SE EKK EIFTI Matematikai analízis

SE EKK EIFTI Matematikai analízis 1. Blokk A matematika minden ága foglalkozik halmazokkal, ezért fontos a halmazok általános tulajdonságainak vizsgálata. A halmazok általános tulajdonságaival a matematikának egy külön ága, a halmazelmélet foglalkozik. A halmazelmélet a matematikán belül viszonylag új területnek számít. Precíz kidolgozására csak a 19. század végén került sor. Halmaz: Adott különböz dolgok összeségét halmaznak nevezzük. Ez a mondat nem szigorú matematikai deníció a halmaznak, hanem csak többé-kevésbé szemléletes leírása. csak rá vonatkozó axiómák segítségével deniálható pontosan. A halmaz alapfogalom, amely (Hasonlóan ahhoz, ahogyan a síkgeometria megalapozásánál az alapfogalmakat (pont, egyenes, illeszkedés) axiómák rendszerével deniáljuk.) Naiv halmazelmélet: A matematika minden ágában használt elemi halmazelmélet a halmaz szemléletes leírása alapján is felépíthet. Ha ezt az utat követjük, akkor naiv halmazelméletr l beszélünk. Halmaz szemléletes leírása: A szemléletes leírásban mindegyik szó fontos. 1. Dolgok összesége: Azt fejezi ki, hogy a halmaz úgy keletkezik, hogy bizonyos dolgokat együtt tekintünk (ezeket a halmaz elemeinek nevezzük). A dolog szó használata pedig azt jelenti, hogy halmaz eleme bármi lehet. A halmazt, ha nem sok eleme van, akkor elemei felsorolásával jelölhetjük. Pl.: az egyjegy páros természetes számok halmazát így: {2, 4, 6, 8}. A halmazt Venn-diagram segítségével is ábrázolhatjuk. 2. Különböz : Lényeges a különböz szó is. Például az 13631 természetes szám számjegyeinek összeségét nem tekintjük öt elem halmaznak. Tehát 13631 számjegyeinek halmazáról beszélünk, azon a {1, 3, 6} összeséget értjük. (A {1, 3, 6, 3, 1}-et öt elem rendszernek mondjuk.) 3. Adott: Az adott szó azt jelenti, hogy a tekintett M halmaznak van valamilyen leírása, amelynek alapján minden dologról eldönthet, hogy M-hez tartozik-e. A leírás rendszerint abban áll, hogy megjelölünk egy tulajdonságot, amely M elemeit jellemzi, vagy pedig egy halmazt, amely M elemeit tartalmazza, és emellett egy tulajdonságot, amely a megjelölt halmaz elemei közül pontosan M elemeinek van meg. Ehhez szükség lehet az eleme szóval kifejezett, dolgok és halmazok közötti viszony jelére, az jelre, illetve a nem eleme viszony / jelre is. A fenti példánk megadása alaphalmazzal és tulajdonsággal: {n N : n < 10, 2 n}. Részhalmaz: Az A halmaznak részhalmaza a B, ha B minden eleme A-nak is eleme. Jele: B A. Üres halmaz: Az üres halmaz olyan halmaz, amelynek nincsen eleme. Jele:. Valódi részhalmaz: Az A halmaz valódi részhalmazán olyan részhalmazazát értjük, amely különbözik A-tól, azaz nem tartalmazza A minden elemét. Jele: C A. Részhalmazzal és üres halmazzal kapcsolatos állítások: 1. Minden halmaznak részhalmaza önmaga. 2. Minden halmaznak részhalmaza az üres halmaz. Halmaz m veletek: 1

1. Egyesítés = Unió: A B := {x : x A megenged vagy x B}. 2. Metszet = Közösrész: A B := {x : x A és x B}. 3. Szorzat = Descartes-szorzat: A B := {(x, y) : x A, y B}. 4. Különbség: A \ B := {x : x A, x / B}. 5. Szimmetrikus különbség: A B := {x : x A kizáró vagy x B} vagy A B := (A \ B) (B \ A). 6. Komplementer: A := U \ A, ahol U egy alaphalmaz és A U tetsz leges halmaz. Halmaz m veletekkel kapcsolatos állítások: 1. A halmaz m veleteknek számos tulajdonsága van. Pl.: Az unió és a metszet is kommutatív m velet. 2. A halmaz m veleteknek számos azonossága van. Pl.: De Morgan azonosságok: A B = A B és A B = A B. Diszjunk halmazok: Két halmaz diszjunk ha metszetük az üres halmaz, azaz nincs közös elemük. Descartes-szorzat: Legyen A és B tetsz leges halmazok. Ekkor az összes olyan (a, b) rendezett elempárok halmazát, ahol a A és b B, az A és B halmazok Descartes-szorzatának nevezzük. Jele: A B. Megfeleltetés: Legyen A és B tetsz leges halmazok. Az A B részhalmazait A-ból B-be való megfeleltetésnek nevezzük. Leképezés = Függvény: Az A-ból B-be történ f megfeleltetést A-t B-be leképez függvénynek vagy leképezésnek nevezzük, ha bármely a A-hoz pontosan egy olyan b B van, amelyre (a, b) f. (Azaz minden A-beli elemhez hozzárendel pontosan egy B-beli elemet.) Jele: f : A B. Értelmezési tartomány: Az A halmazt nevezzük az f leképezés értelmezési tartományának. Jele: D f. Érkezési halmaz = Képhalmaz : A B halmazt nevezzük az f leképezés képhalmazának. Értékkészlet: Azoknak az értékeknek a halmazát, amelyeket az f az összes a A helyen felvesz, f értékkészletének nevezzük. Jele: R f. Injektív leképezés: Legyen f : A B tetsz leges leképezés. Azt mondjuk, hogy az f leképezés injektív, ha tetsz leges c, d A és c d esetén f (c) f (d). (Azaz különböz elemeknek különböz a képe.) Példák injektív leképezésre: 1. f : R + 0 R+ 0 és f (x) = x Szürjektív leképezés: Legyen f : A B tetsz leges leképezés. szürjektív, ha f értékkészlete a B halmaz. Példák szürjektív leképezésre: Azt mondjuk, hogy az f leképezés 1. f : R R + és f (x) = 2 x+8 2

Bijektív leképezés: Egy leképezést bijektívnek mondunk, ha az injektív és szürjektív is. Példák bijektív leképezésre: 1. f : R R és f (x) = 2x + 6 Identikus leképezés: Tetsz leges A halmazra az id A : A A és a a leképezést az A identikus leképezésének nevezzük. Leképezések szorzata: Tetsz leges f : A B és g : B C leképezés esetén az f és g szorzata az az fg : A C leképezés, amely tetsz leges a A-hoz a g (f (a)) elemet rendeli. Leképezés inverze: Az f : A B leképezés inverze egy olyan g : B A leképezés, amelyre fg = id A és gf = id B. Jele: f 1. Leképezés inverzével kapcsolatos állítások: 1. Minden leképezésnek legfeljebb egy inverze van. 2. Egy leképezés akkor és csakis akkor invertálható, ha bijektív. Hatványhalmaz: Adott M halmaz összes részhalmazainak halmaza M hatványhalmaza. Jele: P (M). Ekvivalencia: Azt mondjuk, hogy két halmaz ekvivalens, ha elemeik között kölcsönösen egyértelm megfeleltetés létesíthet. Tehát A és B ekvivalensek, ha létezik f : A B bijekció. Jele: A B. Példák ekvivalenciára: 1. {0, 1, 2,...} N, n n + 1. 2. N {2, 4, 6,...}, n 2n. 3. R (0, ), x e x. 4. [0, 1] [1, 3], x 2x + 1. Véges halmaz: Ha egy A halmaznak n darab eleme van, akkor azt mondjuk a halmaz véges halmaz. Végtelen halmaz: Ha egy halmaz nem véges halmaz, akkor azt mondjuk végtelen halmaz. Számosság: Véges halmazok esetén számosságon elemeinek számát értjük. Jele: A = n. Kiterjesztés tetsz leges halmazra: Ha A és B ekvivalens halmazok, akkor azt mondjuk A és B számossága megegyezik. Jele: A = B. Számossággal kapcsolatos állítások: 1. Számosságokkal lehet m veleteket is végezni. (Összeadás, szorzás, hatványozás.) 2. Logikai szita két halmazra: A B = A + B A B. 3

3. Logikai szita három halmazra: A B C = A + B + C A B A C B C + A B C. 4. A hatványhalmaz számossága P (M) = 2 M. Megszámlálhatóan végtelen halmaz: Nincs olyan n természetes szám, amelyre N = n igaz lenne. N-nek is tulajdonítunk számosságot, amelyet a megszámlálhatóan végtelen szavakkal fejezünk ki, és az ℵ 0 (ale null, a héber ábécé kezd bet je nulla indexszel) vagy az a (gót a, a megfelel német abzählbar szó kezd bet je) jellel jelöljünk. Tehát N = ℵ 0. Megszámlálható halmaz: A véges és megszámlálhatóan végtelen számosságú halmazokat gy jt néven megszámlálható halmazoknak nevezzük. Sorozatba rendezhet ség: Egy A halmaz sorozatba rendezhet, ha létezik olyan A elemeib l álló a 1, a 2, a 3,... végtelen sorozat, amely A mindegyik elemét pontosan egyszer tartalmazza. Sorozatba rendezhet séggel kapcsolatos állítások: 1. Egy halmaz akkor és csak akkor megszámláhatóan végtelen, ha sorozatba rendezhet. Számossággal kapcsolatos álltítások: 1. Minden végtelen halmaznak létezik megszámlálhatóan végtelen részhalmaza. 2. Megszámlálható halmaz bármely részhalmaza is megszámlálható. 3. Megszámlálható sok megszámlálható halmaz egysesítése megszámlálható. 4. Két megszámlálható halmaz szorzata megszámlálható. 5. Véges sok megszámlálható halmaz szorzata megszámlálható. Példák számosságra: 1. Az egész számok halmaza megszámlálható. ( Z = ℵ 0 ) 2. A racionális számok halmaza megszámlálható. ( Q = ℵ 0 ) Sorozatba rendezem és ami kétszer van kihagyom:... -3-2 -1 0 1 2 3...... -3/2-2/2-1/2 0/2 1/2 2/2 3/2...... -3/3-2/3-1/3 0/3 1/3 2/3 3/3......... *.................. Q.E.D. 4

3. Az irracionális számok halmaza nem megszámlálható. ( Q ℵ 0 ) 4. A valós számok halmaza nem megszámlálható. ( R ℵ 0 ) 5. Az algebrai számok halmaza megszámlálható. (Egy valós szám algebrai, ha gyöke egy nem azonosan nulla racionális együtthatós polinomnak.) ( Algebrai számok halmaza = ℵ 0 ) 6. A transzcendens számok halmaza nem megszámlálható. (Egy valós szám transzcendens, ha nem algebrai.) ( Transzcendens számok halmaza ℵ 0 ) Kontinuum számosság: A valós számok halmazának számosságát kontinuum számosságnak nevezzük. Jele: R = c (kis gót c). Kontinuum számossággal kapcsolatos állítások: 1. Q = c 2. Transzcendens számok halmaza = c Reláció (kisebb-egyenl, kisebb): Legyen A = κ, B = λ. f : A B injektív leképezés. Azt mondjuk, hogy κ < λ, ha κ λ és κ λ. Relációval (kisebb-egyenl, kisebb) kapcsolatos állítások: Azt mondjuk, hogy κ λ, ha létezik 1. n véges esetén: n < ℵ 0, mivel {1, 2, 3,..., n} {1, 2,...} és véges végtelen. 2. ℵ 0 < c, mivel {1, 2,...} R és. 3. Cantor-tétel: Tetsz leges halmazra esetén A < P (A). 4. Nincs legnagyobb számosságú halmaz. 5. Végtelen sok végtelen számosság létezik, mivel N < P (N) < P (P (N)) <.... 6. Reexív és tranzitív. 7. Cantor-Bernstein-tétel: Antiszimmetrikus, azaz ha κ λ és λ κ, akkor κ = λ. 8. Dichotóm, azaz κ λ vagy λ κ. Koontinum-hipotézis: Nem létezik olyan κ számosság, amelyre ℵ 0 < κ < c = 2 ℵ0. Általános koontinum-hipotézis: Ha κ végtelen számosság, akkor nem létezik olyan λ számosság, amelyre κ < λ < 2 κ. Cantor, a modern halmazelmélet megalapítója azt sejtett, hogy a számosságoknak ez a tulajdonsága bizonyítható. Gödel megmutatta, hogy a koontinum-hipotézis nem cáfolható; azaz ha a halmazelmélet szokásos 5

axiómarendszere ellentmondástalan, akkor ellentmondástalan marad akkor is, ha hozzávesszük a koontinumhipotézist. (Ellentmondástalan axióma rendszer: nincs olyan ϕ állítás, hogy ϕ és ϕ is levezethet az axiómákból.) Cohen megmutatta, hogy a koontinum-hipotézis nem bizonyítható; azaz ha a halmazelmélet szokásos axiómarendszere ellentmondástalan, akkor ellentmondástalan marad akkor is, ha hozzávesszük a koontinumhipotézist tagadását. Tehát összeségében a kontinuum-hipotézis független a halmazelmélet többi axiómájától, azaz nem is bizonyítható és nem is cáfolható. Reláció: Legyen H egy tetsz leges halmaz. A H H bármely ϱ részhalmazát relációnak nevezzük. Reláció tulajdonságai: 1. Reexív: A H halmazon értelmezett ϱ reláció reexív, ha H minden x elemére xϱx. 2. Szimmetrikus: A H halmazon értelmezett ϱ reláció szimmetrikus, ha H minden x, y elemére xϱy yϱx. 3. Antiszimmetrikus: A H halmazon értelmezett ϱ reláció antiszimmetrikus, ha H minden x, y elemére (xϱy és yϱx) x = y. 4. Tranzitív: A H halmazon értelmezett ϱ reláció tranzitív, ha H minden x, y, z elemére (xϱy és yϱz) xϱz. Példák reláció tulajdonságaira: 1. A halmazok között tekintett reláció tranzitív. 2. A halmazok között tekintett reláció reexív, antiszimmetrikus, tranzitív. 3. A háromszögek hasonlósága reexív, szimmetrikus, tranzitív. 4. Az természetes számok halmazában az oszthatóság reexív, antiszimmetrikus, tranzitív. 5. Az egyenesek mer legessége nem reexív, szimmetrikus, nem tranzitív. 6. Az egyenl ség relációja reexív, antiszimmetrikus, tranzitív. Ekvivalenciareláció: A H halmazon deniált reexív, szimmetrikus és tranzitív relációt ekvivalenciarelációnak nevezzük. Ekvivalencireláció osztálya: Egy H halmazon deniált ekvivalenciareláció H-nak olyan részhalmazait határozza meg, amelyekre teljesül, hogy egyikük sem üres, egyesítésük maga a H, páronként diszjunktak (nincs közös elemük). Ezeket a részhalmazokat az ekvivalenciareláció osztályainak nevezzük. Példák ekvivalenciarelációra: 6

1. Egy sík egyeneseinek halmazán az e párhuzamos f-fel reláció. 2. Egybevágóság a háromszögek halmazán. 3. Hasonlóság a síkidomok halmazán. 4. Az egyetemi hallgatók halmazán az x évfolyamtársa y-nak. Részbenrendezés = Parciális rendezés: Ha egy reláció reexív, antiszimmetrikus és tranzitív, akkor a relációt részbenrendezésnek nevezzük. Részbenrendezett halmaz: Ekkor azt mondjuk, hogy H halmaz részbenrendezett halmaz a szóban forgó rendezéssel. Példák részbenrendezett halmazra: 1. D n = ({k N : k > 1, k n} ; ), ahol a szokásos osztója reláció. Rendezés: Ha egy tetsz leges H halmazon értelmezett reláció reexív, antiszimmetrikus, tranzitív és dichotóm, akkor azt mondjuk, hogy ez a reláció rendezés a H halmazon. Rendezett halmaz = Lánc: Ekkor azt mondjuk, hogy H halmaz rendezett halmaz (lánc) a szóban forgó rendezéssel. Példák rendezett halmazra: 1. L = ({0, 1, 1/2, 1/4, 1/8,...} ; ), ahol a szokásos kisebb vagy egyenl reláció. Rendezett halmazzal kapcsolatos állítások: 1. Hausdor-Birkho-tétel: Minden részbenrendezett halmaznak van maximális rendezett részhalmaza. Jólrendezett halmaz: Jólrendezettnek mondunk egy rendezett halmazt, ha bármely nem üres részhalmazának van els, azaz legkisebb eleme. Példák jólrendezett halmazra: 1. N = {1, 2, 3,...} jólrendezett. 2. 0 < x 1 feltételt kielégít racionális számok halmaza nem jólrendezett. 3. Q és R nem jólrendezett. Jólrendezett halmazzal kapcsolatos állítások: 7

1. Jólrendezési tétel: Minden halmaz jólrendezhet. Antinómia, Paradoxon: Az antinómia szó ellentmondást jelent, rendszerint értelmesnek látszó fogalmakban rejl ellentmondás értelemben használjuk. A paradoxon látszólagos ellentmondást jelent. Példák paradoxonra: 1. Russel-féle paradoxon: Nevezzünk egy halmazt tartalmazkodónak, ha önmagát elemként tartalmazza. Akkor a nem tartalmazkodó halmazok halmaza nem létezik, ha ugyanis létezne és nem tartalmazná önmagát, akkor tartalmazná önmagát; ha pedig tartalmazná önmagát, akkor nem tartalmazná önmagát. Formálisabban: X tartalmazkodó, ha X X. H := {X : X / X}. Ekkor az ellentmondás: H H H / H. 2. Összes halmazok halmazának paradoxona: Legyen H az összes halmazok halmaza. Ekkor P (H) H, mert H hatványhalmaza is halmaz. Ebb l következik, hogy P (H) H. Cantor tétele alapján: H < P (H). Ekkor az ellentmondás: a két reláció ellentmond egymással. 3. Összes számosságok halmazának paradoxona: Legyen S az összes számosságok halmaza, azaz S := {κ i : i I}, ahol I indexhalmaz; tehát a számosságokat beszámozom. Legyen A i = κ i és A := i I A i. Ekkor i : A i A A i = κ i A < P (A) =: κ, azaz i : κ i < κ. Ekkor az ellentmondás: mindig létezik olyan számosság, ami az összes számosságnál nagyobb, azaz ami nagyobb önmagánál is. Axiomatikus halmazelmélet: A halmazelméletben felbukkant paradoxonok vezettek az axiomatikus halmazelmélet kidolgozásához, amit Zermelo és Fraenkel végeztek el. Ez abban állt, hogy kijelölték a halmazelmélet kétségbe vonhatatlan legegyszer bb tényeit, s csak az ebb l logikai módszerekkel levezethet ítéleteket tekintették (és tekintjük) halmazelméleti tételnek. A halmazelmélet axiómákra építését az a körülmény is sürgette, hogy az paradoxonok éppen azid tájt bukkantak fel, amikor tudatosodott, hogy az egész matematika a halmazelméletre épül. ZF-axiómarendszer: A Zermelo és Fraenkel által kimondott halmazelméleti alapfeltevések rendszerét ZFaxiómarend- szernek nevezzük. A ZF-axiómarendszer egyes elemei: 1. Feltételezi üres halmaz és végtelen halmaz létezését. 2. Biztosítja, hogy két halmaz nem lehet különböz, ha ugyanazok az elemeik. 3. Leírja, hogy létez halmazokból milyen eljárásokkal lehet további halmazokat képezni (egyesítés, hatványhalmaz képzése). 4. Tartalmaz egy olyan axiómát, amely szerint (a naív halmazelmélett l eltér en) értelmes tulajdonsággal csak olyan halmazok részhalmazait deniálhatjuk, amelyekr l már tudjuk, hogy léteznek. Ez az axióma azt is megadja (sajnos nem egyszer en), hogy milyen értelmes tulajdonságok deniálnak részhalmazt. Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 8

Feladatok 1. Adja meg a következ halmazokat elemeivel! (a) A = {legalább 4, de 26-nál nemnagyobb 3-mal osztható páros számok} (b) B = {x x N, x prím, x kétjegy } (c) C = {y y = 3k + 1, k Z, k [0, 4]} 2. Szemléltesse Venn-diagramon a következ halmazokat! (a) (A B) C (b) (A B) (A C) (c) (A B C) (A B) (d) (C \ B) (A \ C) (e) (A \ B) ( A B ) 3. Legyen az alaphalmaz H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, valamint legyen A = {0, 2, 3, 4} és B = {0, 1, 4, 6, 7}. Határozza meg a következ halmazok elemeit! (a) A B, A B, H A, H B (b) A \ B, B \ A, H \ A, H \ B, A \ H, B \ H (c) A,B, A B, A B (d) A összes kételem részhalmazai (e) B összes négyelem részhalmazai 4. Legyenek megadva a következ intervallumok: A = ] 4, 6[ és B = [ 1, 2[ és C = [0, 8]. Határozza meg a következ intervallumokat! (a) A B (b) B C (c) A \ C (d) A \ B (e) A B C (f) A B C (g) (B C) A (h) A C 9

(i) (A B) C \ A 5. Egy csoport 30 f s, és közülük 4-en nem beszélnek semmilyen nyelvet. Angolul 15-en, németül 11-en, franciául pedig 13-an beszélnek a csoportban. Angolul és németül 12-en, angolul és franciául 5-en, valamint németül és franciául 4-en beszélnek. Hányan beszélik mind a három nyelvet? 6. Egy csoport 37 f s, és közülük 3-an nem sportolnak. Fociznak 24-en, úsznak 13-en, és kosaraznak 18-an a csoportban. Fociznak és úsznak 7-en, fociznak és kosaraznak 11-en, valamint úsznak és kosaraznak 8-an. Hányan zik mind a három sportot? 7. Bizonyítsa be Venn-diagram használata nélkül, hogy A B = A B! 8. Injektív leképezések-e a következ leképezések? (a) a : R R és a (x) = x 2 (b) b : R + 0 R+ 0 és b (x) = x (c) c : R R és c (x) = 3x + 5 (d) d : R R + 0 és d (x) = x 4 (e) e : R { 1, 0, 1} és e (x) = sgn (x) 9. Szürjektív leképezések-e a következ leképezések? (a) a : R + 0 R+ 0 és a (x) = x (b) b : R + 0 R és b (x) = x (c) c : R R és c (x) = (x 1) 2 + 3 (d) d : R R + és d (x) = 2 x+8 (e) e : Z Q és e (x) = 5x 4 10. Bijektív leképezések-e a következ leképezések? (a) a : R R és a (x) = 2x + 6 (b) b : R \ {9} R és b (x) = 5 x 9 (c) c : R + 0 [4, + [ és c (x) = 2x + 4 (d) d : R [ 1, 1] és d (x) = sinx (e) e : R R + és e (x) = 3 x 11. Döntse el, hogy a következ leképezések milyen típusúak! (injektív, szürjektív, bijektív) (a) a : ] 4, + [ R és a (x) = log 5 (x + 4) (b) b : R + 0 R és b (x) = 3x 7 (c) c : R [11, + [ és c (x) = 3 (x + 2) 2 + 11 10

(d) d : R \ { 6} R és d (x) = 7 x+6 + 10 (e) e : Z R és e (x) = 5 x + 4 12. Invertálható leképezések-e a következ leképezések? Ha igen, akkor adja meg a leképezés inverzét! (a) a : R + 0 R és a (x) = x (b) b : R R és b (x) = 6x 4 (c) c : R + 0 R+ 0 és c (x) = 5 x (d) d : R 0 R+ 0 és d (x) = (3x)2 (e) e : R \ {2} R és e (x) = 7 x 2 + 5 (f) f : R R + és f (x) = 3 x+4 (g) g : R R és g (x) = (x 4) 2 + 9 (h) h : ] 3, + [ R és h (x) = lg (x + 3) (i) i : R \ {1} R \ {6} és i (x) = (j) j : R R + és j (x) = 4e x 1 (k) k : R 0 2 3x 3 + 6 ], 14] és k (x) = 3 (x + 4) (l) l : R [ 1, 1] és l (x) = sinx (m) m : [ π 2, π 2 ] [ 1, 1] és m (x) = sinx (n) n : [0, π] [ 1, 1] és n (x) = cosx 13. Milyen geometriai transzformációnak felel meg egy invertálható függvény invertálása a koordináta-rendszerben? 14. Határozza meg az a R értéket úgy, hogy az f függvény bijektív legyen, majd adja meg az inverzét! f : R R és f (x) = { 3x+2 x+5, ha x 5 a, ha x = 5 Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 11

Megoldások 1. (a) A = {6, 12, 18, 24} (b) B = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97} (c) C = {1, 4, 7, 10, 13} 2. (a) (b) (c) 12

(d) (e) 3. (a) A B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}, A B = {0, 4}, H A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, H B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (b) A \ B = {2, 3}, B \ A = {1, 6, 7}, H \ A = {1, 5, 6, 7, 8, 9}, H \ B = {2, 3, 5, 8, 9}, A \ H =, B \ H = (c) A = {1, 5, 6, 7, 8, 9},B = {2, 3, 5, 8, 9}, A B = {5, 8, 9}, A B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} (d) {{0, 2}, {0, 3}, {0, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} (e) {{1, 4, 6, 7}, {0, 4, 6, 7}, {0, 1, 6, 7}, {0, 1, 4, 7}, {0, 1, 4, 6}} 4. (a) A B = ] 4, 6[ (b) B C = [0, 2[ (c) A \ C = ] 4, 0[ (d) A \ B = ] 4, 1[ [2, 6[ (e) A B C = ] 4, 8] (f) A B C = [0, 2[ (g) (B C) A = [ 1, 6[ (h) A C = ], 0[ [6, + [ (i) (A B) C \ A = ], 4] ]8, + [ 5. Legyen A, N, F rendre az angolul, a németül, valamint a franciául beszél emberek halmaza. Ekkor alkalmazva a logikai szitát: 30 4 = 15 + 11 + 13 12 5 4 + A N F. Innen A N F = 8, azaz mind a három nyelvet nyolcan beszélik. 13

