Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geotechnikai Tanszék. Geotechnikai numerikus módszerek MSc képzés. Készítette Czap Zoltán 2012.

Átírás

1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Geotechnikai Tanszék Geotechnikai numerikus módszerek MSc képzés Készítette Czap Zoltán január

2 2

3 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Geotechnikai modellalkotás Táblázatkezelő program (Excel) alkalmazása geotechnikai feladatok megoldására Feszültségszámítás Boussinesq elmélete szerint Függőleges falra ható földnyomások Lineáris regresszió Alkalmazás nem lineáris összefüggések esetén, transzformáció Befogott szádfal méretezése Differenciálegyenlet numerikus megoldása: kéttámaszú tartó Konszolidáció modellezése Véges elemek módszere Korszerű számítógépes módszerek Véges elemek módszere Peremelem módszer Kapcsolt végeselem - peremelem módszer Véges differenciák módszere Diszkrét elem módszer A végeselem módszer geotechnikai sajátosságai Végeselemes anyagmodellek (Plaxis) Lineáris rugalmas talajmodell (31. ábra) A Mohr-Coulomb talajmodell (32. ábra) A felkeményedő modell Puha anyagmodell (40. ábra) Elemtípusok síkbeli alakváltozás-állapot vizsgálatához Kezdeti feszültségek Az iteráció gyorsítása Példa síkalap teherbírásának meghatározása (54. ábra) Fizikai + számítási modell megalkotása Példa felszínről mélyített metró állomás Fizikai + számítási modell megalkotása Számítás Példa: cölöp próbaterhelés modellezése A geotechnikai modell megalkotása Számítás Az eredmények értelmezése Számítási módszerek összehasonlítása Az eredmények értékelése Az anyagjellemzők meghatározása

4 7 Gyakorlati feladatok Irodalom

5 1 Bevezetés A tudósok és a mérnökök régi célja és vágya, hogy képesek legyenek a matematikai fogalmak és a számok segítségével leírni a világot. Ez a vágy legalább Püthagorasz óta nyilvánvaló. Ez alól a geotechnikus mérnökök sem kivételek, akik először kutatások, majd a mindennapi gyakorlati munkájuk során rendszeresen matematikai modellek és számítógépes programok segítségével próbálják megérteni a talaj és szerkezet viselkedését és előre jelezni azt. Például már sok évvel ezelőtt elterjedtek egyszerű numerikus eljárások a gyakorlatban a talaj teherbírás, a konszolidáció és a rézsűállékonyság elemzésére. A II. világháború után, az elektronikus számítógépek elterjedésével megteremtődött a lehetőség arra, hogy a mérnökök sokkal jobban kihasználják a numerikus módszereket a gyakorlati problémáik vonatkozásában felmerülő egyenletek megoldására. Ez az eszköz lehetővé tette bonyolult, nem lineáris, időfüggő és igen sok számítást igénylő problémák rutinszerű megoldását. Az asztali és hordozható számítógépeken rendelkezésre álló eszközök bősége következményeként a perem és kezdetiérték-feladatok megoldásának lehetősége már nem csak a kutatóknak és a tudósoknak áll rendelkezésére. A hardver és a szoftver látványos fejlődése eredményeként jelentős a fejlődés és nagyon kifinomult geotechnikai feladatmegoldó programcsomagok szerezhetők be kereskedelmi forgalomban. Ez a lehetőség a szoftverek széles csoportjára terjed ki, a határegyensúly-vizsgálatoktól a legerősebb nemlineáris végeselemes programokig. A nagyteljesítményű hardver- és a kifinomult szoftver eszközök elérhetősége lehetővé tette a geotechnikus mérnökök számára, hogy a problémákat sokkal részletesebben vizsgáljanak meg, mint az korábban lehetséges volt. Egyrészt megteremtődött a lehetősége azon numerikus módszerek alkalmazásának, amelyek segítségével megvizsgálhatók azok a fontos mechanizmusok, amelyek sok feladatnál meghatározzák az általános viselkedést, másrészt azok, amelyek a részletes és alapos vizsgálatot igénylő területeken a legfontosabb paraméterek azonosítására használhatók. Ennek a fejleménye az is, hogy általában jobb minőségű terepi vagy laboratóriumi adatokra van szükség a különböző modellek hatékony alkalmazásához. Sajnos gyakran ezek a bemenő adatok nem, vagy nem kellő pontossággal ismertek, de lehetőségünk van felállítani a további paraméterek listáját és a gyűjtésükhöz szükséges szabályokat. A legfontosabb modell-paraméterek hatásvizsgálata megerősítheti a bizalmat az eredményeinkben, illetve kiszűrhetővé teszi azokat az adatokat, amelyek figyelmen kívül hagyhatók a műszaki értékelésnél. A geotechnikai problémák vizsgálatában egyre növekszik a megfelelőségi vizsgálatok szerepe, amelyek a legproblematikusabb paraméterek bizonytalanságával foglalkoznak, valamint statisztikai eredmények felhasználásával valószínűségeket társítanak a várható eseményekhez. A számítógépek alkalmazása a geotechnikában nem szorítkozik kizárólag az analízis és a matematikai modellezés területére. A kifinomult informatikai eszközök elérhetősége lehetővé tette a geotechnikus mérnökök számára a fontos adatok rögzítését, tárolását, elérését, felhasználását és bemutatását. Ezek az eszközök mindenekelőtt a táblázatos számoló, az adatbázis-kezelő és a vizualizációs programok. Ez a jegyzet elsősorban a táblázatos számító (Excel) és két- illetve háromdimenziós véges elemes programok (Plaxis) geotechnikai alkalmazásával foglalkozik. A gyakorlat része még egy geotechnikai programcsomag, a GEO5 megismerése is. 5

6 2 Geotechnikai modellalkotás A geotechnikai vizsgálatokat szinte mindig modelleken végezzük, kivéve az ellenőrzéseket és a monitoring rendszerek működtetését, de ekkor is szükségünk van egy párhuzamos modellezésre. Ezek a modellek lehet laboratóriumi, kis-, közepes és nagymodellek, valamint az e tantárgy körébe tartozó matematikai modellek. Modelljeink megalkotása két irányból történik (1. ábra), az adottságok és a tervek irányából. Mindkét esetben olyan szintre kell egyszerűsíteni a helyzetet, hogy az a rendelkezésre álló eszközeinkkel kezelhető legyen, de nem jobban! Az adottságok alapján egy fizikai modellt állíthatunk elő, amely a talaj rétegekre bontását, a talajvízszintek meghatározását, stb. jelenti. A megépítendő szerkezet oldaláról a statikai váz, a terhelések, az építési sorrend, stb. meghatározása a cél, valamint a talaj és a szerkezet együttdolgozásának módja és lehetőségei. Általában ezzel időben történik a számításhoz, a modellezéshez szükséges paraméterek meghatározása is, mint a talaj (talajfizikai, nyírószilárdsági és alakváltozási), mint a szerkezet (merevségi és terhelési) oldaláról ábra

7 Ez után tudjuk elvégezni a szükséges számításokat, a rendelkezésre álló eszközökkel. A modell, a paraméterek és a számítási eszközök szoros kölcsönhatásban vannak egymással, kölcsönösen szigorú követelményeket állítanak egymás iránt, például nincs értelme olyan modelleket alkalmazni, amelyekhez fontos paraméterek hiányoznak, vagy nem állnak rendelkezésre a számítási eszközeink akár hardver, akár szoftver (szélesebb értelemben, a szakmai ismereteket is beleértve) szinten. Fontos még a modellezés során is a gazdaságosság (az időráfordítás, a helyszíni és a laboratóriumi vizsgálatok, esetleg a számítógépes programok költségei), a szabványoknak való megfelelés, valamint a felhasználó (kivitelező, társtervező, beruházó, tulajdonos) számára érthető és alkalmazható formában történő adat- és eredményközlés. A modellezés mindig (a kutatások kivételével) a geotechnikai tervezés és ellenőrzés folyamatába (2. ábra) illeszkedik. 2. ábra A geotechnikai tervezés során szinte mindig számolnunk kell az alábbi problémákkal: Az adataink mindig hibákkal terheltek. A hibák végeredményre gyakorolt hatása a hiba keletkezési helye szerint: adathibák >> modell hibák >> számítási hibák Számítási hibákon persze itt nem például a mértékegység elnézését, hanem a számolóeszköz pontatlanságát értjük. Messze a legnagyobb hatása az adathibáknak, a felvett, a becsült, a félreértelmezett adatoknak van, ennek az eredménye pedig: Szemét be szemét ki A hibák fenti hatása minden műszaki számításra jellemző, de vannak olyan problémák, amelyek kifejezetten a geotechnikai tervezésnél jelentkeznek: 1. A talaj összetettsége, a minták zavartsága, mintavételi hibák és kísérleti pontatlanságok. 2. Túl kevés vagy rosszul megválasztott vizsgálat. 3. Együttműködés a tervezői-építtetői környezettel: o A geotechnikai vizsgálatokra fordított költségek megtakarítása. 7

8 o A geotechnikai vizsgálatok alacsony prioritása a tervezésben. o A következmények hibás felmérése, integrálatlanság. Az első csoport káros következményeinek csökkentésére szolgál a biztonság többszintű alkalmazása. Az elvárt globális biztonság (az ellenállások és a hatások várható értékeinek hányadosa) a leggyakoribb geotechnikai szerkezetnél: 1. táblázat. 1. táblázat Biztonság Károsodás gyakorisága Földművek 1,35 1,5 1:500 Földmegtámasztó szerkezetek 1,9 1:1500 Alapozások 1,9 2,1 1:5000 Ezt a biztonságot több lépésben érjük el. Az első a karakterisztikus érték meghatározása. Ez óvatos becsléssel történik, statisztikai alapokon. Ha van elegendő adatunk, saját, ha nincs, az általános tapasztalati adatokon alapuló értékeket használunk. A karakterisztikus értéket célszerű úgy származtatni, hogy a vizsgált határállapotot meghatározó kedvezőtlen érték valószínűsége ne legyen nagyobb 5%-nál. A matematikai statisztika eszköztárát alkalmazva a karakterisztikus értéket az X k = X m (1 k n v x ) képlettel lehet számítani, ahol X m a paraméter várható értéke, melyet az adott talajzóna vizsgálati (vagy a vizsgálatokból származtatott) eredményeinek átlagaként fogadhatjuk el, k n statisztikai paraméter, amelyet elsősorban a rendelkezésünkre álló mérési adatok száma alapján kell felvenni, ajánlott értéke 0,5, v x a paraméter relatív szórása (a tapasztalati szórás és a várható érték hányadosa), melyet vagy a mérési eredményekből számítunk, azaz statisztikailag (előzetesen) ismeretlennek tekintünk, vagy előzetes ismeretek alapján vesszük fel, azaz statisztikailag ismertnek tételezzük fel. Konkrét esetekben gyakran nincs elegendő adat a relatív szórás megállapításához. Ilyenkor a talajjellemzőknél közelítőleg a következők vehetők figyelembe: φ hatékony belső súrlódási szög v φ = 0,1 c hatékony kohézió v c = 0,3 c u drénezetlen nyírószilárdság v cu = 0,4 E oed összenyomódási tényező v Eoed = 0,4 A terheléseknél és a geometriai adatoknál a karakterisztikus érték általában szabályzati adatok alapján adott. A teherbírási határállapotok vizsgálatához a tervezési értékeket parciális tényezők alkalmazásával nyerjük. A terhelési oldalon növelő, a teherbírási oldalon csökkentő hatással alkalmazzuk ezeket. Nyírószilárdsági jellemzőkben, rézsűk és más szerkezetek állékonyságvizsgálatához (X d = X k /γ M ): 2. táblázat. Terhelésekben, igénybevételekben (X d = γ x X k ): 3. táblázat. Teherbírási jellemzőkben (X d = X k /γ R ) a geotechnikai szerkezet függvényében γ R = 1-1,4. Geometriában a d = a nom + a, szintén a geotechnikai szerkezet függvényében, például támfalaknál a a fal magasságának 10 %-a, de legfeljebb 0,5 m. 8

9 2. táblázat Talajparaméter Jel Érték Hatékony súrlódási szög (tanϕ') γ ϕ 1,35 Hatékony kohézió (c ) γ c 1,35 Drénezetlen nyírószilárdság (c u ) γ cu 1,50 Egyirányú nyomószilárdság (q u ) γ qu 1,50 Térfogatsúly (γ, γ s ) γ γ 1,00 Hatás Állandó Esetleges 3. táblázat Értékcsoport Jel A1 A2 kedvezőtlen 1,35 1,00 γ kedvező G 1,00 1,00 kedvezőtlen 1,50 1,30 γ kedvező Q 0,00 0,00 9

10 3 Táblázatkezelő program (Excel) alkalmazása geotechnikai feladatok megoldására A számítások munkalapokon, illetve az azokból álló munkafüzetekben készülnek. Fontos, hogy ezek szerkezete olyan legyen, hogy aki használja, az biztonságosan el tudjon igazodni rajta. A készítő részére is biztonságot jelent, ha áttekinthetőek a számítások és az újrafelhasználhatóságra is ügyelni kell. A számolótáblát (munkafüzetet) általában négy részre kell osztanunk: Bemenő adatok Számítások Táblázatos eredmények Grafikus eredmények Az Ördög javaslatai Excel munkafüzetek készítéséhez ( 1. Csak csináld! Ugorj neki és csináld! A felhasználók elfogadják, bármi lesz az eredmény. 2. Előbb lőj, aztán célozz! Te kérdés nélkül is tudod, mire van ténylegesen szükség. 3. Sose egyszerűsíts (az csak megkönnyítené más embereknek, hogy átvegyék a munkádat), csak tegyél hozzá újabb részeket, de ne vedd ki az elavultakat. 4. A határidők nem számítanak. 5. Dokumentáció a gyengeelméjű embereknek, specifikáció a félénkeknek való. 6. Ne szerezz tesztadatokat! Bármit eredményez a táblázat, megfelel. 7. Ne használj lapvédelmet! Az korlátozza a felhasználók jogát, hogy fejlesszék a képleteket bárminek a begépelésével. 8. Ne töltsd ki a tulajdonságok lapot, úgyis mindenki kitalálja, hogy te voltál a szerző. 9. VBA (Very Buggy Application Nagyon Hibás Alkalmazás) hibakeresése könnyű; csak változtatgasd addig, amíg valami működni látszik, ekkor a felelősséged befejeződött. 10. Sose használj cella megjegyzéseket, vagy segítő szöveget a munkalapon. A felhasználóknak maguktól tudniuk kellene, hogy mit csináljanak. 11. Ha te tudod milyen egységeket, mértékegységet használsz, akkor biztonsággal úgy tekintheted, hogy más is biztosan tudja. 12. Keverd a bemeneti adatokat és a kalkulácós cellákat, hogy állandó éberségre ösztönözd a felhasználókat. 13. Sose használj felváltva és vegyesen abszolút és relatív cellahivatkozást, mert ez lerövidíthetné a számlázható időd. 14. Rejtsd el néhány cellában az adatot, így mikor a felhasználó belebotlik, tisztelni fog téged a gondolkozásának fejlődéséért. 15. Ha megkérdik, hogy letesztelted-e, kérdezz vissza: Nem bízol bennem? 16. Formázz sok dekoratív színnel és stílussal, hogy megtörd az egyhangúságot. 17. Ne tarts biztonsági másolatokat a munkafüzet különböző verzióiból. A legutóbbi mindig a legjobb. 18. Írd be a konstansokat a képletekbe, végül is nem változnak. 19. A többféle módon ellenőrzés pusztán redundáns számítás. 20. A munkafüzet leteszteléséhez elég megnézned, hogy az eredmény elfogadhatónak tűnik-e. A lehetőségeket néhány egyszerű alkalmazáson keresztül mutatjuk be. Feltételezzük, hogy e könyv használója ismeri az Excel alapvető alkalmazását és csak az alapszinten felüli lehetőségekre hívjuk fel külön a figyelmet. 10

11 3.1 Feszültségszámítás Boussinesq elmélete szerint Boussinesq rugalmasságtani egyenletei segítségével a végtelen féltérben koncentrált erő hatására ébredő feszültségeket (3. ábra, 4. ábra) határozhatjuk meg: 3 3 Q z σ z = 5 2 π R 2 3 Q r z τ rz = 5 2 π R Feladat A végtelen féltér felszínén 100 kn nagyságú erő működik. Határozzuk meg a függőleges és a nyíró feszültségeket az erő támadáspontjától x=1 m, y=1 m távolságra, z=1-4m mélységben, 0,5 m-es lépésekben! Az eredményeket grafikonon is ábrázoljuk! 3. ábra 4. ábra Lépések Adatbeviteli mező (1. Excel tábla) létrehozása Egy helyre csoportosítsuk a bemenő adatokat az áttekinthetőség és a könnyű kezelhetőség érdekében. Ha lehet, a felhasználó csak ezen a területen írhassa át a cellák tartalmát és csak az adatok értékét változtathatja. Az adatbeviteli mezőn szerepeljen a munkalap (munkafüzet) címe, ez a nyomtatásnál fontos. Az egyértelműség miatt szövegesen és jelöléssel is adjuk meg az adatok nevét. Fontos 11

12 a mértékegységek feltüntetése is. Az adatbeviteli mezőt sorközzel, vagy vonallal válasszuk el a további részektől. A táblázatos számítás előkészítése Egyszerű esetben, mint itt is, ez az adatbeviteli mezőbe is beépülhet. Itt számoljuk ki azokat az értékeket, amelyek a következő táblázatban konstansként szerepelnek. A mértékegységek átváltása (pl. fokról radiánra) és homogenizálása (pl. MPa-ról kpa-ra) is itt történhet. A munkalap véglegesítésénél a felhasználó számára információval nem rendelkező részeket (pl. az előzőekben említett átváltásokat) rejtsük el. A képletek könnyebb szerkeszthetősége és áttekinthetősége érdekében neveket is rendelhetünk az egyes cellákhoz (ez az adatbeviteli mezőnél is hasznos). Ez történt itt is, a bal oldali oszlop, mint név, használatával. Az eredmények táblázata (2. Excel tábla, 3. Excel tábla). Fontos az áttekinthetőség, a nevek, a jelölések, a mértékegységek használata, a megfelelő számábrázolás. Grafikon (4. Excel tábla) 1. Excel tábla 2. Excel tábla 3. Excel tábla 12

13 4. Excel tábla Átnézendők az Excel eszközei közül: Képletek, értékek, szövegek beírása Nevek megadása Képletek másolása Abszolút és relatív címzés Táblázat formázása Oszlopszélesség beállítása Elemi műveletek, hatványozás, gyökvonás, π Cellavédelem Mentés Grafikonszerkesztés Átszerkesztés Ajánlott feladatok: Diagram tengelyeinek felcserélése Függőleges feszültségek ábrázolása 1, 2 és 3 m-es mélységben 3.2 Függőleges falra ható földnyomások Az alsó pontja körül elforduló falra ható földnyomások értékét az 5. ábra szerinti összefüggések határozzák meg. A határértéket kompressziónál a passzív, expanziónál az aktív földnyomás jelenti, a két határ között a rugalmas ágyazás működik, azzal, hogy nulla elmozdulásnál a nyugalmi nyomás érvényesül. 13

14 5. ábra Feladat: Határozzuk meg a 10 m hosszú falra ható földnyomások értékét, ha a felső pont elmozdulása 8 mm, a talaj térfogatsúlya 18 kn/m 3, belső súrlódási szöge 30, az ágyazási tényező 15 MPa/m! A falat a vizsgálathoz osszuk 20 egyenlő részre! A földnyomási szorzók: K 0 =1-sinφ K a =tg 2 (45 -φ/2) K p =tg 2 (45 +φ/2) Lépések Adatbeviteli mező (5. Excel tábla) létrehozása Használjuk a nevek cellákhoz rendelését! A táblázatos számítás előkészítése Ide tartozik az átváltás fokról radiánra (ez rejtett cellákba kerül) és a földnyomási szorzók meghatározása Az eredmények táblázata (5. Excel tábla-7. Excel tábla) Az ágyazási reakció kiszámításánál a mm-ben adott elmozdulás és a MPa/m-ben levő ágyazási tényező szorzata éppen kpa-t ad eredményül. e = z γ+k u, de a korlátozások figyelembe vételével e a e e p Grafikon (8. Excel tábla) A vonal- és háttérszínek megválasztásánál ügyeljünk a láthatóságra és a megkülönböztethetőségre. Nyomtatáshoz a fehér, prezentációhoz valamilyen más háttérszín illik. Nyomtatásnál gondoljunk a fekete-fehér másolat készítésének lehetőségére, tehát a színek fedettsége, a vonalak mintázata legyen eltérő. Prezentációnál kerüljük az ingerlő színkombinációkat, pl. sárga-türkiz 14

15 5. Excel tábla 6. Excel tábla 15

16 7. Excel tábla 8. Excel tábla Átnézendők az Excel eszközei közül: Szögfüggvények Feltételes utasítás Sorok, oszlopok, cellák elrejtése Adatsorok megadása Diagramtengely formázása Színek használata Ajánlott feladatok: Kohéziós talaj esete, repedezettség figyelembe vétele Víznyomás hozzáadása Vízzáró talaj, vízzel telített felszíni repedésekkel Felszíni teher Ferde térszín Eredő helyének és nagyságának meghatározása, integrálás trapézszabállyal 16

17 3.3 Lineáris regresszió A lineáris regresszió lényege, hogy a célváltozó és független változó vagy változók adatait egy koordináta rendszerben ábrázoljuk, ahol a vízszintes tengely a független, a függőleges tengely a függő változó. A módszer alapja, hogy a ponthalmazra leginkább illeszkedő egyenest (regressziós egyenes, trendvonal) keressük. Képlet segítségével kiszámoljuk a lineáris regressziós egyenes egyenletét (meredekség, metszéspont az y tengelyen), majd ennek alapján ábrázoljuk (6. ábra). Egy olyan vonalat húzunk, amely a mérési pontoktól a lehető legkisebb távolságban van, ezeket legjobban megközelíti. Matematikailag ez azt jelenti, hogy minden más vonal esetében a mérési pontok függőleges távolsága négyzeteinek összege nagyobb volna. 6. ábra A számítás a legkisebb négyzetek elvén alapul. x értékek a független, y a függő változók és a meghatározandó a értékek biztosítják a fent definiált legjobb illeszkedést. A független változók száma n, a függőké m. δ a függőleges eltérés a mérési pontok és az egyenes között. Célunk ezen eltérések négyzetösszegének ( 2 ) minimalizálása az a értékek optimális megválasztásával: δ δ m 0 δ 1 = a = a 0 0 = a y = a K, 0 + a x a x 0 + a1 x1 + a 2 x a n x n 01 + a x 11 m1 + a + a + a x x M x m2 + K+ a + K+ a n n + K+ a δ = X a y n x x x 0n 1n mn y y 1 0 y m, m>n 17

18 2 = δ δ δ m 2 = δ T δ = Min! (a T X T - y T ) (X a - y) = Min! a T X T X a - 2 a T X T y + y T y = Min! a T T T T T ( a X X a - 2 a X y + y y) = 0 Az Excelben kész függvények vannak a fenti feladat elvégzésére, a trend, a meredekség és a metsz (a magyar változatban). A geotechnikai gyakorlatban ezt az illesztési feladatot leginkább mérési eredmények kiértékelésére alkalmazzuk, hiszen a méréseink mindig hibával terheltek, amelyet a minták inhomogenitása, a műszerek pontatlansága, a mintavétel és a vizsgálat hibái, valamint a modelljeink tökéletlensége okoz. Triaxiális kísérlet (7. ábra) kiértékelése Az értékelés a Mohr-Coulomb törési kritérium alapján történik: a minta törésekor az elcsúszás síkján a nyírófeszültség τ = σ tgφ+c. A durva hibák esélyének csökkentésére legalább három kísérletet kell elvégezni, különböző oldalnyomások alkalmazásával és ezek eredményeiből meghatározni a nyírószilárdsági paramétereket (8. ábra, 9. ábra). A kiértékeléshez legegyszerűbben a főfeszültségek átlaga (p) és a maximális nyírófeszültség (q) használható fel az alábbi összefüggések alkalmazásával: K p σ 2 X X a - 2 X y = 0 1 T = K p σ c K 1+ sin φ 2 φ = = tg sin φ 2 σ1 + σ3 p = 2 σ1 σ3 q = 2 q = p sin φ + c cos φ T T T ( X X) a = X y T -1 T = ( X X) X y a p 18

19 7. ábra 8. ábra 9. ábra Feladat: Határozzuk meg a talajminta nyírószilárdsági jellemzőit, ha a σ 3 = 50; 100; 200 kpa oldalnyomás mellett mért hatékony első főfeszültségek értékei sorban σ 1 = 174; 258; 386 kpa! A számolótábla: 9. Excel tábla. A számítás részletei: 10. Excel tábla. A Mohr körök és a Coulomb egyenes megrajzolásához szükséges számítások: 11. Excel tábla. Ezeket célszerű elrejteni a felhasználó elől. A diagramot kézzel kell olyan alakra hozni, hogy a körök valóban körhöz hasonlóak legyenek. Átnézendők az Excel eszközei közül: Trend Meredekség Metsz Relatív és abszolút hivatkozások Ajánlott feladatok: Problémát okozhat a mért értékek olyan kombinációja, amely irreális nyírószilárdsági értékekre vezet. Ilyen lehet: 19

20 o Negatív kohézió Ekkor a kiegyenlítő egyenesnek az origóból kell kiindulnia o Negatív súrlódási szög Ekkor a nyírószilárdságot a maximális nyírófeszültségek (q) átlaga adja Közelítés magasabb fokszámú polinommal, például parabolával. Ez az értékelés nagyobb szilárdságú és / vagy terhelésű talajoknál (kőzeteknél) szükséges. 9. Excel tábla 10. Excel tábla 20

21 f s t =0 =$C$4+COS($J4)*$D$4 =$D$4*SIN($J4) =J4+PI()/20 =$C$4+COS($J5)*$D$4 =$D$4*SIN($J5) =J5+PI()/20 =$C$4+COS($J6)*$D$4 =$D$4*SIN($J6) =J6+PI()/20 =$C$4+COS($J7)*$D$4 =$D$4*SIN($J7) =J7+PI()/20 =$C$4+COS($J8)*$D$4 =$D$4*SIN($J8) =J8+PI()/20 =$C$4+COS($J9)*$D$4 =$D$4*SIN($J9) =J9+PI()/20 =$C$4+COS($J10)*$D$4 =$D$4*SIN($J10) =J10+PI()/20 s =$C$4+COS($J11)*$D$4 t =$D$4*SIN($J11) 0 =Q4*TAN(RADIÁN($B$10))+$B$11 =B6 =Q5*TAN(RADIÁN($B$10))+$B$ Excel tábla Alkalmazás nem lineáris összefüggések esetén, transzformáció A transzformáció lényege, hogy úgy alakítjuk át az általában szemiempirikus összefüggéseinket, hogy a keresett a paramétereinkre nézve lineáris legyen az egyenlet. Próbaterhelések kiértékelésénél gyakran alkalmazunk törtfüggvényt, hiperbolát. Ilyenkor a keresett teherbírási jellemző a törőteher (F t ), az alakváltozási pedig a kezdeti érintő meredeksége (M) lehet (10. ábra). A linearizálás és az összefüggés a paraméterek között: s F = a s + b 1 lim F = = Ft s a df ( a s + b) s a F = = 2 ds ( a s + b) 1 F ( 0) = = M b Ft M s F = M s + F 10. ábra t s a s + b = F Szintén próbaterheléseknél gyakran alkalmazott az exponenciális függvény. Ekkor a trendvonal megkeresését a terhelési lépcsők hatására bekövetkező süllyedésnövekmény, a próbaterhelési görbe változó meredeksége (F F/ s) alapján végezhetjük és határozhatjuk meg extrapolációval a törőteher F t értékét (11. ábra): F = F t F = c s ( 1 e c ) F = F c e t ( F F) Itt, és az előző esetben is óvatosan kell kezelni az extrapolált törőterhet, az csak akkor megbízható, ha a próbaterhelés során ~10 %-ra megközelítettük. Ellenkező esetben inkább a megengedhető süllyedés alapján, a használati határállapotra érdemes következtetést levonni. t c s 21

22 11. ábra A talajok alakváltozási jellemzőinél a kompressziós görbe közelítésére gyakran használjuk a hatványfüggvényt: 12. ábra. A linearizálásra ekkor a logaritmusfüggvényt alkalmazhatjuk, a terhelés p 0 =100 kpa osztóval való dimenziótlanítása után. ε = a σ ln ε = b ln σ + ln a m σ Es = Es0 p 0 b 12. ábra Az így kapott paramétereket figyelmesen alkalmazzuk, mert a geotechnikai gyakorlatban elterjedt a tízes logaritmus és a deformáció helyett a hézagtényező alkalmazása is, ezért a szoftverekben való felhasználásnál esetleg átváltásokra lehet szükség: ε e 1e ;lnx2,3 lgx 3.4 Befogott szádfal méretezése A befogott, megtámasztás nélküli szádfalak méretezése a 13. ábra szerinti erőjátékra történhet. A fal a PB erő támadáspontja körül fordul el a teherbírási határállapotban, az erre a pontra felírt nyomatéki egyenletből határozható meg a t hosszúság, amelyet a PB erő kialakulásához 20 %-kal meg kell majd növelni. Az MSZ EN 1997 szerinti GEO határállapotra történő méretezéshez a megfelelő parciális tényezőket is használnunk kell a terhelési és a teherbírási oldalon. A H méret már tartalmazza a geometriai bizonytalanságot is. 22

23 H e a L P a t P p e p PB Az adatok: 0,2 t 13. ábra φ=34 γ=19 kn/m 3 H=4 m γ G =1,35 γ R =1,4 A megoldás Excel táblája: 12. Excel tábla. A földnyomási függvények definiálásához felhasználtuk a Visual Basic for Application (VBA) programnyelv lehetőségeit. Ez a verziótól függően más-más úton, pl. a 2010-esben a Fejlesztőeszközök fülön érhető el. Itt definiáltuk az aktív és a passzív földnyomási szorzó függvényét (13. Excel tábla), amelyek bemenő adata a belső súrlódási szög, fokban megadva. A VBA használatához a biztonsági beállításokat alacsonyabb szintre kell venni a makrók engedélyeztetéséhez. A t kiszámításához egy kezdeti érték megadása szükséges. Ezt követően lehet a földnyomások táblázatát kitölteni (14. Excel tábla). A nyomatékok meghatározása az integrálszámítás középértéktétele alapján numerikus integrálformulával történhet (a Simpson szabály alkalmazásával, parabolaterületből, 14. ábra, 15. Excel tábla): x x f 2 0 f ( x) dx = f ( x) ( x x ) ( x) = s f ( x ) s i = 1 i X=(x 0, x 1, x 2 ) S=(1/6, 4/6, 1/6) i

24 12. Excel tábla 13. Excel tábla 24

25 14. Excel tábla 14. ábra A GEO (illetve a fal szilárdsági méretezéséhez az STR) állapot szerinti nyomatékok a fal tetejétől a z mélységig számítva (16. Excel tábla): M d = M a γ G + M p /γ R Esetleges teher esetén annak az értékét γ Q /γ G = 1,5/1,35 1,1 szorzóval növelve kell beszámítani az aktív földnyomásba. A t érték meghatározásához az M d (B)=0 összefüggést kell alkalmaznunk. Ehhez legegyszerűbben a Célértékkeresés (Adatok/Lehetőségelemzés) használatával jutunk: 17. Excel tábla. A grafikus eredmény: 18. Excel tábla. Bonyolultabb esetben Solver eszköz alkalmazható. Ekkor több módosuló cella is lehetséges és a célcellák tartalmára minimum, maximum is előírható 25

26 15. Excel tábla 17. Excel tábla Excel tábla Excel eszközök Képek és képletek beszúrása Excel munkalapokra Makrók alkalmazása Név, billentyűkombináció makrók alkalmazásánál Visual Basic for Application Numerikus integrálás Célértékkeresés

27 Grafikonok külön lapra történő elhelyezése Munkalap beszúrása Munkalapok elnevezése Ajánlott feladatok Egy sorban megtámasztott, szabad földmegtámasztású fal méretezése Sávalap szélességi méretezése Sávalap süllyedésszámítása 18. Excel tábla 3.5 Differenciálegyenlet numerikus megoldása: kéttámaszú tartó Egy egyszerű példán keresztül mutatjuk be a differenciálegyenletek megoldásának lehetőségét az Excel segítségével: határozzuk meg egy kéttámaszú tartó nyomatékait! A terhelés és a nyomatékok közötti összefüggést leíró differenciálegyenlet: A peremfeltételek: M(0)=M(L)=0. Osszuk fel az L hosszúságú tartót n darab, egyenlő szakaszra, ekkor egy-egy szakasz hossza Az osztópontokat 0-tól n-ig sorszámozzuk, az i-edik pontban a nyomaték M i, a terhelés p i, az ordináta pedig x i =i h (15. ábra). 15. ábra 27

28 A fenti differenciálegyenlet véges differenciákkal felírva: 2 Innen az i-edik nyomaték új közelítése 1 2 Egy 100 iterációs lépéssel elvégzett számítás eredményei (kihagyva a közbenső sorokat): 19. Excel tábla. A képletek: 20. Excel tábla. Minden tízedik közelítés eredményeként kapott nyomatéki ábra: 16. ábra. A maximális nyomaték változása lépésről lépésre: 17. ábra. A maximális nyomaték pontos értéktől (1250 knm) való eltérése fél logaritmikus léptékben: 18. ábra. Az ábrán látható, hogy ~45 iterációs lépés okoz egy nagyságrendnyi javulást a pontosságban. 19. Excel tábla 20. Excel tábla Az egymást követő iterációs lépések felfoghatók úgy is, mint az az idő függvényében lépésről lépésre növekvő terhelés hatására bekövetkező változások. Ezen az elven működnek a geotechnikai véges differenciás programok (lásd 4.1.4), pl. a FLAC. Ajánlott feladat: a rugalmasan ágyazott gerenda süllyedéseinek és igénybevételeinek meghatározása negyedrendű differenciálegyenlet numerikus modellezésével, egyenlőtlen terhelés esetén. Ekkor a peremfeltétel (4) általában a nyomatékok és a nyíróerők (amelyek a süllyedési függvény második és harmadik deriváltjával arányosak) nullértékűsége a tartóvégeken. Ezeket az első, a második, az utolsó előtti és az utolsó pontra felírt egyenletekbe kell beépíteni, például:

29 " " 3 3 " 0 egyenletek felhasználásával a nulladik pontra felírt # # # egyenletből a -2-ik és a -1-ik pont mozgásai kiküszöbölhetők. 16. ábra 17. ábra 18. ábra 29

30 3.6 Konszolidáció modellezése Rossz vízvezető-képességű, telített talajban terhelés hatására az alakváltozások nem azonnal, hanem időben elhúzódva mennek végbe. Ennek elméleti alapjait Terzaghi tisztázta először 1923-ban, amellyel egyben megnyitotta a talajmechanikai kérdések szigorú matematikai elemzésének korszakát. Az egydimenziós konszolidáció (19. ábra) alapfeltevései: a talaj hézagai vízzel teljesen telítettek; mind a víz, mind a talaj szilárd szemcséi összenyomhatatlanok; az összenyomódó talajrétegben a vízmozgás a Darcy-törvénnyel írható le és a vízáteresztő-képesség k együtthatója állandó; a süllyedés időbeli elhúzódása kizárólag a víznek a pórusokból való lassú kinyomódásának a következménye; az összenyomódó talajréteg oldalirányban határolt, a vízmozgás kizárólag függőlegesen történik. 19. ábra A konszolidálódó réteg egy pontjában a deformációk a 20. ábra szerint alakulnak: 1. A rugó tart egyensúlyt a σ függőleges feszültséggel, az u pórusvíznyomást a talajvízszint alatti mélység határozza meg. A feszültségek és a deformációk változását ehhez az állapothoz képest értelmezzük. 2. A terhelés aktiválásának időpontjában (t=0) a σ feszültségnövekmény teljes mértékben a vízfázisra hárul, u 0 = σ. 3. Az idő múlásával a víz fokozatosan kinyomódik a szemcsék közötti hézagokból, a semleges feszültség csökken, a hatékony feszültség növekszik, a hézagtérfogat csökken, a süllyedések növekszenek. 4. Hosszú idő múlva (t= ) a pórusvíznyomás visszaáll a teher aktiválása előtti szintre, a hatékony feszültség növekménye eléri a σ értéket, a konszolidáció befejeződik. 30

31 ábra A fentiek alapján a konszolidálódó rétegben a pórusvíznyomás változásának folyamatát a következő parciális differenciálegyenlet (amely megegyezik a hővezetés differenciálegyenletével) írja le: Itt a c konszolidációs tényező [m 2 /s]: & ' '( ' ') & * +,-. / 0 k a szivárgási tényező, E oed az összenyomódási modulus, γ w a víz térfogatsúlya. A fenti differenciálegyenletet differenciaegyenletre átírva az &,12,1,1 (,1,1 ) összefüggést kapjuk, ahol z\t t j t j+1 =t j + t z i-1 =z i - z u i-1,j z i u i,j u i,j+1 z i+1 =z i + z u i+1,j A fokozatos közelítéssel történő megoldás kulcsát Euler adta meg:,1 2 ahol a konvergencia feltétele: A kezdeti feltétel: & Δ) Δ( 30,5 u i,0 = σ A peremfeltételek (2 H vastagságú, mindkét oldalán drénezett réteg esetén, ahol a z tengely a réteg középvonalából indul): u(-h,t)=u(h,t)=0 Ez egyenértékű a H vastagságú, alul vízzáró réteggel határolt esettel (19. ábra), ahol (0 0 ( Számítsuk ki egy 2 m vastag, kövér agyagréteg összenyomódásának időbeli lefolyását 100 kpa terhelés hatására! A feladat megoldása nap időintervallumban: 21. Excel tábla, 22. Excel tábla. A pórusvíznyomások eloszlása: 21. ábra. A süllyedés (a réteg összenyomódása) változása az idő függvényében: 22. ábra. 31

32 Ajánlott feladat: Végezzük el a számítást arra az esetre, ha a terhelés egy 1 m széles sávalapból származik, amely az agyagréteg tetején (egy vékony homokréteggel elválasztva) nyugszik! A teherintenzitás 200 kpa, a feszültség eloszlása a Jáky-féle közelítés szerinti, azaz a réteg allján éppen nullára csökken (az átlagfeszültség megegyezik a fenti példával). 21. Excel tábla 22. Excel tábla 32

33 21. ábra 22. ábra 33

34 4 Véges elemek módszere 4.1 Korszerű számítógépes módszerek Véges elemek módszere A végeselem módszer (Finite Element Method, FEM, 23. ábra) továbbra is a legelterjedtebb és valószínűleg a legsokoldalúbb módszer geotechnikai problémák elemzésére. Fő előnyeit és hátrányait a geotechnikai elemzéshez az alábbiak szerint lehet összegezni. Előnyök ábra A nemlineáris anyagi magatartás elemzése, az egész tartomány vizsgálható. Lehetséges az építési fázisok modellezése, beleértve a megerősítéseket, valamint a megtámasztó szerkezeteket. Egy megfelelő homogenizációs technika alkalmazásával a talaj vagy a kőzettömeg jellemzői, például a repedezettség, hatékonyan modellezhetők. Bemutatható az időfüggő anyagi magatartás. Az egyenletrendszer szimmetrikus (kivéve néhány nem asszociatív rugalmasképlékeny problémát). A hagyományos elmozdulás összefüggések használhatók a legtöbb terhelési folyamat elemzésénél. Speciális megoldások is rendelkezésre állnak egyéb geotechnikai problémák, például a talajvíz-áramlás modellezéséhez. A módszer széles körben alkalmazott a gyakorlati problémák megoldására, és így rengeteg tapasztalat áll már rendelkezésre. Hátrányok A következő hátrányok főleg a térbeli elemzéseknél jelentkeznek, kevésbé a 2-D modelleknél. A teljes vizsgált tartomány felosztott, ezért nagymennyiségű elő- és utó-feldolgozási munkára van szükség.

35 Nagy egyenletrendszerek, a futási idő és a tárigény nagy (függően a program általános szerkezetétől és a megvalósítási algoritmusoktól). Kifinomult algoritmusokra van szükség a felkeményedő és a lágyuló anyagmodellek használatához. A módszer általában nem alkalmas erősen repedezett kőzet vagy talaj vizsgálatára, ha ezek a hibák véletlenszerűen oszlanak el, és meghatározzák a mechanikai viselkedését Peremelem módszer Jelentős előrelépés történt a peremelem módszer (Boundary Element Method, BEM, 24. ábra) kidolgozásában, és következésképpen ez a módszer alternatívát jelent a végeselem módszerrel szemben bizonyos körülmények között, különösen kőzetek esetén. Fő előnyeit és hátrányait az alábbiak szerint lehet összegezni. Előnyök 24. ábra Az elő- és utó-feldolgozási erőfeszítéseket egy nagyságrenddel csökkentik (a felszíni felosztás eredményeként). A felszíni felosztás kisebb egyenletrendszerekre és kisebb tárolási igényre vezet, így a számítási idő általában csökken. A különböző anyagszerkezeti lehetőségeket, mint például a hibák és a kapcsolatok tetszőleges helyen történő elhelyezése, nagyon hatékonyan modellezi, és a kapcsolatok nemlineáris viselkedése könnyen szerepeltethető az elemzésben. Hátrányok A kapcsolatok és a diszkontinuitások kivételével csak rugalmas anyagi viselkedést modellezhetünk. Általában nem szimmetrikus és gyakran teljesen kitöltött egyenletrendszereket kapunk. Az építési sorrend és a megtámasztó szerkezetek részletes modellezése gyakorlatilag lehetetlen. Szokásos alkalmazás mellett nem alkalmas a véletlenszerű eloszlású, töredezett kőzet vizsgálatára. A módszer csak a problémák korlátozott osztályának vizsgálatára alkalmas, (például alagútépítés) és kevesebb tapasztalat áll rendelkezésre, mint a végeselem módszernél. 35

36 4.1.3 Kapcsolt végeselem - peremelem módszer Annak érdekében, hogy minimálisra csökkentsék mindkét módszer hátrányait, megalkották a két módszer kombinációját. Ez sikerült és nagyon hatékony numerikus módszert kaptunk végeselemekkel a különleges jelentőségű régiónál, pl. az alagút közelében, és peremelemekkel távolabb. Két hátránya azonban maradt, nevezetesen a nehézkes modellezés, pl. egy alagúttengelyhez képest tetszőleges törési felület szerkesztése, illetve a modell által generált nem szimmetrikus egyenletrendszer. Ez utóbbi probléma esetleg elhárítható a potenciális energia szélsőértéktételének alkalmazásával a peremelem-régió merevségmátrixának meghatározásához. Ha ez történik, akkor az elemek merevségi mátrixainak összeállítása után az egyenletrendszer szimmetrikus marad Véges differenciák módszere A véges differenciák módszere (Finite Different Method, 25. ábra) nem rendelkezik nagy múlttal a geotechnikai problémák megoldásában, kivéve az áramlási kérdéseket, ideértve a konszolidáció és a szennyeződés terjedés témakörét. Azonban a FLAC véges differenciás program, amely explicit időlépéses sémát alkalmaz dinamikus mozgásegyenletek alapján statikus problémák megoldására, vonzó alternatívája a végeselem módszernek. Az egyensúly megbomlásának arányát az anyagi tulajdonságok befolyásolják. Ez a rendszer feltételesen stabil, és kis időlépéseket kell alkalmazni, nehogy túlságosan nagy hatással legyenek a változások a szomszédos pontokra egy időlépésen belül. Mesterséges csillapítás is kell a FLAC-nál a statikus problémák megoldásához. A módszer hasonló a véges-elem módszernél alkalmazotthoz (állandó deformációjú háromszögek), és ezért a véges differenciák módszere is megfelel alapvetően a fentiekben felsorolt feltételeknek. Mindazonáltal, köszönhetően az explicit algoritmus alkalmazásának, néhány további előnyt és hátrányt is tartalmaz. Előnyök 25. ábra Az explicit megoldás módszer elkerüli a nagyméretű egyenletrendszer megoldását. A nagy alakváltozások, a felkeményedés, és a lágyulás, valamint a talaj-szerkezet kölcsönhatás kezelése általában könnyebb, mint a végeselemeknél. Az egyszerű problémákhoz nagyon könnyű a modell előállítása. Hátrányok A módszer kevésbé hatékony lineáris vagy kissé nemlineáris problémák esetén. 36

37 A közelmúltban az összetett háromdimenziós modellek felépítésének előkészítése nem volt különösen hatékony a végeselem módszerhez képest, mivel a szükséges előkészítő eszközök nem voltak olyan könnyen kezelhetők. A módszer Newton mozgástörvényein alapul, ezért nem létezik olyan egzakt megoldás statikus problémára, mint a végeselemes analízis esetében. Annak eldöntése, hogy megfelelő, vagy nem megfelelő (a hibáshoz közeli) időlépést választottunk, nem minden esetben könnyű, több ellenőrzést is igényel (pl. a kiegyensúlyozatlan erők, a sebességmező) Diszkrét elem módszer Az eddig leírt módszerek kontinuum mechanikai elveken alapulnak, és ezért problémás az alkalmazásuk ott, ahol a mechanikai magatartást jórészt hasadékok és repedések határozzák meg. Ebben az esetben a diszkrét elem módszerek (Discrete Element Method, 26. ábra) sokkal jobban illenek a numerikus megoldáshoz. Ezek a módszerek a következőképpen jellemezhetők: Kiszámítják a diszkrét blokkok (deformálódó vagy merev) véges elmozdulásait és elfordulásait. A tömbök, amelyek eredetileg csatlakoztak egymáshoz, az elemzés során elválhatnak. Automatikusan észlelik az újonnan kialakult kapcsolatokat a blokkok között. 26. ábra Több különböző módon működtethetők ezek a kritériumok, valószínűleg a leggyakrabban használt módszerek a diszkrét elemekhez az UDEC és a 3-DEC, amelyek egy explicit véges differencia rendszert, a FLAC programhoz hasonlót alkalmaznak. A diszkontinuum elemzések és a kontinuum technikák egymáshoz képest eltérő jellegének köszönhetően a közvetlen összehasonlítás nem látszik megfelelőnek. A diszkrét elem módszer fő erőssége az tény, hogy a nagyszámú szabálytalan csatlakozás is fizikailag korrekt módon figyelembe vehető. A módszer hátránya az, hogy figyelembe véve az összes építési szakaszt, nagyon időigényes, legalább is térbeli elemzéseknél. Továbbá sok tapasztalat szükséges a legmegfelelőbb paraméterek beviteléhez, mint például a repedések merevségeinek 37

38 meghatározásához. Ezek az értékek nem mindig határozhatók meg kísérletekkel, de ezen paraméterek nem megfelelő értékkel történő bevitele számítógépes problémákhoz vezethet. 4.2 A végeselem módszer geotechnikai sajátosságai A geotechnikai alkalmazások alapesete megegyezett a általános, háromdimenziós kontinuummechanikai tanulmányokban megismerttel. Az alapvető változók térbeli esetben: Elmozdulások u T =[u x ; u y ; u z ] Tömegerők p T =[p x ; p y ; p z ] Fajlagos deformációk ε T =[ε x ; ε y ; ε z ; γ xy ; γ yz ; γ xz ] Feszültségek σ T =[σ x ; σ y ; σ z ; τ xy ; τ yz ; τ xz ] (27. ábra) A rugalmasságtani összefüggések sem különböznek: Egyensúlyi egyenletek L T σ+ p = 0 Geometriai egyenletek 38 L T x = Fizikai egyenletek (Hooke törvény) τ xy = ε ε ε y z x 1 G = = = γ 1 E 1 E 1 E xy y z ε = L u y x z y ( σ ν σ ν σ ) x ( ν σ + σ ν σ ) x ( ν σ ν σ + σ ), τ xz = x 1 G γ y y xz y, τ yz = z z z z x E G = ν Alkalmazunk még más alakváltozási jellemzőket is, a térfogatváltozási és a kompressziós tényezőt: A fizikai egyenlet: E K =, 3 6 ν E oed = σ = D ε 1 G γ yz E ( 1 ν) ( 1+ ν) ( 1 2 ν)

39 A fenti egyenletekben az egyirányú nyomókísérletből meghatározott valódi húrmodulust (28. ábra) alkalmazzuk. 27. ábra 28. ábra Az első jelentős eltérés oka az, hogy a geotechnikában elsősorban nem külső terhek, hanem az építés-eltávolítás (29. ábra) hatását vizsgáljuk, ezért az összefüggéseket a növekményekre írjuk fel: ε ε ε y z 1 = E 1 = E x = 1 E 29. ábra ( σ ν σ ν σ ) x ( ν σ + σ ν σ ) x ( ν σ ν σ + σ ) σ = σvégső σ kezdeti ε = εvégső ε kezdet i σ kezdeti, ε kezdeti értéke a talajsúlyból határozandó meg. E, G, K és E oed nem igazi húrmodulusok, egy adott, kezdeti feszültségszinthez tartoznak, ezért a meghatározásuk triaxiális nyíró (nyomó) kísérlettel történik (30. ábra). E a rugalmassági tényező középértéke, nem anyagjellemző. x y y y z z z 30. ábra 39

40 A hézagokat részben vagy teljesen kitöltő talajnedvesség-talajvíz hatásának figyelembe vételére két lehetőségünk van: Drénezett viselkedés, a pórusvíznyomások (u) gyorsan kiegyenlítődnek hatékony feszültségekkel számolunk. σ x =σ x u, σ y =σ y u, σ z =σ z u E, G, K és E oed alakváltozási jellemzőket alkalmazunk (a pórusvíznyomás nem befolyásolja a nyírás hatását). A hatékony tényezőokat vagy a konszolidáció kivárása mellett, vagy a pórusvíznyomások mérésével, a hatékony feszültségekből számítjuk. Drénezetlen viselkedés, a pórusvíz veszi fel a hidrosztatikus feszültségnövekmény jelentős részét. Ekkor vagy a teljes feszültségekkel számolunk (rövid idejű hatás), az E, G, K és E oed drénezetlen tényezőkkel, vagy (elsősorban akkor, ha az időbeli változásokra is kíváncsiak vagyunk, pl. konszolidáció-számítás), a hatékony feszültségek + víznyomás egyidejű, un. kapcsolt modelljével. A víz nem képes a nyírófeszültségek felvételére, de a térfogatváltozása igen kicsi (G víz = 0, K víz >> K talaj ). 4.3 Végeselemes anyagmodellek (Plaxis) Lineáris rugalmas talajmodell (31. ábra) A rugalmas modell használati köre korlátozott, csak kis terhelési szinteknél, nagy teherbírású talajoknál lehetséges. Betonelemek modellezésére is használható. s Paraméterei: 31. ábra E: rugalmassági (összenyomódási) tényező [kn/m 2 ] υ: Poisson tényező [-] Alternatív merevségi paraméterek: G: nyírási tényező [kn/m 2 ] E oed : ödométeres modulus [kn/m 2 ] A rugalmassági tényezőt (E) triaxiális kísérletből vagy egyirányú nyomásból határozhatjuk meg (kötött talajoknál). Általában az 50 %-os terhelési szinthez tartozó húrmodulust használjuk. Az összenyomódási modulus (E oed ) kompressziós kísérletből nyerhető, a mélységnek megfelelő terhelésnél. Homogén talajrétegben a merevség a mélységgel (az előterheléssel) nő, ha van rá adatunk, ezt számításba vehetjük. e 40

41 A Poisson tényező tipikus értékei: Kavics: 0,25 Homok: 0,3 Iszap: 0,4 Agyag: 0,45 Drénezetlen agyag: 0,35 Talajok viselkedését általában nem képes valósághűen modellezni, de alkalmas: Merev szerkezetek vagy alapkőzet modellezésére Alacsony terhelési szint modellezésére A Mohr-Coulomb talajmodell (32. ábra) A Mohr-Coulomb modell elsőrendű közelítést jelent a talajmodelleknél. Mivel a modell konstans merevséggel rendelkezik, a számítás nagyon gyors és állékonyságvizsgálatnál pontos. Alkalmazásához a modell öt paraméterének (lásd lentebb) és a talaj kezdeti feszültségállapotának ismerete szükséges. Ez a modell tökéletesen rugalmasképlékeny, vagyis a nyírószilárdsága kimerüléséig rugalmasan, attól kezdve képlékenyen viselkedik. A paraméterek triaxiális kísérletből határozhatók meg. A rugalmassági tényező (E) meghatározására a talajoknál általában a teherbírás 50%-ához tartozó E 50 húrmodulus használata javasolható (33. ábra), az E 0 kezdeti érintőmodulus csak akkor, ha a teherbírást igen kis mértékben használjuk ki (pl. dinamikus vizsgálatok). Az öt paraméter: E: Rugalmassági tényező [kn/m 2 ] ν: Poisson tényező [-] ϕ: Belső súrlódási szög [ ] c: Kohézió [kn/m 2 ] ψ: Dilatációs szög [ ] Tehermentesítés Újraterhelés 32. ábra 33. ábra 41

42 A rugalmassági tényező, mint merevségi paraméter alkalmazása helyett egy alternatív merevségi paramétert (G, E oed ) is betáplálhatunk. A Poisson tényező (ν) a Jáky-féle K 0 képlet alapján: 1 sin( φ) ν = 2 sin( φ) A dilatáció térfogat-növekedés nyírás hatására. A dilatációs szög (ψ, 34. ábra) tömör szemcsés talajoknál közelítőleg ψ = φ ábra A folyási függvények a főfeszültségekkel megadva (35. ábra, 36. ábra): 1 1 f1 = σ 2 σ 3 + ( σ 2 + σ 3 ) sin φ c cos φ f2 = σ 3 σ 1 + ( σ 3 + σ 1) sin φ c cos φ f3 = σ 1 σ 2 + ( σ 1 + σ 2 ) sin φ c cos φ ábra Húzószilárdság: 36. ábra σ1 + σ3 p = 2 σ1 σ3 q = 2 q = p sin φ + c cos φ 42

43 f f f = σ σ 1 = σ 2 = σ 3 σ σ t t t A Mohr-Coulomb folyási felület a főfeszültségi térben ábrázolva: 37. ábra. Geotechnikai numerikus módszerek 37. ábra A felkeményedő modell A felkeményedő talajmodellnél (Hardening soil model) az elsődleges terhelések hatására egyszerre keletkeznek rugalmas (tehermentesítéskor visszanyerhető) és képlékeny (nem visszanyerhető) alakváltozások. Figyelembe veszi a feszültségek talajmerevségre gyakorolt hatását. E modell alaptulajdonsága a modulusok feszültségfüggése, a σ 3 növekedésének hatására történő felkeményedés, amelyről a nevét is kapta. A másik alaptulajdonság a triaxiális kísérlet alapján a hiperbolikus összefüggés a függőleges fajlagos deformáció (ε 1 ) és a deviátorfeszültség (σ 1 -σ 3 ) között: 38. ábra. 38. ábra A modell alkalmazásakor triaxiális kísérlettel határoztuk meg a rugalmassági tényező értékét, míg az összenyomódási tényezőt a kompressziós kísérlet eredményei szolgáltatták. Az alap paraméterek a következők: Merevségi paraméterek: E 50 ref : A húrmodulus alapértéke drénezett triaxiális kísérletből [kn/m 2 ] E oed ref : Az összenyomódási modulus alapértéke kompressziós kísérletből [kn/m 2 ] E ur ref : Tehementesítési-újraterhelési tényező [kn/m 2 ] υ ur : Rugalmas tehementesítés-újraterheléshez tartozó Poisson tényező [-] m: A feszültség-merevség függvény kitevője [-] A Mohr-Coulomb modellből származó paraméterek: ϕ: Belső súrlódási szög [ ] 43

44 c: Kohézió [kn/m 2 ] ψ: Dilatációs szög [ ] Az E 50 ref tényezőt csak jó felszereltségű triaxiális berendezéssel lehet meghatározni, ezért e helyett gyakran a későbbiekben is használt E oed ref összenyomódási modulussal azonos értékre veszik. Az ödométeres feszültség és alakváltozási körülmények alapján a modell az kapcsolatot feltételezi, ahol E oed ref a p ref referenciafeszültséghez tartozó tényező, m pedig a tényező növekedését, a talaj felkeményedését kifejező, 0 és 1 közé eső kitevő. Szokás még a tört nevezőjéhez és számlálójához egy c ctg(φ) értéket adni, mellyel úgy kezeljük a kohéziós talajt, mintha minden normálfeszültséget ezzel az értékkel megnövelnénk. p ref általában 100 kpa-ra választandó (39. ábra), míg az m kitevő homokok esetében 0,5 körül mozog, agyag esetében kb. 1,0, iszap esetében kb. 0,75 szokott lenni ábra Puha anyagmodell (40. ábra) Legfontosabb tulajdonságai: az átlagos nyomófeszültségtől függő merevség, az elsődleges terhelés és a tehermentesítés-újraterhelés megkülönböztetése, az előterhelés számításba vétele és a Mohr Coulomb törési feltétel alkalmazása. Ezen modellnél, melynek első változata az ún. Cam-Clay-modell volt, a bemenő adatokat kompressziós kísérletből nyerjük. A merevségi jellemző itt nem az összenyomódási modulus, hanem a kompressziós (tehermentesítéskorújraterheléskor a lazulási) tényező, amely a térfogatváltozás és a terhelés logaritmusa közötti arányosságot adja meg. A puha talajmodellben a térfogati alakváltozás (ε v ) és az átlagos hatékony normálfeszültség (p ) között logaritmikus összefüggés áll fenn. 0 * p ε ε = λ v v ln pref A módosított kompressziós index (λ * ) az anyag első terheléséhez tartózó összenyomhatóságot jelöli. Az izotróp tehermentesítéshez és újraterheléshez tartozó egyenes meredekségét a lazulási indexszel szokás jelölni. A módosított lazulási index (κ * ) a következő paraméterek kapcsolatát fejezi ki: ε e v ε e0 v * p = κ ln pref

45 40. ábra Anyagjellemzők λ * : kompressziós index (módosított) [-] κ * : lazulási index (módosított) [-] A Mohr-Coulumb modellből származó paraméterek: ϕ: belső súrlódási szög [ ] c: kohézió [kn/m 2 ] ψ: dilatációs szög [ ] Különleges paraméterek: K NC 0 : a vízszintes földnyomás szorzója normálisan konszolidált talaj esetén; M: a nyugalmi nyomás szorzójától (K NC NC 0 ) függő mennyiség ( M K0 ) A nemzetközi normalizált paraméterekkel való kapcsolatot a következő egyenletek fejezik ki: ahol C c és C r az egydimenziós kompressziós és rekompressziós tényezők. Tipikus értékek: 4. táblázat. 4. táblázat Normálisan konszolidált, közepesen érzékeny agyag 0,2-0,5 Tőzeg Szerves iszap, agyagos iszap 1,5-4 Agyag (Terzaghi, Peck) 0,009(w L -10 %) Lazulási index (Cr) 0,015-0,35 (5-10%) C c Amíg a talaj feszültségállapota az előélete során elnyert sapkán (41. ábra, 42. ábra) belül van, (nem lineárisan) rugalmasan viselkedik és a merevségét a lazulási index határozza meg. A sapka alól kilépve az alakváltozás a kompressziós indextől függ és a deformációk vegyesen rugalmasak-képlékenyek (a rugalmas részt nyerhetjük vissza tehermentesítéskor). Ekkor a sapka az új feszültségállapotnak megfelelően eltolódik. 45

46 41. ábra 42. ábra 4.4 Elemtípusok síkbeli alakváltozás-állapot vizsgálatához Az alapot a kontinuum elemek képezik. Ezek általában finomított háromszög vagy négyszög elemek. A Plaxis program háromszög elemeket használ, 6 vagy 15 csomóponttal (43. ábra). A feszültségszámítás és a nemlineáris hatások figyelembe vétele belső, un. Gauss-féle integrálási alappontokon történik. Ez a megoldás teljes másodfokú, illetve negyedfokú interpolációs függvény alkalmazását teszi lehetővé egy elemen belüli elmozdulások meghatározására. Gyakorlatilag csak a 15 csomópontú elemeket használjuk. A véges elemes matematikai modell felépítése az egyéb szerkezetekkel megegyezően a potenciális energia szélsőérték tétele alapján történik. 46

47 43. ábra A talajjal együttdolgozó szerkezetek modellezésére csuklós és hajlított rúd, valamint támasz elemeket használunk (44. ábra). Ezek is finomított elemek (45. ábra), sőt, alagutaknál az ívek jobb modellezésére izoparametrikus elemek is alkalmazásra kerülnek (46. ábra). Ennél az elemtípusnál nem csak az elmozdulásokat, hanem a belső pontok koordinátáit is a csomópontokból, a megfelelő interpolációs függvénnyel határozzuk meg. 44. ábra 45. ábra 46. ábra Kifejezetten a geotechnikai szerkezetek jobb modellezését szolgálják a határfelület (interface, 47. ábra, 48. ábra) és a georács (geogrid, 49. ábra) elemek. A határfelületi elemek három célt szolgálhatnak: a jelentősen eltérő merevségű szerkezetek elválasztását (pl. szádfal és talaj); a vékony rétegek modellezését (vetők, agyagréteg átázott felszíne; szinguláris pontok környezete, ahol elméletileg végtelen feszültségek léphetnének fel (sarkok, cölöptalp) Ezeknél az elemeknél a deformációk (ε, γ) helyét az elmozdulás-különbségek veszik át. Anyaguk alapértelmezésben megegyezik azzal a mezővel, amelybe geometriailag tartoznak, de hozzájuk rendelhető egy nyírószilárdság-csökkentő tényező. 47

48 A georács elemek csak húzás felvételére alkalmasak, minden ponton csatlakoznak a talajkörnyezethez. Geoműanyagok és horgonyok, talajszegek modellezésére használjuk. 47. ábra 48. ábra 49. ábra 4.5 Kezdeti feszültségek Mint fentebb már említettük, a geotechnikai szerkezetek vizsgálatánál egy kezdeti talajállapotból indulunk ki és ahhoz teszünk hozzá veszünk el talajtömeget, illetve szerkezetet. Fontos tehát a kezdeti talajfeszültségek meghatározása. Ez két módon történhet: Vízszintes rétegződésű (kezdeti geometria) talajnál a függőleges feszültségek a geosztatikai nyomásból, a vízszintesek pedig a Jáky-féle nyugalmi nyomási szorzóval (K 0 =1-sinφ) számítódnak. Lehetőség van az előterhelés számításba vételére (50. ábra), a túlkonszolidáltsági fok (OCR), illetve az előterhelés szintje (POP) alkalmazásával. A talajvíz hatását a nyugalmi talajvízszintből, vagy az áramlási viszonyok számításba vételével adhatjuk meg ábra

49 4.6 Az iteráció gyorsítása A nem lineáris feladatokat a programok az egyenletrendszer numerikus módszerekkel történő kezelésével oldják meg. Ha a merevségi viszonyok változatlanok, ideálisan rugalmasképlékeny az anyagmodell (Mohr-Coulomb), a túlrelaxálás (51. ábra) hatékony eszköz a számítás gyorsítására. E nélkül megoldjuk a rugalmas feladatot, és azokat a feszültségeket, amelyeket a modell nem képes viselni, kiegészítő teherként újra működtetjük. Túlrelaxálásnál ezt a terhet egy egy és kettő közé eső, a program fejlesztői által optimalizált értékkel szorozzuk, így akár egy nagyságrenddel csökkenthető a program futásideje. 51. ábra Az ívhossz ellenőrzése (52. ábra) segít a teherbírási szint meghatározásában. 52. ábra Az új terhelési-konstrukciós lépcsőnél a merevségi mátrix újraszámítása (53. ábra), az extrapoláció ugyan némi időveszteséget jelent, de ezt követően lényegesen gyorsítja az iterációt. 53. ábra 4.7 Példa síkalap teherbírásának meghatározása (54. ábra) A Geotechnika és az Alagútépítés alapfokú tárgyakban a Geotechnika szakirányon végzettek már dolgoztak a Plaxis programmal. Ez a példa kiegészíti az ott tanultakat. A feladat a bemutató verzióval (amelyet a hallgatók rendelkezésére bocsátunk) elkészíthető. További példák találhatóak a csomagban található Tutorialban. 49

50 Geotechnikai numerikus módszerek 54. ábra Fizikai + számítási modell megalkotása Mivel a szerkezet és a terhelés is körszimmetrikus, a modellt is ennek megfelelően kell választani (55. ábra). A lehatárolást alul megadja az alsó, merev réteg, oldalirányban pedig úgy kell felvennünk, hogy a peremzavar ne befolyásolja lényegesen az eredményeinket, ebben az esetben a törési mechanizmus ne ütközzön a modell oldalának. Az 1 méteres sugárhoz képest az 5 méteres lehatárolás (56. ábra) elegendő, de a számításaink végén ezt ellenőriznünk kell. Tengelyszimmetrikus modellnél a bal oldal abszcisszája kötött, csak 0 lehet, egyébként a koordinátarendszerünk origóját szabadon vehetjük fel, pl. a magasságnál használhatjuk a tengerszint feletti, de akár a terepszinthez képest vett értékeket is. Itt az alsó, merev réteghatár lesz a 0 szint. A modell felvételénél általában az eszközsávon balról jobbra kell haladnunk. Első lépés a mezők (amelyből most csak egy van) határvonalának megrajzolása. Ezt egérkattintásokkal, vagy az egymást követő pontok koordinátáinak az alsó sorba történő beírásával (57. ábra) végezhetjük. Az egeret csak a Snap to grid bekapcsolása mellett használjuk, különben pontatlan (kivéve a meglévő pontra mutatást). Beírásnál az elválasztó karakter a szóköz, a vonalrajzolás megszakítására az Esc billentyű, vagy a jobb oldali egérgomb szolgál. Relatív koordinátát is használhatunk, beírásával, külön-külön az ordinátánál és az abszcisszánál. Már létező pontra a sorszáma megadásával hivatkozhatunk. Most a peremfeltételek megadása következik. Szinte mindig a dobozmodellt használjuk, amely két oldalt csak függőleges elmozdulásokat enged meg, az alsó pontokat pedig rögzíti (58. ábra). Az alaptest és a terhelés modellezése most az alaptest benyomódásának előírásával történik (58. ábra), ezért szerkezeti elemet nem kell hozzárendelnünk. A benyomódás mértékére az alapértelmezés (hasonlóan a terhelésekhez) egységnyi, ez a számítási fázisban szabályozható, de itt is beállítható. 50

51 55. ábra 56. ábra 51

52 57. ábra 58. ábra 52

53 A következő lépés az anyagjellemzők megadása (59. ábra). A kohézió nem lehet nulla szemcsés talajnál sem, 1-2 kpa-t kell legalább alkalmazni. A homoktalajok látszólagos kohéziója egyébként földnedves állapotban ~5 kpa. Használjuk a Mohr-Coulomb modellt: γ=18 kn/m 3 γ s =18 kn/m 3 ν=0,3 E oed =15000kPa c=1 kpa φ=30 Az értékek beírása után ráhúzzuk az anyagot a talajmezőre. Ez után történhet a hálózatgenerálás (60. ábra). Ehhez a Mesh menüben állítsuk be közepesre a sűrűséget. Továbbléphetünk a kezdeti állapot beállításához (61. ábra). A semleges feszültségeknél ne változtassunk az alapértelmezett talajvízszinten, így a modellben nem lesznek víznyomások. A hatékony feszültségeknél sem szükséges beavatkozás, a számítás a takarási feszültséggel és a Jáky módszer szerint meghatározott földnyomási szorzóval történik. A számítás végrehajtásánál a második, Parameters fülön a Define gomb megnyomása után aktiválnunk kell az előírt benyomódást (62. ábra). Ki kell jelölnünk legalább egy pontot is, amelynek állapotát a program külön kiemelten figyelemmel kíséri (63. ábra). E pont mozgásának és az ehhez szükséges erőnek (kn/rad, tekintettel a tengelyszimmetrikus modellre) a változását láthatjuk az ábrán. 59. ábra 53

54 Geotechnikai numerikus módszerek 60. ábra 61. ábra 54

55 62. ábra 63. ábra 55

56 Az eredmények megtekintésénél először a deformált véges elemes hálózat jelenik meg: 64. ábra. A maximális elmozdulás az általunk beállított 200 mm lesz. Ellenőrizzük az alapozási sík mozgásait (65. ábra) a Metszet eszköz alkalmazásával, amellyel tetszőleges metszetvonalakat jelölhetünk ki. Ha a Shift gombot közben lenyomva tartjuk, a metszetvonal pontosan vízszintes, vagy függőleges lehet. Ellenőrizzük a függőleges feszültségek eloszlását is fél méterrel az alapozási sík alatt (66. ábra)! Ehhez zárjuk be az előző gyerekablakot, jelöljük ki az új metszetvonalat és a Stresses menüből a függőleges feszültségeket válasszuk ki! A képen láthatjuk az eredő (gyűrű menti, vonalas, kn/rad) erőt is, ezt kell 2π-vel szoroznunk a teljes értékhez. Az előírt benyomódás létrehozásához szükséges erő nagysága a View menüből is lekérdezhető (67. ábra), nagysága 1165 kn. Ellenőrizzük ezt az értéket, a kohéziót is figyelembe véve: A két érték között elfogadható az egyezés. A számítások megkezdésekor kijelölt pontok adatainak változását a Curves részprogrammal ábrázolhatjuk. Ez esetben az erő-benyomódás görbét állítottuk elő: 68. ábra ábra

57 65. ábra 66. ábra 57

58 67. ábra 68. ábra 58

59 4.8 Példa felszínről mélyített metró állomás Fizikai + számítási modell megalkotása Az állomás keresztmetszete: 69. ábra. A talajvízszint a terepszinten van. A talaj rossz vízvezető, drénezett modellel számolhatunk, de a vízáramlás nem befolyásolja jelentősen a helyzetet. Általános beállítások (70. ábra). Ez az ablak megjelenik minden új feladat létrehozásánál. Itt a feladat nevét (ez lesz később a fájlnév alapértelmezése is) és a munkaterület méreteit kell megadni. A szimmetria figyelembe vételével a keresztmetszet jobb oldalát vizsgáljuk. 69. ábra 70. ábra A modell létrehozása az eszközsávon levő gombok balról jobbra való használatával történik, de a menü is használható. 59

60 Ezután a megrajzolhatjuk a modellt (71. ábra) a vonalrajzoló eszköz használatával. A körvonalakat és a kiemelési szinteket (a dúcolás helye, egy közbenső és a fenékszint) kell megrajzolni. A következő feladat a résfal (gerenda elem), a határfelület és a dúc elhelyezése: 72. ábra. A dúcnál a hossz és a helyzet is definiálandó. A peremfeltételek megadása (73. ábra) a következő lépés. Általában a dobozmodellt használjuk, a megfelelő felszíni terhekkel. A teherintenzitás alapértéke 1 kpa, ez itt beállítható, de később, a számítások közben is beállítható. Ez után az anyagjellemzők következnek: A hálózat sűrűségének beállítása és generálása után továbbléphetünk a kezdeti állapothoz: 74. ábra. Itt (75. ábra) a talajvízszint megadása (ha pontra akarunk hivatkozni, a sorszámát írjuk be) után a program kiszámítja a semleges és a hatékony feszültségeket. Ezt követően léphetünk tovább a számításokhoz. 71. ábra 60

61 72. ábra 73. ábra 61

62 74. ábra 75. ábra 62

63 4.8.2 Számítás A változások nyomon követésére és a későbbi feldolgozás megkönnyítésére ellenőrző pontokat jelölhetünk ki, amelyek mozgásait vagy feszültségállapotát folyamatosan menti a program és így nem kell utólag, fáradtságos munkával kigyűjteni őket. Ebben az esetben a résfal egy közbenső pontja a legmegfelelőbb (76. ábra). 76. ábra Az első lépésben egérkattintással aktiváljuk a résfalat, a felszíni terhelést és deaktiváljuk a munkagödör legfelső talajrétegét (77. ábra). A földkiemelés víz alatti markolással történik, ezért a vízszintet nem kell módosítani. A számítás eredménye (a deformált véges elemes hálózat, nagyított elmozdulásokkal): 78. ábra. Ezt követi a kiemelés fél (79. ábra, 80. ábra), majd teljes mélységig: 81. ábra, 82. ábra. A földkiemelés befejezése után víztelenítjük a munkagödröt, új vízszintadatok megadásával (83. ábra). A fal alapértelmezésben vízzáró, ennek eredménye később látható lesz. Az így előállott használati határállapotot mutatja a 84. ábra. Duplán kattintva a résfalra láthatjuk a falmozgásokat (85. ábra, vízszintes mozgások), a menüből kiválasztva pedig a 86. ábra szerinti nyomatékokat. Ez az STR állapotnak megfelelő karakterisztikus érték (nem teljesen korrekt, mert az esetleges terhet γ Q /γ G =1,5/1,35=1,11 szorzóval növelve kellett volna alkalmazni, hogy a nyomatékot γ G =1,35-tel szorozva a tervezési értéket kapjuk). A metszet eszközt használva kaphatjuk meg a 87. ábra szerinti felszínsüllyedéseket. Lekérhetjük a dúcerőt és a határfelületi elemekben működő hatékony és semleges feszültségeket is (88. ábra, 89. ábra). A számítás utolsó lépése a biztonság meghatározása: 90. ábra. Ez véges elemes programokkal a DA-3 számítási móddal, a nyírófeszültségi paraméterek csökkentésével hajtható végre. A program addig csökkenti a súrlódási szöget és a kohéziót minden anyagban (Msf tényezővel való osztás), amíg csak nem válnak korlátlanná a mozgások. E csökkentő tényező végértékének (amelyet a menüből is lekérhetünk) kell nagyobbnak lenni a szabvány által előírt γ φ =γ c =1,35; vagy γ cu =1,5 értékeknél. Ugyan a szabvány a DA-2 módszert ajánlja erre az ellenőrzésre, de ez az eredmény is elfogadható. A törési mechanizmust általában a teljes elmozdulások színkódos ábrázolásával tudjuk a legjobban szemléltetni: 91. ábra. 63

64 Az eredményeket táblázatosan is lekérhetjük és a vágólapon keresztül például az Excelbe másolva részletesebben is feldolgozhatjuk. Sajnos ez a lehetőség a bemutató változatban nem áll rendelkezésre. 77. ábra 78. ábra 64

65 79. ábra 80. ábra 65

66 81. ábra 82. ábra 66

67 83. ábra 84. ábra 67

68 85. ábra 86. ábra 68

69 87. ábra 88. ábra 69

70 89. ábra 90. ábra 70

71 91. ábra 4.9 Példa: cölöp próbaterhelés modellezése Modellezzük egy tömör, nedves homoktalajban készített CFA cölöp próbaterhelését! A cölöp hossza 12 m, átmérője 60 cm, rugalmassági tényezője 2000 kn/cm 2. A talaj adatai: γ=18 kn/m 3 ν=0,3 E oed =15 MPa c=5 kpa φ=34 ψ=4 Vizsgáljuk meg az eredményeket a dilatációs szög figyelembe vételével, illetve a nélkül! Ez a jellemző a leggyakrabban használt talajmechanikai vizsgálatokkal (kompresszió, egyszerű nyírás, triaxiális kísérlet) nem határozható meg. Tapasztalati értéke tömör szemcsés talajoknál: ψ=φ A geotechnikai modell megalkotása A Plaxis bemutató verziójában csak fajtánként egy-egy anyagot használhatunk, ezért a beton cölöpöt egy talajjal kitöltött vasbeton héjjal helyettesítjük, amelynek normálmerevsége 6000 MN/m, hajlító merevsége 45 MNm 2 /m (ez 30 cm falvastagsággal egyenértékű). Tengelyszimmetrikus modellt alkalmazunk, amelynek sugara 10 D (6 m), vastagsága a cölöpcsúcs alatt 5 D (3 m): 92. ábra. A cölöptalpnál a hálózatsűrítéshez D magasságú mezőt iktattunk be. A cölöp mellett, a talajban határfelületi elemet kell létrehozni, külön-külön a 71

72 palást mentén és a talp alatt. Ezek teszik lehetővé az elcsúszást a cölöppalást mentén és a köpeny- valamint a csúcsellenállás kiszámítását. A próbaterhelés modellezésére a cölöp tetején 0,2D=12 cm nagyságú előírt elmozdulás szolgál. A talaj nyírószilárdsági paramétereit (Mohr-Coulomb modell) először dilatációs szög nélkül adjuk meg. A talaj nyírószilárdságát nem kell redukálni a határfelületi elemben, mert a CFA cölöp szabálytalan felülete (93. ábra) miatt az elnyíródás a talajban történik. A redukció az előregyártott, a bennmaradó acélköpenyes (~2/3) és a zagyos megtámasztású, fúrt cölöpöknél (~1/3) szükséges. A hálózatsűrűséget a Mesh menüben közepesre állítottuk, majd a cölöptörzsnél egyszer, a talpnál kétszer sűrítettük. Így csak ott lesz több csomópont, ahol gyorsabb a változás a talaj állapotában. A kezdeti állapot beállításánál a talajvízszint az alapértelmezett alsó határon marad, a szerkezetnél aktiváltuk a lemezelemeket is (ezzel a határfelületi elemek is automatikusan aktiválódtak). 92. ábra 72

73 93. ábra Számítás A számításnál a cölöptengely felső pontját jelöltük ki megfigyelésre és aktiváltuk az előírt elmozdulást. Az eredményül kapott deformált hálózat: 94. ábra, az elmozdulások színskálás ábrázolása: 95. ábra. Ha megismételjük a számítást a dilatációs szög beiktatásával, az eredmények: 96. ábra, 97. ábra. A deformált hálózatnál minimálisan nagyobb felszínsüllyedések láthatók, de az elmozdulások jól mutatják egy együttmozgó tartomány kialakulását. Ez valószínűsíti a nagyobb palástellenállás kialakulását. A terhelés ezen benyomódáshoz tartozó értékét lekérdezhetjük a View/Calculation info menü Addition Info fülén. A ForceY -388,120 kn/rad érték 2π-vel szorozva adja a terhelés 2440 kn-os értékét. Ugyanez a dilatációs szög nélküli számításnál 1320 kn, tehát valóban, a dilatáció számításba vételével lényegesen nagyobb karakterisztikus értéket kapunk a cölöp teherbírására. A Curves alprogram alkalmazásával megvizsgálhatjuk, hogyan alakult a cölöp terhelésbenyomódás görbéje: 98. ábra. Kékkel a dilatáció nélküli, pirossal (hozzáadva) a dilatációval kapott értékek láthatóak, a vízszintes tengelyen a fajlagos (kn/rad) terheléssel. 73

74 94. ábra 95. ábra 96. ábra 97. ábra 74

75 Uy [m] 0,00 Chart 1 0 dil. 4 dil. -0,03-0,06-0,09-0, Fy [kn/rad] 98. ábra Az eredmények értelmezése Ahhoz, hogy elkülönítve tudjuk vizsgálni a talp- és a köpenyellenállás arányának változását, közbenső számítási lépéseket kell beiktatni. Ezek szintjét legegyszerűbben a számításoknál, a Parameters fülön, az Advanced gombbal állíthatjuk be, a terhelés-benyomódás függvény töréspontjához (0,12) és a további szakasz felezőjéhez (0,56), valamint harmadiknak a teljes, 1,00 értéket meghagyva. Az Output programban a palást, illetve a talp határfelületi elemére duplán kattintva és a menüben a nyíró, illetve a normál feszültségeket beállítva láthatjuk a feszültségeloszlásokat. Az eszközsávon kérhetjük a táblázatos megjelenítést, és ennek a táblázatnak a vágólapra másolását, ezt pedig beilleszthetjük egy Excel táblázatba (23. Excel tábla) A felesleges oszlopokat törölve, a feszültségértékeket a megfelelő felületekkel szorozva (ehhez az y vagy x oszlopokat is használni kell) és összegezve megkapjuk a palást-, illetve a talpellenállások értékeit: 99. ábra. A cölöp teherbírásának karakterisztikus értéke talajvizsgálati eredményeken alapuló számítással: D π L q 7 r π q 8 N? q 7 L γ 1sinφ tgφ6 18 1sin34 tg34 32,1kPa ,6 π 12 32,1726kN F 8 0,3 π kN F kN Ez a számítás jól tükrözi a valóságot. A statikus képletekkel, a talaj nyírószilárdsága alapján számított cölöpteherbírás (nagy talp- és kis köpenyellenállás) szemcsés talajoknál elfogadhatóan közel van a próbaterheléssel kapott értékekhez. Ha elkülönítve mérjük a talpellenállás és a köpenysúrlódás értékét (kísérleti, műszerezett cölöp), éppen fordított arányt kapunk, mint a számításnál (100. ábra). Az elméleti úton kiszámított talpellenállás aktiválásához ugyanis sokkal nagyobb, méteres nagyságrendű benyomódásra lenne szükség, a palástellenállás ellenben a néhány milliméteres benyomódás után nem állandósul, hanem tovább növekszik, jócskán meghaladva a súrlódási szögből számítható értéket. 75

76 Interface Element Stress X Y s_n,eff s_s p_active p_excess Status Point [m] [m] [kn/m^2] [kn/m^2] [kn/m^2] [kn/m^2] , , , , Elastic Nincs dilatáció 2 0,285-0, ,63-52, Elastic Imperm. 3 0,27-0, , , Elastic 4 0,255-0, , , Elastic 5 0, , , , Elastic 2 1 0, , , , Elastic Nincs dilatáció 2 0,225-0, , , Elastic Imperm. 3 0,21-0, , , Elastic 4 0,195-0, , , Elastic 5 0, , , , Elastic 3 1 0, , , , Elastic Nincs dilatáció 2 0,165-0, ,4472-9, Elastic Imperm. 3 0,15-0, ,7188-7, Elastic 4 0,135-0, ,4801-5, Elastic 5 0, , ,8786-4, Elastic 4 1 0, , ,8786-4, Elastic Nincs dilatáció 2 0,105-0, ,45-3, Elastic Imperm. 3 0,09-0, ,9525-2, Elastic 4 0,075-0, ,9159-1, Elastic 5 0, , ,8951-1, Elastic 5 1 0, , ,8951-1, Elastic Nincs dilatáció 2 0,045-0, ,5355-0, Elastic Imperm. 3 0,03-0, ,4694-0, Elastic 4 0,015-0, ,4448-0, Elastic 5 0, , , Elastic 23. Excel tábla 76

77 99. ábra 100. ábra 77

78 5 Számítási módszerek összehasonlítása A Szepesházi könyvben közölt példán (101. ábra) keresztül mutatjuk be a számítási lehetőségeket, és az e közben felmerülő problémákat. A számítás (DA-2*, az MSZ EN által javasolt) során függőleges fiktív hátlap alkalmazására került sor. A kritikus határállapot az elcsúszás, az ehhez tartozó kihasználtság (az elcsúsztató erő és az ellenállás tervezési értékeinek hányadosa): E d Λ := = % R d ábra: Számítási példa Ezek a tervezési értékek már tartalmazzák a parciális tényezőket, a hatás oldalon növelő, az ellenállás oldalon csökkentő értékként. A kihasználtság aránya ugyan egy hajszállal nagyobb száz százaléknál, de ez nem jelenthet alkalmatlanságot. A számításokat elvégeztük a GEO 5 programcsomag Szögtámfal elemével is (102. ábra), ami a hagyományos módszerrel számol. A kihasználtság e szerint a számítás szerint Λ=81,6 %. Az eltérés oka a ferde fiktív hátlap, és kisebb mértékben a földnyomási szorzók eltérő számítási módja. Véges elemes program alkalmazásával (Plaxis, 103. ábra) a számítás módja gyökeresen eltérő. A program addig csökkenti a talaj nyírószilárdságát, amíg csak a mozgások nem növekednek korlátlanul (104. ábra). Ez a metódus az Eurocode állékonyságvizsgálati módszerének (DA-3) felel meg, és a csökkentő tényezőt (ΣMsf) az ehhez tartozó parciális tényezővel (γ φ', γ c, vagy γ cu ) kell összehasonlítani. Ez esetben Λ=γ φ '/ ΣMsf=113 % tehát a kihasználtság túl nagy. A véges elemes modellben kialakuló csúszólapok még szemléletesebben megmutatkoznak a nyírási deformációkon: 105. ábra. 78

79 102. ábra: A GEO 5 program eredményei 103. ábra: Plaxis véges elemes modell 104. ábra: Plaxis, elmozdulás mező határállapotban 79