A törzsszámok sorozatáról

A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel két kisebb tényezőre. Törzsszám az 5, a 3, de a 4 nem, mert 4 = 2 2. Magát a kettőt is törzsszámnak kell nevezni. Az 1-nél nincs értelme err ől beszélni. Az első törzsszámok tehát: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37... Sorozatuk az első pillantásra kissé kusza, nem mutatkozik benne azonnal egyszerű törvényszerűség. Minden számot addig lehet bontani, amíg csupa törzsszámra esik szét. 6 = 2 3-nál közvetlenül így van. 30 = 5 6és6= 2 3, tehát 30 = 2 3 5, három törzsszám szorzata. Négy törzstényez őt tartalmaz a 24 = 3 8 = 3 2 4 = 3 2 2 2, köztük a kettőt többször is. Világos azonban megengedve ilyen ismétl ődéseket is, hogy a felbontásnak minden számnál lehetségesnek kell lennie. A törzsszámok tehát ebben az értelemben a természetes számok építőkövei. Eukleidész Elemeinek IX. [2] könyvében felvetette azt a kérdést: vajon a törzsszámok sorozatának egyszer vége szakad-e? És azonnal megadta a választ is: bebizonyította, hogy a törzsszámok sorozatának nincs vége, minden törzsszámnál van nagyobb törzsszám. Eukleidész bizonyítása rendkívül szellemes. A következő egyszerű állításon alapul: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24...,

16 A TÖRZSSZÁMOK SOROZATÁRÓL a hármas szorzótábla amit minden kezdő tanul, azaz tartalmaz minden olyan számot, amelyben a 3 megvan. Más számban a 3 nincs meg, tehát különösképpen nincs meg egy olyan számban, amely közvetlenül a 3-nak valamely többszöröse után következik, mint például 19 = 6 3 + 1, 22 = 7 3 + 1 és így tovább. Éppen így az 5 szám sohasem osztója olyan számnak, amely az 5- nek egy többszörösére következik, mint 21 = 4 5+1; és ugyanez érvényes a 7-re, a 11-re és így tovább. Eukleidész képezte a 2 3 + 1 = 7 2 3 5 + 1 = 31 2 3 5 7 + 1 = 211 2 3 5 7 11 + 1 = 2311 2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031 és így tovább számokat, vagyis az első törzsszámok közül néhányat összeszorzott, és megvizsgálta az eredmény után következő számot. A bizonyítás elé bocsátott egyszerű megállapítása azt mondja ki, hogy az így képzett számokban soha sincsenek meg az előállításuk során alkalmazott számok. Pl. az utoljára felírt szám nem lehet többszöröse a 3-nak, mert 1-gyel nagyobb a három egyik többszörösénél, éppen így 1-gyel nagyobb az 5 vagy az előállítása során alkalmazott bármely másik törzsszám többszörösénél. Tehát a 2, 3, 5, 7, 11, 13 számok egyike sem lehet meg benne. Ha a 30031 szám a 7, 31, 211, 2311 számokkal ellentétben amelyek mind törzsszámok nem törzsszám, biztos, hogy a 2, 3, 5, 7, 11, 13 nem fordulnak el ő a törzstényezői között, hogy tehát ezen szám törzstényezői közül a legkisebb is nagyobb 13-nál. Valóban néhány próbálkozás után azt találjuk, hogy 30031 = 59 509, és mindkét törzstényez ője, az 59 is, és az 509 is valóban nagyobb a 13-nál. Ez a meggondolás mindig alkalmazható, bármilyen nagy számot képezünk is az előbbi módon. Legyen p tetszés szerinti törzsszám, és képezzük a

A TÖRZSSZÁMOK SOROZATÁRÓL 17 2 3 5 7 11... p + 1 = N számot; akkor az N előállításához felhasznált 2, 3, 5... p törzsszámok egyike sem lesz meg N-ben. Tehát N vagy maga is törzsszám sokkal nagyobb, mint p, vagy olyan törzstényez őkre bomlik, amelyek biztosan nem találhatók meg a 2, 3, 5... p számok között, amelyek tehát mindenesetre valamennyien nagyobbak p-nél. Minden esetben vannak tehát törzsszámok, amelyek p- nél nagyobbak. Minden törzsszámnál kell tehát lennie nagyobbnak. Ez volt az állítás! Nem tudjuk, hogy Eukleidész e sorait olvasva mit csodáljunk jobban: azt, hogy a görög matematikusok saját elhatározásukból, a matematikai gondolkodás belső kényszerének engedve egyáltalában felvetettek egy ilyen kérdést, amit őelőttük még egyetlen nép gondolkodói sem tettek meg, s az utánuk jöv ők is csak átvették a görögöktől; vagy azt, hogy éppen ezt a kérdést vizsgálták, amely fölött a naiv szemlélő oly könnyen átsiklik, amelyet feleslegesnek, triviálisnak tart, és amelynek nehézsége csak az el őtt mutatkozik meg, aki már megpróbált a törzsszámok sorozatában egyszerű, mégis általánosan érvényes törvényszerűséget keresni; vagy végül azt-e, hogy képesek voltak a fentebb megismert művészi bizonyítás segítségével egy ilyen törvényszerűséget felállítani. Valójában ez az eukleidészi bizonyítás nem a p után közvetlenül következő törzsszámot, hanem csak a p-nél nagyobb törzsszámok egyikét szolgáltatja; például a bizonyítás 11-nél nagyobb törzsszámként nem a 13-at adja, hanem a 2311-et, a 13-nál nagyobb törzsszámként pedig az 59-et. Valójában minden esetben nagy számban fordulnak elő kisebb prímszámok de ennek részleteire itt nem térünk ki. Éppen ez az egyik jele a görög matematikus pontos arányérzékének, hogy itt ilyen bölcs mérsékletet tanúsít, és ezáltal megtalálja az utat a prímszámok sorozatának homályos útvesztőjében. A törzsszámok sorozatáról valamivel konkrétabb képet szándékozunk nyújtani: megmutatjuk, hogy ebben a sorozatban nagy

18 A TÖRZSSZÁMOK SOROZATÁRÓL hézagok vannak. Például előfordulhat az, hogy ezer darab egymást követő szám között nincs törzsszám. Olyan meggondolásból indulunk ki, amely Eukleidészéhez nagyon hasonló. Fentebb észrevettük, hogy a 2 3 5 + 1 = 31 szám a 2, 3, 5 törzsszámok egyikével sem osztható. Most abból az egyszerű meggondolásból indulunk ki, hogy két olyan számnak, amelyek oszthatók 3-mal, az összege is osztható 3-mal, és hogy ugyanez érvényes az 5-re, 7-re és minden más osztóra. Ebből arra következtetünk, hogy a 2 3 5 + 2 = 32 2 3 5 + 3 = 33 2 3 5 + 4 = 34 2 3 5 + 5 = 35 2 3 5 + 6 = 36 számok egyike sem lehet törzsszám, mert az a szám, amit itt a 30-hoz hozzáadunk, osztható vagy 2-vel, vagy 3-mal, vagy 5-tel. A 30 is osztható ezekkel, ezért az összegük is. A 2 3 5 + 7 = 37 esetében akad meg először ez a következtetés, és valóban, 37 nem osztható a 2, 3, 5 számok egyikével sem, ez törzsszám. Éppen így okoskodhatunk, ha p alatt az els ő négyjegyű törzsszámot (azaz 1009-et) értjük, és a következő 1000 darab számot képezzük: 2 3... p + 2, 2 3... p + 3,. 2 3... p + 1001. Mert a 2, 3... 1001 számok mindegyike legalább a 2, 3... p törzsszámok egyikével osztható, a 2 3... p szorzat mindenesetre osztható, tehát a táblázatban felírt számok is így egyikük sem törzsszám. Itt 1000 db olyan, egymást követő számot találtunk, amelyek nem törzsszámok.

A TÖRZSSZÁMOK SOROZATÁRÓL 19 Természetesen meglehetősen messzire kell menni a törzsszámok sorozatában ahhoz, hogy ilyen hézagokat találjunk benne. De ha elég messze megyünk benne, akkor hasonló elv alapján olyan hézagot is találunk, amely egymillió egymás után következő vagy tetszőlegesen sok számot tartalmaz. Ez a második probléma és a bizonyítása bár közeli rokona az elsőnek mégsem található meg a görög matematikusoknál. Ezt a modern matematika alkotta meg, és csatolta hozzá olyan kérdések egész sorát, amelyeknek a bizonyítása már egyáltalán nem ilyen egyszerű, és amelyekből a mai matematikai kutatásoknak az egyik legmélyebb és még megoldatlan problémái miatt napjainkban talán egyik legizgalmasabb fejezete fejlődött ki. Ezekből a kérdésekből még egy példát ragadunk ki, amely közvetlenül megoldható Eukleidész módszerével, és amely sejteni engedi, hogy a mai matematika milyen irányban folytatja a görögök által kezdett vizsgálódást. Feljebb megfigyeltük a hármas szorzótábla 3, 6, 9... számait és az ezekre következő4,7, 10... számokat; most tekintsük a kimaradt számokat: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23..., tehát azokat a számokat, amelyek hárommal osztva 2 maradékot adnak. Meg fogjuk mutatni, hogy ezek között a számok között is végtelen sok törzsszám van, vagyis a 2, 5, 11, 17, 23... törzsszámok sorozata semmi esetre sem szakad meg. A bizonyításhoz a következőket szükséges meggondolnunk. Ha az 1, 4, 7, 10, 13... sorozat két számát összeszorozzuk, akkor az eredmény szintén ennek a sorozatnak egyik száma. Valóban: ha ezeket a számokat hárommal osztjuk, akkor a maradék 1, tehát 3x + 1 alakúak. Ha két ilyen számot, mondjuk 3x + 1-et és 3y + 1-et összeszorzunk, akkor a (3x + 1) (3y + 1)=9xy + 3y + 3x + 1 = 3(3xy + y + x)+1 számot nyerjük, a 3 többszörösénél eggyel nagyobb számot.

20 A TÖRZSSZÁMOK SOROZATÁRÓL Ebből az egyszerű megjegyzésből következik, hogy a 2, 5, 8, 11... sorozat bármelyik számának törzstényez ői között mindig kell legalább egy olyannak lennie, amely törzstényez ő ehhez a sorozathoz tartozik, mint pl. 14 esetében a 2, mert 14 = 2 7, vagy 35-nél az 5, mert 35 = 5 7. Ezen törzstényezők egyike sem tartozhat a hármas szorzótáblához, amelyhez a 3 kivételével egyetlen más törzsszám sem tartozik. Ha sorozatunk valamelyik száma csak a 4, 7, 10, 13... sorozatban előforduló törzsszámot tartalmazna törzstényezőként, akkor az előrebocsátott megjegyzés szerint ehhez a sorozathoz kellene tartoznia. Ha tehát valamely szám a 2, 5, 8, 11... sorozathoz tartozik, akkor ennek a sorozatnak legalább egy törzstényezőjét kell tartalmaznia. Ezzel a segédtétellel felvértezve azonnal bebizonyíthatjuk a fentebbi állítást, ha az eukleidészi eljárást kissé módosítva alkalmazzuk, ha a 2 3 5 7 11...p + 1 = N helyett a 2 3 5 7 11...p 1 = M kifejezést tekintjük, mégpedig azért, mert ez a 3 többszöröseinél eggyel kisebb, tehát a 2, 5, 8, 11... sorozathoz tartozik. Az M-nél éppen így világos, mint az N-nél, hogy az el őállításához felhasznált 2, 3, 5, 7, 11... p törzsszámok egyikével sem lehet osztható. Lehetséges, hogy maga az M törzsszám, lehetséges, hogy törzstényezőkre bontható, amelyek közül mindegyik nagyobb a p-nél. Az előrebocsátott segédtétel szerint ezen törzstényezők közül legalább egynek a 2, 5, 8, 11... sorozathoz kell tartoznia. Tehát ezen törzsszámok sorozatában biztosan mindig van olyan törzsszám, amely valamely p törzsszámnál nagyobb, tehát tetszőlegesen nagy. A probléma: vajon az 1, 4, 7, 10, 13... sorozat is végtelen sok törzsszámot tartalmaz-e, ezzel egyáltalában nincs eldöntve. Azt lehetne gondolni, hogy a törzsszámok összességéb ől végtelen sok jut a 2, 5, 8... sorozatra, de csak véges számú az 1, 4, 7... sorozatra; ez együttvéve végtelen sok volna.