1 Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről Vegyünk egy a és b féltengelyekkel bíró ellipszist a vezérgörbét, majd az ellipszis O centrumában állítsunk merőlegest az ellipszis síkjára. Ez a merőleges az ellipszishenger tengelye. Ezután egy a tengellyel párhuzamos egyenest vigyünk végig az ellipszis P pont - jain, önmagával párhuzamosan helyzeteken át. E mozgó egyenes az alkotó súrolja, előállítja az egyenes ellipszishenger - felületet. Egy ilyennek részlete látható az 1. ábrán. Most ennek síkmetszeteivel kapcsolatos feladatokat oldunk meg. 1. ábra forrása: [ 1 ] 2. ábra forrás: [ 2 ] A 2. ábrán egy ellipszishenger vezérgörbéjét ( kék vonallal ) és egy ferde síkmetszetét ( piros vonallal ) szemléltettük, axonometrikus képükkel.
2 1. Feladat: Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger körmetszetét! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Itt azt szemlélhetjük, hogy az ( a, b ) paraméterekkel bíró ellipszishengert elmetszettük egy a kistengellyel α szöget bezáró síkkal. Ha azt akarjuk, hogy a metszeti síkgörbe kör legyen, akkor fenn kell állnia a ( 1 ) 3. ábra kapcsolatnak; innen a metszősík(ok) hajlása: ( 2 / 1 ) ( 2 / 2 ) Indoklásként megemlítjük, hogy fordított úton járva az R sugarú kör merőleges vetülete a síkjával α szöget bezáró síkra az ( 3 ) paraméterekkel bíró ellipszis. Tehát az adott ( a, b ) ellipszishenger körmetszetét a ( 2 ) szerinti hajlású metszősíkok állítják elő, ahol a metszeti kör sugara ( 3 / 1 ) - gyel adódik.
3 2. Feladat Állítsuk elő az 1. feladatbeli ellipszis polárkoordinátákkal képzett paraméteres egyenlet - rendszerét! Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! 4. ábra Az ellipszis paraméteres egyenletrendszere, egy tetszőleges P pontjára: Az r P rádiusz - vektor kifejezéséhez Pitagorász tételével: ámde: ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) majd ( 4 ), ( 5 ), ( 6 ) - tal: innen: ( 7 ) ebből pozitív négyzetgyököt vonva kapjuk a vetületi ellipszis polárkoordinátás egyenletét:
4 ( 8 ) Végül a vetületi ellipszis paraméteres egyenletrendszere ( 4 ) és ( 8 ) szerint: ( 9 ) Még felírjuk a 4. ábrán feltüntetett szögek közötti összefüggést is. ( 6 ) - tal: innen: ( 10 ) A (10 ) szerinti mennyiség szerepel ( 9 ) nevezőiben is, hiszen: ahogyan annak ( 4 ) szerint lennie is kell. E feladat kiírása az alábbi. Adott: R, α. Keresett: x P ( φ ), y P ( φ ). Szavakban, ismét: Adott: egy R sugarú kör, melyet síkjával α szöget bezáró síkra vetítünk, merőlegesen. Keresett: a vetületi ellipszis polárkoordinátásból derékszögű koordinátákra átszámított paraméteres egyenletrendszere. Megjegyezzük: ~ képleteinkben fennállnak a relációk; ~ a kapott képletek más, hasonló feladatokban is jó szolgálatot tehetnek; ~ érdekes, hogy nem túl gyakran lehet találkozni velük, pedig levezetésük nem nehéz. Ezzel kitűzött feladatunkat megoldottuk.
