Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11. Algebra2, alapszint. ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék. Előadó: Kiss Emil 11.
|
|
|
- Ágnes Bognárné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Algebra2, alapszint 11. előadás 1 / 11 Algebra2, alapszint ELTE Algebra és Számelmélet Tanszék Előadó: Kiss Emil ewkiss@cs.elte.hu 11. előadás
2 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 2 / 11 Háromszög-szimmetria Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3 Hematit Ametiszt Kvarc vasoxid: Fe 2 O 3 szilicium-dioxid: SiO 2
3 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 3 / 11 Hatszög-szimmetria Vörös berill Smaragd Akvamarin
4 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 3 / 11 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Vörös berill Smaragd Akvamarin
5 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 3 / 11 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Vörös berill Smaragd Akvamarin
6 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 3 / 11 Hatszög-szimmetria Berill (berillium aluminium-szilikát): Be 3 Al 2 (SiO 3 ) 6 Egy szimmetriatengely körüli 60 -os elforgatás. Vörös berill Smaragd Akvamarin
7 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 4 / 11 Kocka oktaéder-szimmetria Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2
8 Kristályok szimmetriái Algebra2, alapszint 11. előadás 4 / 11 Kocka oktaéder-szimmetria Összesen 48 szimmetria. Galenit Gyémánt Fluorit ólom-szulfid: PbS szén: C kalcium-fluorid: CaF 2
9 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája,
10 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága
11 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya
12 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során.
13 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg,
14 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus.
15 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus,
16 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban.
17 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban. Kiss-jegyzet, C.5.4. Tétel Emmy Noether eredménye szerint összefüggés van a téridő szimmetriái
18 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban. Kiss-jegyzet, C.5.4. Tétel Emmy Noether eredménye szerint összefüggés van a téridő szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei
19 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban. Kiss-jegyzet, C.5.4. Tétel Emmy Noether eredménye szerint összefüggés van a téridő szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei (lendület,
20 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban. Kiss-jegyzet, C.5.4. Tétel Emmy Noether eredménye szerint összefüggés van a téridő szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei (lendület, energia,
21 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 5 / 11 A bolygómozgás szimmetriája Kiss-jegyzet, C.5.2. Példa A bolygók keringése során a bolygó energiája, perdületének nagysága és iránya nem változik a mozgás során. A nap középpontja, a Föld középpontja és sebességvektora egy síkot határoz meg, melyre a kiindulóállapot szimmetrikus. Így az egész mozgás is tükörszimmetrikus, azaz a Föld mindvégig benne marad ebben a síkban. Kiss-jegyzet, C.5.4. Tétel Emmy Noether eredménye szerint összefüggés van a téridő szimmetriái és a fizika megmaradó mennyiségei (lendület, energia, perdület) között.
22 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe,
23 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési
24 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai.
25 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4,
26 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder).
27 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder). Zeeman-hatás:
28 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder). Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakat két vagy három komponensre bontja szét.
29 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder). Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakat két vagy három komponensre bontja szét. Oka: mágneses térben megszűnnek egyes szimmetriák.
30 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 6 / 11 Színképvonalak felhasadása A Nap színképe, a hidrogén elnyelési és emissziós vonalai. Metánmolekula: CH 4, 24 szimmetria (szabályos tetraéder). Zeeman-hatás: a mágneses tér a színképvonalakat két vagy három komponensre bontja szét. Oka: mágneses térben megszűnnek egyes szimmetriák. Matematikai apparátus: a szimmetriák csoportján alapul.
31 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 7 / 11 Lorentz-transzformációk
32 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 7 / 11 Lorentz-transzformációk A fenti kép az infravörös tartományban készült.
33 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 7 / 11 Lorentz-transzformációk A speciális relativitáselméletben a téridő szimmetriáit a Lorentz-transzformációk adják meg. A fenti kép az infravörös tartományban készült.
34 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 7 / 11 Lorentz-transzformációk A speciális relativitáselméletben a téridő szimmetriáit a Lorentz-transzformációk adják meg. Lásd Kiss-jegyzet, 4.1. és C.6. szakasz. A fenti kép az infravörös tartományban készült.
35 Szimmetriák a fizikában Algebra2, alapszint 11. előadás 7 / 11 Lorentz-transzformációk A speciális relativitáselméletben a téridő szimmetriáit a Lorentz-transzformációk adják meg. Lásd Kiss-jegyzet, 4.1. és C.6. szakasz. A C.7. szakaszban az Androméda-ködbe is elutazunk. A fenti kép az infravörös tartományban készült.
36 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot.
37 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható
38 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.)
39 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel,
40 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül,
41 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor,
42 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk,
43 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik,
44 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk.
45 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk. Sokkal általánosabban is igaz.
46 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk. Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitív valószínűség jó,
47 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk. Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitív valószínűség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek
48 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk. Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitív valószínűség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek (csak ki lehessen keverni belőlük minden sorrendet).
49 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 8 / 11 Kártyakeverés Emelés : a csomag tetejéről az aljára teszünk egy lapot. HF: Az emelés és a felső két lap cseréjének sokszori alkalmazásával minden sorrend megkapható (ha elég ügyesek vagyunk.) Tétel Ha mindkét mozdulatot 1/2 valószínűséggel, függetlenül, nagyon sokszor, véletlenszerűen alkalmazzuk, akkor egy idő után a csomag jól megkeveredik, azaz a lapok minden sorrendjét közel egyforma valószínűséggel megkapjuk. Sokkal általánosabban is igaz. Az 1/2 helyett minden pozitív valószínűség jó, és a mozdulatok másmilyenek is lehetnek (csak ki lehessen keverni belőlük minden sorrendet). Bizonyítás: ugyanaz az apparátus, mint a metánmolekulánál.
50 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák:
51 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria,
52 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria,
53 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria,
54 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria.
55 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872).
56 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872). Általános vezérlő elv: milyen szimmetriák érvényesek.
57 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872). Általános vezérlő elv: milyen szimmetriák érvényesek. A helyes fogalmak ezek nyelvén definiálhatók.
58 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872). Általános vezérlő elv: milyen szimmetriák érvényesek. A helyes fogalmak ezek nyelvén definiálhatók. Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk.
59 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872). Általános vezérlő elv: milyen szimmetriák érvényesek. A helyes fogalmak ezek nyelvén definiálhatók. Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk. Ilyen például a vetítés
60 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 9 / 11 Csoportok a geometriában Sokféle geometriát hasznos vizsgálni. Példák: euklideszi geometria, Bolyai-geometria, gömbi geometria, projektív geometria. Erlangeni program (Felix Klein, 1872). Általános vezérlő elv: milyen szimmetriák érvényesek. A helyes fogalmak ezek nyelvén definiálhatók. Projektív geometriában az egyenestartó transzformációk. Ilyen például a vetítés (fényképzés, panorámaképek illesztése).
61 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím).
62 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható.
63 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal.
64 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal. Dirichlet tétele Ha (a, b) = 1 és a 0, akkor van ak + b alakú prím.
65 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal. Dirichlet tétele Ha (a, b) = 1 és a 0, akkor van ak + b alakú prím. Bizonyítás (nagyon nehéz) Két alapvető matematikai apparátust használ:
66 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal. Dirichlet tétele Ha (a, b) = 1 és a 0, akkor van ak + b alakú prím. Bizonyítás (nagyon nehéz) Két alapvető matematikai apparátust használ: Komplex függvények analízise, becslések;
67 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal. Dirichlet tétele Ha (a, b) = 1 és a 0, akkor van ak + b alakú prím. Bizonyítás (nagyon nehéz) Két alapvető matematikai apparátust használ: Komplex függvények analízise, becslések; csoportkarakterek véges kommutatív csoportokra.
68 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 10 / 11 Számelméleti alkalmazások Binom kongruenciák Az x k a (p) kongruenciát akarjuk megoldani (p prím). Csoportok segítségével lineáris kongruenciává alakítható. Ezeket már meg tudjuk oldani euklideszi algoritmussal. Dirichlet tétele Ha (a, b) = 1 és a 0, akkor van ak + b alakú prím. Bizonyítás (nagyon nehéz) Két alapvető matematikai apparátust használ: Komplex függvények analízise, becslések; csoportkarakterek véges kommutatív csoportokra. Szalay Mihály: Számelmélet (középiskolai tagozatos tankönyv).
69 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós).
70 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma).
71 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni).
72 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete.
73 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete. Felületek osztályozása (homológiacsoportok).
74 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete. Felületek osztályozása (homológiacsoportok). Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok).
75 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete. Felületek osztályozása (homológiacsoportok). Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok). A csoportelmélet rendkívül mély!
76 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete. Felületek osztályozása (homológiacsoportok). Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok). A csoportelmélet rendkívül mély! A véges egyszerű csoportok osztályozásának bizonyítása több, mint tízezer oldal!
77 Matematikai alkalmazások Algebra2, alapszint 11. előadás 11 / 11 További alkalmazások Logikai játékok (Rubik-kocka, 4 4-es tologatós). Leszámlálási problémák (amikor például vannak azonosnak számító megoldások: Burnside-lemma). Egyenletek megoldhatósága (a legalább ötödfokú polinomok gyökeit általában nem lehet a négy alapművelettel és gyökvonásokkal meghatározni). Csomók (kibogozásának) elmélete. Felületek osztályozása (homológiacsoportok). Differenciálegyenletek megoldhatósága (Lie-csoportok). A csoportelmélet rendkívül mély! A véges egyszerű csoportok osztályozásának bizonyítása több, mint tízezer oldal! Rengeteg alkalmazása van például a kombinatorikában, az algoritmuselméletben.
Matematikatanárok Klubja
Tanárklub 2015. okt. 7. 1 / 17 Matematikatanárok Klubja Szimmetriák és leszámlálások Kiss Emil http://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/ ewwkiss@gmail.com 2015. okt. 7. Tanárklub 2015. okt. 7. 2 / 17 Egy
1. Szimmetriák. Háromszög-szimmetria. Rubin Zafir Kalcit aluminium-oxid: Al 2 O 3 kalcium-karbonát: CaCO 3
Egy kis reklám A Matematikatanárok Klubjának honlapja: https://www.cs.elte.hu/ miertmat/progs.html Recski András: Síkbarajzolható gráfok, rúdszerkezetek, transzformátorok. https://www.youtube.com/watch?v=iy4dzcwyf5s
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak
Záróvizsga tételek matematikából osztatlan tanárszak A: szakmai ismeretek; B: szakmódszertani ismeretek Középiskolai specializáció 1. Lineáris algebra A: Lineáris egyenletrendszerek, mátrixok. A valós
Osztályozóvizsga követelményei
Osztályozóvizsga követelményei Képzés típusa: Tantárgy: Nyolcosztályos gimnázium Matematika Évfolyam: 5 Emelt óraszámú csoport Emelt szintű csoport Vizsga típusa: Írásbeli Követelmények, témakörök: Gondolkodási
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005
2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus
Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik
1. Bevezetés A félév anyaga. Komplex számok Műveletek Kapcsolat a geometriával Gyökvonás Polinomok A gyökök száma A gyökök és együtthatók összefüggése Szorzatra bontás, számelméleti kérdések A harmad-
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Waldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2012
2012 2. Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), oszthatósággal kapcsolatos problémák, számrendszerek. 4. Hatványozás, hatványfogalom kiterjesztése, azonosságok. Gyökvonás és azonosságai,
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:
Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév: 7. Függvények: - függvények fogalma, megadása, ábrázolás koordináta- rendszerben - az elsőfokú függvény, lineáris függvény - a másodfokú függvény
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek, a halmazelmélet elemei, a logika elemei. 1. Számfogalom, műveletek (4 óra)
MATEMATIKA NYEK-humán tanterv Matematika előkészítő év Óraszám: 36 óra Tanítási ciklus 1 óra / 1 hét Részletes felsorolás A tananyag felosztása: I. Gondolkodási módszerek: (6 óra) 1. Gondolkodási módszerek,
1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak
1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam
Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam 1. félév Gondolkozás, számolás - halmazok, műveletek halmazokkal, intervallumok - racionális számok, műveletek racionális számokkal, zárójel
TANMENET. Matematika
Bethlen Gábor Református Gimnázium és Szathmáry Kollégium 6800 Hódmezővásárhely, Szőnyi utca 2. Telefon: +36-62-241-703 www.bgrg.hu OM: 029736 TANMENET Matematika 2016/2017 9. B tagozat Összeállította:
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Egyszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelez tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítend ) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris
Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra
Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) Tankönyv: Ábrahám Gábor Dr. Kosztolányiné Nagy Erzsébet Tóth Julianna: Matematika 10. Példatárak: Fuksz Éva Riener Ferenc: É rettségi feladatgyűjtemény matematikából
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria III.
