A terepfelszín mint függvény elemzésének lehetőségei

Átírás

1 A terepfelszín mint függvény elemzésének lehetőségei Nagy Gábor Óbudai Egyetem, Alba Regia Műszaki Kar, Geoinformatikai Intézet; Abstract: The surface of the digital elevation models are considered as a function of two variables, which can be used by mathematical tools. This article summarizes these mathematical formulas with unified symbols. In another part of this article introduces a new method to analyse the structure of the terrain by azimuth based Fourier series. Bevezetés A domborzatmodellek (és minden más felületmodell) egy megközelítésben egy kétváltozós függvénynek tekinthető, amely a vízszintes helyzet függvényében meghatározza a magasságot. Ezt a függvényt a matematika megszokott eszközeivel kezelve kaphatjuk meg a domborzat különféle jellemzőit. Ebben a cikkben több forrásra támaszkodva, egységes jelöléseket használva foglalom össze azokat a matematikai összefüggéseket, amelyekkel a kétváltozós függvénynek tekintett domborzat különféle tulajdonságait tudjuk kiszámítani. A cikkben javaslatot teszek újabb, a domborzat jellemzésére használható módszerekre is. Pontonként számítható számszerű jellemzők A cikk első két szakaszában a domborzat pontonként változó tulajdonságait foglalom össze. Amennyiben a domborzat egy pontját akarjuk jellemezni, a levezethető jellemzők megadásához a legegyszerűbb a domborzatot egy kétváltozós függvénynek tekinteni, így azt matematikai eszközökkel tudjuk a továbbiakban kezelni. Ha a domborzat egy kétváltozós függvény, akkor a terepfelszín magasságát egy pontban a következő módon írhatjuk fel: Ennek a felületnek kiszámíthatjuk az x illetve y irányú deriváltjait, amelyeket többféleképpen is szokás jelölni (én a továbbiakban a p és q jelölést fogom használni) és együttesen a gradiensvektort adják: 285

2 Az esésvonal iránya ellentétes lesz a gradiensvektor irányával. Irányszögére igaz a következő összefüggés: A gyakorlatban ez a p és q koordinátakülönbségekhez tartozó irányszög számítását jelenti. Ez legtöbb programozási nyelvben az atan2 függvény segítségével oldható meg a legegyszerűbben, ami a p és q értékek előjeleiből kikövetkezteti a helyes szögnegyedet és a p = 0 esetet is megfelelően kezeli. A ponton átmenő szintvonal iránya az esésvonal (illetve a gradiensvektor) irányára merőleges: A legnagyobb terepesést a gradiensvektor hossza adja meg: Egy a ponton átmenő tetszőleges irányhoz (jelölése: δ) tartozó terepesést is ki lehet számítani: Számítani lehet egy megadott terepeséshez tartozó irányszöget is, feltéve hogy g gmax, vagyis ez a terepesés nem nagyobb legnagyobb terepesésnél: Az arkusz koszinusz függvénynek több lehetséges értéke is lehet, ezek mindegyikéhez egy-egy olyan irányszög tartozik, amelyben a terepesés értéke a keresett érték. A fenti képletekben g betűvel, illetve annak különféle alsó indexes változataival jelölt mennyiségek helyett a terepviszonyok kifejezésére használhatjuk a lejtőszöget is. A kétféle mennyiség között a következő összefüggések segítségével nyílik lehetőségünk az átszámításra: A felület görbületi viszonyainak leírásához már a második deriváltakra is szükségünk van. Ezeket általában az ún. Hesse-mátrixban szokás megadni: 286

