A GIMNÁZIUMOK ELSŐ OSZTÁLYA SZÁMÁRA

Átírás

1 Milan O. Raspopović FIZIKA A GIMNÁZIUMOK ELSŐ OSZTÁLYA SZÁMÁRA Értékelő bizottság:

2 prof. dr Jablan Dojčilović mr Svetomir Dimitrijević Saveta Divljaković Szerekesztők: Dragoljub Pećanac Žarko Jović Felelős szerkesztők: Nebojša Jovanović mr Nikola Stojanac A kiadó részéről: prof. dr Radoš Ljušić, igazgató és főszerkesztő ISBN A Szerb Köztársaság Oktatásügyi és Sport minisztere én kelt /03 számú végzésével engedélyezte a tankönyv használatát.

3 TARTALOMJEGYZÉK Előszó Hogyan tanuljuk a fizikát? BEVEZETŐ A fizika mint természettudomány A fizika tárgya A fizika feladata Kísérlet és elmélet Fizikai mennyiségek Alap- és származtatott mennyiségek Fizikai törvények Vektorok és alapvető műveletek a vektorokkal Skalári és vektoriális fizikai mennyiségek Vektorokkal történő műveletek KINEMATIKA Mechanikai mozgás A mozgás relativitása Vonatkoztatási rendszer Helyzetvektor Egyenletes és változó mozgás Pálya és út Elmozdulás Sebesség és gyorsulás Átlagsebesség értéke Pillanatnyi sebesség A sebességek összegezésének (összeadásának) klasszikus törvénye Átlaggyorsulás Pillanatnyi gyorsulás Merőleges (radiális) és az érintőirányú (tangenciális) gyorsulás Állandó gyorsulással történő egyenesvonalú mozgás Állandó gyorsulással mozgó testek által megtett út A sebesség és a megtett út összfüggése Az anyagi pont körpályán történő mozgása Szögelfordulás és a teljes szögelfordulás Szögsebesség A sebesség és a szögsebesség kapcsolata Szöggyorsulás Az érintőirányú és a szöggyorsulás kapcsolata Egyenletes körmozgás Periódusidő és a frekvencia Centripetális (merőleges gyorsulás) A haladó és a forgómozgás A testek mozdulatlan tengely körüli forgómozgása Szögelfordulás és a teljes szögelfordulás A szögelfordulás vektortermészete Szögsebesség Szöggyorsulás Hasonlóság a haladó és forgómozgás között Összefoglalás DINAMIKA A testek kölcsönhatása (interakció). Az erő Az erő A testek tömege A testek lendülete Newton első törvénye (A tehetetlenség törvénye) Newton második törvénye A dinamika alapegyenlete Newton harmadik törvénye (Hatás és ellenhatás törvénye) A tehetetlenségi vonatkoztatási rendszer Galilei-féle relativitási elv A nem-inerciális vonatkoztatási rendszerek A tehetetlenségi erő A körmozgás dinamikája Centripetális erő Centrifugális erő A vektorok skaláris és vektoriális szorzata A vektorok skaláris szorzata Két vektor vektoriális szorzata A forgómozgás dinamikája Erőnyomaték Tehetetlenségi nyomaték A testek perdülete 3

4 Az anyagi pont perdülete A forgómozgás dinamikájának alapegyenlete A haladó és a forgömozgás dinamikai mennyiségei és összefüggései közötti hasonlóságok Összefoglalás STATIKA Egyensúly Az anyagi pont egyensúlya Két párhuzamos, azonos irányú erők összegezése Két párhuzamos, ellentétes irányú erők összegezése A merev test egyensúlya Az egyensúly fajtái Emelők Összefoglalás Súrlódás. Súrlódási erő Statikai súrlódás. Nyugalmi állapotban lévő testek súrlódása A testek csúszásakor jelentkező súrlódás A levegő ellenállása és a határsebesség GRAVITÁCIÓ Kepler-törvények Newton-féle gravitációs erőtörvény A Földfelszín közelében ható nehézségi erő A Föld nehézségi ereje A szabadesés gyorsulása A testek súlya A tömeg és a súly A gravitációs mező A gravitációs térerősség Az anyagi pont gravitációs térereje Mozgások a Föld gravitációs terében Függőlegesen lefelé hajítás Szabadesés Függőlegesen felfelé hajítás Vízszintes hajítás Ferde hajítás Súlytalansági állapot Összefoglalás MUNKA ÉS ENERGIA Mechanikai munka Mozgási energia Forgási energia Munka és a mozgási energia Teljesítmény Helyzeti energia Konzervatív erők A gravitációs kölcsönhatás helyzeti energiája A Földfelszíntől nagy távolságban lévő testek helyzeti energiája A gravitációs tér (a Föld) potenciálja A rugalmas alakváltozások helyzeti energiája Összefoglalás A MECHANIKA MEGMARADÁS- TÖRVÉNYEI Bevezető Lendületmegmaradás törvénye Példák a lendületmegmaradás törvényére Reaktív mozgás Perdületmegmaradás törvénye A mechanikai energia megmaradási törvénye A haladó és forgómozgás energia-mennyiségei közötti hasonlóságok Kozmikus sebességek Névmutató Fogalomjegyzék Utószó 4

5 Tisztelt tanulók! A fizika számotokra nem új tudomány. Az elemi iskolában alkalmatok volt megismerni ennek a természettudománynak az alapelemeit. A gimnázium első három évfolyamán kiszélesítitek és elmélyítitek tudástokat a klasszikus fizika tárgykörében amely mint természetről szóló tudomány a XX. század kezdetéig alakult ki. Ez három hatalmas tárgykört foglal magába. Ezek a:mechanika (a mozgásokat leíró tudomány),a termodinamika (a hőjelenségekkel foglalkozó tudomány), és az elektrodinamika (az elektromos testekről-részecskékről, fizikai mezőkről szóló tudomány). A XX. század első felében történt korszakalkotó felfedezések megváltoztatták a világnézetünket. Ebben az időszakban alakult ki az új fizika, amit a klasszikus fizikával ellentétben modern fizikának nevezünk. a modern fizika alapjait majd a gimnázium befejező osztályában ismerjük meg. A tankönyv hét témakört tartalmaz: 1. BEVEZETŐ. KINEMATIKA 3. DINAMIKA 4. STATIKA 5. GRAVITÁCIÓ 6. MUNKA ÉS ENERGIA 7. MECHANIKA MEGMARADÁS-TÖRVÉNYEI Minden témakör végén rövid összefoglalás van az átvett tananyag áttekintéséről, majd kérdések és feladatok. Az összefoglalásban a fontosabb fogalmak, mennyiségek és törvények vannak megismételve. A kérdések és feladatok a tanulók önálló munkáját igénylik és az önálló tudásfelmérést teszik lehetővé. A feladatok az alapvető fizikai mennyiségeket kapcsolják egybe és megmutatják a törvények alkalmazását a gyakorlati problémák megoldásában. A tankönyvben néhány olyan témakör is fel van dolgozva, amely a fizika iránt érdeklődő tanulók, de a versenyeken résztvevő tanulók számára is hasznos. Ezek a természettudományi irányítottságú tanulók számára is ajánlottak. Az előadók a saját megítélésük szerint válogathatnak, hogy a felajánlott témák közül melyeket hagyják ki, vagy dolgozzák fel a rendes, illetve az emelt szintű tanítási órákon. A (*)-gal megjelölt kérdések és feladatok elsősorban a természettudományi szakirányú tanulók számára készültek. A fizika nagy lehetőségeket kínál az önálló tanulásra, mert olyan tudomány, amely felkelti a kíváncsiságot és érdeklődést a természet titkainak megismerésére. E redményei átszövik a modern technikát, amelyek nélkül elképzelhetetlen a mai ember élete. A mindennapi gyakorlati problémák megoldása szükségszerűen megköveteli ennek a tudománynak az ismeretét. A fizika tanulása nem csak kiszélesíti a természetről szerzett tudást és annak alkalmazási lehetőségét, hanem gazdagítja a logikus gondolkozás stílusát, a képzelőerőt, amely egészen a fantasztikum határáig terjed és ezzel nagy szerepe van a személyiség sokoldalú fejlődésében. 5

6 Démokritosz (i.e ) az ókori görög tudós és filozófus mondta: Inkább szeretnék felfedezni egy természettörvényt, minthogy Perzsia királya legyek. Kedves középiskolások! Az időszámításunk kezdetén élő filozófus Seneca gondolataival kívánok számotokra sok sikert: Az ember a képességeit csakis a tettein keresztül tudja ellenőrizni. A ti tetteitek kedves tanulók a tanulás, a mind több tudás megszerzése, a természet-mint a legnagyobb könyv és annak dísze- az ember megismerése. A szerző köszönettel tartozik dr. Jablan Dojčilovićnak a belgrádi Fizikai kar tanárának, Saveta Divjakovićnak az újvidéki Jovan Jovanović Zmaj gimnázium tanárának és mr Svetomir Dimitrijevićnek, a Szerb Köztársaság Tanügyi-és Sport Minisztérium tanácsosának, akik figyelmesen átnézték a kéziratot, sok értékes megjegyzést és ösztönzést adtak. A szerző hálás lesz azoknak a tanároknak, tanulóknak és szülőknek akik megjegyzéseikkel és tanácsaikkal elősegítik majd, hogy a tankönyv követekező kiadása jobb legyen. A szerző HOGYAN TANULJUK A FIZIKÁT? A fizikában szerzett ismeretek jórészt beépültek más természettudományokba is: vegytanba, biológiába, geológiába, asztronómiába. A technikában, orvostudományban és ökológiában ugyancsak alkalmazzák a fizika törvényszerűségeit. Alapjában véve a fizika jellemzője a mind nagyobb kötődés más tudományokkal, így a fizikát tanulva megismerünk más tudományokat is. A fizika tanítása többkomponensű. Egybekapcsolja az elméletet, a kísérletet és a matematika alkamazását. Ezenkívül a fizika nagyon élethű és dinamikus tudomány. A fizikusok egyetlen év alatt a tudományos folyóiratokban és könyvekben megjelentetnek többmillió oldalnyi új felfedezést. Ilyen körülmények között a tanulók és előadók előtt áll a kihívás: Hogyan tanuljuk a fizikát? A tanulónak mindenekelőtt el kell sajátítania az alapeszméket, törvényeket és elméleteket, amelyekben a fizika lényege rejtőzik. A mellékes dolgoknak nem szabad elhomályosítaniuk az alapokat. Jobb, ha egy anyagrészt teljesen értünk, mint ha az egészet részlegesen tudjuk. A fizika tanítása érthető, érdekes, szemléltető és meggyőző kell hogy legyen. Ezt előlegezi az elmélet és a kísérlet egyenlő aránya. A fizika tankönyvet figyelmesen kell olvasni és külön elidőzni az alapvető fogalmak, mennyiségek és törvények megszövegezésénél. Nem szabad semmit sem letisztázatlanul hagyni. Ezek később mindinkább kifejezésre jutva űrt képeznek, amelyek megszakítják a fizikatanulás kontinuitásának folyamatát. A megtanult ismeretek képezzék azt a saját tudást, amelyet még saját kreativitásunkkal kiszínezünk, így azt alkalmazhatjuk az új ismeretek elsajátításában és konkrétan a gyakorlati problémák megoldásában is. A cél tehát nem csak a tudás, hanem felkészítés az elkövetkező újabb ismeretek állandó elsajátítására. A fizikatanítás egyik fontos szerepe, hogy megtanítsa a tanulót tanulni, hogy az tudja használni a könyveket mint tudásforrást, hogy a szakirodalomból új ismereteket tudjon szerezni és azokat fel tudja dolgozni, és az elektronikus adatbázisból szükséges információkat tudjon nyerni. 6

7 BEVEZETŐ A FIZIKA MINT TERMÉSZETTUDOMÁNY Az ókori Görögországban a fizika (görög szó: természet) fogalma alatt a természetről (a földi és égi jelenségek) szerzett összes tudást értették. A fizikát általános természettudománynak (a természet filozófiának) tartották. A kísérleti eredmények fokozatos öszegyűjtésével, azok általánosításával és a kutatási módszerek fejlődésével az általános természettudományból kiváltak a különálló termászettudományok: csillagászat, fizika, vegytan, geológia, biológia, és mások. A mai értelemben vett fizika sikeres fejlődése Galilleo Galilei ( ) munkásságával kezdődött, akit a tudományos kutatás megalapítójaként tartanak számon. Galileo és követője Isaac Newton ( ) a mechanikai mozgások ismeretének megalapozói. Newton 1687-ben megjelent A természetfilozófia matematikai alapelvei című munkájában rendszerezte a klasszikus mechanikát. Ettől a periódustól számítva a fizika keretein belül kiválnak és fejlődnek a fizika többi területei (elektrodinamika, termodinamika, relativitáselmélet, kvantummechanika, atom- és nukleáris fizika...) A XIX. század második felében, de különösen a XX. században a fizika olyan gyors fejlődésnek indult és olyan eredményeket ért el, amelyet egyetlen más természettudomány sem tudott elérni. A XIX. század második felében alakult ki a gázok kinetikai elmélete és az elektromágneses térelmélet, felfedezték és áttanulmányozták az elektromágneses hullámokat. Ezekkel az ismeretekkel kezdődött el az elektrotechnika és a rádiótechnika fergeteges fejlődése. A XX. század eljén lefektették a kvantummechanika és a relativitáselmélet alapjait, amelyek az atom-és magfizika, szilárdtest fizika, lasserfizika és más modern fizikai területek elméleti alapjává váltak. A testek mechanikai mozgásai Melegítéssel a jég megolvad, víz lesz, a víz pedig pára 7

8 A FIZIKA TÁRGYA A fizika alapvető természettudomány amely tanulmányozza: - az anyag legáltalánosabb (alapvető) mozgási formáit (mechanikai mozgás, hőmozgás, elektromos jelenségek, mágnes, fény, stb.) - meghatározza ezen mozgások (jelenségek) törvényeit, egymás közti kapcsolatait és ezek feltételeit -az anyag szerkezetét és alaptulajdonságait A fizika által tanulmányozott anyagmozgásokat általánosan fizikai folyamatoknak vagy fizikai jelenségeknek hívják. A FIZIKA FELADATA Alégkör elektromos jelenségei A fizikának két alapvető feladata van: felfedezni a tudományos igazságot azokról az objektumokról vagy jelenségekről amit tanulmányoz, és hogy ezt a tudást a gyakorlatra és a mindennapi szükségletek megoldására irányítsa. A fizikai jelenséget tanulmányozni annyit jelent, hogy meg kell határozni mi okozta a jelenséget, milyen feltételek mellett jött létre és meghatározni azokat a törvényeket, amelyek szerint lejátszódik az adott fizikai jelenség. A fizika mindinkább olyan lehetőségeket formál és módszereket tár fel, amelyek a fizikai jelenségek törvényeinek és a testek tulajdonságainak ismeretét a gyakorlati problémák megoldására alkalmassá teszi. Ezeken az alapokon nyugszik az alkalmazott vagy műszaki fizika. A műszaki fizika gyors és sikeres fejlődésének köszönve, a fizika minden törvénye és területe, alpját képezi a műszaki berendezések (rendszerek) és más termelési ágazatok tökéletesítésének és fejlődésének. KÍSÉRLET ÉS ELMÉLET A jelenségek természetes környezetben történő közvetlen megfigyelései a fizika számára biztosítják a kezdeti ismereteket. Egyegy természeti jelenség közvetett és passzív megfigyelése azonban sűrűn hiányos és néha téves ismeretekhez és következtetésekhez vezet. A természetben előforduló jelenségek annyira átszövik egymást, hogy azokat egyszerűen nem lehet az adott természeti környezetben biztonsággal tanulmányozni. Ezért ezeket a jelenségeket el kell szigetelni az adott természeti környezetből, majd tervszerűen és renszeresen kell őket a külön e célra előkészített és szigorúan felügyelt feltételek (pl. laboratóriumi feltételek) mellett vizsgálni. A jelenségek Az elektromos égő ilyen tanulmányozását kísérleti kutatásnak nevezzük. fénye Fizikai kisérletnek (experimentum lat., kisérlet-a ford. megj.) nevezzük a jelenségek szigorúan előkészített és ellenőrzött feltételek mellett történő tanulmányozását. A jelenségek tanulmányozásának fizikai alapmódszere a kisérleti kutatás. E módszer kizárja a vizsgált jelenségre ható különféle mellékhatásokat. A megfigyelések és vizsgálatok 8

9 elsősorban is az adott jelenség és annak előidézője közötti kapcsolatra irányulnak, mivel ez lényegében (természetszerűen) behatással van annak lejátszódására. Láthatjuk például, hogy minden tetszőleges magasságból leejtett test a Föld felszínére esik. Ebből egyszerűen megállpítható, hogy a Föld vonzóereje hatására a testek szabadon esnek (a vonzóerő egyben a szabadesés okozója). Azonban megállapítást nyert, hogy a nehezebb testek gyorsabban, míg a könnyebbek lassabban esnek. Ennek alapján arra a téves megállapításra juthatunk, hogy a Föld a nehezebb testeknek nagyobb, a könnyebbeknek kisebb gyorsulást ad. Lássuk mit mutat az a kisérlet, amelyet bármely iskolai laboratóriumban el lehet végezni. Egy üvegcsőben (ugyanazon magasságról egyszerre) különféle testeket engedünk szabadon esni. Ha a csőben levegő van, akkor például a vasgolyó, előbb esik le mint a papírdarabka (vagy tollpihe), ami azt jelenti, hogy a golyócska gyorsulása nagyobb mint a papírdarabkáé. Ha viszont a csőből teljesen kiszivattyúzzák a levegőt, a golyócska és papírdarabka (tollpihe vagy bármely más test) azonos gyorsulással mozog és egyszerre érnek le a cső aljára. A laboratóriumban külön feltételeket biztosítottak, kizárták a levegő hatását, így lehetséges volt megfigyelni és tanulmányozni kizárólag a Föld vonzóerejének hatására történő mozgásokat (szabadesés). A kísérleti tanulmányozásnak nagy előnye van a közönséges közvetlen megfigyeléssel szemben. A kísérletet többször is meg lehet ugyanúgy ismételni így jól ellenőrizhetők a kapott eredmények. Azonkívül változtatni lehet azokat a feltételeket amelyek alatt a jelenség lejátszódik, így megállapíthatóak a különféle feltételek nehatásai a megfigyelt jelenségre. Ezek alapján megbízható minőségi és mennyiségi kapcsolatokhoz jutnak az adott jelenség, annak előidézője és azon feltételek között amelyek alatt a jelenség lejátszódik. A fizikatanításban két alapvető kísérletező munka létezik: a demonstrációs (demonstráció-lat. bemutatás) kísérletek, amelyeket főleg a tananyag feldolgozására készít elő és mutat be az előadó, és a laboratóriumi gyakorlatok, amelyeket az előadó felügyelete Műhold mellett végeznek a tanulók. Mindkét kísérletezési módszer kiegészíti egymást és ugyancsak kiegészítő hatásaik vannak a fizika tanításában is. Kísérleti feladatokat adnak házi feladatként is, vagy a tanítási órákon kívüli aktivitások keretében végzik el. A fizika tanulmányozásában a kísérletezési módszer mellett van még egy másik ugyancsak fontos az ún. elméleti módszer. A kísérleti eredményekre támaszkodó elméleti módszer célja, hogy tudományos elméleteket állítson fel. 9

10 Fizikai elméleteknek nevezzük a meghatározott csoportba tartozó hasonló jelenségekről, azok összefüggéseiről és kölcsönös feltételeiről rendszerezett ismeretek összességet. Fizikai elméletek: a klasszikus mechanika, relativitáselmélet, kvantumelmélet, atomelmélet, magfizikai elmélet, stb. Az elméletet általában nem a közvetlen kísérleti adatokból (tényekből ) vezetik le, hanem azért alkotják meg, hogy a kísérleti eredményeket megmagyarázzák. Például az ötlet, hogy az anyag atomokból áll, nem úgy született, hogy valaki atomokat látott, hanem az főleg az alkotó gondolkodás és az elméleti szerkesztések terméke, amelyeket később a kísérletek igazolnak. Az elmélet és a kísérlet egyformán fontos a fizika tanulmányozásában és ezeknek összhangban kell lenniük. Amit a kísérlet mutat azt az elmélet kell hogy megmagyarázza. És fordítva, amit az elmélet előrelát, azt a kísérletnek igazolnia kell. Ezek szerint a fizika kísérleti és elméleti tudomány. FIZIKAI MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségeket a fizikában előforduló testek és jelenségek tulajdonságainak a leírására, tanulmányozására használják. Például a testek mozgásának a leírására a következő mennyiségeket használják: út, sebesség, gyorsulás, idő. A tömeggel meghatározzák a testek tehetetlenségét. Egy zárt edényben lévő gáz állapotát a nyomás, köbtartalom és hőmérséklet mennyiségekkel írják le. Fizikai mennyiségeknek nevezzük azokat a fogalmakat, amelyekkel a testek tulajdonságait, állapotát, mozgását, általában véve fizikai jelenségeket írnak le. A fizikai mennyiség kifejezhető egy számérték (mérőszám) és a megfelelő mértékegység szorzataként. Fizikai mennyiség = számérték x mértékegység. A szimbólikusan a val jelzettfizikai mennyiségre alkalmazva az előbbi összefüggés a = {a } [ a ],alakban adható meg, ahol {a }számértéket jelölik, míg [ a ] az a mértékegységét jelenti. Például a test tömege 10 kg. A számérték mellé odaírták a mértékegységet is kg ; a mennyiség számértékének a mértékegység nélkül nem lenne semmi értéke. Amikor a fizikai mennyiségeket kombinálják szorzással, vagy osztással, akkor a szokásos aritmetikai szabályokkat alkalmazzák a számértékre is és a mértékegységre is. A fizikai mennyiség számértékéhez mérés útján jutnak. Méréssel megállapítják, hogy az adott mennyiség számértéke hányszor nagyobb vagy kisebb az ugyanazon mennyiségből megegyezés szerint kiválasztott egységnél. Például, amikor a tábla hosszát mérik, akkor annak hosszát összehasonlítják az egy méter hosszú vonalzó hosszával: legyen a tábla hossza,5 szer nagyobb a vonalzó hosszánál. Ekkor azt mondjuk, hogy a tábla hossza,5 méter. ALAPMENNYISÉGEK ÉS SZÁRMAZTATOTT MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek két alapcsoportba sorolhatóak: alap és származtatott mennyiségek. Ez a felosztás érvényes a mértékegységekre is. Így vannak alapmértékegységek és származtatott mértékegységek. Hét alapmennyiség van. Az összes többi fizikai mennyiséget ezek segítségével ki lehet fejezni. 10

11 A Nemzetközi mértékegység- rendszerben (SI), amelynek használata törvényerejű rendelettel a mi országunkban is kötelező, a következő fizikai mennyiségeket és azok mértékegységeit tartalmazza: I. TÁBLÁZAT A mennyiség neve Szokásos jele Mértékegység Mértékegység jele IDŐ t MÁSODPERC s HOSSZÚSÁG l,s,r MÉTER m TÖMEG m KILOGRAM kg HŐMÉRSÉKLET T KELVIN K ELEKTROMOSSÁG I AMPER A FÉNYERŐSSÉG J CANDELLA cd ANYAGMENNYISÉG n m MOL mol A többi fizikai mennyiség levezethető e hét alapmennyiség segítségével, így azokat származtatott mennyiségeknek nevezzük. Ezek mértékegységei az alapmértékegységek segítségével fejezhetők ki. Származtatott mennyiségek például a sebesség és a gyorsulás, amelyek mértékegységeit a hosszúság és az idő mértékegységeivel fejezik ki: a sebesség m mértékegysége, a gyorsulásé s s m tömeg, hosszúság és az idő mértékegységeivel: N=kg stb. s m. Az erő mértékegysége a newton (N). Ez kifejezhető a FIZIKAI TÖRVÉNYEK A fizika alapfeladata az, hogy megállapítsa azokat a szabályokat, amelyek szerint a fizikai jelenségek lejátszódnak. Ezeket a szabályokat fizikai törvényekkel fejezik ki. A fizikai törvények mennyiségileg fejezik ki a fizikai mennyiségek közötti kapcsolatot, amelyek leírják a testek tulajdonságait, meghatározott jelenséget, vagy a jelenségek összességét. A fizikában a törvényeket általában a kísérleti eredmények általánosításával határozzák meg. Van olyan lehetőség is, hogy a fizikai törvényhez elméleti úton jutnak. Ekkor az elméleti úton kapott törvényt kísérletekkel kell igazolni, hogy az tudományosan is törvénnyé váljon. A fizikai törvényt a matematikai forma, meghatározott szimbólum és megfogalmazás jellemzi. Példaként említhető a Föld gravitációs terében eső testek a szabadeséstörvénye mint fizikai törvény. Ezzel összekapcsolják azt a magasságot, amelyről a testet ejtették a gravitációs gyorsulással és az esési idővel. Képlettel leírva: h = 1 gt 11

12 Másik példaként említhető Newton mechanikára vonatkozó második törvénye: a testek tömegének és gyorsulásának szorzata egyenlő a testre ható erők eredőjével. Matematikai alakban ez így írható: m a = F A fizikai törvények lehetnek egyediek és általánosak. Az egyedi törvényre tipikus példa az elektromos áramkör egy részére vonatkozó Ohm- törvénye. Ezt már az általános iskolában megismertük. Ez a törvény összekapcsolja az adott vezetőn (amely az áramkör része) átfolyó elektromos áramot a vezető végei közötti feszültséggel és a vezető elektromos ellenállásával. I = R U. Az ellenálláson átfolyó elektromos áram egyenesen arányos a vezető végein mért feszültséggel és fordítottan arányos a vezető ellenállásával. Az általános törvények az összes természeti jelenségekre érvényesek, és az összes természettudomány alapját képezik. E törvények közé tartoznak: az energia-megmaradás, lendület, elektromos mennyiség megmaradási törvények. VEKTOROK, ALAPMŰVELETEK A VEKTOROKKAL SKALÁRIS ÉS VEKTORIÁLIS FIZIKAI MENNYISÉGEK A fizikai mennyiségek különböző természetűek lehetnek. Mi csak a skaláris és vektoriális mennyiségekkel foglalkozunk. Azokat a fizikai mennyiségeket amelyek a mérőszámmal és a megfelelő mértékegységgel teljesen meghatározhatók, skaláris mennyiségeknek vagy röviden skalároknak nevezzük. A skaláris mennyiség értéke mérőszámmal és a mértékegységgel van meghatározva. Az ilyen mennyiségek csoportjába tartoznak például: a hosszúság, felszín, köbtartalom, hőmérséklet, tömeg, idő, munka, energia, stb. A mikor azt mondják hogy két test között a távolság öt méter, akkor azzal teljesen meghatároztak egy fizikai mennyiséget- a hosszúságot, amely kifejezi a két test közötti távolságot. Vagy például az az információ, hogy egy test tömege 10 kg, mindent elmond a test tömegét illetően. A másik csoportba tartoznak azok a fizikai mennyiségek amelyek csak a számértékükkel (intenzitásukkal) nincsenek teljesen meghatározva, hanem még két adatot: irány és irányítottság kell tudnunk ahoz, hogy ezeket a mennyiségeket teljesen meghatározzuk. Ilyen mennyiségek például: a sebesség, gyorsulás, erő, lendület, stb. Például, ha tudjuk, hogy egy autó 80 km/h sebességgel mozgott, még nem tudunk mindent a sebességéről: tudni kell még az autó mozgásának az útvonalát és az útirnyát. Nem mindegy, hogy pl. a Belgrád Nis úton, vagy valamilyen más úton (hatásvonal) haladt az autó. Ez mellett tudni kell még azt is, hogy Belgrádtól Nis felé, vagy Nis felől Belgrád felé haladt az autó (irányítás). Azokat a fizikai mennyiségeket, amelyek nagyságukkal (intenzitás) hatásvonalukkal (irányuk) és irányításukkal teljesen meghatározhatóak, vektormennyiségeknek, röviden vektoroknak nevezzük. 1

13 A vektormennyiségeket (vektorokat) grafikusan irányított szakasszal szemléltetik. E távolság mértéke (hossza) meghatározza a vektor számértékét (intenzitás, abszolút érték vagy modulusz). Az egyenes amelyhez a távolság tartozik meghatározza a vektor hatásvonalát (irányát), a nyíl pedig az irányítását. Az A és B pontok a vektor kezdetét és végpontját jelölik (1.1 ábra) hatásvonal (irány) nagyság (intenzitás) irányítás 1.1ábra. A vektor grafikus ábrázolása A vektorokat leginkább latin beűkkel jelölik és azok fölé egy vízszintes nyilat tesznek. Például: v (sebesség), a (gyorsulás), F (erő) stb. A vektorokat más módon is jelölhetik. A vektor értékét (intenzitását) ugyanazzal a betűvel jelölik mint magát a vektort, csak nyíl nélkül, például: v (a sebesség nagysága), a (a gyorsulás nagysága), F (az erő nagysága) stb., vagy a másik jelölésmód, ha a bektor szimbolikus jelét két párhuzamos vonalka közé helyezik, például: v, a, F stb. Két vektor 1.. akkor ábra. Az egyenlő, ha nagyságú, nagyságaik párhuzamos (számértékeik) irányú és és irányításuk megegyeznek, hatásvonalaik pedig azonos párhuzamosak. irányítású vektorok Ilyenek például az 1..ábrán látható vektorok. Összehasonlíthatóak az azonos természetű (azonos fizikai dimenziójú) vektorok, ha azok iránya és irányítása megegyezik. Ezek összehasonlítását a nagyságaik összehasonlítására vezetik vissza. Az ábrán két test sebessége van feltüntetve. Az első test sebessége v 1, a másodiké v. sebessége: Látható, hogy az első test sebessége kétszer akkora mint a második test v 1 = v azokat a vektorokat amelyek azonos irányúak, nagyságaik megegyeznek, irányításaik pedig ellentétesek, ellentétes vektoroknak nevezzük. ilyenek az 1.3.ábrán látható vektorok. Szimbolikusan: a ellentettje - a és fordítva. 13

