Véges geometria és ami mögötte van

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Véges geometria és ami mögötte van"

Petra Tóth
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Véges geometria és ami mögötte van Bogya Norbert Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Doktori Nyílt Nap október 2. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 1 / 30

2 Véges geometria Algebra Kombinatorika Véges geometria Geometria Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 2 / 30

3 Véges geometria konferencia Finite Geometry Conference and Workshop University of Szeged June, 2013 TÁMOP-4.2.2/B-10/ Az SZTE Kutatóegyetemi Kiválósági Központ tudásbázisának kiszélesítése és hosszú távú szakmai fenntarthatóságának megalapozása a kiváló tudományos utánpótlás biztosításával. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 3 / 30

4 Projektív sík Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 4 / 30

5 Véges projektív sík Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 5 / 30

6 Téma k-net A k-net k darab páronként diszjunkt egyeneshalmaz úgy, hogy minden olyan pont, ami két halmazbeli egyenes metszéspontja, az pontosan egy egyenesre illeszkedik minden halmazból. Ha a halmazok elemszáma n, akkor n-rendű k-netről beszélünk. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 6 / 30

7 Alapfogalmak Duális k-net A duális k-net k darab páronként diszjunkt ponthalmaz úgy, hogy minden olyan egyenes, ami két halmazbeli pontra is illeszkedik, arra pontosan egy pont illeszkedik minden halmazból. Ha a halmazok elemszáma n, akkor n-rendű duális k-netről beszélünk. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 7 / 30

8 Kombinatorika Algebra

9 Címkézés A, B, C pontosztályok, G = (G, ) csoport. α(a) β(b) γ(c) A duális 3-net realizálja a G csoportot, ha bármely a, b, c G esetén a b = c α(a), β(b), γ(c) kollineáris. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 9 / 30

10 Q = {1, 2, 3, 4, 5} Latin négyzet Latin négyzet (Q, ) kvázicsoport. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 10 / 30

11 A (Q, ) kvázicsoport, ha tetszőleges a, b Q elemek esetén az a x = b és y a = b egyenletek egyértelműen megoldhatók Q-ban. Magma divisibility Quasigroup identity Loop associativity associativity Semigroup identity Monoid invertibility Group Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 11 / 30

12 Véges geometria Kombinatorika Véges geometria Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 12 / 30

13 Combinatorics 2014 Gaeta, Olaszország; jún. 1. jún. 6. Kódoláselmélet, kriptográfia, véges geometria, gráfelmélet, matroidelmélet, poset elmélet, optimalizálás. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 13 / 30

17 Utazás TÁMOP A-11/1/KONV Telemedicina fókuszú kutatások Orvosi, Matematikai és Informatikai tudományterületeken (TOMI) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 17 / 30

18 Kombinatorika, algebra Geometria

19 Saját téma Λ 1, Λ 2, Λ 3 ponthalmazok (komponensek) Λ i = n C. C -re perspektív duális 3-net C / Λ i és minden olyan egyenes, mely átmegy C-n és az egyik komponens egy pontján, akkor az összes komponens egy pontján is átmegy. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 19 / 30

20 Tétel (B., Korchmáros, Nagy, 2014) Legyen Λ = (Λ 1, Λ 2, Λ 3 ) egy n-ed rendű duális 3-net PG(2, K)-ban. Tegyük fel, hogy Λ perspektív a T pontra nézve. Ekkor létezik egy olyan κ skalár, hogy az összes T -n átmenő l egyenes esetén a T, l Λ 1, l Λ 2, l Λ 3 pontok kettősviszonya κ. T Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 20 / 30

21 Kúpszelet-egyenes típusú duális 3-net Λ 3 C Λ 2 Λ 1 l T Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 21 / 30

22 Véletlen negyedrendű görbék pontszáma (kitérő) Véges test: q = 43. Mintaelemszám: N = 2000 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 22 / 30

23 Kombinatorika, algebra, geometria Algebrai geometria

24 Harmadrendű görbék Összeadás Legyen Γ egy köbös görbe és Γ a sima pontjainak a halmaza. Legyen O Γ egy rögzített pont. Ebben az esetben az A, B Γ pontok összege: A B O A + B Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 24 / 30

25 Harmadrendű görbék Tétel Legyen Γ egy harmadrendű görbe, és Γ a sima pontjainak halmaza. Legyen O Γ egy rögzített pontja. Ekkor (Γ, +, O) Abel-csoport. Tétel 1 Ha Γ: Y = X 3, akkor (Γ, +) = (K, +). 2 Ha Γ: Y 2 = X 3, akkor (Γ, +) = (K, +). 3 Ha Γ: Y 2 = X 3 + X 2, akkor (Γ, +) = (K, ). Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 25 / 30

Applied Algebra and Discrete Mathematics University of Würzburg (Németország) 2015. jan. 18. jan. 29.

26 Applied Algebra and Discrete Mathematics University of Würzburg (Németország) jan. 18. jan. 29. Kódoláselmélet, kriptográfia, Gröbner-bázisok, kombinatorikai optimalizálás, lineáris és szemidefinit programozás. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 26 / 30

30 Vége Köszönöm a figyelmet! TÁMOP B-15/1/KONV A tehetség értékének kibontakoztatása a Szegedi Tudományegyetem kiválósága érdekében Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Véges geometria és... Doktori Nyílt Nap 30 / 30

Hasonló dokumentumok

Játékok matematikája

Játékok matematikája Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Eötvös esték & Mat. Műhely, 2016 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Kártyázzunk véges geometriával Eötvös esték, 2016 1 / 1