Beleillik-e a nemzetközi matematikai kutatások fő sodrába e terület, vagy inkább egy kevéssé vizsgált, de izgalmas témáról beszélhetünk?

Átírás

1 Három évvel ezelőtt jött vissza az Egyesült Államokból, ahol korábban hét évet töltött. Mit tart a legfontosabbnak a tengerentúli tapasztalatai közül, amelyeket azóta itthon is hasznosítani tudott, vagy a jövőben szeretne? (Szemlélet, tudományszervezési módszerek, stb.) A University of Chicago matematika tanszékén voltam állásban, ami matematikából a tíz legjobb hely között van Amerikában. Az ilyen helyeken állandó pörgés van, ami azt jelenti, hogy minden héten sok izgalmas előadást tartanak az oda látogatók, és a helyi erők sem alszanak. Ebben a sűrű közegben rengeteg mindent fel tud szívni magába egy fiatal, és ha látod, hogy egy Fields érmes (ez a 40 év alatti matematikusok legnagyobb presztízsű nemzetközi díja) mennyit és milyen lelkesedéssel dolgozik két szobával arrébb, az jót tesz a te munkamorálodnak is. Amerikában nagyon nyitottak az újra, ha megérzik, hogy valami izgalmas alakul, akkor minden támogatást megadnak. Általában is, a források hatékony kihasználása és a növekedés elősegítése sokkal inkább a vérükben van. A magyar matematikai kutatásfejlesztésnek jelenleg két gyenge pontja van: a PhD képzés és a tanárképzés. A PhD képzés Amerikában egyértelműen jobb, sokszor láttam, hogy magyaroknál nagyságrenddel gyengébb diákok bekerülnek a rendszerbe egy jó témavezető alá, és nagyon jó matematikusként jönnek ki, míg Magyarországon gyakoribb, hogy igazi tehetségek kallódnak el vagy nem tudják kifutni magukat. Persze, ez nem csoda, ott kiépített hagyománya van a PhD képzésnek, itthon ez még nagyon új dolog, és minden hagyomány lassan alakul ki. Ami a tanárképzést, vagy általában a szélesebb értelemben vett merítést illeti, az a világon mindenhol probléma. Nem érjük el azokat, akiket akarnánk, és gyakran megfélemlítés lesz a (kötelező jellegű) matematikai élményből. Persze ha a tanár maga meg van félemlítve a matematikától, és nem mer szabadon gondolkodni, akkor nyilván ezt fogja továbbadni. Pedig valójában a matematika a gondolkodás izgalmáról - vagyis a nehézségéről és annak legyőzéséről - szólna. A matematikai érzékenység nem a matematikusok magánügye, hanem ugyanúgy mindenkié és ugyanúgy alapvető a nyugati gondolkodás formálásában, mint a zenei vagy költői érzékenység. (Ezt a gondolatot Surányi Lászlótól tanultam, aki a Fazekasban a matematika tanárom volt). Erről és ebbe az irányba tartok idén ősszel kurzust az ELTE Bölcsészkarán `Matematika és Félelem címmel. A felnőtt matematikai kutatás azonban nagyon magas színvonalú Magyarországon, úgyhogy ilyen értelemben nem sok hazahoznivaló volt. Külön említeném Pyber Lászlót (MTA Rényi Intézet), akitől a matematikai kutatást mint mesterséget tanultam, és aki világszínvonalú kutatást folytat csoportelméletből, de persze rengeteg más nevet is fel tudnék sorolni itt. Pályázati anyaga szerint népes kutatócsoport folytathatja a már megkezdett munkát az MTA Rényi Alfréd matematikai kutatóintézetében a Lendület keretében. Kérem, hogy sorolja fel név

