3.3. Fermentációs rendszerek és matematikai modellezésük

3.3. Fermentációs rendszerek és matematikai modellezésük Más tudományterületekkel összehasonlítva a biológia, így a mikrobiális rendszerekkel foglalkozó fermentáció is késett a matematikai modellezés szükségességének felismerésében, de az elmúlt 30-35 évben e területre is betört a matematikai szemlélet. Kézben tartani, biztonságosan reprodukálni, méginkább szabályozní és automatizálni csak olyan folyamatokat lehet, amelyeknek kvantitatív viszonyai ismertek. Ennek megfeleloen kezdodött el a fermentációk mérnöki-muveleti szempontból történo matematikai leírása (sterilezés, levegoztetés, léptéknövelés) és a mikroba környezet rendszer kinetikai viselkedésének matematikai modellezése. A gépi számítástechnika általános elterjedése segítette elo e fejlodést és jelenleg már ott tart e tudományterület is, hogy a matematikai modellezést a gyakorlatban is felhasználja. A növekvo modellezési információtömeg rendszerezése célszeru egyrészt a tájékozódás megkönnyítése végett, másrészt az általános modellezési elvek kifejése az egyes konkrét modellekbol segíthet a biomérnöknek saját rendszere modelljeinek felállítása során. A továbbiakban egyrészt ezen általános alapelvekkel foglalkozunk, majd néhány csoport-reprezentáns bemutatása útján ismertetjük a különbözo technikai megvalósítású fermentációs rendszereket. A fermentáció tudományterülete biológiai anyagformák, rendszerek vizsgálatával foglalkozik. A biorendszer Bartholomay szerint "anyagi objektumok sorozatának határozott csoportja (ezen szubmolekuláris részecskéket, molekulákat, sejtalkotó részeket, sejteket, sejtek populációját értjük), amelyeknek alkotó elemei meghatározott fizikai, fiziko-kémiai, morfológiai, topológiai és idobeni kapcsolatban vannak egymással és az oket körülvevo világgal, az un. környezettel. E rendszer nem statikus jellegu, állandó mozgásban van, szorosan összefügg a folyamattal, s utóbbi így nem más mint a rendszer önmozgását, környezetével való dinamikus kapcsolatát kifejezo fogalom. Ilyen értelemben a fermentációs rendszer és a fermentációs folyamat egymástól elválaszthatatlan egységben van, de nem azonos vizsgálati objektumok, ha néha értelmezésük nem is különítheto el világosan. Lényeges rámutatni, hogy minden rendszer - így fermentációs rendszerünk is - bizonyos értelemben szubjektív: határainak kijelölése nem feltétlenül "természetes", rendszerünk mindig olyan környezetben található, amely egy nagyobb, még nagyobb stb. rendszer része, és amely ugyanakkor más 225

rendszereket is tartalmaz, így maga is kisebb, még kisebb, stb. rendszerekbol épül fel. A matematikai modell a rendszert és környezetét jellemzo változók közötti kapcsolatokat a matematika formális nyelvén megfogalmazó hipotézisek sorozata. Az említett változók célszeruen mértek vagy legalábbis mérhetoek, hiszen a modell hipotézis, amelyet csak a gyakorlat, a mérés, a kísérlet igazolhat vagy vethet el. A vizsgált rendszer matematikai modellje, a modellezés folyamata azonfelül, hogy a rendszer kvantitatív kapcsolataira rávilágitva a rendszerrol alkotott kép, végso soron a tudás elmélyítését szolgálja, további elonyökkel is rendelkezik. Segítségével a kísérletes tudomány kilép a puszta empíria talajáról, módszereinek rendszerességet ad, a kísérleti apparátus gazdaságos felhasználását segíti elo, hiszen a már elvégzett kísérleti bázisra épülo adekvát matematikai modellek interpolációra, sot bizonyos határok között etrapolációra ("mérnöki jóslások területe") is lehetoséget adnak. Ehhez kapcsolható az ún. "in numero kísérleti technika" alkalmazásából adódó elony is. Bizonyos kérdésekre ugyanis a matematikus íróasztala mellol is választ kaphatunk, nem szükséges igénybe venni a biológus, vagy vegyész laboratóriumát (biológiai rendszerek matematikai szimulációja). Ilyen módszerekkel tanulmányozhatók a rendszerek olyan körülmények között is, amelyekben nem akarunk, vagy nem tudunk kísérleti munkát végezni. A fermentációs rendszer (R) matematikai modelljének megalkotása maga is folyamat, mégpedig a 88. ábrának megfeleloen egy önmagát szükségszeruen pontosító, korrigáló folyamat. Egy ilyen rendszernek nincs "legjobb" leírása, ismereteink bovülésével mindig találhatunk "jobb", a tényleges történéseket hívebben leiró modellt (M). A modell egyszerusített leképzés, nem vehet figyelembe minden lejátszódó történést, minden változót, ezek közül csak a modellezo által lényeges hatásúaknak itéltekkel operál. Így a matematikai modell nem természeti törvény. Más szóval nincs 1:1 megfeleltetés a rendszer és a matematikai modellje között, más modell is leírhatja többé-kevésbé adekvát módon a történéseket és fordítva is igaz, egy adott modell többféle rendszernek is adekvát megközelítése lehet. A modellekkel matematikai muveletek végezhetok (például integrálhatók stb.), s ezek alapvetoen megváltoztathatják formáját, ami legalábbis óvatosságra int egy modell alkalmazási formájának mechanikus felhasználásával kapcsolatban, hiszen az említett muveletek elfedhetik az eredeti modellnél figyelembe vett feltételezéseket, elhanyagolásokat. 226

Egy fermentációs rendszerben a sejtek populációja, ezen populáció szintetizáló és átalakitó tevékenysége a vizsgálat tárgya. Fermentációs rendszeren tágabb értelemben a mikroorganizmus tenyészetet és környezetét, valamint az azt meghatározó fizikai, fizikai-kémiai paraméterek összességét értjük, a fermentációs folyamat pedig az így definiált rendszer és a benne illetve vele történo változások, átalakulások összessége. Mai ismereteink szerint a legegyszerubb baktérium sejt is legalább 10 10 molekulából épül fel (lásd példaként a gyorsan szaporodó E. coli összetételét bemutató 35.táblázatot). Ebbol 1000-10000 a különbözo katalitikus hatású fehérje. A sejtekben ezek az enzimek rendkivül bonyolult anyagcserefolyamatokat katalizálnak, amelyek öszetett többszintu szabályozás alatt állnak. E megszámlálhatatlan anyag- és történésféleség mozgástörvényeinek jelenleg csak töredéke ismert, az tehát, hogy egy sejt viselkedését leírjuk, ELMÉLET, A PRIORI ISMERETEK KÍSÉRLETI EREDMÉNYEK KÍSÉRLETI BEÁLLÍTÁS KÍSÉRLETTERV R AUTOMATIKA KOMPUTER M MODELL IDENTIFIKÁLÁS OPTIMÁLIS VEZÉRLÉS(ON LINE) JÓSOLT K1SÉRLETI EREDMÉNYEK OPTIMÁLÁS OFF LINE BIOLÓGIAI SZIMULÁCIÓ in numero KÍSÉRLETEK ADEKVÁT? IGEN NEM 88.ábra A matematikai modellezés folyamata még modellszeruen is rendkívül sok elhanyagolást igénylo s óhatatlanul durva eredményre vezeto kísérlet lenne. Ezt figyelembe véve az a lehetoség marad az egyedül járható út, ha lemondunk az egy sejt tárgyalásáról, s a populáció, a sejttömeg makroszkóposan megfigyelheto viselkedését irjuk le a legfontosabbnak ítélt néhány változó figyelembevételével. 227