5 3. Feladat: Állítsuk elő az egyenes ellipszishenger minden lehetséges síkmetszetét, ha a metszősík az ellipszishenger vezérgörbéjének síkjával α szöget zár be! Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! 5. ábra Az ellipszis vezérgörbe síkjával α szöget bezáró П metszősík és az ellipszishenger összes síkmetszetét úgy állítjuk elő, hogy a hengert az OZ tengelye körül megforgatjuk, miköz - ben a metszősík áll. A metszetgörbék egyenletét az álló OXYZ koordináta - rendszerben írjuk fel. Az ellipszis vezérgörbe egy P pontjához a rajta átmenő függőleges alkotó és a metszősík Q döféspontja tartozik, tehát a Q pontok által alkotott görbéket keressük. Az 5. ábra alapján a metszeti görbe Q pontjának koordinátái az alábbiak: ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) Az ellipszis rádiusz - vektorának kifejezése az ellipszis ( 14 ) kanonikus egyenlete, valamint ( 4 ) alapján, rövid számítás után, r > 0 - val is: ( 15 )
6 A 6. ábrán a henger vezérgörbéjének elforgatását mutatjuk meg. 6. ábra Ehhez felhasználtuk, hogy állandó szögsebességű forgatás esetén: majd élve a választással, ( 16 ) és ( 17 ) szerint az elfordulási szög kifejezése: A szögsebességet így vettük fel: ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ahol T egy teljes körülfordulás ideje. Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 )
7 Ezek után ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ), ( 15 ) és ( 20 ) szerint a metszeti görbék egyenletei: ( 21 ) ( 22 ) ( 23 ) Minthogy a síkmetszés eredménye síkgörbe, érdemes róla síkbeli ábrát készíteni. Ezt a Q pontok ( X Q, U Q ) koordinátáival oldjuk meg, ahol az 5. ábra szerint: ( 24 ) 7. ábra A ( 21 ) és ( 24 ) függvényekkel készült a 7. ábra is, a Graph szoftver alkalmazásával. Az ábrázolási adatok: a = R = 1 m ; α = 45 ; b = R cosα = 1/ sqrt( 2 ) m; T = 60 s ; t i = 0; 5; 10; 15; 20; 25 s.
8 Látjuk, hogy a metszeti síkgörbék kör, illetve ellipszisek. A körmetszet az 1. és a 2. feladatok alapján érthető. A metszeti ellipszisek kis - és nagytengelyének hossza a henger forgatása során változik. A 6., a 7. és a 8. ábrák egymás megfelelői. 8. ábra A 8. ábrán az 5. ábrán is jelölt R Q sugár - hosszakat ábrázoltuk a φ szög függvényében, a különböző ϑ elforgatási szögeknek megfelelően, a korábbi adatokkal. Ezekre fennáll, hogy ( 25 ) a metszeti görbékre. Az eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze. TÁBLÁZAT t ( s ) a* ( m ) b* ( m ) 0 1 1 5 1,192281 0,838728 10 1,352011 0,739639 15 1,414214 0,707107 20 1,352011 0,739639 25 1,192281 0,838728
9 A táblázati adatok megfelelnek a 7. ábráról levehető eredményeknek. Az R Q sugár kifejezése az alábbiak szerint is nyerhető. tehát: ( 26 ) Most ( 8 ) és ( 26 ) - tal, kis jelölés - változtatással: ( 27 ) Az R 0 = 1 m ; α = 45 ; t i = 0, 5, 10, 15, 20, 25 s adatokkal dolgozva állt elő a 8. ábra, a Graph ingyenes szoftver szélsőérték - meghatározó szolgáltatásával pedig a fenti táblázat. Érdemes megemlíteni, hogy a geometriából ismert ( 28 ) képletet esetünkre alkalmazva, ( 3 ) - mal is: innen: ( 29 ) Könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti táblázat adataival ( 29 ) nagy pontossággal teljesül. Ez ellenőrzést ad a korábbiak helyességére. A ( 29 ) összefüggés azt is jelenti, hogy a különböző ϑ hengerelfordítási szögekhez tartozó metszeti görbék területe egyenlő, függetlenül a metszetgörbe alakjától. Mondhatni, ez egy érdekes és némiképpen meglepő eredménye vizsgálatainknak. Megjegyezzük, hogy a 8. ábra grafikonjának függőleges tengelyén az f ( fi ) megjelölés a ( 27 ) képlet négyzetgyökös függvényére vonatkozik, melyben már érvényesítettük a fenti paraméter - adatokat. A metszeti ellipsziseket eddig jórészt numerikus segédeszközökkel vizsgáltuk.
