Fényelhajlás (diffrakció) P (távol) a) b)

Átírás

1 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Fényelhajlás (diffrakció) Mint minden hullámnál, a fény esetéen is megfigyelhető az a jelenség, hogy a hullámhosszal összemérhető akadályok és rések vagy élek mentén haladva a hullámterjedés nem egyenes vonalú, a hullám ehatol az egyenes vonalú terjedésnek megfelelő árnyéktére A fény esetén az elhajlás nagyon fontos szerepet játszik, meghatározza vagy alapvetően efolyásolja számos optikai eszköz működését, és emellett látványos optikai jelenségeket produkál Itt csupán néhány alapvető jelenséggel foglalkozunk, és megismerkedünk néhány módszerrel, amely alkalmas a fényelhajlás tárgyalására A fényelhajlásnak két szélső esetét szokás megkülönöztetni Az egyik eseten az akadályhoz vagy réshez érkező- és az onnan távozó, elhajlást szenvedett hullám gyakorlatilag síkhullám (a) ára) A fényelhajlásnak ezt az esetét Fraunhofer-elhajlásnak vagy Fraunhofer-diffrakciónak nevezik Közelítőleg ilyennek tekinthető a fényelhajlás, ha a hullám nagyon távoli forrásól (F) érkezik a réshez vagy akadályhoz, és a megfigyelési pont (P) is nagyon távol van tőle A másik eseten vagy a fényforrás (F) vagy a megfigyelési hely (P) olyan közel van a réshez vagy akadályhoz, hogy a eérkező- vagy a megfigyelő irányáa távozó fényhullám nem tekinthető síkhullámnak () ára) Az ilyen fényelhajlást Fresnelelhajlásnak vagy Fresnel-diffrakciónak nevezik rés rés F (távol) P (távol) F P A valóságan az elhajlásjelenségek nem mindig sorolhatók egyszerűen valamelyik csoporta, és a pontossági igények döntik el, hogy használhatók-e az egyszerű Fraunhofer-diffrakcióra vonatkozó összefüggések, vagy a jelenséget Fresnel-diffrakcióként kell tárgyalni Itt részleteseen csak a Fraunhofer-diffrakció néhány fontosa esetét tárgyaljuk, a Fresneldiffrakció prolémakörével csak nagyon röviden foglalkozunk Fraunhofer-diffrakció a) ) A gyakorlatan az elhajlásnak ez az esete úgy valósítható meg, hogy egy pontszerű fényforrásól (F) érkező fényt gyűjtőlencsével párhuzamos nyaláá (síkhullámmá) alakítunk, majd az elhajlás után a párhuzamos nyaláokat egy másik lencsével összegyűjtjük (ára) Így iztosítható, hogy az elhajlásan síkhullámok vegyenek részt F P Joseph FRAUNHOFER (787-86) német fizikus

2 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Fraunhofer-diffrakció hosszú, keskeny résen Első példaként egy keskeny résen áthaladó hullám elhajlását vizsgáljuk meg a Huygens Fresnel-elv alkalmazásával A réshez érkező hullámfront minden pontját elemi gömhullámok forrásaként fogjuk fel, és az elhajlási képet ezeknek a hullámoknak az interferenciájáól számítjuk ki Feltételezzük, hogy a résre síkhullám esik, és az interferencia eredményét a réstől nagyon távoli pontokan szemléljük (vagy a diffraktált sugarakat lencsével összegyűjtjük) Mivel a rés hosszú, a résre merőlegesen minden síkan ugyanaz történik, tehát elég a hullámfrontnak egy résre merőleges metszetét (ami egy egyenes) vizsgálni A számítást az nehezíti, hogy a réshez érkező hullámfront minden pontja hullámforrás, így az elhajlás számításához végtelen sok koherens pontforrás interferenciáját kell figyeleme venni Ezt a prolémát úgy oldhatjuk meg, hogy a résen áthaladó fénynyaláot nagyon keskeny sávokra osztjuk, az egyes sávokat tekintjük pontforrásnak, és ezek hatását összegezzük Így a prolémát visszavezethetjük a pontforrás-soról jövő hullámok interferenciájára Az árán a résre merőleges síkmetszetet látunk, ahol feltüntettünk egy ilyen elemi, dx szélességű sávot is Egymástól a távolságra lévő pontforrások esetén az eredő amplitúdóra azt kaptuk, hogy δ sin N ϑ A A πa = 0, ahol δ = sinϑ δ sin dx Ha csak kis szögeltérítéseket vizsgálunk, akkor δ δ használhatjuk a sin közelítést, amivel az amplitúdó így alakul δ πa sin N sin N sinϑ A = A 0 = A 0 δ πa sinϑ A kis szögeltérítés gyakorlatilag teljesül, mert a megfigyelési pont távol van, és közönséges fényforrásoknál a diffrakciós kép egyéként is csak keskeny szögtartományan figyelhető meg A résre alkalmazott modellen a pontforrásokat helyettesítő elemi sávok középpontjai egymástól dx távolságra vannak, vagyis az a dx helyettesítéssel élhetünk Az elemi források számát a hányados adja meg tehát N helyettesítésére írhatjuk, hogy dx N Az elemi források amplitúdóját arányosnak tekinthetjük a szélességükkel, dx tehát a szélességű résnél létrejött teljes A t amplitúdóól a források amplitúdóját az A A t dx összefüggéssel számíthatjuk ki Így alkalmazhatjuk az t A dx 0 helyettesítést A fenti helyettesítésekkel az amplitúdóra azt kapjuk, hogy

3 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ πdx π sin sinϑ sin sinϑ At dx A = dx = A t πdx π sinϑ sinϑ Az intenzitás eől négyzetre emeléssel kapható: π sin sinϑ sinu I At = = At, π u sin ϑ π ahol u = sin ϑ Tudjuk, hogy a ϑ = 0 szögnél a hullámok erősítik egymást (nincs útkülönség), ezért ott maximális intenzitás (I max ) jön létre Mivel a ϑ 0 eseten u 0, az intenzitás kifejezéséől látszik, hogy sinu lim I( ϑ ) = lim At = At = I ϑ 0 u 0 u Ezzel a jelöléssel az intenzitás: π sin sinϑ I I = max π sinϑ Az elhajlási kép jellegzetességeit az sin u sinu I = I max = I max u u π függvény vizsgálatáól kaphatjuk meg (itt u = sin ϑ ) Eszerint az intenzitás nulla az u = n' π helyeken (n egész szám), kivéve az n =0 sinu esetet, hiszen ekkor lim = miatt maximális az intenzitás Ez azt jelenti, hogy az u 0 u intenzitás azokan az irányokan nulla, amelyekre fennáll, hogy π u = sinϑn ' = n' π, azaz sinϑ n ' = n' (n =,, 3,) A maximumhelyek a minimumok között helyezkednek el, pontos helyüket a di( u ) = 0 du egyenletől határozhatjuk meg, ami a tgu = u transzcendens egyenlethez vezet Ennek megoldásával nem foglalkozunk, annyi azonan így is látszik, hogy a növekvő u (növekvő ϑ) értékekhez tartozó maximumok magassága egyre kise és kise, mert az intenzitásra fennáll, hogy I ~ Ezeket u max

4 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ sinϑ a csökkenő magasságú maximumokat szemlélteti a aloldali ára az n ' = n' függvényéen A tapasztalat igazolja ezt az eredményt: ha egy keskeny, hosszú résen áthaladt fény diffrakciós képét ernyőre kivetítjük, akkor középen erős világos csíkot, ennek két oldalán pedig egymástól sötét csíkkal elválasztott, egyre halványa világos csíkokat látunk (jooldali ára) Érdemes megvizsgálni azt az esetet, amikor << Ekkor a főmaximum két oldalán látható első minimumok irányára jó közelítéssel érvényes, hogy sinϑ ϑ = ± Ennek felhasználásával a résnek egy fontos optikai jellemzőjét lehet meghatározni Ha egy résen két távoli F és F forrásól (pl egy távoli tárgy két pontjáól) érkező fény halad át, akkor mindkettő elhajlási képet hoz létre (ára) A két elhajlási kép általáan egymásra rakódik, és a kérdés az, hogy milyen feltételek mellet tudjuk megkülönöztetni egymástól a két képet A megkülönöztetés annál könnye, minél távola vannak egymástól az elhajlási képek maximumai A megfigyelhetőséghez szükséges minimális távolságot adja meg a Rayleigh-kritérium : a két kép akkor különöztethető meg egymástól, ha a két maximum távolsága legalá annyi, hogy az egyik elhajlási kép maximuma a másiknak az első minimumával esik egye (ára) Mivel egy szélességű résnél az első minimum iránya a fentiek szerint ϑ, két távoli pont képe akkor különöztethető meg egymástól, ha a résre érkező sugarak szöge nagyo, mint ϑ Ezt a mennyiséget a rés felontóképességének nevezik A felontóképességnek komoly szerepe van az általáan nyílásokat tartalmazó optikai eszközöknél Így pl egy mikroszkópan a vizsgált tárgynak csak olyan pontjai különöztethetők meg, amelyekre teljesül a Rayleigh-kritérium Vagyis a lencserendszer geometriai nagyítását egy izonyos határon túl hiáa növeljük, a rés felontóképessége határt sza annak, hogy milyen részleteket tudunk megfigyelni (a nagyítás ezen a határon túl üres nagyítás lesz) F F ϑ=/ ernyő ϑ=/ F diffrakciós képe F diffrakciós képe Lord John William Strutt RAYLEIGH (84-99) Noel-díjas (904) angol fizikus

5 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Ha hosszú, keskeny rés helyett egymással összemérhető a és oldalhosszúságú, téglalap alakú nyílás elhajlási képét vizsgáljuk, akkor a számítások és a tapasztalat is azt mutatja, hogy két egymásra merőleges elhajlási kép keletkezik, amelyek mindegyike hasonlít a rés elhajlási képéhez Az ára felső része az intenzitáseloszlás jellegét mutatja, az alsó részen pedig egy ernyőre vetített elhajlási kép látható Fraunhofer-diffrakció tö résen, a diffrakciós rács Elvi és gyakorlati szempontól is érdekes, hogy mi történik, ha a hullám egy síka eső, egymástól azonos távolságan lévő, párhuzamos rések sorozatán halad át Az ilyen rés-sorozatot általáan rácsnak nevezik, fényhullámok esetén optikai rács elnevezés használatos Ha a rések hosszúak, akkor a résekkel párhuzamosan haladva mindenütt ugyanazt az intenzitást találjuk, ezért elég az elrendezésnek a résekre merőleges síkmetszetét vizsgálni (ára) A rések szélessége, a rések azonos helyzetű pontjainak egymástól mért távolsága a, amit rácsállandónak neveznek Ha a rések vonalszerűek lennének, akkor ez a síkmetszet pontforrásoknak felelne meg, így az ennek megfelelő interferenciakép jönne létre Mivel azonan a valódi rések mindig véges szélességűek, síkmetszetük nem tekinthető egyetlen pontforrásnak, hiszen a véges méretű rések minden pontja elemi hullámok forrásaként működik Az eredő intenzitáseloszlást a résekől kiinduló elemi hullámok interferenciája adja meg Szerencsére az eddig tárgyalt esetek segítségével az intenzitáseloszlás egyszerűen meghatározható Kimutatható ugyanis (a izonyítással itt nem foglalkozunk), hogy tö résen ekövetkező fényelhajlás a résekkel azonos számú (az árán N) pontszerű forrásól jövő fény interferenciájáól származó intenzitásnak ( I Npont ) és egyetlen résen keletkező elhajlási kép intenzitásának ( I rés ) ismeretéen egyszerűen megkapható A részletes számítások szerint a két résen áthaladt fény I intenzitására a fenti két intenzitásól egy I ~ I Npont I rés alakú kifejezést kapunk N dara egymástól a távolságan lévő pontforrásól jövő fény interferenciáját már vizsgáltuk, és megállapítottuk, hogy az intenzitáseloszlást az Nπa sin sinϑ = I Npont I 0 p πa sin sinϑ összefüggés adja meg Az egyedül álló rés diffrakciós képének intenzitáseloszlására azt kaptuk, hogy a N rés ϑ N pont + rés x

6 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ I rés = I max π sin sinϑ π sinϑ Ennek megfelelően a rács mögött kialakuló intenzitáseloszlást az π Nπa sin sinϑ sin sinϑ = I I 0 π πa sinϑ sin sinϑ összefüggéssel adhatjuk meg Ez az összefüggés úgy fogható fel, hogy az N pontforrás interferenciájáól adódó azonos magasságú maximumok sorozatát (a kifejezés második tényezője) modulálja a rés diffrakciójáól származó a szélek felé csökkenő magasságú maximumokat tartalmazó eloszlás (az első tényező) A főmaximumok irányát most is az N pontforrásra érvényes a sinϑn = n ( n = 0, ±, ±, ± 3) egyenletől kaphatjuk meg, a moduláló rés-intenzitáseloszlásának nullhelyei pedig a sinϑ n ' = n' ( n' = ±, ±, ± 3) összefüggésnek megfelelő irányokan helyezkednek el Az ára a rács diffrakciós képének megfelelő intenzitáseloszlást mutatja A pontforrások interferenciájának megfelelő maximumok a vízszintes tengelyen a sinϑ feltüntetett n = n számoknál láthatók, a rés diffrakciójáól származó nulla sinϑ intenzitású helyeket pedig az n ' = n' számok jelölik Látható, hogy a pontforrásoknál kapott azonos magasságú, egyenletesen elhelyezkedő főmaximumok helyett a résdiffrakció moduláló hatása miatt csökkenő magasságú főmaximumok jelennek meg Ha a diffrakciós képet ernyőn

7 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ megjelenítjük, akkor a fenti összefüggésnek megfelelő világos és sötét csíkokat kapunk (ára) Eddig olyan rácsról eszéltünk, amelynek résein a fényhullám áthalad Az ilyen rácsot transzmissziós (áteresztő) rácsnak nevezik Lehet azonan olyan rácsot is készíteni, amely keskeny, párhuzamos tükröző sávokól és a közöttük elhelyezkedő nem tükröző részekől áll Ilyenkor reflexiós (tükröző) rácsot kapunk, amelynél a tükröző sávokról visszaverődő hullámok hozzák létre a diffrakciós képet (a diffrakciós kép ilyenkor nem a rács mögött, hanem előtte keletkezik) Az a sinϑn = n összefüggésől látható, hogy egy rács diffrakciós maximumainak iránya függ a hullámhossztól, vagyis ismert a rácsállandójú rács diffrakciós képéől meghatározva valamelyik főmaximum irányát ϑ n -t, a hullámhossz meghatározható Ha a rácsra különöző hullámhosszakat (különöző színeket) tartalmazó fényt ocsátunk, akkor a különöző hullámhosszakhoz tartozó főmaximumok különöző irányokan vagyis az ernyőn különöző helyeken jelennek meg, így meghatározhatók az összetevő hullámok frekvenciái, vagyis az adott fény spektruma A rácsnak ezen a tulajdonságán alapul az optikáan fontos szerepet játszó rácsspektrométerek működése Egy transzmissziós rács-spektrométer elrendezésének vázlatát mutatja az ára A vizsgálandó fény az F fényforrásól egy kollimátora jut, amely párhuzamos sugárnyaláot állít elő Ez a fény esik az R rácsra, ahol létrejön a diffrakció A rendszerre ocsátott fény rendszerint az ára síkjára merőleges résen megy át, ezért a F maximumok az ára síkjára merőleges vonalak, amelyeket egy köreforgatható T távcsően figyelnek meg Az egyes n értékekhez tartozó maximumokat a diffrakció n- edik rendjének nevezik, a teljes hullámhossztartományan megfigyelhető vonalak összessége a spektrum A spektrométereken használt optikai rácsok rácsállandójának nagyon kicsinek kell lennie, mert értékelhető diffrakciós képet csak akkor kapunk, ha a rácsállandó a hullámhosszal összemérhető Látható fény esetén ez µm nagyságrendű rácsállandót jelent Transzmissziós rács egy üveglemezen párhuzamos karcolásokkal hozható létre, een az eseten a karcolások között épen maradt, áteresztő sávok a rések Reflexiós rács hasonló módon készíthető tükröző fémfelület karcolásával, a diffrakciót adó részek itt is a karcolások közötti tükröző sávok n A maximumhelyek irányát megadó sinϑ n = összefüggésől látszik, hogy rács a esetén az eltérítés szöge annál nagyo, minél nagyo a hullámhossz A rács tehát a látható fény vörös összetevőjét téríti el legjoan A prizmás spektrométereknél, amelyek a törésmutató frekvenciafüggésén alapulnak, az eltérítés fordított, itt a vörös fény eltérítése a legkise n=- K n=- R n=0 T n= n=

8 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Az optikai rács fontos jellemzője, hogy mennyire képes szétválasztani a különöző dϑ hullámhosszú hullámok diffrakciós képének főmaximumait Ezt a D = d n mennyiséggel jellemzik, amit a rács diszperziójának neveznek Ezt a sinϑ = a összefüggés differenciálásával kaphatjuk meg: d(sinϑ ) n d = cosϑ = dϑ a dϑ Eszerint a rács hullámhossz szétválasztó képességét jellemző diszperzió dϑ n D = =, d a cosϑ ami a diffrakció n rendjével növekszik Röntgensugarak elhajlása kristályan A rácson ekövetkező hullámelhajlás speciális, az anyagok szerkezetének vizsgálatáan alapvető szerepet játszó esete a röntgensugarak elhajlása kristályan A kristályos anyagokan az atomok szaályos renden helyezkednek el, kristályrácsot alkotnak Ha egy kristályra elektromágneses hullámot ocsátunk, akkor a hullám számára ez a struktúra téreli rácsot jelent, amelyen diffrakció következik e Ahhoz, hogy a diffrakciós kép értékelhető legyen, az szükséges, hogy a hullámhossz összemérhető legyen a rácsot alkotó atomok távolságával Mivel a kristályokan az atomtávolságok jellemzően 0, nanométer nagyságrendűek, ez a feltétel a röntgensugárzás tartományáa eső elektromágneses hullámok esetén teljesül Tudjuk, hogy egy vonalszerű rács esetén a diffrakciós kép jellege (maximumok helyzete és intenzitása) függ a rácsállandótól, ezért várható, hogy a téreli rácson ekövetkező elhajlási kép függ a kristályeli atomok elhelyezkedésétől Ennek alapján a kristályon áthaladó röntgensugárzás diffrakciós képének elemzésével lehetőség nyílik az atomok elhelyezkedésének, a kristály szerkezetének meghatározására A röntgensugarak elhajlása eléggé onyolult folyamat, amely részleteien a röntgensugarak és az atomok kölcsönhatásának vizsgálata alapján érthető meg Az elhajlás azonan értelmezhető egy egyszerű modell segítségével is A modell szerint, ha egy kristályra röntgensugárzást ocsátunk, akkor az a visszaverődés szaályai szerint visszaverődik az atomok által alkotott rácssíkokról A szomszédos, párhuzamos rácssíkokról visszavert hullámok között útkülönség jön létre (ára), ezért az interferencia következtéen izonyos irányokan intenzitásmaximumokat észlelünk A hullámok akkor erősítik egymást, ha s útkülönségükre fennáll, hogy s= n (n egész szám) Ha a hullámterjedés iránya és a rácssík közötti szöget ϑ-val jelöljük, akkor az ára alapján az útkülönség d sinϑ Erősítés tehát olyan irányokan jön létre, amelyekre d sinϑn = n ϑ ϑϑ s/ d

9 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ (d a párhuzamos rácssíkok távolsága, n egész szám) Ez a röntgendiffrakciós vizsgálatok egyik alapegyenlete, amit Bragg-egyenletnek neveznek Ha a kristályra ismert hullámhosszú monokromatikus röntgensugárzást ocsátunk, és a maximális intenzitás ϑ irányait meghatározzuk, akkor a Bragg-egyenletől a rácssíkok d távolsága kiszámítható A szerkezetvizsgálat gyakorlati megvalósítására töféle eljárást dolgoztak ki Az első ilyen vizsgálatokat Laue megfontolásait követve végezték el A Lauemódszernél egykristályos mintára széles spektrumú röntgensugárzást ocsátottak, és a kristályon áthaladt sugárzás intenzitáseloszlását vizsgálták A Bragg-féle feltétel így a különöző hullámhosszak és rácssík-távolságok izonyos kominációi esetén iztosan teljesül, és az áteresztett sugárzásan lesznek maximális intenzitású irányok A fényképezőlemezen a maximális intenzitású irányokat szaályosan elhelyezkedő pöttyök jelzik A kapott kép elemzéséől a kristály szerkezetére lehet következtetni Az eljárás vázlata a mellékelt árán látható A Bragg-módszernél egykristályos mintára monokromatikus röntgensugárzást ocsátanak, és a visszaverődött sugárzást vizsgálják (ára) A maximális intenzitásnak megfelelő szög megmérésével a Braggegyenletől a megfelelő rácssik-távolság röntgensugár meghatározható Mivel a kristályan az atomokra sokféle sík fektethető, a kristály forgatásával különöző rácssíkseregek diffrakciós képeit és síktávolságait kaphatjuk meg Különöző rácssík távolságok ismeretéen a kristály szerkezete meghatározható eeső sugárzás szórt sugárzás egykristály fényképező lemez Kidolgoztak olyan eljárást is, amelynél mintaként polikristályos anyag is használható Ez a Deye 3 Scherrer -módszer Ennél az eljárásnál a polikristályos mintán áthaladt monokromatikus röntgensugárzás intenzitáseloszlását vizsgálják Mivel a mintáan mindenféle orientációjú krisztallitok megtalálhatók, adott síksereghez tartozó Braggfeltételt különöző helyzetű krisztallitok teljesítik (pl a aloldali árán látható kettő) ϑ forgatható asztal kristály ϑ fotolemez ϑ eeső sugár szórt sugár szórt sugár erősítés helyei William Henry BRAGG (86-94) és fia William Lawrence BRAGG (890-97) angol fizikusok, mindketten Noel-díjasok (95) Max von LAUE ( ) Noel-díjas (94) német fizikus 3 Peter Joseph Willem DEBYE ( ) Noel-díjas (936), holland származású, amerikai fizikokémikus

10 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Emiatt ugyanazon síksereghez tartozó maximális intenzitású sugarak egy kúpfelületen helyezkednek el, és egy nagyo méretű fotólemezen köröket alkotnak Az egyszerűség kedvéért a nagyo méretű fotólemez helyett gyakran csak egy köralakan meghajlított filmszalagot használnak (jooldali ára), amelyen a köröknek csak egy daraja látszik, vagyis körök helyett csíkokat látunk A Bragg- és a Deye Scherrer-módszerhez elvileg monokromatikus (gyakorlatilag egy szűk hullámhossz-tartománya eső) röntgensugárzásra van szükség Ennek előállítása szintén kristályon ekövetkező diffrakció segítségével történhet Ha ismert rácsállandójú kristályra sokféle hullámhosszt tartalmazó röntgensugárzást ocsátunk, akkor a diffrakció következtéen az egyes hullámhosszakhoz tartozó maximális intenzitások különöző irányan jelennek meg Így az irány megválasztásával a számunkra szükséges hullámhossz kiválasztható Az ilyen, közel monokromatikus sugárzás előállítására szolgáló eszközöket monokromátoroknak nevezik Ugyanezzel az eljárással oldható meg az a feladat is, amikor ismeretlen röntgensugárzás hullámhosszát kell meghatározni Ilyenkor a sugárzást ismert rácssíktávolságú kristályra kell ocsátani, és meghatározni az intenzitásmaximumok irányát Ismerve a síktávolságot és lemérve a maximális intenzitásokhoz tartozó szögeket, a sugárzás hullámhossza meghatározható Így módunk van ismeretlen, nem monokromatikus röntgensugárzás spektrumának felvételére is Ez a röntgenspektrométerek működésének alapelve Fresnel-diffrakció Fresnel-diffrakcióról akkor eszélünk, ha a hullámforrásól érkező vagy a megfigyelőhöz eljutott hullám nem síkhullám Ilyenkor egy adott helyen létrejött zavar számítása a Huygens Fresnel-elv segítségével történhet, amely szerint a hullámtér egy adott pontjáan kialakuló hullámot a hullámfront pontjaiól érkező elemi gömhullámok interferenciája szaja meg Ezt az elvet Kirchhoff fogalmazta meg matematikai formáan, amelynek itt egy egyszerűsített változatát tárgyaljuk Eszerint, az S hullámfront (ára) egy elemi ds felülete által kiocsátott gömhullám amplitúdója u N arányos a felületelem nagyságával, és a felületelemtől r távolságan lévő pontan ez az elemi gömhullám a ϑ ds g( ϑ ) r r dψ = ds f t r v S P r zavart hozza létre Az f t függvényt ismertnek tételezzük fel A v fenti kifejezésen az faktor azért jelenik meg, mert mint tudjuk a gömhullám r amplitúdója a távolsággal ilyen módon csökken Az ugyancsak ismertnek tekintett g( ϑ ) függvény azt veszi figyeleme, hogy a ds-ől kiinduló gömhullám hatása attól is függ, hogy a vizsgált pont a felületelemhez képest hogyan helyezkedik el A legnagyo a hatás akkor, ha ϑ = 0, vagyis a pont éppen szemen van a felületelemmel, ha pedig a ϑ szög nő, vagyis a pont oldalra (esetleg hátrafelé) esik a felületelemhez képest, akkor egyre kise Kirchhoff szerint véges S hullámfelületről érkező elemi gömhullámok eredő hatását az elemi felületek hatásainak szuperpoziciója adja meg, vagyis az eredő hullámfüggvényt a Paul SCHERRER ( ) svájci fizikus Gustav Roert KIRCHHOFF (84-887) német fizikus

11 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ g( ϑ ) r ψ ( P,t ) = f t ds r S v integrál adja meg Annál az egyszerű esetnél, amit a továiakan tárgyalunk mindeől azt fogjuk felhasználni, hogy az elemi felületek hatása arányos a felületelem nagyságával, és a távolsággal csökken, továá az eredő hatás a felületelemekől érkező hatások összegeként számítható Példaként azzal az egyszerűsített esettel foglalkozunk, amikor a forrásól érkező hullám hullámfrontja síknak tekinthető (az árán S), és ezen a síkon ismerjük a hullámot A feladat az, hogy meghatározzuk a hullám amplitúdóját egy a hullámfronttól nem túl távoli pontan (P) Ehhez a hullámfrontot elemi felületekre kell osztani, és az elrendezés hengerszimmetriája miatt elemi felületként gyűrűket célszerű választani Egy ilyen gyűrű látható az árán, ahol R a gyűrű nagyoik körének sugara, r 0 a P pont távolsága a sík hullámfronttól, r pedig a P pont távolsága a gyűrű nagyoik körétől Tegyük fel, hogy << r0, és osszuk fel a hullámfrontot olyan elemi gyűrűkre (ára), amelyeknek r távolsága a P ponttól rendre r = r0 +, r 3 r r = r +, r r 0 P rn = rn + Az ilyen módon kiválasztott elemi felületeket Fresnelzónáknak nevezik Könnyen elátható, hogy a Fresnel-zónák dsn = ( Rn Rn )π felülete azonos Ez aól következik, hogy nem túl nagy n esetén << r0 miatt Rn = rn r0 = ( r0 + n ) r0 = r0 n + n r0 n, 4 így ds n = ( Rn Rn ) π r0 π ( n ( n ) ) = r0 π, vagyis a zónák felülete valóan nem függ n-től Mivel az n-edik felületelemtől r n távolságan lévő pontan a fázis a megtett út miatt π δ n = krn = rn értékkel változik meg, a szomszédos gyűrűk azonos helyzetű pontjaiól π π induló hullámok között a P pontan δ n + δ n = ( rn + rn ) = = π fáziskülönség van Ezek a hullámok tehát gyengítik egymást Ha az n-edik zónáól jövő hullám amplitúdója a P pontan A n, akkor az eredő amplitúdó = A A + A A A A ds S R ϑ r ϑ r 0 P

12 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Mivel az elemi felületek azonos nagyságúak, a P-e érkező hullámok amplitúdója pedig a távolsággal és a szöggel csökken, a fenti összegen az egyes tagok monoton csökkennek a sorszámmal Emiatt érdemes a fenti összeget átrendezni: A = A + A A + A3 + A3 A4 + A5 + Een a kifejezésen a zárójelen lévő tagok összege közelítőleg nulla, vagyis A A Ez azt jelenti, hogy a P pontan a hullámot lényegéen a hullámfrontnak a ponttal szemen lévő része (a középső Fresnel-zóna) adja, de az / szorzó jelzi, hogy a töi zónák csökkentő hatása is érvényesül Ezek után nézzük meg, hogy milyen hullámot kapunk egy speciális helyzetű P pontan (ára), ha a hullám egy a sugarú, kör alakú nyíláson halad át vagy egy a sugarú, kör alakú akadály kerül az a útjáa A fenti meggondolások szerint a P-en megjelenő hullám amplitúdója attól függ, hogy a rés hány zónáól jövő hullámot enged át, illetve az akadály hány zónát takar le Mivel egy zóna R n sugara függ a P pontnak a hullámfronttól való r 0 távolságától r 0 P ( Rn r0 n ), adott a sugarú nyílás vagy akadály esetén az áteresztett illetve letakart zónák száma függ az r 0 -tól, adott r 0 esetén pedig a-tól Ezért akár r 0 -t, akár a-t változtatjuk, a P pontan kapott kép változik Diffrakció kör alakú nyíláson Először egy kör alakú, a sugarú nyílás esetét tárgyaljuk aan az eseten amikor a nyílás rendre egy-, két- vagy három zónát enged át Ha a = r 0, akkor a nyílás területe a π = r0 π vagyis a nyílás éppen az első Fresnelzónáról jövő hullámot ereszti át Ekkor A A Látható, hogy az amplitúdó nagyo, mint nyílás nélkül, aminek az az oka, hogy most letakartuk az amplitúdót csökkentő zónákat Ha a = r 0, akkor a nyílás területe a π = r0 π vagyis a nyílás az első két Fresnelzónáról jövő hullámot ereszti át Ekkor A A A 0, vagyis ilyenkor P-en sötét foltot látunk Ha a = 3r 0, akkor a nyílás területe a π = 3r0 π vagyis a nyílás az első három Fresnelzónáról jövő hullámot ereszti át Ekkor A A A + A3 = A + A A + A3 + A3 ( A + A3 ), vagyis ismét van hullám a P pontan Látható, hogy páratlan áteresztett zóna esetén a P pontan világos foltot, páros számú áteresztett zóna esetén pedig sötét foltot látunk Ennek a ténynek egy érdekes alkalmazása a Fresnel-féle zónalemez Ez egy olyan kör alakú akadály, amely lefedi a páros sorszámú Fresnel-zónákat és átengedi a páratlan számúakól érkező hullámot Ekkor a P pontan a lefedetlen zónákól származó amplitúdók összegződnek:

13 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ A = A + A3 + A5 + A zónalemez tehát a megfelelő r 0 távolságan lévő P pontan összegyűjti a hullámokat: lencseként viselkedik Diffrakció kör alakú akadályon Itt azt az esetet vizsgáljuk, amikor a körlap rendre egy-, két- vagy három zónát takar le Ha a = r 0, akkor körlap éppen az első Fresnel-zónát takarja le Ekkor A 0 + A A3 + A + A A3 + A4 + A4 A5 + A6 + vagyis A A Látható, hogy az akadály ellenére a P pontan világos folt jön létre Ha a = r 0, akkor a körlap az első két Fresnel-zónát fedi le Ekkor A A3 A4 + A3 + A3 A4 + A5 + A5 A6 + A7 +, vagyis A A 3, tehát P-en ismét világos foltot látunk Ha a = 3r 0, akkor a körlap az első három Fresnel-zónát fedi le Ekkor A A4 + A4 A5 + A6 + A6 A7 + A8 +, vagyis most is világos folt van a P pontan Látható, hogy ármilyen méretű körlap esetén az első áteresztett zóna megjelenik a P pontan, vagyis mindig világos foltot látunk (a folt intenzitása természetesen a körlap méretének növelésével csökken) Diffrakció résen Hasonló módon kaphatjuk meg az eredő hullámamplitúdót egy réssel szemen fekvő pontan, csak itt a Fresnel-zónák nem gyűrűk, hanem a réssel párhuzamos csíkok

14 KÁLMÁN P- TÓTH A: Hullámoptika/ Fényelhajlás (diffrakció) 4 Fraunhofer-diffrakció4 Fraunhofer-diffrakció hosszú, keskeny résen 5 Fraunhofer-diffrakció tö résen, a diffrakciós rács 8 Röntgensugarak elhajlása kristályan Fresnel-diffrakció3