A fermentációk célja a sejttömeg és/vagy valamely anyagcsere-, ill. átalakítási termék nagy tömegu eloállítása. Ezért ezek illetve az ezeknek megfelelo sebességi értékek a rendszert jellemzo legfontosabb változók. A többi vizsgált változó jobbára a környezetre vonatkozik. E kétféle változó kategória helyett a modellezésnél inkább a következo csoportokat alkalmazzák: Kontrollváltozók az elsodleges hatású, a rendszerrel való kényszerkapcsolatuk alapján feltétlenül szabályozandó paraméterek. E változók száma erosen függ a fermentációk mindenkori technikai kivitelétol, a mérésiszabályozási lehetoségektol. A kontrollváltozók közé sorolható a homérséklet, a tápközeg ph-ja, a fermentlében oldott oigén koncentrációja, kemosztát elvu folytonos fermentáció esetén a higítási sebesség, a befolyó tápoldat szubsztrát koncentrációja stb. Természetes, hogy e változók számának növekedése teremti meg a fermentációs folyamat kézben tartásának, reprodukálhatóságának, s ugyanígy az egyre finomabb, a részleteket is adekvát módon tükrözo matematikai modellek megteremtésének lehetoségét. 35. táblázat Gyorsan szaporodó Escherichia coli összetétele (Watson, 1970 nyomán) ÖSSZETEVO VEGYÜLET CSOPORT % A SEJTÖMEGBEN ÁTLAG MÓLTÖMEG DB/SEJT H 2 O 70 18 4*10 10 1 1 40 2,5*10 8 20 SZERVETLEN IONOK: K +,Mg 2+,Ca 2+,Fe 2+,Cl - PO 4 4-,SO 4 2- FAJTA /SEJT Szénhidrátok és 3 150 200 prekurzoraik Aminosavak és 0,4 120 3*10 7 100 prekurzoraik Nukleotidok és prekurzoraik 0,4 300 1,2*10 7 200 Lipidek és 2 750 2,5*10 7 50 prekurzoraik Egyéb kis molekulák 0,2 150 1,5*10 7 200 (hem,kinonok,.) Fehérjék 15 40000 10 6 2-3000 Nukleinsavak DNS RNS 1 2,5*10 9 500000 4 3*10 4 1 1 228

Az állapotváltozók csoportja jelenti a tenyészet válaszait a környezeti behatásokra, így ide sorolhatjuk valamennyi anyagcsere-folyamat sebességét, az ezekben résztvevo anyagok és enzimek koncentrációit, a ph-t, stb. * Az állapotváltozók csoportjáról is elmondható, hogy a vizsgált és a modellezésbe bevont ilyen változók száma és információtartalma növekvo tendenciát mutat. Az elobbi osztályozás mellett elterjedt, és különösen bizonyos típusú matematikai modellek esetében használatos a változóknak biológiai és nem biológiai csoportokba sorolása. Elobbiek az un. biotikus fázis, tehát a mikrobatömeg (a fermentlétol elválasztott sejttömeg) jellemzo változói. Ilyenek a sejttömeg maga, vagy bizonyos alkotórészeinek mennyiségei és változási sebességeik. A nem biológiai változók, vagy más néven az abiotikus fázis változói a mikroba környezetét jellemzik (sejttömegtol elválasztott fermentlé). E csoportba sorolhatók az összes müveleti jellegu változók, mint a homérséklet, a gázbevezetés sebessége, a fermentlé összetétele,stb. A következôkben röviden áttekintünk néhány, a matematikai modellezés szempontjából lényeges fogalmat, valamint megadjuk a leggyakrabban eloforduló változók definícióit és az IUPAC által ajánlott szimbólumokat e változók jelölésére. A tenyészet, kultúra jelenti a szukebb értelemben vizsgált rendszert, amely a fermentlébol, vagyis a sejtektol megszabadított rendszerbol és a sejttömegbol áll. Gyakran a fermentlé kifejezést az egész tenyészetre is alkalmazzák. A tápoldat a tápanyagokból, szubsztrátokból áll. A tenyészet növekedésén a sejttömeg növekedését értjük. E növekedést szukebb és tágabb értelemben szemlélhetjük. Szukebb értelemben a sejttömeg tömeg szerinti gyarapodását jelenti, amelytol meg kell különböztetni a tenyészet sejtjeinek szám szerinti gyarapodását. A tágabb értelmezés mindkét esetet magában foglalja. Éppen e megkülönböztetés céljából a sejttömeg jelölésére az [g sz. a. /dm3 ] dimenziójú mennyiséget használjuk. Ugyanígy volumetrikus értelemben használjuk a matematikai modellezés szempontjából fo állapothatározóként kezelt különbözo növekedési sebességeket is: A növekedési sebesség d/dt, egysége pl. [mg sz.a./dm3.h] * a ph kontrollváltozó ha szabályozzuk, a magára hagyott rendszerben azonban állapotváltozó lesz. 229

A szaporodási sebesség dn/dt [db/cm 3.h ] A fajlagos növekedési sebesség egységnyi sejttömegre vonatkoztatott növekedési sebesség: d 1 µ X = [ h -1 ] dt A fajlagos szaporodási sebesség pedig az egy sejtre vonatkoztatott szaporodási sebesség: υ = dn 1 [ h -1 ] dt N A generációs ido fogalma nem teljesen egyértelmu. Eredetileg a szaporodásra vonatkozott, gyakran a növekedésre is alkalmazzák. Mikroszkopikus értelemben egy sejt megkétszerezodésének az ideje, makroszkópikusan pedig az egységnyi térfogatban lévo mikrobaszám illetve mikrobatömeg duplázódási idejét jelenti. t g ln 2 ln 2 = illetve t g = µ υ A tápoldat tápanyagtartalmát az S = [ S1 S 2 S3 S i ] X,,,... vektor (szubsztrátok) jelöli. Inde nélkül a tápanyagról vagy a limitáló szubsztrátról(értelmezését lásd késobb) beszélünk [g/dm3]. Ugyanígy az anyagcsere termékeket a P = [ P 1, P 2, P 3... P j ] jelöléssel illetjük. A P komponensei intra- ill. etracellulárisak, tehát biotikus és abiotikus fázisúak is lehetnek, ill. megoszolhatnak bizonyos - ido függvényében - változó arányban a két fázis között. ds i A szubsztrát- vagy tápanyag-felhasználási sebesség: [ g / dm 3 h] j A termékképzodési sebesség: [ g / dm 3. h] A fajlagos szubsztrát felhasználási sebesség az egységnyi sejttömegre vonatkozó szubsztrát felhasználási sebesség: Q S i dp dt [ ] ds i = qs = 1 g / g. h; h -1 i dt j A fajlagos termékképzodési sebesség: QP = q Pj = 1 [ g / g.h; h -1 ] E fajlagos sebességeket gyakran metabolikus kvóciens névvel illetik. j dp dt dt 230

3.3.2 A fermentációs modell-alkotás általános elvei A fermentációs rendszer bonyolultan összetett, amelyben számos kölcsönhatás érvényesül. E bonyolult rendszer/folyamat matematikai modellezése során egy sor olyan általános és a fermentációra specifikusan érvényes törvényt, tudományos eredményt kell felhasználni, amelyek sokrétusége magában is utal e feladat nehézségeire. Ezen alapelvek általában ismertek, mégis egyikérol, másikáról gyakran megfeledkezünk. Ennek oka nem feltétlenül tájékozatlanság, hanem inkább az, hogy maradéktalan érvényesítésük kilátástalannak tunik. A következokben röviden összefoglaljuk a modellezésnél alkalmazott elveket, amelyek segítik az eligazodást a szakirodalom fermentációs modelldzsungelében. A fermentációs modellek csoportosítását elsoként Fredrickson és munkatársai végezték el (1970). 3.3.2.1. Fizikai alapelvek Az anyagmegmaradás törvényét valamennyi fermentációs matematikai modell figyelembe veszi, sot azt mondhatnánk, hogy ez teremti meg a lehetoségét az "általános" matematikai modell felállításának. A matematikai alapegyenletek ugyanis általában a fermentációs rendszert alkotó anyagokra vonatkozó különbözo anyagmérlegek. Vizsgáljuk meg a folytonos muködésu, ideális, tökéletesen kevert bioreaktorra felírható anyagmérleg-egyenletet, amely i ( ) V dc = f c i, be c i + riv (147) dt alakú, ahol: V állandó fermentlé térfogat, f adagolási és elvételi térfogatáram c i az i-edik "anyag" koncentrációja r i az i-edik anyag növekedési sebessége. Ilyen anyagmérleg-egyenlet annyi írható fel, ahány komponense van a rendszernek (szubsztrátokra, termékekre és a sejttömegre, vagy annak komponenseire). Ezen egyenletek mindíg tartalmazzák az r i képzodési (szubsztrátok esetén természetesen r i <0 és így fogyást jelent) sebesség tagokat, amelyek miatt az anyagmérlegek egyenletrendszere önmagában nem oldható meg. Éppen r i -k modellezése jelenti a fermentációs matematikai modellezés szuk keresztmetszetét. Az anyagmérleg egyenletrendszer 231

általánosan érvényes és ezáltal megteremti a kapcsolatot a szakaszos, félfolytonos és különbözo folytonos fermentációk között. Ezek ugyanis ilyen szempontból csak f betáplálási (elvételi) sebességekben és c i,be értékeiben térnek el egymástól. Igy értelemszeruen szakaszos fermentációk esetén f = 0 és úgyszintén c i,be =0. A fizikai elvek második csoportját a termodinamikai elvek jelentik. A termodinamika elso fotételének -az energia megmaradás törvényének - figyelembevétele nem okoz gondot a fermentációk modellezésénél, csak abban az esetben szükséges ugyanis matematikailag megfogalmazni, ha a modellezés kiterjed a technológiai berendezésekre is, ha a folyamatban számolni kell hoelvonással, vagy jelentos hotermeléssel (lásd a C-forrás hasznosulását ). A termodinamika második fotételével azonban más a helyzet, mivel egy sor olyan következménye van, amelyeket nem véve figyelembe, hibás modellek felállításához juthatunk. Egy élo rendszer, így a fermentációs rendszer is termodinamikai szempontból nyílt rendszer, s mint ilyen, alapvetoen irreverzibilis módon végbemeno folyamattal jár. Az irreverzibilitást és a nyitott rendszer jelleget a környezettel való szakadatlan anyagcsere jelenti, és ez egyaránt érvényes mind az egyes sejtekre, mind a teljes populációra. Az egyes sejtek entrópiája csökkenhet vagy változatlan is maradhat, anélkül, hogy a II. fotétel érvényessége csorbát szenvedne. A mikroorganizmus úgy csökkenti vagy tartja állandóan entrópiáját, hogy környezetének entrópiája nagyobb mértékben növekszik. Ez természetes, ha meggondoljuk, hogy a mikroorganizmus szervezett létforma, rendezettsége nagyobb, mint környezetéé, ami csak úgy lehetséges, ha a környezet rovására tartja alacsony szinten entrópiáját. Sot igaz e megállapítás nemcsak szaporodó, növekvo, hanem az ún. nyugvó (de élo) sejtek esetében is. Ahhoz, hogy egy nyugvó sejt életképessége fennmaradjon, munkát kell végeznie környezetén. Ilyen munkavégzés pl. az ellenszegülés a sejteket szétroncsolni akaró ozmózisnyomásnak, a sejt ionkoncentrációjának fenntartása, nagy energiájú anyagainak (ATP) raktározása, a mozgás stb. Azt mondhatjuk tehát, hogy még a nyugvó sejteknek is szükségük van tápanyagokra, hogy rendezettségüket fenntarthassák. Ezen elv kvantitatív következményeit a szubsztrát hasznosulással foglalkozó 3.2. fejezetben fejtjük ki.. A termodinamikai tételek további következménye a fermentációs rendszerre, hogy az - nyílt rendszer lévén - nem lehet termodinamikai egyensúlyban. Ehelyett ha az élo sejtek anyagcseréje, a ki- és bemeno anyagáram folytonos, bizonyos idobeli állandóság, ún. "steady state" figyelheto meg. Az élo 232

rendszereknek és így fermentációs rendszerünknek is lényeges tulajdonsága az állandósult állapot, illetve az erre való törekvés. Az állandósult állapotra jellemzo, hogy nem, vagy csak csekély mértékben függ a komponensek kezdeti értékeitol, vagyis viszonylag széles határok között ugyanaz az állandósult állapot áll be (ekvifinalitási elv). E tulajdonság hiányzik a zárt rendszerekbol, ahol az egyensúlyi állapotot egyértelmuen meghatározzák a kezdeti feltételek. Az élo rendszer ilyen viselkedésébol következik, hogy a mikroba viszonylag tág határok között ugyanazon állandósult állapot elérésére törekszik, ha mások is az indulási környezeti feltételek: etrém környezeti hatások természetszeruleg etrém hatásokat eredményeznek. A fermentációs folyamat állandósult állapotát kiegyensúlyozott növekedésnek nevezzük. Erre jellemzo, hogy a komponensek koncentráció változásának fajlagos sebességei állandóak. Kétféle kiegyensúlyozott növekedésrol beszélhetünk: a) Korlátozatlan, amikor semmilyen kémiai vagy fizikai tényezo nem korlátozza a komponensek és az egész populáció növekedési sebességét. Ilyen a szakaszos fermentáció eponenciális növekedési szakasza és a turbidosztát elvu folytonos fermentáció, ha a rendszer eponenciális szakaszban üzemel. b)korlátozottan kiegyensúlyozott növekedés pl. a kemosztát elvu folytonos fermentáció, ahol a limitáló szubsztrát állandó, de nem optimális koncentrációja szabályozza a növekedést. A fermentáció részletes termodinamikai vizsgálata csak a nem egyensúlyi termodinamika apparátusával lehetséges. A fent említett néhány tulajdonság azonban mélyebb vizsgálat nélkül is belátható és a matematikai modellezés segédeszköze lehet. A modellezés fizikai elveinek harmadik csoportját, az ún. konstitutív elvek csoportját azok a fizikokémiai, reakciókinetikai törvények jelentik, amelyek meghatározzák a rendszerünkben lejátszódó folyamatok, transzport folyamatok (töltés-, energia- és momentum-, valamint anyagtranszport folyamatok), tisztán kémiai, és enzimes reakciók sebességeit. Végso soron ezen elvek felhasználása jelenti a tulajdonképpeni modellezést. A fenti elveken alapuló konstitutív egyenletek jelentik a matematikai modellegyenleteket, a rendszer komponenseinek "növekedését" leíró r i egyenleteket. Nyilvánvaló, hogy ezen egyenletek felállítása jelenti a modellezés szuk keresztmetszetét és jelenti azt is, 233

hogy a különbözo matematikai modellek foként konstitutív egyenleteikben térnek el egymástól. Valamennyi, fermentációt leíró matematikai modell lényegében a tömeghatás törvényének különbözo megfogalmazása, azt kell tehát a legfontosabb konstitutív elvnek tekinteni. Eszerint a rendszerben lejátszódó kémiai-enzimes reakcióknak és az egész rendszer növekedésének sebességét a reagáló anyagok mennyiségei valamely hatványainak és reakciókinetikai állandóknak a szorzatai lineáris kombinációival modellezzük. 3.3.2.2 Biológiai elvek A mikroorganizmusok növekedésük során az egyes sejtalkotó részeket (fehérjéket, nukleinsavakat stb.) minoségileg és mennyiségileg összhangban szintetizálják. Az a mikroba életképes, amely az anyagcseréjéhez szükséges energiát a környezet változásaitól függetlenül, ahhoz alkalmazkodva tudja eloállítani, és a szabályozó rendszerévél a környezeti változásokat kompenzálni képes. Konstitutív tulajdonságainak zavartalan muködtetése érdekében az induktív tulajdonságok "számtalan" lehetosége közül merít. A leírtak összecsengnek a termodinamikai elveknél említett, a kezdeti feltételektol bizonyos mértékben független állandósult állapotra való törekvés tételével: mindaddig, amíg a környezet változásai megengedik, a mikroba korlátozatlanul vagy korlátozottan ugyan, de kiegyensúlyozottan (steady stateben) növekszik. A genotípusnak a mikrobák alakjában, szaporodási módjában megnyilvánuló különbségeit legritkább esetben veszik figyelembe: gyakran fonalas gombák modellezésére ugyanazokat az összefüggéseket próbáljuk alkalmazni, mint baktériumokra, s ez elvileg helytelen (89. ábra). Különös körültekintéssel kell a modellezésben figyelembe venni azokat a környezeti tényezoket, amelyek a tenyészet hármas esélye (új sejtanyag szintetizálása, mutáció, és a sejtpusztulás) irányában a történéseket és azok intenzitását meghatározzák. A leglényegesebb környezeti tényezok hatásai és a különbözo modellekben való megjelenési lehetoségei vázlatosan az alábbiakban foglalhatók össze. A homérséklet hatása az Arrhenius-összefüggés értelmében jelentkezik annak ellenére, hogy a makroszkópikus mikroba metabolizmus számtalan elemi, molekuláris szintu lépés eredoje. Természetesen az élo sejt alapvetoen fehérje jellegébol következoen a hodenaturálódás is számottevo, így végso soron a két 234

effektus eredojét, egy maimumos, a homérséklettol függo növekedési sebesség összefüggést kapunk (90. ábra). A maimum elott, szuk hofok intervallumban, a fajlagos növekedési sebesség: µ = µ 0 e E RT (148) alakú összefüggés szerint változik. A fenti egyenletben µ 0 a fajlagos növekedési sebesség a vonatkozási homérsékleten. A E látszólagos növekedési aktiválási energia (pl. E. coli esetében 55,4 kj/mol volt egy adott fermentáció esetén). Ugyanakkor a denaturálódás fajlagos sebessége is az Arrhenius összefüggés szerint írható le, így a két hatás eredoje: E µ RT = A1e 2 A e E RT 1 2 ahol: E 1 ugyanaz mint fent E 2 a denaturálódás látszólagos aktiválási energiája A1,és A2 állandók. (149) Általában E 2 >> E 1, * ezért alacsony homérsékleten µ valóban a (148) egyenlet szerint változik a homérséklet növekedésével. A homérséklet nem csupán a növekedésre, hanem a termékképzodésre is hatással van. Gyakran a növekedés és termékképzodés hofokoptimuma nem esik egybe, így a teljes fermentáció optimális homérsékletének illetve optimális homérséklet profiljának meghatározása olyan optimumkeresési feladat, amely éppen a matematikai modellezés segítségével oldható meg. Jegyezzük meg, hogy a (148-149) egyenletek állandói nemcsak a tenyésztett mikrobától, hanem a környezet egyéb tényezoitol (ph, fermentlé összetétele) is függnek. * E 1 5O-80 kj/mol, míg E2 250-300 kj/mol tartományba esik 235