10 Az alábbiakban a metszeti ellipsziseket analitikusan is megvizsgáljuk. Ehhez tekintsük a 9. ábrát is! 9. ábra Az ábrázolt ferde ellipszis polárkoordinátás egyenlete ( 15 ) - höz hasonlóan: ( 30 ) A polárszög kifejezése: ( 31 ) Folytatva, ( 11 ), ( 12 ), ( 24 ) - gyel is: tehát: ( 32 ) innen:
11 ( 33 ) Hasonlóan: ( 34 ) Látjuk, hogy a közvetlen feladat meghatározása. Ezt szélsőérték - számítással végezzük. és ismeretében ( 25 ) és ( 27 ) - tel: ( 35 ) ( 36 ) Emeljük négyzetre ( 27 ) - et! Ekkor: ( 37 ) Ezt a φ változó szerint differenciálva: ( 38 ) Innen: ( 39 ) A szélsőérték szükséges feltétele: ( 40 ) Minthogy R 0 és R Q véges nagyságú pozitív mennyiségek / szakaszhosszak, ezért ( 39 ) és ( 40 ) - ből a szélsőérték - számítás alapegyenlete itt: ( 41 ) Egy tört deriváltjára: ha. ( 42 )
12 Esetünkben: ( 43 ) A deriváltak: ( 44 ) ( 45 ) Most ( 42 ), ( 43 ), ( 44 ) és ( 45 ) - tel: Egyszerűsítve: ( 46 ) A ( 46 ) trigonometriai egyenlet megoldásait kell megkeresnünk. Ehhez átalakításokat végzünk rajta: Majd alkalmazzuk a ( 47 ) ( 48 ) azonosságot! Így ( 47 ) és ( 48 ) - cal: ( 49 ) Rendezve:
13 Most alkalmazzuk a azonosságokat, a ( 50 ) ( 51 ) ( 52 ) ( 53 ) változókra! Ekkor ( 50 ), ( 51 ), ( 52 ) és ( 53 ) szerint: rendezve: ( 54 ) I. eset: : most nem érdekes, hiszen ekkor ϑ = kπ, ahol k = 0,1, 2, és ~ ( 27 ) szerint ekkor R Q = R O, azaz a kis - és nagytengely hossza egyenlő, vagyis nincs helyi szélsőérték; ~ a henger forgatása során ϑ minden más értéket is felvehet. II. eset: ( 55 ) Ez a számunkra érdekes megoldandó egyenlet. További átalakításokkal:
14 ( 56 ) Számpéldánk adataival ( tgα = 1, ϑ = π / 30 * t ): ( 57 ) E függvényeket a 10. ábrán mutatjuk meg: kék +, piros. 10. ábra Az ( 57 ) képlet birtokában már számíthatók a metszeti ellipszisek jellemző adatai. Például: t = 5 s esetén φ 1 = 0,377177390 ( rad ), φ 2 = 0,900776165 ( rad ), Ezek az eredmények jól egyeznek a korábbi táblázat megfelelő eredményeivel.
15 A fentebb tárgyalt három feladat közül az első ismerős lehet az előtanulmányokból. A második már kevésbé; ezért is, meg a harmadikhoz való előkészületként is tárgyaltuk. A harmadik feladatra régebben mi sem vállalkoztunk volna, ugyanis a hatékony haladás feltétele itt is a számítástechnikai segítség megléte volt a Graph ingyenesen letölthető függvényábrázoló szoftver alakjában. Az itteni fogást, meglehet, bonyolultabb felületek síkmetszetei előállításához is alkalmazzuk majd a jövőben. Források: [ 1 ] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/elliptic_cylinder.png/800px -Elliptic_cylinder.png [ 2 ] http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/ Sződliget, 2017. 05. 20. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár