Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 2 5 Ezt rendezve a következő hiányos másodfokú egyenlethez jutunk: 2 70 = 0 ( 70) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján 1 = 0, vagy 70 = 0, amiből 2 = 70. Válasz: A keresett szám a 0 vagy a 70. 2. Egy kétjegyű szám egyik számjegye kettővel nagyobb, mint a másik. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott szám négyzetösszege 4034. Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek Egyesek Szám + 2 10 + + 2 + 2 10 ( + 2) + 1
A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10 + + 2) 2 + (10 + 20 + ) 2 = 4034. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 2 15 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 3 és 2 = 5. Válasz: A keresett szám a 35 vagy az 53. 3. Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma eggyel nagyobb, mint az egyesek száma. A szám és a számjegyei összegének a szorzata 1666. Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek Egyesek Szám 1 10 + 1 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10 + 1) ( + 1) = 1666. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 22 2 + 31 1656 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = 414 44. Válasz: A keresett szám a 98. 2
4. Egy tört nevezője néggyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót hárommal csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a tört értéke felére csökken. Melyik ez a tört? Legyen a tört nevezője, a számlálója pedig 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 3 +3 = 1 2 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 13 + 12 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 1. Válasz: A keresett tört a 8 12 = 2 3 vagy a 3 1 = 3. 5. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Mennyien vannak a társaságban, ha összesen 15 kézfogás történt? Legyen a tagok száma. Mivel egy ember önmagán kívül mindenkivel kezet fog, illetve egy kézfogást kétszer számolunk, ezért az összes kézfogások száma: ( 1) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) 2 = 15. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 30 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 5. Válasz: A társaságban 6-an vannak. 3
6. Van-e olyan konve sokszög, amelynek 35 átlója van? Legyen a sokszög oldalainak a száma. Mivel egy csúcsból önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzhatunk átlót, illetve egy átlót kétszer számolunk, ezért az összes átlók száma: ( 3) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) 2 = 35. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 3 70 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 10 és 2 = 7. Válasz: A konve 10-szögnek 35 átlója van. 7. Melyik az a konve sokszög, amelynek 42-vel több átlója van, mint oldala? Legyen a sokszög oldalainak a száma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) 2 42 =. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 5 84 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 7. Válasz: A keresett sokszög a konve 12-szög. 4
8. Hány pontot helyezhetünk el a síkon, ha a pontok összesen 28 egyenest határoznak meg, és nincs olyan 3 pont, amely egy egyenesen sorakozna? Legyen a pontok száma. Mivel egy ponton át minden más pontba húzunk egyenest, illetve egy egyenest kétszer számolunk, ezért az összes egyenesek száma: ( 1) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) 2 = 28. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 56 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = 7. Válasz: Összesen 8 pont határoz meg a síkon 28 egyenest. 9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 2 cm - rel nagyobb, mint a másik befogója, a háromszög területe pedig 24 cm 2. Mekkorák a háromszög befogói? Legyen a háromszög egyik befogója a =, a másik pedig b = + 2. Mivel a háromszög derékszögű, ezért a terület felírható a befogókkal is: T = a m a 2 = a b 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (+2) 2 = 24. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 2 48 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 8. Válasz: A háromszög befogói 6 cm és 8 cm hosszúak. 5
10. Egy téglatest éleinek aránya 1 2 3. Ha az éleket rendre 2, 1, illetve 3 cm - rel meghosszabbítjuk, a téglatest térfogata 426 cm 3 rel megnövekszik. Mekkorák a téglatest élei? Legyenek a téglatest élei a =, b = 2 és c = 3. Egy téglatest térfogatát a következőképpen számolhatjuk ki: V = a b c. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 2) (2 + 1) (3 + 3) = 2 3 + 426. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 20 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 4 és 2 = 5. Válasz: A téglatest élei 4 cm, 8 cm és 12 cm hosszúságúak. 11. Egy téglalap kerülete 42 cm, átlója pedig 15 cm. Mekkorák a téglalap oldalai? Legyen a téglalap egyik oldala, a másik y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2 + 2y = 42 2 + y 2 = 15 2 Az első egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 21 y. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s a következőt kapjuk: (21 y) 2 + y 2 = 225. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 21y + 108 = 0. 6
A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 9 és y 2 = 12. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 9 esetén 1 = 12 és y 2 = 12 esetén 2 = 9. Válasz: A téglalap oldalai 9 cm és 12 cm hosszúak. 12. Két kombájn együtt 4 nap alatt learatta a szövetkezet búzatábláját. Az egyik kombájn egyedül 6 nappal hosszabb idő alatt végezte volna el ugyanazt az aratási munkát, mint a másik. Hány napig aratott volna külön külön a két kombájn? Tegyük fel, hogy ez egyik kombájn egyedül nap alatt, a másik pedig + 6 nap alatt aratná le a búzatáblát. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 nap alatt 4 nap alatt Első kombájn nap 1 4 Második kombájn + 6 nap 1 + 6 4 + 6 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 4 + 4 +6 = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 2 24 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 4. Válasz: Az egyik kombájn 6 nap alatt, a másik 12 nap alatt aratná le egyedül a búzatáblát. 7
13. Két munkás együtt dolgozva 8 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak 12 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek? Tegyük fel, hogy ez első munkás egyedül óra alatt, a második pedig + 12 óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt 8 óra alatt Első munkás óra 1 8 Második munkás + 12 óra 1 + 12 8 + 12 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 8 + 8 +12 = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 4 96 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 8. Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 8
14. A tartályt az egyik csapon át 4, a másik csapon át 9 órával hosszabb idő alatt tölthetjük meg, mint ha mind a két csapot egyszerre használjuk. Mennyi idő alatt telik meg a tartály, ha csak az egyik, illetve a másik csapot nyitjuk meg? Tegyük fel, hogy a csapok együtt óra alatt töltik meg a tartályt. Ekkor az egyik + 4, a másik pedig + 9 órán keresztül töltené meg egyedül a tartályt. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt óra alatt Első csap + 4 óra 1 + 4 + 4 Második csap + 9 óra 1 + 9 + 9 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: +4 + +9 = 1. Ezt rendezve a következő egyenlethez jutunk: 2 = 36. Ebből kapjuk, hogy a két megoldás: 1 = 6 és 2 = 6. Válasz: Az egyik csapon át 10 óra alatt, a másikon keresztül 15 óra alatt telik meg a tartály. 9
15. Két munkás együtt egy munkát 12 óra alatt végez el. Ha az első munkás elvégezné a munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka 25 óráig tartana. Hány óra alatt végzi el a munkát a két munkás külön külön? Tegyük fel, hogy az egyik munkás óra alatt, a második pedig y óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt 12 óra alatt Első munkás óra 1 12 Második munkás y óra 1 y 12 y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 12 + 12 = 1 y + y = 25 2 2 A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 50 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 12 + 12 = 1. 50 y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 50y + 600 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 20 és y 2 = 30. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 20 esetén 1 = 30 és y 2 = 30 esetén 2 = 20. Válasz: Az egyik munkás 20 óra alatt, a másik 30 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 10
16. Egy építkezéshez 30 tonna anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél 2 tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 4 gyel többet, így a szállítást időben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak? Tegyük fel, hogy eredetileg rendeltek darab 30 tonna teherbírású teherautót. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 4) ( 30 2) = 30. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 4 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 10. Válasz: 10 darab 3 tonna teherbírású teherautó végezte a szállítást. 17. Egy 15 000 Ft - os termék árát kétszer egymás után ugyanannyi százalékkal csökkentették. Hány százalékos volt az árleszállítás az egyes esetekben, ha a termék ára így 12 150 Ft lett? Legyen az árleszállítás mértéke p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 15 000 (1 p p ) (1 ) = 12 150. 100 100 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p 2 200p + 1900 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 10 és p 2 = 190. A p 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Mindkét esetben 10 % - kal csökkentették a termék árát. 11
18. Egy áru árát felemelték, majd később mivel nem fogyott kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Így az eredeti árnál 5, 5 % - kal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árát eredetileg? Legyen az áru ára forint és a növelés mértéke pedig p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 + p 2p ) (1 100 100 ) = (1 5,5 100 ). Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p 2 + 50p 275 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p 2 = 55. A p 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % - kal emelték meg eredetileg az áru árát. 19. Kamatozó betétbe betettünk a bankba 1 000 000 Ft ot. Az első évi kamatnál 3 % - kal több volt a második évi kamat. Két év múlva 1 134 000 Ft lett a kamattal növelt összeg. Hány százalékos volt a kamat az első, és mennyi a második évben? Legyen az első éves kamat mértéke p, a második éves kamat mértéke pedig p + 3 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 000 000 (1 + p p+3 ) (1 + ) = 1 134 000. 100 100 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p 2 + 203p 1040 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p 2 = 208. Válasz: 5 % volt az első éves kamat és 8 % a második éves kamat. 12
20. Két kénsavoldat közül az első 0, 8 kg, a második 0, 6 kg tömény kénsavat tartalmaz. Ha a két oldatot összeöntjük, akkor 10 kg harmadik töménységű kénsavoldatot kapunk. Mekkora volt az első és a második oldat tömege, ha a kénsavtartalom százaléka az első esetben 10 - zel több, mint a másodikban? Legyen az első oldat tömege, a másodiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 0,8 0,6 100 = y + y = 10 100 + 10 A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 10 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 80 = 60 + 10. 10 y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 + 4y 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 6 és y 2 = 10. Az y 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y = 6 esetén = 4. Válasz: A két oldalt tömege 4 kg és 6 kg volt. 13
21. Két turista egyszerre indul el egy 40 km hosszúságú úton. Az egyik turista óránként 2 km - rel többet tesz meg, mint a másik, és ezért egy órával előbb ér az út végére. Mekkora a két turista sebessége? Legyen az egyik turistának a sebessége, a másiknak pedig + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Első turista 40 Második turista 40 + 2 40 40 + 2 A megoldáshoz a következő képleteket használjuk fel: v = s t = s s = t v. t v Mivel a lassabb turista ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a gyorsabb turista idejét ahhoz, hogy az egy órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 40 40 +2 = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 2 80 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = 10. Válasz: Az első turista sebessége 8 km h, a második sebessége pedig 10 km h. 14
22. Két folyóparti város távolsága 120 km. Egy hajó oda - vissza 12, 5 óra alatt teszi meg az utat. A folyó sebessége 4 km. Mekkora lenne a hajó sebessége állóvízben? h Legyen a hajó sebessége. Amennyiben a sodrással egy irányba haladunk, akkor a sebességünkhöz hozzá kell adnunk a folyó sebességét. Amennyiben folyásiránnyal szemben haladunk, úgy a sebességünkből ki kell vonnunk a folyó sebességét. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t folyással ellenkező irányban haladva 120 4 120 4 folyás irányában haladva 120 + 4 120 + 4 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 120 4 + 120 +4 = 12,5. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 12,5 2 240 200 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 20 és 2 = 0,8. Válasz: A hajó sebessége állóvízben 20 km h. 15
23. Két kikötő között a távolság egy folyón 21 km. Egy motorcsónak elindul az egyik kikötőből a másikba, ott 30 percet áll, majd visszaindul, és így az első indulás után 4 órával ér vissza a kikötőbe. A folyó vizének sebessége 2, 5 km h. Mekkora a motorcsónak sebessége állóvízben? Legyen a motorcsónak sebessége. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t folyással ellenkező irányban haladva 21 2,5 folyás irányában haladva 21 + 2,5 21 2,5 21 + 2,5 Mivel 30 percet állt, ezért az út megtételéhez 3,5 órára volt szüksége. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 21 + 21 = 3,5. 2,5 +2,5 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 244 2 336 175 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 1 = 12,5 és 2 = 0,5. Válasz: A motorcsónak sebessége 12,5 km h állóvízben. 16
24. Két állomás közötti távolság 96 km. A személyvonat, amelynek átlagsebessége 12 km val nagyobb, mint a tehervonaté, 40 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az h utat, mint a tehervonat. Mekkora a személy és a tehervonat sebessége? Legyen a személyvonatnak a sebessége, a tehervonatnak pedig 12. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Személyvonat 96 Tehervonat 96 12 96 96 12 Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a személyvonat idejét ahhoz, hogy a 40 percet megkapjuk. A 40 perc átszámítva pedig 2 3 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 96 96 = 2. 12 3 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 12 1728 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 48 és 2 = 36. Válasz: A személyvonat sebessége 48 km h, a tehervonat sebessége pedig 36 km h. 17
25. A 150 km hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km sebességgel gyorsabban h haladt, mint a másik, és ezért fél órával a hamarabb ért célba. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi? Legyen az egyik kocsinak a sebessége, a másiknak pedig 10. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Első kocsi 150 Második kocsi 150 10 150 150 10 Mivel a második kocsi ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk az első kocsi idejét, ahhoz, hogy a fél órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 150 10 150 = 1 2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 10 3000 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 60 és 2 = 50. Válasz: Az egyik kocsinak a sebessége 60 km h, a másiknak pedig 50 km h. 18
26. Egy kerékpárosnak 30 km-es utat kell megtennie. Mivel a kitűzött időnél 3 perccel később indult, ahhoz, hogy idejében megérkezzék, óránként 1 km-rel többet kellett megtennie, mint ahogy eredetileg tervezte. Mekkora sebességgel haladt? Legyen a kerékpáros tervezett sebessége, s a valós pedig + 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Tervezett 30 Valós 30 + 1 30 30 + 1 Mivel a tervezett út ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a 3 percet, ahhoz, hogy megkapjuk a megvalósult kerékpározás idejét. A 3 perc átszámítva pedig 3 60 = 1 20 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 30 1 20 = 30 +1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 600 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 24 és 2 = 25. Válasz: A kerékpáros valós sebessége tehát 25 km h volt. 19
27. Az A vasútállomásról reggel 5 órakor tehervonat indul B-be, mely A-tól 1080 km távolságra van. 8 órakor B-ből gyorsvonat indul A-ba, ez óránként 15 km-rel többet tesz meg a tehervonatnál. Félúton találkoznak. Hány órakor történik ez? Legyen a tehervonatnak a sebessége, a gyorsvonatnak pedig + 15. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Tehervonat 540 Gyorsvonat 540 + 15 540 540 + 15 Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a két indulás között eltelt 3 órát, ahhoz, hogy megkapjuk a gyorsvonat idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 540 3 = 540 +15. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 + 15 2700 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 45 és 2 = 60. Válasz: A tehervonat 12 órát, a gyorsvonat 9 órát ment, így 17 órakor találkoztak. 20
28. Az A város 78 km-re van B-től. A-ból elindult egy kerékpár B-be. Egy órával később pedig egy másik kerékpáros B-ből A-ba. Ez utóbbi sebessége 4 km - val több, mint az h elsőé, így B-től 36 km-re találkoztak. Mennyi ideig kerékpározott mindegyik az indulástól a találkozásig és mekkora sebességgel? Legyen az első kerékpárosnak a sebessége, a másodiknak pedig + 4. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t A-ból B-be 42 B-ből A-ba 36 + 4 42 36 + 4 Mivel a második kerékpáros ideje volt a kevesebb, ezért ahhoz hozzá kell adnunk az 1 órát, ahhoz, hogy megkapjuk az első kerékpáros idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 42 = 36 +4 + 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 2 168 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 14 és 2 = 12. Válasz: Az első kerékpáros 14 km h - val haladt 3 óráig, a második pedig 18 km h - val 2 óráig. 21
29. Egy gépkocsi 10 m sebességgel halad el mellettünk, de abban a pillanatban s 4 m s2 gyorsulással egyenletesen növelni kezdi sebességét. Mennyi idő múlva halad el a tőlünk 100 m távolságra lévő oszlop mellett? Mekkora lesz ekkor a sebessége? Az egyenletesen gyorsuló, egyenes vonalú mozgással kapcsolatban a következő képleteket kell használnunk: v = v 0 + a t s = v 0+v 2 t s = s 0 + v 0 t + a 2 t2 Ahol t az eltelt idő; s 0 az óra elindulásáig megtett út; s a t időpillanatig megtett út; v 0 a test kezdő sebessége; v a végsebessége, a test gyorsulása. A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 0 m, s = 100 m, v 0 = 10 m s, a = 4 m s 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 = 0 + 10t + 4 2 t2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: t 2 + 5t 50 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 5 és t 2 = 10. Az t 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességét pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = 10 + 4 5 = 30. Válasz: A kocsi 5 másodperc alatt ér el az oszlopig és ekkor a sebessége 30 m s lesz. 22
30. Egy gépkocsi 10 m - t megtéve érte el a 2 m sebességet. Ekkor 2, 6 m s s2 egyenletes gyorsulással (egyenes úton) növelni kezdte a sebességét, és indulási helyétől 160 m távolságra elérte a végsebességét. Mennyi ideig gyorsított, és mekkora lett a végsebessége? A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 10 m, v 0 = 2 m, a = 2,6 m s s2, s = 160 m. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 160 = 10 + 2t + 2,6 2 t2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 13t 2 + 20t 1500 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 10 és t 2 = 11,5. Az t 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességet pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = 2 + 2,6 10 = 28. Válasz: A kocsi 10 másodpercig gyorsított és 28 m s lett a végsebessége. 31. Legyen a = 5 és b = 125. Határozd meg a és b számtani, illetve mértani közepét! A közepek kiszámításához a következő képleteket kell használnunk. Az n darab nem negatív szám számtani közepén a következőt értjük: a 1+a 2 + + a n. n n Az n darab nem negatív szám mértani közepén a következőt értjük: a 1 a 2 a n. Ezek alapján a megoldások: Számtani közép: A (a; b) = 5+125 2 = 65. Mértani közép: G (a; b) = 5 125 = 25. 23
32. Egy 2 m hosszú fonál segítségével képezzünk téglalapot. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a terület maimális legyen? Használjuk fel azt az összefüggést, hogy n darab szám mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a számok számtani közepe. Legyen a téglalap egyik oldala. Mivel a kerülete 2, ezért a másik oldal 1 lesz. A téglalap területe ekkor: T = (1 ). A két oldalra írjuk fel a mértani és számtani közepek közötti összefüggést: (1 ) +1. 2 Ezt rendezve a következőt kapjuk: (1 ) 1 4. Ebből következik, hogy a téglalap területe akkor lesz a legnagyobb, ha pontosan 1 4. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 ) = 1 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 4 2 4 + 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: = 1 2. Válasz: A legnagyobb területű téglalap az 1 m oldalú négyzet lesz. 2 24
33. A 100 cm 2 területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? A téglalap kerülete: K = 2a + 2b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: K 4 = a+b 2. A téglalap területe: T = a b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: T = a b. Ezek alapján a téglalap kerületének negyede a két oldal számtani közepével egyenlő, míg a terület négyzetgyöke éppen a két oldal mértani közepét adja eredményül. Írjuk fel a két oldal segítségével a számtani és mértani közepek közötti összefüggést: 100 K 4. Ezt rendezve a következőt kapjuk: 40 K. Ebből következik, hogy a téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha pontosan 40. A terület képletéből fejezzük ki a-t, s a következőt kapjuk: a = 100 b. Ezt helyettesítsük be a kerület képletébe, s a következő egyenletet kapjuk: 40 = 2 100 + 2b. b Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: b 2 20b + 100 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: b = 10. Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b = 10 esetén a = 10. Válasz: A 40 cm kerületű, vagyis 10 cm oldalú négyzetnek lesz a legkisebb a kerülete. 25
34. Adj meg olyan f () másodfokú függvényt, amelynek maimuma a (4; 3) pont, illetve egy olyan g () függvényt, melynek minimuma van az (1; 0) pontban! A szélsőérték meghatározásához előbb teljes négyzetté kell alakítanunk a másodfokú kifejezést. Általános alakot használva a következőt kapjuk: a 2 + b + c = a [( + b 2a )2 b2 4a 2] + c = a ( + b 2a )2 b2 4a + c. A függvénynek az = b 2a helyen lesz szélsőértéke, s ennek az értéke: y = b2 4a + c. Ha az a > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, így a szélsőérték minimum, ha az a < 0, akkor a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, így a szélsőérték maimum. Tekintsük az első esetet. Mivel a feladat szerint maimuma lesz a függvénynek, ezért a < 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: f () = ( 1) ( 4) 2 3 = ( 2 8 + 16) 3 = 2 + 8 19. Tekintsük most a második esetet. Mivel a feladat szerint minimuma lesz a függvénynek, ezért a > 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: g () = 1 ( 1) 2 0 = 2 2 + 1. 26
35. Határozd meg az f () = 2 2 + 4 6 függvény szélsőértékeit, ha R, illetve ha [ 3; 2] vagy [0; 1]! A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 2 együtthatója egy pozitív szám, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, vagyis minimuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: 2 2 + 4 6 = 2 ( 2 + 2) 6 = 2 [( + 1) 2 1] 6 = 2 ( + 1) 2 8 Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban ( + 1) 2 0, ezért a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha + 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: = 1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az y tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: y = 8. Tekintsük most a második esetet, vagyis az [ 3; 2] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maimumának helye = 3 és értéke y = 2 ( 3) 2 + 4 ( 3) 6 = 0. A minimumának helye = 2 és értéke y = 2 ( 2) 2 + 4 ( 2) 6 = 6. 27
Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az [0; 1] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye = 0 és értéke y = 2 0 2 + 4 0 6 = 6. A maimumának helye = 1 és értéke y = 2 1 2 + 4 1 6 = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot: 28
36. Határozd meg az f () = 2 + 2 + 3 függvény szélsőértékeit, ha R, illetve ha [ 2; 0] vagy [2; 3]! A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 2 együtthatója egy negatív szám, így a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, vagyis maimuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: 2 + 2 + 3 = ( 2 2) + 3 = [( 1) 2 1] + 3 = ( 1) 2 + 4 Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban ( 1) 2 0, ezért a legnagyobb értéket akkor kapjuk, ha 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: = 1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az y tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: y = 4. Tekintsük most a második esetet, vagyis az [ 2; 0] értékeket. Mivel az intervallum a függvény maimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye = 2 és értéke y = ( 1) ( 2) 2 + 2 ( 2) + 3 = 5. A maimumának helye = 0 és értéke y = ( 1) 0 2 + 2 0 + 3 = 3. 29
Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az [2; 3] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maimumának helye = 2 és értéke y = ( 1) 2 2 + 2 2 + 3 = 3. A minimumának helye = 3 és értéke y = ( 1) 3 2 + 2 3 + 3 = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot: 30
37. Bontsd fel a 30-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen! Legyen az egyik szám, a másik pedig 30. Ekkor a két szám négyzetösszege: 2 + (30 ) 2. Tekintsük ezt úgy, mint egy függvény és keressük meg a minimumát. f () = 2 + (30 ) 2 = 2 + 900 60 + 2 = 2 2 60 + 900 = = 2 ( 2 30) + 900 = 2 [( 15) 2 225] + 900 = 2 ( 15) 2 + 450. Ezek alapján a függvénynek az = 15 helyen lesz minimuma. Válasz: Akkor lesz a legkisebb a tagok négyzetösszege, ha a két szám 15-15 lesz. 38. Bizonyítsd be, hogy egy pozitív számnak és reciprokának összege nem kisebb 2-nél! Legyen a feladatnak megfelelő szám ( > 0). A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: + 1 2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk: 2 2 + 1 0. Az egyenlőtlenség bal oldala nevezetes azonossággal szorzattá alakítható: ( 1) 2 0. Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív, így az egyenlőtlenség mindig teljesül. Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha = 1. 31