3 A továbbiakban a fent is használt r, s és t jelöléseket fogom alkalmazni ezekre a mennyiségekre. A felület legnagyobb és legkisebb görbülete a következő képletekkel számítható: A legnagyobb görbület irányát a következő módon kapjuk meg: A legkisebb görbület iránya erre merőleges. A domborzat egyszerű jellemzőit számítani tudjuk a fenti képletekben h, p, q, r, t és s betűkkel jelzett jellemzők ismeretében, vagyis ha meg tudjuk állapítani a domborzatnak mint kétváltozós függvénynek a behelyettesítési értékét (a magasságot) valamint az első és második differenciálhányadosait. Akár síkokat is használhatunk a domborzatmodell alapelemeinek, a behelyettesítési érték (h) és az első differenciálhányadosok (p és q) értékeire használható számokat kapunk, a magasságot és a lejtésviszonyokat ebből megfelelően ki lehet számítani. Amennyiben a terepfelszín görbületét vagy egyéb a második differenciálhányadosoktól (r, t és s) függő jellemzőket akarunk tanulmányozni, már semmiféleképpen sem megfelelő a síkok alkalmazása, mert a sík minden pontjában r = t = s = 0, így a görbületre vonatkozó információhoz nem juthatunk. Akár matematikai összefüggések nélkül is könnyen belátható, hogy síkokkal nem lehet görbületi viszonyokat modellezni. A bilineáris felület sem alkalmas a görbületi viszonyok tanulmányozására, mert két irányban is mindig egyenes a keresztmetszete. Ezeknek a jellemzőknek a meghatározásához ilyen esetekben magasabb fokú felületeket kell alkalmazni. GRID háló esetében a háló egy négyzetén belül a négy sarokpontra illeszkedő bilineáris felülettel lehet dolgozni, vagy a négyzetet egy átlója mentén két háromszögre lehet bontani, amelyre az előzőekben bemutatott módon lehet síkot illeszteni. A bilineáris felület illesztése során a vizsgált pontot tartalmazó négyzet négy pontjából indulunk ki. Vesszük a négyzet két párhuzamos oldalát, majd lineáris összefüggésekkel számítjuk annak a pontnak a magasságát, amelyek a vizsgált pont merőleges vetületeiben helyezkednek el, vagyis a szakaszok változó koordinátái vizsgált pont kérdéses koordinátájával egyeznek meg. A következő lépésben az így kapott két pont között egy hasonló lineáris interpolációval számíthatjuk ki a vizsgált pont magasságát. 287

4 Egy szakaszon belül egy a szakaszt két kisebb szakaszra osztó pont magasságát (vagy bármelyik más koordinátáját) úgy lehet számítani, hogy a végpontok magasságainak vesszük a szemben lévő részszakaszok hosszaival súlyozott számtani közepét. Egy egységnyi oldalhosszúságú négyzettel dolgozva (vagy egy egyszerű osztással ilyenre áttérve) a 0 és 1 közötti értékeket felvehető px-el és py-al jelölhetjük a vizsgált pont helyzetét, a négy rácspont magasságát pedig a H 0,0, H 0,1, H 1,0 és H 1,1 jelölésekkel. A vizsgált pont magassága így: A műveleteket mindegy milyen sorrendben végezzük (a négyzet melyik két párhuzamos oldalával kezdünk), ugyanazt az eredményt kapjuk. Ha a vizsgált ponton keresztül húzott, a rácsháló vonalaival párhuzamos két vonallal a rácsháló négyzetét négy részre bontjuk, az egyes rácspontok magasságainak a velük szemben elhelyezkedő negyed területével súlyozott számtani közepe lesz a bilineáris felület magassága a vizsgált pontban. Ha GRID modell egy négyzete felé magasabb fokú polinomok segítségével akarunk egy felületet meghatározni, akkor néhány további szomszédos pont bevonására is szükségünk van. Az előző alkalommal 0 és 1 indexekkel jelölt rácspontok mellett a szomszédos -1 és 2 sorszámmal jelölhető indexű, vagy akár még további elemekre is szükség van. TIN modellek esetén (Mélykúti 1993) megad egy módszert, aminek a segítségével a modell egyes háromszög elemeihez egymáshoz simuló felületeket adó harmadfokú polinomokat határozhatunk meg. Ezeknek a polinomoknak az együtthatóiból a továbbiakban már szintén levezethetőek a kívánt differenciálhányadosok értékei. Pontonként számítható tulajdonságokból származtatható jellemzők A gyakorlatban a terep pontjainak lejtésviszonyainak jellemzéséhez nem közvetlenül a gradiensvektort és a belőle származtatható egyéb geometriai adatokat használják, hanem az esésvonal irányából és a terepesés értékéből kategóriába sorolással képeznek jellemzőket, a lejtőkategóriát és a kitettséget. A lejtőkategória meghatározásához az alábbi táblázat szerint sorolják be a területeket a százalékban kifejezett lejtés alapján névvel és (római) számmal is jelzett kategóriákba az 1. táblázatban bemutatott módon. A táblázatban található kategóriákat a mezőgazdasági művelés szempontjai szerint állapították meg. Azért tekintjük az 5% alatti lejtésű 288

5 területeket síknak, mert a tapasztalatok szerint ezeken a helyeken az erózió még nem jelentős. Az V. kategóriába tartozó (meredek) területek mezőgazdasági művelésre már nem alkalmasak. A terep lejtésének iránya alapján is kategóriákba sorolhatjuk egy 1. táblázat A lejtőkategóriák lejtőkategória lejtés minősítés 2. táblázat A kitettség I. 5%-ig sík II. 5% és 12% között enyhén lejtős III. 12% és 17% között lejtős IV. 17% és 25% között enyhén meredek V. 25% felett meredek az esésvonal irányszöge égtáj kitettség 0 és 67 valamint 338 és 360 között É, ÉK III. 68 és 157 között K, DK II. 158 és 247 között D, DNY I. 248 és 337 között NY, ÉNY II. terület pontjait. A nem sík területek kitettségének megállapítása az esésvonal irányszöge alapján történik, a 2. táblázat szerint. Ez a beosztás szintén a növényzet igényeihez és a mezőgazdasági hasznosíthatósághoz kapcsolódik, és ebben a formában a Föld északi féltekére érvényes. A kategóriák közötti választóvonalak nem a 45 + k 90 -os irányokban vannak, hanem ahhoz képest 1 16-od körívnyivel (vagyis 22,5 al) elforgatva, a 67, 5 + k 90 -os irányokban. Terepszerkezeti formák felismerésének klasszikus módszerei A terep különféle jellegű pontjainak besorolására többféle módszer létezik. A következőkben a (Sárközy 1986) alapján két közismert eljárást is be fogok mutatni, majd javaslatot teszek egy további módszerre. Egy megfelelően megválasztott r sugarú kör mentén 15 fokonként kiszámítjuk a terep magasságát, majd képezzük az egymással ellentétes pontokat összekötő szakaszok felezőpontjának és a vizsgált pontnak a magasságkülönbségeit. Ezt követően megszámoljuk, hogy ezek között a magasságkülönbségek között mennyi olyan pozitív (N + ) illetve negatív (N 289

6 ) érték van, aminek abszolút értéke meghalad egy meghatározott érdességi tényezőt (E). Ha N + és N értéke is nulla (minden magasságkülönbség az E érdességi tényező értékén belül volt), akkor a pontot sík területnek tekintjük. Ha az összes magasságkülönbség pozitív vagy negatív volt, akkor a pont mélypontnak vagy kúpnak minősül. Ha N + = 0 és N > 0, akkor a pont gerincvonalra, a fordított esetben (N = 0 és N + > 0) pedig völgyvonalra esik. A többi (az előbbi szabályok szerint még nem besorolt) pontot lejtőnek tekintjük. A módszer alkalmazásakor fontos a r sugár és az E érdességi tényező helyes megválasztása. Kisebb sugár mellett a szerkezeti vonalak megszakadhatnak, nagyobb sugár esetén pedig sávvá szélesedhetnek. A módszer a nyeregpontokat nem sorolja külön kategóriába. Egy másik módszert alkalmazva a ponttal azonos középpontú r sugarú kör mentén haladva képezni kell a kerületi pontok és vizsgált pont magasságkülönbségeit. Az így kapott számsorból számítani kell a pozitív (S + ) és a negatív (S ) elemek összegét, meg kell számlálni a negatív elemek számát (L) valamint azt, hogy a kör mentén haladva az érték hányszor változtatja meg az előjelét (N). Ha a pont magasabban van valamennyi a környezetében található ponttól, akkor kúppont, ha alacsonyabban, akkor mélypont. Amennyiben S + és S abszolút értékeinek összege nem lép túl egy E + küszöbértéket, a területet síknak tekintjük. Ha a pont környezetében a pozitív értékek jellemzőek akkor völgyvonalra, ha a negatívak, akkor gerincvonalra esik. Amennyiben a pozitív és a negatív értékek száma azonos, akkor az előjelváltások számát (N) kell megvizsgálni. Amennyiben N = 2, a pont lejtőnek tekinthető, ilyenkor a magasságkülönbségek görbéje periodikusan egy hullámot ír le. Ha N = 4, akkor a pont nyeregpont, az előbbi görbe ilyenkor két hullámot is leír egy periódus alatt. Terepszerkezeti formák felismerésére Fourier sorokkal Az előzőekben bemutatott módszereket továbbgondolva adódik a lehetőség arra, hogy az r sugarú kör mentén a ponthoz képest meghatározott magasságkülönbségekre egy másodfokú Fourier-sort írjunk fel az irányszög függvényében, és ennek paramétereiből próbáljuk meg eldönteni a pont jellegét. A sor paramétereiből ugyanis minden a korábbi módszerben a pont besorolásához használt jellemző kiolvasható. Egy f(x) függvényt a következő módon közelíthetjük egy N-ed fokú Fourier-sorral: 290

7 ahol az összesen 2N + 1 darab, a i -vel és b i -vel jelölt együtthatók értékeit a következő módon számíthatjuk: A fenti közelítő módszert alkalmazhatjuk a vizsgált ponttól r távolságban található, egymástól δ irányszögük alapján megkülönböztethető pontoknak a vizsgált ponthoz viszonyított magasságkülönbségére vagy magasságaira is. A Fourier-sor együtthatói ekkor a következő módon számíthatóak az x, y koordinátákkal megadható pont r sugarú környezetére: A gyakorlatban az integrálás helyett M számú pontban számított értékek összegzését végezzük. Az együtthatók számítása így a következő összefüggésekkel történik: Az a 0 együttható értéke azt fejezi ki, hogy a pont mennyivel van átlagosan magasabban vagy alacsonyabban a környezeténél. Az a 1 és b 1 együtthatók értékeiből a felület dőlésére lehet következtetni. Ha az a 2 és b 2 együtthatók értékei jelentősek, akkor abból arra következtethetünk, hogy a pont egy nyeregpont. Az r sugár értéke különféle lehet, ami különböző a i és b i értékeket eredményezhet, amelyek így r függvényében értelmezhetőek. Lehetőségünk van ai és bi értékeket tetszőleges számú és értékű r mellett kiszámítani, majd az eredményekre egy N-ed fokú polinomot illeszteni, aminek eredménye a c 0 + c 1 r + c 2 r c M r M módon N + 1 adattal adható meg. Egy M-ed fokú Fouriersor paramétereinek N-ed fokú polinommal való kifejezése így összesen (2M + 1)(N + 1) adatot jelet. Ezek az adatok megadják a domborzat közelítő leírását 291

8 egy pont környezetében. A vizsgálatot fordítva is el lehet végezni. Egy pontból kiindulva különféle irányokban egy-egy N-ed fokú polinommal írjuk le a felület függőleges metszeteit, majd ezeknek a polinomoknak a paramétereire írunk fel Fouriersorokat a metszet irányszögének függvényében. Ennek a megoldásnak az a hátránya, hogy a polinomok az r = 0 esetben az irányszög (δ) függvényében különböző értékeket vehetnek fel, így a felület nem lesz folytonos, ezért részletesebben nem is foglalkoztam ezzel a módszerrel. Összefoglalás A domborzatmodellek által meghatározott felületeket egy kétváltozós függvénynek tekintve a függvény értékét (h) valamint első (p, q) és második (r, t, s) deriváltjait felhasználva ki tudjuk számítani a domborzat legtöbb pontonként változó jellemzőjét. Ezek vagy számszerű geometriai tartalommal rendelkeznek (a terep magasság, a terep lejtésének nagysága és iránya, a terep görbülete), vagy pedig ilyen jellemzőkből kategorizálással illetve összetettebb feltételekkel származtathatóak (lejtőkategória és kitettség). A cikk második felében bemutatott módszerrel kapott együtthatók (a i és b i ) hasznos eszközök lehetnek a terepszerkezeti formák felismerésében és a domborzat egyes pontjainak jellemzésében is. Felhasznált irodalom Elek I. (2004): Domborzati modellek és a mintavételi tétel I. rész, GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 10/2004 Elek I. (2004): Domborzati modellek és a mintavételi tétel II. rész, GEODÉZIA ÉS KARTOGRÁFIA 11/2004 Kertész, Á. Márkus, B. (1992): GIS applications Geomorphology and in Geomorphological Mapping, Geol. Jahrbuch. Hannover, pp Márkus, B. (1986): Terrain analysis in consideration of surface curvature conditions, Per. Pol.Civil Engineering, Bp., 1986/1-2. Márkus, B. Molnár, T. (1984): Terrain description by cluster analysis, BME Newsletter, Bp., 1984/1. Mélykúti G. (1993): Geoinformatika és a digitális felületmodell kapcsolata, Kandidátusi értekezés Nagy, G. (2014): Interpolation methods for digital elevation models, 9th International Symposium on Applied Informatics and Related Areas AIS2014., Székesfehérvár, pp (ISBN: ) Peucker, T. (1978): The Triangulated Irregular Network. Proc. of the Digital Terrain Models (DTM) Symposium, St. Louis, Sárközy F. Márkus B. (1986): Geodéziai AMT, Tankönyvkiadó, Budapest 292