JELLEMZÕK BAKTÉRIUMOK ÉLESZTÕK FONALAS GOMBÁK ALAK pálcika,gõmb,láncok ellipszoid, gömb,láncok micélium fonadék MÉRET 0,5-4 µm 5-25 µm 5-15 µm hossz: 500-5000 µm REPRODUKCIÓ HASADÁS SARJADZÁS OSZTÓDÁS,SPÓRA azonos leánysejtek nem azonos leánysejtek hosszirányú növekedés SÛRÛSÉG 1,0-1,1 gcm -3 1,05-1,1 gcm -3 1,05-1,1 gcm - 3 EGY SEJT TÖMEGE 10-12 g 10-11 g - FEHÉRJE TARTALOM 60-80 % 45-55 % 25-55 % NUKLEINSAV 15-25 % 5-12 % 5-10% TARTALOM SZÉNHIDRÁT ÉS 5-30 % 10-30 % 10-50 % LIPID TARTALOM RELATÍV GYAKORISÁG 45 90 180 PERC GENERÁCIÓS IDÕ 89.ábra Mikroba típusok eltéro tulajdonságai µ ma h -1 1,0 0,8 Enterobacter aerogenes 0,6 0,4 0,2 Candida utilis 0,1 31 32 33 34 35 *10-3 1/T O K -1 40 35 30 25 20 15 T O C 90. ábra A fajlagos növekedési sebesség függése a homérséklettol 236

A fermentlé ph-jának hatása nem közvetlenül a sejten belüli anyagcseretevékenységre irányul, hanem elsodlegesen a sejtmembrán anyagtranszport folyamataira. Abban az esetben, ha a ph magára hagyott rendszerben szabadon változik, állapotváltozóként, ha szabályozásra lehetoség van, kontroll változóként kell figyelembe venni a modellezéskor. Igaz, hogy sok kivétel adódik, mégis egy sor általános következtetés vonható le a ph-nak a fermentációs rendszerekre gyakorolt hatásával kapcsolatban. A baktériumok rendszerint 4-8 ph tartományban növekednek, míg az élesztogombák a 3-6, a fonalas gombák a 3-7 ph tartományt részesítik elonyben. Ennek megfeleloen gyakran éppen a ph az a környezeti tényezo, amelynek segítségével egy fermentációs rendszer idegen mikrobákkal való befertozodése meggátolható (azonban soha ne hagyatkozzunk csupán erre egy rendszer sterilitásának fenntartásánál!) A mikroorganizmusaink tenyésztése során fellépo ph változásának több oka lehet. Ha például ammónia, NH 4 + -só a nitrogén forrás, akkor a fermentáció folyamán a ph csökkenni fog. Ennek oka az, hogy a N a fermentlében NH 4 + -formában van jelen, míg a sejtbe NH 3 + -R formában kerül be, tehát proton marad a sejt környezetében. Ez oly mértékben jellemzo ph-változást okoz, hogy egyes esetekben a N-forrás szabályozására, illetve adagolásra is felhasználható vezérlo jelnek tekinthetjük. Nitrát nitrogénforrás esetén a helyzet fordított, a tápközegbol kerül proton a nitrátra, amely szintén NH 3 + -R formában metabolizálódik, s így noni fog a fermentlé ph-ja. A ph változás másik oka az etracelluláris termékekben keresendo. A fermentációs rendszer lényeges jellemzoje a benne levo aerob mikroorganizmusok légzési tevékenysége. Az oigén ugyanis, mint fo elektron akceptor, szintén a rendszert jellemzo kontroll és állapotváltozókkal kapcsolatos. Így maga az oldott oigén koncentráció, vagy a fermentlére és technológiai körülményekre jellemzo oigén átviteli koefficiens (OTR), kontroll változók lehetnek, míg a légzési sebesség és a fajlagos légzési sebesség(q O2 ) a tenyészet fiziológiai állapotát jellemzo állapotváltozók. A légzés, levegoztetés, és az oigén ellátás kulcsszerepével a 3.4. fejezetben részletesen f'oglalkozunk. A fermentlé tápanyagai - mint környezeti tényezok- igen fontosak a mikrobák növekedése, anyagcsere-tevékenysége szempontjából. A tápanyagok minoségi és mennyiségi szempontból is lényegesek, nem utólsósorban ezek segítik elo 237

az induktív tulajdonságok manifesztálódását a "számtalan" genotípusos lehetoség közül. Érdemes megjegyezni, hogy a szubsztrátok is (hasonlóan a ph-hoz) kontroll és állapotváltozók is lehetnek, míg a szubsztrát felhasználási sebességek, valamint a fajlagos felhasználási sebességek egyértelmuen állapotváltozók. Koncentrációik meghatározhatják a növekedési sebességet. Ez esetben limitáló szubsztrátról vagy szubsztrátokról beszélünk, de nagy feleslegük gátlóan is hathat a mikrobatenyészet aktivitására (szubsztrátinhibíció). Ugyanezek érvényesek a környezetben felhalmozódó termékekre is (P j ), vagyis ezek lehetnek közömbösek, gátlóak, sot toikusak is a tenyészetre. Kérdés, hogy a felsorolt környezeti tényezok hogyan jelennek meg a matematikai modellben. A szubsztrátok - így az oigén is -, valamint a termékek a metematikai modellek konstitutív egyenleteiben, a tömeghatás törvény és az anyagtranszportot leíró egyenletek komponenseiként szerepelnek. A homérséklet és ph ritkán szerepel a modellekben epliciten, mivel a modellek rendszerint adott homérsékletre és ph-ra vonatkoznak. E két környezeti tényezot általában mint a kinetikai állandókra formálisan ható faktorokat vesszük figyelembe. Az alaposan kidolgozott modelleket rendszerint kiegészítik a kinetikai paraméterek, mint függo változók és a ph, ill. homérséklet mint független változók empirikus vagy az enzimkinetikán alapuló modelljeivel. A biológiai elvek csoportjába tartozik az a modellekben ritkán figyelembe vett tény is, hogy a fermentáció nem tisztán "születési folyamat", hanem számításba veendo a sejtek pusztulása (sejthalál, lízis) és a fermentáció alatti spontán, vagy a fermentlében jelenlévo mutagén ágens indukálta mutáció is. Ezek modellezése rendkívül bonyolult feladat, hiszen a jelenségek mechanizmusa nem mindig ismert, s foként jelenlétük nem mindig észlelheto. Általánosságban elmondható: a lízist és a sejthalált legtöbbször elsorendu kémiai reakciókként modelezzük. Végül fontos biológiai elv az, hogy minden biológiai folyamat, így a fermentáció is, tartalmaz véletlenszeru, vagy legalábbis általunk bizonytalanul ismert jelenségeket, tehát alapvetoen sztochasztikus viselkedésu. Hogy ennek ellenére eloszeretettel a determinisztikus leírásokat használjuk s ez mégsem jelenti rendszerünk tulajdonságainak durva elhanyagolását, bizonyítja egyrészt az a tény, hogy a sztochasztikus megközelítések várható értékben egy-egy determinisztikus leírást adnak. Másrészt a rendszer kísérletes vizsgálatára adódó lehetoségek is idehatnak, az ugyanis, hogy a sztochasztikus 238

