Kísérlettervezés Mit akarunk megtudni? 8 6 4 Y = β + β x + β x +... + β p x p p típusú teljes faktoros kísérleti tervek 4. 7 5 8 x 3 x 3. 6 3. x 3 x 4 x. x a) b) a változók egyenkénti változtatása mátrix-terv
. példa Vizsgáljuk a baracklekvár-főzés technológiai paramétereinek hatását a baracklekvár minőségére z cukor mennyisége. és.3 kg/kg, z forralási idő 5 és 3 min Faktorok z z középpont z j.5 7.5 variációs intervallum z j.5.5 fölső szint z j max (+).3 3 alsó szint z j min ( ). 5 3 A kísérleti terv: i z z y. 5 6.3 5 68 3. 3 7 4.3 3 44 35 z 3 5 3 4 5 5,,5,,5,,5,3,35 z 4
i Természetes egységekben A transzformált faktorok y z z x x x. 5 + - - 6.3 5 + + - 68 3. 3 + - + 7 4.3 3 + + + 44 Transzformáció (kódolás): x i j = x ji z x j z z ki j j =, ha j k ortogonalitás z 35 3 5 3 4 x + 3 4 5-5,,5,,5,,5,3,35 z - + x 5 y 7 65 6 55 5 45 4 35 3 -.. x y 7 65 6 55 5 45 4 35 3 -.. x 6
h j ( y ) ( y ) = j+ j 68+ 44 6 + 7 h = = 56 44 = 7 + 44 6 + 68 h = = 58 4 = 6 7 Y β + β x + β x +... + β = p x p y + b j b j b j y x i ji i = x ji i = i y x i N ji y - - + x j 8
8 y 7 6 5 4 3 i x x x x x y + + 6 + + 68 3 + + 7 4 + + + + 44 -.. x 6+ 44 68+ 7 h = y + y = = 3 7 = 4 b 6 68 7 + 44 6 4 8 = = = = 4 4 4 kölcsönhatás! b 6 + 68 + 7 + 44 = 4 = 5 9 Y = β + β x + β x + β x x Yˆ = 5 + 6x + 8x xx 8 6 4
A becsült paraméterek szignifikanciájának vizsgálata Ha újra elvégeznénk az egész kísérletsorozatot, ugyanazokat az y értékeket kapnánk? y = Y + ε y ingadozik Y körül Ha az újra elvégzett kísérletsorozatot kiértékelnénk, ugyanazokat a b becsült paraméter-értékeket kapnánk? b j valószínűségi változó, értéke akkor sem, ha β j = Az együttható (b j ) ingadozását jellemző s b szórás y szórásából (s y ) számítható. Ismételt mérések végzése ( s ) a) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában, b) a terv centrumában végzünk ismételt méréseket, k c -szer ismétlünk. y meghatározásához A terv centrumában végzett ismételt mérések a hatások szignifikanciájának vizsgálatán kívül a linearitás vizsgálatát is lehetővé teszik.
Különböznek-e a b becsült paraméterek szignifikánsan zérustól? s s b j β y y j sb t = j = = x ji N s b j i Nullhipotézis: H : β j = Ha a nullhipotézis helytálló, a hányados t-eloszlású, vagyis P ( t < b s ) = α α j b tα j A nullhipotézist akkor utasítjuk el, ha b j > sb j t α 3 Honnan vegyük s y -et? A terv centrumában (ahol minden faktor szintje ) is végeztek méréseket i Természetes egységekben A transzformált faktorok y z z x x 5.5 7.5 5 6.5 7.5 5 7.5 7.5 5 y 3 y m m= = = 3 5.33 s 3 ( y m y ) m= y = =.333 4
s y s y.333 s = = = =.833 s b b j j =. 89 x N 4 i ji P ( t < b s < ) = α α b tα j ha b j = j szignifikáns, ha b j > s t α b j t 4.3 =.89 4.3. 43.5 = sb j t α = 5 A lineáris modell adekvát voltának vizsgálata (görbeség-ellenőrzés) ( y ) Y E = (centrum-pont) H : H : ( b ) = E( y ) E = Y ( b ) E( y ) E = Y d t = d = y b sd = sy + k N s d ν = N l + kc c 6
y 5 Lineáris modell (sík) 4 y d 3 b mért y i mért y i x - - x - 7 d = 5.33 5 =.33 s d 333 =. + = 943. s 4 3 d =. 44. 33 t = =. 748. 44 ν = N l + kc = 4 4 + 3 = t ( ) 4. 3 < t.5/ = Elfogadjuk a nullhipotézist (nem kell másodfokú tag a modellbe). 8
A becsült függvény: Yˆ = 5 + 6x + 8x xx ˆ C.5 Y = 5 + 6.5 + t 7.5 8.5 C.5 t 7.5 =.5.5.5 6.5 +.5 8 7.5 +.5 7.5.5 6 + 7.5 = 5 + C +.5.5.5 8 +.5 C t + t = 68 + 45 C + 43. t 6 C t.5.5 9 A variancia (σ ) becslési lehetőségei ( s y ) k-szor ismétlünk a terv minden pontjában A kísérletek száma: N = k p Ellenőrizhető a σ konstans feltétel Nem vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e k c -szer ismétlünk a terv centrumában A kísérletek száma: N = p + kc << k p Nem ellenőrizhető a σ konstans feltétel Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e. k-szor a terv minden pontjában, k c -szer a terv centrumában A kísérletek száma: N = k p +k c Ellenőrizhető a σ konstans feltétel Vizsgálható, hogy a lineáris modell adekvát-e Szigorúbb statisztikai próbák, a szabadsági fok nagyobb
Mi történik, ha csak a kísérleti terv egy pontját ismételjük? i x x x x x + + + + 3 + + 4 + + + + 5 + + + + i x ji x ki =, ha j k ortogonalitás? A p terv alapján becsült modell-paraméterek száma (l) legfeljebb p Modell-redukció: a nem szignifikáns tagokat (b j -ket) kihagyjuk a modellből, így p l < Ha a terv minden pontját k-szor hajtjuk végre, a terv sorainak száma N = k A tervpontokban mért y értékek szóródása az illesztett modell körül: ( s ) y regr = N i= ( y Yˆ ) i N l i p ν = N l
. példa Vizsgáljuk egy kémiai reaktorban a kitermelést (%) négy faktor függvényében, ha a z hőmérséklet 4 és 6 o C, z reakcióidő és min, z 3 kiindulási komponens koncentrációja 45 és 65 %, z 4 nyomás és 6 bar 3 Faktorok z z z 3 z 4 középpont z j 5 5 55 4 variációs intervallum z j 5 fölső szint z j max (+) 6 65 6 alsó szint z j min ( ) 4 45 4
Természetes egységekben A transzformált faktorok y i z z z 3 z 4 x x x x 3 x 4 % 4 45 + 6.4 6 45 + + 75.9 3 4 45 + + 79.8 4 6 45 + + + 86. 5 4 65 + + 64.9 6 6 65 + + + 8.9 7 4 65 + + + 86.4 8 6 65 + + + + 9.6 9 4 45 6 + + 59.6 6 45 6 + + + 77. 4 45 6 + + + 83. 6 45 6 + + + + 85. 3 4 65 6 + + + 65. 4 6 65 6 + + + + 79.3 5 4 65 6 + + + + 88.7 6 6 65 6 + + + + + 9. 5 9 85 kitermelés, % 8 75 7 65 -.. hõmérséklet -.. reakcióidõ -.. koncentráció -.. nyomás 6
Yˆ = b+b x+b x+b3 x3+b4 x4 + +b xx+b3 xx3+b4 xx4 + b3 x x3+b4 x x4 + b34 x3x4 + +b 3 xx x3 +b4 xx x4+b34 xx3 x4+b34 xx3x4+b34 xx x3x4 7 i x x x x 3 x 4 x x x x 3 x x 4 x x 3 x x 4 x 3 x 4 x x x 3 x x x 4 x x 3 x 4 x x 3 x 4 x x x 3 x 4 y + + + + + + + + 6.4 + + + + + + + + 75.9 3 + + + + + + + + 79.8 4 + + + + + + + + 86. 5 + + + + + + + + 64.9 6 + + + + + + + + 8.9 7 + + + + + + + 86.4 8 + + + + + + + + + 9.6 9 + + + + + + + + 59.6 + + + + + + + + 77. + + + + + + + + 83. + + + + + + + + 85. 3 + + + + + + + + 65. 4 + + + + + + + + 79.3 5 + + + + + + + + 88.7 6 + + + + + + + + + + + + + + + + 9. 8
Interaction Plot (data means) for Y, % Z 5 45 55 65 4 6 9 8 7 Z Point Type 4 Corner 5 Center 6 Corner Z 9 8 7 Z Point Type Corner 5 Center Corner Z3 9 8 7 Z3 Point Type 45 Corner 55 Center 65 Corner Z4 9 b = 78.4; b = 4.93; b = 8.4; b 3 =.57; b 4 =.8; b =.97; b 3 =.9; b 4 =.43; b 3 =.4; b 4 =.33; b 34 =.4; b 3 =.3; b 4 =.46; b 34 =.3; b 34 =.8; b 34 =.3 b b 3 b b -4-4 6 8 együtthatók 3
Pareto Chart of the Standardized Effects (response is Y,, Alpha =.5) 4.3 B A AB C ABD F actor A B C D Name Z Z Z3 Z4 AD Term BC BD ABCD AC D CD ABC ACD BCD 5 5 5 Standardized Effect 3 35 3 Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is Y,, Alpha =.5) 99 95 B Effect Type Not Significant Significant Percent 9 8 7 6 5 4 3 C A Factor A B C D Name Z Z Z3 Z4 5 AB - Standardized Effect 3 4 Y ˆ = 78. 4+ 4. 93x + 8. 4x +. 53x3-. 97xx 3
p-r típusú részfaktortervek x 3 3- i x x x x x i x x x x 3 + + + + + + + + 3 + + 3 + + 4 + + + + 4 + + + + 33 8 x 3 x x 7 3 5 4 3 6 4 i x x x x 3 + + + + 3 + + 4 + + + + 34
Az illeszthető modell $ Y = b + b x + b x + b 3 x 3 b β + 3 3 β mivel x = x x 3 Mindkét oldalt szorozva x 3 -mal = xx x 3 x=x xx 3=x x3 x=x x3 b β + β3 b β + β3 (keveredési rendszer) 35 4- x = x x x =x x x x 4 3 3 4 A keveredési rendszer: x =x x3x4 x=x x3x4 x =x 3 xx4 x4=x xx3 xx=x 3x4 xx 3=x x4 x = x4 xx3 A főhatások háromfaktoros interakciókkal keverednek, a kétfaktoros interakciók pedig egymással. 36
4 Y ˆ = b +b x +b x +b x + 3 3 b 4 x 4 xx=x 3x4 stb. 5 x5=x x x3 x =x 4 xx3x4x5 x =x x3x4x5 x x=x3 x4x5 37 5 pl. x 4=x x x 5=x x x3 Y ˆ = b +b x +b x +b x + b x + 3 3 4 4 b 5 x 5 kísérletek száma? paraméterek száma? 5 3 kísérletek száma? paraméterek száma? 6 3 7 3 7 4 38
3. példa G. E. P. Box, W. G. Hunter, J. S. Hunter: Statistics for Experimenters, J. Wiley, 978; p. 44-49 variable - + water supply town reservoir well raw material on site other 3 temperature low high 4 recycle yes no 5 caustic soda fast slow 6 filter cloth new old 7 holdup time low high 39 Az első terv: 3 3 3 filtration time (min) test 3 4 5 6 7 y - - - + + + - 68.4 + - - - - + + 77.7 3 - + - - + - + 66.4 4 + + - + - - - 8. 5 - - + + - - + 78.6 6 + - + - + - - 4. 7 - + + - - + - 68.7 8 + + + + + + + 38.7 4
Az első terv eredményeinek feldolgozása: l = -.9 +4+35+67 l = -.8 +4+36+57 l 3 = -6.6 3+5+6+47 l 4 = 3. 4++37+56 l 5 = -.8 5+3+7+46 l 6 = -3.4 6+7+3+45 l 7 =.5 7+6+5+34 Filtr.mtw 4 Második (fold-over) terv: - -3-3 3 filtration time (min) test 3 4 5 6 7 y + + + - - - + 66.7 - + + + + - - 65. 3 + - + + - + - 86.4 4 - - + - + + + 6.9 5 + + - - + + - 47.8 6 - + - + - + + 59. 7 + - - + + - + 4.6 8 - - - - - - - 67.6 4
A 6 kísérlet eredményeinek feldolgozása: l = -6.7 l = -3.9 l 3 = -.4 3 l 4 =.8 4 l 5 = -9. 5 l 6 =. 6 l 7 = -4.4 7 l =.5 +37+56 l 3 = -3.6 3+7+46 l 4 =. 4+36+57 l 5 = -6. 5+6+47 l 6 = 4.9 6+5+34 l 7 = -3.4 7+3+45 l 4 = -4. 4+35+67 43 Meddig lehet a kísérletek számát csökkenteni? Legalább a főhatásokat becsülnünk kell, p faktorra minimálisan p+ pontból pl. 7 faktorra legalább 8 beállítás ( 7-4 ). Ha a faktorok száma 8 és 5 között van, a minimális beállítások száma 6 44
A kísérletek menete Randomizálás Például a kísérleteket nem lehet egyszerre (azonos pillanatban) elvégezni, és nem zárható ki, hogy az idő előrehaladásával a külső körülményekben, az anyagban változások lesznek. Ha a tervgenerálás algoritmusa a végrehajtás sorrendje, akkor a terv első feléhez, a faktor egyik szintje, második feléhez pedig a másik szintje tartozik. Ekkor a szóban forgó faktor főhatásába belekeveredik az időbeli különbség (az idő hatása). A kísérletek sorrendjét véletlenszerűsíthetjük, ez a randomizálás. 45 Az is előfordul, hogy a kísérletekhez felhasználandó nyersanyag egy tételéből nincs annyi, hogy az egész kísérletsorozatra futná, vagy nem végezhetjük az egész sorozatot egy napon ill. egy készüléken. Ha ilyenkor randomizálunk, a tétel (nap, vagy készülék) nem keveredik a faktor hatásába, de a randomizálás miatt a szórás megnő, és elfedheti a lényeges faktorok hatását. Jobb, ha a kísérletsorozatot ilyen esetekben blokkokra osztjuk: egy blokkban azonos körülményeket biztosítunk (azonos nyersanyagtétel, azonos nap, vagy készülék). 46
Blokkokra osztás BLOKK i x x x x 3 x x x 3 + + + + + + + + 3 + + + 4 + + + 5 + + + 6 + + + 7 + + + 8 + 47 A variációs intervallum megválasztása A faktorok értelmezési tartományán belül ehhez az intervallumhoz képest kell a faktor beállítási bizonytalanságának elhanyagolhatónak lennie ha túl kicsire választjuk, a faktor hatástalannak mutatkozik ha túl nagyra, a görbe felület leírására a sík nem adekvát 48
Ha nagy a szórás, nem észleljük a hatást! 49 5
4. példa: 7-4 részfaktorterv+fold-over, centrumponttal A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a kihozatal %, melynek maximális értékét kell elérni. Faktorok : z reakció idő, min; z hőmérséklet, C; z 3 fordulatszám, /min; z 4 katalizátor koncentráció, %; z 5 felesleg, %; z 6 nyomás, bar; z 7 szennyezés koncentráció, %.. 5 Jellemzők z z z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 Alapszint, z j Variációs intervallum, z j 75 3,5 45,5 5,5,5 5,5 5,5 5,5,5-7 3 4,, + 8 35 5, 3,5 5
Az. blokk: 7-4 részfaktorterv, 3 ismétlés a centrumpontban: x 4 = xx 5 xx3 x = x 6 = xx3 ; ; ; x = 7 xx x3 i x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y, % blokk + - + - + - + - 3,4 + + + - - + - - 43,65 3 + - - - - + + + 56,4 4 + + - - + - - + 66,39 5 + - + + - - - + 7,78 6 + + + + + + + + 48,63 7 + - - + + + - - 5,3 8 + + - + - - + - 69,7 9 + 49,7 + 5,34 + 49,7 53 A. blokk: fold-over (3 centrumponttal) i x x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 y, % blokk + + + + - - - + 65,9 3 + - + + + + - - 56,9 4 + + - + + - + - 4,4 5 + - - + - + + + 3,47 6 + + + - - + + - 7,8 7 + - + - + - + + 5,8 8 + + - - + + - + 47,6 9 + - - - - - - - 9, + 49,89 + 49,6 + 5, 54
Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp;... Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 49,78,43 3,4, Block,455,66,,835 time 5,738 7,5369,43 3,, Temp 3,63,68,43 47,9, ford.szá -,6 -,3,43 -,47,66 kat.konc -,6638 -,339,43 -,37,9 felesleg 4,5937,969,43 9,48, Nyomás -,8887 -,4444,43 -,83,6 sz.konc -,6437 -,39,43 -,33,4 time*temp -,566 -,83,43 -,7,95 time*ford.szá -,3838 -,99,43 -,79,464 time*kat.konc -,83 -,46,43 -,7,873 time*felesleg,6,86,43,33,753 time*nyomás,7337,3669,43,5,9 time*sz.konc -,36 -,8,43 -,7,943 Temp*kat.konc,463,3,43,88,49 Ct Pt,77,4639,66,58 A blokk nem szignifikáns szignifikáns A centrumbeli mérések átlagának eltérése a Constant -tól nem szignifikáns, tehát a lineáris modell adekvát. 55 A felesleget (x 5 ill. z 5 ) nem lehet tovább növelni, így azt a fölső szintjén rögzítették ( x5 = +). Az illesztett lineáris függvény: Yˆ = 49,8+ 7,54x +,6x +, 3x5 = 5,58+ 7,54x +, 6x ( + ) 5, 58 49,8 +,3 = A célfüggvény maximumát (optimum) az x és x független változók terében keressük tovább. 56
Box és Wilson módszere az optimum megközelítésére x L R M N x 57 grad f f f f = δ x + δ x + K+ x x x p δ x p ahol δ x j a j-edik koordinátatengely irányába mutató egységvektor. Y ˆ b +b x +b x +b x + + = 3 3 b p x p Yˆ x Yˆ = b, x Yˆ = b, K, x p = b p. 58
A gradiens-függvény: gradyˆ = b δ x + bδ x + K+ b p δ x p A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az x tengely mentén b, az x tengely mentén b nagyságú stb. lépést teszünk. Az x j koordinátában az egységnyi lépés a z j eredeti fizikai skálán z j. 59 A gradiens: 3 g A tervpontokra illesztett modell: x b Yˆ = b +b x+b x - b - 3 x n tervpontok g lépésterv 6
5. példa: a 4. példa folytatása; lépésterv a gradiens mentén A tervpontokra illesztett egyenlet: Y ˆ = 5,58+ 7,54x +, 6x j 3 z j 75 min 3,5 C z j 5 min,5 C b j 7,54,6 b z 37,7 min 9,3 C j j lépés,5 min,9 C b b,6 = 7,54 =,54 6 x 6 5 48 93,4 5 46 44 97,6 4 4 94, 3 Temp, C 4 38 83,8 36 34-3 3 5,58 tervpontok lépésterv 8 65 7 75 8 85 9 95 time, min x - 3 4 6
sorszám x x time, min Temp, C y, % tervcentrum 75, 3,5 Yˆ = 5,58,5,77 77,5 34,4,,54 8, 36,4 3,5,3 8,5 38,3 83,8, 3,8 85, 4, 4,5 3,85 87,5 4, 94, 3, 4,6 9, 44, 6 3,5 5,39 9,5 46, 97,6 4, 6,6 95, 47,9 7 4,5 6,93 97,5 49,8 93,4 63 6. példa: az 5. példa folytatása; terv az optimum közelében sorszám time, min Temp., C x x y, % 8 4 - - 8, 4 + - 9,69 3 8 5 - + 9,4 4 5 + + 89,98 5 9 45 93,89 6 9 45 95,56 7 9 45 94,84 64
Fractional Factorial Fit: y, % versus time; Temp Estimated Effects and Coefficients for y, (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 89,78,488 3,7, time 4,5,58,488 4,9,39 Temp 3,665,83,488 4,38,48 time*temp -6,375-3,87,488-7,6,7 Ct Pt 5,486,6398 8,57,3 Szignifikáns a centrumbeli mérések átlagának eltérése a Constant -tól, tehát a lineáris modell nem megfelelő. Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges! 65 Másodfokú kísérleti tervek A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk, hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény. A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a p és p-r tervek eredményeiből. A p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: 3 p. Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak varianciaanalízissel vizsgálhatók, mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán. 66
3 terv: x i x x + 3 4 + 5 + + 6 + 7 8 + 9 4 6 5 3 7 9 8 - x - - - 67 Két faktorra a 3 kísérleti terv ' x N = x x = x x N ji ji ji ji j i= ' ' ' ' i x x x x x x x x x + + + + /3 /3 /9 + - + - /3 /3 /9 3 + + - - /3 /3 /9 4 + - - + /3 /3 /9 5 + + /3 -/3 -/9 6 + - /3 -/3 -/9 7 + + -/3 /3 -/9 8 + - -/3 /3 -/9 9 + -/3 -/3 4/9 68
3 3 másodfokú terv: 69 A 3 p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok p számával rohamosan, a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő: p 3 4 5 6 3 p 9 7 8 43 79 l 6 5 8 7
Kompozíciós tervek magja egy p típusú teljes faktoros kísérleti terv (p 5 esetén részfaktorterv), p csillagpont a centrumtól α távolságra és k c centrumbeli kísérlet. N= p +p+k c Az α értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és k c = esetére: A faktor szám, p 3 4 5 A terv magja 3 4 5- α..5.44.547 7 Kompozíciós terv három faktorra i * i * i * i i 3 kétszintes terv g centrumpont * csillagpontok α távolságra g * i * i i * i 7
Box-Behnken terv 3 faktorra a terv centruma 73 7. példa: a terv módosítása kompozíciós tervvé blokk time Temp. y 8 4 8, 4 9,69 3 8 5 9,4 4 5 89,98 5 9 45 93,89 6 9 45 95,56 7 75,858 45 88,6 8 4,4 45 9,8 9 9 37,99 85,8 9 5,7 9, 9 45 94,87 9 45 95,36 terv Csillagpontok és centrumpont 74
Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=,984; Adj:,9659 (kompozit) factors, Blocks, Runs; MS Residual=,566698 DV: y Effect Std.Err. t(5) p Mean/Interc. 94,9,37637 5,98, blokk(),36,434596,539,6698 ()time (L) 3,367,537 6,3,559 time (Q) -4,5968,595-7,735,58 ()Temp.(L) 3,734,537 6,9766,93 Temp.(Q) -6,5363,595 -,9835,9 L by L -6,375,7574-8,469,377 A blokk nem szignifikáns 75 Regr. Coefficients; Var.:y; R-sqr=,984; Adj:,9659 (kompozit) factors, Blocks, Runs; MS Residual=,566698 DV: y Regressn Std.Err. t(5) p Mean/Interc. -374,46 74,7-3,64,38 blokk(),,73,539,6698 ()time (L) 3,55,6,39, time (Q) -,,3-7,735,58 ()Temp.(L) 44, 3,579,53,58 Temp.(Q) -,3,9 -,9835,9 L by L -,6,75-8,469,377 76
Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=,566698 DV: y 9 8 7 6 77 54 5 5 Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=,566698 DV: y Maximum: 9,5 min; 45,8 C; 95,6% 48 Temp. 46 44 4 4 38 36 7 75 8 85 9 95 5 time 95 9 85 8 75 7 65 6 78