Informatikai logikai alapjai Mérnök informatikus 3. gyakorlat 1. Definíciók A feladatokban bevezetünk két újabb logikai konstanst: a és jellel jelölteket. Ez a két konstans önmagában is formulának tekintendő. A értéke minden egyes interpretációban 1, míg a értéke minden egyes interpretációban 0 lesz. Más megközelítésben a a (p p), míg a ( a p p) rövidítése valamely p Con nemlogikai konstansra. 2. Formulák 1. Az alábbiak közül melyek az L (0) nyelv formulái? (Con = {p, q, r, s, t}, a zárójel-elhagyási konvenciók nem használhatóak.) A. p B. (q) C. t D. p q E. p q r 2. Az alábbiak közül melyek az L (0) nyelv formulái? (Con = {p, q, r, s, t}, a zárójel-elhagyási konvenciók nem használhatóak.) A. p q r B. ( q) C. ( p ( q p)) D. ( q p) E. p q 3. Az alábbiak közül melyek az L (0) nyelv formulái? (Con = {p, q, r, s, t}, a zárójel-elhagyási konvenciók nem használhatóak.) A. ((A B) C) B. (s q) C. pq + r D. (q p) E. (p q) 4. Adja meg a (( q r) r) formula szerkezeti fáját! 5. Adja meg a (((p q) p) q) formula szerkezeti fáját! 6. Adja meg a (p (r q) formula szerkezeti fáját! 7. Adja meg a ( ( p q) (p q)) formula szerkezeti fáját! 8. Adja meg a ( ( p q) r) formula szerkezeti fáját! 9. Adja meg a ( (p q) ( p q)) formula szerkezeti fáját! 10. Adja meg a ((p (q r)) ( ( p q) r)) formula szerkezeti fáját! 11. pz alábbi formulák közül melyek az (((p q) p) q) formula részformulái? A. q B. (q p) C. (p q) D. (((p q) p) q) E. p 12. Az alábbi formulák közül melyek a ( ( p q) (p q)) formula részformulái? A. (p q) B. ( p q) C. (p q) D. q E. p 13. Az alábbi formulák közül melyek a ( ( p q) r) formula részformulái? A. (( p q) r) B. (r ( p q)) C. (p q) D. ( p q) E. q 14. Az alábbi formulák közül melyek a ( (p q) ( p q)) formula részformulái? A. p B. (p q) C. p D. q E. (p q) 15. Az alábbi formulák közül melyek az ((p (q r)) ( ( p q) r)) formula részformulái? A. (q r) B. p C. p D. (q r) E. (p q) 16. Adja meg a (( q r) r) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 17. Adja meg a (( q r) r) formula összes részformuláját! 18. Adja meg a (((p q) p) q) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 19. Adja meg a (((p q) p) q) formula összes részformuláját!
INBK401 3. gyakorlat 2/?? 20. Adja meg a (p (r q)) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 21. Adja meg a (p (r q)) formula összes részformuláját! 22. Adja meg a ( ( p q) (p q)) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 23. Adja meg a ( ( p q) (p q)) formula összes részformuláját! 24. Adja meg a ( ( p q) r) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 25. Adja meg a ( ( p q) r) formula összes részformuláját! 26. Adja meg a ((p (q r)) ( ( p q) r)) formula közvetlen részformuláját illetve részformuláit! 27. Adja meg a ((p (q r)) ( ( p q) r)) formula összes részformuláját! 3. Igazságtáblázatok 28. Adja meg az ((p (q r)) ((p q) r)) formula igazságtáblázatát! 29. Adja meg az ((p (q r)) ((p q) r)) formula igazságtáblázatát! 30. Adja meg az ((p q) (q p)) formula igazságtáblázatát! 31. Adja meg az ((p q) (q p)) formula igazságtáblázatát! 32. Adja meg az ((p (q r)) ((p q) (p r))) formula igazságtáblázatát! 33. Adja meg az ((p (q r)) ((p q) (p r))) formula igazságtáblázatát! 34. Adja meg az ((p p) p) formula igazságtáblázatát! 35. Adja meg az ((p p) p) formula igazságtáblázatát! 36. Adja meg az ((p (q p)) p) formula igazságtáblázatát! 37. Adja meg az ((p (q p)) p) formula igazságtáblázatát! 38. Adja meg az ( (p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát! 39. Adja meg az ( (p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát! 40. Adja meg az ( (p q) (p q)) formula igazságtáblázatát! 41. Adja meg az ((p p) p) formula igazságtáblázatát! 42. Adja meg az (( p p) p) formula igazságtáblázatát! 43. Adja meg az (p p) formula igazságtáblázatát! 44. Adja meg az ((p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát! 45. Adja meg az ((p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát! 46. Adja meg az ((p q) (p q)) formula igazságtáblázatát! 47. Adja meg az ((p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát! 48. Adja meg az ((p q) (p q)) formula igazságtáblázatát! 49. Adja meg az ((p q) ( p q)) formula igazságtáblázatát!
