1 Egy érdekes statikai feladat Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal. A feladat A szabályos n - szög alakú, A, B, C, csúcsú lap az A csúcsán egy sima függőleges fal - hoz támaszkodik, úgy, hogy a B csúcsán egy a falhoz erősített fonálon lóg, melynek hosz - sza egyenlő a szabályos sokszög egy oldalának hosszával. Meghatározandó az egyensúlyi helyzet. A megoldás Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az egyensúlyban lévő lap egy AB élét, a lap S súlypontjában ható G súlyerőt, az A pontban ható R reakcióerőt, valamint a B pontban ható F fonálerőt tüntettük fel. Ez a feladat egy három erő egyensúlya - típusú statikai feladat; egyensúly esetén a három erő hatásvonala az M pontban metsződik, vektoraik pedig folytonos nyílértelemmel záródó vektorháromszöget képeznek. Az 1. ábra bal oldali ábrarésze alapján, ahol r az a oldalú sokszög köré írható kör sugara: ( 1 )
2 Most szinusz - tétellel: ( 2 ) tudjuk, hogy egy szabályos n - oldalú sokszögnél: ( 3 ) továbbá a háromszög belső szögeinek összege: ( 4 ) most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ( 5 ) Majd az A csúcsú szögekkel, ( 5 ) - tel is: Most ( 2 ), ( 3 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 ) tehát: ( 7 ) Majd ( 1 ), ( 6 ) és ( 7 ) - tel: innen: ebből: ( 8 / 1 ) vagy: ( 8 / 2 )
3 A ( 8 / 2 ) eredmény megegyezik az [ 1 ] - ben találhatóval. A sokszög - lap helyzetét jellemző ϑ szögre megtartva a fokos jelölést : ( 9 ) Megemlítjük, hogy az 1. ábra az n = 5 esetére ( 9 ) - ből adódó ϑ 24,6 értékkel készült. Ekkor ( 5 ) és ( 6 ) - tal is: Az 1. ábra jobb oldali ábrarésze alapján az egyensúlyozó erők nagysága: ( 10 ) Ezzel a kitűzött feladatot elvégeztük. Megjegyzések: M1. Felvetődhet a kérdés, hogy mikor lehet β = 0? Erre a 2. ábra alapján a válasz: n = 6 esetén. 2 / 1. ábra
4 2 / 2. ábra Itt a ( 6 ) és ( 9 ) alapján felírható ( 11 ) függvény lefutását mutattuk meg. Eszerint csak a szabályos hatszög esetében megy át az A pontbeli merőleges a sokszög S súlypontján. Ezt akár tételként is kimondhatjuk. Ez azt is jelenti, hogy nem lenne szerencsés az 1. magyarázó ábra esetén éppen hatszöget rajzolni: ekkor ugyanis durván elcsúszhatunk amit tapasztalataink alapján mondhatunk. M2. A ( 11 ) képletben n ; ekkor ugyanis ( 9 ) - ből: ( 12 ) Ekkor azonban R, F, amit a véges szilárdságú anyagok nem viselnek el. Például határesetben, egy a fonálban ébredő F meg megengedett legnagyobb húzóerő - nagysággal: ( 13 )
5 innen: ( 14 ) Vagy ( 8 / 1 ) és ( 13 ) - nal: rendezve: innen: ( 15 ) és ( 16 ) Például legyen az alkalmazott fonál olyan, hogy! ( a ) Ekkor ( 15 ) és ( a ) - val: ( b ) így ( 16 ) és ( b ) - vel: Ekkor a tényleges ϑ* szögre: ( c ) ( d ) majd a ténylegesen fellépő fonálerő - nagyságra: ( e )
6 Kíváncsiak lettünk a ( 15 ) függvény képére 3. ábra: Itt bejelöltük a ( c ) és ( e ) szerinti értékpárt. 3. ábra M3. Ne feledjük, hogy az n sokszög - oldalszámot tartalmazó képleteinkben, így azok grafikonjainál is az n változó csak pozitív egész számérték lehet! Emiatt pl. a 3. ábra grafikonja is bizonyos értelemben hibás : nem diszkrét pontokat, hanem folytonos görbét ábrázol. Ez lehet, hogy csak a mi fejletlenségünket bizonyítja, nem pedig az alkalmazott Graph programét. M4. A 3. ábra grafikonja a kezdeti szakasz után szinte egyenes. Mintha azt mondaná, hogy kb. n = 20 - tól az n oldalszám növekedésével közel arányosan erősebb fonálra van szükség. Erről meggyőződhet az Olvasó egy a grafikonhoz illesztett vonalzóval. M5. A feladat lényeges feltétele, hogy a fonál hossza egyezik a sokszög egy oldalának hosszával. Más esetben a megoldás és az eredmények is ( részben ) mások lesznek.
7 M6. Az 1. ábrán nem rajzoltuk ki a sokszöget, a már mondottak miatt is. A 4. ábrán az [ 1 ] forrásmű idevágó ábráját mutatjuk meg. 4. ábra Azért nem vettük elő ezt korábban, mert nem igazán informatív; pl. a szögeket egyáltalán nem jelöli, ami a szöveg megértését is nehezíti. Viszont itt teljesen kirajzolták a lógatott lap alap - ötszögét, melynek szög - adatait fentebb megadtuk. M7. E feladat ábrázolási szempontból is érdekes problémákat vet fel. Egyre már fentebb utaltunk; ámde technikai gondjaink is lehetnek: talán csak próbálgatás - sal találjuk meg a helyes ábrát adó sokszög - helyzetet. A megoldás a fenti: elő kell állítani az itt megadott ( vagy a velük egyenértékű ) szög - összefüggéseket, majd a választott n - re kiszámítani a szögek konkrét adatait, ezután lehet pontosan rajzolni. Ezek a tanulságok fontosak lehetnek a fejlődni vágyóknak, ezért is hasznos e feladat. Forrás: [ 1 ] George M. Minchin: A Treatise on Statics, Vol. I. 3. kiadás, Oxford, Clarendon Press, 1884. Sződliget, 2018. 11. 17. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár