Gázok, folyadékok áramlásának törvényszerűségei

Átírás

1 Orvosi fizika I/7 Gázok, folyadékok áramlásának törvényszerűségei Bari Ferenc egyetemi tanár SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Szeged, 015. október 1.

2 A hőtan főtételei 1. főtétel: Egy hőtani rendszer belső energiájának megváltozása egyenlő a vele közölt hő és a környezet által rajta végzett munka összegével. Ez az általános energia-megmaradás elve: környezetétől elszigetelt rendszerben, bármilyen folyamatok is mennek végbe a rendszeren belül, az energiák összege állandó.. főtétel: Nem lehetségesek olyan körfolyamatok, amelyeknek egyetlen eredménye az, hogy egy hőtartályból felvett hővel egyenlő értékű munkavégzés történjék. Nem lehetségesek olyan folyamatok, amelyek egyetlen eredménye az, hogy a hidegebb test hőt ad át a melegebb testnek. A hő magától csak a melegebb helyről a hidegebbre mehet át: a természetben a spontán folyamatok iránya olyan, hogy a hőmérséklet-különbségek kiegyenlítődnek. Zárt rendszerben a spontán (önmaguktól lezajló) folyamatok olyan módon mennek végbe, hogy a rendszer entrópiája növekedjen. 3. főtétel: Abszolút zérus fokhoz (0 K) közeledve a kémiailag egységes anyagok entrópiája zérushoz tart. Ennek következménye, hogy az abszolút zérus fokhoz közeledve az anyagok fajhője zérushoz tart. A termodinamika III. főtételének más megfogalmazása: az abszolút zérus fok véges számú lépésben nem érhető el. 0. főtétel mely szerint, ha két test külön-külön hőegyensúlyban van egy harmadik testtel, akkor egymással is hőegyensúlyban vannak

3 Energiaváltozás(E) = Hőközlés(Q) + Munkavégzés(W) Megállapodásszerűen az előjelet a rendszer szempontjából nézve szokás megadni. Pozitív az (az energiacsere közben végzett munka, vagy hő) előjele, ha azt a vizsgált rendszer kapja, negatív abban az esetben, ha leadja. pedig Az I. főtétel szerint, ha egy folyamat állandó térfogaton megy végbe, és nem végez munkát, akkor a belső energia megváltozása egyenlő a hővel, vagyis E= U = Q. 3

4 Halmazállapotok

5 szilárd folyékony gáz Összetartó erő részecskék között igen erős a kölcsönhatás, erősebb, mint a folyadékok vagy légnemű anyagok esetén részecskék között molekuláris erők működnek, melyeknek hatótávolsága kicsi, de nagysága jelentős és mindig vonzó jellegű Részecskék elmozdulása rezgőmozgás folyadékok részecskéi szakadatlan, rendezetlen mozgást végeznek. (BROWN mozgás tej-virágpollen) a részecskék elgördülnek egymáson Térkitöltés Alak Összenyomhatóság nagyon sok részecskéből álló rendszer, melynek térfogata állandó alaktartók, csak megfelelően nagy erőkkel lehet azt megváltoztatni a részecskék közötti taszítás miatt nem lehet összenyomni őket részben kitöltik teret (térfogatuk állandó) önálló alakjuk nincs, mindig a tárolóedény alakját veszik fel a részecskék közötti taszítás miatt nem lehet összenyomni őket a részecskék között erőhatás nincs (ideális gáz) részecskék szakadatlan, rendezetlen mozgást végeznek Brown mozgás mindig kitöltik a rendelkezésre álló teret nincs meghatározott alakjuk bizonyos mértékig összenyomhatók, összenyomáskor a részecskék mérete nem változik, csak közelebb kerülnek egymáshoz

6 Térfogati hőtágulás 0 1 T 0 T l l t T T V V T T l l V t t t 0 1 T 0 T V V t 6

7 A gázok állapotegyenlete Termodinamikai paraméterek: az anyagi rendszert egyértelműen jellemzik, egyensúlyi állapotban egyértékűek (p, V, T, E, S) Állapotjelzők Közvetlenül mérhetők (p, V, T, n) Állapotfüggvény az állapotjelzők nem függetlenek egymástól f p, V, T, n 0 7

8 Általános gáztörvény pv T p0v T 0 0 állandó pv nrt n: anyagmennyiség [mol] N: részecskeszám p: nyomás V: térfogat T: hőmérséklet R: univerzális gázállandó (=8,31 J/mol K) N A : Avogadro-féle szám (=6,0*10 3 ) k: Boltzmann állandó (=1,38*10-3 J/K ) pv NkT k R N A 8

9 Állapotváltozások Izotermikus: T = állandó (Boyle-Mariotte-törvény) Izobár: p = állandó (Gay-Lussac I. törvénye) Izochor: V = állandó (Gay-Lussac II. törvénye) 9

10 A kinetikus gázelmélet Leukipposz, Demokritosz, Dalton: Az anyag atomokból áll Avogadro: Molekulák Brown-mozgás, diffúzió, hőmozgás A kinetikus gázelmélet alapfeltevései: ideális gáz: atomok/molekulák, pontszerűek nagyszámú részecske (~10 4 ) gázrészecskék egymással és az edény falával ütköznek, más kölcsönhatás nincs egyensúlyban a gázrészecskék egyenletesen kitöltik a teret 10

11 Kinetikus gázelmélet csak haladó mozgás d I pa F csak az edény falával való ütközés d Mennyi ütközik? amennyi az Av x átl dτ térfogatrészben van I( v x ) N ütköző d I( v x ) d N ütköző x x v x v y v z v 3v x 3 N 1 p v pv N k 3 V k 1 v 3 kt pv NkT 11

12 Az ekvipartíció tétele Egyatomos gázok (He, Ne, Ar...): Szabadsági fok ( f ): az energiatárolás független lehetősége Egyatomos gáz: f = 3 kt v v v v z y x k z y x v v v kt v x kx 1 1 1

13 Kétatomos gáz (H, N ) transzláció: f = 3 rotáció: f = Összesen: f = 5 k 5 1 kt 1 E összes N 5 kt Többatomos gáz: f = 6 Szilárd anyagok: f = 6 Ekvipartíció-tétel: 1 részecske 1 szabadsági fokára jutó energia: 1 kt 13

14 Ideális gázok belső energiája U f NkT f nrt A belső energia csak a hőmérséklettől függ 14

15 Reális gázok állapotegyenlete Reális gázok: nem pontszerűek (véges térfogat) részecskék közötti (vonzó) kölcsönhatás van der Waals-féle állapotegyenlet: p n a V V nb nrt 15

16 Folyadékok Másodlagos kötőerők szerepe domináns az alkotórészek között Térfogat nem (ill. nehezen) változtatható Alak könnyen változtatható Mozgó részecskék. A felszín növeléséhez energia kella felszín minimalizása- gömb alak

17 A folyadékok (gázok)mechanikájának orvosi területei Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 vérkeringés artériás rendszer kapilláris rendszer vénás rendszer nyirokkeringés légzés felső légutak perifériás légutak egyéb testnedvek

18 Az áramlási rendszer elemei: 1. Az erek és ellenállások 1. A csövek első közelítés merev fal, kör keresztmetszetű második közelítés egy részük rugalmas falú. A folyadék 1. Mi lenne, ha ideális lenne - nem az. Newtoni folyadék 3. Áramlási tulajdonságok 1. lamináris-turbulens. A pumpa (nyomásgenerátor-szív) 1. Nyomásviszonyok- a nyomások mérése

19 Miért áramlik a folyadék, vér az erekben, miért áramlanak a gázok? Az 187-ben felfedezett Ohm-törvény szerint az alkalmazott feszültség és az átfolyó áram arányos: Analógia: U = I R U nyomáskülönbség = ΔP= P -P 1 I R folyadék (gáz) áram = Q= tömeg/idő (vö. töltés/idő) ellenállás (áramlási akadály)= a geometria és az anyag határozza meg Georg Simon Ohm ( ) Az áramsűrűség: felületegységen áthaladó áram j =I/A Az áramlást mindig nyomáskülönbség hajtja (van ozmotikus nyomás is!!)

20 Egy kis elemi áramlástan Nyomás h Q h Q Q ~ P Hossz L Q L ½ Q Q ~ 1 L Sugár r Q r Q 4 Q ~ r 4 Viszkozitás Q ½ Q Q ~ 1 Q = P r 4 L 8 Az érátmérő (r 4 ) a vaszkuláris ellenállás legfontosabb meghatározója Az érátmérő változtatása a vaszkuláris ellenállás leghatásosabb szabályozó eszköze: - vazokonstrikció - vazodilatáció R = L r 4 8

21 Áramlások felosztása Térben Lamináris v. réteges Turbulens (kavargó, örvénylő) Időben Stacionárius áramlás: az áramlási cső adott keresztmetszetén, adott idő alatt egyenlő tömegű ill. térfogatú folyadék áramlik át. Időben változó. Az áramló folyadék belső súrlódása szempontjából Ideális folyadék (súrlódásmentes) Nem ideális v. reális folyadék (súrlódó erők a részecskék között)

22 Folyadékok mechanikája Hidrodinamika Kontinuitási egyenlet: a folyadékok stacionárius áramlására v A v A ha a ρ állandó: v A v A 1 1

23 Stacionárius áramlás esetén az áramcső bármely időegységében ugyanannyi tömeg halad át. INKOMPRESSZIBILIS közeg esetén keresztmetszetén állandó v A állandó m s 3 Összenyomhatatlan közeg áramlása esetén az áramcső bármely keresztmetszetén időegység alatt ugyanakkora térfogatú közeg halad át. 3

24 Artériás és vénás nyomások a gravitáció hatása Hidrosztatikai nyomás a szív szintje

25 Ideális folyadékok: a Bernoulli törvény Daniel Bernoulli ( ) Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 v: sebesség : sűrűség g: nehézségi gyorsulás h: magasság sztatikus nyomás hidrosztatikus nyomás dinamikus nyomás

26 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Artériás nyomások a testhelyzet hatása

27 Nyomás és áramlási sebesség az artériás rendszerben szisztolés átlag diasztolés A szív szakaszos működése miatt a nyomás és az áramlás egyaránt időben változó

28 Az artériás rendszer főbb ágai aortic valve William Harvey ( )

29 érszűkület értágulat Hademenos G J, Massoud T F Stroke 1997;8: Copyright American Heart Association

30 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Összkeresztmetszet és sebesség a nagyvérkörben

31 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Vérnyomások a nagyvérkörben

32 Vérnyomások a nagyvérkörben Mi hozza létre a nyomást? A szívizom összehúzódása (a falfeszülés) Laplace törvény! Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 A falfeszülés fokozódik

33 Viszkozitás (belső súrlódás) Folyadék áramlással szembeni ellenállásának mértéke Abszolút vagy dinamikus viszkozitás. A viszkozitás következtében az áramló folyadék egymáson elcsúszó rétegei között súrlódási erő lép fel, ami a rétegek relatív elmozdulását akadályozza. SI-mértékegysége: Pa.s [Ns/m] A viszkozitás egyenlő a nyírófeszültség és a folyás irányára merőlegesen egységnyi hosszra jutó sebességváltozás hányadosával.

34 Reális folyadékok a súrlódás A Newton-féle súrlódási törvény Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 F: súrlódási erő : viszkozitás A: felület v/h: sebességesés

35 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Lamináris stacionárius áramlás csőben

36 A Hagen-Poiseuille törvény térfogatáramlás: p/l: nyomásgradiens R: a cső belső sugara : viszkozitás Jean-Louis-Marie Poiseuille ( ) Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen ( )

37 Reális folyadékok: a vörös vértestek Nagy sebesség a cső tengelyében alacsony hidrosztatikus nyomás (Bernoulli törvény) VVT koncentrálódás Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905

38 Reális folyadékok, állandó áramlás: a parabolikus sebességprofil torzulása C: állandó viszkozitás A&B: a viszkozitás nő a tengely felé Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905

39 437B679BD18

40 Vörösvértestek aggregációja lineáris elágazódó

41 Reális folyadékok: turbulencia billentyűk érszűkület elágazódások aneurizmák gégefő hörgszűkület Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905

42 Turbulens áramlás Kritikus sebesség (vcrit) a Reynolds számtól Re), viszkozitástól (), sűrűségtől () és a cső sugarától (r) függ. Sebesség érték ahol a lamináris áramlás turbulensre vált. Reynolds-szám (aorta~3400) Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 e e csőben áramló folyadék esetén:

43 Relatív viszkozitás emberi VVT, merev gömbök, merev tárcsák, cseppek és sarlósejtek Az emberi vér viszkozitása nem állandó Az áramlás sebessége megváltoztatja!

44 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Impedancia

45 Az impedancia fogalma Impedancia (Z): spektrális (azaz frekvenciatartománybeli) kapcsolat az áramlás és a nyomás között fázisban lévő komponens: a reális (valós) rész ill. rezisztencia (R) fázison kívüli komponens: az imaginárius (képzetes) rész ill. reaktancia (X) másképpen: magnitudó Z =(R +X ) 1/ fázis f=arctg (X/R) Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 áramlás nyomás

46 Az arteriás rendszer (bemeneti) impedanciája Meghatározói: belső súrlódás (energiavesztés) parabolikus lamináris torzult lamináris turbulens a fal tágulékonysága (energiatárolás) a folyadékoszlop tehetetlensége (energiatárolás) Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 visszaverődések

47 A véráramlás mérése Ultrahangos: az adó (T) hanghullámokat bocsát ki, melyeket az R vevő érzékeli. Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Elektromágneses: észak-déli (N-S) mágneses tér merőleges az ármalás irányára; a mindkettőre merőleges elektródapárban áram keletkezik

48 Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Az artériás nyomás nem-invazív mérése

49

50 Az artériás nyomás neminvazív mérése A mandzsetta módszer a szisztolés nyomás mérése (Riva-Rocci, 1896) A hallgatózásos módszer (Korotkov, 1905)

51 Az artériás nyomás nem-invazív mérése: az elv Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Nikolaj Szergejevics Korotkov

52 Az artériás nyomás nem-invazív mérése: a hangok keletkezésének mechanizmusai a falak szétpattanása Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 kavitáció turbulencia egyéb elméletek és kombinációik

53 MP36 Az artériás nyomás neminvazív mérése: kísérleti összeállítás BIOPAC STUDENT LAB SYSTEM Pcuff Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 mic EKG Orvosi fizika Folyadékok mechanikája (01)

54 Az artériás nyomás nem-invazív mérése: vérnyomásértékek szisztolés (SBP) közép (MAP) diasztolés (DBP) A1 A PP Riva-Rocci, 1896 Korotkoff, 1905 Pulzusnyomás (PP): PP=SBP-DBP artériás középnyomás (MAP): MAP=DSP+PP/3 (A1 A) idő

55 Nyomás és áramlási sebesség az artériás rendszerben szisztolés átlag diasztolés

56 Folyadékok mechanikája - határfelületi jelenségek Felületi feszültség A szabad felszíne másképpen viselkedik, mint azt hidrosztatikai törvények alapján várnánk. A víz felszíne behorpad, a felszín úgy viselkedik, mintha az egy rugalmas hártya lenne. Megfigyelhető továbbá, hogy a folyadékok felszíne az edény falánál vízszintes sík helyett görbült felülettel jellemezhető.

57 Folyadékok mechanikája Határfelületi jelenségek A drótkeret függőleges helyzetében az l hosszúságú drótdarab nyugalmi állapotának az a feltétele, hogy a drótdarab és a rá függesztett kis test együttes súlya megegyezzen az F h erő nagyságával. A mérések szerint az F h erő független a hártya A felületétől, és arányos az l hosszúsággal: F h l A -es szorzó a hártya két (elülső és hátulsó) felületének hatásából adódik. Az arányossági tényezőt felületi feszültségnek nevezzük. Az egysége [N/m]. A Felületi feszültség l F h Az előzőek általánosításaként elmondhatjuk, hogy a folyadék felszínét határoló görbe bármely s hosszúságú vonaldarabjára a felszín érintősíkjában a vonaldarabra merőlegesen F Δs nagyságú erő hat.

58 Folyadékok mechanikája Felületi feszültség F Δs A folyadékok felületi feszültsége hőmérsékletfüggő, a hőmérséklet növekedésével a csökken. szobahőmérsékletű vízre: Határfelületi jelenségek Ugyanekkora erő hat a folyadékfelszín belsejében kijelölt görbe bármely Ds vonalelemének mindkét oldalára. H O 073 0, N m a higanyra pedig: Hg 0, 5 N m

59 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Határfelületi jelenségek Ha afolyadékhártyával kitöltött keret l hosszúságú mozgatható oldalát Dx úton függőlegesen lefelé elmozdítjuk, akkor a felületi feszültségéből származó erő ellenében W Fx lx ΔA Folyadékok mechanikája Felületi energia munkát végzünk, ahol DA = ldx a felület megváltozását (növekedését) jelöli. A folyadék felülete a megnövelése közben végzett munka révén potenciális energiához jut. A potenciális energiának ez a fajtája a felületi energia. A folyadékok felszíne csak munkavégzéssel növelhető. A felszín növelésére végzett munka a folyadék felületi energiáját növeli: ΔE ΔW ΔA A felületi feszültség a folyadék felszínének egységnyi növeléséhez szükséges munkát is jelenti. Ezért a -t másképpen fajlagos felületi energiának vagy fajlagos felületi munkának is nevezzük. A Dx l F h

60 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Határfelületi jelenségek A görbületi nyomás meghatározásához tekintsük az ábrán látható R sugarú szappanbuborék gömböt. Folyadékok mechanikája Görbületi nyomás A sugár DR-rel való megnövelésekor a gömb felületének megváltozása ΔA 4 R ΔR π 4R π A felület növekedésével a felületi energia megváltozása: ΔE ΔA 8RπΔR Itt kihasználtuk, hogy DR <<R és ezért a (DR) -et tartalmazó tagot a felület változásának számításakor elhanyagoltuk.

61 KONTINUUMOK MECHANIKÁJA Határfelületi jelenségek Folyadékok mechanikája Görbületi nyomás A gömb sugarának DR -rel való megváltozása során a belső túlnyomásból (p t ) származó erő (F) a DR úton munkát végez: ΔW FR pt AR ahol és A R π p t F A 4 A felszín növelésére végzett munka egyenlő a felületi energia megváltozásával, azaz W E, ebből pedig adódik: p t A 16Rπ R 4 AR 4R πr R Mivel a szappanbuborékot két gömbfelület határolja, így az egyik felülethez a fenti egyenlettel adott nyomás felének megfelelő görbületi nyomás (p g ) tartozik p g R A görbületi nyomás mindig a görbült felület homorú oldala felé mutató nyomóerőt eredményez.

62 Határfelületi jelenségek Kohéziós és adhéziós erők A folyadék és az edény fala (egy szilárd test) érintkezésekor is tapasztalunk felületi jelenségeket. A folyadék és a vele érintkező szilárd test részecskéi között fellépő vonzó kölcsönhatási erőket adhéziós erőknek nevezzük. A kohéziós és az adhéziós erők együttes hatásának következménye a folyadék felületének az edény falánál tapasztalható görbültsége. A nyugvó folyadék felülete mindig merőleges a rá ható erők eredőjére. Az ábra azt az esetet mutatja, mikor az adhéziós erő (F a ) nagyobb, mint a kohéziós erő (F k ) falra merőleges komponense, és így a folyadék nedvesíti az edény falát. (Ilyen pl. a víz egy tiszta falú üvegedény esetén.)

63 Határfelületi jelenségek Kohéziós és adhéziós erők Itt a kohéziós erő falra merőleges komponense nagyobb, mint az adhéziós erő és a folyadék felülete ismét merőleges a két erő eredőjére. Az ilyen folyadék nem nedvesíti az edény falát. (Erre az esetre példa a higany és az üvegedény érintkezése.) Megjegyezzük, hogy a folyadékmolekulákra ható nehézségi erő az adhéziós és a kohéziós erők mellett elhanyagolható, ezért az edény falánál kialakuló görbültségre nincs hatása. Az edény és a folyadék érintkezési pontján át a folyadék felszínéhez fektetett érintősík és az edény fala által bezárt szöget illeszkedési szögnek nevezzük. π illeszkedési szög esetén a folyadék nedvesíti az edény falát. A π - vel illeszkedő folyadék nem nedvesíti az edény falát.

64 Az alveolusok mozgása egészséges és surfactant hiányos tüdőnél p Egészséges tüdő 5 H O cm P RDS H O cm

65 Az alveolusok nyitva tartása aktív folyamat

66 Irodalom Orvosi Biofizika. Damjanovich S., Fidy J., Szöllősi J. (szerk). Medicina, Budapest 009, pp

67 A folyadékok belső súrlódása A belső súrlódás (viszkozitás) a folyadékoknak az a tulajdonsága, hogy a különböző sebességgel mozgó részecskék között súrlódási erők ébrednek. A különböző sebességgel mozgó folyadékrétegek között a belső súrlódás következtében csúsztatófeszültség ébred, amely Newton szerint az alábbi összefüggéssel számítható: ahol - a csúsztatófeszültség, Pa - a dinamikai nyúlóssági (viszkozitási) tényező, Pa s - a sebesség irányára merőleges egységnyi hosszra eső s sebességváltozás (sebesség gradiens), s-1 HEFOP