Tanügyi és Kutatási Minisztérium Vidéki oktatásfejlesztési program ELEMI OKTATÁS. Matematika II. Mihail ROŞU. Fordította: Petru Petra

Átírás

1

2

3 Tanügyi és Kutatási Minisztérium Vidéki oktatásfejlesztési program ELEMI OKTATÁS Matematika II Mihail ROŞU Fordította: Petru Petra 005

4 Nevelési és Kutatási Minisztérium Vidéki Oktatásfejlesztési Program A könyv szerzői jogi védelem alatt áll, arról másolat készítése, más formában való felhasználása a Nevelési és Kutatási Minisztérium előzetes írásbeli engedélye nélkül tilos Lektorálta: Marchis Julianna Támogatta az RMDSZ Ügyvezető Elnöksége. ISBN

5 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Bevezető IV I. Pozitív racionális számok A fejezet célkitűzései A tört fogalma Értelmezés Ekvivalencia és rendezési relációk 1.3. Pozitív racionális szám Műveletek racionális számokkal Tizedes törtek Értelmezés Közönséges tört átalakítása tizedes törtté Műveletek tizedes törtekkel Megoldások I. felmérő Irodalomjegyzék 13 II. Arányok és aránypárok A fejezet célkitűzései 14.. Arányok Értelmezés Tulajdonságok Műveletek arányokkal Mennyiségek mértékének aránya Aránypárok Értelmezés Az aránypár alaptulajdonsága Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása Származtatott aránypárok Mértani közép 0.4. Egyenlő arányok sorozata.5. Megoldások 4.6. II. felmérő Irodalomjegyzék 6 Vidéki oktatásfejlesztési program i

6 Tartalomjegyzék III. Arányos mennyiségek A fejezet célkitűzései Egyenes és fordított arányosság Egyenes arányosság Fordított arányosságok Arányos mennyiségek Egyenesen arányos mennyiségek Fordítottan arányos mennyiségek Az egyszerű hármasszabály Az összetett hármasszabály Megoldások III. felmérő Irodalomjegyzék 41 IV Százalékszámítás A fejezet célkitűzései Százalék Tipikus százalékszámítási feladatok Százalékérték meghatározása Százalékalap meghatározása Százalékláb meghatározása Más százalékszámítási feladatok p%-al való csökkentés/növelés Egymást követő növekedés/csökkenés Különböző százaléklábak azonos százalékalap esetén A gyakorlatban alkalmazott más arányok Ezrelékszámítás Oldatok koncentrációja Ötvözet finomsága Megoldások IV. felmérő Irodalomjegyzék 53 V. Algoritmusok A fejezet célkitűzései Algoritmusok Az algoritmus fogalma Az algoritmusok tulajdonságai Műveletek Folyamatábrák Grafikus szimbólumok 60 ii Vidéki oktatásfejlesztési program

7 Tartalomjegyzék Elemi struktúrák Megoldások V. felmérő Irodalomjegyzék 68 VI. Mennyiségek mérése A fejezet célkitűzései Fizikai mennyiségek Mennyiségek mérése Fizikai mennyiségek mértékegységei Hosszmérés A tömeg mérése Az idő mérése A mértékegységek többszörösei és törtrészei Mértékegységek átalakítási algoritmusa Megoldások VI. felmérő Irodalomjegyzék 78 VII. Az euklideszi geometria axiómarendszerei A fejezet célkitűzései A geometria fejlődésének rövid története Euklidész axiomatikus rendszere Az axiómarendszer fogalma Axiomatikus elméletek Megoldás VII. felmérő Irodalomjegyzék 90 Minimális irodalomjegyzék 91 Vidéki oktatásfejlesztési program iii

8 Bevezetés Bevezetés Könnyebben vagy nehezebben, de szerencsésen túljutottál az első jegyzeten; hogy milyen mértékben sikeresen, arra rájössz, ha önkritikusan átgondolod a tanultakat. Jogosan teszed fel a kérdést, mi célunk lehet ezzel a második jegyzettel, ugyanolyan nehéz (vagy még nehezebb?!) lesz-e mint az előző. Megpróbálunk válaszolni, körvonalazva fogalmi és metodikai elképzeléseink meghatározó gondolatait szakmai továbbképzésed ezen új szakaszán. Ennek a jegyzetnek a kiindulópontja az előzőben tanultak fokozása, elmélyítése, kibővítése újabb, eddig még nem érintett részekkel (pl. mértékegység rendszerek és mértani fogalmak). Jegyzetünk olyan tudományos elveket tartalmaz, amelyek megalapozzák a matematika oktatását a gimnázium első két évében. A továbbiakban is azt várjuk el tőled, hogy az egyes fejezeteket jól átgondolva tanulj, így fejlesztve képességedet valós eredmények elérésére a matematika oktatásában. Minden fejezet egy irányból közelíthető meg. Bemutatásra kerül a fejezet célkitűzése, a szükséges elméleti anyag, beleértve gyakorlati alkalmazásuk megoldásait, melyeket önértékelő tesztek követnek. Ha nehézségeid támadnak a tesztek megoldásakor, térj vissza a jegyzet megfelelő részéhez, és nézd át újra a szóban forgó elméleti részt és annak gyakorlati alkalmazásait. A fejezet végén levő magyarázatok és megoldások segítségedre lesznek eredményeid ellenőrzésére. Következik a felmérő dolgozat, melyet megoldása után, előre megbeszélt módon ( , írásbeli dolgozat, stb.) továbbítasz vezető tanárodnak. A javasolt pontozás a dolgozat értékelésére a tételek felsorolása után következik. Ne felejtsd el, hogy ezek a felmérők a végső jegy 70%-át képezik. Ha készen állsz jelen jegyzetünk tanulmányozására SOK SIKERT kívánunk hozzá! iv Vidéki oktatásfejlesztési program

9 Pozitív racionális számok I. fejezet Pozitív racionális számok Tartalomjegyzék 1.1. A fejezet célkitűzései A tört fogalma Értelmezés Ekvivalencia és rendezési relációk Pozitív racionális szám Műveletek racionális számokkal Tizedes törtek Értelmezés Közönséges tört átalakítása tizedes törtté Műveletek tizedes törtekkel Megoldások I. felmérő Irodalomjegyzék A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: megérteni a törteket, mint racionális számok reprezentánsait; műveleteket végezni a pozitív racionális számokkal; felhasználni ismereteit és jártasságait a feladatok megoldása során. 1.. A tört fogalma Értelmezés Értelmezés Egy természetes számokból alkotott ( n) törtnek nevezünk, ahol n 0. m, rendezett számpárt m Jelölése Többnyire egy törtet alakban írunk, ahol m, n N, n 0. n Az n számot nevezőnek, az m számot pedig számlálónak nevezzük. Vidéki oktatásfejlesztés programja 1

10 Pozitív racionális számok Jelentés Osztályozás m Az törtben az m megmutatja hány törtegységből áll az n egész, amit n egyenlő részre osztottunk. Egy n m alakú tört lehet : - valódi tört ( ha m < n ) ; - egységnyi tört ( ha m n ) ; - áltört ( ha m > n ). Áltört esetén kiemeljük az egészeket a törtből : m n an + r n n a + r n, r < n; Példa Ekvivalencia és rendezési relációk Ekvivalencia Az n m és q p törtek ekvivalensek, ha m q n p (az első tört számlálójának és a második tört nevezőjének szorzata egyenlő az első tört nevezőjének és a második tört számlálójának szorzatával). A törtek ekvivalenciájának tulajdonságai: - reflexív ( ha n m n m bármely n m tört esetén ) ; - szimmetrikus ( ha n m q p, akkor q p n m ) ; - tranzitív ( ha m p p r m r és, akkor ). n q q s n s Ekvivalens törteket kaphatunk: bővítéssel (egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a nullától különböző számmal szorozzuk) ; egyszerűsítéssel (egy tört számlálóját és nevezőjét is ugyanazzal a számmal, közös osztójukkal, osztjuk) A tovább nem egyszerűsíthető törteket (melyek számlálója és nevezője relatív prím) irreducibilis törteknek nevezzük. Vidéki oktatásfejlesztés programja

11 Pozitív racionális számok Rendezés m p m p Az tört kisebb, mint a tört, ha mq np. n q n q A törtek rendezési relációja: m m m - reflexív (ha bármely tört esetén ) ; n n n - antiszimmetrikus m p p m m p ( és akkor és csakis akkor, ha ); n q q n n q - tranzitív (ha n m q p és q p s r, akkor n m s r ). Az általános iskolai és középiskolai matematikában a törteket először közös nevezőre hozzák (az eredeti törtekkel ekvivalens törteket képeznek) majd a számlálókat hasonlítják össze Pozitív racionális szám Értelmezés Egy tört ekvivalenciaosztályát az ekvivalencia relációra nézve pozitív racionális számnak nevezzük. Az n m racionális szám az n m törttel ekvivalens törtek halmaza, ezt a racionális számot az osztály bármely eleme képviselheti. Példa 1 1 3,,, Κ Műveletek racionális számokkal A racionális számokkal végzett műveletek visszavezethetők a törtekkel végzett műveletekre. Összeadás A racionális számok összeadása visszavezethető a törtek összeadására: a törteket közös nevezőre hozzuk (bővítéssel vagy egyszerűsítéssel), majd a kapott törtek számlálóit összeadjuk, a nevezőbe pedig a közös nevezőt írjuk. Az racionális számok (negatív számokat is beleértve) összeadása: asszociatív, kommutatív, létezik semleges eleme (0) és minden eleme invertálható. Tehát a racionális számok halmaza az összeadás művelettel kommutatív csoportot (Abel-féle csoportot) alkot. Vidéki oktatásfejlesztés programja 3

12 Pozitív racionális számok Szorzás Törtszámot törtszámmal úgy szorzunk, hogy a számlálók szorzatát osztjuk a nevezők szorzatával. Vegyes szám esetén az egészrészt bevezetjük a törtbe. A szorzás asszociatív, kommutatív, létezik semleges eleme és bármely nullától különböző n m racionális számnak létezik inverze n. A szorzás disztributív az összeadásra nézve. m Osztás Törtszámot törtszámmal úgy osztunk, hogy az osztandót megszorozzuk az osztó inverzével. Az általános iskolában egy szám törtrészét úgy számítjuk ki, hogy megszorozzuk a számot a törttel. Ha ismerjük egy szám törtrészének értékét, akkor a számot úgy számítjuk ki, hogy elosztjuk a törtrész értékét az adott törttel. Példa ; ; ; : ; ; nak az - e 6 3 ; Ha x számnak az -da 6, akkor x 6 : Megoldott feladatok 1. Írjuk le az összes olyan törtet, melyek nevezője 150 és 6 1 illetve 1 között helyezkedik el! Ezek közül melyek irreducibilisek? 5 Megoldás: 1 n 1 A kijelentés feltételét így írjuk : < <, ahol n a lehetséges számláló. Megállapítjuk, hogy a nevezők legkisebb közös többszöröse (l.k.k.t.) 150, majd közös nevezőre hozunk, az első törtet 5-tel, a másodikat pedig 30-cal bővítjük: 4 Vidéki oktatásfejlesztés programja

13 Pozitív racionális számok Ebből következik, hogy: A keresett törtek a < n < < n < 30, tehát n {6, 7, 8, 9} ,,, Tehát ezek közül, csak a irreducibilis tört Határozzuk meg azt a számot, melyet ha 3 - dal szorzunk, ugyanazt az eredményt kapjuk mintha 10 et vontunk volna ki belőle. Megoldás: Egy számot 3 - dal szorzunk, vagyis kiszámoljuk a keresett 1 szám - dát. Tudjuk, hogy a szám 1 része 10. Mivel a szám része 10, következik hogy a keresett szám munkás egy munkát 4 nap alatt fejez be. Az első ugyanazt a munkát egyedül 10 nap alatt, a második pedig 1 nap alatt tudná teljesíteni. Hány nap alatt fejezné be a munkát a harmadik munkás? Megoldás: Ha 3 munkás, egy munkát 4 nap alatt fejez be, akkor a munka 4 1 részét teljesítik egy nap. Az első munkás, aki 10 nap alatt végezne a munkával, naponta a munka 10 1 részét teljesíti, a második munkás, aki 1 nap alatt végezne ugyanezzel a munkával, a munka 1 1 részét teljesíti naponta. Ketten, együttes erővel, a munka + részét teljesítik egy nap alatt Mivel hárman együtt, egy nap alatt a munka -ét végzik el, következik, hogy a harmadik munkás a munka részét teljesíti. 1 Tehát a harmadik munkás, egyedül 1 : 15 nap alatt fejezné be 15 a munkát. Vidéki oktatásfejlesztés programja 5

14 Pozitív racionális számok 1. önértékelő teszt 1. Számítsátok ki: a) : b) + : c) : Határozzátok meg az összes 4 1 és 3 1 közötti tört értékét, melyek nevezője 187, számlálójuk pedig osztható 6 tal! 3. Határozzátok meg azt a számot melynek negyede 10 - szal kisebb, mint a fele! 4. Két munkás egy munkát 15 óra alatt tud befejezni. Az első egyedül 0 óra alatt fejezné be. Hány óra alatt végezne egyedül a második? Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. 6 Vidéki oktatásfejlesztés programja

15 Pozitív racionális számok Vidéki oktatásfejlesztés programja 7

16 1.5. Tizedes törtek Pozitív racionális számok Értelmezés Értelmezés Tizedes törtnek nevezzük azt a törtet, amelynek nevezője 10 valamely hatványa (10, 100, 1000 stb.). Jelölése Tizedes törtet írhatunk : 3 törtvonallal (pl. ) ; 100 tizedesvesszővel (pl. 0,03). Felépítése A tizedes tört két részből áll: egy egészrészből, melyet a tizedesvesszőtől balra írunk, és egy törtrészből, melyet a tizedesvesszőtől jobbra írunk. A tizedes tört egészrésze az a legnagyobb egész szám, mely nem haladja meg a tört értékét. Példa 3,14 esetén, [ 3, 14] 3 az egészrész, {, 14} 0, 14 3 pedig a törtrész (14 századnak vagy 1 tized és 4 századnak olvassuk) Közönséges tört átalakítása tizedes törtté Tört tizedes törtté Egy közönséges tört tizedes törtté alakítható a számlálójának a nevezőjével való osztása útján. Így kaphatunk : véges tizedes törteket (véges számú tizedes jegyet tartalmaz); tiszta szakaszos tizedes törteket (végtelen számú tizedes jegyet tartalmaz, melyben egy számjegy vagy számjegycsoport periodikusan ismétlődik közvetlenül a tizedes vessző után) ; vegyes szakaszos tizedes törteket (tizedes jegyei végtelenek, de tartalmaz egy számcsoportot, mely nem ismétlődik és egy számcsoportot, mely periodikusan ismétlődik). Például: 1 0,5 ; 3 0, 6 7 ; 0, 35 (véges tizedes törtek) ; () 3 0, , (tiszta szakaszos tizedes tört) ; () 3 0, ,8 (vegyes szakaszos tizedes tört). 8 Vidéki oktatásfejlesztés programja

17 Pozitív racionális számok Figyelem:! ha a tört nevezőjében vagy 5 hatványainak szorzata található, akkor véges tizedes törtet kapunk; ha a tört nevezője nem vagy 5 hatványainak szorzata, akkor tiszta szakaszos tizedes törtet kapunk; ha a tört nevezője más prímtényezők mellett vagy 5 hatványait is tartalmazza, akkor vegyes szakaszos tizedes törtet kapunk. Tizedes tört törtté Megvalósítható a visszaalakítás is, tizedes tört átalakítása törtté. Például: 3 0,3 ; (4) ; ; (45) ; ; ,(456) ; ,8(3) ; ,8(34) ; ,83(4) ; 1,83(4) 1 ; ! Figyelem : véges tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a n számlálóba írjuk a törtrészt, a nevezőbe pedig 10 (ahol n a tizedes tört tizedes jegyeinek számát jelöli); tiszta szakaszos tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a számlálóba írjuk a tizedes tört szakaszát, a nevezőbe pedig m darab 9-t írunk (ahol m a szakasz számjegyeinek számát jelöli) ; vegyes szakaszos tizedes törtet úgy alakítunk közönséges törtté, hogy a számlálóba a tizedes jegyekből alkotott természetes számból és a nem szakaszos rész számjegyeiből alkotott természetes szám különbségét írjuk, a nevezőbe pedig m számú 9-t és n számú 0-t írunk (ahol a m a szakasz számjegyeinek számát, n pedig a vegyes szakaszos tizedes tört nem ismétlődő tizedes jegyeinek a számát jelöli). Vidéki oktatásfejlesztés programja 9

18 Műveletek tizedes törtekkel Pozitív racionális számok A tizedes törtekkel végzett műveletek a természetes számokhoz hasonló szabályok szerint történnek. Összeadás / Kivonás Szorzás / Osztás Két vagy több tizedes számot úgy adunk össze / vonunk ki egymásból, mint két természetes számot, vigyázva arra, hogy az azonos helyiértékű számjegyek és a tizedesvesszők egymás alá kerüljenek. Ha szükséges, kipótolhatjuk a tizedes számokat további nullákkal (ez mutatja az illető egység hiányát). Szorzásnál kiszámoljuk a részszorzatokat anélkül, hogy figyelembe vennénk a tizedes vesszőt, majd a végeredményben annyi tizedes jegyünk lesz, ahány a két szorzótényezőben összesen van. Az osztás során a következő esetek fordulhatnak elő: az osztó természetes szám a szokott módon végezzük az osztást, a tizedesvesszőt pedig akkor írjuk ki, amikor a tizedes vesszőhöz értünk; az osztó tizedes tört a tizedes vesszőt annyi számjeggyel visszük jobbra, az osztandóban és osztóban egyaránt, míg az osztóból természetes számot nem kapunk (előző esetre való visszavezetés). Maradékos osztás esetén a maradék meghatározásához szükséges a vesszőt balra vinni ugyanannyi számjeggyel, ahány számjeggyel az osztás során jobbra vittük. Példa 0, + 0,19 0,0 + 0,19 0, 39 ; 0, 0,19 0,0 0,19 0, 01; , 0,19 0, 038 ; , : 0,19 0 :19 1 maradék 0,01 (!).! Ha egy gyakorlatban közönséges tört és tizedes tört is található, akkor először elvégezzük a megfelelő átalakítást és azután a műveletet. Példa , ; ,3 0,3 0, 0, 1 ; ,4 0, 04 ; ,01: 4 : Vidéki oktatásfejlesztés programja

19 Pozitív racionális számok. önértékelő teszt Számítsátok ki: 1 a) : 0,5 + 0,5 ; b) 0, ,1: : 0, () ; 1 + ; 3 c) 1,5 : [ 0, ( 6) + 6, ( 6) ] d) 0,1( 6) : : 0, Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztés programja 11

20 Pozitív racionális számok 1.6. Megoldások 1. önértékelő teszt 1. a) ; b) ; c) ,, óra.. önértékelő teszt a) 1 ; b) 3 ; c) 4 1 ; d) I. felmérő 1. Igazoljátok a törtek ekvivalencia relációjának tulajdonságait!. Számítsátok ki : a) + 1 : ; b), 0,4 + 0,01( 6) : 0,( 3) 3. Egy csap 5 óra alatt tölt meg egy medencét, egy másik pedig 3 óra alatt üríti ki. Az első csap megnyitása után órával megnyitják a második csapot is (az első megállás nélkül folyik). A második csap megnyitása után, mennyi idő elteltével ürül ki a medence? Megoldás után, az előre megbeszélt módon ( , írásbeli dolgozat, stb.) továbbítsd vezető tanárodnak. Pontozási javaslat: Hivatalból: 10 pont; 1. gyakorlat: 0 pont;. gyakorlat: 40 pont; 3. gyakorlat: 30 pont. 1 Vidéki oktatásfejlesztés programja

21 Pozitív racionális számok 1.8. Irodalomjegyzék 1) Aron, I, Herescu Gh, Aritmetică pentru învăţător, EDP, 1977; ) Asaftei P. Chirila C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Ed. Polirom, 1998; 3) Roşu, M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Ed. Meta Press, 005; 4) Rusu, E. Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974; 5) ***Manuale şcolare de matematica pentru clasa a V-a. Távlatok, alkalmazások A pozitív racionális számokhoz kötődő feladatok az elemi osztályban tanító oktató eszköztárához tartoznak. A törtek bevezetése a tanulókat a számfogalom első kiterjesztéséhez vezeti. Ugyanakkor, körvonalazódnak és megalapozódnak új távlatok, mint a közelítések, a közelítő értékekkel való számítások és a valószínűségszámítás. Vidéki oktatásfejlesztés programja 13

22 Arányok és aránypárok II. fejezet Arányok és aránypárok Tartalomjegyzék.1. A fejezet célkitűzései Arányok Értelmezés Tulajdonságok Műveletek arányokkal Mennyiségek mértékének aránya Aránypárok Értelmezés Az aránypár alaptulajdonsága Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása Származtatott aránypárok Mértani közép Egyenlő arányok sorozata Megoldások II. felmérő Irodalomjegyzék A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: alkalmazni az arányokat és aránypárokat elméletben és gyakorlatban egyaránt megfelelően eljárni az egyenlő arányok sorozatát illetően... Arányok..1. Értelmezés Értelmezés Egy rendezett pozitív racionális számokból alkotott számpárt aránynak nevezünk ( a, b) Q + x Q * +. Alakját tekintve az arány hasonlít a törtre (ezért általánosított törtnek is nevezzük). Jelölése Többnyire az arányt b a alakban írjuk, ahol a, b Q, b 0. Jelentése Az arány a és b, b 0 pozitív racionális számok reprezentánsainak elvégzetlen hányadosát jelenti. 14 Vidéki oktatásfejlesztési program

23 Arányok és aránypárok Szóhasználat Az a és b racionális számok az arány tagjai (számláló, ill. nevező). r az arány értékének Ha elvégezzük az osztást, a hányadost ( ) nevezzük: a r r, ahol a b r. b Példa A és 1 számok aránya 3, az arány értéke pedig :1 : Tulajdonságok Mivel az arányok általánosított törtek (tagjai racionális számok), érvényesek a törtek tulajdonságai: bővíthetők és egyszerűsíthetők. Bővítés Ha egy arány mindkét tagját ugyanazzal a 0-tól különböző számmal szorozzuk, vele egyenértékű arányt kapunk: Egyszerűsítés a an, ahol b bn a, b Q+, n 0. Ha egy arány mindkét tagját ugyanazzal a 0-tól különböző számmal osztjuk, vele egyenértékű arányt kapunk: a b a : n b : n, ahol b a, Q +, n Műveletek arányokkal Az arányokkal végzett négy alapművelet formailag megegyezik a természetes számokkal végzett négy alapművelettel. Összeadás Kivonás Szorzás Osztás a c ad + cb +, ahol a, b, c Q +, b, d 0. b d bd a c ad cb, ahol a, b, c, d Q +, b, d 0. b d bd a c ac, ahol a, b, c, d Q +, b, d 0. b d bd a c a d :, ahol a, b, c, d Q +, b, c, d 0. b d b c Vidéki oktatásfejlesztési program 15

24 Arányok és aránypárok..4. Mennyiségek mértékének aránya Adott mennyiség esetén két mérték arányáról beszélünk, ha a két mérték összehasonlítható ; a mennyiség homogén és additív. Értelmezés Két ugyanazzal a mértékegységgel mért mennyiség arányán a mértékek értékének arányát értjük. Ez a szám megmutatja, hogy az egyik mennyiség hányszor nagyobb / kisebb a másiknál. Megoldott feladatok 1. Két négyzet oldalhosszának aránya 3. Számítsuk ki a kerületek arányát! Megoldás. Ha a két négyzet oldalhosszát l 1 illetve l vel jelöljük, a l1 kerületet pedig K 1, illetve K vel, akkor. Tudjuk, l 3 hogy K 4l, ebből következik: K 1 4l 1 K 4l l l Egy téglalap szélessége ( l ) a hosszúság ( L ) e. Határozzuk meg a szélesség és hosszúság arányát! Megoldás. 3 l l L relációból következik, hogy 5 L Vidéki oktatásfejlesztési program

25 Arányok és aránypárok 1. önértékelő teszt 1. Határozzátok meg a 3,7 és 1,(3) számok arányának értékét! 3. Egy téglalap szélessége a kerületének - a. Számítsátok ki a kerület 0 felének és a téglalap szélességének arányát! Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztési program 17

26 Arányok és aránypárok.3. Aránypárok.3.1. Értelmezés Értelmezés Két egyenlő arányt aránypárnak nevezünk. a c, ahol a, b, c, d Q+, b, d 0. b d Szóhasználat Az aránypárt alkotó két aránypár tagjait a következőképpen nevezzük: a és d az aránypár kültagjai; b és c az aránypár beltagjai..3.. Az aránypár alaptulajdonsága Bármely aránypár esetén a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával. Tehát, ha b a d c, akkor ad bc Az aránypár ismeretlen tagjának kiszámítása Az aránypár alaptulajdonsága kimondja, hogy a kültagok szorzata egyenlő a beltagok szorzatával, ad bc. Ebből következik, ha ismerjük az aránypár bármely három tagját, akkor kiszámíthatjuk az ismeretlen negyedik tagot. Így az ismeretlen kültag a beltagok szorzatának és az ismert kültag hányadosa, az ismeretlen beltag pedig a kültagok szorzatának és az ismert beltag hányadosa. x c bc Ha, akkor x. b d d.3.4. Származtatott aránypárok Egy aránypárból képezhetünk azonos tagú vagy megváltoztatott tagú származtatott aránypárokat. Azonos tagú származtatott aránypárok Az aránypár tagjaiból a kővetkező módon képezhetünk azonos tagú származtatott aránypárokat: felcseréljük a beltagokat a c a b ; b d c d felcseréljük a kültagokat a c d c ; b d b a mindkét aránynak felírjuk az inverzét 18 a c b d ; b d a c Vidéki oktatásfejlesztési program

27 Arányok és aránypárok Az aránypárok alaptulajdonságát felhasználhatjuk az eredmények ellenőrzésénél is. Megváltoztatott tagú származtatott aránypárok Ebben az esetben a származtatott aránypárok tagjai nem egyeznek meg az eredeti aránypár tagjaival. Megváltoztatott tagú származtatott aránypárokat a következő módon képezhetünk: az arány mindkét tagját szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal (bővítés / egyszerűsítés): a b c an c ; d bn d a cn, ahol n 0 b dn a : n b : n c d ; a b c : n ; d : n mindkét számlálót szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal: a b c an cn ; d b d a : n c : n ; b d mindkét nevezőt szorozzuk / osztjuk egy 0-tól különböző számmal a b c a c ; d bn dn a b : n c ; d : n bármely aránypár esetén az arányok értéke egyenlő a számlálók összegének / különbségének, illetve a nevezők összegének / különbségének arányával a b c a a + c ; d b b + d a b a c ; b d mindegyik arány egyformán változik a b c a c ; d a + b c + d a a b c c d ; a + b b c + d d a b b c d d ; a + b a b c c + d ; d ahol a > b, c > d. Vidéki oktatásfejlesztési program 19

28 Arányok és aránypárok.3.5. Mértani közép Ha egy aránypár esetén a kültagok egyenlők, akkor a kültagok értéke a beltagok mértani közepével egyenlő. m c m bc ( m a b és c számok mértani közepe) b m Hasonlóan p az a és d számok mértani közepe, ha a p. p d Megoldott feladatok 1. Két szám összege 48, arányuk pedig 5 3. Határozzuk meg a két szám értékét! Megoldás. a 3 Legyen a két keresett szám a és b, vagyis. b 5 Képezzük azt a származtatott aránypárt, melyben megjelenik a 3 a 3 az a + b ismert tag! Így, vagyis a + b , tehát a 18. Az a + b 48 és a 18 relációkból 8 következik, hogy b 30 (Találjatok más megoldásokat is!). x 3 x + 5y. Tudjuk, hogy. Számítsuk ki értékét! y 4 5y 1. megoldás. x 3 x 3 Az aránypárból képezzük a származtatott y 4 5y 4 5 x 6 aránypárt, így, melyből következik, hogy 5y 0 x + 5y x + 5y 6 13, illetve. 5y 0 5y megoldás. x + 5y x 5y + 5y 5y 5y 3. megoldás. x + 1 5y 5 x y x 3 3 Tudjuk, hogy, tehát x y, ebből következik, hogy y y + 5y y + 5 x + 5y y 5y 5y 10 0 Vidéki oktatásfejlesztési program

29 Arányok és aránypárok. önértékelő teszt 1. Határozzátok meg x értékét!. Tudjuk, hogy x y x + y x a) ; b) y x + 7 y x + x ; c) 1 0, ( 3) + 0, ( 7) + 1, ( 3) 607 4,5 : 0,09. Számítsátok ki : y x y ; d) y x x + 3 x ; e) ; f) 3y. x + 3y 3y ; g) 3 x + 5y 5y ; Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztési program 1

30 Arányok és aránypárok Vidéki oktatásfejlesztési program.4. Egyenlő arányok sorozata Értelmezés Egyenlő arányok sorozata több egyenlő arányból áll. Az egymás után következő arányokat egyenlőség jel köti össze és közülük bármely kettő aránypárt alkot. Tulajdonság Egyenlő arányok sorozata esetén az arányok számlálóinak, illetve nevezőinek lineáris kombinációjának aránya egyenértékű a sorozat bármely tagjának értékével: pf nd mb pe nc ma f e d c b a , ahol 0,, p n m. Sajátos esetben, ha 1 p n m, akkor f d b e c a f e d c b a Ha 4 c z és c z b y a x, számítsuk ki: c b a z y x , c b a z y x , c b a z y x Megoldás. Tudjuk, hogy: c b a z y x c z 4, c z c b a z y x c z b y a x c z b y a x ; c z c b a z y x c z b y a x c z b y a x.. Tudjuk, hogy c b a és c b a, Határozzuk meg az a, b és c értékét! Megoldás c b a c b a c b a a a, b b, c c. Megoldott feladatok

31 Arányok és aránypárok 3. önértékelő teszt a 1. Tudjuk, hogy 3, b b + d + f értékét. a b c e és a + c + e 30. Számítsátok ki d f a 1. Ha, b 4 értékét. a b c e és a + 3c + 4e 33, számítsátok ki b + 3d + 4 f d f a b 3. Legyen b c, és 5 a + 4b + c 380. Számítsátok ki k és p a b c értékét, ha, továbbá az a, b, c számok értékét! 4 k p Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztési program 3

32 Arányok és aránypárok.5. Megoldások 1. önértékelő teszt 1. 3 ; önértékelő teszt 1. 1 x ; a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) önértékelő teszt a c e a + c + e b + d + f 10. b d f b + d + f b + d + f 3 4 Vidéki oktatásfejlesztési program

33 Arányok és aránypárok. 1 a c e a 3c 4e a + 3c + 4e 33 4 b d f b 3d 4 f b + 3d + 4 f b + 3d + 4 f b + d + f a b b b 3. Tudjuk, hogy. Ahhoz, hogy megkapjuk a arányt (ez megtalálható a második összefüggésben is) - vel szorozzuk a a b a b nevezőket. Így, vagyis. Ekkor a 10 b c 3 7 5a 50 4b 1 c 14 5a + 4b + c Ebből következik, hogy a 50, c 35. Behelyettesítve következik, hogy 6 14 k és p II. felmérő 11 1 a c 1. Legyen a, b 4, 4, c 0, ( 3) és d 1. Írjátok fel az és arányokat 5 3 b d és számítsátok ki az összegüket, különbségüket, szorzatukat és hányadosukat. Ellenőrizzétek eredményeiteket! 1 0,5 +. Számítsátok ki x értékét a 3 x aránypárból! 7 x 4 x + 5y 3. Ha, számítsátok ki (kétféleképpen) értékét! y 3 5y x y z 4. Ha és y + 5z 94, számítsátok ki x, y és z értékét! Megoldás után a már előre megbeszélt módon ( , írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: Hivatalból: 10 pont; 1. gyakorlat: 0 pont;. gyakorlat: 0 pont; 3. gyakorlat: 0 pont; 4. gyakorlat: 30 pont. Vidéki oktatásfejlesztési program 5

34 Arányok és aránypárok 1.8. Irodalomjegyzék 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetica pentru învăţători, EDP, 1997; ) Asaftei P., Chirila C., Asaftei D.C., Elemente de aritmetică şi teoria numerelor pentru licee şi colegii pedagogice, Ed. Polirom, 1998; 3) Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Ed.Meteor Press, 005; 4) Rusu E., Aritmetica. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, Távlatok, alkalmazások Az arányok és aránypárok fejezetében szerzett ismeretek és jártasságok feltétlenül szükségesek az arányos mennyiségek megközelítéséhez, amelyek az alsó tagozat matematika könyveiben részletes és érthető formában találhatók. Felhasználásuk új lehetőségeket nyit különböző területeken, mint a mértan (hasonlóságok és metrikus összefüggések a derékszögű háromszögben), a földrajz (térképek léptéke, két pont közti távolság meghatározása a térképen, az osztály alaprajza), valószínűségszámítás (egy esemény bekövetkezésének valószínűsége). 6 Vidéki oktatásfejlesztési program

35 III. fejezet Arányos mennyiségek Arányos mennyiségek Tartalomjegyzék 3.1. A fejezet célkitűzései Egyenes és fordított arányosság Egyenes arányosság Fordított arányosságok Arányos mennyiségek Egyenesen arányos mennyiségek Fordítottan arányos mennyiségek Az egyszerű hármasszabály Az összetett hármasszabály Megoldások III. felmérő Irodalomjegyzék A fejezet célkitűzései A fejezet tanulmányozása után a diák képes lesz: az arányosság fogalmának megértésére és fogalomkörének kiterjesztésére; egy szám más számokkal arányos részekre való felbontására; arányos mennyiségekkel kapcsolatos feladatok megoldására. Vidéki oktatásfejlesztési program 7

36 Arányos mennyiségek 3.. Egyenes és fordított arányosság Egyenes arányosság Értelmezés Két véges számhalmaz között egyenes arányosság áll fenn, ha képezhető egy 0 tól különböző, egyenlő arányok sorozata úgy, hogy az összes számláló az első, az összes nevező pedig a második halmazból származzon. Ha A { a1, a,..., a n } B { b b,..., }, 1, b n a1 a an..., b1 b bn akkor az A és B halmazok között egyenes arányosság áll fenn. Következmény Egy 0 tól különböző számokból álló véges számhalmaz elemeinek egy 0 tól különböző számmal való szorzása által egy olyan halmazt kapunk, mely az eredeti halmazzal egyenesen arányos. { a1, a a n } { ka ka } A,...,, K 1,,..., ka n. Egy szám felbontása több adott számmal egyenesen arányos részre Az n szám felbontása adott a, b, c számokkal egyenesen arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek: x y z n x + y + z és. a b c Példa A 000 szám, 3 és 5 számokkal egyenesen arányos részekre való felbontása azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek: x y z x + y + z 000 x + y + z 000 és x Innen 00, tehát x Hasonlóan, y 600, z Vidéki oktatásfejlesztési program

37 3... Fordított arányosságok Arányos mennyiségek Értelmezés Következmény Két 0 tól különböző számból álló véges számhalmaz között fordított arányosság áll fenn, ha képezhető egy egyenlő arányok sorozata úgy, hogy minden szorzat esetében az első szorzótényező az első halmazból, míg a második szorzótényező a második halmazból származzon. Ha A { a1, a, Κ, a n }, B { b1, b, Κ, b n }, a 1 b 1 a b... a n b n, akkor az A és B halmazok között fordított arányosság áll fenn. Egy 0 tól különböző számnak egy 0 tól különböző számokból álló véges halmaz elemeivel való osztása által egy olyan halmazt kapunk, mely az eredeti halmazzal fordítottan arányos. A { a, a,, } 1 Κ a n, k k K / A... a1 a k. a n Tulajdonság Az a, b, c,... számok fordítottan arányosak az a, b, c,... számokkal, ha az első sorozatban szereplő számok egyenesen arányosak a második sorozatban szereplő számok fordítottjaival. Egy szám felbontása több adott számmal fordítottan arányos részre Példa Megoldott feladat Az n szám felbontása az a, b, c adott számokkal fordítottan arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő x y z feltételek: n x + y + z és a b c A 310 számot felbontani a, 3 és 5 számokkal fordítottan arányos részekre azt jelenti, hogy meghatározzuk az x, y, z számokat úgy, hogy teljesüljenek a következő feltételek: x y z x + y + z 310 és x y z x + y + z Ekkor x Innen , tehát x Hasonlóan kapjuk, hogy y 100, z 60. Öt szám számtani közepe 336. Határozzuk meg a számokat, ha az első, a második és a harmadik egyenesen arányos a, 7 és 1 számokkal; míg a harmadik, negyedik és ötödik fordítottan arányos a 3, 4 és 10 számokkal. Vidéki oktatásfejlesztési program 9

38 Arányos mennyiségek Megoldás: A feladat szövege alapján a következő relációk írhatók fel: 1. x + y + z + u + v x y z z u v Az 1) összefüggésből következik, hogy: x + y + z + u + v A ) és 3) összefüggésekben észrevesszük, hogy létezik egy olyan arány, amelynek ugyanaz a számlálója (az utolsó, illetve az első). Megkeressük, hogyan köthető össze a két sorozat. Ha az utolsó sorozatban a nevezőket 36 tal szorozzuk, akkor az első arány nevezője lesz, mely egyenlő a ) összefüggés utolsó arányának nevezőjével. Tehát: 4. z u v z u v 1 9 3,6, vagyis A ) és 4) összefüggésekből következik: x y z u v ,6 Tehát: x y z 7 1 u 9 v 3,6 x + y + z + u + v , ,6 50 Így: x 50, tehát x y 7 50, tehát y z 1 50, tehát z u 9 50, tehát u v 50, tehát v 3, ,6 30 Vidéki oktatásfejlesztési program

39 Arányos mennyiségek 1. önértékelő teszt 1) Három kántáló életkorukkal fordítottan arányosan akarja elosztani a kapott 10 diót. Hány diót kap mindegyik külön külön, ha 10, 1 és 15 évesek? ) Az a, b, c 0 tól különböző számok egyenesen arányosak a, 3 és 5 számokkal; 1 1 a c és d számok pedig fordítottan arányosak az és számokkal. Ha 5 7 bc + cd 5a, állapítsátok meg, hogy a számok prímszámok e! Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztési program 31

40 Arányos mennyiségek 3.3. Arányos mennyiségek Egyenesen arányos mennyiségek Értelmezés Tulajdonság Ha két mennyiség úgy függ egymástól, hogy az egyik valahányszoros növekedése maga után vonja a másik ugyanannyiszoros növekedését, akkor a két mennyiséget egyenesen arányos mennyiségeknek nevezzük. Ha két mennyiség egyenesen arányos, akkor az egyik mennyiség két értékének aránya egyenlő a másik mennyiség megfelelő értékei arányával. Ha m 1, m az egyik egyenesen arányos mennyiség két értéke, és n 1, n a második mennyiség megfelelő értékei, akkor: m 1 n 1. m n Példák Az állandó sebességű egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén a megtett út és az idő egyenesen arányos mennyiségek. Ha az idő állandó, akkor a sebesség és a megtett út egyenesen arányosak. Az eladási vásárlási feladatokban a mennyiség és a teljes ár egyenesen arányosak, ha az egységár állandó. Ha a mennyiség állandó, akkor az egységár és a teljes ár egyenesen arányosak. Tulajdonképpen bármely szorzással oldható feladat esetében a szorzat és az egyik szorzótényező által kifejezett mennyiségek egyenesen arányosak, ha a másik szorzótényező állandó marad. Ellenpéldák A négyzet oldalhossza és területe egymástól függő mennyiségek, de nem egyenesen arányosak (miért?); hasonlóképpen egy gyermek magassága és életkora (miért?) Fordítottan arányos mennyiségek Értelmezés Ha két mennyiség úgy függ egymástól, hogy az egyik valahányszoros növekedése maga után vonja a másik ugyanannyiszoros csökkenését, akkor a két mennyiséget fordítottan arányos mennyiségeknek nevezzük. Tulajdonság Ha két mennyiség fordítottan arányos, akkor az egyik mennyiség két értékének aránya egyenlő a másik mennyiség megfelelő értékei arányának fordítottjával. Ha m 1, m az egyik mennyiség két értéke, amely fordítottan arányos egy másik mennyiséggel, és n 1, n a második mennyiség megfelelő értékei, akkor: m 1 n m n 1 3 Vidéki oktatásfejlesztési program

41 Arányos mennyiségek Ezt az összefüggést úgy is írhatjuk, hogy m 1 n 1 m n (a megfelelő értékek szorzata állandó). Példák Ellenpélda Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén az idő és a sebesség fordítottan arányos mennyiségek, ha a megtett út állandó. Az eladási vásárlási feladatokban az egységár és a megvásárolható mennyiség fordítottan arányosak, ha a teljes ár állandó. Tulajdonképpen bármely szorzással megoldható feladat esetében a két szorzótényező által kifejezett mennyiség fordítottan arányos, ha a szorzat állandó marad. Egy autó tartályában megmaradó üzemanyag mennyiség és a megtett út hossza nem fordítottan arányosak (mivel magyarázható?) Az egyszerű hármasszabály Az ilyen típusú feladatokban két arányos mennyiség szerepel. Ismerve az egyik mennyiség két értékét, valamint a másik mennyiség egy értékét, meg kell határozni a második mennyiség másik értékét. 1. Példa 50 füzet előállításához 4 kg papírt használtak fel. Hány kg papírra van szükség 70 ugyanilyen füzet előállításához? Megoldás. A feladatot két módszerrel lehet megoldani: egységrehozatal módszerével és hármasszabállyal. Egységrehozatal módszere A feladatban szereplő két mennyiség: a füzetek száma és az elhasznált papírmennyiség egyenesen arányosak. A két mennyiség megadott értékeiből meghatározzuk, mennyi papírra van szükség egy füzet előállításához. Aztán kiszámítjuk a kérdéses füzetmennyiséghez szükséges papírmennyiséget. 50 füzet... 4 kg papír 1 füzet kg papír 4 70 füzet kg papír 50 A levezetés minden lépésénél figyelembe vettük az egyenesen arányos mennyiségek értelmezését. Vidéki oktatásfejlesztési program 33

42 Arányos mennyiségek Hármasszabály Az egyszerű hármasszabály alkalmazásánál először megállapítjuk, milyen az arányosság a két mennyiség között (ebben az esetben az arányosság egyenes), majd alkalmazzuk az illető arányosság megfelelő tulajdonságát (ebben az esetben a két mennyiség megfelelő értékeinek aránya egyenlő) e.a. 50 füzet... 4 kg 70 füzet... x kg x , ahonnan x 5, (Az e.a. rövidítés egyenes arányosságot jelöl, míg a nyilak az arányok felírásának módját mutatják.). Példa 4 vízcsap egy tartályt 6 óra alatt tölt meg. Mennyi idő alatt töltené meg ugyanazt a tartályt 3 ugyanolyan hozamú vízcsap? Megoldás: Egységrehozatal módszere: A két mennyiség fordítottan arányos. 4 vízcsap...6 óra 1 vízcsap óra 1 3 vízcsap óra 3 Hármasszabály f.a. 4 vízcsap...6 óra 3 vízcsap...x óra x , ahonnan x Vidéki oktatásfejlesztési program

43 Arányos mennyiségek. önértékelő teszt 1. 5 töltőtoll 30 lejbe kerül. Mennyibe kerül 7 ugyanolyan töltőtoll?. 3 traktor egy mezőgazdasági területet 100 óra alatt szánt fel. Mennyi idő alatt tudná felszántani ugyanazt a területet 15 ugyanolyan traktor? Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni. Vidéki oktatásfejlesztési program 35

44 Arányos mennyiségek 3.5. Az összetett hármasszabály Az ilyen típusú feladatokban három mennyiség jelenik meg, melyekből az egyik egyenesen vagy fordítottan arányos a másik kettővel. Ismerve az első mennyiség egy értékét és a másik két mennyiség értékpárjait, meg kell határozni az első mennyiség megfelelő értékét. Ezek a feladatok megoldhatók egységrehozatal módszerével, összetett hármasszabállyal vagy egy segédmennyiség bevezetésével. Egy étkezdében 15 napra, 5 személy számára 175 kg kenyér Példa szükséges. Hány kg kenyér szükséges 3 személynek 6 napra (ha minden személy ugyanakkora kenyérmennyiséget fogyaszt el naponta)? Megoldás: A feladatban szereplő mennyiségek: a személyek száma, az idő és az elfogyasztott kenyér mennyisége. Az egységrehozatal módszerével való megoldás az Egységrehozatal egyszerű hármasszabály egymásutáni felhasználásából áll, módszere sorra állandónak tekintve az egyik mennyiség értékét. Megjegyezzük, hogy általában azt a mennyiséget tartjuk meg utolsó helyen, amely ismeretlen értékkel rendelkezik. A levezetés első lépéseként egységre hozzuk a személyek számát, változatlanul hagyva az idő értékét, és az egyszerű hármasszabályt alkalmazzuk a másik két mennyiségre. Ha 5 személy (14 nap alatt) 175 kg kenyeret fogyaszt, akkor 1 személy (ugyanannyi idő alatt) 5 ször kisebb mennyiségű kenyeret fogyasztana (egyenesen arányos mennyiségek). 5 személy...14 nap kg kenyér személy...14 nap... kg kenyér 5 Egyetlen nap alatt ez a személy 14 szer kisebb mennyiségű kenyeret fogyaszt (egyenesen arányos mennyiségek). Megfigyelhető, hogy most változatlanul hagyjuk a személyek számát, és alkalmazzuk az egyszerű hármasszabályt az idő és az elfogyasztott kenyér mennyiségére személy...1 nap... :14 kg kenyér Az első két mennyiséget egységre hoztuk. A következő lépésekben, figyelembe véve a feladat kérdését, meghatározzuk a 3 személy által 1 nap alatt, majd 6 nap alatt elfogyasztott kenyér mennyiségét személy...1 nap... 3 kg kenyér személy...6 nap kg kenyér Hasonlóan az egyszerű hármasszabályhoz, az összetett hármasszabály is az ismeretlen értéket tartalmazó mennyiségnek másik két mennyiséggel való arányosságának meghatározásában áll. 36 Vidéki oktatásfejlesztési program

45 Arányos mennyiségek Az összetett hármasszabály A személyek száma és az elfogyasztott kenyér mennyisége egyenesen arányosak, akárcsak a napok száma és az elfogyasztott kenyér mennyisége. e.a. e.a. 5 személy...14 nap kg kenyér 3 személy...6 nap...x kg kenyér Mivel az arányosság egyenes, az arányokat ugyanabban az irányban írjuk fel (a nyilak által jelölt irány). Aránypárt képezünk, amelyben az első arány az ismeretlent tartalmazó mennyiség értékeiből áll, míg az egyenlőség jobb oldalán az első két mennyiség értékeinek arányaiból alkotott szorzat található. x 3 6 Tehát: 175, ahonnan x 96 (kg kenyér) Paradoxonnak tűnhet: nincs elég mennyiség (3) a Segédmennyiség feladatban, vezessünk be még egyet? bevezetése Ennek a módszernek van egy jó és egy rossz oldala. Kezdjük a rosszal (amit fentebb megfogalmaztunk): bonyolultnak tűnik (és időnként az is), hogy bevezessünk egy új mennyiséget anélkül, hogy valaki meghatározná, melyik legyen az, és hogyan használjuk a feladat megoldásában. A jó oldala: a segédmennyiség megfelelő megválasztása gyors és elegáns megoldáshoz vezethet. Rajtunk áll, hogy használjuk vagy sem ezt a módszert. Visszatérve a feladathoz, segédmennyiségnek tekintjük az egy személy által naponta elfogyasztott kenyér mennyiségét, és ezt rációnak nevezzük. Egy személy 14 nap alatt (175 : 5) kg kenyeret fogyaszt, vagyis egy nap alatt (175:5) : 14 kilogrammot. Tehát a ráció 5 14 (kg kenyér naponta). Ha a ráció 1 kg kenyér, akkor 3 személy naponta elfogyaszt kg kenyeret, 6 nap alatt pedig kg kenyeret. Megoldott feladat! 5 személy 175 kg kenyeret fogyaszt el 14 nap alatt. Hány nap alatt fogyaszt el 3 személy 96 kg kenyeret (ha minden személy naponta ugyanakkora kenyérmennyiséget fogyaszt)? Bármely hasonlóság az előző feladattal nem a véletlen műve, de a két feladat nem azonos. Próbáld önállóan megoldani az alább fenntartott helyen, majd ellenőrizd a megoldásunk segítségével. Vidéki oktatásfejlesztési program 37

46 Arányos mennyiségek Megoldás: a) egységrehozatal módszere 5 személy kg...14 nap 1 személy kg nap 1 személy...1 kg...(5 14) : 175 nap személy...1 kg... : 3 nap személy...96 kg nap b) hármasszabály 5 személy kg...14 nap 3 személy...96 kg...x nap c) segédmennyiség bevezetése Legyen a ráció (r) az egy személy által naponta elfogyasztott kenyérmennyiség, r személy naponta elfogyaszt 3 16 kg kenyeret. A 96 kg kenyér elfogyasztásához szükséges napok számát úgy határozzuk meg, hogy megvizsgáljuk, hányszor van meg a 16 kg a 98 kg ban, vagyis 96 :16 6 (nap). 38 Vidéki oktatásfejlesztési program

47 Arányos mennyiségek 3. önértékelő teszt Oldjátok meg legalább két módszerrel: Egy 1 traktoristából álló munkacsoport egy területet 5 nap alatt szánt fel, naponta 8 órát dolgozva. Hány nap alatt szántja fel ugyanazt a területet egy 15 traktoristából álló munkacsoport, ha napi 4 órát dolgoznak (ugyanabban a munkaritmusban)? Kérjük a választ az alább fenntartott helyre beírni Megoldások 1. önértékelő teszt x y z 1. Az és x + y + z 10 összefüggésekből következik, hogy x 48, y 40, z 3. a b c c d. Az és összefüggésekből következik, hogy a b c d. (1) a A bc + cd 5a összefüggést c vel osztva kapjuk: b + d. () c Ha az (1) aránysorból csak azt a két arányt vesszük figyelembe, amely b d b + d 5a 5a tartalmazza a b és d számokat, akkor. (3) c c Ezután azokat az arányokat vesszük figyelembe, amelyeknek számlálója a és c : a c a, ahonnan 5 c 5. (4) Vidéki oktatásfejlesztési program 39

48 Arányos mennyiségek b 5 Behelyettesítve a (4) t a (3)-as összefüggésbe, kapjuk: Tehát az (1) aránysorban szereplő arányok közös értéke 1. Tehát a, b 3, c 5, d 7, vagyis mind prímszám.. önértékelő teszt 1. 4 lej. 0 óra 3. önértékelő teszt A traktoristák száma és a munkanapok száma fordítottan arányosak, akárcsak a napi munkaórák és munkanapok száma. Segédmennyiségnek tekinthető az egy traktoristának szükséges munkaórák száma ahhoz, hogy egyedül befejezze a munkálatot (órák / munkálat / traktorista). Szintén egy egyszerű hármasszabállyal oldható feladathoz juthatsz, ha összekapcsolod a két információt: a napi munkaórák és munkanapok számát, segédmennyiségként bevezetve a ledolgozott összóraszámot. A kapott eredmény: 8 nap III. felmérő 1. Legyen x, y, z három 0 tól különböző természetes szám úgy, hogy x y z. 4 3 a) Határozzátok meg a feltételeket teljesítő legkisebb számokat! y 3x b) Számítsátok ki értékét! 3 x. Bontsátok fel a 34 számot a) a 4, 6 és 8 számokkal egyenesen arányos részekre! b) ugyanezekkel a számokkal fordítottan arányos részekre. 3. Oldjátok meg (legalább két módszerrel) : 50 m vászon elkészítéséhez 0 szövőnő 4 napot dolgozott. Hány nap alatt készít el 15 m vásznat 5 szövőnő (ha a szövőnők teljesítménye egyforma)? Megoldás után a már előre megbeszélt módon ( , írásbeli dolgozat, stb.) kell továbbítani a vezetőtanárnak. Pontozási javaslat: Hivatalból: 10 pont; 1. gyakorlat: 0 pont;. gyakorlat: 30 pont; 3. gyakorlat: 40 pont. 40 Vidéki oktatásfejlesztési program

49 3.8. Irodalomjegyzék Arányos mennyiségek 1) Aron I., Herescu Gh., Aritmetică pentru învăţători, EDP, 1977; ) Roşu M., Matematică pentru formarea profesorilor din învăţământul primar, Editura Meteor Press, 005; 3) Rusu E., Aritmetică. Manual pentru liceele pedagogice, EDP, 1974; 4) Manuale şcolare de matematică pentru clasa a VI a. Távlatok, alkalmazások Az arányos mennyiségekhez kapcsolódó feladatok, melyek a klasszikus iskolai matematika oktatáshoz tartoznak, hozzájárulnak a jövő elemi osztályaiban tanító tanárok feladatmegoldó képességeinek kialakításához, tudatosítva és megalapozva a régi és új algoritmusokat. Ez egy olyan terület, mely átfogóan értékesíti az előző fejezetben (Arányok és aránypárok) szerzett ismereteket, jártasságokat és készségeket. Vidéki oktatásfejlesztési program 41

50 Százalékszámítás IV. fejezet Százalékszámítás Tartalomjegyzék 4.1. A fejezet célkitűzései Százalék Tipikus százalékszámítási feladatok Százalékérték meghatározása Százalékalap meghatározása Százalékláb meghatározása Más százalékszámítási feladatok p%-al való csökkentés/növelés Egymást követő növekedés/csökkenés Különböző százaléklábak azonos százalékalap esetén A gyakorlatban alkalmazott más arányok Ezrelékszámítás Oldatok koncentrációja Ötvözet finomsága Megoldások IV. felmérő Irodalomjegyzék A fejezet célkitűzései A fejezet célkitűzései: százalékszámítási feladatok gyakorlása; a százalékok alkalmazása feladatok megoldásakor; más arányok ismerete és alkalmazása százalékszámítás esetén. 4.. Százalék Értelmezés Azt az arányt, melynek nevezője 100, százaléknak nevezzük: p p%, ahol 100 p Q. A p % (p százalék) kifejezést két ugyanolyan mértékegységgel mérhető, egyenesen arányos mennyiség esetén alkalmazzuk. Egy mennyiségnek az egészhez viszonyított arányát a 100 hoz viszonyított aránnyal adjuk meg. Alkalmazása a gyakorlatban egyre inkább elterjedt (például kamatok, különböző adók százalékban vannak megadva). Egy részhalmaz halmazhoz viszonyított százalékos arányát táblázatok, diagramok és százalékos grafikonok segítségével ábrázolhatjuk. 4 Vidéki oktatásfejlesztési program

51 Százalékszámítás Például: Az év végén egy egyetem első éves hallgatóinak 50%-a vizsgázott le sikeresen, 5%-ának van egy, 1,5%-ának két, 1,5%-ának pedig több mint két elmaradt vizsgája. Lényegesen egyszerűbb a fenti adatokat grafikonok vagy diagramok segítségével szemléltetni: m % 60% 50% 40% 30% 0% 10% 0% m elmaradt vizsgák száma m! Hogyan döntjük el, hogy hány hallgató kap ösztöndíjat, ha a hallgatók p% -a ösztöndíjas, illetve hány hallgató van, ha a hallgatók p% -a vizsgázott sikeresen? A választ az alábbiakban kapjuk meg! 4.3. Tipikus százalékszámítási feladatok A feladat megfogalmazása Azt a mennyiséget, amelynek százalékát számítjuk százalékalapnak, 100 %-nak, az alapérték százalékát százalékértéknek nevezzük. A százalékláb pedig megmutatja, hogy egy mennyiség hány százalékát kell kiszámítani. százalékérték százalékalap százalékláb 100 Ha a érték p% -a b érték, vagyis a a százalékalap, b a százalékérték, p a százalékláb, akkor a feladatunk kettő ismeretében a harmadik meghatározása. p I. megoldás Tudjuk, hogy a érték p% -a b, tehát a b, ahol az a, b, p 100 értékek közül kettő ismert, és meg kell határoznunk az ismeretlen harmadik értéket. Vidéki oktatásfejlesztési program 43