Keresztezett pálcák II Dolgozatunk I részéen a merőleges tengelyű pálcák esetét vizsgáltuk Most nézzük meg azt az esetet amikor a pálcák tengelyei nem merőlegesen keresztezik egymást Ehhez tekintsük az [ ] - ől vett árát! Látjuk hogy ez a pálcás mechanizmus is úgy működik hogy az jelű tengelyhez γ szög alatt rögzített 3 jelű pálca érintkezik a jelű tengely - hez merőlegesen rögzített 4 jelű pálcával majd pedig az tengely α szögelfordulása a tengely β szögelfordulását eredményezi Eközen a pál - cák érintkezési pontja az ára síkjáól kilépve elmozdul Azt is sejtjük hogy itt némileg onyolulta a helyzet ezért még nagyo óvatossággal kell eljárnunk Bizony elsőre könnyű elrontani a számítást A téreli viszonyokat a ára segít tisztázni ára ára
Ezen a rajzon a forgástengelyére nem merőleges pálcát az jellel a másikat a jellel azonosítjuk A zöld vonalak a pálcák tengelyeit mutatják a mozgás kezdeti pillanatáan amelyek ekkor a 0 pontan metsződnek A piros vonalak egy már elmozdult állapotan mutatják a pontan érintkező pálcák téreli helyzetét A legfeltűnő eltérés az I részen tárgyalt γ = 90 esetéhez képest hogy a érintkezési pont nem marad ugyanazon függőleges egyenesen ( Itt lehet elsőre eltéveszteni a számítást ) Próáljunk minél töet megtudni e szerkezet működéséről! Először állítsuk fel az α és a β szögek közti összefüggést! Ehhez tudatosítsuk magunk - an hogy ~ az pálca saját forgástengelyével ezárt γ szöge a forgás során ugyanaz marad; ~ a pálca forgása a során mindig az y = egyenletű függőleges síkan marad Ezek szerint a metszéspont is a mozgás minden pillanatáan az y = egyenletű függőleges síkan marad egyre távolodva az y tengelytől A ára alapján egyrészt: z tg ; ( ) másrészt: z a AD tg ; ( ) ámde AD D tg 90 D ctg valamint D D cos cos így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: AD ctg cos majd ( ) és ( 5 ) - tel: a ctg tg ; cos végül ( ) és ( 6 ) szerint: tg a ctg tg ; cos innen: tg tg a ctg cos ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 )
3 vagy tg tg a ctg cos innen pedig: tg ( ) arctg a ctg cos A metszéspont pályájának egyenlete ezek szerint: ( ) a ctg cos y ( ) z ( ) tg Másképpen: a tg tg ; cos a tg tg z ; z a tg ; innen: a z ; ctg z a tg ; Bevezetve a a ctg z ( 9 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 3 )
dimenziótlan új változókat ( ) és ( 3 ) - mal: 4 ( 4 ) Ez egy hiperola egyenlete [ ] melynek egyik fél - ága a 3 árán látható 7 zeta 6 5 4 3 kszi - 3 4 5 6 7 8 9 - f()=sqrt(*-) Ennek egyenlete: 3 ára ( ) ( 5 ) Megállapíthatjuk hogy a pálcák metszéspontjai működés közen egy 0 függőleges síkú hiperolát írnak le Most vizsgáljuk meg hogy a β szög milyen határok között mozoghat ha α a 0 ~ 90 tartományan marad! Helyettesítsük ezeket a határokat ( 9 ) - e! Ekkor:
5 tg0 tg 0 0 a ctg cos 0 tg90 tg 90 a ctg a ctg cos 90 0 ( 6 ) Látjuk hogy ( 6 ) második soráan határozatlan alakú kifejezést kaptunk E határozat - lanság feloldására alkalmazzuk ( 9 ) - re a L Hospital - szaályt [ ]! d tg d cos tg lim tg lim lim lim tg 90 90 d a ctg 90 sin 90 ctg sin cos d cos innen: lim * 90 ( 7 ) Ezek szerint a β szög a 0 ~ γ tartományan mozoghat Ezt az eredményt szemlélteti a 4 ára is 4 ára Látjuk hogy β* = γ esetén a metszéspont a végtelene tolódott el mert a pálcák ekkor párhuzamos helyzetűek A pálcák érintkezése azonan már α < 90 esetén megszűnik azok véges hossza miatt A hosszakra és a továi szögekre vonatkozó összefüggések felírásához tekintsük az 5 árát is!
6 5 ára Az 5 ára alapján ~ az pálca A hossza ( ) - gyel is: a cos cos cos sin cos cos sin l ; ( 8 ) ~ a pálca B hossza ( 9 ) és ( 0 ) - zel is : l tg tg a ctg tg cos cos a ctg tg cos tehát: a ctg l tg cos ( 9 ) Továá: tg ; ( 0 )
a már eddig is alkalmazott tg tg ( ) 7 képletől és ( 0 ) - ól: tg tg tg ( ) Majd ( ) és ( 0 ) - szal: tg a ctg a ctg cos cos vagy a ctg ctg tg cos Ezután: tg cos tg a ctg cos ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: a ctg ctg ( 6 ) Továá: z l sin sin sin tg cos sin A szerkezet működése addig az α ma szögértékig tart amelynél l L vagy l L ( 7 ) ( 8 ) ahol L L a pálcák hossza Ekkor ( 8 ) és ( 8 ) - cal: L cos arccos cos sin L sin L sin ( 9 ) ma ma ma
8 Hasonlóan ( 9 ) és ( 8 ) - cal: a ctg tg L cos amiől: L a ctg a a ctg ctg tg tg cos cos cos a a ctg ctg cos cos cos a a ctg ctg cos cos azaz: a L a ctg ctg 0 cos cos Ennek a másodfokú egyenletnek a megoldása: a a L a ctg ctg 4 ctg cos ctg ; ( 30 ) ( 3 ) Mivel a fentiek szerint a gyakorlatilag előálló eseteken cos 0 ( 3 ) így ( 3 ) és ( 3 ) miatt: a L a a ctg ctg ctg cos ctg innen: ctg cos a L a a ctg ctg ctg ; ( 33 ) ( 34 )
9 eől pedig: ctg ma arccos a L a a ctg ctg ctg ( 35 ) Most határozzuk meg a tengely körüli forgások szögseességeinek nagyságát illetve a közöttük fennálló összefüggést! Itt is mint az I részen is feltesszük hogy ω = konst ( 36 ) A ( 9 ) összefüggés: tg tg ; a ctg cos ennek idő szerinti deriválásával ~ a al oldal: d d d d tg tg y tg = y tg y dt d dt d cos tg y ; a ctg cos ( 37 ) ~ a jo oldal: d tg d d d tg tg dt a ctg d dt d cos a ctg sin tg ctg cos cos cos a ctg cos most ( 37 ) és ( 38 ) szerint: ; ( 38 )
0 a ctg sin tg ctg tg cos cos cos y a ctg a ctg cos cos innen: a ctg sin tg ctg cos cos cos y a ctg tg cos a ctg cos a ctg sin tg ctg cos cos cos a ctg tg cos Egyféle szögfüggvénnyel való kifejezéshez a nevezőt átalakítva: a ctg a a ctg ctg tg cos cos cos cos a a ctg ctg ; cos cos az előzőkkel: a ctg sin tgctg cos cos cos y a a ctg ctg cos cos a ctg tgctgsin cos ; a a ctg cos ctg cos folytatva:
a ctg sin ctg cos cos y a a ctg cos ctg cos a ctg sin cos a a ctg cos ctg cos a ctg cos cos a a ctg cos ctg cos a ctgcos a a ctg cos ctg cos tehát például: a ctgcos y a a ctg ctgcos cos ( 39 ) A ( 36 ) - ól is adódó (t) t ( 40 ) összefüggéssel ( 39 ) - ől: a ctgcos t y (t) a a ctg ctgcos t cos t ( 4 ) Ez a szögseességek kapcsolatának egy lehetséges kifejezése
Specializáció: 90 ctg 0 Ekkor ( 39 ) és ( * ) - gal: a a y cos a a cos cos a tg a tg a a tg tg a tg a tg a tg a tg a a tg a tg a tehát: tg y 90 a tg a ( * ) ( 4 ) egyezően az I rész ( 7 ) képletével Most írjuk fel a seességek képleteit! Először a pont aszolút seességének nagyságát számítjuk ki Ehhez tekintsük a 6 árát is! ds d dz v v v z dt dt dt Majd ( 43 ) d ( ) d ( ) d d ( ) v ; dt d dt d ( 44 )
3 6 ára de ( ) - ől: d a ctg d ( ) cos sin ctg d d cos így ( 44 ) és ( 45 ) - tel: sin v ctg cos Hasonlóképpen: dz ( ) dz ( ) d dz ( ) v z ; dt d dt d de ( ) - ől: dz ( ) d tg d d cos így ( 47 ) és ( 48 ) - ól: vz cos ( 45 ) ( 46 ) ( 47 ) ( 48 ) ( 49 ) Ezután ( 43 ) ( 46 ) és ( 49 ) - cel:
4 sin v v vz ctg cos cos ctgsin cos tehát: ctgsin v cos Specializáció: ( * ) és ( 50 ) - nel: v 90 cos ( 50 ) ( 5 ) A 6 ára alapján: v v ctg sin tg cos ctgsin z cos tehát: tg ctgsin ( 5 ) Specializáció: ( * ) és ( 5 ) - vel: tg 90 0sin 0 azaz 90 0 ( 53 ) jelentése: ha a pálcák merőlegesek tengelyeikre akkor a pont mozgása egy függőleges egyenes mentén történik megegyezésen az I részen mondottakkal ( 53 ) Hasonlóan: 90 esetén tg 90 ctg tg 90 90 90 Az ( 54 ) képlet a 4 ára esetét írja le azaz ( 54 ) A pont pályaefutási törvényét az aláiak szerint kaphatjuk meg ( 43 ) - ól integrálással:
5 t dt v v s (t) v dt v d d d v d ; ( 55 ) d d 0 0 0 0 0 majd ( 50 ) és ( 55 ) - tel: 0 dt ctg sin s ( ) d cos ( 56 ) Az ( 56 ) integrált célszerű numerikusan meghatározni A pont mozgása során megtett maimális úthossz ( 56 ) - ól: ma ctg sin s ( ) ma d ( 57 ) cos ahol ma ma ma 0 min ( 58 ) vagyis a ( 9 ) és a ( 35 ) képlettel adott értékek közül a kiseik Specializáció: ( 56 ) - ól ( * ) - gal kapjuk hogy s ; 90 d tg cos egyezésen az I rész ( ) képletével 0 ( 59 ) Most áttérünk a relatív seességek meghatározására Először a pontnak az jelű rúdhoz viszonyított seességének nagyságát határozzuk meg: ds ds d ds v ( 60 ) dt d dt d A ára szerint: s A 0A cos sin sin sin cos tehát: s sin cos ( 6 ) Ezzel: ds sin d sin cos ( 6 )
6 Most ( 60 ) és ( 6 ) - vel: sin v sin cos ( 63 ) Specializáció: ( * ) és ( 63 ) szerint sin v 90 cos megegyezően az I rész ( ) képletével Ezután képezzük ( 63 ) és ( 50 ) hányadosát! sin v sin cos sin v ctgsin sin ctgsin cos innen sin v v sin ctgsin Specializáció: ( * ) és ( 64 ) szerint v 90 v sin megegyezően az I rész ( ) képletével Ezután a pontnak az jelű rúdhoz viszonyított seességének nagyságát határozzuk meg: ds ds d ds v dt d dt d ( 64 ) ( 65 ) A ára szerint: s BB0 a ctg a ctg 0 cos cos cos tehát: s a ctg a ctg cos cos ( ) ( 66 ) Átalakítással:
7 s a ctg tg a ctg ; cos most ( 9 ) és ( 67 ) - tel: tg s a ctg a ctg cos a ctg cos Eől kiemeléssel: a ctg tg a s ctg ; cos a ctg cos továi átalakítással: cos a ctg a s tg ctg ; ( 67 ) ( 68 ) ( 69 ) elvégezve a deriválást: / ds d a ctg d a ctg tg tg d d cos d cos / a ctg a ctg ctg sin tg tg cos cos cos cos / a ctg a ctg ctg sin sin tg 3 cos cos cos cos a ctg ctgsin sin 3 cos cos cos ; a ctg tg cos a számlálót tová alakítva:
8 SZ a ctg ctgsin sin a ctgsin ctg sin sin 3 3 3 cos cos cos cos cos cos a ctgsin sin sin a ctg 3 ctg ctg ; cos cos cos cos ezzel folytatva: sin a ctg ctg ds cos cos ; d a ctg tg cos ( 70 ) majd ( 65 ) és ( 70 ) - nel: sin a ctg ctg cos cos v a ctg tg cos ( 7 ) Specializáció: ( * ) és ( 7 ) - gyel: sin cos cos tg tg v 90 a a tg tg tg tg tg tg a a a tg a a tg tg tg a tg tehát:
9 tg tg v 90 a tg a megegyezésen az I rész ( 30 ) képletével Továi specializációk: ( * ) és ( 6 ) - gyel: s 90 cos megegyezésen az I rész ( 0 ) képletével; majd ( * ) és ( 66 ) - tal: s 90 a cos ( ) megegyezésen az I rész ( 6 ) képletével Ezután képezzük ( 7 ) és ( 50 ) hányadosát! sin a ctg ctg cos cos a ctg tg v cos v ctgsin cos a ctg sin ctg cos a ctg tg ctgsin cos innen: a ctg sin ctg cos v v a ctg tg ctgsin cos ( 7 )
0 Majd írjuk fel ( 63 ) és ( 7 ) hányadosát! v sin cos sin cos v sin a ctg ctg ctg cos cos cos sin a ctg tg a ctg a ctg tg cos tehát: a ctg tg v sin cos v a ctg ctg cos ( 73 ) Specializáció: ( * ) és ( 73 ) - mal: a a a tg tg tg v v tg 90 tg cos tehát: v a tg 90 v tg ( 74 ) megegyezésen az I rész ( 3 ) képletével A szerkezet működésének időtartamára ( 58 ) - cal is: ma ma T T ( 75 ) Még nézzük meg a ( 9 ) és a ( 35 ) képletek specializációját! Most ( * ) és ( 9 ) szerint:
ma 90 arccos L megegyezően az I rész ( 37 ) képletével ma Majd ( * ) és ( 35 ) szerint: 90 arccos arccos tehát: ma 90 arccos L a L L a a megegyezésen az I rész ( 4 ) képletével Megjegyzések: M Az α - t tartalmazó képleteken természetesen mindenütt (t) t értendő ( 40 ) szerint Ezt nem erőltettük M Az (56 ) képlet integranduszának alakulását szemlélteti a 7 ára γ = 30 felvételével M3 Az ( 56 ) - eli integrál a felső határának a függvénye: I = I( α ) A felső határ változtatásával változik az integrandusz - függvény göréje alatti terület is amit pl a Graph szoftverrel könnyen kiértékelhetünk 8 ára A göre természetesen csak α ma - ig érvényes
00 y 80 60 f()=((cos())^(-))*(+3*sin()*sin())^(/) 40 0 00 80 60 40 0 alfa ( fok ) -80-60 -40-0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 0-0 7 ára
3 00 I = s ( alfa felső ) / 00 000 900 800 700 600 500 400 300 00 00 Pontsor alfa felső ( fok ) -500-400 -300-00 -00 00 00 300 400 500 600 700 800 900 8 ára Ezzel a feladatot megoldottuk Irodalom: [ ] Ju V Miloszergyin ~ B D Szemjonov ~ Ju A Krecsko: Raszcsot i konsztruirovanyije mehanyizmov priorov i usztanovok Masinosztrojenyije Moszkva 985 [ ] I N Bronstejn ~ K A Szemengyajev: Matematikai zsekönyv tö kiadásan Műszaki Könyvkiadó Budapest Sződliget 0 novemer 3 Összeállította: Galgóczi Gyula szaktanár