2 szerint, tudományos fokozatukat is feltüntetve a kutatókat, és fejtse ki egy-két mondatban, hogy a csapat szakmai összetétele miként teszi lehetővé az interdiszciplináris jellegű, a matematika távoli területeit összekötő kutatási program megvalósítását. Abert Miklós, tudományos főmunkatárs Elek Gábor, tudományos tanácsadó Szabó Endre, tudományos főmunkatárs Kun Gábor, tudományos munkatárs Timár Ádám, tudományos munkatárs Frenkel Péter, adjunktus (ELTE) Lippner Gábor, posztdok (Harvard) Harangi Viktor, posztdok (University of Toronto) Csíkvári Péter, fiatal kutató Csóka Endre, fiatal kutató Hubai Tamás, fiatal kutató A kutatócsoport szakterületei a következőket fedik le: csoportelmélet, funkcionálanalízis, algebrai geometria, topológia, gráfelmélet, valószínűségszámítás és valós függvénytan. Ez természetesen a matematikai területek nagyon széles spektruma, de a témához szükség van mindegyikre. Gyakran megtörténik, hogy az egyik területen természetes személet másik területre való lefordítása új, izgalmas kérdésekhez (néha válaszokhoz is) vezet. Mint minden interdiszciplináris jellegű kutatásban, az igazi kérdés az, hogy területek között kiépített kapcsolódások elég erősek e ahhoz, hogy valódi energia folyjon át rajtuk. Lendületes programja középpontjában a csoportok struktúrájának vizsgálata áll, amelyhez eszközként használja a gráfkonvergencia nemrég született elméletét, illetve az ergodelméletet. Kérem, hogy néhány mondatban, közérthetően vázolja: mit jelent a csoportok struktúrája és milyen tudományos előrelépést jelent ezek pontosabb megismerése? A csoportelmélet a matematika régi és központi jelentőségű területe. Egy tetszőleges absztrakt objektum szimmetriái csoportot alkotnak, például a kockának 48 ilyen, a struktúrát helybenhagyó transzformációja van. A csoportra produktív úgy tekinteni, mint arra a mozgásra vagy aszimetriára ami a szimmetriát mint nyomot maga után hagyja. A csoportok önmagukon is, és más tereken is természetesen hatnak (azaz mozgatják őket transzformációkkal), és ezeknek a hatásoknak a vizsgálata sokat elmond ezen terek szerkezetéről. Jó példa erre a következő. Nevezzünk két alakzatot egymásba átdarabolhatónak, ha véges sok darabra bontással és a részek egybevágóságokkal való elmozgatásával megkaphatjuk az egyiket a másikból. A Banach-Tarski paradoxon szerint egy tömör

3 gömböt meg lehet így kettőzni, azaz a tömör gömb atdarabolható két vele azonos tömör gömb diszjunkt uniójába! A síkban azonban ez a trükk nem működik, belátható, hogy két egymásba darabolható alakzatnak szükségképpen azonos a területe. Mindkét tétel valójában csoportelméleti eredmény: ezen a nyelven azt mondja ki, hogy a sík transzformációcsoportja amenábilis, a téré pedig nem. Megjegyezzük, hogy a síkban az egység területű körlap és négyzetlap egymásba átdarabolható (vigyázat, a darabok nem igazán lerajzolhatóak). Ez Laczkovich Miklós híres tétele. Összefoglalva, a csoport egy mozgásokból álló matematikai létező, és számomra ez a legizgalmasabb benne. A konkrét kutatási téma egyik fő kérdése, hogy hogyan lehet végtelen csoportokat véges stuktúrákkal (más csoportokkal vagy gráfokkal) közelíteni, illetve hogyan lehet csoportokra és gráfokra úgy ránézni, hogy csak a `lényeget lássuk, de az esetleges információval ne kelljen foglalkozni. A korlátos fokú gráfok konvergenciája jó módszert ajánl ehhez a `lényeglátáshoz, magának a `lényeg -nek pedig ergodelméleti jellegű struktúrája van. Beleillik-e a nemzetközi matematikai kutatások fő sodrába e terület, vagy inkább egy kevéssé vizsgált, de izgalmas témáról beszélhetünk? Az eredeti csoportelméleti kérdések, amik elindították ezt a kutatást, mint például a rang aszimptotikus viselkedésének megértése csoportokra és sokaságokra, egyértelműen beleillenek a matematikai kutatások fősodrába. Az ergodelméleti eszközök használatának is már van egy viszonylag új (mondjuk húszéves), de igen fejlett iskolája, amit mostanában mérhető csoportelméletnek hívnak. A korlátos fokú gráfkonvergencia azonban annyira új terület, hogy még az sincs teljesen tisztázva, hogy mik az alapkérdések. Ez nagyon izgalmas és kockázatos fázisa egy matematikai terület születésének. A teljes kutatási terület egyik problémája az, hogy az interdiszciplináris jelleg miatt a témán dolgozó kutatók gyakran nem beszélik egymás nyelvét és nem tudnak egymás, akár számukra releváns eredményeiről sem. Ezt oldandó, a téma különböző aspektusaiból nemzetközi konferenciákat szerveztem különböző munkatársakkal, Oberwolfach-ban (Németország), Banff-ban (Kanada) és Palo Alto-ban (Egyesült Államok), illetve nyári iskolákat szerveztünk Németországban és Franciaországban. Felfedező kutatásokat folytat, amely mint írja is nem közvetlenül szolgálja a közjót. Kérem, hogy néhány területet mégis említsen meg: hol használhatók majd fel esetleg eredményeik. Az alapkutatások esetében általában nem lehet közvetlenül megjelölni, hogy pontosan hogyan és miben szolgálják majd a közjót. Ez gyakran többszörös átteteken keresztül valósul csak meg. Tehát az alapkutatások támogatása hosszú távú befektetés.

4 Ugyanakkor a tapasztalatok alapján alapkutatás nélkül nincs igazi ipari és gazdasági fejlődés sem. A kutatás eredményei hasznosak lehetnek a nagy hálózatok megértésében (ilyen az Internet, egy kapcsolati háló, vagy akár az emberi agy), illetve bizonyos statisztikus fizikai modellek elemzésében. Az unimoduláris véletlen gráfok és a kvázikristályok kapcsolata például sok izgalmas kérdést vet fel. Mivel (infrastruktúra, anyagi támogatás, adminisztratív segítség, stb) járul hozzá a befogadó intézmény, vagyis az akadémiai intézet a pályázatában vázolt program eredményességéhez? Az MTA Rényi Intézet, ahova 2009-ben tértem haza egy Marie Curie IEF pályázat keretében, mindenben maximálisan támogatja a kutatócsoportot. Az Intézetnek rengeteg sikeres (EU-s illetve hazai) pályázata van, például ilyen méretű intezmények között egyedülálló, hogy 3 ERC Advanced Grant-et nyertek az Intézet kutatói, egyenként több mint 1 millió Eurós támogatással. Profi csapat gondoskodik az adminisztratív és infrastrukturális jellegű segítségről. Kiváló az Intézet kapcsolata a budapesti egyetemekkel, így lehetőség van doktorandusz hallgatók bevonására. Általában teljes nyitottságot és segítőkészséget tapasztaltam. Az Intezetbe kerülő központi akadémiai forrásból finanszírozott - fiatal kutatói állashelyek egyikét is a csoport bővítésére fordíthattam. Probléma, hogy a kutatói létszámok növekedése tovább fokozza a zsúfoltságot az Intézet épületében: a mi 20 négyzetméteres szobánkban például négyen vagyunk, plusz az aktuális vendégek / tanítványok / társszerzők (összehasonlításképp, Chicagoban már postdoc-ként is egyedül voltam egy ekkora irodában). Reménykedünk, hogy sikerulni fog a rendelkezésre álló terület növelése. Pályázatához csatolt ajánlásában Lovász László akadémikus kiemeli, hogy Elek Gáborral közösen milyen aktív kutatócsoportot hozott létre az elmúlt két évben. Hogy látja: mivel lehet leginkább motiválni a fiatalokat és mit szeretne elérni a kiválósági program végére, mint iskolateremtő kutató. Hazatérésem után Elek Gáborral elhatároztuk, hogy kutatószemináriumot szervezünk, ahova lehívjuk az érdeklődő fiatalokat, és kicsit megpörgetjük őket (meg magunkat is). Szerencsére jöttek is fiatal, energikus emberek, mint például Szemerédi Endre, aki egy évig járt. Elek Gábor speciális helyzete, hogy személyében egyesíti a Magyarországon nagyon erős Erdős Pál nevével fémjelezhető matematikai hagyományt a Magyarországon talán kevésbé, de a világban nagyon is létező Neumann János féle hagyománnyal. A kutatószeminárium nagyon sikeres lett, energikus és tehetséges hallgatóságot kaptunk. Ebből szerveződött később a kutatócsoport is. A fiatalokat megítélésem szerint az motiválja a legjobban, ha teret látnak maguk előtt,

5 amibe bele tudnak nőni. Tehát távlatokat kell mutatni nekik, a többit szerencsés esetben már megoldják. Persze egyfajta biztonságra is szükség van, egzisztenciálisra is, meg bizalomra, hogy nem fognak félévente megváltozni a játékszabályok. A program végére ideálisan azt szeretném elérni, hogy kinevelődjön pár kutató, aki kinő engem és elkezdenek vad dolgokat csinálni, amikből alig értek valamit.