalakul: az új koodinátaendszeben s k.íy eyenletünk átendezés után a következő alakot ölti: 4 tanh( Q 4 k iqku k s tanh( sh) Qk U k / 4 k 4. (9) Előszö elhanyaoljuk a olyadékviszkozitást, hoy bizonyos útmutatást kapjunk a meenedhető elhanyaolásokhoz. Később, a pontosabb számításoknál visszatéünk a viszkózus eyenlethez. A viszkozitás elhanyaolása után ende a következő másodokú eyenleteket kapjuk az asszimmetikus és a szimmetikus móduszoka: tanh( QiQkU Qk U k / (4) coth( QiQkU Qk U k /, (4) amiket zát alakban meoldva kapjuk a következő kiejezéseket a köekvencia valós észée, ami nem más, mint a zavaás növekedési átája. Meintcsak (4) az asszimmetikus, (4) a szimmetikus módusza vonatkozik. Qk U k / Q (4) Q

- 8 - Leyező alakú spay coth( Qk U k / coth( Q (4) coth( Q A 4. és az 5. ábán láthatjuk az antiszimmetikus és a szimmetikus dimenziótlan növekedési átát két különböző áz Webe szám esetée (We = ρu h/σ). (A továbbiakban a áz Webe számot index nélkül, eyszeűen We-nek ojuk jelölni. Az alacsony Webe szám esetében nyilvánvaló, hoy a teljes tatományon az antiszimmetikus hullámok dominálnak maasabb növekedési átájuk miatt. A maas Webe szám esetében a tatomány ey észében a két öbe nayon közel van eymáshoz, szinte mekülönböztethetetlenek. Ahoyan a bevezetésben említettük, Li és Tankin, 99 valamint Ranel és Siiano (99) nayon maas ázsűűsénél találtak ey kis Webe szám tatományt, ahol a szimmetikus zavaás növekedési átája nayobb, ennek azonban nincs yakolati jelentősée. 4. ába. Növekedési áta a hullámszám üvényében. Súlódásmentes eset, We =,5 (Senecal et al., 999) Ménöki szempontból tehát kijelenthetjük, hoy a yakolatila édekes tatományban az antiszimmetikus zavaások maximális növekedési átája mindi nayobb vay eyenlő a szimmetikusokénál. Kis kh, azaz hosszú hullámok esetén viszont eyételműen dominálnak az aszimmetikus hullámok. Ee az eedménye jutott Squie (95), majd Haety és Shea (955) is. A hosszú hullám eltételezésével khés ezzel a közelítéssel (4) (44)-e eyszeűsödik. Qk U h k kh Q / kh Q Ha ezenkívül mé azt is eltételezzük, hoy Q «kh, ami esetünkben ennáll akko az alábbi kiejezést kapjuk. Ez meeyezik Squie (95) eedményével. (44)

- 9 - Leyező alakú spay Qk U k / (45) kh Ezt a kiejezést mutatja a 4. és 5. ába lon wave assumption név alatt. Azt láthatjuk, hoy alacsony Webe számnál a hosszú hullám közelítés endkívül jó, viszont maas Webe számnál, a lealacsonyabb kh tatományt kivéve yene. Ez aa utal, hoy alacsony sebesséű olyadéklapnál a hosszabb hullámok, maasabb sebesséű olyadéklapnál a övidebb hullámok eősödnek jobban. Ha tehát a övid hullámú közelítést tesszük, tanh( kh ) coth h(, és akko mindkét ajta zavaás eősítése: 5. ába. Növekedési áta a hullámszám üvényében. Súlódásmentes eset, We = 5, (Senecal et al., 999) ami a további eltétel Q «bevonásával Qk U k / Q, (46) Q Qk U k / (47) lesz. (45) és (47) összehasonlításával látjuk, hoy. Másszóval, ha kh>,, övid kh, hosszú azaz, ha λ/h<π, akko a övid hullámok növekedése o dominálni, mí ellenkező esetben a hosszú hullámoké. Ez viláos az 5. ábából, ami We = 5 -e készült. A 4. ába viszont, ami We =,5 esetét mutatja, az eész tatományon a hosszú hullámok dominálnak. Az a tény, hoy kisebb Webe száma a hosszú hullámú közelítés, mí nayobb Webe száma a övid

- - Leyező alakú spay hullámú közelítés bizonyul jobbnak, azt sejteti, hoy van ey kitikus Webe szám, ami alatt a hosszú, és ami ölött a övid hullámok dominálnak. Mivel mindkét esetben a maximális növekedési áta a mehatáozó, ezzel ounk számolni, és Ω-val illetve K-val jelöljük. A dimenziótlan és mehatáozható a két hatáesete a (45) és (47) eyenletből. h U hosszú QWe ; Kh =/We -nél (48) h U övid We Q ; Kh =/We -nél (49) A két maximális növekedési átát eyenlővé téve adódik, hoy a kitikus Webe szám 7/6. Most visszatéünk a viszkózus olyadék esetéhez, és póbáljuk a (9) eyenletet eyszeűsíteni. Előszö is, naysáendi elemzés azt mutatja, hoy a viszkozitásban másodendű taok tipikus K és Ω étékek esetén elhanyaolhatóak a többi tahoz képest. Ezzel az eyszeűsítéssel az antiszimmetikus instabilitás növekedési átája: k 4 k 4 Q k U Q Hosszú hullámok és Q «kh esetén közelítőle adódik: tanh( Q k / Qk U. (5) 4 k 4 k U Qk / h k / h. (5) Rövid hullámhossz és Q «eltételezésével: 4 k 4 k U Qk k / (5) A 6. és 7. ábán látható a hosszú hullámú és a övid hullámú közelítése a súlódásmentes és a súlódásos közelítés összehasonlítása, ende We =,5-e és We = 5-e. Alacsony We esetén a súlódásmentes közelítés nayon jó a teljes kh tatományon, mindkét hatáesete. Maas We esetén viszont mindkét hatáeset súlódásmentes közelítése ossz. Véső ellenőzésként a (9) pontos eyenletet numeikusan meoldva, összehasonlítjuk a viszkózus közelítésekkel, az (5) és (5) eyenletekkel. Az eltéés általában -4%, de sehol sem haladja me a 8%-ot, íy a közelítéseket kieléítőnek tekinthetjük. Li és Tankin (99) szeint a viszkozitásnak mé további hatása az, hoy a súlódásmentes esethez képest kitejeszti a hullámszámtatományt, amiben az instabilitás öllép, nayobb hullámszámoka is. Ibahim (998) a olyadéklap sebessépoiljának hatását vizsálta a stabilitási viselkedése, hiszen eddi implicite eltettük, hoy a olyadéklap sebesséeloszlása eyenletes. Azt találta, hoy a leinstabilabb az eyenletes sebessépoil, és a paabolikusba való átmenet soán az instabilitás météke eye csökken. Íy utóla iazolódott az eyenletes sebesséeloszlás eltételezése. Bemond et al. (7) újabb instabilitási mechanizmust edezett el, ami keesztiányú hullámokhoz, majd áamlás iányú olyadékszálak keletkezéséhez vezet. Ennek seítséével sikeesen jósolták me a cseppátméő eloszlását. Munkájukat észletes kíséleti alátámasztás kíséte, ien látványos ényképekkel.

- - Leyező alakú spay Számítóépes modellezés Az előző eedményeket Senecal et al. (999) úy használta el a számítóépes modellezésben, hoy deiniált ey kitikus hullámamplitúdót, aminél a olyadéklap szétszakad. Az eősítési tényező seítséével mehatáozható az idő, amí ezt eléi, abból pedi ey elbomlási távolsá számolható, ahol az összeüő lap cseppeke bomlik. A modell seítséével becslés adható az átlaos cseppátméőe is. A szotve elsősoban autóban használt injekto modellezésée készült, és számos eyéb édekes tulajdonsáa van, ami jelen jelentés 6. ába. Növekedési áta a hullámszám üvényében. Súlódásmentes és súlódásos eset összehasonlítása, We =,5 (Senecal et al., 999)

- - Leyező alakú spay 7. ába. Növekedési áta a hullámszám üvényében. Súlódásmentes és súlódásos eset összehasonlítása, We = 5, (Senecal et al., 999) szempontjából nem édekes. Mindenesete az eyezés a méésekkel minden mennyisében kiváló, példaként tekintsük a 8. ábát, ahol a cseppek Saute átlaátméőjét ábázoltuk.