14 A skaláris mennyiség állandó, ha annak értéke időben nem változik. Hogy a vektormennyiség állandó legyen, a nagysága mellett az irányának és irányításának is állandóknak kell lenniük. Például egy autó állandó v=60 km/h sebességgel halad görbe vonalú pályán (1.4.ábra). Az autó sebessége, mint vektor nem állandó, mert ennek iránya és irányítása időben változik. Így felírható: v 1 =v =v 3 és v1 v v 3 Az 1.5.ábrán látható golyócska a lejtőről gurul le, majd a vízszintes alapon gurul egészen az akadályig, onnan visszapattan és ugyanolyan nagyságú sebességgel gurul visszafelé mint az ütközés előtt.a v és a v3 vektorok egyenlőek. Szimbolikusan: v = v 3. A v3 és v4 vektorok ellentétesek. Szimbolikusan: v 3 = - v 4. Azokat a vektorokat, amelyek párhuzamos (azonos egyenes) egyeneseken fekszenek, ugyanolyan, vagy ellentétes irányításúak, kollineáris vektoroknak nevezzük.az ugyanolyan nagyságú és irányítású kollineáris vektorok egyenlőek, míg az egyforma nagyságú de ellentétes irányításúak egymástól előjelben különböznek. Az ábrán látható vektorok között a következő összefüggések érvényesek: A = B = - C A=B=C, vagy A = B = C A VEKTOROK VETÜLETEI. Legyenek az A, B és C vektorok az xoy síkban. Ezek vetületeit a koordinátayengelyekre úgy kapják meg, hogy a vektorok kezdő és végpontjaiból merőlegeseket bocsátanak 14

15 az x és az y tengelyre (1.6. ábra). A vetületeket ugyanazzal a betűvel jelölik mint a vektoroka azzal, hogy a betűjel indexeként annak az egyenesnek (tengelynek) a jelét tesszük ki, amelyre az adott vektor vetítve van. Ha a vektor az adott egyenessel (tengellyel) hegyes szöget alkot, akkor a vetülete pozitív. Ha a vektor a tengellyel tompa szöget zár be, a vetülete negatív. Amikor a vektor merőleges az adott egyenesrs (tengelyre) a vetülete 0. 15

16 MŰVELETEK VEKTOROKKAL A vektorokkal végzett matematikai műveletek különböznek a közönséges számokkal való műveletektől. Ez a vektorok összeadásánál azonnal észrevehető. A VEKTOROK ÖSSZEGEZÉSE. Két tetszőleges vektor összeadására a paralelogramma szabályt alkalmazzák. A két a és b vektorokra (összetevők) paralelogrammát szerkesztenek. Az összegezés eredményét egy olyan vektor adja meg, amely a paralelogramma átlójával megegyezik (1.7.ábra). Másszóval, ez a két vektor eredője rezultánsa. Az összetevő vektoroknak és az eredőnek közös kezdőpontjuk van. A vektorok összegezését szimbolikusan a következőképpen lehet bemutatni: R = a + b hol R - az eredő, a és b - az összetevő vektorok. Az eredő nagysága, nem csak az összetevő vektorok nagyságától függ, hanem az általuk bezárt szögtől is. Ha ez a szög 0 0 -os, az eredő nagysága a legnagyobb és ez egyenlő az összetevő vektorok nagyságainak az összegével. R = a + b A szög növekedésével kisebbedik az eredőpont. Amikor ez a szög os, akkor ezt kapják. R= a b. Például a képen: R= a b = 3 cm 4 cm = 5cm. A közbezárt szög továbbnövelésével az eredő méginkább csökken nál a lehető legkisebb és az erdő ekkor az összetevő vektorok különbségével egyenlő. R=a - b a 16

17 Két vektort összegezhetnek úgy is, hogy az egyik vektor végpontjába kötik a másik vektort. A két vektor eredője az a vektor, amelynek támadáspontja az első összetevő támadáspontjával, míg a végpontja a másik vektor végpontjával egyezik meg. ez a háromszögszabály (1.8.b ábra). Általában a kettőnél több vektor összegezésére a sokszögszabályt használják: öszekötik a következő vektor támadáspontját az előző vektor végpontjával és így sorban. Az adott vektorok erdői összeköti a törtvonal kezdőpontját a végpontjával (1.9.ábra). Ki kell emelni, hogy az erdmény nem függ az alkalmazott módszertől. Az eredő vektor vetülete valamely egyenesre (tengelyre) egyenlő az összeadandó vektorok ugyanazon egyenesen (tengelyen) levő vetületeinek összegével. Ez látható az 1.10.ábra alapján. az adott példára felírható: E x =A x +B x +C x +D x VEKTOROK KIVONÁSA. Ez visszavezethető a vektorok összeadására szem előtt tartva az ellentett vektor meghatározását. Szimbolikusan: a - b = a +(- b )= R A vektorok kivonását az ábrán látható rajz szemlélteti. VEKTOR SZORZÁSA SKALÁRRAL. A k skalár és az a vektor szorzata, szimbolikusan ka, olyan eredményre vezet amely a k értékétől függ. 1. Ha k=0, akkor k a egyenlő 0 (nulvektor, melynek értéke 0, hatásvonala és iránya meghatározhatatlan). Ha k 0, akkor a. k a ugyanolya irányú mint az a ; 17

18 b. a k>0 esetén k a vektor irányítása ugyanaz mint az a vektoré, ellentétes irányítású, ha k<0. 3. A k a vektor értéke egyenlő az a vektor nagyságának és a k skalár abszolút értékének szorzatával. k a = k a = AZ a VEKTOR OSZTÁSA k SKALÁRRAL: a 1 k a, k Ez visszavezethető az a vektor szorzására a negatív kitevőjű skalárral. A vektor skalárral történő szorzatának eredménye nem mindig ugyanaz a fizikai mennyiség, mint ami volt a művelet elvégzése előtt. Például a gyorsulást és sebességet az idővel összekapcsoló összefüggéssel. m m a ( ) t (s) = v ( ). s s A skalárral történő szorzás előtti és utáni vektorok kollineárisak, de lehetnek más-más természetűek. VEKTOROK FELBONTÁSA A különféle problémák megoldásánál sűrűn szükséges az adott vektor helyett annak összetevőit figyelembe venni. Az összetevők meghatározásának eljárását a vektor felbontásának nevezzük (1.1.ábra). A vektor felbontását egy ismert átfogójú paralelogrammának szerkesztésére vezetik vissza (az átló az adott vektor). Mivel nagyon sok paralelogrammát szerkeszthetünk, amelyeknek az átlója egyforma, így a feladatnak végtelen sok megoldása lehet. Hogy az erők felbontásának feladata meghatározott legyen, azaz csak egyetlen megoldása legyen, a felbontandó erő mellett ismerni kell az összetevők határvonalait is. Általában egymással os szöget bezáró egyenesekre történik a felbontás. A vektor ilyen felbontását szemlélteti az ábra. Más vektor-műveletek is léteznek, amelyekről majd a későbbiek folyamán lesz szó. KÉRDÉSEK ÉS FELADATOK 1. Melyek a fizika alapmeghatározásai? Mit tanulmányoz a fizika?. Léteznek-e a tudományok között természetes határok? 3. Írjátok la röviden a fizika kapcsolatait más tudományokkal! 4. Miért fontos tudomány a fizika? 5. Melyek az anyag két megjelenési formája a fizikában? 6. Mi a különbség a testek és a szubsztancia között? 18

19 7. Vajon a fizika elméleti vagy kísérleti tudomány? 8. Írjátok le az elmálet és a kísérlet kölcsönös kapcsolatát! 9. Mi a fizikai mennyiség? Soroljatok fel néhány fizikai mennyiséget! 10. Mi a fizikai törvény, és mi a fizikai elmélet? 11. Mely adatok határozzák meg a skaláris és vektoriális értékeket? 1. Lehet-e két skaláris mennyiség kombinációjával vektormennyiséget előállítani és fordítva? 13. A vektormennyiség vetülete skalár, vagy pedig vektor? 19

20 KINEMATIKA Kinematikának nevezzük a mechanika azon területét, amely leírja a mechanikai mozgásokat, de nem foglalkozik azzal, hogy mi okozza ezek keletkezését és létezését. A mechanikának még két alapterülete van: a dinamika és a statika. Mindhárom területet külön fogjuk tanulmányozni. Mozgása során a test (anyagi pont) időben változtatja a helyzetét. Ez azt jelenti, hogy változnak azon mennyiségek értékei amelyek az adott mozgást jellemzik. A mozgásra jellemző mennyiségeket összekötő képletek (mozgástörvények) lehetővé teszik, hogy az adott mozgást mennyiségileg is le lehessen írni, azmellett hogy a test térbeli helyzetét bármely pillanatban meghatározzák, még olyan mennyiségek értékei is meghatározhatók, mint a testek elmozdulása, út, sebesség, gyorsulás és mozgásidő (kinematikai mennyiségek). MECHANIKAI MOZGÁS Közvetlen megfigyeléssel láthatóak a testek különböző mozgásai. Lenyűgözőek a felhők ahogy úsznak az égen. Érdeklődéssel figyeljük a repülők útját, a költöző madarak vándorlását a melegebb égtájak felé. Türelmetlenül várjuk, vagy kísérjük ki a vonatokat és autóbuszokat. Mérgesek vagyunk azokra a gépkocsivezetőkre akik veszélyeztetik a közlekedés biztonságát az utakon. Megfigyeltük a földre pottyanó alma esését, a golyócskák mozgását a talajon, az elasztikus rugókra akasztott testek rezgéseit,stb. Mi a közös ezekben a felsorolt példákban? Az úszás, repülés, elmozdulás, rezgés szavakat egy általános elnevezéssel helyettesíthetjük a testek mozognak. Mindegyik példában általánosítható az, hogy a testek változtatják helyzetüket más testekhez képest. A felhő, a repülőgép, az autó és az alma változtatják helyzetüket a földön levő helyekhez képest. A fenti példák alapján a következő megállapítás vonható le: A testek mechanikai mozgása, nem más mint ezek helyzetének az időben történő megváltozása, bármely más testhez képest. 0

21 A MOZGÁS VISZONYLAGOSSÁGA A természetben minden valahol és valamikor történik: a térben (hol?) és időben (mikor?). Minden test meghatározott időben bármely pillanatben, helyet foglal el a térben más testekhez viszonyítva. Az hogy egy test mozog-e, és hogyan mozog,attól függ, hogy mely testhez viszonyítják a helyzetét. Az utas aki a vagonban ül, a vonathoz viszonyítva nyugalmi helyzetben van, de az állomáshoz viszonyítva a vonattal együtt mozog (.1.ábra). Egy másik vonathoz viszonyítva ez a mozgás másmilyen. Ebben áll a testek mozgásának viszonylagossága (relativitása). Ha a test helyzete nem változik ahhoz a testhez képest, amelyre nézve a megfigyelést végezzük, akkor az nyugalmi állapotban van. Ahhoz, hogy a test mozgását megismerjük, tudnunk kell hogyan változik a test helyzete a térben és időben, ahhoz a testhez viszonyítva, amekyhez képest a mozgást megfigyeljük. Kell-e ismerni a test minden egyes részecskéjének helyzetét? Ha a test minden részecskéje ugyanolyan módon mozog, elégséges egyetlen, bármely részecske (pont) mozgását ismerni ahhoz, hogy a test mozgása, mint a részecskék összessége ismert legyen. Ebben az esetben a test mozgását annak egyetlen részecskéjének anyagi pontnak a mozgása szemlélteti. Ekkor nem vesszük figyelembe sem a test alakját, sem a méreteit. Az anyagi pont jelenti azt a testet, amelynek az alakja és mérete az adott mozgásnál elhanyagolható. Anyagi pontnak tekinthető egy test akkor is, ha annak méretei elhanyagolhatóak a test által leírt úthoz viszonyítva. Például, amikor a Föld Nap körüli mozgását figyelik, a Föld anyagi pontnak tekinthető, mert annak átmérője tízezerszer kisebb mint a Nap körüli pályájának átmérője. Nem hanyagolható el a Föld alakja, sem mérete, amikor a Föld a pólusain áthaladó ún. sajáttengelye körüli forgást figyelik meg. Ezek szerint, ugyanaz a test egyes mozgásoknál anyagi pontként kezelhető, míg más mozgásoknál ez nem tehető meg. VONATKOZTATÁSI RENDSZER Hogyan lehet meghatározni a testek (anyagi pont) térbeli helyzetét? A testek helyzetéről, így a helyzetváltoztatásról mozgásról, csak akkor beszélhetünk, ha meghatározunk egy másik testet, vonatkoztatási testet, amelyhez képest az adott mozgást megfigyeljük. Azt a testet amelyhez képest a mozgást megfigyelik és leírják vonatkoztatási testnek nevezzük. Habár a vonatkoztatási test megválasztása tetszőleges, mégis azt a testet válasszák, amelyhez viszonyítva a testek (anyagi pontok) helyzete és mozgása a legegyszerűbben meghatározható. A testek a Földön, vagy annak közelében történő mozgásához éppen a Földet, valamely helyet, vagy testet a Föld felszínén (ház, fa, domb, hegy) választják vonatkoztatási testnek. A világűrben történő mozgásokat leggyakrabban a Naphoz, vagy az álló csillagokhoz képest figyelik meg, amelyeknek egymáshoz viszonyított helyzetei (gyakorlatilag) időben nem változnak. 1

22 A kiválasztott vonatkoztatási testhez megfelelő koordináta-rendszert rendelnek. Vonatkoztatási rendszernek nevezzük azt a koordináta-rendszert, amelynek középpontjában a vonatkoztatási test van. Különféle koordináta-rendszerek vannak: Descartes-féle koordináta-rendszer, poláris, gömb, hengeres és mások. Mi csak a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszert fogjuk használni. Ezt három egymásra merőleges sík, azaz három egymásra merőleges (x,y,z) tengelyek alkotják, ezek metszéspontja O, a koordináta-rendszer kezdőpontját jelöli. Ebben a koordináta-rendszerben az A pont helyzete három szám segítségével határozható meg. A (x,y,z) amelyeket az A pont koordinátáinak neveznek. Ezek valójában az A pont tévolságai az zoy, zox és yox síkoktól mérve. A..ábrán a térbeli és a síkban levő Descartes- féle koordináta-rendszerek vannak feltüntetve. A testek háromdimenziós térben történő mozgására reális példaként vehető a repülők és a madarak repülése. HELYVEKTOR A Descartes-féle koordináta-rendszerben az anyagi pont helyzete a helyvektorral,vagy rádiusz-vektorral egyértelműen meghatározható. Az anyagi pont helyvektora az a vektor, amely összeköti a koordináta-rendszer kezdőpontját (origó) az adott ponttal és a koordináta-rendszer kezdőpontjától az adott pont felé irányul. Az A (x,y,z) pont helyvektora (..ábra) az x,y,z oldalú hasáb irányított átlója. Az A (x,y,z) pont térbeli, vagy síkban levő helyvektorának nagysága az x,y,z, vagy az x és y koordináták segítségével, Pythagorasz-tételének alapján számítható ki: r = x y z ; r = x y A test (anyagi pont) egyenes vonalon történő mozgásakor sűrűn ezt az egyenest veszik koordináta-rendszernek. A test helyzete ekkor egyetlen koordinátával meghatározott, és ez pedig az anyagi pontbak egy kiválasztott ponttól (koordinátakezdőpont O) mért távolsága ezen a tengelyen. (példánkban a B pontra, x=3) 0 B(3) x

23 EGYENLETES ÉS VÁLTOZÓ MOZGÁS PÁLYA ÉS ÚT Mozgása során a test (anyagi pont) szüntelenül változtatja helyét a térben. Hogy teljes képet kapjunk a test (anyagi pont) helyzetéről amelyeken mozgása során átment, bevezetjük a pálya fogalmát. Pályának nevezzük azt a vonalat, amelyet a test (anyagi pont) a mozgása során az adott vonatkoztatási rendszerben leír. A pálya az a vonal, amely összeköti a test (anyagi pont) által a mozgása során egymás után elfoglalt helyzeteit. A pályát (a test által hagyott nyom) némely esetekben közvetlenül megfigyelhetik. Ekkor a megfigyelőnek alkalma van egyidejűleg látni mindazon pontok összességét, amelyeken a test előzőleg áthaladt. Például, a derült égen sűrűn látható a nagy magasságokban látható repülő nyomvonala. A ceruza hegye is nyomoy hagy a papíron, a kréta pedig az iskolatáblán. Mindaz ami a füzeteinkben le van írva, valójában a ceruza hegyének, a jegyzeteléskor készített, nagyon összetett mozgásának a pályája. Különböző vonatkoztatási rendszerből nézve a test pályájának alakja eltérő lehet. Például a repülőből ejtett test a repülőhöz viszonyítva, a repülőben lévő megfigyelő számára, függőleges vonalon esik, míg a földön levő megfigyelő számára a test pályája görbe vonal. A kerék peremén lévő A pont pályája, a síma talajon gördülő kerék tengelyéhez viszonyított vonatkoztatási rendszerben körvonal. A talajhoz kötött vonatkoztatási rendszerben a pálya ciklois. (.5.ábra). Más példát is említhetünk. A műhold Földhöz viszonyított pályája körvonal. A Naphoz rögzített vonatkoztatási rendszerben a műbolygó pályája egy csavar-vonal, amely körülfogja a Föld pályáját.ez a csavar-vonal egy széthúzott fémrugóra emlékeztet (.6.ábra). A testek (anyagi pontok ) mozgásáról és pályájuk alakjáról csak egy meghatározott vonatkoztatási rendszer keretében lehet beszélni. A test (anyagi pont ) pályájának meghatározott időtartam alatt megtett szakasza az út. 3

24 Az utat a pálya mentén a mozgás irányában mérik. az út mértékegysége a méter (m). Az utak értékei csak pozitívak lehetnek. Például, ha a test egyenes pályán 50m-t halad egy irányba, majd ugyanazon a pályán a kiindulási pontba ér vissza, a megtett út 100 méter. Amikor a futó kétszer az egyik irányba, majd kétszer a másik irányba körülszaladja a futballpálya körüli atlétikapályát, akkor a megtett út az atlétika pálya hosszának a négyszerese. A pálya (út) alakjától függően a mozgások lehetnek: egyenes vonalúak és görbe vonalúak (.7.ábra). Egyenes vonalú az amozgás amelynél a test pályája egyenes vonal (a gépkocsi vízszinte és egyenes úton történő mozgása). Az egyenes vonalú mozgás lehet egyenletes és egyenlőtlen (változó). Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál a test (anyagi pont) egyenlő időközönként egyenlő távolságokat tesz meg, míg az egyenes vonalú változó mozgásnál, azonos időközönként különböző távolságokat. A görbe vonalú mozgás a testek (anyagi pont)görbe vonalon (kör, parabola, spirális, stb.) történő mozgása. Változó mozgást végeznek a járművek (vonatok, autóbuszok, gépkocsik) induláskor és megálláskor, a lejtőn lefelé mozgó szán és kiskocsi, a fegyverekből kilőtt robbanó töltetek (golyók), a műholdak és a Hold a Föld körül, a bolygók a Nap körül, stb. ELMOZDULÁS Az alapvető kinematikai fogalmak és mennyiségek ismerete lehetővé teszi elvben, hogy a test helyzetét minden pillanatban meghatározzák. Ezen fogalmak közé tartoznak: pálya, út, helyvektor, elmozdulásvektor (röviden: elmozdulás), sebesség és gyorsulás.megismertük a pálya, az út és a helyvektor fogalmát. Előttünk áll a többi fogalom (mennyiség) megismerése. A pálya és az út fogalmával szorosan összefügg az elmozdulásvektor (elmozdulás) fogalma. Tegyük fel, hogy a test az A pontból indult és meghatározott idő alatt a B helyzetbe jutott 4

25 (.8.ábra). Mozgása során a test ( pont ) s ívet írt le. Ennek az ívnek megfelelő elmozdulásvektor az AB. Az elmozdulás értéke megegyezik anak a húrnak a hosszával, amely összeköti azokat a pontokat amelyekben a test volt induláskor és a végső idő pillanatban. Az időköz, amelyben a mozgást megfigyelik, változhat (kisebbedhet). Például a kezdő pillanatban a test az A pontban volt és bizonyos (nagyon rövid ) idő alatt a B pontba került.az elmozdulás ebben az esetben az AB irányított szakasz.hasonló módon bármely időtartamra meg lehet találni az elmozdulást (.8. a.) és b.) ábra ). Határesetben, amikor már az időtartam annyira lecsökken, hogy az egy időpillanattal lesz azonosítható, az elmozdulás hatásvonala megegyezik a pálya megfelelő pontjába húzott érintő irányával. (.8.b.) ábra ). Az út és az elmozdulás között lényeges különbség van. Az út olyan mennyiség, amelynek csak pozitív értékei lehetnek, míg az elmozdulás (vektormennyiség) értékei lehetnek pozitívak és negatívak is. Két pont közötti utak különbüzőek lehetnek, de az elmozdulás nem változik (mindig ugyanaz marad). Az A pontból a B pontba a test különböző a,b, vagy c úton juthat; tehát az út a pálya alakjától függ. Mindez mellett az elmozdulásvektor ( AB = r )változatlan marad. Ennek irányítása az A-tól a B felé. Ha a test A-tól B felé mozgott, majd B-ből az A-ba, a megtett út az A és B távolság kétszerese, de az elmozdulás nulla. Amikor a test zárt úton mozgott, és visszajutott a kiindulási pontba, akkor az elmozdulása ugyancsak nullával egyenlő, míg az útja a pálya kerületének felel meg (.9.ábra ) Az egyenesvonalú mozgásnál, függetlenül attól, hogy egyenletes, vagy változó-e a mozgás, az elmozdulás hatásvonala és irányítása megegyezik a test mozgásának hatásvonalával és irányításával, és ekkor az elmozdulás értéke megegyezik a megtett úttal. Ha a test egyenes vonalon mozog, egyszer az egyik, majd az ellenkező irányba, akkor az elmozdulás és az út különböznek egymástól. Az út, amit a test az A pontból a B pontig megtesz, egyenlő a két pont között mért, a test által leírt pálya hosszával. Az út tehát nemcsak kezdő- és végpont helyzetétől függ, hanem a test által leírt pálya alakjától is. Az elmozdulás értékét a kezdő- és végpontok ( A-tól B-ig ) közötti legrövidebb távolság határozza meg, eltekintve attól, hogy melyik pályán mozgott a test. Ha a test az A pontból a B-be, majd a B-ből az A-ba jut, akkor a test a kiinduló pontba (helyzetbe ) ér vissza, így az összelmozdulásának értéke nulla lesz.tehát: r AB r BA 0 ami a.9. ábrán van szemléltetve. Az elmozdulás értékét is méterekben fejezik ki. PÉLDA: 5

26 Az anyagi pont síkbeli mozgása során az A(-,1) pontból a B(,4 ) helyzetbe jut.határozzátok meg az elmozdulás értékét hosszúság mértékegységekben! MEGOLDÁS Az ábrán látható, hogy az elmozdulás (AB távolság) Pythagorasz- tételével határozható meg: x r = 5 cm x1 y y1 cm 3 4 cm r = SEBESSÉG ÉS GYORSULÁS A sebesség a mechanikai mozgás egyik jellemzője. Ez kifejezi a mozgás lényegét, meghatározza azt a különbséget, ami az ugyanazon vonatkoztatási rendszerben nyugvó állapotban és mozgásban lévő testek között létezik. Az egyenesvonalú egyenletes mozgást végző testeknél (.10. ábra) a megtett út és a mozgásra szolgáló idő viszonyával határozzák meg. A szokásos jelek felhasználásával a sebességre v, az útra s és t az időre, kapjuk: v = t s A sebesség értéke ( nagysága ) az út és az idő hányadosával van meghatározva. A sebesség vektormennyiség, így mint a többi vektor, a nagyságával, hatásvonalával és irányával van meghatározva. Az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál (ez a legegyszerűbb fajta mechanikai mozgás) a sebesség hatásvonala megegyezik azzal az egyenessel, amelyen a test ( anyagi pont ) mozog, iránya pedig a mozgás irányával azonos. Tegyük fel, hogy a test görbevonalú pályán mozog (.11. ábra). Ezt feloszthatjuk rövid s útszakaszokra, amelyeken a test t időszakaszok alatt halad át. Az ilyen rövid időszakaszokban történő sebességváltozások elhanyagolhatóak és így a test mozgása ezeken a kis útszakaszokon közelítőleg egyenesvonalú egyenletes mozgásnak vehető. Ebben az esetben felírható a következő összefüggés: 6

27 s v= t Ez a képlet csak a sebesség értékét határozza meg, a hatásvonala és iránya meghatározatlan marad. Mivel az út és az idő skaláris mennyiségek, ezek hányadosa ugyancsak skalár, de tudjuk, hogy a sebesség vektor mennyiség. A testek sebességének általánosabb kifejezése az elmozdulás segítségével határozható meg. Ez a kifejezés alkalmazható a testek összetettebb mozgásaira is, amelyek pályái görbe vonalak (.1.ábra). r v = Itt a sebesség vektoriális tulajdonsága közvetlenül az elmozdulás vektoriális természetéből következik. A testek sebességeinek értékeit az elmozdulások nagyságai és az erre szolgáló idők hányadosai határozzák meg. ÁTLAGSEBESSÉG A testek reális feltételek közt, a tetszőleges alakú pályán legtöbbször váltakozó mozgással haladnak. A szállító-járművek induláskor (a mozgás során) és megálláskor változtatják a sebességüket. A lejtőn lecsúszó szánkó, a függőlegesen feldobott test, vagy a szabadon eső test stb. sebessége változó. Az ilyen mozgások leírására vezették be az átlagsebesség (a sebesség átlagértéke) fogalmát. A Belgrád és Nis közötti 40 km távolságot az egyik autó 3 óra alatt, míg a másik óra alatt teszi meg. Az első autó átlagosan 80 km utat tesz meg óránként, míg a másik 10 km-t. Az autók mozgásuk során nem haladtak így állandóan. Induláskor gyorsítva mozogtak, megálláskor pedig lassulva. Megálltak a jelzőlámpák előtt, a fizetőkapuknál... Mit határoznak meg akkor az átlagsebességeik? Az átlagsebességek a mozgásaik összehasonlítására, azaz az általuk bizonyos idő alatt megtett utak kiszámítására szolgálhatnak. A testek (anyagi pontok) mozgásait a.13. ábra szemlélteti. A test t 1 idő alatt s 1 utat, t idő alatt pedig s utat tesz meg. A rajzon látható, hogy s s s1. Ez a test által a t t t1 időtartam alatt megtett út. Ennek alapján az átlagsebesség képlete a következő alakban írható fel: 7

28 s s1 s v á = =. t t1 Az átlagsebesség értéke a megtett út és a közben eltelt idő hányadosával egyenlő. Az átlagsebesség értéke meghatározható még a következőképpen is: A változó mozgás átlagsebességének értéke az a sebesség, amellyel a test egyenletesen mozogva, ugyanazt az utat ugyanannyi idő alatt tenné meg, mint változó mozgással. Az átlagsebesség olyan mennyiség, amelynek hatásvonaláról és irányításáról tárgytalan beszélni. Ha az átlagsebességről van szó, akkor mindig annak átlagértékére gondolunk. Tehát az átlagsebesség skaláris mennyiség. Az átlagsebesség értékének és az eltelt időnek a szorzata a megtett út hosszát adja meg: s vá. Megjegyzés.- A sebesség elnevezést amikor a sebesség értékéről van szó, gyakran tévesen használják. Azt mondják pl.,hogy a vonat 80km/h sebességgel mozgott, habár a vonat sebességének értéke 80 km/h volt. A különbség akkor lesz különösen szemmel látható, amikor a vonat görbe vonalú pályán mozog, ahol a sebesség hatásvonala és iránya állandóan változik, míg sebességének értéke állandó. Hasonlóan az átlagsebességet egybevetik az átlagsebesség értékével. PILLANATNYI SEBESSÉG A testek (anyagi pontok ) helyzetét egy adott pályán az átlagsebesség értéke alapján csak az eltelt időtartam végső pillanatában (végén) lehetséges meghatározni. Az átlagsebesség értékének ismerete nem teszi lehetővé a testek (anyagi pontok) bármely más pillanatban vett helyzeteinek meghatározását, mert a változó (egyenlőtlen) mozgásnál az átlagsebesség értékei más-más időtartamokban, az egyes útszakaszokon, eltérőek. A testek Anyagi pontok) helyzeteinek bármely pillanatban történő meghatározásához szükséges a pillanatnyi sebesség ismerete. A test (anyagi pont) pillanatnyi sebességének meghatározásához induljunk ki a sebességnek az elmozdulással megadott képletéből: r v = Az időtartam t csökkentésével, csökken az elmozdulás, r értéke is (.14.a ábra).határesetben, amikor az időtartam időpillanatra zsugorodik ( 0), megkapjuk a t pillanatban mérhető sebességet pillanatnyi sebességet (.14. b ábra). Ezt a következő alakban írhatjuk le: v = r, ha 0. 8

29 A pillanatnyi sebesség az a sebesség, amellyel a test halad pályájának adott pontjában egy meghatározott pillanatban. A pillanatnyi sebesség nem határozza meg a mozgást az egész útra vonatkozóan, hanem csak a pálya adott pontjában. A pillanatnyi sebesség egy (adott) pillanatban, a pálya egy pontjában jellemzi a mozgást. Az egyenes vonalú egyenletes mozgásnál a pillanatnyi sebesség értéke minden pillanatban ugyanaz és megegyezik az egész útra vett átlagsebesség értékével (.15.ábra) Az egyenes vonalú változó mozgásnál a pillanatnyi sebesség változik és különböző időpontokben más-más értéke van (.16.ábra). A testek (anyagi pontok) sebességének hatásvonala, megegyezik az adott pontban húzott érintővel, iránya pedig a mozgás irányával. Ismerve a pillanatnyi sebességeket minden pillanatban meghatározható az anyagi pont helyzete és az általa megtett út, és ezzel a pálya is. A.17.ábra szemlélteti az állandó értékű sebességgel görbe vonalú pályán mozgó test pillanatnyi sebsségeit. Minden görbevonalú mozgás változó mozgás, a pálya különböző pontjaiban a pillanatnyi sebesség is különböző (.18.ábra). A SEBESSÉGÖSSZEGEZÉS (ÖSSZEADÁS) KLASSZIKUS TÖRVÉNYE Megállapítottuk, hogy a testek (részecskék) mechanikai mozgásáról csak akkor érdemes beszélni, ha azt meghatározott vonatkoztatási rendszerben figyelik meg. Ha a sebesség (mint a mechanikai mozgás jellegzetessége) egy vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva ismert, hogyan határozható meg ez egy másik vonatkoztatási rendszerhez viszonyítva? Tehát meg kell határozni azt a képlete, amely összekapcsolja a testek (anyagi pontok) sebességeit a vonatkoztatási rendszerekben. A sebességösszeadás klasszikus törvényének nevezzük azt az egyenletet, amely összekapcsolja a testek (anyagi pontok) sebességeit a vonatkoztatási rendszerekben. Legyen az S vonatkoztatási rendszer a tó partjához (a parton lévő valamely helyhez) rendelve, míg az S' rendszer a parthoz viszonyítva egyenes vonalú állandó u sebességgel haladó hajóhoz (.19.ábra). A hajón, annak haladási irányában, a hajóhoz viszonyítva v ' sebességgel egy golyó mozog. A golyó parthoz viszonyított v sebessége a t t t1 időtartam alatti elmozdulásokból határozható meg. Ha r1, a hajó parthoz viszonyított 9

30 elmozdulása, r pedig a golyó hajóhoz viszonyított elmozdulása, akkor a golyónak a parthoz viszonyított r = r1 + r. Elosztva az egyenletet r r1 r. r elmozdulása: -vel: r r Mivel a v a golyó parthoz viszonyított sebessége ; 1 u a hajó parthoz viszonyított r sebessége és a = v ' a golyó hajóhoz viszonyított sebessége, így a következő összefüggésre jutunk: v = u v ' Ez a kifejezés a sebességek klasszikus összegezésének (összeadásának) a törvénye. A testek S vonatkoztatási rendszerhez viszonyított sebességei, a testek S' vonatkoztatási rendszerben vett sebességeinek és az S' rendszer S rendszerre vonatkoztatott sebességeinek az összege. Mivel a felhozott példában a v ' és u vektor azonos hatásvonalúak, a vektor jelzés elhagyható, de figyelembe kell venni ezek irányát. Ha azonos irányúak, akkor v ' és u azonos előjelűek, így a sebességek összeadásának klasszikus törvénye kifejezhető az adott vektorok értékeivel: v = u + v'. Ha a vektorok ellentétes irányúak: v = u - v', mivel a hajó sebessége u pozitív. A sebességek összeadásának klasszikus törvénye alapján meghatározható bármely v,u vagy v' sebesség értéke a másik kettő értékeinek ismeretéből. PÉLDA A csónak vízhez viszonyított sebessége 5m/s, a folyó sodrása pedig 3m/s. Mekkora a csónak parthoz viszonyított sebessége, ha az: a.) a sodrás irányába b.) a sodrással szembe c.) a partra merőlegesen (a folyó egyik partjáról a másikra jut) halad? v = v'+u v = v' u v = v' u ÁS MEG OLD 30

31 a.) Amikor a csónak a folyó sodrásával egy irányban evez, az u és v ' sebességek hatásvonala és iránya megegyezik, így a csónak parthoz viszonyított sebességének értéke: v = u + v' = 8 m/s b.) Amikor a csónak az áramlással szemben úszik, az u és v ' sebességek hatásvonalai megegyeznek, de ellentétes irányúak, így a csónak parthoz viszonyított sebességének értéke: v = v' u = m/s. Ha a folyó sodrása u > v' nagyobb a csónak sebességénél, akkor a csónak a vízzel egy irányba, lefelé haladna ( a folyó sodrása nagyobb a csónak sebességénél, így azt lefelé viszi, habár a csónakban ülő ember ellentétes irányba próbálja irányítani a csónakot). Ha u< v' a csónak a vízfolyással ellentétes irányban halad (szemben a sodrással). c.) Amikor a csónaknak a folyó egyik partjáról, merőlegesen a partokra, a másik partra kell jutnia, akkor erre azirányra nézve egy meghatározott útirányt kell tartania (c.)ábra). A derékszögű háromszögből Pythagorasz-tétele alapján a csónak parthoz viszonyított sebességének az értéke meghatározható: v = m m m v u s s s AZ ÁTLAGGYORSULÁS Mozgása során a test (autó) változtatja a sebességét. Az autó indulásakor növekszik, megálláskor pedig csökken. Az autó sebességének változása történhet a sebesség értékének, hatásvonalának és irányának változása miatt. Mindezen változások mennyiségi meghatározására új mennyiség bevezetésére van szükség. Ez a mennyiség a testek gyorsulása. Gyorsulásnak nevezzük azt a fizikai mennyiséget amely meghatározza a testek sebességének időbeli változását. Ha a test sebessége t 1 időpillanatban v 1 míg a t pillanatban v akkor a sebességváltozás a t - t 1 időszakaszban (.0.ábra): v v v 1 Átlaggyorsulásnak nevezzük a sebességváltozás és az eltelt időszakasz hányadosát azaz: a á v, vagy v t v t a á 1. 1 Tehát az átlaggyorsulás vektor melynek hatásvonala és iránya megegyezik a sebességváltozás ( v ) hatásvonalával és irányával. Egyenes vonalú mozgásnál a sebesség hatásvonala állandó, és ez egyben az átlaggyorsulás hatásvonala is, így az átlaggyorsulás képletét skaláris alakban írhatjuk fel: v v v1 a á =. t t 1 31

32 A sebességváltozás értékének egységnyi idő alatt történő változása az átlaggyorsulás nagysága. A sebességváltozás mértékegysége ugyanaz mint a sebességé ( s m ), így az m alapján az átlaggyorsulás mértékegysége a. s PILLANATNYI GYORSULÁS a a v képlet Ahhoz, hogy valameky pillanatban a testek (anyagi pontok( gyorsulásáról beszélhessünk, szükséges a sebességváltozást megfigyelni nagyon rövid időtartamban (ez közelítőleg a pillanatnak felel meg). Abban az esetben: v a, amikor t 0. t A pillanatnyi gyorsulás az átlaggyorsulás határesete, amikor az időszakasz egy pillanatra zsugorodik. A pillanatnyi gyorsulás helyett, sűrűn csak gyorsulást mondanak. Az egyenesvonalú mozgásnál a gyorsulás hatásvonala minden pillanatban megegyezik a testek mozgásvonalával. A gyorsulás iránya megegyezik a sebesség irányával ha ennek értéke növekszik, de a sebesség irányával ellentétes ha a sebesség értéke csökken. A MERŐLEGES (RADIÁLIS) ÉS A TANGENCIÁLIS GYORSULÁS Általános esetben a pálya adott pontjában lévő testek sebessége érintőirányú, a gyorsulás hatásvonala pedig megegyezik a sebességváltozás hatásvonalával. A rajzon (.1.ábra) a tetszőleges görbevonalú pályán mozgó anyagi pontok sebességei vannak feltüntetve két különböző időpillanatban. A t 1 időpillanatban az anyagi pont az A helyzetben van és v 1 sebességgel rendelkezik, a t pillanatban B helyzetben van és v a sebessége. A gyorsulás meghatározásához szükség van a sebességváltozás ismeretére. Áthelyezzük a v -t az A pontba (egyenértékű lett volna ha a v 1 kerül a B pontba). Ezután meghatározzuk a sebességváltozást v v v1. Ugyanilyen hatásvonalú és irányú lesz a gyorsulás a is. Általánosan a gyorsulásnak két összetevője van: egyik a pálya A pontjában érintőirányú (tangenciális), a másik pedig ugyanabban a pontban merőleges erre az érintőre. Az egyenletes görbevonalú mozgásnál a gyorsulás hatásvonala merőleges a pálya érintőjére és a pálya görbületi középpontja felé mutat. Az iránya miatt ezt a gyorsulást merőleges gyorsulásnak nevezik. Tegyük fel, hogy az anyagi pont görbevonalú pályán mozog változó értékű sebességgel, mint azt a..ábra szemlélteti. Ekkor a merőleges gyorsulás mellett létezik érintőirányú gyorsulás is. 3

33 Az érintőirányú gyorsulás iránya megegyezhet, de lehet ellentétes irányú is a pillanatnyi sebesség irányához viszonyítva: ha irányaik megegyeznek, az anyagi pont sebessége növekvő, azazgyorsuló mozgást végez; ha pedig a sebesség és az érintőirányú gyorsulás irányai ellentétesek, az anyagi pont lassul. Általános esetben a gyorsulásnak van merőleges és érintőirányú összetevője: a a n a t A merőleges gyorsulás meghatározza a sebesség irányának változását, míg az érintőirányú gyorsulás a sebesség értékének a változását határozza meg. A gyorsulás értéke Pythagorasz-tétele segítségével határozható meg (..ábra): a = a. n a t Az anyagi pont gyorsulásának értéke a merőleges gyorsulás négyzetének és a tangenciális gyorsulás négyzetének az összegéből vont négyzetgyökkel egyenlő. Ha a gyorsulásnak nincs tangenciális összetevője, a mozgás egyenletes körmozgás. Ha pedig nem létezik merőleges összetevő, akkor a test (az anyagi pont) mozgása egyenes vonalú. ÁLLANDÓ GYORSULÁSSAL TÖRTÉNŐ EGYENESVONALÚ MOZGÁS A testek azon mozgásait amelyeknél a sebesség időben változik, egyenlőtlen mozgásnak nevezzük. Például a vonat, vagy az autóbusz mozgása változik mozgásuk során. Induláskor a sebesség növekszik, megálláskor pedig csökken, és ez ismétlődik egyik állomástól a másikig. Változó (egyenlőtlen) mozgásnak nevezzük a testek olyan mozgásait amelyeknél a sebesség időben változik. A testek mozgásai főleg változó mozgások, amelyeknél a sebességek időben változnak. Ha a változó mozgás pályája egyenes vonal, akkor ez egyenesvonalú változó mozgás. A változó mozgás legegyszerűbb alakja az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgás. Ez a testek egyenes vonalon történő mozgása, amikor a sebességük egyenletesen változik az időben (állandó gyorsulás). Ha a testek sebessége időben egyenletesen növekszik (egyenlő időközönként ugyanazon értékkel növekszik) akkor az ilyen mozgás egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló, ha a sebesség egyenletesen csökken, akkor ez egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgás. A ferdén elhelyezett deszka (lejtő) vájatában leguruló golyócska (.3.ábra), vagy a szabado eső testek esése jó példák az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgásra. Az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgás példái pedig a ferdén elhelyezett deszka vájatában felfelé mozgó golyócska mozgása (.3.ábra), vagy a függőlegesen felfelé hajított test mozgása. 33

34 Az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgásnál a gyorsulás vektora kollineáris (azonos irányítottságú) a sebesség-vektorral. A v v v0 sebességváltozás a vektorjelek nélkül írható, így a gyorsulás értéke: v v0 a =, t t0 ahol a v a t időpillanatban mért sebesség, v 0 pedig a kezdőpillanatban mért ún. kezdősebesség. Ekkor ezt kapjuk: v = v 0 + at. Ez a kifejezés az egyenesvonalú állandó gyorsulású mozgás sebességének az időtől való függését adja meg (.4.ábra). Az összefüggés lineáris tulajdonságú, y = kx + b típusú, ahol az y függvénynek a v sebesség felel meg, a k együttható a gyorsulás a, a független változónak x a t idő felel meg, míg a b állandó a v 0 kezdősebesség. Az ilyen függvény grafikonja a nyolcosztályos iskolából ismert. Ha a kezdősebesség nulla (v 0 = 0), akkor v = at. Ennek megfelelő grafikon a koordináta-rendszer kezdőpontján áthaladó egyenes. Mivel az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgás sebessége az idő lineáris függvénye, így a grafikonja egyenes vonal. Az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgásnál a sebesség csökken (a sebesség és a gyorsulás ellentétes irányú), így a gyorsulás előjele negatív. Erre a mozgásra v = v 0 at, és ennek a grafikonja a.5.ábrán látható. Általánosan felírható: v = v 0 at, ahol a plussz (+) jel az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló, a mínusz (-) jel pedig az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgásra vonatkozik. Ismerve a kezdősebességet v 0 és a gyorsulást a, meghatározható a test (részecske) sebessége minden időpillanatban. Az egyenletesen lassuló mozgásnál a sebesség időtől való függvénye egyenes vonal, de a sebesség mindig csökken, így a t v = a v 0 időpillanatban nulla lesz. A test megállt, de bizonyos esetekben a test visszafelé kezd el mozogni, az elsődleges iránnyal szemben. A függőlegesen felfelé hajított test egyenletesen lassuló mozgást végez egy bizonyos 34

35 magasságig ahol egy pillanatra megáll és ezután szabadon esik (elkezdi) egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgással, amint ezt a.6.ábra szemlélteti. Tudnunk kell, hogy grafikusan csak a vektormennyiség értékei szemléltethetőek az idő függvényében például a sebesség, a gyorsulás értékei. AZ ÁLLANDÓ GYORSULÁSSAL HALADÓ TESTEK ÁLTAL MEGTETT ÚT Egy mennyiség grafikonja alapján meghatározható egy másik mennyiség értéke. Például a sebesség- grafikonból megállapítható a megtett út hossza, az út-grafikon alapján pedig meghatározható a sebesség (az egyenes vonal iránytényezője segítségével), a sebesség időbeli változása- a test gyorsulása stb. Meghatározzuk grafikusan a megtett út értékét és a megfelelő úttörvény képleteit az egyes jellemző esetekre: a.) egyenesvonalú egyenletes (állandó sebesség); b.) kezdősebességgel történő egyenletesen gyorsuló és c.) a test megállás nélküli egyenletesen lassuló mozgását. a.) Amikor a test egyenesvonalú egyenletes mozgást végez ( v = const. ), a sebesség grafikonja az abcissza tengellyel párhuzamos egyenes (.7.ábra ). Az árnyékolt terület az ábrán vt. E szorzat száméretéke a t idő alatt megtett úttal egyenlő. Látható (a befestett rész), hogy ez egy téglalap területe, amelynek oldalai v és t, azaz s =v*t..6.ábra. Egyenletesen lassuló és egyenletesen gyorsuló mozgás.7.ábra. Az egyenesvonalú egyenletes mozgás megtett útjának grafikus meghatározása A megtett út számbelileg egyenlő a sebesség időtől való függvények grafikonja alatti területtel. Ez érvényes a testek (anyagi pontok) bármely más mozgásaira is. b.) Amikor a test egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgással mozog a megtett út ugyancsak a sebesség-idő grafikon alatti területtel egyenlő (.8.ábra). Most ez a terület egy v 0 és v alapú, t magasságú trapéz területe. E trapéz területe a v 0 és t oldalú téglalap, és (v-v 0 ) alapú t magasságú háromszög területének az összegével egyenlő. Ennek alapján a t idő alatt megtett út: 35

36 s = v v0 v0 Ha v=v 0 +at, 1 s = v 0 t at kapjuk. A v 0 t szorzat a test által t idő alatt megtett út lenne, ha nem volna gyorsulás, azaz mindha állandóan v 0 kezdősebességgel mozogna. Mivel a sebesség az időben állandóan nő 1 (egyenletesen gyorsuló mozgás; a és v 0 ) akkor v = v 0 at, így a megtett út at -tel kisebb lesz a v 0 t-vel, azaz: 1 s v 0 t at. Az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgás grafikonján (.9.ábra) látható, hogy a trapéz terület, melynek számértéke a megtett úttal egyenlő, kisebb a v 0 t területű téglalapnál. Az előző képlet az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgás törvényét fejezi ki. Az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgás és az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgás törvényeit összetéve, a megtett útra általános képletet nyerünk: 1 s v 0 t at. A (+) plussz előjel a gyorsuló, a (-) mínusz előjel a lassuló mozgásra érvényes. A SEBESSÉG ÚTTÓL VALÓ FÜGGVÉNYE Meghatározott feledatok megoldásánál sűrűn adódik az a feltétel, hogy meg kell határozni a test sebességét meghatározott út megtétele végén (végsebesség). Az egyenletesen gyorsuló mozgásnál a sebesség és a megtett út kifejezéseinek összetevésével jutunk arra a képletre, amely a sebességnek a megtett úttól való függését mutatja: 1 v = v 0 + at és s v 0 t at. v v0 Az első kifejezésből t behelyettesítve az útképletbe, elvégezve a megfelelő a műveleteket, az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgásra kapjuk: v v as, vagy 0 v v as. Az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgásra, amikor a gyorsulás iránya ellentétes a kezdősebesség irányától, következik: 0 v v as Ez a képlet a test megállásáig megtett útra érvényes. Ha a kezdősebesség nulla (v 0 = 0) a sebesség úttól való függése: 0 36

37 v as. Kezdősebesség nélküli lassuló mozgásról nem beszélhetünk (nincs fizikai értelmezése). ANYAGI PONT MOZGÁSA KÖRPÁLYÁN Megismertük az egyenesvonalú állandó gyorsulással történő mozgást, amelynél a test (anyagi pont) sebességének csak az értéke változott az időben. Most olyan mozgást fogunk tárgyalni, amelynél a sebesség értéke állandó, de változik az iránya. A merőleges (radiális) és érintőirányú gyorsulások tanulmányozásánál megállapítottuk, hogy körmozgás akkor keletkezik amikor a gyorsulásnak csak a merőleges (radiális) összetevője létezik, az érintőirányú összetevő nem létezik, nullával egyenlő. Az anyagi pont legegyszerűbb görbevonalú mozgása a körmozgás. E mozgás leírására az elmozdulás, út, sebesség és gyorsulás mennyiségeket használják. A körmozgásra vonatkozó sebességet és gyorsulást vonalmenti (kerületi) sebességnek és kerületi gyorsulásnak hívják. A körmozgás leírására ezeken a mennyiségeken kívül az ún. szögmennyiségeket is használják, mint a szögelfordulás, szögsebesség és szöggyorsulás. A SZÖGELFORDULÁS ÉS A TELJES SZÖGEFORDULÁS A körvonalon lévő anyagi pont helyzetét a rádiusz-vektor (radiális lat. sugárirányú) határozza meg. Ez a vektor összeköti a körpálya középpontját és az adott anyagi pontot (.30.a.)ábra). A körpályán mozgó anyagi pont rádiusz-vektora a mozgás során adott idő alatt meghatározott szöget ír le és megteszi a meghatározott ( ) szögelmozdulást. szög. A szögelmozdulás az anyagi pont kezdő és végső állapotú rádiusz-vektorai közötti 37

38 A (.30.) ábrán az anyagi pont a kezdő t 0 pillanatban A helyzetben, egy másik t pillanatban pedig a B helyzetben van. Az A és B pontokhoz húzott rádiusz-vektorok által bezárt, a rajzon -val jelölt szög a szögelfordulás, amely a teljes szögelfordulással egyenlő. Ha a körmozgást végző A anyagi pont ugyanolyan irányú körmozgásakor egy teljes fordulatnál kevesebbet tesz meg, akkor a szögelfordulás és a teljes szögelfordulás ugyanaz. Ellenkező esetben a teljes szögelfordulás nagyobb a szögelfordulásnál. Az össz-szöget amit az anyagi pont rádiusz-vektora a körpályán történő mozgása során leírt, függetlenül attól, hogy a mozgása során változtatta-e mozgásának irányáy, teljes szögelfordulásnak nevezzük. A teljes szögelfordulás a szögelfordulás mértékegysége a radián (rad). Egy radián az a szög, amely a körön a kör sugarával megegyező hosszúságú körívet zár be. Tetszőleges szög radiánokban kifejezve megegyezik a megfelelő körív hosszának és a kör sugarának hányadosával: = r s A teljes szög fokokban kifejezve Ennek értéke radiánokban: s r rad. r r Az anyagi pont által a körpályán megtett út (körív) és a megtett szög közötti kapcsolat: s = r. A körpályán mozgó anyagi pont által megtett út (körívhossz) a kör sugarának és az általa leírt szög szorzatával egyenlő. SZÖGSEBESSÉG Az átlagszögsebességet és a pillanatnyi szögsebességet, amelyet sűrűn csak szögsebességnek hívnak, a szögelfordulás segítségével határozzuk meg. Az átlagszögsebesség értéke a szögelfordulás és az erre szolgáló idő hányadosával egyenlő. Ha az anyagi pont a t 0 időpillanattól t időpillanatig szöget ír le (.31.ábra), akkor az átlagszögsebesség: á. t t 0 A kezdőpillanatot t 0 = 0 nak véve, t pedig az eltelt idő, akkor az átlagszögsebesség kifejezését a következő alakban írhatjuk: á. t Ebben a kifejezésben a t tetszőleges idő: nagyon nagy időtartamoktól egészen kis időtartamokig változhat, így akár egy pillanatnak is vehető. A pillanatnyi szögsebesség a meghatározott (adott) pillanatban vett szögsebesség:, ha 0. rad A szögsebesség mértékegysége a radián per másodperc. s 38

39 A SEBESSÉG ÉS A SZÖGSEBESSÉG KÖZÖTTI ÖSSZEFÜGGÉS A szögsebesség és szögelfordulás meghatározásaikból kiindulva megtalálható a vonalmenti (kerületi) sebesség és a szögsebesség közötti összefüggés: s r s. r s Mivel = v, ebből következik: v, vagy v = r. r A kerületi (vonalmenti) sebesség a körpálya sugarának és az anyagi pont szögsebességének a szorzatával egyenlő. SZÖGGYORSULÁS Az anyagi pont körmozgása lehet egyenletes és változó. Az egyenletes körmozgásnál a szögsebesség állandó értékű, a változó körmozgásnál a szögsebesség időben változik. Szöggyorsulásnak nevezzük azt a mennyiséget amellyel a szögsebesség időegység alatti változását leírják. Az átlagszöggyorsulás a szögsebesség-változás és az erre szolgáló időtartam hányadosa: 1, t t ahol 1 és a t 1 és t időpillanatbeli szögsebességek. A pillanatnyi szöggyorsulás (vagy röviden szöggyorsulás), a nagyon kis időtartam (amelyet a pillanatnak vehetünk) alatti szöggyorsulás. Ezt a következő alakban írhatjuk le:, amikor 0. A szöggyorsulás mértékegysége a radián per másodperc a négyzeten 1 rad. s A TANGENCIÁLIS ÉS SZÖGGYORSULÁS KAPCSOLATA A változó körmozgást végző anyagi pont kerületi sebességének értéke időben változik. Ez azt jelenti, hogy érintőirányú (tangenciális) gyorsulás is. Milyen kapcsolat áll fenn a tangenciális és a szöggyorsulás között? A feleletet hasonlóképp kapjuk meg mint ahogy a kerületi sebesség és a szögsebesség kapcsolatánál tettük: a t v v v r r 1 r 1 1 ; 39

40 at r, at r. A körmozgást végző anyagi pont érintőirányú gyorsulása egyenlő a kör sugarának és a szögsebességnek a szorzatával. EGYENLETES KÖRMOZGÁS Az egyenletes körmozgásra sok példát hozhatunk fel. Egy fonálra kötött golyócskát a kezünkkel egyenletesen forgathatunk a fejünk felett. Az óramutatók mozgása, a Föld Nap körüli mozgásai majdnem egyenletes mozgásként figyelhetők meg. Az egyenletes körmozgásnál a testek (anyagi pontok) állandó értékű sebességgel végeznek körmozgást. (.3.ábra) Az egyenletes körmozgásnál a szögsebesség is állandó ( = const). Az egyenletes körmozgást végző anyagi pontok sebességének értéke a megtett út (körívhossz) és a mozgásidő hányadosa: s v t A megfelelő szögsebesség a szögelfordulás és az eltelt idő hányadosa:. t PERIÓDUS ÉS FREKVENCIA Az egyenletes körmozgás a periódikus mozgás tipikus példája ugyanúgy ismétlődik meghatározott időközönként. Ezt az időtartamot a keringés periódusának (periódusidőnek) nevezzük. Periódusidőnek nevezzük azt az időt amely alatt az anyagi pont egyszer körülmegy a körön, azaz egy teljes fordulatot végez. A jele általában T. Az idő mértékegységével fejezzük ki. A T periódusidő alatt az anyagi pont kört ír le, ez idő alatt a megtett út a körvonal hosszával egyenlő. Így az egyenletes körmozgást végző test sebességének értéke: r v, T r a körmozgás periódusideje: T, ahol r a kör sugara. v A periódusidőn (T) kívül, az egyenletes körmozgás jellemzője még a gyakoriság (frekvencia) is. Általában f (vagy ) a jele. A gyakoriság a periódusidő reciprok értékével egyenlő: 1 f. T 40

41 A frekvencia megmutatja hány teljes periódus van egységnyi idő alatt, azaz a test egy másodperc alatt hányszor írja le a körvonalat. A frekvencia (gyakoriság fordulatszám) mértékegysége a hertz (Hz). 1 1 Hz s. s Egy periódusidő alatt az anyagi pont teljes szöget ír le, így a szögsebessége:, azaz f. T A CENTRIPETÁLIS (MERŐLEGES) GYORSULÁS Az egyenletes körmozgást végző anyagi pont kerületi és szögsebességének értékei állandóak, így az érintőirányú és szöggyorsulás is nulla. A sebesség iránya azonban állandóan változik, így az anyagi pontnak létezik merőleges gyorsulása. Megmutattuk, hogy a merőleges gyorsulás hatásvonala merőleges a pálya érintőjére és a pálya görbületi középpontja felé irányul. A körmozgásnál az anyagi pont merőleges gyorsulása a sugár irányában a kör középpontja felé mutat, ezért radiális, de sűrűn centripetális gyorsulásnak is hívják. Tegyük fel, hogy a test (anyagi pont) t A pillanatban az A pontban v A sebességgel rendelkezik. A t B pillanatban B pontba jutott és v B sebessége van (.33.ábra). Mivel a va és v B vektorok szabadvektorok, ezek áthelyezhetőek, azzal a feltétellel, hogy értékük és irányuk változatlan marad. A különbsége ( v ). v A vektor B pontba való áthelyezésével meghatározható a két vektor A va és v B vektorok az A és B pontokhoz húzott érintő hatásvonalúak, ezért merőlegesek a megfelelő körsugarakra. Így a sugarak által bezárt szög megegyezik va és v B vektorok hatásvonala által bezárt szöggel. A va és v B vektorok értékei megegyezőek (a test mozgási sebessége állandó értékű, csak a hatásvonala változik). Ennek alapján az OAB egyenlő szárú háromszög, amelyet a kör sugarai és a megfelelő elmozdulás r alkotnak hasonló az egyenlő szárú háromszöghöz, amelyet a v A, vb és (v A = v B mivel a mozgás egyenletes, és mindkét háromszögben az egyenlő szárak által bezárt szögek egyenlőek) alkotnak. A háromszögek hasonlósága alapján: r v. r v Innen a sebességváltozás vektorának értéke : Az egyenlet bal és jobb oldalát is -vel osztva: 1 v v r. r 41

42 v v r. r Csökkentve a t időtartamot az A és B pontok mind közelebb kerülnek egymáshoz, az elmozdulás értéke r mind kevésbé különbözik az úttól (körívhossz) s, az v átlaggyorsulás a Á mindinkább közelebb kerül a pillanatnyi a c gyorsuláshoz. t A c jelzést használtuk, de ugyanúgy egyenrangúan lehetne az n és r jeleket használni, mert mindhárom kifejezés használatos,centripetális, merőleges és radiális gyorsulás. Határesetben a r elmozdulás nagysága egyenlő lesz a s úttal, az átlaggyorsulás egyenlő lesz a pillanatnyival. Így a pillanatnyi gyorsulás: v s a c. r s Mivel a mozgás egyenletes, a hányados a test (pont) sebességének értékével egyenlő: s v, ezt behelyettesítve a fenti képletbe: v a c. r Tehát az egyenletes körmozgás gyorsulásának értéke arányos a test (anyagi pont) sebességének négyzetével, de fordítottan arányos a körpálya sugarával. Az egyenletes körmozgásnál a centripetális gyorsulás értéke nem változik a mozgás során, de pontról pontra változik a pálya mentén az iránya úgy, hogy az mindig megegyezik a sugár irányával, amely a.34.ábrán megfigyelhető. A centripetális gyorsulás értéke a sebesség, periódus és frekvencia mennyiségekkel van összefüggésben. értékeire, mint azok irányaira is. A körmozgásra nagyszámú példa adható. A Föld köri pályán mozgó mesterséges bolygók majdnem körpályán keringenek. Majdnem körpályán kering a Hold is a Föld körül úgy, mint a bolygók a Nap körül. A kerék részecskéi a tengely körül körmozgást végeznek, a gramafon tányérja, az óramutatók, stb. A.35.ábrán látható a körpályán mozgó kerékpáros. Korábban megállapítottuk, hogy v r (a vonalmenti, kerületi és szögsebesség kapcsolata). Behelyettesítve ezt a centripetális gyorsulás képletébe: v r 4 a c r r r r T (mivel a teljes szögre ); a c 4 f r. T Az egyenletes körmozgást végző test helyzetkoordinátáinak az értékei a periódusidő elteltével ismétlődnek. Ez vonatkozik a sebesség és gyorsulás 4

43 PÉLDA Az anyagi pont az xoy síkban 15 cm sugarú körpályán mozog. A 4s alatt,5 kört ír le. Határozzátok meg a megtett utat, az átlagsebesség és az elmozdulás értékét. Az anyagi pont az 1 helyről indul. MEGOLDÁS Egy körülforduláskor az anyagi pont a körvonal hosszának megfelelő utat tesz meg,,5 fordulat után a megtett út: s,5 r, 355m. az átlagsebesség értéke: s,335m m v á 0,589. t 4s s Az anyagi pont elmozdulásának értéke,5 fordulat ( helyzet) után egyenlő: r r 30cm. A HALADÓ ÉS FORGÓMOZGÁS (TRANSZLÁCIÓ ÉS ROTÁCIÓ) A testek mechanikai mozgásainál nem vettük figyelembe a testek méreteit és alakját. Megállapítottuk, hogy a testet anyagi pontnak vehetjük, ha annak méretei elhanyagolhatóak az általa megtett út hosszához viszonyítva. Például a Földet anyagi pontnak vehetjük, mert 6 majdnem ( km) átmérőjű körpályán kering a Nap körül, így annak átmérője elhanyagolható a pálya átmérőjéhez viszonyítva. Más esetekben is a testeket anyagi pontoknak tekinthetjük. Ezt meg lehet tenni akkor is, amikor a test minden eleme (részecskéje) ugyanazt a mozgást végzi: párhuzamos pályán mozognak ugyanakkora sebességgel és gyorsulással. Az ilyen mozgást haladó (transzlációs) mozgásnak hívjuk (.36.ábra). Haladó mozgást végeznek például a liftek, vonatok, hajók, autók... egyenesvonalú úton. A haladó mozgásnál a test egyes részecskéi által leírt vonalak nem változtatják egymáshoz viszonyított helyzetüket, mindig párhuzamosak maradnak. Ha egyetlen részecske mozgása nem elégíti ki a fenti feltételt a mozgás nem haladó. Haladó mozgásnak nevezzük azt a mozgást, amelynél a test minden része (részecskéje) egymással párhuzamos vonalban mozog ugyanakkora sebességgel és gyorsulással. Mivel a haladó mozgásnál a test minden egyes pontja ugyanúgy mozog elégséges egyetlen pont mozgását ismerni ahhoz, hogy teljes képet kapjunk a test többi pontjainak 43

44 mozgásáról. Így pontosan felcserélhető az egész test mozgása, a test bármelyik részecskéjének (alkotórészének) mozgásával, és ez nagyon jól használható. A haladó mozgásnál nem szükséges a test minden egyes részecskéjének (alkotóelemének ) a mozgását megfigyelni. Elégséges egyetlen részecskét (anyagi pontot) venni, amely a test mint egész mozgását fogja bemutatni. A testek másik alapvető mechanikai mozgása a forgómozgás. A TESTEK ÁLLÓ TENGELY KÖRÜLI FORGÓMOZGÁSA Az óramutatók, légcsavarok, különféle kerekek, gramafonlemezek mozgása (.37.ábra) mind a forgómozgást képviseli. Forgómozgásnak nevezzük azt a mozgást, amelynél a test részecskéi (alkotóelemei) koncentrikus köröket írnak le és ezek egymással párhuzamos síkokon helyezkednek el, középpontjuk pedig a forgástengelyen vannak. Legegyszerűbb forgómozgás az, amikor a test egy álló, rögzített tengely körül forog. A forgómozgás vizsgálatánál csak a merev test álló (rögzített) tengely körüli forgására szorítkozunk. Merev testnek nevezzük azt a testet, amely mozgása során nem változtatja az alakját, azaz minden részecskéjének egymáshoz mért helyzete a mozgás során ugyanaz marad. A forgómozgást nem lehet ugyanazon (út,sebesség, gyorsulás) mennyiségekkel leírni mint a haladó mozgást, így új mennyiségek bevezetésére van szükség. A test álló tengelykörüli forgásakor a test egyes pontjai ugyanazon idő alatt különböző utakat tesznek meg. Aforgástengelytől legtávolabban elhelyezkedő részecskék (pontok) a leghosszabb utat teszik meg, míg a tengelyen lévő pontok (részecskék) útja nulla (.38.ábra). Ez vonatkozik a test más pontjainak az elmozdulásaira is,.38.ábra. A test rögzítet tengelykörüli forgásakor különböző pontjai (részecskéi) ugyanazon idő alatt különböző utakat tesznek meg, de ugyanakkora szögeket írnak le. miközben a test minden egyes 44

45 pontja azonos időközönként azonos szöget ír le, mindegyik pont szögelfordulása megegyező, ezért ezek a mennyiségek jellemzik az egész test forgását. A test különböző pontjai ugyanazon idő alatt különböző utakat tesznek meg, így ezek vonalmenti sebessége különböző, azonban a test minden pontja azonos idő alatt ugyanakkora szögeket ír le, ezért a szögsebességük azonos. A szögsebesség tehát az a mennyiség amellyel az egész test forgása leírható. A test minden egyes pontjára vonatkozóan a szögsebességeik változása ugyanazon idő alatt ugyanakkora, tehát a test minden pontjának (részecskéjének) a szöggyorsulása ugyanaz. Ezek szerint a test forgómozgását a szöggyorsulása is jellemzi. A anyagi pont körmozgásának tanulmányozásánál megismertük a szögelfordulás, szögsebesség és szöggyorsulás fogalmát. A következőkben még teljesebb ismereteket szerzünk azokról a mennyiségekről, amelyeket a forgómozgás leírásánál alkalmaznak. A SZÖGELFORDULÁS ÉS A TELJES SZÖGELFORDULÁS A test rögzített tengelykörüli forgásánál a test minden részecskéje (pontja) olyan körön mozog amelynek középpontja a forgástengelyen van. Az A pont helyzete meghatározható azzal a helyzetvektorral amely összeköti a körpálya középpontját az A ponttal (.39.a.)ábra). A megtett szög egy állandó irányhoz például az x tengelyhez (.39.b.)ábra) viszonyítva határozható meg..39.ábra Legyen a t 1 időpillanatban az adott pont az A helyzetben, a t pillanatban pedig az A' helyzetben. Az A pont helyzetvektora t t t1 időtartam alatt szögelfordulás végzett. A szögelfordulás a test bármely pontja (részecskéje) rádiusz-vektorának kezdeti és végső állapota közötti szög A teljes szögelfordulásaz össz szög, amit a test tetszőleges pontjának rádiuszvektora a mozgás során leír, függetlenül hogy a forgásirány változott-e amozgás során.hasonlóan mint a haladó mozgásnál a megtett út az összes útszakasz hossza eltekintve attól, hogy a test adott időben változtatta-e a mozgásirányát. A SZÖGELFORDULÁS VEKTORIÁLIS TERMÉSZETE A szögelfordulás vektormennyiség, úgy mint a haladó mozgásnál az elmozdulás is az. A testek rögzített tengelykörüli forgásánál a szögelfordulás teljes meghatározásának tartalmaznia kell a következőket: - a test tetszőleges pontjához húzott rádiusz-vektor kezdő és végső állapota között bezárt szög (radiánokban kifejezett) értékét; 45

46 - a forgástengely irányát; - a jobbkéz-szabály által meghatározott irányt. A jobbkéz- szabály a következő: ha jobb kezünk ujjaival körülfogjuk a forgástengelyt úgy, hogy ujjaink a forgás irányába mutassanak, akkor a kinyújtott hűvelykujjunk a szögelfordulás irányát mutatja (.40. a.) ábra). A szögfordulás iránya meghatározható a jobbcsavar-szabállyal is: A szögfordulás iránya megegyezik a jobbcsavar haladási irányával, ha az a test forgásának irányában csavarodik (.40. b.) ábra). SZÖGSEBESSÉG Az anyagi pont körmozgásának vizsgálatánál meghatároztuk a szögsebesség átlagértékét és a pillanatnyi szögsebességet, de csak a szögsebesség értékét, ha 0 vettük figyelembe. Most ezt, mint vektormennyiséget határozzuk meg:, 0. Ebből a meghatározásból következik, hogy a szögsebesség ugyanolyan hatásvonalú és irányú mint a szögelfordulás. Mivel a szögsebesség hatásvonala állandó (megegyezik a rögzített forgástengellyel), így ezt igazoltan ki lehet fejezni annak értékével azaz skalárisan:, 0. SZÖGGYORSULÁS Az anyagi pont változó körmozgásánál a szöggyorsulást skalárisan határoztuk meg. Ez vonatkozik az átlag- és pillanatnyi szöggyorsulásokra is. Ez alkalommal, a változó forgómozgás leírására figyelembe vesszük ezeknek a mennyiségeknek a vektor természetét. Az átlagszöggyorsulás a szögsebesség-változásának és az eltelt időtartamnak a hányadosa. 1 Tehát: á, ahol az 1 és a t 1 és t időpillanatban vett szögsebességek. t t1 A pillanatnyi szöggyorsulás (vagy csak: szöggyorsulás):, 0. 46

47 A meghatározásból következik, hogy a szöggyorsulás ugyanolyan hatásvonalú mint a szögsebesség-változás, azaz megegyezik a forgástengely irányával. Ha a szöggyorsulás iránya megegyezik a szögsebesség irányával a test gyorsulva forog. Amikor a szöggyorsulás iránya ellentétes a szögsebesség irányával a forgás lassuló. A pillanatnyi szöggyorsulás értéke: 1, 0. t t Ha feltételezzük, hogy t 1 = 0 és 1 =0, és kizárjuk a -es megjelölést, akkor a szöggyorsulás értékére a következő kifejezést kapjuk:. t 1 HASONLÓSÁG A HALADÓ ÉS A FORGÓMOZGÁS KÖZÖTT Megismertük azokat a mennyiségeket amelyekkel a forgómozgás leírható. Nem nehéz észrevenni a hasonlóságot ezek és a haladó mozgásra jellemző mennyiségek között. A haladó mozgásnál a test minden pontja egyenlő utakat tesz meg, és azonos az elmozdulásuk; a forgómozgást végző test minden pontja azonos idő alatt egyenlő szögeket ír le és a szögelfordulásuk is ugyanaz. Így bizonyos értelemben azt mondhatjuk, hogy a forgómozgásnál megtett szög és szögfordulás hasonló mennyiségek mint a megtett út és az elmozdulás a haladó mozgásnál. A forgómozgás szögsebessége a szögelfordulás segítségével hasonlóan van meghatározva mint a haladó mozgás sebessége a test elmozdulásán keresztül. Ezek szerint a forgómozgás szögsebessége hasonló a haladó mozgás szögsebességéhez. A forgómozgás és a haladó mozgás sebességeinek hasonlóságából következik a megfelelő gyorsulások hasonlósága is..táblázat KINEMATIKA HALADÓ MOZGÁS FORGÓMOZGÁS út (s) megtett szög ( ) elmozdulás ( r ) szögfordulás ( ) sebesség szögsebesség r v gyorsulás szöggyorsulás a v A fenti táblázatban áttekinthetjük a haladó mozgást és a körmozgást leíró hasonló mennyiségeket. Meghatároztuk a haladó mozgást és az álló tengelykörüli körmozgást leíró mennyiségek közötti hasonlóságot. Ebben az értelemben a megfelelő mozgástörvények között is hasonlóság áll fenn. 47

48 HALADÓ MOZGÁS Egyenesvonalú egyenletes mozgás (v = const.) útképlete: TENGELYKÖRÜLI FORGÓMOZGÁS Egyenletes forgómozgásnál ( =const.) a megtett szög: s = vt Egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló Egyenletesen gyorsuló forgómozgás mozgás (a = const.) sebessége: const. szögsebessége: v = v 0 +at, 0, útja: megtett szög: 1 s v 0 t at 1 0t. (s) út megtétele utáni sebesség: A megtett szög utáni szögsebesség: v v 0 as.. 0 Az egyenletesen lassuló mozgásnál mindkét esetben maradnak ugyanezek a képletek, de a (+) plussz jel helyett (-) mínuszt tesznek. ÖSSZEFOGLALÁS A kinematika alapfogalmai és mennyiségei a következők: anyagi pont, vonatkoztatási rendszer, út, elmozdulás, sebesség és gyorsulás. Ezekkel a fogalmakkal és mennyiségekkel leírhatóak a különböző mechanikai mozgások. Anyagi pontnak nevezzük az olyan testet amelynek méretei és alakja, s ezzel ennek szerkezete is elhanyagolható az adott mozgási feltételek mellett. A test (anyagi pont) mozgását nem lehet leírni és lekísérni anélkül, hogy előzőleg nem választunk ki egy vonatkoztatási rendszert. A vonatkoztatási rendszer a következő elemeket tartalmazza: vonatkoztatási test, ezzel összekapcsolt koordináta-rendszer (Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer), az időmérés kezdete és a test kezdeti helyzete (a kezdeti hely- koordináták). A vonatkoztatási rendszer kiválasztása tetszőleges, de azt úgy kell megválasztani, hogy benne az adott körülmányek között mozgó test mozgásának leírása a legegyszerűbb legyen. Például a gyalogos, az autó, a repülő és más szállító eszközök mozgását a Földhöz kötött vonatkoztatási rendszerben a legmegfelelőbb megfigyelni és leírni, nem pedig a Naphoz vagy más égitestekhez viszonyítva, de ebben az értelemben a bolygók és a Föld mozgását a Naphoz kötött vonatkoztatási rendszerben kell megfigyelni és leírni. A testek mozgásáról csak egy meghatározott vonatkoztatási rendszerben lehet beszélni. A testek (részecskék) bármilyen vonatkoztatási rendszeren kívüli mozgásának nincs fizikai értelme. Például, ha azt mondjuk, hogy az ember mozog, mit jelent ez? Ez a mozgás nincs meghatározva. Ahhoz, hogy ezt a mozgást leírjuk, előzőleg meg kell határoznunk a vonatkoztatási rendszert. Például az egyenesvonalú egyenletes mozgással haladó vonatban egy utas ül. Vajon az utas ekkor valóban nyugalmi állapotban van vagy mozog? Az utas nyugalmi állapotban van a vagonhoz (annak ablakához, oldalaihoz, padlójához) képest, de egyenesvonalú egyenletes mozgással halad az állomáshoz (az állomáson lévő megfigyelőhöz képest). Ebben az esetbe ugyanarra a testre (emberre) azt mondjuk, hogy nyugalmi helyzetben 48

49 van és hogy egyenesvonalú egyenletes mozgást végez. Mindkét állítás igaz a megfelelő vonatkoztatási rendszerben. A pálya az a vonal amit a test (anyagi pont) mozgása során leír, azon egymásra következő helyzetek összessége, amelyeken a test (anyagi pont) mozgása során áthaladt. Pályájuk alakja szerint a testek (anyagi pontok) mozgása lehet egyenesvonalú és görbevonalú. Ugyanazon test (anyagi pont) pályája a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függ. Például a vonatból vagy repülőből kiejtett test: a vonatban (repülőben) lévő megfigyelő számára a test szabadon esik a Földre és egyenesvonalú a pályája, míg a Földön lévő megfigyelő számára ez görbevonalú pálya. Tehát a test (anyagi pont) pályája relatív fogalom. Ugyanannak a testnek (anyagi pontnak) a pályája más alakú a különböző vonatkoztatási rendszerekben. Tehát a pálya fogalmának és a testek sebességének csak egy meghatározott (kijelölt) vonatkoztatási rendszerben van fizikai értelme. Az út és az elmozdulás lényegében különböznek egymástól. Az út skaláris, míg az elmozdulás vektoriális mennyiség. Az út mondig pozitív mennyiség, az elmozdulás viszont lehet pozitív és negatív értékű is. Két pont közötti utak különbözőek lehetnek, de az elmozdulás marad. Abban az esetben amikor a test (anyagi pont) zárt úton mozgott és visszatért a kiinduló helyzetbe, az elmozdulása nulla, míg az út megfelel a pálya kerületének. A test sebessége. A test (részecske) mozgásának egyik alapvető jellemzője a sebesség. Az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál ez a megtett út és az eltelt idő viszonyaként határozható meg. s v. t A sebesség értéke (számértéke) az út és az idő viszonyával van meghatározva. A sebesség hatásvonala megegyezik a pálya (egyenes vonal) hatásvonalával, amelyen a test mozog. Ez mellett mindig azt mondják, hogy a test adott egyenes pályán egyik helytől a másik felé (egyik pontból a másikba) mozog; ezzel az iránya is meg van határozva. A sebesség előző képlete nem alkalmazható az összetettebb mozgásokra. Ez vonatkozik a következő alakban adott kifejezésre is: s v. Ez a képlet szintén meghatározza a sebesség értékét: hiányzik a hatásvonal és az irány. Az út és az idő skaláris menyiségek, így a velük alkalmazott műveletek nem adhatnak vektormennyiséget, bár tudjuk, hogy a sebesség vektormennyiség. A sebesség fogalma teljes értelmezést kap, ha azt az elmozduláson keresztül fejezik ki: r v, ahol: r - elmozdulás, -a test (anyagi pont ) mozgásának időtartama. A sebesség vektoriális tulajdonsága itt közvetlenül az elmozdulás vektoriális természetéből következik. A sebesség értékét az elmozdulás értékének és annak az időnek a viszonyával határozzuk meg, amelyben a test (az anyagi pont) a mozgást végzi. A sebesség hatásvonala és iránya, megegyezik az elmozdulás hatásvonalával és irányával. Reális feltételek mellett a testek általában változó sebességgel mozognak különféle alakú utakon (kanyarok, emelkedők, lejtők). A járművek induláskor gyorsuló, megálláskor pedig lassuló mozgással mozognak. A változó mozgás leírására és mennyiségi bemutatására a következő mennyiségeket vezetik be: átlagsebesség értéke, pillanatnyi sebesség és gyorsulás. A test 49

50 átlagsebességének értéke a megtett út és az út megtételére szükséges időtartam hányadosa: s v á. Az átlagsebesség skaláris mennyiség, mert két skaláris mennyiséggel (út és idő) van meghatározva. Tehát az átlagsebességet csak az értéke (számértéke) jellemzi; hatásvonaláról és irányáról nincs értelme beszélni. Az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgásnál az átlagsebesség értékét a kezdő és a végsebesség aritmetikai középértékével határozzák meg (a sebesség lineáris függvénye az időnek): v0 v 1 v á v0 at, ahol a (+) plussz jel a gyorsuló, a (-) mínusz pedig a lassuló mozgásra vonatkozik. A test adott pillanatban mért sebessége a pillanatnyi sebesség. A pillanatnyi sebesség a pálya adott pontjában jellemzi a mozgást. Például az autó sebességmérője a pillanatnyi sebességet mutatja, amely az idő folyamán változik (a sebességmérő mutatója a nagyobb, vagy kisebb értékek felé mozdul el). A pillanatnyi sebesség a mozgás jellemzője egy (adott) pillanatban a pálya adott pontján. A pillanatnyi sebesség vektor mennyiség, ennek hatásvonala megegyezik a pálya adott pontjába húzott érintővel, iránya pedig a test mozgásának irányával. Ezért a görbevonalú egyenletes mozgásnál, ha a sebesség értéke állandó, mégis létezik gyorsulás amelyet a sebesség hatásvonalának és irányának változása határoz meg. Egyedül az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál a pillanatnyi sebesség nem változtatja sem az értékét, sem a hatásvonalát, sem az irányát. Ebben az esetben egyszerűen a test (anyagi pont) sebességéről van szó. A test gyorsulása. Gyorsulásnak nevezzük azt a fizikai mennyiséget, amely meghatározza a test sebességének időbeli változását. Ez a változás a sebesség értékére, hatásvonalára és irányára vonatkozik. v a. Átlaggyorsulásnak nevezzük a sebességváltozás és az erre szolgáló idő hányadosát. Tehát az átlaggyorsulás vektor-mennyiség, melynek hatásvonala és irányítása megegyezik a sebességváltozás vektorának hatásvonalával és irányításával. Ha az időtartam végtelenül kicsi, az az időpillanattal azonosítható, ekkor az átlaggyorsulás átmegy a pálya adott pontjában mért pillanatnyi gyorsulássá, vagy csak a test (anyagi pont) gyorsulásává. Az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgásnál a gyorsulás hatásvonala megegyezik a test sebességének hatásvonalával, így felírható. v v0 a, t t0 ahol v a t időpillanatbeli sebesség, a v 0 pedig a kezdőpillanatban( amit általában t 0 =0 nullának vesznek) mért sebesség. Ekkor ezt kapjuk: v = v 0 + at. Ez a kifejezés az egyenesvonalú, állandó gyorsulással történő mozgás sebességének az időtől való függését fejezi ki. ha a kezdősebesség nulla (v 0 =0), akkor: v = at. 50

51 Az egyenesvonalú egyenletesen lassuló mozgásnál a sebesség csökken, így a gyorsulás (lassulás) negatív előjelű. Ebben az esetben a sebesség a következő kifejezéssel adott: v = v 0 -at. A megtett út. Az átlagsebesség értékének kifejezése alapján: 1 v á v 0 at, meghatározható az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgás útképlete: s vá v0t at. Adott feladatok megoldásainál sűrűn szügséges a test sebességének meghatározása a megtett út végén (végsebesség). A sebesség úttól való összefüggését, adott kezdősebesség (v 0 ) és állandó gyorsulás mellett, a következő képlet adja meg: v 1 v 0 as. Ha a kezdősebesség (v 0 =0) nulla, akkor: v as. Különösen jelentős a mechanikai mozgás, és ezt a mozgást jellemző mennyiségek grafikus ábrázolása. A grafikus bemutatást azok is le tudják olvasni akik nem ismerik azt a nyelvet amelyen a könyvet írták. Ki kell azonban hangsúlyozni, hogy csak a skaláris mennyiségekre lehet grafikonokat szerkeszteni. Tehát, csak a sebesség és gyorsulás időtől való függéseinek értékei mutathatók be. Az út-grafikon alapján meghatározható a sebesség (a görbe-egyenes iránytényezője segítségével), a sebesség időbeli változása (gyorsulás). Ezen adatok alapján pedig a megtett út hossza. A testek (anyagi pontok) körpályán történő mozgását nem csak a lineáris (út, ív) mennyiségekkel írják le, hanem felhasználják az elfordulás szögét ( ), a kör sugarát (r) és a szögsebességet ( ). A vonalmenti sebesség értéke és a szögsebesség összefüggése a következő képlettel fejezhető ki: v r. A centripetális gyorsulás értéke a következő kifejezéssel van meghatározva: v a r. r KÉRDÉSEK ÉS FELADATOK 1. Mely feltételek mellett lehet egy valós testet anyagi ponttal azonosítani?. Mikor vehető a futball-labda anyagi pontnak és mikor nem? 3. Mi a vonatkoztatási rendszer és melyek az alapelemei? 4. Van-e különbség a matematikai koordináta-rendszer és a fizikai vonatkoztatási rendszer között? 5. Mi a helyzetvektor és mit határoz ez meg? 6. Mivel egyenlő: a.)síkbeli; b.)térbeli helyzetvektor értéke? 7. Függ-e a vonatkoztatási rendszer megválasztásától: a.) a pálya alakja; b.) az út; c.) a sebesség; d.) a gyorsulás; e.) az elmozdulás? Hozzatok fel példákat erre! 8. Melyek az alapvető kinematikai mennyiségek? 9. Mi a különbség az út és az elmozdulás között? 51

52 10. Van-e különbség az út és a pálya között? 11. Hogyan osztottuk fel a mechanikai mozgásokat? 1. Lehet-e a test görbevonalú mozgásának sebessége változatlan, állandó? 13. A test sebessége skaláris, vagy vektoriális mennyiség? 14. Mi az átlagsebesség? Skaláris, vagy vektoriális mennyiség-e ez? 15. Hogyan határozható meg a pillanatnyi sebesség? 16. Változik-e a pillanatnyi sebesség az egyenesvonalú egyenletes mozgásnál? 17. Lehet-e a görbevonalú mozgás pillanatnyi sebessége változatlan? 18. Az átlaggyorsulás skaláris, vagy vektoriális mennyiség? 19. Hogy szól a sebesség-összeadás klasszikus törvénye? 0. Soroljátok fel az egyenesvonalú egyenletes és az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgások alaptörvényeit! 1. Mely mennyiségek határozhatók meg az út-grafikon alapján?. Az egyenesvonalú egyenletes és az egyenesvonalú egyenletesen változó mozgás megtett útját kétféle úton is meghatározhatjuk. Melyek ezek a módszerek? 3. A körmozgásnál a centripetális (merőleges) gyorsulás mindig a kör középpontja felé mutat? 4. Ha a test egyenletesen mozog, akkor a gyorsulása mindig nullával egyenlő? 5. Változik-e az egyenletes körmozgást végző test sebessége? 6. Változik-e az egyenletes körmozgást végző test radiális gyorsulása? 7. Milyen kapcsolatban van az egyenletes körmozgás sebességének értéke a periódussal és a frekvenciával? 8. Hogyan változik a tangenciális gyorsulás az egyenletes körmozgásnál? 9. Melyik képlet fejezi ki a centripetális gyorsulás, a sebesség és a kör sugarának kapcsolatát? 30. Írjátok fel a haladó és a forgómozgás egymással analóg (hasonló) képleteit és kifejezéseit, azokkal a megfelelő mennyiségekkel, amelyek e két fajta mechanikai mozgást leírják! PÉLDA A vonat útjának első felét 106 km/h, míg a másik felét 36 km/h sebességgel tette meg. Mekkora az egész útra számított átlagsebessége? MEGOLDÁS:Az út első felének megtételére szolgáló idő: 1 s s s t1, míg az út másik felét t idő alatt tette meg. v1 v1 v Ennek alapján az átlagsebesség értéke: s s v1v km v á 54. t t s s 1 v1 v h v v 1 PÉLDA A 0,5 m / s gyorsulással haladó test 0 s alatt 00 m utat tesz meg. Mekkora a test kezdeti sebessége és mekkora a sebessége az út végén? MEGOLDÁS: Az egyenesvonalú egyenletesen gyorsuló mozgás úttörvényéből: 1 s v 0 t at 5

53 m következik, hogy v0 5, s m a végsebesség pedig: v v0 as 15 s PÉLDA Az egyenletesen lassuló mozgással haladó test kezdősebessége 0 m, gyorsulása pedig s m 4. Mekkora utat tesz meg a megállásig? s MEGOLDÁS: Az utat a v v as kifejezésből kapjuk. Amikor a test megáll, v = 0, 0 v0 így s 50m. a PÉLDA Az adott gyorsulás-idő grafikon alapján rajzoljuk meg a sebesség időtől való függésének ( m sebesség-idő ) grafikonját! A test kezdősebessége v0 1 és ugyanolyan irányú, mint a s kezdeti gyorsulás. MEGOLDÁS: Mivel a kezdősebesség iránya ugyanolyan, mint a kezdőgyorsulásé, így az a m m grafikonon v0 1. Az első másodpercben a gyorsulás a 1, így a t1 1s pillanatban a s s sebesség értéke m m m v v0 at 1 1 1s. s s s A következő két másodpercben a gyorsulás nulla, így a sebesség nem változik. A harmadik másodperctől kezdve a gyorsulás negatív, azaz a sebességgel ellentétes irányú, így a következő s alatt a sebesség csökken, az indulástól számított 5 s alatt nullára csökken. PÉLDA Az anyagi pont m sugarú körön egyenletes 4 s m sebességgel kering. Mekkora a merőleges gyorsulása? MEGOLDÁS: A merőleges gyorsulás és a sebesség közötti összefüggés: m 16 v s m a n 8. r m s PÉLDA Az anyagi pont 50 cm sugarú körön egyenletesen kering. A forgás periódusa 4 s. Mekkora az anyagi pont sebessége? 53

54 MEGOLDÁS r m v 0,785. T s PÉLDA Mekkora a szögsebessége az óra a.) másodperc-mutatójának b.) percmutatójának? MEGOLDÁS: A másodpercmutató 60 s alatt írt le egy kört, így a periódusa Ts= 60s, míg a percmutató Tp = 1h = 3600 s,így : rad s 0, 105, a percmutató szögsebessége pedig: T s s 4 rad p 1,74 10 s T p PÉLDA A függőlegesen felfelé dobott test 8 s múlva ért újra földet. Határozzuk meg a test sebességét az eldobástól számítva s után. Mekkora sebességgel ér újra földet és mekkora az összes megtett út? MEGOLDÁS: Először a test kezdősebességét kell megtalálni. Mivel az egész mozgás 8 s-ig tartott, ebből következik, hogy a legnagyobb magasságot 4 s alatt érte el. Tudjuk, hogy az egyenletesen lassuló mozgás sebessége: v v g t m A legnagyobb magasságon v 0, így v0 g 9,81 4s s m v0 39, 4. s Ugyanezzel a kezdősebességgel rendelkezik a test a földreérés pillanatában is. A t = s pillanatban a test sebessége: m v v0 g 19, 6. s 0 A mozgás másik fele szabadesés ; az esési idő ugyancsak 4s, így a megtett út, azaz a magasság, amelyről a test leesett: 1 h g 78, 48m. A 8 s alatt megtett összes út H h 78,48m 156, 96m. 54