6. Legyen F, Ú, K rendre a focizó, az uszó, valamint a kosarazó emberek halmaza. Ekkor alkalmazva a logikai szitát: 37 3 = 24 + 13 + 18 7 11 8 + F Ú K. F Innen Ú K = 5, azaz mind a három sportot öten zik. 7. Bizonyítandó, hogy A B = A B. Legyenek A, B halmazok. Tetsz leges x elemre x A B akkor és csak akkor, ha x / A B. Az, hogy x / A B, azaz x nincs benne az A és B halmazok mindegyikében, azzal ekvivalens, hogy x / A vagy x / B. Az x / A vagy x / B taulajdonság akkor és csak akkor áll fenn, ha x A vagy x B, azaz x A B. Q.E.D. 8. (a) Nem, mert 1; 1 R esetén a( 1) = a(1) = 1. (b) Igen, mert tetsz leges p, q R + 0, p q esetén: p q p q b(p) b(q). (c) Igen, mert tetsz leges p, q R, p q esetén: p q 3p 3q 3p + 5 3q + 5 c(p) c(q). (d) Nem, mert 2; 10 R esetén d( 2) = d(10) = 6. (e) Nem, mert 7; 5 R esetén e( 5) = e( 7) = 1. 9. (a) Igen, mert a (x) értékkészlete R + 0. (b) Nem, mert b (x) értékkészlete R + 0 R, azaz például a 4 nincs senkihez rendelve. (c) Nem, mert c (x) értékkészlete [3, + [ R, azaz például a 2 nincs senkihez rendelve. (d) Igen, mert d (x) értékkészlete R +. (e) Nem, mert például az 1 2 nincs senkihez rendelve, mivel bármely x Z esetén 5x 4 Z. 10. (a) Igen, mert injektív és szürjektív is. Tetsz leges p, q R, p q esetén: p q 2p 2q 2p + 6 2q + 6 a(p) a(q). Illetve a (x) értékkészlete R. (b) Nem, mert nem szürjektív, mivel b (x) értékkészlete R \ {0} = R, azaz például a 0 nincs senkihez rendelve. (c) Igen, mert injektív és szürjektív is. Tetsz leges p, q R + 0, p q esetén: p q 2p 2q 2p 2q 2p + 4 2q + 4 c(p) c(q). Illetve c (x) értékkészlete [4, + [. (d) Nem, mert nem injektív, mivel π; 3π R esetén d(π) = d(3π) = 0. (e) Igen, mert injektív és szürjektív is. Tetsz leges p, q R, p q esetén: p q 3 p 3 q e(p) e(q). Illetve e (x) értékkészlete R +. 11. (a) Bijektív, mert injektív és szürjektív is. Tetsz leges p, q ] 4, + [, p q esetén: p q p + 4 q + 4 log 5 (p + 4) log 5 (q + 4) a(p) a(q). Illetve a (x) értékkészlete R. 14

(b) Injektív, de nem szürjektív, tehát nem is bijektív. Tetsz leges p, q R + 0, p q esetén: p q 3p 3q 3p 3q 3p 7 3q 7 b(p) b(q). Illetve b (x) értékkészlete [ 7, + [ R, azaz például a 10 nincs senkihez rendelve. (c) Szürjektív, de nem injektív, tehát nem is bijektív. A c (x) értékkészlete [11, + [. Illetve 5; 1 R esetén c( 5) = c(1) = 38. (d) Injektív, de nem szürjektív, tehát nem is bijektív. Tetsz leges p, q R \ { 6}, p q esetén: p q p + 6 q + 6 1 p+6 1 q+6 7 p+6 7 q+6 7 p+6 + 10 7 q+6 + 10 d(p) d(q). Illetve d (x) értékkészlete R \ {10} R, azaz például a 10 nincs senkihez rendelve. (e) Injektív, de nem szürjektív, tehát nem is bijektív. Tetsz leges p, q Z, p q esetén: p q 5 p 5 q 5 p + 4 5 q + 4 e(p) e(q). Illetve például az 3 5 + 4 nincs senkihez rendelve. 12. (a) Nem invertálható, mert nem bijektív, mivel nem is szürjektív. Az a (x) értékkészlete R + 0 például a 4 nincs senkihez rendelve. R, azaz (b) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q R, p q esetén: p q 6p 6q 6p 4 6q 4 b(p) b(q). Illetve b (x) értékkészlete R. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = 6y 4 x + 4 = 6y y = 1 6 x + 2 3. b 1 : R R és b 1 (x) = 1 6 x + 2 3. (c) Invertálható, mert bijektív. Ekkor a leképezés inverze: Tetsz leges p, q R + 0, p q esetén: p q p q 5 p 5 q c(p) c(q). Illetve c (x) értékkészlete R + 0. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = 5 y x 5 = y y = ( ) x 2. 5 Ekkor a leképezés inverze: c 1 : R + 0 R+ 0 és c 1 (x) = ( ) x 2. 5 (d) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q R 0, p q esetén: p q 3p 3q (3p)2 (3q) 2 d(p) d(q). Illetve d (x) értékkészlete R + 0. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = (3y) 2 x = 3y x = 3y y = x 3. Ekkor a leképezés inverze: d 1 : R + 0 R 0 és d 1 (x) = x 3. (e) Nem invertálható, mert nem bijektív, mivel nem is szürjektív. Az e (x) értékkészlete R \ {5} = R, azaz az 5 nincs senkihez rendelve. (f) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q R, p q esetén: p q p + 4 q + 4 3 p+4 3 q+4 f(p) f(q). Illetve f (x) értékkészlete R +. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = 3 y+4 log 3 x = y + 4 y = log 3 x 4. Ekkor a leképezés inverze: f 1 : R + R és f 1 (x) = log 3 x 4. (g) Nem invertálható, mert nem bijektív, mivel nem is injektív. A 3; 5 R esetén g(3) = g(5) = 10. (h) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q ] 3, + [, p q esetén: p q p + 3 q + 3 lg (p + 3) lg (q + 3) h(p) h(q). Illetve h (x) értékkészlete R. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = lg (y + 3) 10 x = y + 3 y = 10 x 3. Ekkor a leképezés inverze: h 1 : R ] 3, + [ és h 1 (x) = 10 x 3. (i) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q R\{1}, p q esetén: p q 3p 3 3q 3 1 1 3q 3 2 2 3q 3 3p 3 3p 3 + 6 + 6 i(p) i(q). Illetve i (x) értékkészlete R \ {6}. Ebben az esetben a leképezés inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = 2 3y 3 + 6 x 6 = 2 3y 3 3y 3 = 2 x 6 y = 2 3(x 6) +1. Ekkor a leképezés inverze: i 1 : R\{6} R\{1} és i 1 (x) = 2 3(x 6) +1. (j) Invertálható, mert bijektív. Tetsz leges p, q R, p q esetén: p q p 1 q 1 4e p 1 4e q 1 j(p) j(q). Illetve j (x) értékkészlete R +. Ebben az esetben a leképezés inverzének a 15

megadásához cseréljük fel a változókat: x = 4e y 1 x 4 = ey 1 ln x 4 = y 1 y = ln x 4 + 1. Ekkor a leképezés inverze: j 1 : R + R és j 1 (x) = ln x 4 + 1. (k) Nem invertálható, mert nem bijektív, mivel nem is szürjektív. ], 14], azaz például a 13 nincs senkihez rendelve. A k (x) értékkészlete ], 12] (l) Nem invertálható, mert nem bijektív, mivel nem is injektív. A 0; π R esetén l(0) = l(π) = 0. (m) Invertálható, mert bijektív. A leképezés inverze: m 1 : [ 1, 1] [ π 2, ] π 2 és m 1 (x) = arc sinx, azaz az úgynevezett arkuszszinusz ciklometrikus függvény. (n) Invertálható, mert bijektív. A leképezés inverze: n 1 : [ 1, 1] [0, π] és n 1 (x) = arc cosx, azaz az úgynevezett arkuszkoszinusz ciklometrikus függvény. 13. Az y = x egyenesre való tükrözés. 3x+2 14. Alakítsuk át a függvényt: x+5 = 3( x+5)+15+2 x+5 = 3+ 17 17 17 x+5 = 3 x 5. Ekkor 3 x 5 értékkészlete R \ { 3}. Tehát a szürjektivitáshoz szükséges, hogy a 3 érték is { hozzá legyen rendelve egy x R-hez. 3x+2 x+5 Ebb l következik, hogy a := 3. Ekkor az f : R R és f (x) =, ha x 5 leképezés bijektív, 3, ha x = 5 mert injektív és szürjektív is. Tetsz leges p, q R \ {5}, p q esetén: p q p 5 q 5 1 p 5 1 q 5 17 p 5 17 17 17 q 5 3 p 5 3 q 5 f(p) f(q). Valamint f (5) = 3 és tetsz leges x 5 esetén f (x) 3. Illetve f (x) értékkészlete R. Ebben az esetben a függvény inverzének a megadásához cseréljük fel a változókat: x = 3y+2 17 y+5 = 3 y 5 x + 3 = 17 y 5 y 5 = 17 x+3 y = 17 x+3 + 5, ha x 3. Illetve x = 3 esetén legyen y = 5. Ekkor a függvény inverze: { f 1 : R R és f 1 17 x+3 + 5, ha x 3 (x) = 5, ha x = 3. Sándor Zoltán (sandor.zoltan.14@gmail.com) 16