jelleg legtöbbször nem ismerheto fel a jelenleg alkalmazott kísérleti módszerek mellett. Ez belátható, ha például a legegyszerubb sztochasztikus folyamat várható érték, illetve szórásnégyzet kifejezései alapján kiszámítjuk a rendszerben végezheto megfigyelések relatív szórását (a Monod-modell sztochasztikus analógja): várható érték m( t) λ = n e t 0 2 λt λt szórásnégyzet σ ( t) n 0e ( e 1) relatív szórás σ ( t) ( ) m t (150) = (151) 1 e = n λt 0 1/ 2 (152) Mivel n 0 általában igen nagy (a szokásos inokulum sejtsuruség 10 4-10 8 db/cm3 közé esik) a relatív szórás igen kicsiny: 10-4 - 1% közötti. Szempontunkból még a felso 1%-os relatív szórás is kedvezo, ha meggondoljuk, hogy ritkán van módunk fermentációs folyamatunk analitikai követésére e szóráshatáron belüli pontossággal. 3.3.3 A fermentációs matematikai modellek fobb típusai Mint minden matematikai modell, a fermentációs modellek is alapvetoen determinisztikus vagy sztochasztikus megfontolásúak lehetnek. A determinisztikus-sztochasztikus megkülönböztetésen túlmenoen különbözo modell csoportosítási rendszerek terjedtek e1 a szakirodalomban. Így megkülönböztetnek szubkultúrás és szubcelluláris szinten jelentkezo matematikai modelleket. A modellek felépítésének jellemzoit, illetve a modellépítés koncepcióit leginkább Fredrickson és munkatársai modell csoportosítási rendszere tükrözi híven, ezért az alábbiakban erre térünk ki részletesebben. Fredrickson és munkatársai osztályozása értelmében a fermentációs modellek az alábbi szempontok szerint csoportosíthatók: 1. Sejtszám modellek: a fermentációs rendszer fo állapotváltozójának a tenyészet sejtkoncentrációját tekíntik. Az eredeti angol elnevezés (segregated models) onnan adódik, hogy a tenyészet funkcionálisan és szerkezetileg elkülönült egységekbol, a sejtekbol tevodik össze. Ezek a modellek leginkább sztochasztikus felépítésuek. 239

2. Sejttömeg modellek: a sejttömeg-koncentrációt tekintik a populáció leglényegesebb állapotváltozójának és azon a feltételezésen alapulnak (ha nincs is mindig kiemelve!), hogy a sejttömeg egyenletesen oszlik el a teljes tenyészet térfogatban. Az eredeti angol csoportnév éppen ezen egyenletes eloszlást emeli ki (distributed modes). E modellek foként determinisztikus megfontolásokon alapulnak. A fenti csoportósításnál jellemzobb a következo két csoport: A) Struktúra nélküli modellek: a tenyészet növekedését és anyagcsere-aktivitását kémiai reakciók eredojeként modellezik. E kémiai reakciókban az egyik "reagáló komponens" a szerkezet nélküli, a fermentlében egyenletesen eloszló sejttömeg() (ennyiben ezek sejttömeg modellek is), reagáló partnerei pedig az ugyancsak mindenütt azonos koncentrációjú tápanyagok (S i ). A "kémiai reakciók" termékei az új sejttömeg és a termékek (P j ). Az ilyen típusú modellek a legelterjedtebbek és pillanatnyilag gyakorlati célokra is leghasználhatóbbak. B)Strukturális modellek: ugyancsak kémiai reakcióként értelmezik a fermentációs folyamatot, de a sejttömeg mint szerkezetileg és funkcionálisan megkülönböztetheto részek összege szerepel. E finomabb strukturális egységek - funkciójuknak megfeleloen - lépnek kölcsönhatásba a környezet tápanyagaival: a biotikus fázis komponensei reagálnak az abiotikus fázis komponenseivel és egymással, így a reakciók eredménye újabb sejttömeg, ill. strukturális részei, továbbá az abiotikus fázis termék komponensei. A strukturális fermentációs matematikai modellek kevésbé ismertek és elterjedtek, amely egyrészt magyarázható a kezelésükhöz szükséges matematikai apparátus kompleségével, másrészt nehezebb interpretálhatóságukkal. Mindkét fent érintett matematikai modell csoportosítás egyaránt vonatkozhat szakaszos és folytonos fermentációs rendszerekre is. E muveleti szempontú osztályozás jelentheti egyben a harmadik modell csoportosítási módot is, azonban ki kell emelni, hogy a muveleti besorolás álárendelt az elozoekkel szemben, hiszen valamely konkrét fermentációs matematikai modell esetében csak az anyagmérleg egyenletek formái térnek el a két modelltípusnál. Ezen áttekinto bevezeto után meg fogjuk vizsgálni az említett modell csoportok tartalmi jegyeit a legfontosabb csoport reprezentások bemutatásán keresztül. 240

3.3.4. Struktúra nélküli modellek (szakaszos rendszerek) 3.3.4.1. Monod modell-család A legismertebb és immár klasszikusnak mondható a Jacques Monod által kidolgozott fermentációs kinetikai modell. A mai napig a legtöbb fermentációs modell a Monod modellen alapul, de a meroben új elvekre épülo modellek is, legalább határeseteikben érintkeznek vele. Monod szerint a sejttömeg növekedését kifejezo konstitutív összefüggés: d r = = µ (153) dt vagyis a növekedés olyan autonóm folyamat, amelynek sebessége a pillantnyi sejttömeg koncentráció függvénye. Ezen egyenlet csak állandó µ esetén oldható meg, és ez csak a növekedés egy idoben korlátozott szakaszában, az eponenciális növekedés fázisában érvényes. Az eponenciális szakaszt a korlátozatlan kiegyensúlyozott növekedés jellemzi. Feltéve, hogy ezen eponenciális növekedési szakasz korlátozott idotartamát az okozza, hogy egy nélkülözhetetlen tápanyag már nem áll kello mennyiségben a sejtek rendelkezésére, Monod e limitáló szubsztrátnak a fajlagos növekedési sebességre gyakorolt hatását a Michaelis-Menten enzimkinetika analógiájára a következoképp modellezte: µ = µ S ma K + S (154) Azt a kísérleti tapasztalatot, amely szerint az egységnyi elfogyasztott szubszrátból azonos mennyiségu új sejttömeg képzodik, Monod, illetve Herbert a d ds S = Y / s (155) egyenlettel vette figyelembe, ahol Y X/S a sejttömegre és az adott szubsztrátra vonatkozó hozam (amely mint a 3.2. fejezetben láttuk, nem konstans). A Monod-modell tehát a fermentációs rendszert két komponense, az és S közötti enzimes reakcióként modellezi, ahol valamiféle totális enzimaktivitásként jelenik meg. 241

A modell teljes konstitutív egyenletrendszere az alábbi: d S r = = µ ma dt K S S + (156-157) ds 1 S rs = = µ ma dt Y K S / S S + A 91. ábra szerint rajzolható fel a sejttömeg növekedése az ido függvényeként egy tipikus szakaszos baktérium fermentáció során. Az ábra elso szakasza az inokulálás utáni lappangási (lag) szakaszt jelenti, amelyben a baktérium sejtek adaptálódnak új környezetük tápanyagaihoz. E szakasz értelmezése nem teljesen egységes. (Mivel értelmezése és foként modellezése meghaladja lehetoségeinket, ezért tekintsük lag szakasznak azt, ahol növekedés nem észlelheto.) A lag periódust a gyorsuló növekedés szakasza követi, amely alatt az adaptáció folytatódik, de itt már észlelheto növekedés. Nem minden sejt jut el azonban egyidejuleg oda, hogy maimális sebességgel szaporodjék, így e szakaszban 0<µ <µ ma. A következo, eponenciális fázisban (a gyakran használt, logaritmikus fázis kifejezés helytelen) a teljes sejttömeg maimális intenzitással növekszik, µ =µ ma. E szakaszban semmilyen korlátozás nincs, a sejttömeg növekedése korlátozatlanul kiegyensúlyozott steady state. A Monod-modell a szakaszos fermentációnak csak az eponenciális és hanyatló fázisát írja le, a két szakasz közötti határt a növekedési görbe infleiós pontja jelöli ki. Ha megfigyeljük a 92./a ábrát, jó közelitéssel kijelölheto egy, olyan S-tartomány, ahol mivel S >>K S, a µ igen közel esik a hipotetikus µ ma - hoz. E szubsztrát koncentráció értéket kritikus szubsztrát koncentrációnak nevezzük. A modell konstansainak meghatározási lehetoségét a 91., 92. ábra illetve a 93. ábrák grafikus módszerei teremtik meg, amelyek kedvezotlen követelménye, hogy a nem mérheto növekedési és szubsztrát felhasználási sebességekre is szükség van, s így a grafikus differenciálás nem kerülheto el. 242

4 µ gyorsuló növekedés szakasza szakasz 1 2 3 4 1 lag eponenciális fázis hanyatlõfázis t 3 2 α d/dt tgα=µ ma t 91.ábra A szakaszos fermentáció kinetikai képe µ µ ma 1/µ b) µ ma 2 a) Κ S /µ ma 1/µ ma Κ S S kritikus S 1/S X=X-X 0 c) Y X S=S 0 -S 92. ábra A MONOD-modell állandóinak grafikus meghatározása. a) µ függése a limitáló S koncentrációjától, b) Lineweaver-Burk féle ábrázolásmód c) A hozam értelmezése és közelíto számítása 243

1/µ LINEWEAVER-BURK S/µ HANES v. LANGMUIR tgα=k S /µ ma tgα=1/µ ma 1/µ ma 1 1 1 µ = µ + K s ma µ ma * S K S /µ ma S K = S + 1 * S µ µ ma µ ma -1/K S µ 1/S K S µ ma tgα=-k S S µ = µ µ ma K S S EADIE-HOFSTEE µ ma /K S µ/s 93.ábra A Monod-modell linearizált ábrázolásai Ezzel szemben a 94. ábrán bemutatott módszernél csak a mért, S, t értékekre van szükség, s így elobbi módszerek szubjektív hibáit nem hordozza. Ehhez tekintsük az ábrán feltüntetett egyenletet az y =a + bz egyenesnek, amely összefüggésben az y és z változók értelmezése az ábrából következik. Az a tengelymetszet és b iránytangens lineáris regresszióval meghatározható, és igazak az alábbi összefüggések is, amelyeknek segítségével az ismeretlen konstansok kiszámíthatóak (Y X/S kivételével): = K S = + S 0 (158,159) 1 b 0 µ ma a b a b YX/ S 244

t y= ln 0 y=a+bz z= S0 ln S 0 Y ln 0 0 94.ábra A MONOD-modell állandóinak meghatározása Muzicsenko szerint A Monod modell-család fontos csoportját alkotják azok a determinisztikus modellek, amelyek a limitáló szubsztrátnak a növekedésre gyakorolt inhibíciós hatását írják le. Bizonyos esetekben ugyanis, bár az S limitálja a növekedést, nagy koncentrációban alkalmazva ellenkezo, növekedést inhibeáló hatása lehet. E jelenség leírására többféle modellváltoztatást végeztek, de mindegyik az alábbi általános formában fejezheto ki (lásd 95 ábra). r d = = dt S µ ma 2 as + S + KS K i ahol az a állandó értéke gyakran 1, és K i a szubsztrát inhibíciót jellemzo állandó. (160) 245

µ 0,5 0,5 S 1/ µ K S /µ ma 1/ µ ma 8-0 1/Κ S 1/S 95.ábra Szubsztrátinhibició és Lineweaver-Burk ábrázolása. A Monod-modell továbbfejlesztési lehetoségét bizonyítja, hogy segítségével leírható az olyan bonyolultabb fermentációs rendszer is, ahol két vagy akár több tápanyagnak a fermentlében mérheto koncentrációja is limitálja a növekedést. A Monod modell n különbözo limitáló szubsztrátra kiterjesztett változatának konstitutiv egyenleteire három megközelítés is lehetséges: a) interaktív vagy multiplikatív leírás: µ = µ ma S1 S2 K + S K + S s1 1 s2 2 Sn K + S sn n µ = µ S n i ma i= 1 K si + S (161) i 246

b) additív leírás S1 S2 S µ = µ ma (w1 + w 2 + w n ) (162) K + S K + S K + S s1 1 ahol a w-k súlyfüggvények, amelyeket a következoképpen számíthatunk: s2 2 sn n c)nem interaktív leírás: w j = n K i= 1 S j j K S i i ( ) ( ) ( ) µ = µ S vagy µ = µ S vagy... µ = µ S (163) 1 2 n (164) Jegyezzük meg, hogy noha egyrészt a szakirodalomban az interaktív forma a legelterjedtebb, valamint az vezetheto le egyedül enzimkinetikai alapon, mégis a gyakorlatban az additív összefüggések adnak jobb illeszkedést a kísérleti eredményekhez. A két szubsztrátos kinetika gyakori az aerob fermentációk esetében, ahol a limitáló C-forrás mellett gyakran az oldott oigén koncentrációja is limitálóvá válik. Az ilyen két szubsztrátos kinetika interaktiv modellen alapuló konstitutív egyenletei a következok: r r S1 d = = dt µ ma ds1 1 = = dt Y S1S 2 K S K S ( + )( + ) X/ S1 S1 1 S2 2 ds2 1 rs 2 = = r dt YX/ S2 ahol értelemszeruen mindkét szubsztrátra definiálva van az Y X/S hozam. Ha például S 2 a szén/energia forrás és S 1 az oldott oigén koncentráció, akkor (166) egyenletet ki kell egészíteni az anyagátviteli taggal is, amely az oigénnek a fermentlében való oldódását írja le (l. részletesen a 3.4. fejezetben): r (165-167) 247

r S1 ds1 1 = = dt Y X/ S1 ma S1S 2 * + K La ( )( ) ( S1 S1) K + S K + S µ (168) S1 1 S2 2 Érdekes eredményre jutunk, ha a (168) egyenletet tüzetesebben megvizsgáljuk. Legyen az aktuális oldott oigén koncentráció lényegesen kisebb a telítésinél (ez elég gyakori a nagy levegoigényu aerob fermentációk esetében). Az aktuális oigén koncentráció egy fermentáció folyamán mindig egyensúlyi is (dinamikus egyensúly!), azaz olyan S 1 jön létre, amely mellett az oigén oldódása egyenlo a mikrobák oigén fogyasztásával, vagyis ds dt 1 0 = (169) Ez a következo egyenlet érvényességét jelenti, ha a kicsiny S 1 -et elhanyagoljuk S 1 * mellett: r d = Y / dt X X S L * K as1 (170) Másszóval lineáris növekedési összefüggést kapunk (a jobb oldal közel állandó). Ez lehet az egyszeru magyarázata az eponenciális és hanyatló növekedési fázis között gyakran észlelt egyenes növekedési görbének (vö. Kono-Asai modellel), vagy például a kis oigénátadást biztosító rázott lombikos tenyésztés során gyakran tapasztalt lineáris növekedésnek. A Monod-modell eredetileg ellentmond az általános elveknél megismert, a II. fotételbol következo követelménynek, hiszen állandó Y X/S -t tételez fel. Ha a 3.2.2. fejezetben tárgyalt hozam kifejezéseket alkalmazzuk, ez az ellentmondás eltunik. Az így felhasznált - nem állandó- 1 1 1 m = + + (116) Y Y Y µ / s C EG hozamkifejezés még további pontosításra szorul, hiszen feltételezi, hogy a limitáló szubsztrát, az Y X/S tényezovel arányos mértékben csak a sejttömeg termelésére és fenntartására fordítódik. Nyilvánvaló azonban, hogy az etracellulárisan megjeleno metabolit termékekben is viszontláthatjuk a tápanyagok egy részét. 248

A limitáló szubsztrát teljes fogyási sebességét tehát - ha pontosak akarunk lenni - a következoképp cé1szeru felírni: ds S d S dpi = + (171) dt dt i Pi dt amely szerint most már a hozamkifejezéseket az összes metabolit termékre is kiterjeszthetjük: 1 S = (172) Y i P P / S A limitáló szubsztrátnak a növekedési sebességre gyakorolt hatásával kapcsolatban említést kell tenni három olyan matematikai modellrol, amelyek formailag különböznek ugyan a Monod-modelltol, de keletkezésük körülményei miatt logikusan itt tárgyalandók. Arról van szó ugyanis, hogy ezek az eredeti Monod-modell néhány esetben tapasztalható nem adekvát volta miatt születtek, annak helyettesítése céljából. Ilyenek TEISSIER, MOSER és CONTOIS növekedési modelljei, amelyeknek konstitutív egyenletei sorrendben a következok: µ = µ KS ma 1 e (173) Teissier egyenlet: ( ) i n S n Moser egyenlet: µ = µ ma = µ ( + n ma 1 KsS ) K s + S 1 (174) S Contois egyenlet: µ = µ ma (175) K s + S A Moser egyenlet tekintheto a legáltalánosabbnak a fenti megközelitések közül és ha n=1, akkor átmegy a Monod egyenletbe. Érdemes megjegyezni, hogy e három egyenlet az eredeti Monod alapegyenlettel együtt felirható a következo általános differenciálegyenlet formában is és ekkor a paraméterek a 36.táblázat szerintiek. dv ds Kv a = v ahol v = µ µ ( 1 ) b / ma (176) 249

36.táblázat A MONOD modell javításai a b K Monod 0 2 1/Ks Teissier 0 1 1/K Moser 1-1/n 1+1/n n/ks 1/n Contois 0 2 1/Ks Az eredeti Monod-modell a szakaszos fermentációk termékképzodési viszonyaival, r P konstitutív megfogalmazásával nem foglalkozik. Tekintve azonban, hogy az alább ismertetendo termékképzodési modellek a növekedés modellezésében Monod követoi, ezért itt célszeru ezzel a kérdéssel is foglalkoznunk. A legismertebb termékképzodési kinetikai modell LUEDEKING és PIRET nevéhez fuzodik. A termékképzodést modellezo konstitutív egyenletük a következo: dp d rp = = α + β dt dt (177-178) 1 dp = µ P = αµ + β dt Az α és β konkrét értékei szerint a fermentáció három típusba sorolható a termékképzodés szempontjából, mégpedig: I: α>0 és β = 0 növekedéshez kötött termékképzodés II: α = 0 és β>0 növekedéshez nem kötött termékképzodés III: α>0 ésβ>0 vegyes típusú fermentáció. A Luedeking-Piret kinetika jellemzo grafikus ábrázolása és egyben az α ill. β állandók grafikus meghatározási lehetosége a 96. ábrán látható. 250

µ P β III. φ φ tgφ=α β I II. 96. ábra Luedeking-Piret féle termékképzodési típusok Gyakran a termékképzodési modell valójában a toikus metabolit termékek növekedésre gyakorolt hatásának leírására szolgál. Ilyen termék inhibíciós hatást már Hinshelwood is modellezett a következoképpen: d r = = µ ma( P) dt 1 α (179-180) dp rp = = β dt Toikus metabolit terméknek a haszontermék képzodésére, illetve a haszonterméknek a saját képzodésére gyakorolt hatását sokan modellezték. E modellek közül FRIEDMAN és GADEN ill. AIBA és munkatársai modelljeire térünk ki. Az elobbi szerzok a Luedeking-Piret kinetikai egyenlet módosítása alapján a következo összefüggéseket nyerték a Lactobacillus delbrücki tejsavfermentációjára: µ P = αµ + β γp (181) ahol P' a haszontermék (=P) vagy az inhibitortermék (=I) koncentrációja és γ állandó. Aiba és munkatársai rnodellje a termék hatását a fajlagos növekedési sebességre eponenciális függvénnyel veszi figyelembe (alkoholfermentáció) d S r dt K S e k P = = µ i ma. (182) S + amelyben k i az inhibíciót jellemzo empirikus állandó. µ X 251

Gyakran a termék inhibíciót az enziminhibíciók analógjaiként tárgyalják, kompetitív vagy nem kompetitív inhibíciót feltételezve: Kompetitív termék inhibíció esetén:µ = µ ma S P K s 1+ K p (183) S + Nemkompetitív termék inhibíció esetén:µ = µ ma 1+ K S s 1 P 1+ K p (184) Az élesztok által végzett etanol fermentáció jó példája a nem kompetitív termék inhibíciónak is, ha az etanol koncentrációja meghaladja az 5%-ot. 252