INBK401 3. gyakorlat 3/?? 50. Adja meg az ((p q) ( q p)) formula igazságtáblázatát! 51. Adja meg az ( p p) formula igazságtáblázatát! 52. Adja meg az ((p (q r)) (q (p r))) formula igazságtáblázatát! 53. Adja meg az (((p q) r) (p (q r))) formula igazságtáblázatát! 54. Adja meg az ((p ) ) formula igazságtáblázatát! 55. Adja meg az ((p ) p) formula igazságtáblázatát! 56. Adja meg az ((p ) p) formula igazságtáblázatát! 57. Adja meg az ((p ) ) formula igazságtáblázatát! 58. Adja meg az ((p ) ) formula igazságtáblázatát! 59. Adja meg az ((p ) p) formula igazságtáblázatát! 60. Adja meg az (( p) p) formula igazságtáblázatát! 61. Adja meg az (( p) ) formula igazságtáblázatát! 62. Adja meg az (p p) formula igazságtáblázatát! 63. Adja meg az (p (q p)) formula igazságtáblázatát! 64. Adja meg az ((p (q r)) ((p q) (p r))) formula igazságtáblázatát! 65. Adja meg az (((p q) r) ((p r) (q r))) formula igazságtáblázatát! 66. Adja meg az (((p q) (q r)) (p r)) formula igazságtáblázatát! 67. Adja meg az (((p q) (p q)) p) formula igazságtáblázatát! 68. Adja meg az (p ( p q)) formula igazságtáblázatát! 69. Adja meg az (p p) formula igazságtáblázatát! 70. Adja meg az (p p) formula igazságtáblázatát! 71. Adja meg az (((p q) p) p) formula igazságtáblázatát! 4. Kielégíthetőség 72. Döntse el az alábbi formulahalmazokról, hogy kielégíthetőek-e! Ha valamelyik kielégíthetőnek bizonyul, akkor adja meg a formulahalmaz egy modelljét is! (a) (b) (c) {(p q), ( p q), (r p)} {( p q), (p q)} {(p r), (q r), (p q)}
INBK401 3. gyakorlat 4/?? (d) {(p r), (q r), (q r)} (e) { (p q) (q r), (r q), q} (f) {(p s), (q s), (p r), (q r)} (g) {(p (q r), (p q), (q r), (r p), (( p q) r)} 73. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmazban mindig van hamis elem. 74. Bizonyítsa be, hogy egy kielégíthetlen formulahalmaz bármely kibővítése kielégíthetetlen. 75. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van kielégíthető része? 76. Igaz-e, hogy minden kielégíthetetlen formulahalmaznak van nem üres kielégíthető része? 77. Igaz-e, hogy egy kielégíthetetlen formulahalmaznak minden része kielégíthetetlen? 78. Kielégíthető, vagy kielégíthetetlen az üres formulahalmaz? 79. Döntse el, hogy az alábbi formulák érvényesek, kielégíthetetlenek, vagy kielégíthető, de nem érvényes formulák! Válaszát indokolja! (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) p ((p p) q) ((p p) q) (((p q) p) q) (( p q) (p q)) (((p q) r) (p (q r))) ((p (q r)) ((p q) r))
INBK401 3. gyakorlat 5/?? 5. Logikai következmény 80. Mely formulák logikai következményei a ((p q) (r s)) formulának? A. (p q) B. (p s) C. (p s) D. (q r) E. (s r) 81. Logikai következménye-e az p és (p q) formuláknak a q formula? Indokolja válaszát! 82. Logikai következménye-e az (p q) és (q r) formuláknak az (p r) formula? Indokolja válaszát! 83. Logikai következménye-e az ((p (q r)), q és r formuláknak az p formula? Indokolja válaszát! 84. Logikai következménye-e a (p q) és q formuláknak a p formula? Indokolja válaszát! 85. Logikai következménye-e a (p (q r)) és q formuláknak a r formula? Indokolja válaszát! 86. Logikai következménye-e a ((p q) r) és (p r) formuláknak a q formula? Indokolja válaszát! 87. Logikai következménye-e a (p q) és q formuláknak a p formula? Indokolja válaszát! 88. Logikai következménye-e a (( p q) r) és (p r) formuláknak a q formula? Indokolja válaszát! 89. Logikai következménye-e a (p q), (r s) és ( q s) formuláknak a (p r) formula? Indokolja válaszát! 90. Logikai következménye-e a ((p q) r) formulának a ((p r) q) formula? Indokolja válaszát! 91. Az alábbi formulák közül melyek logikailag ekvivalensek a ((p q) r) formulával? A. (r (p q)) B. (p ( q r)) C. (p (q r)) D. ((r p) q) 92. Logikailag ekvivalensek-e a (p (q r)) és ((p q) r) formulák? Indokolja válaszát! 93. Logikailag ekvivalensek-e a ((p q) r) és (p (q r)) formulák? Indokolja válaszát! 94. Logikailag ekvivalensek-e a ((p q) r) és ((p r) q) formulák? Indokolja válaszát! 95. Logikailag ekvivalensek-e a ( p q) és (p q) formulák? Indokolja válaszát! 96. Logikailag ekvivalensek-e a (p q) és (p q) formulák? Indokolja válaszát! 97. Logikailag ekvivalensek-e a (p (p q) és p formulák? Indokolja válaszát! 98. Logikailag ekvivalensek-e a ((p q) p) és p formulák? Indokolja válaszát! 99. Logikailag ekvivalensek-e a (p (q r)) és ((p q) (p r)) formulák? Indokolja válaszát! 100. Logikailag ekvivalensek-e a (p (q r)) és ((p q) (p r)) formulák? Indokolja válaszát! 101. Logikailag ekvivalensek-e a (p (p q)) és q formulák? Indokolja válaszát! 102. Logikailag ekvivalensek-e a (p p) és p formulák? Indokolja válaszát! 103. Logikailag ekvivalensek-e a (p p) és p formulák? Indokolja válaszát! 104. Logikailag ekvivalensek-e a (p p) és p formulák? Indokolja válaszát! 105. Logikailag ekvivalensek-e a ((p q) r) és ((p r) (q r)) formulák? Indokolja válaszát! 106. Logikailag ekvivalensek-e a (p q) és (q p) formulák? Indokolja válaszát!
INBK401 3. gyakorlat 6/?? 6. Formalizálás 107. Formalizálja nulladrendű logikai nyelven a következő állításokat: (a) A testvérem egy fehér és fekete kutyát szeretne. (b) Ma esni fog, vagy derült lesz az idő, nem mindkettő. (c) Ha András találkozik ma Beával, akkor kávéznak együtt, vagy sétálnak a parkban. (d) A sah csak akkor boldog, ha van bora, vannak háremhölgyei, és szól az édes muzsika. (e) Ha a bankközi kamatláb esik, akkor drágulnak a részvények. (f) A rák gyógyíthatatlan, hacsak nem találják meg az okát és nem fejlesztenek ki egy új orvosságot. (g) Ha a barométer esik, akkor esni vagy havazni fog. (h) Ha ma vidám vagy, nem leszel az holnap. (i) A csalás kiderült, de nem igaz, hogy a miniszter lemondott volna. (j) Ez a lábnyom egy férfi vagy nő lábnyoma. (k) Nem igaz, hogy Ödön Budapesten vagy a Balatonon van. (l) Ha ki akarsz menni, akkor veled megyek, ha süt a nap. (m) Ha rossz az idő, vagy meg vagyok fázva, akkor nem megyek veled. (n) Pali akár jön, akár nem, Józsi nem fog jönni. (o) Ha nem fejlődsz és nem változtatod meg a hozzáállásodat, soha nem leszel sikeres. (p) Csak akkor megyek el a koncertre, ha nem énekel Dóra és Zoltán együtt. (q) Ottó és Totya megettek egy egész tortát. (r) János és Éva szeretik egymást. 108. Jelölje p, hogy Sikerül az első ZH., q, hogy Sikerül a vizsga. és r, hogy Megoldom az összes kiadott feladatot.. Formalizálja a következő mondatokat: (a) Sikerül az első ZH, noha nem oldom meg az összes kiadott feladatot. (b) Csak akkor sikerül a vizsga, ha sikerül az első ZH. (c) Ha megoldom az össze kiadott feladot és sikerül az első ZH, akkor az elégséges feltétele annak, hogy sikerüljön a vizsga.