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v. DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak
MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember
MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek
16. tétel Egybevágósági transzformációk. Konvex sokszögek tulajdonságai, szimmetrikus sokszögek EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK Geometriai transzformáció Def:Olyan speciális függvény, melynek értelmezési
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra
Tanmenet Matematika 8. osztály HETI ÓRASZÁM: 3,5 óra ( 4-3) ÉVES ÓRASZÁM: 126 óra A Kiadó javaslata alapján összeállította: Látta:...... Harmath Lajos munkaközösség vezető tanár Jóváhagyta:... igazgató
ÖSSZEVONT ÓRÁK A MÁSIK CSOPORTTAL. tartósság, megerősítés, visszacsatolás, differenciálás, rendszerezés. SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK (25 óra)
Tantárgy: MATEMATIKA Készítette: KRISTÓF GÁBOR, KÁDÁR JUTKA Osztály: 12. évfolyam, fakultációs csoport Vetési Albert Gimnázium, Veszprém Heti óraszám: 6 Éves óraszám: 180 Tankönyv: MATEMATIKA 11 és MATEMATIKA
DEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS TECHNOLÓGIAI KAR MATEMATIKAI INTÉZET
DEBRECENI EGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI ÉS TECHNOLÓGIAI KAR MATEMATIKAI INTÉZET A matematika tanár szakos levelező képzés konzultációinak beosztása a 2017/2018-as tanév I. félévében Az alábbi órarendben elkülönítve
Polimorfia Egy bizonyos szilárd anyag a külső körülmények függvényében különböző belső szerkezettel rendelkezhet. A grafit kristályrácsa A gyémánt kri
Ásványtani alapismeretek 3. előadás Polimorfia Egy bizonyos szilárd anyag a külső körülmények függvényében különböző belső szerkezettel rendelkezhet. A grafit kristályrácsa A gyémánt kristályrácsa Polimorf
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY
OSZTÁLYOZÓVIZSGA TÉMAKÖRÖK 9. OSZTÁLY ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Gráfok Betűk használata a matematikában Hatványozás. A
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Kétszakos matematikatanár szak (régi képzés) Kötelezı tárgyak, szakdolgozat (mindegyik tárgy teljesítendı, a szakdolgozat írható a másik szakból) kód tárgynév kredit
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Matematikus szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Matematikus szak (régi képzés) Kötelezı tárgyak, diplomamunka (mindegyik tárgy teljesítendı) M1101 Lineáris és analitikus geometria 1. M1102 Lineáris és analitikus
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.
ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak. Időtartam: 60 perc 1. Halmazműveletek konkrét halmazokkal.
Gyõrffy Magdolna. Tanmenetjavaslat. A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA!
Gyõrffy Magdolna Tanmenetjavaslat A matematika csodái 4. osztályos tankönyvcsaládhoz A KERETTANTERV SZERINT ÁTDOLGOZVA! Dinasztia Tankönyvkiadó Kft., 2004 1 ÍRTA: GYÕRFFY MAGDOLNA TIPOGRÁFIA: KNAUSZ VALÉRIA
Matematika pótvizsga témakörök 9. V
Matematika pótvizsga témakörök 9. V 1. Halmazok, műveletek halmazokkal halmaz, halmaz eleme halmazok egyenlősége véges, végtelen halmaz halmazok jelölése, megadása természetes számok egész számok racionális
I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI
I. A DIGITÁLIS ÁRAMKÖRÖK ELMÉLETI ALAPJAI 1 A digitális áramkörökre is érvényesek a villamosságtanból ismert Ohm törvény és a Kirchhoff törvények, de az elemzés és a tervezés rendszerint nem ezekre épül.
nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:
Matematika Tanszék Matematika műveltségi terület, nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek A szigorlat követelményei: Vizsgatematika A hallgató legyen képes 15-20 perces
TMBE0301 Trigonometria és koord. geom. 2 E 2 1 Matematika BSc közös köt Vincze Csaba M426 Sz 12-14
Kód Tárgy kred it Ea/ Gyak Matematikai Intézet Óra szá m Évfo lyam Szakirány Oktató Terem Időpont TMBE0301 Trigonometria és koord. geom. 2 E 2 1 Matematika BSc közös köt Vincze Csaba M426 Sz 12-14 TMBG0301
- Matematikus szeptemberétől
- Matematikus Matematika alapszak - Tanári szakirányok mintatanterve 2006. szeptemberétől "A" típusú tantárgyak 7 8 9 10 Környezettani alapismeretek AIB1004 2 0 K 2 KT Dr. Kiss Ferenc X Általános gazdasági
- Matematikus. tanszék/ Tantárgyfelelős oktató neve szeptemberétől
- Matematikus Matematika alapszak - Tanári szakirányok mintatanterve "A" típusú tantárgyak 2006. szeptemberétől 7 8 9 10 tanszék/ oktató neve Környezettani alapismeretek AIB1004 2 0 K 2 KT Dr. Kiss Ferenc
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM
SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM A vizsga szerkezete: A vizsga írásbeli és szóbeli vizsgarészből áll. 1.) Írásbeli vizsga Időtartama: 45 perc Elérhető pontszám: 65 pont Feladattípusok:
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA
MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú
1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
Bevezetés az algebrába az egész számok 2
Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december
Tárgymutató. dinamika, 5 dinamikai rendszer, 4 végtelen sok állapotú, dinamikai törvény, 5 dinamikai törvények, 12 divergencia,
Tárgymutató állapottér, 3 10, 107 általánosított impulzusok, 143 147 általánosított koordináták, 143 147 áramlás, 194 197 Arisztotelész mozgástörvényei, 71 77 bázisvektorok, 30 centrifugális erő, 142 ciklikus
Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga Matematika tantárgyból 2018-2019 A vizsga 60 perces írásbeli vizsga (feladatlap) a megadott témakörökből. A megjelölt százalék (50%) nem teljesítése esetén szóbeli vizsga is,
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév
9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek
2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.
![2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.](/thumbs/91/107500193.jpg "2. Adott a valós számok halmazán értelmezett f ( x) 3. Oldja meg a [ π; π] zárt intervallumon a. A \ B = { } 2 pont. függvény.")
1. Az A halmaz elemei a ( 5)-nél nagyobb, de 2-nél kisebb egész számok. B a pozitív egész számok halmaza. Elemeinek felsorolásával adja meg az A \ B halmazt! A \ B = { } 2. Adott a valós számok halmazán
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály
Osztályozó és Javító vizsga témakörei matematikából 9. osztály 1. félév 1. Kombinatorika, halmazok Számoljuk össze! Összeszámlálási feladatok Matematikai logika Halmazok Halmazműveletek Halmazok elemszáma,
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Alkalmazott matematikus szak (régi képzés)
OKLEVÉLKÖVETELMÉNYEK MÓDOSÍTOTT VÁLTOZAT Alkalmazott matematikus szak (régi képzés) A három A modul és a két B modul közül egyet-egyet kell választani. Kötelezı tárgyak, diplomamunka, szakmai gyakorlat
Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013
UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS
20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP-090803 és AP-090804)
Matematika A definíciókat és tételeket (bizonyítás nélkül) ki kell mondani, a tananyagrészekhez tartozó alap- és közepes nehézségű feladatokat kell tudni megoldani A javítóvizsga 60 -es írásbeliből áll.
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam Kombinatorika, halmazok Összeszámlálási feladatok Halmazok, halmazműveletek, halmazok elemszáma Logikai szita Számegyenesek intervallumok Algebra és
TANMENET ... Az iskola fejbélyegzője. a matematika tantárgy. tanításához a 9. a, b osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 9. a, b osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra
9-10. évfolyam felnőttképzés Heti óraszám: 3 óra Fejlesztési cél/ kompetencia lehetőségei: Gondolkodási képességek: rendszerezés, kombinativitás, deduktív következtetés, valószínűségi Tudásszerző képességek:
NT Az érthető matematika 10. Tanmenetjavaslat
NT-17212 Az érthető matematika 10. Tanmenetjavaslat A segédanyag Az érthető matematika tankönyvsorozat átdolgozott kiadásának második könyvéhez (17212) készült. A tízedik osztályos tananyag egy lehetséges
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA 1. Számok, számhalmazok A 9. évfolyam során feldolgozásra kerülő témakörök: A nyelvi előkészítő és a két tanítási nyelvű osztályok tananyaga: A számfogalom
XI.5. LÉGY TE A TANÁR! A feladatsor jellemzői
XI.5. LÉGY TE A TANÁR! Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Algebrai, geometriai, kombinatorikai és valószínűségszámítási tipikus gondolkodási hibák, buktatók. Előzmények Mérlegelv, másodfokú egyenletek
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Elemek halmazba rendezése több szempont alapján. Halmazok ábrázolása. A nyelv logikai elemeinek helyes használata.
A Mössbauer-effektus vizsgálata
A Mössbauer-effektus vizsgálata Tóth ence fizikus,. évfolyam 006.0.0. csütörtök beadva: 005.04.0. . A mérés célja három minta: lágyvas, nátrium-nitroprusszid és rozsdamentes acél Mössbauereffektusának
különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam
Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység címe órakeret 1. Gondolkodási és megismerési módszerek 10 óra 2. Geometria 30 óra 3. Számtan, algebra 32 óra Az
Matematikus mesterszak. ELTE TTK jan. 22.
Matematikus mesterszak ELTE TTK 2019. jan. 22. Miért menjek matematikus mesterszakra? Lehetséges válaszok: 1. Mert érdekel a matematika. 2. Mert szeretnék doktori fokozatot szerezni. 3. Mert külföldre
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból
Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából
Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából Gondolkodási és megismerési módszerek Halmazba rendezés adott tulajdonság alapján, részhalmaz felírása, felismerése. Két véges halmaz közös részének,
különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson amatematikáról, mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
Geometria. a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk)
1. Térelemek Geometria a. Alapfogalmak: pont, egyenes, vonal, sík, tér (Az alapfogalamakat nem definiáljuk) b. Def: félegyenes, szakasz, félsík, féltér. c. Kölcsönös helyzetük: i. pont és (egyenes vagy
Matematika az építészetben
Matematika az építészetben Molnár-Sáska Katalin Főisk.docens YMÉK Bevezetés - Történeti áttekintés - A geometria helye a főiskolai képzésben - Újraindítás és körülményei Részletes tanmenet Megjegyzések:
Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat
NT-17102 Matematika 9. (Heuréka) Tanmenetjavaslat Ezzel a segédanyaggal szeretnék segítséget nyújtani a középiskolák azon matematikatanárainak, akik a matematikai oktatáshoz és neveléshez Dr. Fried Katalin
Lássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nemzeti alaptanterv 2012 MATEMATIKA
ALAPELVEK, CÉLOK Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
TANMENET. a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára
Az iskola fejbélyegzője TANMENET a matematika tantárgy tanításához a 12. E osztályok számára Készítette: Természettudományi Munkaközösség matematikát tanító tanárai Készült: a gimnáziumi tanterv alapján
Érettségi előkészítő emelt szint 11-12. évf. Matematika. 11. évfolyam. Tematikai egység/fejlesztési cél
Emelt szintű matematika érettségi előkészítő 11. évfolyam Tematikai egység/fejlesztési cél Órakeret 72 óra Kötelező Szabad Összesen 1. Gondolkodási módszerek Halmazok, matematikai logika, kombinatorika,
JOGSZABÁLY. LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. TARTALOM. 1. (1) A rendelet hatálya fenntartótól függetlenül
LI. ÉVFOLYAM, 15. SZÁM Ára: 693 Ft 2007. JÚNIUS 5. oldal JOGSZABÁLY 24/2007. (IV. 2.) OKM rendelet a közoktatás minõségbiztosításáról és minõségfejlesztésérõl szóló 3/2002. (II. 15.) OM rendelet módosításáról...
MATEMATIKA. 9 10. évfolyam. Célok és feladatok. Fejlesztési követelmények
MATEMATIKA 9 10. évfolyam 1066 MATEMATIKA 9 10. évfolyam Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét,
Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma
Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9.Ny osztály Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma Algebra és számelmélet Alapműveletek az egész és törtszámok körében Műveleti sorrend,
különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
2016, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 8. előadás Sapientia Egyetem, Műszaki és Humántudományok Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2016, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a Fibonacci számsorozat
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve
A Szekszárdi I. Béla Gimnázium Helyi Tanterve Matematika Készítette: a gimnázium reál szakmai munkaközössége 2015. Tartalom Emelt szintű matematika képzés... 3 Matematika alapóraszámú képzés... 47 Matematika
Rövid tantárgyi leírás. Előfeltétel. A tantárgy neve SZABV31 Szorobán. 2 3 m SZV I-VIII.
Rövid tantárgyi leírás SZABV31 Szorobán Cél: A hallgatók megismertetése a japán számolóeszköz történetével, használatával. A négy alapművelet tanítási módszereinek, lehetőségeinek elsajátíttatása. Felkészítés
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK
ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK AZ ALGEBRAI KIFEJEZÉS FOGALMÁNAK KIALAKÍTÁSA (7-9. OSZTÁLY) Racionális algebrai kifejezés (betűs kifejezés): betűket és számokat a négy alapművelet véges sokszori alkalmazásával
MATEMATIKA. Tildy Zoltán Általános Iskola és Alapfokú Művészeti Iskola Helyi tanterv 1-4. évfolyam 2013.
MATEMATIKA Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról, mint tudásrendszerről, és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika
SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA
1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal
Diszkrét démonok A Borsuk-probléma
A Borsuk-probléma Bessenyei Mihály DE TTK Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör (megnyitó el adás) Debrecen, 2017. október 16. Bevezetés Magyarázat a címhez... Napjainkban
MATEMATIKA 1-2.osztály
MATEMATIKA 1-2.osztály A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mind inkább ki tudják választani
TARTALOM. MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141
TARTALOM MATEMATIKA - MD Matematika oktatótablók 135 Geometriai oktatótablók 136 Táblai vonalzók 137 Geometria 138 Fóliamappák 139 141 INFORMATIKA Informatikai falitablók 142 MATEMATIKAI OKTATÓTABLÓK 50
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3. Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára
EMMI kerettanterv 51/2012. (XII. 21.) EMMI rendelet 1. sz. melléklet 1.2.3 Matematika az általános iskolák 1 4. évfolyama számára Célok és feladatok Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet
Axion sötét anyag. Katz Sándor. ELTE Elméleti Fizikai Tanszék
Az axion mint sötét anyag ELTE Elméleti Fizikai Tanszék Borsányi Sz., Fodor Z., J. Günther, K-H. Kampert, T. Kawanai, Kovács T., S.W. Mages, Pásztor A., Pittler F., J. Redondo, A. Ringwald, Szabó K. Nature
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint