M TA D O K T O R I É RT E K E Z É S T É Z I S E I EGYÜTTMŰKÖDÉS TÉRBELI KOEVOLÚCIÓS MODELLEKBEN SZOLNOKI ATTILA

Átírás

1 M TA D O K T O R I É RT E K E Z É S T É Z I S E I EGYÜTTMŰKÖDÉS TÉRBELI KOEVOLÚCIÓS MODELLEKBEN SZOLNOKI ATTILA MTA MŰSZAKI FIZIKAI ÉS ANYAGTUDOMÁNYI KUTATÓINTÉZET BUDAPEST,

2 2

3 Kutatási előzmények Gyakran emlegetett tény, hogy a fizika az a tudomány, amely a természetben előforduló teljes méret és energiaskálát felöleli, hiszen a szubatomi részektől a galaxisokig bezárólag próbál jelenségeket megérteni és törvényszerűségeket felállítani. Egyik ága, a statisztikus fizika különösen ambiciózus, hiszen nem ragad le az élettelen természet megértésénél, hanem bátran kalandozik olyan problémákhoz is, ami az élő rendszereket jellemzi. Teszi ezt azért, mert az eredetileg a kondenzált anyagok viselkedésére kifejlesztett technikák, fogalmak és koncepciók, összefoglalva kutatási módszer gyakran olyan rendszerek leírásában is sikeresen alkalmazható, ami nem tartozik a szűkebben vett klasszikus témakörök közé. A kapocs a régi és az új problémákat is jellemző nagy egyedszám és a varázsszó az ebből fakadó kollektív viselkedés. Azokat a jelenségeket tekintjük a legizgalmasabbnak, amik a rendszert alkotó elemek együttes, egymással kölcsönható viselkedéséből fakadnak. A dolgozat is egy ilyen interdiszciplináris kalandozás eredményeit foglalja össze. A játékelmélet kezdeti fejlődését elsősorban közgazdasági problémák leírása inspirálta, és a matematika belső ügyének számított. Ez a helyzet az elmúlt 30 évben lényegesen változott, és számtalan új, első pillantásra esetleg meglepőnek tűnő alkalmazás is megjelent. Például a biológiában, különösen John Maynard Smith munkásságának köszönhetően, teljesen új területek nyíltak ki a játékelmélet előtt. Kiderült például, hogy a biológiai rendszerekben definiált fitnesz (utódlétrehozó képesség) rokonítható a játékelméletben definiált nyeremény fogalmával. Az immáron evolúciós jelzőt kapott elmélet figyelme a lehetséges megoldások megtalálásán túl arra is fókuszál, hogy ezek közül melyik tud kiválasztódni, illetve stabilizálódni. További példaként említhetjük a szociológiát és általánosabban a társadalomtudományokat, melyeknél fokozatosan előtérbe kerültek a kvantitatív leírások és a matematikailag kezelhető modellek iránti igény. Jellemző és egyben az egyik legfontosabb kérdés a kooperáció fennmaradása az egyébként egyéni érdekektől motivált, és emiatt esetleg ellenérdekelt játékosok között. A terület kutatói szívesen felemlítik azt a tényt, hogy a tekintélyes Science magazin 2005 ös jubileumi száma ezt a problémát is a legfontosabb tudományos kihívások közé sorolta. Ebben szerepet játszhatott az a felismerés, hogy a kérdéskör diszciplínákon átívelő, és következményei a mindennapi életünkre is jelentős hatással vannak. Az együttműködés kialakulását illetve annak esetleges hiányát vizsgáló dolgozatok általános példaként gyakran hivatkoznak az üvegházhatású gázok dúsulásának, vagy a tengereken előforduló túlhalászások problémájára, ami az országok eltérő környezetpolitikájával is összefügg. Tágabb értelemben ide sorolhatók még a korrupció lokális megjelenése vagy a bankrendszer bizonyos funkcionális problémái is. A tárgyalható problémák kiterjeszthetőek az ökológia érdeklődési körébe tartozó esetekre is, de hasonló eszköztárral tanulmányozhatóak egyes állati viselkedési minták is. Az említett példákon túl a skálák is tovább tágíthatóak, hiszen a sejtek, baktériumok és vírusok kölcsönhatásának a megértésére is vannak játékelméleti próbálkozások. Az utóbb említett példák különösen vonzóak lehetnek az egzaktabb leírást kedvelők számára, hiszen a rendszert alkotó egyedek kognitív képességeinek a hiánya lényegesen egyszerűbb, kvantitatív modellek alkotását, illetve vizsgálatát teszi lehetővé. Természetesen az említett példák között vannak specifikusak és emiatt korlátosan 3

4 tárgyalhatóak, de az alapkutatásnak tekinthető játékelméleti megközelítés szerint felismerhetőek olyan általánosan működő mechanizmusok és megfigyelések, illetve felállíthatóak olyan összefüggések, amik nagy, látszólag lényegesen különböző modellcsaládokra is érvényesek. A fizikusok számára érdekes mozzanat akkor következett be, amikor a kezdeti kétszereplős játékokat kiterjesztették sokszereplős rendszerekre, illetve figyelembe vették a játékosok között reálisan fennálló korlátos kapcsolati rendszert, amit egy kölcsönhatási gráffal adhatunk meg. Az egyszerűbben kezelhető jól kevert állapotokon túlmutató, korlátos kapcsolatok tanulmányozása a rendszerben olyan térbeli és időbeli mintázatok felbukkanását eredményezték, amilyenekkel már korábban, az élettelen természeti jelenségek tanulmányozása során is találkozhattunk. Ezt a szerencsés találkozást tovább erősítette az elmúlt 10 évben dinamikusan fejlődő hálózatkutatás, melynek eredményei és folyamatosan bővülő eszköztára lehetőséget teremtettek a modellek valósághoz történő további közelítésére. Az egyéb területről származó kutatók érdemeit nem kisebbítve, példaértékű volt az, hogy az erősen heterogén kapcsolati gráffal leírható rendszereket jellemző megnövekedett együttműködési szint felismerése is fizikusokhoz köthető, amiről egy hagyományosan fizikai problémákkal foglalkozó folyóiratban számoltak be. Célkitűzések Követve a fizikus hagyományokat az elmúlt években azt vizsgáltuk, hogy a rendszert meghatározó elemek közül a kapcsolati topológiának milyen hatása van a kialakuló mintázatokra, a stratégiák lehetséges túlélésére, illetve a sokszínűség fennmaradására. Felismerve azt, hogy a játékosok közötti különbség nem csupán a kapcsolati rendszerből származhat, vizsgáltuk annak a lehetőségét is, hogy mekkora és milyen hatása lehet egyéb, a játékosokat egyéni szinten jellemző különbségeknek. Kezdetben olyan modelleket tanulmányoztunk, ahol a játékosok közötti egyéni különbség eleve rögzített formában volt jelen, majd kapcsolatot kerestünk olyan korábban javasolt modellekkel, ahol a játékosok eltérő kapcsolati rendszere volt a különbség forrása. Az összevetés elsősorban az együttműködést segítő mechanizmusok megértésére, és az esetleges analógiák feltárására irányult. Később a vizsgálatokat abban az irányba is kiterjesztettük, hogy miként tudnak ezek a korábban feltételezett különbségek spontán módon kialakulni. Ezek az ún. koevolúciós modellek nem csupán megadták a valós rendszerekben meglévő különbségek egy lehetséges okát, hanem olyan új mechanizmusok felismerését is lehetővé tették, ami a statikus, tehát rögzített különbségeket feltételező rendszer esetén nem léphetnek fel. Ilyen módon a koevolúciós dinamikával jellemezhető rendszerek kínálta lehetőségek messze túlmutatnak azokon a kereteken, amit eredetileg a térbeli evolúciós játékelméleti modellekről feltételeztünk. A koevolúciós modelleknek további elvi jelentősége lehet annak tisztázásában is, hogy milyen paraméterértékeket érdemes vizsgálni egy egy modell keretein belül, hiszen azok spontán evolúciója esetleg lényegesen szűkíti a vizsgálatra érdemes paraméterek tartományát. Erre nagy szükségünk is van, hiszen a valós rendszerekhez közelítve egyre több hatást és így egyre több paramétert kell figyelembe vennünk. 4

5 Alkalmazott módszerek A vizsgálatok elválaszthatatlan részét képezi a modellalkotás, ami ismételten a diszciplináris különbségekre utalva esetünkben a modell engedte keretek teljes körű feltérképezését jelenti. Ez teszi lehetővé azt, hogy a későbbiekben általános kijelentéseket adhassunk egy egy modellcsalád teljesítőképességéről. Jellemzően a játékosok lehetséges állapotai egy egy lehetséges stratégiát jelentenek, ami a szomszédok állapotával együttesen határozza meg a vizsgált játékos nyereményét. Példaként említve a fogolydilemma játékot, a játékos egyénileg nagyobb nyereményt ér el, ha az élősködést választja, viszont az együttes élősködés kisebb nyereményt nyújt, mintha mindketten együttműködnének. A kapcsolatokat egy kölcsönhatási gráf megadásával írhatjuk le. A térbeliséget feltételező modellekben a játékos átveheti egy szomszédja stratégiáját, ahol a stratégiaátvétel valószínűsége a játékosok nyereményétől függ. A koevolúciót is megengedő esetekben nem csupán a játékosok stratégiája változhat, hanem más, a játékosokat egyénileg jellemző tulajdonság vagy paraméterérték is. A tanulmányozott modelleket Monte Carlo szimulációkkal mindig megvizsgáltuk. Itt gondosan ügyeltünk arra, hogy a statisztikus fizikában megszokott igényességgel járjunk el, tehát a fázisdiagrammokra, stabil állapotokra vonatkozó állításaink nagy (valósághű) rendszerméret esetén is érvényesek legyenek. Ez esetenként nagyon intenzív numerikus erőfeszítést igényelt. Ezzel összefüggésben a rendszerek a dinamikától függően bizonyos paraméter tartományokban esetleg nagyon lassú relaxációt mutattak. Ilyenkor ha a kölcsönhatási topológia lehetővé tette nagy segítséget jelentett az ún. dinamikus átlagtér közelítés. Ez a módszer alacsony szinten esetleg analitikusan is kezelhető, de magasabb szinten a numerikusan generált differenciálegyenlet rendszer csak numerikusan oldható meg. Érdemes kiemelni, hogy az utóbbi módszer nem csupán a szimulációk megerősítésére használható, hanem éppen az előbb említett szimulációsan nehezen elérhető esetekben hasznos iránymutatóként is szolgált. Bizonyos állandósult állapotok ugyanis nagyságrendileg rövidebb relaxáció után érhetőek el, ha egy mesterségesen beállított, preparált kezdőállapotból indulunk ki. Új tudományos eredmények 1.1. Kimutattam, hogy a játékosok közötti bizonyos típusú különbözőség hatékonyan képes növelni a rendszerben az együttműködés szintjét. Ez nem feltétlen a kapcsolati rendszer heterogenitását jelenti, hanem megnyilvánulhat például a játékosok stratégiaátadó képességében (tekintélyében vagy biológiai rendszerekre gondolva a reprodukciós képességében) is. Természetesen a játékosok sokféle módon különbözhetnek, de az átfogó vizsgálat azt mutatta, hogy önmagában a sokszínűség nem feltétlen jelent kedvező környezetet az együttműködésnek. Csak akkor van pozitív hatása, ha lehetőséget nyújt a környezetre gyakorolt hatás visszacsatolódására. [T1] 1.2. Felmerülhet a kérdés, hogy a különbözőség mértéke hogyan befolyásolja az együttműködők arányát? Ennek tisztázására egy olyan modellt vizsgáltunk, ahol a játékosok nyereményét és ilyen módon a populáción belüli súlyát egy adott eloszlással jellemezhető véletlen változó határozta meg. Három reprezentatív eloszlás összehasonlításából a hatványfüggvénnyel jellemezhető különbséget találtam a 5

6 legalkalmasabbnak az együttműködés fenntartására. Ez a megfigyelés tovább erősítette a vezetők (a példát jelentő kiemelt játékosok) szerepének a fontosságát. [T2] 1.3. A nagy kapcsolatszámmal rendelkező szereplők környezetre gyakorolt hatásának a fontosságát skálamentes gráfon más kutatók már korábban felismerték. Az összehasonlító elemzés alapján sikerült megmutatnom, hogy az inhomogén gráfon a sok kapcsolattal rendelkező játékosok (centrumok) szerepe hasonló a homogén kölcsönhatási gráfon elhelyezkedő, de nagy tanítási képességű játékosok hatásához: mindkét esetben a kiemelt játékos döntően befolyásolja a környezetét, aminek később hatása lesz a vezető hosszútávú sikerességére is. [T3] A mélyebb megértés érdekében egy olyan modellt javasoltam, ahol a skálamentes gráfon a nyeremény fokozatos normálásával csökkent az együttműködés mértéke. A centrumok és a perifériák közötti információáramlás direkt vizsgálata is megerősítette a heterogén tanítási képességű modell jóslatát: a skálamentes gráfon is akkor válik jelentőssé az együttműködés, ha az említett információáramlás érzékelhetően aszimmetrikussá válik. [T4] 1.4. Az előbb taglalt hatás eredménye felerősíthető, ha a vezetők közötti közvetlen információáramlást, stratégiaátadást is lehetővé tesszük. A munkatársaimmal közösen javasolt modellben sikerült megmutatnom, hogy az információáramlás erősségének nagyon finom hangolásával az együttműködők aránya jelentősen növelhető. Ugyanakkor az optimálistól jelentősen eltérő mértékű direkt kapcsolat már káros, mert tompítja a környezeti hatás visszacsatolódásának az eredményét. [T5] 2.1. Az eddig vizsgált modellekben meglévő inhomogenitást felfoghatjuk úgy is, mint egy evolúciós folyamat eredményét. Annak eldöntésére, hogy milyen mechanizmus eredményezheti ezt a különbözőséget, bevezettem egy olyan modellt, ahol a játékosok tanítási képessége (tekintélye) növekedhetett a sikeres stratégiaátadás függvényében. A modell által javasolt mechanizmus képes volt megmagyarázni, hogy miként tud spontán módon kialakulni az a hierarchia, ami már előnyösebb az együttműködő stratégia számára. [T6] 2.2. Bár a koevolúciós modelleknek a kapcsolati rendszert befolyásoló változatai már korábban is ismertek voltak, fontos megemlíteni, hogy az általam javasolt mechanizmus "stratégia semleges", tehát a fenti koevolúciós szabály nem támogatja direkt módon az együttműködőket. Ennek fontosságát hangsúlyozta az a vizsgálat, amiben a modellt úgy módosítottam, hogy csupán az élősködő stratégiát átadó játékosok befolyása növekedhetett. Így a tekintély még indirekt módon sem tartalmazta az együttműködők segítését, mint ahogy azt korábbi modellek feltételezték. Paradox módon a kizárólag az élősködőket támogató szabály végül még nagyobb együttműködési szintet eredményezett. Ezt a váratlan eredményt azzal tudtam magyarázni, hogy a kezdeti véletlen környezetben az élősködő stratégia sokkal eredményesebben terjeszkedett, így az említett magatartást képviselő játékosok tekintélyének emelkedésével a játékosok különbözősége is hatékonyabban növekedhetett. [T7] 2.3. A stratégiaátadásban megnyilvánuló sikeresség a kapcsolati rendszer bővülésével is elismerhető. Az általam javasolt koevolúciós modell is demonstrálta a kapcsolati 6

7 inhomogenitások spontán módon történő kialakulásának a lehetőségét. Ha a fenti szabályt állandó méretű populációra alkalmazzuk, akkor megfigyelhető egy, az együttműködés szempontjából közbenső optimális méret, ami a legnagyobb befolyási körrel rendelkező játékosok hatókörét jellemzi. Ennek az optimumnak a megjelenését a befolyásos játékosok közötti információcsere mértékével tudtam magyarázni. [T8] 3.0 A vizsgálatainkból kiderült, hogy a koevolúciós modellek nem csupán olyan módon képesek az együttműködés fenntartására, hogy kialakítják a környezeti visszacsatolás számára kedvező inhomogén környezetet, hanem lehetőséget nyújtanak más mechanizmusok működésére is. Biológiai példák alapján a játékosok stratégiaváltását a régi játékosnak egy új játékossal történő felváltásaként is értelmezhetjük. Ilyen módon a sokáig életben maradó játékos "sikeres", amit a tekintély folyamatos növekedésével vehetünk figyelembe. A munkatársaimmal kidolgozott modellt használva megfigyeltem, hogy egy ilyen típusú, az "öregedést" is figyelembe vevő folyamat is hatékonyan segítheti az együttműködőket. Ezt a korábbi megfigyelésektől lényegesen eltérő, dinamikus mechanizmus révén tudtam magyarázni. Ez a modell arra is rávilágít, hogy milyen feltételek szükségesek a tekintélyelvű közösségekben az együttműködés fennmaradásához. [T9] 4. A hálózatelmélet elmúlt évtizedben bekövetkezett fejlődésének köszönhetően a játékelméleti koevolúciós rendszerek közül a legalaposabban feltártak azok az esetek, amik a kapcsolati rendszer dinamikus változását tételezik fel. Ezen a területen egy olyan modellt vezettem be, ami az új stratégiát átvevő játékos kötéseinek bontása révén nagyon magas kooperációs szintet eredményezhet. [T10] Sikerült megmagyaráznom, hogy ennek hátterében egy olyan, a csoportok eltérő teljesítőképességén alapuló mechanizmus áll, amelynek a működését ilyen típusú modelleknél korábban nem figyelték meg. Az egyszerűsége miatt széles körben alkalmazható dinamika ismét "stratégia semleges", tehát nem feltételezi a magasabb együttes nyereményt biztosító, együttműködő kötések direkt támogatását. [T11] 5.1. Az evolúciós játékelmélet leggyakrabban használt dinamikája az utánzás, a sikeresebb játékos stratégiájának az átvétele. Ez nem mindig tökéletes, amit egy zaj jellegű paraméter révén lehet figyelembe venni. A zaj mértékének a hatása már önmagában is érdekes kérdés. Korábban megfigyeltük azt, hogy reguláris (rács) topológia esetén a determinisztikus határesetben az együttműködők túlélése szempontjából alapvető tulajdonság az, hogy a kapcsolati rendszer tartalmaz e érintkező (perkoláló) háromszögeket. Ennek hiányában az élősködés már minimális nyereménytöbblet esetén is kizárólagossá válik. A topológiára kirótt feltétel érvényességi körének a feltérképezésére ezt a vizsgálatot kiterjesztettük véletlen kapcsolati rendszerrel jellemezhető esetekre. Dinamikus átlagtér közelítés alkalmazásával megmutattam, hogy a rácsoknál felállított kritériumok érvényesek maradnak: a perkoláló háromszögek megléte itt is döntő jelentőségű. [T12] Ez a megfigyelés összhangban volt a Monte Carlo szimulációkkal. A dinamikus átlagtér technika erejét jelzi, hogy jellegében helyes fázisdiagramot adott abban a vizsgálatunkban is, ahol két konfliktusban álló topológiai tényező, a kvázi egydimenziós jelleg és a perkoláló háromszögek szimultán hatását vizsgáltuk. [T13] 7

8 5.2. Az említett zajt leíró paraméter értelmezése meglepően széleskörű. Jellemezheti azt, hogy egy játékos mennyit hajlandó kockáztatni egy sikeresebb állapot elérése érdekében, de leírhatja azt is, hogy egy játékos milyen módon tanul, miként veszi át mások stratégiáját. A koevolúciós modellek logikája szerint akár ez is lehet egyéni jellemző, ami a stratégiához hasonlóan átvehető. A munkatársaimmal kidolgozott modellt vizsgálva szimulációkkal megmutattam, hogy ez a lehetőség a lehetséges tanulási paraméterek közül az egyik kiválasztódását eredményezi. [T14] A fixpont helyzetének mélyebb megértéséhez a kiindulásul szolgáló statikus modellekben is fel kellett térképeznem az együttműködés értékét a teljes paraméter tartományban. Ez alapján azt mondhatjuk, hogy a rendszerben spontán módon olyan tanulási paraméter választódik ki, ami a nyereménymátrix által maximális vagy ahhoz közeli együttműködési szintet fog eredményezni. Mivel sok induló paraméter esetén ez az evolúció nagyon lassú lehet, ezért kidolgoztam egy módszert, aminek a segítségével a fixpont kis rendszerméret és két induló tanulási paraméter esetén is meghatározható. Ugyanez az alapgondolat a dinamikus átlagtér technikában is hasznosítható [T15]. A tézispontokhoz kapcsolódó publikációk [T1] A. Szolnoki and G. Szabó: Cooperation enhanced by inhomogeneous activity of teaching for evolutionary Prisoner's Dilemma games Europhysics Letters 77 (2007) [T2] M. Perc and A. Szolnoki: Social diversity and promotion of cooperation in the spatial prisoner's dilemma game Physical Review E 77 (2008) [T3] A. Szolnoki, M. Perc, and G. Szabó: Diversity reproduction rate supports cooperation in the prisoner's dilemma game on complex networks European Physical Journal B 61 (2008) [T4] A. Szolnoki A, M. Perc, and Z. Danku: Towards effective payoffs in the prisoner's dilemma game on scale free networks Physica A 387 (2008) [T5] M. Perc, A. Szolnoki, and G. Szabó: Restricted connections among distinguished players support cooperation Physical Review E 78 (2008) [T6] A. Szolnoki A and M. Perc: Coevolution of teaching activity promotes cooperation New Journal of Physics 10 (2008) [T7] A. Szolnoki and M. Perc: Promoting cooperation in social dilemmas via simple coevolutionary rules European Physical Journal B 67 (2009)

9 [T8] A. Szolnoki, M. Perc, Z. Danku: Making new connections towards cooperation in the prisoner's dilemma game Europhysics Letters 84 (2008) [T9] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó, H. U. Stark: Impact of aging on the evolution of cooperation in the spatial prisoner's dilemma game Physical Review E 80 (2009) [T10] A. Szolnoki and M. Perc: Resolving dilemmas on evolving random networks. Europhysics Letters 86 (2009) [T11] A. Szolnoki and M. Perc: Emergence of multilevel selection in the prisoner's dilemma game on coevolving random networks New Journal of Physics 11 (2009) [T12] J. Vukov, G. Szabó, and A. Szolnoki: Cooperation in noisy case: prisoner's dilemma game on two types of regular random graphs Physical Review E 73 (2006) [T13] J. Vukov, G. Szabó, and A. Szolnoki: Evolutionary prisoner's dilemma game on Newman Watts networks Physical Review E 77 (2008) [T14] G. Szabó, A. Szolnoki, J. Vukov: Selection of dynamical rules in spatial Prisoner's Dilemma games Europhysics Letters 87 (2009) [T15] A. Szolnoki, J. Vukov, and G. Szabó: Selection of noise level in strategy adoption for spatial social dilemmas Physical Review E 80 (2009) A tézispontokban nem említett, de a témához kapcsolódó publikációk [1] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó: Topology independent impact of noise on cooperation in spatial public goods games Physical Review E 80 (2009) [2] A. Szolnoki, M. Perc, G. Szabó: Phase diagrams for three strategy evolutionary prisoner's dilemma games on regular graphs Physical Review E 80 (2009) [3] G. Szabó and A. Szolnoki: Cooperation in spatial prisoner's dilemma with two types of players for increasing number of neighbors Physical Review E 79 (2009)

10 [4] G. Szabó, A. Szolnoki, and I. Borsos: Self organizing patterns maintained by competing associations in a six species predator prey model Physical Review E 77 (2008) [5] G. Szabó and A. Szolnoki: Phase transitions induced by variation of invasion rates in spatial cyclic predator prey models with four or six species Physical Review E 77 (2008) [6] G. Szabó, A. Szolnoki, and G. A. Sznaider: Segregation process and phase transition in cyclic predator prey models Physical Review E 76 (2007) [7] M. Perc and A. Szolnoki: Noise guided evolution within cyclical interactions New Journal of Physics 9 (2007) 267. [8] M. Perc, A. Szolnoki, and G. Szabó: Cyclical interactions with alliance specific heterogeneous invasion rates Physical Review E 75 (2007) [9] A. Szolnoki, G. Szabó, and M. Ravasz: Three state Potts model in combination with the rock scissors paper game Physical Review E 71 (2005) [10] G. Szabó, J. Vukov, and A. Szolnoki: Phase diagrams for evolutionary prisoner's dilemma game on two dimensional lattices Physical Review E 72 (2005) [11] A. Szolnoki and G. Szabó: Vertex dynamics during domain growth in three state models Physical Review E 70 (2004) [12] A. Szolnoki and G. Szabó: Phase transition for rock scissors paper game on different networks Physical Review E 70 (2004) [13] G. Szabó, A. Szolnoki, and R. Izsák: Rock scissors paper game on regular small world networks Journal of Physics A 37 (2004) [14] M. Ravasz, G. Szabó, and A. Szolnoki: Spreading of families in cyclic predator prey models Physical Review E 70 (2004) [15] G. Szabó and A. Szolnoki: Three state cyclic voter model extended with Potts energy Physical Review E 65 (2002)